Estimation and Inference

tác giả Wu Jian, PhD.

Jian Wu, PhD, công tác tại State Street (USA).

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

• so sánh và đối chiếu simple random, stratified random, cluster, convenience và judgmental sampling, cũng như các tác động của chúng đối với sampling error trong một vấn đề đầu tư
• giải thích central limit theorem và tầm quan trọng của nó đối với distribution và standard error của sample mean
• mô tả việc sử dụng resampling (bootstrap, jackknife) để ước tính sampling distribution của một statistic

Trong Learning Module này, chúng ta thảo luận về các kỹ thuật khác nhau để thu thập thông tin về population (các thành viên của một nhóm cụ thể) bằng cách sử dụng samples (một tập hợp con của population). Thông tin cần tìm hiểu về population thường liên quan đến giá trị của parameter, một con số được tính toán từ hoặc được sử dụng để mô tả một population dữ liệu. Trong Lesson 1, chúng ta giới thiệu sampling, trong đó chúng ta sử dụng một sample để ước tính một parameter; chúng ta sử dụng sample statistics. Một statistic là một con số được tính toán từ hoặc được sử dụng để mô tả một sample dữ liệu.

Nếu giả định rằng sample mang tính đại diện cho population cơ bản, vậy quy trình xác định sampling error trong việc ước tính một population parameter là gì? Trong Lesson 2, Central Limit Theorem giải thích sampling distribution của sample mean trong nhiều vấn đề estimation mà chúng ta gặp phải. Điều này giúp chúng ta hiểu sample mean cần gần population mean đến mức nào để analyst có thể sử dụng sampling distribution trong việc đánh giá sample và hypothesis testing của parameter cơ bản. Các kỹ thuật resampling sẽ được thảo luận trong Lesson 3.

• Có hai loại kỹ thuật sampling, bao gồm probability sampling, gồm simple random sampling và stratified random sampling, và non-probability sampling, gồm convenience sampling và judgmental sampling. Probability sampling có cơ hội lựa chọn sample ngang nhau, trong khi non-probability sampling có khả năng cao không mang tính đại diện.

• Sampling errors là những sai số phát sinh do sử dụng các giá trị sample để ước tính giá trị của một parameter. Nói cách khác, sampling errors là những sai số phát sinh do sự khác biệt giữa giá trị của một statistic và giá trị mà nó ước tính.

• Các phương pháp non-probability sampling là những phương pháp không phụ thuộc vào một quy trình được xác định rõ ràng để lựa chọn sample mà phụ thuộc vào khả năng sampling của researcher. Ưu điểm của phương pháp này bao gồm việc thu thập dữ liệu nhanh và rẻ, cũng như khả năng sử dụng expert judgment trong việc lựa chọn sample.

• Central Limit Theorem có thể được phát biểu như sau: Giả sử một population nhất định được mô tả bởi bất kỳ probability distribution nào có mean µ và variance hữu hạn σ2 . Sampling distribution của sample mean X_, thu được từ các random samples có kích thước n từ population nêu trên, sẽ có normal distribution với mean µ (population mean) và variance σ2 /n (population variance chia cho n), khi n lớn.

• Standard error của sample mean là một khái niệm quan trọng đối với việc áp dụng thực tế central limit theorem. Nó có thể được xấp xỉ bằng cách lấy căn bậc hai của sample variance như sau:

• Central limit theorem cho biết rằng khi sampling từ bất kỳ distribution nào, các sample mean distributions có hai đặc điểm sau đối với sample sizes lớn: (1) distribution của sample mean X_ có normal distribution, và (2) mean của distribution của X bằng population mean.

• Bootstrap bao gồm việc lấy mẫu lặp lại từ một sample có kích thước bằng với sample ban đầu và là một phương pháp thay thế cho statistical inference bằng cách sử dụng computer simulation mà không sử dụng một analytical method như z-statistic hoặc t-statistic. Bootstrap có thể được sử dụng như một phương pháp đơn giản để ước tính các parameters phức tạp như standard error của sample mean.

• Bootstrap method có một số lợi ích về độ chính xác. Xét đến những lợi ích này, bootstrap method có thể được sử dụng rộng rãi trong finance, bao gồm ứng dụng trong historical simulations về asset allocation và đánh giá performance của investment strategies so với một benchmark.

• Jackknife là một dạng resampling khác, trong đó samples được lấy bằng cách loại bỏ từng observations, một lần một observation, khỏi original observed data sample và không thay thế observation đó. Jackknife có thể được sử dụng rộng rãi để giảm bias của một estimator, cũng như để xác định standard error và confidence interval của một estimator.

so sánh và đối chiếu simple random, stratified random, cluster, convenience và judgmental sampling, cũng như các tác động của chúng đối với sampling error trong một vấn đề đầu tư

Có hai lý do chính khiến người ta cần lấy samples. Trong một số trường hợp, có thể không thể kiểm tra tất cả các thành viên của một population, trong khi ở những trường hợp khác, việc kiểm tra mọi thành viên của population sẽ không có ý nghĩa về mặt kinh tế. Vì vậy, các cân nhắc về thời gian và chi phí là hai lý do chính khiến sampling được áp dụng.

Các kỹ thuật sampling được phân thành hai nhóm: probability sampling và non-probability sampling. Kỹ thuật probability sampling cung cấp cho tất cả các thành viên của population cơ hội ngang nhau để được đưa vào sample. Do đó, phương pháp này có thể tạo ra một sample mang tính đại diện cho population. Không giống probability sampling, non-probability sampling dựa vào các yếu tố khác ngoài probability. Các yếu tố này bao gồm judgment của người lấy mẫu hoặc khả năng sẵn có của dữ liệu. Điều đó có nghĩa là có khả năng cao non-probability sampling sẽ tạo ra một sample không mang tính đại diện. Nhìn chung, khi các yếu tố khác không đổi, probability sampling có thể tạo ra các kết quả chính xác và đáng tin cậy hơn non-probability sampling.

Trước tiên, chúng ta sẽ thảo luận về probability sampling, cụ thể là simple random sampling và stratified random sampling. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét chủ đề non-probability sampling.

Simple Random Sampling

Giả sử một analyst về thiết bị không dây cần tìm hiểu xem, trung bình, các khách hàng lớn sẽ chi bao nhiêu cho thiết bị trong năm tới. Một giải pháp có thể là khảo sát tất cả khách hàng mua thiết bị không dây và hỏi về kế hoạch mua hàng của họ. Tuy nhiên, việc tiến hành khảo sát tất cả các công ty sẽ đòi hỏi đáng kể về thời gian và tiền bạc.

Thay vào đó, analyst có thể chọn một sample mang tính đại diện gồm các công ty và tiến hành khảo sát trong số các công ty đó. Trong trường hợp này, analyst sẽ xác định mean expenditure cho thiết bị không dây trong các firms được lấy mẫu. Đó là sample statistic X_. Việc sử dụng sample thay vì khảo sát tất cả các firms có một lợi thế rõ ràng. Có thể tốn ít thời gian và tiền bạc hơn để thực hiện.

Tuy nhiên, sampling dẫn đến error. Error xuất hiện vì toàn bộ population không được khảo sát. Một analyst lựa chọn sampling phải thực hiện trade-off giữa thời gian và tiền bạc ở một bên, và sampling error ở bên còn lại.

Trong trường hợp analyst lựa chọn sampling, người đó cần xây dựng một sampling plan. Sampling Plan đề cập đến các quy tắc cần được tuân thủ trong quá trình lựa chọn sample.

Simple random sample là hình thức sample đơn giản nhất, cho phép chúng ta đưa ra các kết luận statistical về population. Simple Random Sample đề cập đến quá trình thu được một tập hợp con của population, trong đó mọi thành viên của population đều có cơ hội ngang nhau được đưa vào tập hợp con đó.

Quá trình sampling phù hợp với định nghĩa của simple random sample được gọi là Simple Random Sampling. Simple random sampling đặc biệt hữu ích trong các trường hợp dữ liệu trong population là homogeneous, nói cách khác, tất cả dữ liệu hoặc observations trong population (ví dụ, sizes hoặc regions) đều tương tự nhau. Nếu không phải như vậy, các hình thức sampling khác sẽ tốt hơn.

• Systematic Sampling có thể được sử dụng trong trường hợp chúng ta không thể mã hóa hoặc thậm chí không thể phân biệt tất cả các elements của population. Trong systematic sampling, chúng ta lấy mỗi thành viên thứ k cho đến khi thu được sample có kích thước mong muốn. Sample thu được từ quy trình này sẽ gần như random.

Giả sử wireless equipment analyst khảo sát một random sample các khách hàng mua thiết bị không dây để tìm hiểu số tiền trung bình mà khách hàng chi cho thiết bị là bao nhiêu. Mean của sample sẽ cho phép analyst ước tính mean expenditure trong population. Mean thu được theo cách này sẽ khác population mean do errors. Một trong các thành phần của error này được gọi là sampling error.

• Sampling Error là sự chênh lệch giữa giá trị quan sát được của một statistic và đại lượng mà statistic đó cố gắng ước tính do sampling.

Random samples là sự phản ánh không thiên lệch các đặc điểm của population. Hơn nữa, các statistics dựa trên random samples cung cấp các estimates hợp lệ cho các population parameters cơ bản. Do đó, một sample statistic là một random variable, nghĩa là không chỉ các giá trị ban đầu từ population có probability distribution mà sample statistic cũng có probability distribution riêng. Nó được gọi là sampling distribution của statistic.

• Sampling Distribution của một statistic là probability distribution của tất cả các giá trị có thể mà statistic đó nhận được khi được tính từ các random samples có cùng kích thước được lấy từ cùng một population.

Ví dụ, trong trường hợp sample mean, sampling distribution được gọi là “sampling distribution of the sample mean.” Chúng ta sẽ thảo luận sâu hơn về chủ đề sampling distributions trong phần sau của tài liệu này. Bây giờ, hãy chuyển sang một kỹ thuật sampling khác có các ứng dụng thực tế trong investment analysis.

Stratified Random Sampling

Simple random sampling được mô tả ở trên không nhất thiết là phương pháp sampling hiệu quả nhất trong mọi tình huống. Một phương án thay thế thường được sử dụng cho simple random sampling là stratified random sampling.

Trong stratified random sampling , population trước tiên được phân chia thành các subpopulations (strata) bằng cách sử dụng một hoặc một số tiêu chí classification. Sau đó, samples được lựa chọn ngẫu nhiên từ mỗi stratum theo tỷ lệ tương ứng với relative size của stratum đó trong toàn bộ population.

Sự khác biệt giữa simple random sampling và stratified random sampling nằm ở sự đảm bảo rằng, dưới stratified random sampling, các population segments được quan tâm sẽ được đưa vào sample. Hơn nữa, các estimates của population parameters thu được thông qua stratified sampling có precision cao hơn (dispersion thấp hơn).

Một lĩnh vực ứng dụng của stratified sampling là bond indexing. Indexing là một investment strategy trong đó investor xây dựng một portfolio có performance phù hợp với một index cụ thể. Trong pure bond indexing, hoặc full-replication method, investor cố gắng replicate một index bằng cách nắm giữ tất cả bonds trong index theo tỷ trọng market weights của chúng. Nhưng phần lớn bond indexes bao gồm hàng nghìn bonds. Vì vậy, pure bond indexing là không khả thi, và các costs liên quan đến phương pháp này cực kỳ cao vì trong nhiều trường hợp bonds thiếu liquid markets.

Mặc dù một simple random sample có thể giải quyết vấn đề về chi phí, nhưng nó khó có thể phản ánh các risk characteristics của index, chẳng hạn như interest rate sensitivity. Các major risk factors đối với fixed income portfolios được xác định rõ và có thể định lượng, do đó stratified sampling là một lựa chọn tốt hơn. Trong stratified sampling, chúng ta phân chia population of bonds trong index theo duration (interest rate sensitivity), cash flow distribution, sectors, credit quality và callability. Chúng ta gọi

mỗi segment là một stratum hoặc một cell (như cách thường được gọi). Sau đó, chúng ta lấy samples từ mỗi stratum theo tỷ lệ tương ứng với relative weight của stratum đó trong index.

VÍ DỤ 1

Bond Indexes and Stratified Sampling

Hãy tưởng tượng bạn là portfolio manager của một portfolio of bonds được theo dõi theo Bloomberg Barclays US Government/Credit Index, và do đó performance của portfolio sẽ tương tự performance của index. Hãy xem xét các phương pháp khác nhau để theo dõi index, bao gồm stratified sampling method. Trước tiên, chúng ta phân loại bonds thành agency bonds, US Treasury bonds và investment-grade corporate bonds. Đối với mỗi loại trong ba loại bonds này, chúng ta xác định 10 classes theo maturity: 1-2 years, 2-3 years, 3-4 years, 4-6 years, 6-8 years, 8-10 years, 10-12 years, 12-15 years, 15-20 years và 20-30 years, cũng như các bonds có coupons (interest rate) bằng hoặc thấp hơn 6% và các bonds có coupons lớn hơn 6%.

1. Sampling plan này bao gồm bao nhiêu cells hoặc strata?

   • Lời giải:

Do đó, chúng ta có 3 classifications theo loại bond, 10 classifications theo maturity của bond và 2 classifications theo coupon. Tổng cộng, chúng ta có 3×10×2=60 strata hoặc cells khác nhau.

2. Số lượng issues tối thiểu trong portfolio đang được xem xét theo sampling plan này là bao nhiêu?

Lời giải:

Không thể có ít hơn 1 bond issue trong mỗi ô; do đó, portfolio phải chứa ít nhất 60 bond issues.

3. Bây giờ, hãy hình dung rằng khi lựa chọn từ các securities đủ điều kiện để đưa vào từng ô, bạn sử dụng tiêu chí liên quan đến market liquidity của security. Mẫu thu được có phải là random không?

Lời giải:

Tuy nhiên, vì sẽ có các yếu tố khác được xem xét trong quá trình lựa chọn securities, sẽ không có xác suất bằng nhau để tất cả securities được chọn vào các ô. Tính proportionality sẽ không tồn tại trong quá trình lựa chọn và do đó khiến việc lựa chọn trở thành non-random. Khi được sử dụng trong quá trình indexation, random sampling khó có thể được sử dụng trong stratified sampling do các tiêu chí khác được dùng để lựa chọn bond issues trong các ô. Điều này là vì khi cần lựa chọn securities để indexation, mục tiêu không phải là ước lượng parameter của một population mà là xây dựng một index.

Cluster Sampling

Cluster Sampling là một dạng sampling khác, trong đó quá trình chia hoặc phân loại population thành các subpopulations một lần nữa là điều thiết yếu. Điều này bao gồm việc chia population thành các clusters, trong đó mỗi cluster là một phiên bản thu nhỏ của toàn bộ population. Một số clusters sau đó được chọn toàn bộ thông qua simple

Random Sampling Cluster Sampling. Nếu tất cả các cá thể trong mỗi cluster được chọn đều được chọn cho nghiên cứu, sampling scheme được gọi là one-stage cluster sampling. Trong trường hợp một sub-sample được chọn ngẫu nhiên từ mỗi cluster được chọn, scheme được gọi là two-stage cluster sampling. Exhibit 1 (góc dưới bên phải) minh họa cách cluster sampling hoạt động.

Exhibit 1: Probability Sampling

Simple random sampleSystematic sample Stratied sampleCluster sample ClustersSubdivision Subdivision (strata)(strata)

Một trong những điểm khác biệt quan trọng giữa cluster sampling và stratified random sampling là trong cluster sampling, toàn bộ cluster tạo thành sampling unit trong khi chỉ những clusters được lấy mẫu mới được sử dụng. Trong trường hợp stratified random sampling, tất cả các strata đều được sử dụng nhưng chỉ các elements từ mỗi stratum mới tạo thành các sampling units.

Cluster sampling thường được sử dụng khi thực hiện các market surveys trên phạm vi rộng và loại cluster sampling phổ biến nhất liên quan đến việc lựa chọn clusters theo các đặc điểm địa lý. Ví dụ, có một research institute dự định khảo sát thái độ của các individual investors ở Mỹ đối với stock market. Việc khảo sát các investors trên khắp Hoa Kỳ để xác định liệu các cá nhân đang bullish, bearish hay neutral đối với thị trường là cực kỳ khó khăn. Two-stage cluster sampling sẽ là một lựa chọn phù hợp trong trường hợp này. Ở giai đoạn đầu tiên, population có thể được nhóm theo các bang và tập hợp tất cả individual investors trong mỗi bang sẽ được coi là một cluster. Một số clusters này sẽ được chọn ngẫu nhiên và ở giai đoạn thứ hai, simple random samples của các individual investors từ mỗi cluster sẽ được chọn cho khảo sát.

So với các probability sampling methods khác, cluster sampling nhìn chung cho kết quả kém chính xác hơn vì một sample từ một cluster có thể không đại diện cho toàn bộ population. Tuy nhiên, điểm mạnh chính của cluster sampling là nó cung cấp phương pháp hiệu quả và cost-effective nhất để lấy mẫu các populations lớn.

Non-Probability Sampling

Các non-probability sampling methods không dựa trên một phương pháp lựa chọn có hệ thống mà dựa vào khả năng của researchers trong việc lựa chọn samples. Chúng ta sẽ tập trung vào hai non-probability sampling methods chính.

• Convenience Sampling: Trong convenience sampling, một element của population được chọn tùy thuộc vào khả năng researchers tiếp cận element đó hoặc mức độ dễ dàng mà element đó có thể được researchers tiếp cận. Các samples được chọn không nhất thiết

đại diện cho toàn bộ population và do đó độ chính xác của sampling thấp. Điểm mạnh của convenience sampling là nó cho phép thu thập data với chi phí thấp và nhanh chóng. Convenience sampling thường được sử dụng khi tồn tại các cost constraints hoặc như một bước ban đầu trong research.

• Judgmental Sampling: Trong judgmental sampling, researchers lựa chọn các elements từ population dựa trên kiến thức và judgment cá nhân của họ. Quá trình sampling trong judgmental sampling có thể bị biased do judgment của researcher và sẽ không tạo ra sự đại diện tốt cho toàn bộ population. Trong một số trường hợp có thời gian hạn chế hoặc khi expertise của researchers là cần thiết để lựa chọn một representative sample thay vì sử dụng bất kỳ loại sampling techniques nào khác, judgmental sampling mang lại cho researchers cơ hội lựa chọn trực tiếp target population. Ví dụ, khi auditing financial statements, các auditors có kinh nghiệm có thể sử dụng judgment của mình để chọn các accounts hoặc transactions nhằm audit chúng một cách đầy đủ. Example 2 minh họa cách các sampling techniques này được sử dụng.

VÍ DỤ 2

Minh họa sức mạnh của Sampling

Để làm nổi bật sức mạnh của sampling, chúng ta thực hiện hai bài tập sampling sử dụng một dataset rất lớn. Dataset hoàn chỉnh là “population” gồm daily returns của Euro-Asia-Africa (EAA) Equity Index hư cấu. Dataset bao gồm một giai đoạn 5 năm và chứa 1,258 observations về daily returns, trong đó giá trị nhỏ nhất là −4.1% và giá trị lớn nhất là 5.0%.

Trong bài tập đầu tiên, chúng ta ước lượng mean daily return của EAA Equity Index (từ population).

Mean của toàn bộ chuỗi daily returns được xác định bằng cách lấy average của tất cả observations, bằng 0.035%.

Thí nghiệm thứ nhất: Random Sampling

Sample size m được cố định ở 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 và 1,000. Với mỗi sample size, chúng ta thực hiện random sampling nhiều lần ( N = 100) để có được 100 samples và sau đó xác định mean absolute error. Mục tiêu là biểu diễn mean error theo sample size.

Sử dụng random sampling method, đối với một sample size m cụ thể, chúng ta tính mean absolute error để xác định sampling error.

Áp dụng phương pháp này, chúng ta sẽ tính mean absolute errors cho 8 sample sizes khác nhau: m = 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 và 1000.

Thí nghiệm thứ hai: Stratified Random Sampling

Chúng ta tiếp tục với stratified random sampling. Để làm điều đó, chúng ta chia daily returns thành các classes theo năm. Ngoài ra, chúng ta xác định sample size m theo cùng cách như trong random sampling, nghĩa là m bằng 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 và 1,000. Với mỗi sample size, chúng ta thực hiện random sampling nhiều lần (N = 100), và do đó thu thập 100 samples để tính mean absolute error.

Mọi thứ hoạt động giống như trước, nhưng bước đầu tiên cần được thực hiện khác đi. Thay vì thực hiện simple random sampling, chúng ta thực hiện stratified random sampling, nghĩa là chọn ngẫu nhiên các subsamples có cùng kích thước từ các classes daily returns theo năm để tạo thành một total sample. Ví dụ, trong trường hợp một sample gồm 50, chúng ta chọn ngẫu nhiên 10 data points từ daily returns cho mỗi năm từ 2014 đến 2018. Kết quả được tóm tắt trong Exhibit 2 bên dưới.

Exhibit 2: Mean Absolute Errors under Different Sampling Procedures

|Mean Abso|lute Error|of Rand|om Sam|pling||||| |Sample size|5|10|20|50|100|200|500|1,000| |Mean abso-|0.297%|0.218%|0.163%|0.091%|0.063%|0.039%|0.019%|0.009%| |lute error|||||||||

|Mean Abso i|lute Erro i|r of Strati|ified Ra|i ndom Sa|i mpling|||| |Sample size|5|10|20|50|100|200|500|1,000| |Mean abso- lute error|0.294%|0.205%|0.152%|0.083%|0.071%|0.051%|0.025%|0.008%|

Cả random sampling và stratified sampling đều cho thấy mean absolute errors giảm nhanh khi sample size tăng lên. Mean absolute errors trong stratified sampling thấp hơn, bởi vì stratified sampling đại diện tốt hơn cho bản chất của population, mặc dù khoảng cách này giảm đi - và thậm chí mở rộng - trong quá trình tăng sample size.

Có thể thấy trong Exhibit 2 rằng cần một số observations tối thiểu để tránh sample errors và đạt được một mức độ chính xác nhất định. Nhưng sau một kích thước nhất định, mức cải thiện thêm về độ chính xác từ việc tăng số observations (từ 200 lên 400 trong trường hợp này) là tối thiểu.

Sampling from Different Distributions

Trong thực tế, bên cạnh việc lựa chọn đúng sampling techniques, chúng ta cần thận trọng khi lấy mẫu từ một population tuân theo các distributions khác nhau. Example 3 cho thấy các vấn đề có thể phát sinh như thế nào khi lấy mẫu từ các distributions khác nhau.

VÍ DỤ 3

Tính toán Sharpe Ratios: Một hoặc Hai Năm Dữ liệu Theo Quý

Sharpe ratio được nhiều analysts sử dụng để đánh giá performance của một managed portfolio. Sharpe ratio là mean return vượt trên risk-free rate chia cho standard deviation của returns. Đây là thước đo return của một fund hoặc security vượt trên risk-free rate (excess return) kiếm được trên mỗi đơn vị standard deviation của return.

Để tính Sharpe ratio, giả sử một analyst thu thập tám quarterly excess returns (total return vượt trên risk-free rate). Trong năm đầu tiên, investment manager của portfolio áp dụng low-risk strategy và áp dụng high-risk strategy trong năm thứ hai. Đối với mỗi năm này, analyst cũng ghi nhận quarterly excess returns của một benchmark mà manager sẽ được so sánh với. Trong mỗi năm trong hai năm, Sharpe ratio của benchmark là 0.21. Exhibit 3 trình bày các phép tính Sharpe ratio của portfolio.

Exhibit 3: Calculation of Sharpe Ratios: Low-Risk and High-Risk Strategies

Sharpe ratio = 0.22 = 1/4.62 = 4/18.48

Trong năm đầu tiên, khi manager áp dụng low-risk strategy, mean quarterly return vượt trên risk-free rate là 1% và standard deviation của nó là 4.62%. Do đó, Sharpe ratio là 1/4.62 = 0.22. Kết quả trong năm thứ hai tương tự kết quả trong năm đầu tiên, ngoại trừ mean return và standard deviation đều cao hơn. Sharpe ratio trong năm thứ hai là 4/18.48 = 0.22. Sharpe ratio của benchmark là 0.21 trong cả năm thứ nhất và năm thứ hai. Vì Sharpe ratio lớn hơn được ưu tiên hơn Sharpe ratio nhỏ hơn (return cao hơn trên mỗi đơn vị risk), manager dường như đã outperform benchmark.

Mặt khác, giả sử analyst cho rằng sample lớn hơn đáng mong muốn hơn sample nhỏ hơn. Do đó, cô ấy quyết định gộp hai năm thành một và tính Sharpe ratio bằng cách sử dụng data của tám quarters. Average excess return trong hai năm bằng average của các average excess returns trong mỗi năm. Trong trường hợp này, average excess return trong hai năm sẽ là (1 + 4)/2 = 2.5% mỗi quý. Standard deviation của tổng data trong tám quarters, được đo so với sample mean 2.5%, là 12.57%. Sharpe ratio của portfolio trong giai đoạn hai năm là 2.5/12.57 = 0.199; Sharpe ratio của benchmark là 0.21. Do đó, khi returns trong hai năm được gộp lại, manager dường như mang lại return trên mỗi đơn vị risk thấp hơn so với benchmark và thấp hơn so với các Sharpe ratios riêng lẻ theo từng năm.

Vấn đề ở đây là analyst đã vi phạm assumption về sampling process - cụ thể là sampled returns phải đến từ cùng một population. Do những thay đổi trong investment strategy của manager, returns trong năm thứ hai đến từ một population khác với năm thứ nhất. Rõ ràng, trong năm đầu tiên, returns được tạo ra bởi một population có mean và variance thấp hơn population của năm thứ hai. Bằng cách gộp kết quả của năm thứ nhất và năm thứ hai, analyst đã tạo ra một sample không đại diện cho bất cứ điều gì. Vì sample lớn hơn không đáp ứng model assumptions, bất kỳ kết luận nào

mà analyst đưa ra dựa trên sample lớn hơn đều không chính xác. Trong trường hợp này, cô ấy có thể đã sử dụng sample nhỏ hơn thay vì sample lớn hơn vì sample nhỏ hơn đồng nhất hơn về mặt returns.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Một analyst quan tâm đến chi phí research and development (R&D) của các pharmaceutical firms trên toàn thế giới. Cô ấy đánh giá ba sampling methods để nghiên cứu mức độ R&D của một firm. Method 1 là khi cô ấy sử dụng tất cả data có sẵn cho mình từ một internal database do cô ấy và các đồng nghiệp tạo ra trong quá trình phân tích vài chục representative stocks trong ngành. Method 2 có nghĩa là analyst sử dụng một commercial database. Cô ấy chọn cứ mỗi pharmaceutical firm thứ năm trong danh sách để lấy data. Method 3 có nghĩa là analyst trước tiên chia các pharmaceutical firms trong commercial database thành ba nhóm theo geographic region mà firm hoạt động (Asia, Europe hoặc North America), sau đó cô ấy chọn ngẫu nhiên một subsample các firms trong mỗi nhóm, theo tỷ lệ với kích thước của nhóm để tạo thành một full sample.

1. EN: Method 1 is an example of:

Method 1 là một ví dụ về:

• EN: A. simple random sampling.

A. simple random sampling.

• EN: B. stratified random sampling.

B. stratified random sampling.

• EN: C. convenience sampling.

C. convenience sampling.

• EN: Solution:

EN: C is correct. The analyst selects the data from the internal database because they are convenient to access.

Lời giải:

C là đáp án đúng. Analyst chọn data từ internal database vì chúng thuận tiện để truy cập.

2. EN: Method 2 is an example of:

Method 2 là một ví dụ về:

• EN: A. judgmental sampling.

A. judgmental sampling.

• EN: B. systematic sampling.

B. systematic sampling.

• EN: C. cluster sampling.

C. cluster sampling.

• EN: Solution:

EN: Choice B is right. The sample items are chosen at a constant distance ( k = 5) from the large population supplied by the data provider.

Lời giải:

Đáp án B là đúng. Các sample items được chọn với khoảng cách không đổi ( k = 5) từ large population do data provider cung cấp.

3. EN: Method 3 is an example of:

Method 3 là một ví dụ về:

• EN: A. simple random sampling.

A. simple random sampling.

• EN: B. stratified random sampling.

B. stratified random sampling.

• EN: C. cluster sampling.

C. cluster sampling.

Lời giải:

Đáp án B là đúng. Tổng thể các công ty dược phẩm đã được chia thành ba strata theo khu vực để tiến hành random sampling riêng biệt.

4. Perkiomen Kinzua, một auditor giàu kinh nghiệm, đang audit các giao dịch của năm trước do Conemaugh Corporation thực hiện. Đáng tiếc, Conemaugh có số lượng giao dịch rất lớn, và Kinzua đang bị giới hạn về thời gian để hoàn thành nhiệm vụ audit của mình.

Kinzua quyết định chỉ audit một phần nhỏ của tổng thể các giao dịch mà ông quan tâm và tạo phần này thông qua sampling.

Cách tốt nhất để tiến hành sampling trong trường hợp này là sử dụng:

• A. judgmental sampling.

• B. systematic sampling.

• C. convenience sampling.

• Lời giải:

Đáp án A là đúng. Trong judgmental sampling, Kinzua sẽ dựa vào chuyên môn và phán đoán của mình với tư cách là một auditor giàu kinh nghiệm để lựa chọn các giao dịch đáng quan tâm từ tổng thể. Điều này sẽ giúp Kinzua tạo ra một mẫu representative của tổng thể, cung cấp mức độ bao phủ audit đầy đủ. Judgmental sampling là một phương pháp sampling phù hợp trong những trường hợp có giới hạn về thời gian hoặc khi chuyên môn của nhà nghiên cứu là yếu tố then chốt để làm cho mẫu mang tính representative của tổng thể, so với các phương pháp probability sampling hoặc non-probability sampling. Tuy nhiên, judgmental sampling làm tăng rủi ro Kinzua bị bias trong các lựa chọn của mình, từ đó làm lệch kết quả và khiến kết quả không representative cho toàn bộ tổng thể.

giải thích central limit theorem và ý nghĩa của nó liên quan đến distribution và standard error của sample mean

Trước đó, chúng ta đã mô tả một analyst về thiết bị không dây, người đã lựa chọn sampling để ước tính mức mean planned capital expenditure của các khách hàng của những nhà cung cấp thiết bị không dây. Với điều kiện mẫu mang tính representative của underlying population, quy trình để đánh giá sampling error khi ước tính population mean là gì?

Sample mean là một random variable có probability distribution được gọi là sampling distribution của statistic. Để xác định sample mean có thể xấp xỉ underlying population mean sát đến mức nào, analyst phải tìm hiểu về sampling distribution của mean. Central Limit Theorem giúp giải thích sampling distribution của mean trong nhiều quy trình estimation mà chúng ta gặp phải.

Central Limit Theorem

Để giải thích Central Limit Theorem, hãy quay lại với daily returns của Euro-Asia-Africa Equity Index giả định đã được giới thiệu trước đó. Dataset, trong trường hợp này, cấu thành population của daily returns của chỉ số trong 5 năm. 1,258 return observations có population mean là 0.035%.

Chúng ta ngẫu nhiên rút ra 4 tập hợp mẫu khác nhau từ population. Ví dụ, chúng ta lấy một random sample gồm 10 daily returns và tìm sample mean. Chúng ta lặp lại quá trình này thêm 99 lần nữa, do đó có 100 samples, mỗi mẫu gồm 10 daily returns. Chúng ta biểu diễn kết quả dưới dạng histogram, có thể thấy ở ô phía trên bên trái trong Exhibit 4. Tiếp theo, chúng ta lặp lại bài thực hành này nhưng với sample size lớn hơn, cụ thể là 50 daily returns. Chúng ta ngẫu nhiên rút 100 samples, mỗi mẫu gồm 50 daily returns, và biểu diễn kết quả dưới dạng histograms. Kết quả có thể được thấy ở ô phía trên bên phải của Exhibit 4. Sau đó, chúng ta lặp lại bài thực hành thêm 2 lần nữa, lần lượt lấy 100 và 300 daily returns cho các samples.

Kết quả của chúng ta được trình bày ở các ô phía dưới bên trái và bên phải của Exhibit 4. Nếu xem xét đồng thời cả 4 ô ở trên, chúng ta nhận thấy sample size càng lớn thì histogram càng có normal distribution.

Exhibit 4: Sampling Distribution with Increasing Sample Size

A. Sample Size n = 10 B. Sample Size n = 50 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 0 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 Sample Mean Sample Mean C. Sample Size n = 100 D. Sample Size n = 300 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 0 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 Sample Mean Sample Mean

Từ các kết quả trong bài thực hành ở trên, chúng ta thấy rằng nếu sample size tăng lên, distribution của các sample means trở thành normal và sampling error của các sample means giảm xuống. Phát hiện này rất quan trọng và dẫn chúng ta đến một ý tưởng mới, đó là ý tưởng về central limit theorem, một trong những theorem thực tiễn nhất của probability theory. Central limit theorem có những hệ quả rất quan trọng đối với interval estimation và hypothesis testing. Theo central limit theorem,

• Central Limit Theorem. Sampling distribution của sample mean X_, được tính từ các random samples có size n lấy từ population có bất kỳ probability distribution nào với mean µ và finite variance σ2, sẽ có approximately normal distribution với mean µ (tức population mean) và variance σ2 / n (tức population variance chia cho n), nếu sample size n đủ lớn.

Hãy xem xét biểu thức σ2 / n có nghĩa là gì. Variance (σ2) luôn không đổi, nhưng khi n tăng lên, giá trị của phân số giảm xuống. Điều này có nghĩa là khi sample size tăng lên, việc thu được các sample means cách xa population means trở nên khó khăn hơn.

Central Limit Theorem cho phép chúng ta đưa ra một số phát biểu xác suất có độ chính xác cao về population mean dựa trên sample mean, bất kể population distribution (với điều kiện nó có finite variance), bởi vì sample mean có nearly normal distribution khi sample size đủ lớn. Câu hỏi tự nhiên nhất ở đây là: "Ở giá trị sample size nào chúng ta có thể an toàn giả định rằng sample mean có nearly normal distribution?" Nói chung, đối với sample có size n ≥ 30, có thể giả định rằng sample mean có normal distribution. Trong trường hợp underlying population có highly non-normal distribution, có thể cần sample size lớn hơn nhiều trước khi normal distribution có thể đóng vai trò là một approximation tốt cho sampling distribution của mean.

Standard Error of the Sample Mean

Central Limit Theorem khẳng định rằng variance của distribution của sample mean là σ2 / n. Căn bậc hai dương của variance được gọi là standard deviation. Standard deviation của một sample statistic được gọi là standard error của statistic đó. Standard error của sample mean đóng vai trò then chốt trong các ứng dụng thực tế của Central Limit Theorem.

• X

• Định nghĩa Standard Error of the Sample Mean. Standard error của sample mean được tính từ một sample rút ra từ population có standard deviation σ được xác định bằng một trong hai công thức sau:

trong trường hợp population standard deviation đã biết, và

trong trường hợp nó không được biết và phải được estimated với sự trợ giúp của sample standard deviation s.

Tuy nhiên, phần lớn thời gian, chúng ta sẽ phải sử dụng Equation 2 để estimate s. Việc estimation s bao gồm lấy căn bậc hai của sample variance, _s_2, được xác định như sau:

Cần lưu ý rằng mặc dù standard error được định nghĩa là standard deviation của sampling distribution của parameter, "standard deviation" theo nghĩa chung và "standard error" là hai khái niệm khác nhau.

Nói cách khác, standard deviation định lượng mức độ variation quanh mean, trong khi standard error ước tính mức độ không chính xác của một parameter được estimated từ samples so với giá trị thực của population parameter. Sự khác biệt giữa các khái niệm standard deviation và standard error minh họa sự khác biệt giữa descriptive statistics và inferential statistics. Chúng ta sử dụng standard deviation khi muốn đưa ra một phát biểu về variation trong dữ liệu, nhưng nên sử dụng standard error khi cần xác định độ chính xác của một estimate của population parameter từ một sample dữ liệu.

Trong một learning module khác, chúng ta sẽ xem xét cách sử dụng sample mean và standard error của nó cho hypothesis testing để đưa ra các phát biểu xác suất về population mean. Tóm lại, theo central limit theorem, nếu chúng ta lấy sample từ bất kỳ distribution nào, distribution của sample mean sẽ có các đặc điểm sau với điều kiện sample size đủ lớn:

• Distribution của sample mean X_ sẽ có normal distribution.

• Mean của distribution của X_ sẽ bằng mean của population mà từ đó các samples được lấy ra.

• Variance của distribution của X_ sẽ bằng variance của population chia cho số lượng samples.

EN: Research analyst has made two statements on random sampling as follows:

Bài tập thực hành

EN: - Statement 1: While taking repeated samples from the dataset, sample means are normally distributed.

Research analyst đã đưa ra 2 phát biểu về random sampling như sau:

EN: - Statement 2: For sample mean to be normally distributed, the underlying population has to be normally distributed.

• Statement 1: Khi lấy các samples lặp lại từ dataset, các sample means có normal distribution.

EN: 1. Which of the following most accurately characterizes the validity of the analyst's claims?

• Statement 2: Để sample mean có normal distribution, underlying population phải có normal distribution.

EN: - A. Statement 1 is false; Statement 2 is true.

1. Phương án nào sau đây mô tả chính xác nhất tính đúng đắn của các nhận định của analyst?

EN: - B. Both statements are true.

• A. Statement 1 sai; Statement 2 đúng.

EN: - C. Statement 1 is true; Statement 2 is false.

• B. Cả 2 phát biểu đều đúng.

EN: - Solution: C is right. As per the central limit theorem, Statement 1 is valid. However, Statement 2 is invalid as the underlying population need not be normally distributed for the sample mean to be normally distributed.

• C. Statement 1 đúng; Statement 2 sai.

EN: 2. Despite knowing that security returns are not independent, a colleague argues that due to central limit theorem, if we diversify our investments and make the portfolio sufficiently large, then the standard deviation of the portfolio will converge to zero when n is sufficiently large. Is he correct?

• Lời giải: C là đáp án đúng. Theo central limit theorem, Statement 1 là hợp lệ. Tuy nhiên, Statement 2 không hợp lệ vì underlying population không nhất thiết phải có normal distribution để sample mean có normal distribution.

EN: ###### Solution: No, firstly the statement is incorrect since the conclusion drawn is incorrect, and secondly, the use of central limit theorem in drawing the conclusion is inappropriate in the given context.

2. Mặc dù biết rằng security returns không independent, một đồng nghiệp lập luận rằng do central limit theorem, nếu chúng ta diversify các investments và làm cho portfolio đủ lớn, thì standard deviation của portfolio sẽ hội tụ về 0 khi n đủ lớn. Anh ấy có đúng không?

EN: 3. Why is the central limit theorem important?

Lời giải: Không. Thứ nhất, phát biểu này không đúng vì kết luận được đưa ra là không đúng; thứ hai, việc sử dụng central limit theorem để đưa ra kết luận trong bối cảnh này là không phù hợp.

EN: ###### Solution: In a number of cases, the distribution of the underlying population is not normally distributed, and sometimes even the distribution itself is not known. Central limit theorem says that as long as the sample size is large enough (generally n ≥ 30), irrespective of the shape of the underlying population, the sample mean will have a distribution which is approximately normally distributed.

3. Tại sao central limit theorem lại quan trọng?

EN: 4. What is wrong with the following statement of the central limit theorem?

Lời giải: Trong một số trường hợp, distribution của underlying population không có normal distribution, và đôi khi ngay cả bản thân distribution cũng không được biết. Central limit theorem cho biết rằng miễn là sample size đủ lớn, thường là n ≥ 30, thì bất kể hình dạng của underlying population như thế nào, sample mean sẽ có một distribution xấp xỉ normal distribution.

EN: Central Limit Theorem. “If the random variables X 1, X 2, X 3, …, Xn are a random sample of size n from any distribution with finite mean μ and variance

4. Điều gì không đúng trong phát biểu sau về central limit theorem?

Central Limit Theorem. "Nếu các random variables X 1, X 2, X 3, …, Xn là một random sample có size n từ bất kỳ distribution nào có finite mean μ và variance

Mô tả quy trình ước lượng sampling distribution của một statistic bằng phương pháp resampling (bootstrap, jackknife).

Chúng ta đã trình bày cách tính standard error của sample mean, dựa trên central limit theorem. Bây giờ, hãy chuyển sang phương pháp được gọi là resampling, bao gồm việc rút các sample mới từ sample dữ liệu được quan sát ban đầu nhằm phục vụ cho statistical inference về các population parameters. Một trong những loại resampling phổ biến nhất là bootstrapping - một quy trình statistical inference dựa trên computer simulations và không sử dụng các analytical formulas như z -statistic và t -statistic.

Trong quá trình bootstrapping, chúng ta rút các sample mới từ sample được quan sát ban đầu; hơn nữa, mỗi sample mới có cùng kích thước với sample ban đầu. Cần lưu ý rằng mỗi phần tử được rút ra sẽ được đưa trở lại sample để tiếp tục các lần rút sau đó (điều này có nghĩa là cùng một phần tử có thể được chọn nhiều hơn một lần). Trong trường hợp chúng ta muốn ước lượng standard error của sample mean, chúng ta rút nhiều sample rồi tìm mean của từng sample. Cần lưu ý rằng trong khi một số phần tử của sample ban đầu xuất hiện trong các sample mới, những phần tử khác có thể hoàn toàn không xuất hiện trong đó.

Exhibit 5: Bootstrap Resampling

Sample True Population Estimated Population Sample 1 Sample 2 …… Sample n Bootstrap Bootstrap ……. Bootstrap Sample 1 Sample 2 Sample “B” Estimate 1 Estimate 2 Estimate n Estimate 1 Estimate 2 Estimate B True Sampling Distribution Bootstrap Sampling Distribution

Bước tiếp theo là xây dựng một sampling distribution bằng các resample này. Bootstrap sampling distribution (phía bên phải của Exhibit 5) nên mô phỏng true sampling distribution. Standard error của sample mean được ước lượng thông qua Equation 4. Để phân biệt quy trình resampling được mô tả ở trên với các loại quy trình resampling khác, phương pháp resampling được mô tả ở trên còn được gọi là model-free resampling hoặc non-parametric resampling.

trong đó:

• B = số lượng resample được rút từ original sample,

• _θ_ˆ b = mean của một resample, và

• θ = mean của tất cả các resample mean.

Bootstrapping là công cụ mạnh mẽ và phổ biến nhất trong statistical inference. Như đã giải thích, nó có thể được sử dụng để ước lượng standard error của sample mean. Ngoài ra, bootstrap có thể được sử dụng để tìm standard error và xây dựng confidence intervals cho statistic của các population parameters khác như median mà các kỹ thuật đã đề cập trước đó không thể áp dụng. So với các phương pháp statistics truyền thống khác, bootstrap không phụ thuộc vào analytical formula để ước lượng distribution của các estimator. Đây là một công cụ rất đơn giản nhưng mạnh mẽ cho bất kỳ estimator phức tạp nào và đặc biệt hữu ích khi không có analytical formula. Bên cạnh đó, bootstrap có thể có một số lợi thế về độ chính xác. Xét đến tất cả các ưu điểm này, bootstrap có thể được áp dụng rộng rãi trong finance, ví dụ như trong historical simulations về asset allocation hoặc đo lường performance của một investment strategy so với một benchmark.

EXAMPLE 4

Minh họa Bootstrap Resampling

Exhibit 6 cung cấp một chuỗi gồm 12 monthly return của một cổ phiếu có tần suất giao dịch thấp (Column A). Mục tiêu của chúng ta là xác định standard error của sample mean. Sử dụng kỹ thuật bootstrap resampling, một số bootstrap sample hoặc resample (with replacement) được tạo ra từ một sample gồm 12 return.

Exhibit 6: Cổ phiếu ít được giao dịch, 12 Monthly Return

|Column A|Resample 1|Resample 2|Resample 3||Resample 1,000| |−0.096|0.055|−0.096|−0.033|…|−0.072| |−0.132|−0.033|0.055|−0.132|…|0.255| |−0.191|0.255|0.055|−0.157|…|0.055| |−0.096|−0.033|−0.157|0.255|…|0.296| |0.055|0.255|−0.096|−0.132|…|0.055| |−0.053|−0.157|−0.053|−0.191|…|−0.096| |−0.033|−0.053|−0.096|0.055|…|0.296| |0.296|−0.191|−0.132|0.255|…|−0.132| |0.055|−0.132|−0.132|0.296|…|0.055| |−0.072|−0.096|0.055|−0.096|…|−0.096| |0.255|0.055|−0.072|0.055|…|−0.191| |−0.157|−0.157|−0.053|−0.157|…|0.055| |Sample mean|−0.019|−0.060|0.001|…|0.040|

Với 1,000 resample như vậy, chúng ta có được 1,000 resample mean. Mean của tất cả các resample mean là −0.01367. Tổng bình phương chênh lệch giữa từng sample mean và mean của tất cả các resample mean ( ∑ Bb =1( θ ˆ b − θ )2 ) là 1.94143. Do đó, sử dụng Equation 4, chúng ta có thể tìm được estimate của standard error của sample mean:

• Jackknife* là một kỹ thuật resampling khác có thể được sử dụng để thực hiện statistical inference về các population parameters. Trong khi kỹ thuật bootstrapping rút các sample with replacement, các jackknife sample được rút bằng cách loại bỏ một observation tại một thời điểm khỏi tập dữ liệu của sample được quan sát ban đầu without replacement. Việc sử dụng kỹ thuật jackknife thường xuất phát từ mong muốn giảm bias của một estimator, mặc dù cũng có thể có các ứng dụng khác, bao gồm việc tính standard error và confidence interval của estimator. Từ computational algorithm, có thể thấy rằng jackknife luôn tạo ra cùng một kết quả trong tất cả các iteration, trong khi kết quả bootstrapping là ngẫu nhiên. Do đó, với sample size là n, jackknife thường cần n iteration, trong khi bootstrap không có quy tắc nghiêm ngặt về số iteration cần thiết.

QUESTION SET

1. Một analyst của một real estate investment firm đang phân tích housing market tại khu vực Greater Boston. Sau khi phân tích dữ liệu thu thập được về house price trong năm trước, cô ấy muốn ước lượng median house price của khu vực. Để ước lượng standard error của estimated median, cô ấy cân nhắc các lựa chọn sau:

Option 1: Standard error của sample median có thể được cho bởi_ √s_ n, trong đó s biểu thị sample standard deviation và n biểu thị sample size.

Option 2: Sử dụng bootstrap method để xây dựng sampling distribution của sample median và tính standard error với sự hỗ trợ của Equation 7.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

• A. Option 1 có thể được sử dụng để ước lượng standard error của sample median.

• B. Option 2 có thể được sử dụng để ước lượng standard error của sample median.

• C. Cả hai option trên đều có thể được sử dụng để ước lượng standard error của sample median.

Lời giải:

Option B là đúng vì option 1 phù hợp để ước lượng standard error của sample mean hơn là của sample median. Option 1 không thể được sử dụng vì sample median không liên quan đến việc sử dụng công thức được trình bày trong option. Do đó, cả option A và C đều sai. Kỹ thuật bootstrap cung cấp một phương tiện rất đơn giản để ước lượng standard error của một estimator, dù không có công thức hoặc công thức rất phức tạp.

Sau khi đã giới thiệu nhiều khái niệm cơ bản về sampling và estimation, hãy chuyển sang một số vấn đề về sampling đặc biệt liên quan đến các analyst. Độ tin cậy của các inference không chỉ bị ảnh hưởng bởi độ tin cậy của dữ liệu mà còn bởi sampling procedure đã được sử dụng. Các vấn đề đặc biệt gắn liền với financial data và các sampling procedure thường thể hiện một số bias nhất định.

2. Ông Otema Chi có một spreadsheet chứa 108 monthly return của cổ phiếu Marunou Corporation. Ông đã viết một computer program thực hiện bootstrap resampling đối với dữ liệu Marunou bằng phương pháp sampling with replacement. Số lượng resample do ông tạo ra là 200, và mỗi resample bao gồm 108 data item. Chương trình tính mean của từng resample trong số 200 resample và tính mean của 200 resample mean là 0.0261. Sau đó, chương trình trừ 0.0261 khỏi từng trong số 200 mean, bình phương từng trong số 200 chênh lệch và cộng chúng lại. Tổng thu được là 0.835. Sau đó, chương trình tính một estimate của standard error của sample mean.

Estimate nào sau đây về standard error của sample mean là đúng nhất?

A. 0.0115

B. 0.0648

Bài tập thực hành

• 1.* EN: Which one of the following statements is true regarding non-probability sampling?

Phát biểu nào sau đây là đúng về non-probability sampling?

• A. EN: The danger of non-representative samples is considerable.

Nguy cơ xuất hiện các sample không mang tính đại diện là đáng kể.

• B. EN: Every element in the population has an equal chance of being included in the sample.

Mọi phần tử trong population đều có cơ hội như nhau được đưa vào sample.

• C. EN: Exercise of judgment ensures that the population strata of interest get included in the sample.

Việc sử dụng judgment bảo đảm rằng các population strata được quan tâm sẽ được đưa vào sample.

• 2.* EN: In order to develop the best stratified random sample of a population, one should:

Để xây dựng stratified random sample tốt nhất của một population, người ta nên:

• A. EN: take an equal number of simple random samples from each subpopulation.

lấy số lượng simple random sample bằng nhau từ mỗi subpopulation.

• B. EN: choose every k th individual of the population up until obtaining the required sample size.

chọn mỗi cá thể thứ k trong population cho đến khi đạt được sample size cần thiết.

• C. EN: take simple random samples from each subpopulation in amounts proportionate to the size of each subpopulation.

lấy simple random sample từ mỗi subpopulation với số lượng tỷ lệ với quy mô của từng subpopulation.

• 3. EN: A non-normal population has a mean of µ and a variance of _σ_2. The distribution of the sample mean for this population where large samples are used will be:

Một non-normal population có mean là µ và variance là _σ_2. Distribution của sample mean đối với population này khi sử dụng large sample sẽ:

- **A.** *EN: the same distribution as the population distribution.*

có cùng distribution với population distribution. 

- **B.** *EN: its mean approximately equal to the population mean.*

có mean xấp xỉ bằng population mean. 

- **C.** *EN: its variance approximately equal to the population variance.*

có variance xấp xỉ bằng population variance. 

• 4. EN: A sample mean is found from a population whose variance is 2.45. The sample size is 40. The standard error of the sample mean is closest to:

Một sample mean được tính từ một population có variance là 2.45. Sample size là 40. Standard error của sample mean gần nhất với:

- **A.** *EN: 0.039.*

0.039. 

- **B.** *EN: 0.247.*

0.247. 

- **C.** *EN: 0.387.*

0.387. 

5. EN: Compared with bootstrap resampling, jackknife resampling:

So với bootstrap resampling, jackknife resampling:

- **A.** *EN: is done with replacement.*

được thực hiện with replacement. 

• B. EN: often requires that the number of repetitions equals the sample size.

thường yêu cầu số lần lặp bằng sample size.

• C. EN: provides different outcomes for each run since resamples are randomly selected.

cho kết quả khác nhau ở mỗi lần chạy vì các resample được chọn ngẫu nhiên.

LỜI GIẢI

1. EN: Answer A is correct. Since non-probability sampling relies not only on probability but also on other factors like the sampler’s judgment and the ease of accessing information, there is a great chance of getting a non-representative sample through non-probability sampling.

Đáp án A là đúng. Vì non-probability sampling không chỉ dựa vào probability mà còn dựa vào các yếu tố khác như judgment của người lấy mẫu và mức độ dễ dàng trong việc tiếp cận thông tin, nên có khả năng cao thu được một sample không mang tính đại diện thông qua non-probability sampling.

2. EN: C is correct. In stratified random sampling, a population is divided into subpopulations according to certain classifications. Next, simple random samples are selected from each subpopulation in quantities proportional to the subpopulations. The collected samples form the stratified random sample.

C là đúng. Trong stratified random sampling, một population được chia thành các subpopulation theo một số classification nhất định. Tiếp theo, simple random sample được chọn từ mỗi subpopulation với số lượng tỷ lệ với các subpopulation. Các sample được thu thập tạo thành stratified random sample.

3. EN: B is correct. According to the central limit theorem, in any case when a population is described by any distribution law (normal or non-normal) with a finite variance, the distribution of a sample mean will be asymptotically normally distributed with an average close to the average of the population.

B là đúng. Theo central limit theorem, trong bất kỳ trường hợp nào khi một population được mô tả bởi bất kỳ distribution law nào (normal hoặc non-normal) với finite variance, distribution của sample mean sẽ asymptotically normally distributed với average gần với average của population.

4. EN: B is correct. Calculation of the standard deviation (σ) using the square root of the known variance gives

B là đúng. Việc tính standard deviation (σ) bằng cách lấy square root của known variance cho:

EN: The formula for the standard error of the sample mean (σX) given a known sample size (n) is

- _σ_ =  √_ 2.45 = 1.565 . 

Công thức tính standard error của sample mean (σX) khi biết sample size (n) là:

EN: Therefore,

Do đó,

5. EN: B is correct. Jackknife resampling involves repeating the sampling process n times for a sample size of n. Bootstrap resampling leaves the number of repetitions for us to decide.

B là đúng. Jackknife resampling bao gồm việc lặp lại sampling process n lần đối với sample size là n. Bootstrap resampling để số lần lặp do chúng ta quyết định.