Hypothesis Testing

bởi Pamela Peterson Drake, PhD, CFA.

Pamela Peterson Drake, PhD, CFA, trực thuộc James Madison University (USA).

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên cần có khả năng:

• giải thích hypothesis testing và các thành phần của nó, bao gồm statistical significance, Type I và Type II errors, và power of a test
• xây dựng hypothesis tests và xác định statistical significance, các Type I và Type II errors liên quan, và power of the test khi biết một significance level
• so sánh và đối chiếu parametric và nonparametric tests, đồng thời mô tả các tình huống mà mỗi loại là loại test phù hợp hơn

Hypothesis testing được thảo luận rất chi tiết trong phần pre-read. Learning module này mở rộng phần thảo luận trong pre-read và giả định người học đã có kiến thức nền tảng về hypothesis testing từ cùng nguồn hoặc các nguồn khác.

Trong Lesson 1, quy trình hypothesis testing được giải thích bằng các ví dụ về tài chính và investment management. Lesson 2 làm nổi bật tác động của sai sót trong quy trình hypothesis testing. Trong Lesson 3, các quy trình nonparametric testing được thảo luận.

• Sau đây là các bước liên quan đến việc kiểm định một hypothesis: 1. Phát biểu các hypotheses. 2. Xác định test statistic và distribution của nó.

  3. Xác định significance level.

• 4. Phát biểu decision rule. 5. Thu thập dữ liệu và tính test statistic.

  6. Đưa ra quyết định.

• Test statistic là một con số được xác định từ sample data và là cơ sở để đưa ra quyết định bác bỏ hay không bác bỏ null hypothesis. Giá trị được tính của test statistic được so sánh với critical value của cùng test statistic để quyết định có bác bỏ hay không bác bỏ null hypothesis.

• Khi thực hiện một statistical test, có thể mắc phải hai loại sai sót: bác bỏ một null hypothesis đúng (Type I error), hoặc không bác bỏ một null hypothesis sai (Type II error).

• Significance level của một test là xác suất mắc Type I error khi thực hiện hypothesis test. Trong hypothesis testing, quy trình thông thường là xác định significance level, tức xác suất mắc Type I error. Phần bù của significance level là confidence level.

• Trong hypothesis tests về population mean của một population có normal distribution khi population variance chưa biết, test statistic phù hợp là t -statistic.

• Để thực hiện một test nhằm xác định liệu chênh lệch quan sát được giữa hai mean có statistical significance hay không, analyst trước tiên cần xác định các sample được sử dụng là independent hay dependent (related). Trong trường hợp các sample là independent, test về differences between means được thực hiện. Trong trường hợp các sample là dependent (related), test of mean differences (paired comparisons test) được thực hiện.

• Test được sử dụng để xác định liệu có tồn tại một chênh lệch đáng kể giữa hai population mean từ các population có normal distribution với variance chưa biết nhưng bằng nhau hay không là một t-test sử dụng các observations gộp của hai sample để ước tính common nhưng unknown variance. Test như vậy dựa trên giả định về các sample independent.

• Các test về hai mean dựa trên hai sample không independent thường liên quan đến việc sắp xếp dữ liệu thành từng cặp và thực hiện test of mean differences (paired comparisons test). Trong trường hợp các sample được sử dụng đến từ các population có normal distribution với variance chưa biết, test statistic được sử dụng có t-distribution.

• Test về variance của một population đơn lẻ có normal distribution sử dụng chi-square distribution với n − 1 degrees of freedom, trong đó n là sample size.

• Trong trường hợp các test về differences between the variances của hai population có normal distribution dựa trên hai random, independent sample, test statistic được sử dụng là một F-test. Degrees of freedom cho test như vậy là n1 − 1 và n2 − 1, trong đó n1 là số observations trong phép tính của numerator và n2 là số observations trong phép tính của denominator.

• Parametric tests là các test kiểm định hypothesis về một population parameter hoặc hypothesis có underlying assumption là một distribution cụ thể của population. Ngược lại, non-parametric test hoặc không xử lý các parameters, hoặc chỉ đưa ra assumption tối thiểu về distribution của population mà sample đã được lấy ra.

• Non-parametric test chủ yếu được áp dụng trong các tình huống mà distributional assumptions không được thỏa mãn, khi có outliers trong data set, khi dữ liệu được ranked, và/hoặc khi hypothesis mà chúng ta muốn chứng minh không liên quan đến bất kỳ parameter nào.

Giải thích khái niệm hypothesis testing và các thành phần của nó, bao gồm Statistical Significance, Type I và Type II errors và Power of Test

Phương pháp được sử dụng để đưa ra quyết định thông qua data analysis được gọi là hypothesis testing. Hypothesis testing là một phần quan trọng của inferential statistics, bao gồm việc áp dụng statistics để đưa ra nhận định về populations từ samples.

Các kỹ thuật của hypothesis testing cung cấp một cách khách quan để đo lường tính hợp lệ của evidence đối với hypothesis. Sau khi áp dụng statistical test, chúng ta cần biết rõ hơn về xác suất hypothesis đã cho là đúng hay không.

Trọng tâm chính của lesson này sẽ là framework của hypothesis testing và các test về mean và variance, hai statistical measures thường được sử dụng trong investments.

The Process of Hypothesis Testing

Hypothesis testing là phương pháp thuộc một trong các lĩnh vực con của statistics, cụ thể là statistical inference. Statistical inference gồm hai quá trình: estimation và hypothesis testing. Estimation bao gồm point estimation và interval estimation. Hãy xem xét sample mean, là một point estimator, từ đó bạn có thể tạo ra một interval estimator. Trong hypothesis testing, yếu tố trung tâm được nghiên cứu là một sample statistic và nó cho biết điều gì về các population parameters. Một hypothesis là một phát biểu liên quan đến một hoặc nhiều populations cần được kiểm định với sự hỗ trợ của sample statistics.

Quy trình hypothesis testing bắt đầu bằng việc xây dựng theory giúp chúng ta tổ chức và giải thích các observations. Chất lượng của theory phụ thuộc vào khả năng đưa ra các dự đoán chính xác, chẳng hạn như kết quả của các observations mới. Nếu các dự đoán này được chứng minh là đúng, chúng ta tiếp tục chấp nhận theory này như một lời giải thích đúng cho các observations của mình. Risk hiện diện trong kết quả của các observations trong finance, do đó chúng ta chỉ có thể đưa ra nhận định xác suất, không thiên lệch về việc liệu thông tin mới có xác nhận các dự đoán hay không. Trong trường hợp này, statistical hypothesis testing hỗ trợ chúng ta. Với sự trợ giúp của một test of hypothesis được xây dựng đúng cách, các kết luận và quyết định mà analyst đưa ra dựa trên test sẽ có cơ sở khoa học.

Cách tổ chức lesson này về hypothesis testing sẽ tuân theo sáu bước của hypothesis testing được trình bày trong Exhibit 1.

Exhibit 1: The Process of Hypothesis Testing

Bước 1: Phát biểu các hypotheses Bước 2: Xác định test statistic phù hợp Bước 3: Xác định level of significance Bước 4: Phát biểu decision rule Bước 5: Thu thập dữ liệu và tính test statistic Bước 6: Đưa ra quyết định

Phát biểu các Hypotheses

Trong mỗi trường hợp, chúng ta phát biểu hai hypotheses liên quan đến vấn đề đang được xem xét, gồm null hypothesis (còn gọi là null) và alternative hypothesis. Chúng ta gọi null hypothesis là H 0 và alternative hypothesis là Ha. Null hypothesis là một hypothesis về giá trị của một hoặc nhiều population parameter, còn alternative hypothesis là một khẳng định mâu thuẫn với null hypothesis. Null hypothesis luôn được phát biểu dưới dạng equality và alternative hypothesis được phát biểu dưới dạng inequality. Trên thực tế, null hypothesis là điều chúng ta muốn bác bỏ và chúng ta chỉ bác bỏ nó để ủng hộ alternative hypothesis nếu evidence thực sự mạnh.

Thứ hai, null và alternative hypotheses được phát biểu theo population parameter và chúng ta sử dụng sample statistic để kiểm định các hypotheses.

Điều quan trọng cần lưu ý là null và alternative hypotheses được phát biểu theo cách mà hai hypotheses này khi kết hợp lại sẽ bao quát tất cả các khả năng liên quan đến tình trạng thực tế của population parameter đang được kiểm định. Nói cách khác, mọi giá trị có thể đều nằm trong một trong hai hypotheses.

Xác định Test Statistic và Distribution Phù hợp

Test statistic là một giá trị được suy ra từ dữ liệu thu được từ một sample.

Trọng tâm của quyết định thống kê của chúng ta sẽ là giá trị của test statistic. Test statistic được sử dụng phụ thuộc vào hypothesis đang được kiểm định.

Sau khi xác định đúng test statistic, điều tiếp theo cần xem xét là distribution của test statistic. Các test statistics và distributions của chúng được trình bày trong Exhibit 2.

Exhibit 2: Test Statistics và Distributions của Chúng

Lưu ý: μ0, μd0 và σ02 lần lượt biểu thị các giá trị giả định của mean, difference in means và variance. x , d , _s_2 , s và r lần lượt biểu thị sample mean, difference in means, variance, standard deviation và correlation, với các subscript biểu thị sample khi phù hợp. n biểu thị sample size, với các subscript khi phù hợp. Oij và Eij lần lượt biểu thị observed và expected frequencies, trong đó r biểu thị số rows và c biểu thị số columns của contingency table.

Xác định Level of Significance

Significance level biểu thị lượng sample evidence cần thiết để bác bỏ null hypothesis. Standard of proof có thể khác nhau tùy theo loại hypotheses được kiểm định và hậu quả của việc mắc sai sót.

Khi kiểm định một null hypothesis, có thể có bốn tình huống khác nhau như được trình bày trong Exhibit 3. Type I error là việc bác bỏ null hypothesis khi nó đúng. Ngược lại, Type II error là việc không bác bỏ null hypothesis khi trên thực tế nó sai.

Exhibit 3: Các Quyết định Đúng và Sai trong Hypothesis Testing

Khi quyết định thực hiện một hypothesis test, chúng ta đối mặt với khả năng mắc Type I hoặc Type II error. Như được minh họa trong Exhibit 3 bên dưới, hai loại error này loại trừ lẫn nhau; nếu chúng ta mắc Type I error, chúng ta đã bác bỏ sai null đúng, và nếu mắc Type II error, chúng ta đã không bác bỏ sai null sai.

Xác suất của Type I error được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp viết thường alpha, α. Xác suất của Type I error được gọi là level of significance của test, trong khi phần bù của xác suất này (1 − α) được gọi là confidence level. Vì vậy, chẳng hạn, nếu level of significance của một test là 5%, điều đó có nghĩa là có 5% xác suất bác bỏ null đúng và hàm ý rằng test được thực hiện với confidence level 95%.

Việc kiểm soát xác suất của hai loại error đòi hỏi một trade-off. Nói cách khác, khi các yếu tố khác không đổi, nếu chúng ta giảm xác suất Type I error bằng cách hạ significance level, ví dụ từ 5% xuống 1%, thì chúng ta sẽ tăng xác suất Type II error vì chúng ta sẽ bác bỏ null hypothesis ít thường xuyên hơn ngay cả khi nó sai. Type I và Type II errors thể hiện các risk của việc mắc sai sót. Việc có nên chấp nhận risk mắc một loại error nhiều hơn loại kia hay không phụ thuộc vào hậu quả (costs) của các errors. Trade-off trong trường hợp này là cost của việc chấp nhận một loại risk so với loại risk khác. Cách duy nhất để giảm xác suất mắc đồng thời cả hai loại error là tăng sample size, n.

Trong khi significance level của một test biểu thị xác suất bác bỏ sai null đúng, power of a test là xác suất bác bỏ đúng null. Do đó, power of a test là xác suất bác bỏ null khi nó sai. Cần lưu ý rằng power of a test là phần bù của Type II error. Xác suất của Type II error thường được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp viết thường beta, β. Chúng ta có thể phân loại các xác suất liên quan như sau:

Exhibit 4: Các Xác suất Liên quan đến Quyết định Hypothesis Testing

Nêu Quy tắc Ra quyết định

Bước thứ tư trong hypothesis testing là thiết lập quy tắc ra quyết định: Khi nào chúng ta bác bỏ null hypothesis và khi nào thì không? Hành động trong trường hợp này bao gồm việc so sánh giá trị của sample test statistic với một số giá trị xác định được gọi là critical values.

Critical value hoặc các critical values được lựa chọn phụ thuộc vào level of significance và probability distribution được sử dụng cho test statistic. Trong trường hợp giá trị của test statistic được tính toán tỏ ra extreme hơn critical value hoặc các critical values, null hypothesis sẽ bị bác bỏ, tức là kết quả có statistical significance. Ngược lại, khi giá trị của test statistic không đủ extreme, null hypothesis sẽ được giữ lại, và do đó không có đủ bằng chứng để bác bỏ null hypothesis. Cần nhớ rằng level of significance thấp nhất mà tại đó null hypothesis bị bác bỏ là p-value, đại diện cho diện tích trong probability distribution nằm vượt quá calculated test statistic.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. EN: Willco is an established manufacturer in a mature, cyclical industry. The net income for Willco during the current cycle amounts to USD30 million per year on average, with a standard deviation of USD10 million ( n = 6). Management believes that Willco's performance during the most recent cycle is due to the introduction of a new strategy, and as a consequence, the profit will be higher than USD24 million per year obtained in the previous cycles.

Willco là một nhà sản xuất đã được thành lập trong một ngành đã trưởng thành và có tính chu kỳ. Net income của Willco trong chu kỳ hiện tại trung bình là USD30 million mỗi năm, với standard deviation là USD10 million ( n = 6). Ban quản lý tin rằng kết quả hoạt động của Willco trong chu kỳ gần nhất là do việc áp dụng một chiến lược mới và do đó, profit sẽ cao hơn mức USD24 million mỗi năm đạt được trong các chu kỳ trước.

• A. EN: Using μ as the population value of mean annual net income, state the null and alternative hypotheses that would correspond to testing Willco management's claim.

Sử dụng μ làm population value của mean annual net income, hãy nêu null hypothesis và alternative hypothesis tương ứng với việc kiểm định tuyên bố của ban quản lý Willco.

• B. EN: Assuming normality of Willco's annual net income at least approximately, find the test statistic and the degrees of freedom.

Giả sử annual net income của Willco có normality ít nhất là xấp xỉ, hãy tìm test statistic và degrees of freedom.

• C. EN: At a critical value of 2.015, do you reject the null hypothesis?

Với critical value là 2.015, bạn có bác bỏ null hypothesis không?

Lời giải:

• A. EN: In most cases, the “assumed” or “expected” condition becomes our alternative hypothesis. In this case, it is that the population value of Willco’s average annual net income is more than USD24 million. Therefore, our hypotheses will be H 0: μ ≤ 24 vs. Ha : μ > 24.

Trong hầu hết các trường hợp, điều kiện được “giả định” hoặc “kỳ vọng” trở thành alternative hypothesis của chúng ta. Trong trường hợp này, đó là population value của average annual net income của Willco lớn hơn USD24 million. Do đó, các hypotheses của chúng ta sẽ là H 0: μ ≤ 24 vs. Ha : μ > 24.

• B. EN: As our net income is normally distributed and we have an unknown population variance, we will use a t-statistic test, which has n − 1 = 6 − 1 = 5 degrees of freedom.

Vì net income của chúng ta có normal distribution và population variance chưa biết, chúng ta sẽ sử dụng t-statistic test, có n − 1 = 6 − 1 = 5 degrees of freedom.

• C. EN: We reject the null hypothesis when our computed t-test statistic is larger than 2.015. The computed t-statistic is

Chúng ta bác bỏ null hypothesis khi computed t-test statistic lớn hơn 2.015. Computed t-statistic là

• _

• t =30 − 24 = 1.4697 .10 ⧸√_6

• D. EN: Since our computed t-test statistic is not larger than 2.015, we do not reject the null hypothesis. This means there is not enough evidence that our mean net income is more than USD24 million.

Vì computed t-test statistic của chúng ta không lớn hơn 2.015, chúng ta không bác bỏ null hypothesis. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng cho thấy mean net income của chúng ta lớn hơn USD24 million.

2. EN: All other things being equal, is specifying a lower significance level in a hypothesis test likely to raise the likelihood of a:

Nếu các yếu tố khác không đổi, việc chỉ định một level of significance thấp hơn trong hypothesis test có khả năng làm tăng khả năng xảy ra của:

EN: B is the answer. When we reduce the level of significance, it reduces the chances of having a type 1 error but increases the chance of making a type 2 error. With the reduction in the level of significance, we have a reduced chance of rejecting the null hypothesis.

Lời giải:

B là đáp án. Khi chúng ta giảm level of significance, điều đó làm giảm khả năng xảy ra Type I error nhưng làm tăng khả năng mắc Type II error. Khi level of significance giảm, khả năng bác bỏ null hypothesis của chúng ta cũng giảm.

3. EN: In each of the following hypothesis tests about the population mean, μ, indicate the conclusion to be made on the test of hypotheses.

Trong mỗi hypothesis test sau đây về population mean, μ, hãy nêu kết luận cần đưa ra cho việc kiểm định hypotheses.

• A. EN: H 0: μ = 10 versus Ha : μ ≠ 10, with a calculated t -statistic of 2.05 and critical t -values of ±1.984.

H 0: μ = 10 versus Ha : μ ≠ 10, với calculated t -statistic là 2.05 và critical t -values là ±1.984.

• B. EN: H 0: μ ≤ 10 versus Ha : μ > 10, with a calculated t -statistic of 2.35 and a critical t -value of +1.679.

H 0: μ ≤ 10 versus Ha : μ > 10, với calculated t -statistic là 2.35 và critical t -value là +1.679.

• C. EN: H 0: μ = 10 versus Ha : μ ≠ 10, with a calculated t -statistic of 2.05, a p -value of 4.6352%, and a level of significance of 5%.

H 0: μ = 10 versus Ha : μ ≠ 10, với calculated t -statistic là 2.05, p -value là 4.6352% và level of significance là 5%.

• D. EN: H 0: μ ≤ 10 versus Ha : μ > 10, at a level of significance of 2% and a test statistic with a p -value of 3%.

H 0: μ ≤ 10 versus Ha : μ > 10, tại level of significance là 2% và test statistic có p -value là 3%.

EN: The decision can be made through the comparison of the test statistic with the critical values or the p -value for the test statistic and the level of significance.

Lời giải:

Quyết định có thể được đưa ra bằng cách so sánh test statistic với critical values hoặc so sánh p -value của test statistic với level of significance.

• A. EN: The null hypothesis is rejected since the calculated test statistic value of 2.05 falls outside the critical values of ±1.984.

Null hypothesis bị bác bỏ vì calculated test statistic có giá trị 2.05 nằm ngoài critical values là ±1.984.

• B. EN: Reject the null hypothesis since the test statistic, 2.35, lies outside the range of the critical value of +1.679.

Bác bỏ null hypothesis vì test statistic, 2.35, nằm ngoài phạm vi của critical value là +1.679.

• C. EN: Since the p-value of 4.6352% corresponding to the test statistic is smaller than the level of significance (5%), the null hypothesis is rejected.

Vì p-value 4.6352% tương ứng với test statistic nhỏ hơn level of significance (5%), null hypothesis bị bác bỏ.

• D. EN: Since the p-value of 3%, corresponding to the test statistic, is larger than the level of significance (2%), the null hypothesis is not rejected.

Vì p-value 3%, tương ứng với test statistic, lớn hơn level of significance (2%), null hypothesis không bị bác bỏ.

xây dựng các hypothesis tests và xác định statistical significance, Type I và Type II errors, và power of the test với một level of significance cho trước

Các hypothesis tests phổ biến nhất trong finance là những tests liên quan đến return và risk. Sample distribution của mean có t-distribution nếu population standard deviation không được biết và có normal distribution, hoặc có z-distribution nếu population standard deviation được biết. Vì population standard deviation gần như không bao giờ được biết, phần thảo luận sẽ tập trung vào t-distributed test statistic.

Bây giờ, giả sử chúng ta phân tích Sendar Equity Fund. Trong 24 tháng qua, mutual fund này tạo ra average monthly return là 1.50%, với sample standard deviation của monthly returns là 3.60%. Theo mức độ market risk và pricing model của mình, mutual fund này được kỳ vọng sẽ tạo ra average monthly return là 1.10%.

Các returns thu được có nhất quán với population mean monthly return là 1.10% không?

Hãy nêu và kiểm định hypothesis rằng performance của fund đã lệch đáng kể so với mean return 1.10% được ngụ ý bởi pricing model. Level of significance bằng 5%.

Exhibit 5: Test of a Single Mean

Kiểm định hypothesis bằng confidence interval 95%. Confidence interval 95% là X_ ± Critical value (_ √s_ n ), do đó {1.5 − 2.069 (3.6 ⧸√_ 24) , 1.5 + 2.069 (3.6⧸ √_ 24)} {1.5 − 1.5204, 1.5 + 1.5204} {− 0.0204, 3.0204} Giá trị giả định 1.1% nằm trong các giới hạn của confidence interval 95%, do đó chúng ta không bác bỏ null hypothesis.

Giả sử chúng ta cần kiểm định null hypothesis liên quan đến sample variance của một fund và xem liệu variance của population mà sample này được lấy từ có thấp hơn một trigger value nào đó, chẳng hạn 4%, hay không. Để kiểm định population variance, chúng ta cần xác định giá trị của hypothesized variance. Chúng ta có thể kiểm định hypotheses về sự bằng nhau và không bằng nhau giữa population variance và hypothesized value:

One-sided alternative (left tail): H 0 : _σ_2 ≥ σ 02 versus Ha : _σ_2 < σ 02 .

Cần lưu ý rằng variance của fund thấp hơn trigger value σ 02 = 4% nếu null hypothesis bị bác bỏ để ủng hộ alternative hypothesis. Để kiểm định hypotheses về population variance của một population duy nhất có normal distribution, chúng ta có thể sử dụng chi-square test statistic, được ký hiệu là _χ_2.

Tiếp theo, bạn xem xét Sendar Equity Fund, một midcap growth fund mới tồn tại được 24 tháng. Trong trường hợp này, Sendar Equity ghi nhận average return là 1.50% mỗi tháng và standard deviation của monthly returns là 3.60%. Hãy kiểm định xem standard deviation của returns có nhỏ hơn 4% tại level of significance 5% hay không. Hãy nhớ rằng standard deviation là căn bậc hai của variance và do đó standard deviation 4%, hay 0.04, tương ứng với variance là 0.0016.

Exhibit 6: Test of Single Variance

Thông thường, người ta muốn biết liệu mean value - trong trường hợp của chúng ta là mean return - có khác nhau giữa hai populations riêng biệt hay không. Sự khác biệt quan sát được trong mean return là do những dao động ngẫu nhiên đơn thuần, hay các populations thực sự khác nhau về mean values? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta lấy samples từ mỗi population và thực hiện test of the difference of means. Chúng ta thực hiện test này nếu có thể hợp lý giả định rằng các samples được lấy từ các populations có normal distribution và các samples độc lập với nhau. Chúng ta có thể giả định variances của các populations bằng nhau hoặc không bằng nhau. Trong phần thảo luận về test of the difference of means, chúng ta sẽ xem xét trường hợp population variances bằng nhau. Khi tính test statistic, chúng ta kết hợp dữ liệu từ hai samples để có được pooled variance của các populations.

Gọi μ1 và μ2 lần lượt là population means của population thứ nhất và thứ hai. Mối quan tâm phổ biến nhất khi kiểm định means là liệu population means có bằng nhau hay một mean lớn hơn mean còn lại. Do đó, chúng ta xác định các hypotheses:

H 0: μ1 − μ2 = 0 versus Ha : μ1 − μ2 ≠ 0.

VÍ DỤ 1

So sánh Returns của ACE High Yield Index trong Hai Giai đoạn

Giả sử chúng ta muốn kiểm định xem returns của ACE High Yield Total Return Index trong exhibit 7 có khác nhau giữa hai giai đoạn riêng biệt, Period 1 và Period 2, hay không.

• Exhibit 7: Descriptive Statistics of Returns for ACE High Yield Total Return Index for Periods 1 and 2*

Điều quan trọng cần lưu ý là các time periods được sử dụng ở trên có độ dài khác nhau và các samples độc lập với nhau, tức là không có sự ghép cặp các ngày giữa hai periods.

1. Có sự khác biệt nào giữa mean daily returns trong Period 1 và Period 2 tại level of significance 5% không?

Lời giải:

Bước 1 Nêu các hypotheses. H 0: μ Period 1 = μ Period 2 versus Ha: μ Period 1 ≠ μ Period 2 Bước 2 Xác định test statistic phù hợp. t = ______________( X Period 1 − X √ nPeriodperiodsp_2 21 ) − (+ nμperiodPeriodsp_2 2 1 − μPeriod 2 ) , _________________________________( nperiod 1 − 1 ) sPeriod 2 1 + ( nperiod 2 − 1 ) sPeriod 2 2 _sp_2 = where nperiod 1 + nperiod 2 − 2 với 445 + 859 − 2 = 1,302 degrees of freedom. Bước 3 Xác định level of significance. α = 5% Bước 4 Nêu quy tắc ra quyết định. Critical t -values = ±1.962 Bác bỏ null hypothesis nếu calculated t -statistic nhỏ hơn −1.962, và bác bỏ null hypothesis nếu calculated t -statistic lớn hơn +1.962. Excel Lower: T.INV(0.025,1302) Upper: T.INV(0.975,1302) R qt(c(.025,.975),1302) Python from scipy.stats import t Lower: t.ppf(.025,1302) Upper: t.ppf(.975,1302)

Kiểm định về sự khác biệt giữa các trung bình với các mẫu phụ thuộc

Khi so sánh hai mẫu độc lập, chúng ta sử dụng test statistic có phân phối t, có xét đến sự khác biệt giữa các trung bình và pooled variance. Một trong các giả định để các kiểm định có hiệu lực là các mẫu phải độc lập, nghĩa là không có mối liên hệ với nhau. Trong trường hợp muốn thực hiện kiểm định trên hai trung bình mà chúng ta chắc chắn rằng các mẫu là phụ thuộc, chúng ta sử dụng test of the mean of the differences (paired comparisons test).

Kiểm định về các chênh lệch theo cặp này khác với kiểm định về sự khác biệt giữa các trung bình đối với các mẫu độc lập như thế nào? paired comparisons test hiệu quả hơn kiểm định về sự khác biệt giữa các trung bình, bởi vì khi sử dụng yếu tố chung (chẳng hạn cùng một kỳ hoặc cùng các công ty), chúng ta làm giảm sự biến động giữa các mẫu do yếu tố không được kiểm định gây ra.

VÍ DỤ 2

So sánh Returns của Hai Indexes

Giả sử chúng ta muốn so sánh returns của ACE High Yield Index với ACE BBB Index. Để làm điều đó, chúng ta sử dụng dữ liệu mẫu được thu thập trong cùng 1,304 ngày đối với cả hai indexes và xác định các trung bình và standard deviations như minh họa trong Exhibit 8.

• Exhibit 8: Trung bình và Standard Deviations của ACE High Yield Index và ACE BBB Index*

1. Dựa trên mức ý nghĩa 5%, trung bình của các chênh lệch có khác 0 hay không?

Lời giải:

• Bước 1* Phát biểu các giả thuyết. H 0: μd0 = 0 versus Ha: μd0 ≠ 0 Bước 2 Xác định test statistic phù hợp. t = d _ − sd μd_ 0 Bước 3 Xác định mức ý nghĩa. 5%

Kiểm định về sự bằng nhau của Hai Variances

Đôi khi chúng ta cần so sánh mức độ biến động của hai mẫu khác nhau, trong đó chúng ta kiểm định sự bằng nhau của variances giữa hai mẫu. Điều này có thể là so sánh giữa một basket of securities và một index/benchmark hoặc so sánh volatility trong hai giai đoạn khác nhau.

VÍ DỤ 3

Volatility và Regulation

Bạn đang cố gắng xác định liệu variance của returns của stock market index có bị thay đổi bởi sự thay đổi trong regulatory environment hay không. Nói cách khác, bạn đang kiểm định liệu variances của returns có bằng nhau trước và sau khi regulations thay đổi hay không. 418 tuần returns đầu tiên là trước khi thay đổi, trong khi 418 tuần returns tiếp theo là sau khi thay đổi. Exhibit 9 trình bày dữ liệu cho 418 tuần returns trước và sau khi regulatory environment thay đổi.

Exhibit 9: Index Returns và Variances trước và sau khi Market Regulation thay đổi

1. Có sự khác biệt trong variance của returns trước khi regulation thay đổi và sau khi regulation thay đổi hay không?

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Financial analysts thường sử dụng các mô hình dự báo earnings per share (EPS). Một cách tốt để kiểm định forecast accuracy là thực hiện zero mean test, theo đó mean forecast errors phải bằng 0. Forecast errors có thể được tính bằng cách lấy forecast value trừ actual value của biến.

Trong trường hợp này, bạn đã thu thập dữ liệu sau đây (xem Exhibit 10) cho hai analyst phụ trách hai ngành khác nhau: Analyst A phụ trách ngành telecom trong khi Analyst B phụ trách automotive parts and suppliers.

Exhibit 10: Test of Return and Risk

Critical t -values:

EN: With μ representing the population mean forecast errors, develop your hypothesis statements on a zero mean test of forecast quality.

EN: A. For Analyst A, is the null hypothesis rejected at 0.05 level of significance?

Với μ đại diện cho population mean forecast errors, hãy xây dựng các giả thuyết của bạn cho zero mean test về forecast quality.

EN: B. Determine whether to reject the null hypothesis at the 0.05 level of significance for Analyst B.

• A. Đối với Analyst A, null hypothesis có bị bác bỏ ở mức ý nghĩa 0.05 hay không?

EN: Solution:

• B. Xác định liệu có bác bỏ null hypothesis ở mức ý nghĩa 0.05 đối với Analyst B hay không.

EN: H 0: μ = 0 versus Ha: μ ≠ 0.

Lời giải:

EN: X_ − μ 0 A. The t-test is done using t =_ s / √_ n, where n – 1 = 10 – 1 = 9 degrees of freedom. At the 0.05 level of significance, the null hypothesis is rejected when the calculated value is greater than 2.262 and less than – 2.262 (obtained from the table of 9 degrees of freedom). The calculated value for Analyst A is

H 0: μ = 0 versus Ha: μ ≠ 0.

EN: t_ =0.05 − 0 = 1.58114 .0.10 ⧸√_ 10

X_ − μ 0 A. t-test được thực hiện bằng cách sử dụng t =_ s / √_ n, trong đó n – 1 = 10 – 1 = 9 degrees of freedom. Ở mức ý nghĩa 0.05, null hypothesis bị bác bỏ khi giá trị tính được lớn hơn 2.262 hoặc nhỏ hơn –2.262 (lấy từ bảng với 9 degrees of freedom). Giá trị tính được cho Analyst A là

EN: Hence, we fail to reject the null hypothesis at the 0.05 level of significance.

t_ =0.05 − 0 = 1.58114 .0.10 ⧸√_ 10

EN: B. The t-test is done using t with 15 − 1 = 14 degrees of freedom. At the 0.05 level of significance, the null hypothesis is rejected when the calculated value is greater than 2.145 and less than – 2.145 (from the table of 14 degrees of freedom). The calculated value for Analyst B is

Do đó, chúng ta không bác bỏ null hypothesis ở mức ý nghĩa 0.05.

EN: - _

• B. t-test được thực hiện bằng cách sử dụng t với 15 − 1 = 14 degrees of freedom. Ở mức ý nghĩa 0.05, null hypothesis bị bác bỏ khi giá trị tính được lớn hơn 2.145 hoặc nhỏ hơn –2.145 (từ bảng với 14 degrees of freedom). Giá trị tính được cho Analyst B là

EN: - t =0.02 − 0 = 0.86066 .0.09 ⧸√_ 15

• _

EN: Since 0.86066 falls within the range of ±2.145, we do not reject the null hypothesis at the 0.05 level.

• t =0.02 − 0 = 0.86066 .0.09 ⧸√_ 15

EN: Considering the EPS forecasting performance data of Analysts A and B, you want to determine whether the bigger average forecast errors of Analyst A compared to those of Analyst B occur due to luck or because Analyst A has a bigger mean forecast error. Assuming that the forecast errors of both analysts have a normal distribution and the samples are independent of each other:

Vì 0.86066 nằm trong khoảng ±2.145, chúng ta không bác bỏ null hypothesis ở mức 0.05.

EN: A. Define the null and alternative hypotheses which are relevant for finding out whether the mean value of the population of forecast errors of Analyst A (μ1) is greater than that of Analyst B (μ2).

Xét dữ liệu về EPS forecasting performance của Analysts A và B, bạn muốn xác định liệu average forecast errors lớn hơn của Analyst A so với Analyst B xảy ra do may mắn hay vì Analyst A có mean forecast error lớn hơn. Giả sử forecast errors của cả hai analyst có normal distribution và các mẫu độc lập với nhau:

EN: B. Find the test statistic needed to conduct the test of the null hypothesis stated in Part A.

• A. Xác định null hypothesis và alternative hypothesis phù hợp để tìm hiểu liệu mean value của population of forecast errors của Analyst A (μ1) có lớn hơn của Analyst B (μ2) hay không.

EN: C. Determine the rejection point(s) for the hypotheses in Part A using the 0.05 level of significance.

• B. Tìm test statistic cần thiết để thực hiện kiểm định null hypothesis được nêu ở Phần A.

EN: D. Decide whether the null hypothesis should be rejected or not at the 0.05 level of significance.

• C. Xác định rejection point(s) cho các giả thuyết ở Phần A bằng mức ý nghĩa 0.05.

EN: Solution:

• D. Quyết định liệu null hypothesis có nên bị bác bỏ hay không ở mức ý nghĩa 0.05.

EN: A. The proposed alternative hypothesis that represents the expected condition is:

Lời giải:

EN: H 0: μ A − μ B ≤ 0 versus Ha : μ A − μ B > 0,

• A. Alternative hypothesis được đề xuất, đại diện cho điều kiện kỳ vọng, là:

EN: where

H 0: μ A − μ B ≤ 0 versus Ha : μ A − μ B > 0,

EN: μ A = the population mean value of Analyst A’s forecast errors μ B = the population mean value of Analyst B’s forecast errors

trong đó

μ A = population mean value của forecast errors của Analyst A μ B = population mean value của forecast errors của Analyst B

Tests of Return and Risk in Finance

EN: B. We know that we have two normally distributed populations, where the population variances are unknown. From the sample data provided, we can reasonably assume that population variances are equal. We will also assume that samples are independent; this assumption seems valid because analysts operate in different industry segments. We use t with pooled estimate of the variance for the test statistic:

• B. Chúng ta biết rằng có hai populations có normal distribution, trong đó population variances chưa biết. Từ dữ liệu mẫu được cung cấp, chúng ta có thể hợp lý giả định rằng population variances bằng nhau. Chúng ta cũng giả định rằng các mẫu độc lập; giả định này có vẻ hợp lý vì các analyst hoạt động trong những industry segments khác nhau. Chúng ta sử dụng t với pooled estimate của variance cho test statistic:

EN: Then, we calculate the t -distributed test statistic:

Sau đó, chúng ta tính t -distributed test statistic:

EN: Since 0.78142 < 1.714, we cannot reject the null hypothesis. This means that there is no sufficient evidence to suggest that the mean value of the first analyst is greater than the mean value of the second analyst.

Vì 0.78142 < 1.714, chúng ta không thể bác bỏ null hypothesis. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng để cho thấy mean value của analyst thứ nhất lớn hơn mean value của analyst thứ hai.

Dữ liệu của investment consultant là hai independent random samples từ five-year performance data của US và European absolute return hedge funds. Vì manager của US funds có return advantage là 50 bps, investment consultant dự định kiểm định liệu các trung bình có khác biệt đáng kể ở mức ý nghĩa 0.05 hay không. Giả sử cả hai populations có normal distribution với variances chưa biết nhưng bằng nhau, kết quả của hypothesis test được tóm tắt trong Exhibit 11.

Exhibit 11: Hypothesis Test Results

EN: The consultant should conclude that the:

Note: Ở đây, mean return của US funds là μUS và μE là mean return của European funds.

EN: A. null hypothesis is not rejected.

3. Consultant nên kết luận rằng:

EN: B. alternative hypothesis is statistically confirmed.

• A. null hypothesis không bị bác bỏ.

• B. alternative hypothesis được xác nhận về mặt thống kê.

EN: C. difference in mean returns is statistically different from zero.

EN: Solution:

• C. difference in mean returns khác 0 một cách có ý nghĩa thống kê.

EN: A is correct. The computed t -statistic value of 0.4893 lies between the critical values of t of ±1.984. Therefore, the null hypothesis cannot be rejected since the difference between means is statistically insignificant at the 0.05 level.

• Lời giải:

EN: Over the last ten years, the standard deviation of annual returns of your portfolio was 15 percent per annum. To know whether such a performance would be enough evidence to claim that the variance of returns of the underlying portfolio is lower than 400, the return variance of the benchmark portfolio.

A là đáp án đúng. Giá trị t -statistic được tính là 0.4893 nằm giữa các critical values của t là ±1.984. Do đó, null hypothesis không thể bị bác bỏ vì sự khác biệt giữa các trung bình không có ý nghĩa thống kê ở mức 0.05.

EN: A. Formulate null and alternative hypotheses consistent with your objective.

4. Trong mười năm qua, standard deviation của annual returns của portfolio của bạn là 15% mỗi năm. Để biết liệu kết quả như vậy có đủ bằng chứng để khẳng định rằng variance of returns của underlying portfolio thấp hơn 400, tức return variance của benchmark portfolio, hay không.

EN: B. State the test statistic and degrees of freedom.

• A. Xây dựng null hypothesis và alternative hypothesis phù hợp với mục tiêu của bạn.

EN: C. Decide if the null hypothesis is rejected or accepted based on a 0.05 significance level where the critical value is 3.325.

• B. Nêu test statistic và degrees of freedom.

EN: Solution:

• C. Quyết định liệu null hypothesis bị bác bỏ hay được chấp nhận dựa trên mức ý nghĩa 0.05, trong đó critical value là 3.325.

EN: A. In our case, we have an “alternative less than” form of the null hypothesis, with σ2 being the variance of return on the portfolio. The hypotheses are H 0: σ2 ≥ 400 versus Ha: σ2 < 400, with 400 being the value under which variance is hypothesized.

• Lời giải:

EN: B. Test statistic follows Chi-square distribution with 10 – 1 = 9 degrees of freedom.

• A. Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta có dạng “alternative less than” của null hypothesis, với σ2 là variance of return của portfolio. Các giả thuyết là H 0: σ2 ≥ 400 versus Ha: σ2 < 400, trong đó 400 là giá trị mà dưới mức đó variance được giả thuyết.

EN: C. The test statistic is calculated as

• B. Test statistic tuân theo Chi-square distribution với 10 – 1 = 9 degrees of freedom.

  • C. Test statistic được tính như sau

EN: Since the calculated test statistic of 5.06 is greater than the critical value of 3.325, we therefore reject the null hypothesis; this is because the test statistic lies on the right side of the critical value. The critical value in this test can be obtained by using the following software:

Vì test statistic được tính là 5.06 lớn hơn critical value là 3.325, do đó chúng ta bác bỏ null hypothesis; điều này là vì test statistic nằm ở phía bên phải của critical value. Critical value trong kiểm định này có thể được xác định bằng cách sử dụng phần mềm sau:

Excel [CHISQ.INV(0.05,9)]

[qchisq(.05,9)]

Python

Chúng ta có thể tìm p-value của test statistic là 17.0953 bằng cách sử dụng đoạn code sau trong bất kỳ statistical software nào:

Excel [CHISQ.DIST(5.06,9,TRUE)]

[pchisq(5.06,9,lower.tail=TRUE)]

Python

from scipy.stats import chi2 and chi2. cdf(5.06,9)

5. Bạn đang nghiên cứu xem liệu có sự thay đổi nào trong variance của return của một index sau một market disruption hay không. Bạn thu thập dữ liệu dưới đây cho 120 tháng trước và sau market disruption. level of significance của bạn là 0.05.

Exhibit 12: Dữ liệu cho 120 tháng Returns

• A. Xác định null hypothesis và alternative hypothesis phù hợp cho vấn đề của bạn.

• B. Bạn sẽ sử dụng test statistic nào để thực hiện kiểm định ở Phần A, và hãy xác định degrees of freedom.

• C. Bạn có bác bỏ null hypothesis tại level of significance 0.05 nếu critical values là 0.6969 và 1.4349 không?

• Solution: A. Ở đây, chúng ta có alternative hypothesis là “not equal to”: 2 2 2 2 .

• H 0 : σBefore = σAfter versus Ha : σBefore ≠ σAfter B. Để kiểm định null hypothesis về sự bằng nhau của hai variances, chúng ta sử dụng F-test: s_ 12

• F = s 22 .

• F = 22.367/15.795 = 1.416, với 120 − 1 = 119 numerator và 120 − 1 = 119 denominator degrees of freedom.

• C. Vì hypothesis là two-tailed, cần sử dụng critical values tại mức 0.05/2 = 0.025. test statistic nằm trong khoảng giữa các critical values (0.6969 < 1.2246 < 1.4349), vì vậy null hypothesis nên được giữ lại; không có sufficient evidence để cho thấy có bất kỳ sự khác biệt nào về variance trước và sau disruption. Tất nhiên, có thể xây dựng F-statistic là 15.796/22.367 = 0.706 và đưa ra quyết định tương tự.

Có thể tính critical values bằng software:

Excel [F.INV(0.025,119,119) and F.INV(0.975,119,119)] [qf(c(.025,.975),119,119)] Python from scipy.stats import f and f.ppf [(.025,119,119) and f.ppf(.975,119,119)]

Hơn nữa, p-value của test statistic (5.896%) có thể được tính bằng software và so sánh với level of significance:

Excel

[(1-F.DIST(22.367/15.796,119,119,TRUE))*2 or F.DIST(15.796/22.367,119,119,TRUE)*2] R

[(1-pf(22.367/15.796,119,119))*2 or pf(15.796/22.367,119,119)*2]

Python

from scipy.stats import f and f.cdf [(15.796/22.367,119,119)*2 or (1-f.cdf(22.367/15.796,119,119))*2]

4 PARAMETRIC VERSUS NONPARAMETRIC TESTS

so sánh và đối chiếu parametric tests và nonparametric tests, đồng thời mô tả các tình huống mà mỗi loại kiểm định là loại kiểm định phù hợp hơn

Các procedures của hypothesis testing được giới thiệu ở trên có hai đặc điểm chung. Thứ nhất, chúng liên quan đến parameters và thứ hai, chúng giả định trước một số conditions nhất định. mean và variance là các parameters hoặc các đại lượng xác định của normal distribution. Các test procedures đưa ra một số assumptions; đặc biệt là về distribution của population đã tạo ra sample. Các tests và procedures có một trong hai đặc tính này được gọi là parametric tests.

Đôi khi, chúng ta xử lý các non-parameters của distributions, và đôi khi chúng ta cho rằng các assumptions của parametric tests không được áp dụng. Trong những trường hợp liên quan đến các non-parameters của population hoặc khi các assumptions về parameters không được thỏa mãn, có thể sử dụng nonparametric test hoặc procedure.

Một nonparametric test là một test không liên quan đến parameter hoặc là một test đưa ra các assumptions tối thiểu về population. Một số ví dụ về các nonparametric alternatives cho các t-distributed tests mang tính parametric liên quan đến means được trình bày trong Exhibit 13.

Exhibit 13: Các Nonparametric Alternatives cho Parametric Tests liên quan đến Means

Các trường hợp sử dụng Nonparametric Tests

Nonparametric procedures chủ yếu được áp dụng trong bốn trường hợp: (1) khi dữ liệu không thỏa mãn distributional assumptions, (2) khi có outliers, (3) khi dữ liệu được trình bày dưới dạng ranks hoặc được đo lường bằng ordinal scale, hoặc (4) khi các hypotheses được kiểm định không liên quan đến parameter.

Trường hợp đầu tiên xảy ra khi dữ liệu hiện có không thỏa mãn distributional assumptions của parametric test. Ví dụ, chúng ta muốn thực hiện một test của hypothesis liên quan đến mean của population nhưng nhận thấy rằng cả t-distributed tests lẫn z-distributed tests đều không thể được sử dụng vì sample nhỏ và được tạo ra từ một population có distribution lệch đáng kể so với normal distribution. Khi đó, chúng ta có thể sử dụng nonparametric test. nonparametric test thường bao gồm việc chuyển đổi các observations hoặc một số function của chúng thành ranks theo độ lớn. Đôi khi, procedure này chỉ bao gồm việc xử lý các quan hệ "greater than" và "less than" bằng cách sử dụng các dấu + và - để biểu thị các quan hệ đó. Một đặc điểm điển hình là cần sử dụng các statistical tables đặc biệt để xác định các points of rejection của test statistic, ít nhất đối với các samples nhỏ.

Thứ hai, mặc dù distribution của population có thể là normal, có thể tồn tại các extreme values hoặc outliers ảnh hưởng đến parametric statistics nhưng không ảnh hưởng đến nonparametric statistics. Ví dụ, chúng ta có thể muốn thực hiện nonparametric test cho median, thay vì test cho mean, khi có sự hiện diện của outliers.

Thứ ba, chúng ta có thể có một sample mà các observations được xếp hạng. Trong những trường hợp như vậy, chúng ta cũng thực hiện nonparametric tests vì parametric tests thường yêu cầu measurement scale ở mức cao hơn so với rank data. Ví dụ, nếu dữ liệu liên quan đến rankings của investment managers, các nonparametric methods sẽ được áp dụng để kiểm định các hypotheses liên quan đến ranking của investment managers.

Tình huống thứ tư mà nonparametric methods được sử dụng xảy ra khi câu hỏi không liên quan đến bất kỳ parameter nào. Ví dụ, khi câu hỏi liên quan đến việc sample có phải là random hay không, nonparametric test phù hợp (“runs test”) được thực hiện. nonparametric runs test được thực hiện để xác định liệu các thay đổi của stock price có dự đoán được các thay đổi của stock price trong tương lai hay không - nói cách khác, đây là một test của random walk theory. Các câu hỏi khác mà nonparametric methods có thể giải quyết bao gồm việc xác định liệu một sample có được rút ra từ một population tuân theo một probability distribution nhất định hay không.

Nonparametric Inference: Tóm tắt

Nonparametric statistical procedure mở rộng phạm vi của inference nhờ đưa ra ít assumptions hơn, có thể áp dụng cho ranked data và xử lý các câu hỏi non-parametric. Thông thường, nonparametric tests đi kèm với parametric tests và do đó, người sử dụng có thể đánh giá sensitivity của statistical inference đối với các parametric assumptions. Tuy nhiên, khi các assumptions của parametric test được thỏa mãn, parametric test (bất cứ khi nào có thể) được ưu tiên hơn nonparametric test do phương pháp trước có power lớn hơn trong việc bác bỏ null hypothesis.

EN: 1. An analyst suspects that, in the most recent year, excess returns on stocks have fallen below 5%. She wishes to examine whether the excess returns are less than 5%. Using μ to denote the population mean, which hypotheses are most appropriate for her study?

Bài tập thực hành

EN: A. H 0: µ = 5% versus Ha: µ ≠ 5%

1. Một analyst nghi ngờ rằng, trong năm gần nhất, excess returns trên stocks đã giảm xuống dưới 5%. Cô ấy muốn xem xét liệu excess returns có thấp hơn 5% hay không. Sử dụng μ để biểu thị population mean, hypotheses nào là phù hợp nhất cho nghiên cứu của cô ấy?

EN: B. H 0: µ > 5% versus Ha: µ < 5%

• A. H 0: µ = 5% so với Ha: µ ≠ 5%

EN: C. H 0: µ < 5% versus Ha: µ > 5%

• B. H 0: µ > 5% so với Ha: µ < 5%

EN: 2. What statement is true about hypothesis testing?

• C. H 0: µ < 5% so với Ha: µ > 5%

EN: A. The null hypothesis is the situation the researcher wants to prove.

2. Phát biểu nào đúng về hypothesis testing?

EN: B. The alternative hypothesis is what is taken as true in absence of proof to the contrary.

• A. null hypothesis là tình huống mà researcher muốn chứng minh.

EN: C. The alternative hypothesis encompasses all other possible parameter values other than those covered by the null hypothesis.

• B. alternative hypothesis là điều được xem là đúng khi không có bằng chứng ngược lại.

EN: 3. What statement is true about the null hypothesis?

• C. alternative hypothesis bao gồm tất cả các giá trị parameter có thể có khác với các giá trị được bao hàm bởi null hypothesis.

EN: A. It may be written as “not equal to,” if the alternative hypothesis is written as “equal to.”

3. Phát biểu nào đúng về null hypothesis?

EN: B. Together with the alternative hypothesis, it takes into account all values of the population parameter.

• A. Nó có thể được viết là “not equal to”, nếu alternative hypothesis được viết là “equal to”.

EN: C. It gets rejected in a two-tailed test, if there is evidence that the hypothesized value and population parameter are equal.

• B. Cùng với alternative hypothesis, nó bao quát tất cả các giá trị của population parameter.

EN: 4. Choose the statement that is correct about a one-tailed hypothesis test.

• C. Nó bị bác bỏ trong two-tailed test nếu có bằng chứng cho thấy hypothesized value và population parameter bằng nhau.

EN: A. The rejection region becomes larger as the level of significance decreases.

4. Hãy chọn phát biểu đúng về one-tailed hypothesis test.

EN: B. One-tailed tests are closer to the thoughts of the researchers as compared to two-tailed tests.

• A. rejection region trở nên lớn hơn khi level of significance giảm.

EN: C. The value of the critical value in absolute terms is higher than in the case of a two-tailed test.

• B. one-tailed tests gần với suy nghĩ của researchers hơn so với two-tailed tests.

EN: 5. If a researcher opts for a level of significance of 5 percent for the hypothesis test, the confidence level would be:

• C. Giá trị của critical value xét theo absolute terms cao hơn so với trường hợp two-tailed test.

EN: A. 2.5 percent.

5. Nếu một researcher chọn level of significance là 5% cho hypothesis test, thì confidence level sẽ là:

EN: B. 5 percent.

• A. 2.5%.

EN: C. 95 percent.

• B. 5%.

EN: 6. Hypothesis testing of normally distributed data at a significance

• C. 95%.

6. Hypothesis testing của normally distributed data tại một mức significance

Bài tập thực hành

EN: level, implies a:

EN: A. 95 percent probability of rejecting a true null hypothesis.

mức, hàm ý một:

EN: B. 95 percent chance of making a Type I error.

• A. Xác suất 95% bác bỏ một null hypothesis đúng.

EN: C. 5 percent critical value rejection region in a one-tailed test.

• B. Xác suất 95% mắc Type I error.

EN: 7. The test statistic value is best defined as a basis for making a decision on whether to:

• C. rejection region của critical value 5% trong one-tailed test.

EN: A. reject the null hypothesis.

7. test statistic value được định nghĩa tốt nhất là cơ sở để đưa ra quyết định về việc có nên:

EN: B. accept the null hypothesis.

• A. bác bỏ null hypothesis.

EN: C. reject the alternative hypothesis.

• B. chấp nhận null hypothesis.

EN: 8. The best definition for a Type I error is:

• C. bác bỏ alternative hypothesis.

EN: A. Rejecting a true null hypothesis

8. Định nghĩa tốt nhất về Type I error là:

EN: B. Rejecting a false null hypothesis

• A. Bác bỏ một null hypothesis đúng.

EN: C. Failing to reject a false null hypothesis

• B. Bác bỏ một null hypothesis sai.

EN: 9. A Type II error is best described as:

• C. Không bác bỏ một null hypothesis sai.

EN: A. rejecting a true null hypothesis.

9. Type II error được mô tả tốt nhất là:

EN: B. failing to reject a false null hypothesis.

• A. bác bỏ một null hypothesis đúng.

EN: C. failing to reject a false alternative hypothesis.

• B. không bác bỏ một null hypothesis sai.

EN: 10. The level of significance in a hypothesis test is best utilized for:

• C. không bác bỏ một alternative hypothesis sai.

EN: A. calculate the test statistic.

10. level of significance trong một hypothesis test được sử dụng tốt nhất để:

EN: B. define the test’s rejection points.

• A. tính test statistic.

EN: C. specify the probability of a Type II error.

• B. xác định rejection points của test.

EN: 11. The probability of rejecting the null hypothesis is the:

• C. xác định probability của Type II error.

EN: A. p -value.

11. probability của việc bác bỏ null hypothesis là:

EN: B. power of a test.

• A. p-value.

EN: C. level of significance.

• B. power của một test.

EN: 12. The power of a hypothesis test is:

• C. level of significance.

EN: A. equivalent to the level of significance.

12. power của một hypothesis test là:

EN: B. the probability of not making a Type II error.

• A. tương đương với level of significance.

EN: C. unchanged by increasing a small sample size.

• B. probability của việc không mắc Type II error.

EN: 13. In the procedure “stating a decision rule” while conducting the test of hypotheses, what among the following should be mentioned?

• C. không thay đổi khi tăng small sample size.

EN: A. Critical value

13. Trong procedure “stating a decision rule” khi thực hiện test of hypotheses, nội dung nào sau đây nên được đề cập?

EN: B. Power of a test

• A. Critical value

• B. Power của một test

EN: C. Value of a test statistic

EN: 14. A pooled estimate is employed for testing a hypothesis about the:

• C. Giá trị của một test statistic

EN: A. equality of the variances of two normally distributed populations.

14. pooled estimate được sử dụng để kiểm định một hypothesis về:

EN: B. difference between the means of two normally distributed populations where the variances are unknown but equal.

• A. sự bằng nhau của variances của hai normally distributed populations.

EN: C. difference between the means of two at least normally distributed populations where the variances are unknown and unequal.

• B. sự khác biệt giữa means của hai normally distributed populations khi variances chưa biết nhưng bằng nhau.

EN: 15. For assessing the differences in means between two dependent samples, one should apply a:

• C. sự khác biệt giữa means của hai at least normally distributed populations khi variances chưa biết và không bằng nhau.

EN: A. z -test.

15. Để đánh giá sự khác biệt về means giữa hai dependent samples, nên áp dụng:

EN: B. chi-square test.

• A. z-test.

EN: C. paired comparisons test.

• B. chi-square test.

EN: 16. A chi-square test is most appropriate for tests concerning:

• C. paired comparisons test.

EN: A. a single variance.

16. chi-square test là phù hợp nhất cho các tests liên quan đến:

EN: B. Difference between the means of two populations assuming equality of variances.

• A. một variance đơn lẻ.

EN: C. Difference between the means of two populations assuming unequal variances.

• B. Sự khác biệt giữa means của hai populations với giả định equality of variances.

EN: 17. To test the variance of two normally distributed populations for the difference in the variances using random and independent samples, which of the following tests is most appropriate?

• C. Sự khác biệt giữa means của hai populations với giả định unequal variances.

EN: A. t -Test

17. Để kiểm định variance của hai normally distributed populations về sự khác biệt giữa các variances bằng cách sử dụng random và independent samples, test nào sau đây là phù hợp nhất?

EN: B. F -test

A. t-Test

EN: C. Paired comparisons test

• B. F-test

EN: 18. A nonparametric test is most appropriate when the:

• C. Paired comparisons test

EN: A. data consist of ranked values.

18. nonparametric test là phù hợp nhất khi:

EN: B. validity of the test depends on many assumptions.

• A. data bao gồm các ranked values.

EN: C. Large sample size taken from a population which may or may not be normally distributed.

• B. validity của test phụ thuộc vào nhiều assumptions.

EN: 19. In which of the following situations would the use of a nonparametric test of hypotheses be more likely?

• C. Large sample size được lấy từ một population có thể có hoặc không có normal distribution.

EN: A. Sample data ranked in terms of magnitude.

19. Trong tình huống nào sau đây, việc sử dụng nonparametric test of hypotheses có khả năng phù hợp hơn?

EN: B. Sample data from normally distributed population.

A. Sample data được xếp hạng theo độ lớn.

EN: C. There are numerous assumptions made with respect to the nature of the population that affect the validity of the test.

B. Sample data từ normally distributed population.

• C. Có nhiều assumptions được đưa ra liên quan đến bản chất của population ảnh hưởng đến validity của test.

Bài tập thực hành

EN: 20. An analyst is evaluating monthly returns on two funds over the course of one year. Returns on both funds have a non-normal distribution. In order to test whether the mean return on one fund is larger than the mean return on another fund, the analyst should consider:

EN: A. a parametric test only.

20. Một analyst đang đánh giá monthly returns của hai funds trong thời gian một năm. Returns của cả hai funds có non-normal distribution. Để kiểm định liệu mean return của một fund có lớn hơn mean return của fund còn lại hay không, analyst nên xem xét:

EN: B. a nonparametric test only.

• A. chỉ một parametric test.

EN: C. both parametric and nonparametric tests.

• B. chỉ một nonparametric test.

• C. cả parametric tests và nonparametric tests.

LỜI GIẢI

1. B là đáp án đúng. H 0 đại diện cho giả thuyết cần bị bác bỏ, trong khi alternative hypothesis Ha cho rằng population mean excess return nhỏ hơn 5%. Ha đại diện cho one-tailed (one-side) alternative hypothesis.

2. C là đáp án đúng. null hypothesis và alternative hypothesis phân chia tất cả các giá trị có thể có của parameter thành hai tập hợp. Mọi giá trị có thể có của parameter không thuộc tập hợp của null hypothesis phải thuộc tập hợp của alternative hypothesis (ví dụ, H 0: μ ≤ 5 so với Ha : μ > 5). A không đúng vì null hypothesis là giả thuyết cần bị bác bỏ; trạng thái “mong muốn” hoặc “nghi ngờ” thường được xác định dưới dạng alternative hypothesis. B không đúng vì null hypothesis được giả định là đúng trước khi tiến hành hypothesis test, trong khi alternative hypothesis bị bác bỏ nếu test không cung cấp đủ bằng chứng chống lại null hypothesis.

3. B là đáp án đúng. null hypothesis và alternative hypothesis là phần bù của nhau, do đó chúng mutually and collectively exhaustive. Nghĩa là, tất cả các giá trị hoặc kết quả có thể có phải thuộc hoặc tập hợp của null hypothesis hoặc tập hợp của alternative hypothesis.

Phương án A không đúng vì null hypothesis luôn phải có ký hiệu bằng. Phương án C không đúng vì, trong trường hợp two-tailed test, null hypothesis thường phải phát biểu rằng population parameter bằng hypothesized value. Nếu tồn tại bằng chứng ủng hộ sự bằng nhau, null hypothesis sẽ không bị bác bỏ.

4. Phương án B là đáp án đúng. Các test mà alternative hypothesis là “greater than” hoặc “less than” thể hiện ý kiến của nhà nghiên cứu tốt hơn so với alternative hypothesis là “not equal to”.

Phương án A không đúng vì significance level thấp hơn dẫn đến rejection region nhỏ hơn. Phương án C không đúng vì absolute value của critical value đối với one-tailed test nhỏ hơn critical value đối với two-tailed test.

Ví dụ, đối với two-tailed test với 30 degrees of freedom tại significance level 5%, critical value là ±2.042 (2.5% ở mỗi tail), trong khi critical value đối với one-tailed test là +1.697 hoặc –1.697 (5% ở tail bên trái hoặc bên phải). Do đó, absolute value của critical value đối với one-tailed test nhỏ hơn absolute value của critical value đối với two-tailed test tại cùng significance level.

5. Phương án C là đáp án đúng. significance level 5% (probability of a Type I error) tương ứng với 1 - 0.05 = 0.95, hoặc confidence level 95% (probability of not rejecting a true null hypothesis). significance level và confidence level là phần bù của nhau, nghĩa là tổng của chúng bằng 1.00 hoặc 100%.

6. Đáp án C là đúng. Lý do là trong one-tailed hypothesis test, rejection region 5% chỉ tồn tại ở một phía của distribution. Đáp án A không đúng vì significance level 5% có nghĩa là xác suất 5% bác bỏ null hypothesis và do đó confidence interval là 95%. Đáp án B không đúng vì probability of committing a Type I error là significance level 5%.

7. Đáp án A là đúng. test statistic trong hypothesis testing là một con số tạo cơ sở để đưa ra quyết định có nên bác bỏ null hypothesis hay không.

8. Đáp án A là đúng. Type I error trong hypothesis testing xảy ra khi null hypothesis bị bác bỏ mặc dù trên thực tế nó đúng.

9. Đáp án B là đúng. Type II error xảy ra trong tình huống false null hypothesis được chấp nhận.

10. Đáp án B là đúng. significance level được sử dụng để xác định các điểm bác bỏ giả thuyết. Đáp án A đúng vì significance level không được sử dụng trong việc tính toán test statistic mà dùng để xác định critical value. Đáp án C không đúng vì significance level xác định probability of Type I error.

11. B là đáp án đúng. power of a test là xác suất bác bỏ null hypothesis khi nó sai. A sai vì p-value là significance level nhỏ nhất mà tại đó null hypothesis có thể bị bác bỏ. C sai vì level of significance là xác suất bác bỏ null hypothesis (Type I error) khi nó đúng.

12. B là đáp án đúng. power of a hypothesis test là xác suất bác bỏ đúng null hypothesis khi nó sai. Không bác bỏ null hypothesis khi nó sai được gọi là type II error. Do đó, power of a hypothesis test là xác suất không mắc type II error.

13. A là đáp án đúng. critical value trong decision rule là rejection point của test. Đây là điểm mà test statistic được so sánh với nó để xác định có nên bác bỏ null hypothesis hay không, và là một phần của bước thứ tư trong hypothesis testing. B sai vì power of a test đề cập đến xác suất bác bỏ null hypothesis khi nó sai. C sai vì giá trị của test statistic được xác định trong bước “Identify the appropriate test statistic and its probability distribution”.

14. B là đáp án đúng. Giả định về sự bằng nhau của các variances cho phép pooling cả hai samples để suy ra estimated pooled variance của common variance.

15. C là đáp án đúng. Paired comparisons test là test được sử dụng để kiểm định mean differences của hai samples được xem là dependent. A sai vì z-test là test được sử dụng để xác định sự khác biệt giữa hai population means khi variances đã biết và sample size lớn. B sai vì chi-square test là test được sử dụng trong variance tests của normally distributed population.

16. A là đáp án đúng. Chi-square test có thể được áp dụng để kiểm định các vấn đề liên quan đến variance của normally distributed population.

17. B là đáp án đúng. F -test có thể được sử dụng để kiểm định các vấn đề liên quan đến sự khác biệt về variances của hai normally distributed populations bằng cách sử dụng random independent samples.

18. A là đáp án đúng. Nếu sample observations chứa ranked values, thì việc sử dụng parametric tests không được khuyến nghị. Do đó, trong những tình huống như vậy, nên sử dụng nonparametric tests.

19. A là đáp án đúng. Nonparametric test được sử dụng khi data được xếp hạng.

20. B là đáp án đúng. Chỉ có 12 quan sát (hàng tháng) trong năm thuộc sample period và do đó samples có quy mô nhỏ. Hơn nữa, returns của funds có non-normally distributed. Do đó, samples không thỏa mãn các assumptions của parametric test. Mann-Whitney U test (là một non-parametric test) có thể được sử dụng để kiểm định sự khác biệt giữa population means.