Parametric and Non-Parametric Tests of Independence

bởi Pamela Peterson Drake, PhD, CFA.

Pamela Peterson Drake, PhD, CFA, làm việc tại James Madison University (USA).

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

• mô tả các parametric và non-parametric tests đối với giả thuyết rằng population correlation coefficient bằng 0, và xác định liệu giả thuyết có bị bác bỏ tại một mức significance cụ thể hay không
• mô tả các tests of independence dựa trên dữ liệu contingency table

Trong một số tình huống trong investments, chúng ta cần xem xét mức độ linear association giữa hai variables; chúng ta cần kiểm tra correlation của hai variables. Một test về significance của một correlation coefficient cho phép chúng ta kiểm tra liệu association giữa hai random variables có phải là do ngẫu nhiên hay không. Trong Lesson 1, hai cách tiếp cận được xem xét để kiểm tra correlation của hai variables: một parametric test và một nonparametric test. Khi đã xác định được rằng association giữa các variables không phải do ngẫu nhiên, chúng ta có thể sử dụng thông tin này khi xây dựng models/forecasting thông qua regression analysis hoặc machine learning được đề cập trong các Learning Modules tiếp theo.

Tuy nhiên, trong trường hợp chúng ta có categorical hoặc discrete data, chúng ta không thể sử dụng các kỹ thuật được mô tả ở trên để kiểm tra liệu việc phân loại của chúng có independent hay không. Khi muốn kiểm tra liệu có bất kỳ association nào giữa categorical hoặc discrete data hay không, chúng ta có thể sử dụng test of independence với sự hỗ trợ của một non-parametric test statistic. Lesson thứ hai đề cập đến loại non-parametric test này dưới góc độ contingency tables.

■ Có ba dạng có thể có khi formulation hypotheses. Gọi θ là population parameters:

1. Two-sided alternative: H0 : θ = θ0 versus Ha : θ ≠ θ0

2. One-sided alternative (right side): H0 : θ ≤ θ0 versus Ha : θ > θ0

3. One-sided alternative (left side): H0 : θ ≥ θ0 versus Ha : θ < θ0

trong đó θ0 là assumed value của population parameter và θ là actual value của population parameter.

• Parametric tests là các hypothesis tests liên quan đến population parameters hoặc các hypothesis tests sử dụng một dạng distributional assumptions nào đó. Nonparametric tests là những tests hoàn toàn không liên quan đến population parameter hoặc chỉ đưa ra rất ít assumptions liên quan đến population mà từ đó một sample được rút ra.

• Một non-parametric test được áp dụng nếu data không thỏa mãn distributional assumptions, có outliers trong data set, data ở ranked form hoặc hypothesis đang được xem xét không liên quan đến một parameter.

• Trong hypothesis tests liên quan đến correlation, chúng ta sử dụng một t -test statistic để kiểm tra population correlation coefficient có bằng 0 hay không. Nếu có n observations cho hai variables, thì test statistic này tuân theo t -distribution có n − 2 degrees of freedom.

• Spearman rank correlation coefficient dựa trên việc ranking hai variables trong từng samples tương ứng của chúng.

• Một chi-squared distribution test statistic được sử dụng để kiểm tra independence giữa hai variables. Đây là một nonparametric test trong đó observed frequencies được so sánh với frequencies được kỳ vọng theo assumption of independence. Test statistic có ( r − 1)( c − 2) degrees of freedom, trong đó r là number of categories của variable thứ nhất và c là number of categories của variable thứ hai.

• parametric và nonparametric tests của giả thuyết rằng population correlation coefficient bằng 0 và xác định liệu giả thuyết có bị bác bỏ tại một given level of significance hay không

Trong số các hypotheses phổ biến nhất liên quan đến correlation, có thể phân biệt các trường hợp trong đó population correlation coefficient được so sánh với 0. Điều này xảy ra vì thông thường người ta cần xác định liệu có bất kỳ relationship nào tồn tại giữa các characteristics được nghiên cứu hay không, điều đó có nghĩa là null hypothesis sẽ giả định sự vắng mặt của một relationship như vậy (correlation bằng 0). Do đó, các hypotheses về population correlation coefficient có thể là one-tailed hoặc two-tailed, tùy từng trường hợp. Gọi ρ là population correlation coefficient. Có thể formulation các hypotheses sau:

• Two sided: H 0: ρ = 0 versus Ha : ρ ≠ 0

• One sided (right side): H 0: ρ ≤ 0 versus Ha : ρ > 0

• One sided (left side): H 0: ρ ≥ 0 versus Ha : ρ < 0

Các hypotheses này được kiểm tra bằng sample correlation.

Parametric Test of a Correlation

Pairwise correlation coefficient được gọi là Pearson correlation , bivariate correlation hoặc đơn giản là correlation. Chúng ta chỉ quan tâm đến việc kiểm tra correlation, chứ không phải tính toán nó; vì vậy, việc phân biệt nó với nonparametric correlation bằng cách sử dụng công thức sample correlation là hữu ích. Giả sử chúng ta có hai variables, X và Y. Khi đó sample correlation rXY được xác định như sau:

Ở đây, sXY biểu thị sample covariance giữa variables X và Y, trong khi sX và sY lần lượt là standard deviations của variables X và Y. Trong hầu hết các trường hợp, subscript được lược bỏ và correlation chỉ được biểu thị bằng r.

Vì vậy, bạn có thể thấy từ phương trình này rằng phần chênh lệch giữa một observation và mean của variable tương ứng được lấy, và do covariance term, điều quan trọng đối với chúng ta là biết một observation khác với corresponding variable mean của nó đến mức nào.

Tuy nhiên, nếu hai variables có normal distributions, test sau có thể được thực hiện để xem liệu null hypothesis ( H 0: ρ = 0) có bị bác bỏ hay không bằng cách sử dụng correlation coefficient, r.

Test statistic ở trên tuân theo t -distribution với n − 2 degrees of freedom. Một điểm hữu ích cần lưu ý về Equation 2 là khi sample size n trở nên lớn hơn, magnitude của r cần thiết để reject null hypothesis sẽ giảm. Điều này là vì: Thứ nhất, khi n trở nên lớn hơn, number of degrees of freedom trở nên lớn hơn và magnitude của critical value của t -statistic trở nên nhỏ hơn. Thứ hai, magnitude của numerator trở nên lớn hơn khi n trở nên lớn hơn, điều đó có nghĩa là magnitude của t -statistic sẽ trở nên lớn hơn. Ví dụ, với n = 12, r = 0.35 hàm ý t -statistic = 1.182, không khác biệt có ý nghĩa so với 0 tại mức 0.05 ( t α/2 = ±2.228). Với n = 32, r = 0.35 hàm ý t -statistic = 2.046, khác biệt có ý nghĩa so với 0 tại mức 0.05 ( t α/2 = ±2.042).

Một cách khác để diễn đạt ý tưởng trên là khi sample size được tăng lên trong khi sampling từ cùng một population, khả năng reject false null hypothesis, tức là power of the test, tăng lên, nếu mọi yếu tố khác không đổi, vì việc tăng number of observations dẫn đến sự gia tăng trong numerator của test statistic. Điều này được minh họa trong Exhibit 1 bên dưới, trong đó có ba sample correlation coefficients với các t -statistics tương ứng và significance tại mức 5% cho two-sided alternatives. Khi sample size tăng lên, significance trở nên có khả năng xảy ra hơn, nhưng xảy ra với các tốc độ khác nhau tùy thuộc vào sample correlation coefficient, theo nghĩa sample correlation càng lớn thì significance càng đạt được nhanh hơn khi sample size tăng. Với sample sizes ngày càng tăng do data sets ngày càng lớn, việc reject null hypothesis là không thể tránh khỏi, và do đó phải sử dụng các techniques of data analysis khác.

• Exhibit 1: Calculated t-Statistic Values for Various Sample Sizes and Sample Correlations under 5% Level of Significance

Calculated t -Statistic 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 12 21 30 39 48 57 66 75 84 93 Sample Size t -Statistic for Correlation = 0.2 Significant Correlation = 0.2 t -Statistic for Correlation = 0.4 Significant Correlation = 0.4 t -Statistic for Correlation = 0.6 Significant Correlation = 0.6

EXAMPLE 1

Ví dụ 1

Examining the Relationship between Returns on Investment One and Investment Two

Khảo sát mối quan hệ giữa Returns của Investment One và Investment Two

Nhà phân tích phân tích annual returns của Investment One và Investment Two trong khoảng thời gian 33 năm, như được trình bày trong Exhibit 2.

• Exhibit 2: Annual Returns on Investments One and Two for 33 Years*

Exhibit 2: Annual Returns của Investment One và Investment Two trong 33 Years

Annual Return (%) 12 10 8 6 4 2 0 –2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 Year Investment One Investment Two

Mặc dù biểu đồ time series này cung cấp một phần hiểu biết về tình huống, nhà phân tích quan tâm hơn đến việc xác định mức độ liên hệ giữa hai chuỗi return values này, vì vậy cô ấy tính correlation coefficient giữa hai chuỗi và nhận được kết quả là 0.43051.

1. Có bất kỳ significant positive correlation nào giữa hai return series ở trên nếu cô ấy áp dụng level of significance là 1% hay không? Lời giải:

EXAMPLE 2

Ví dụ 2

Correlation with the S&P 500 Returns

Correlation với S&P 500 Returns

1. Exhibit 3 cung cấp sample correlations của monthly returns của bốn mutual funds và S&P 500. Các correlations được tính bằng cách sử dụng 36 monthly returns. Bốn mutual funds là

Exhibit 3: Sample Correlations between Monthly Returns and the S&P 500

|Fund 1|Large-cap fund|||| |Fund 2|Mid-cap fund|||| |Fund 3|Large-cap value fund|||| |Fund 4|Emerging market fund|||| |S&P 500|US domestic stock index|||| ||Fund 1 Fund 2|Fund 3|Fund 4|S&P 500| |Fund 1|1|||| |Fund 2|0.9231 1|||| |Fund 3|0.4771 0.4156|1|||

|Fund 1|Large-cap fund|||| |Fund 2|Mid-cap fund|||| |Fund 3|Large-cap value fund|||| |Fund 4|Emerging market fund|||| |S&P 500|US domestic stock index|||| ||Fund 1 Fund 2|Fund 3|Fund 4|S&P 500| |Fund 1|1|||| |Fund 2|0.9231 1|||| |Fund 3|0.4771 0.4156|1|||*

|Fund 4|0.7111|0.7238|0.3102|1| |S&P 500|0.8277|0.8223|0.5791|0.7515 1|

Null hypothesis là mỗi correlation riêng lẻ trong số các correlations này bằng 0, đối lập với alternative hypothesis rằng nó không bằng 0. Level of significance là 5% và critical values của t là ±2.032.

Solution:

Lời giải:

Null hypothesis là H 0: ρ = 0 và alternative hypothesis là Ha : ρ ≠ 0. Các test statistics đã được tính bằng cách sử dụng phương trình

Quy trình này có thể được lặp lại cho tất cả các correlations trong matrix bên dưới:

Calculated t -Statistics for Correlations

| |Fund 1|Fund 2|Fund 3|Fund 4|S&P 500| |Fund 1|||||| |Fund 2|13.997||||| |Fund 3|3.165|2.664|||| |Fund 4|5.897|6.116|1.903||| |S&P 500|8.600|8.426|4.142|6.642||

Với các correlation coefficients có critical values là ±2.032, ngoại trừ correlation giữa Fund 3 và Fund 4 returns, chúng ta sẽ reject null hypothesis cho rằng các correlation coefficients này bằng 0. Điều này có nghĩa là có sufficient evidence cho thấy các correlation coefficients khác 0, ngoại trừ correlation của returns giữa Fund 3 và Fund 4.

Chúng ta cũng có thể sử dụng software để tính critical value:

Excel

R

Python

[from scipy.stats import t and t.ppf(.025,34) and t.ppf(.975,34)]

Cũng có thể sử dụng software để tính p -value của calculated test statistic nhằm có thể so sánh nó với level of significance. Ví dụ, khi t = 2.664, p -value sẽ là 0.01172.

Excel

[(1-T.DIST(2.664,34,TRUE))*2] R [(1-pt(2.664,34))*2]

Python

[from scipy.stats import t (1-t.cdf(2.664,34))*2]

Non-Parametric Test of Correlation: The Spearman Rank Correlation Coefficient

Khi chúng ta nghi ngờ rằng population đang được xem xét lệch khỏi normality theo một cách đáng kể, chúng ta có thể sử dụng một test dựa trên Spearman rank correlation coefficient , rS. Spearman rank correlation coefficient về cơ bản tương tự Pearson correlation coefficient như đã định nghĩa trước đó, nhưng correlation coefficient dựa trên ranks của hai variables (ví dụ, X và Y) trong sample. Việc tính rS yêu cầu các bước sau:

• 1.* Sắp xếp observations của X theo thứ tự giảm dần về size. Số 1 được gán cho observation lớn nhất, số 2 được gán cho observation lớn tiếp theo, và cứ tiếp tục như vậy. Trong trường hợp có ties, mỗi observation trong số các tied observations được gán rank tương ứng với mean của các positions mà chúng chiếm giữ. Do đó, trong trường hợp ties ở positions thứ ba và thứ tư, cả hai observations đều được xếp rank là 3.5 (average của 3 và 4). Các bước tương tự được lặp lại đối với observations của Y .

• 2.* Tìm difference di giữa ranks của các pairs of observations tương ứng trên X và Y ; tính squares của các differences này, di2 (squared difference).

Ví dụ, một analyst muốn xác định association giữa returns của hai risky portfolios A và B trong 35 years. Cô ấy có concerns về validity của các assumptions liên quan đến parametric correlation, vì vậy cô ấy quyết định thực hiện một test đối với Spearman rank correlations. Hypotheses của cô ấy là H 0: rS = 0 và Ha : rS ≠ 0. Cô ấy thu thập returns data của các funds, xếp rank returns của cả hai funds, tìm difference trong ranks và squared difference trong ranks. Partial table được trình bày bên dưới trong Exhibit 4.

• Exhibit 4: Differences and Squared Differences in Ranks for Fund A and Fund B over 35 Years*

Exhibit 4: Chênh lệch và bình phương chênh lệch trong Ranks của Fund A và Fund B trong 35 Years

|Year|Fund A|Fund B|Rank of A|Rank of B|d|d****2| |1|2.453|1.382|27|31|−4|16|

|Year|Fund A|Fund B|Rank of A|Rank of B|d|d****2| |1|2.453|1.382|27|31|−4|16|

⁝

|Year|Fund A|Fund B|Rank of A|Rank of B|d|d****2| |30|2.269|0.025|28|35|−7|49| |31|6.354|4.428|10|19|−9|81| |32|6.793|4.165|8|20|−12|144| |34|6.266|4.527|11|18|−7|49| ||||||Sum =|2,202|

Spearman's rank correlation như sau:

Quy trình hypothesis testing đối với Spearman rank correlation phụ thuộc vào việc sample là small hay large ( n > 30). Trong trường hợp sample size nhỏ, researcher sẽ cần có quyền truy cập vào một bảng critical values cụ thể, tuy nhiên, trong trường hợp sample size lớn, có thể thực hiện một t -test dựa trên test statistic trong Equation 2, test statistic này được phân phối theo t distribution với n − 2 degrees of freedom.

Trong ví dụ hiện tại, đối với two-tailed test với level of significance là 5%, critical values cho n − 2 = 35 − 2 = 33 degrees of freedom là ±2.0345. Đối với sample data được trình bày trong Exhibit 4, test statistic bằng:

Do đó, chúng ta reject null hypothesis ( H 0: rS = 0), và kết luận rằng có đủ evidence để nói rằng correlation giữa returns của Fund A và Fund B không bằng 0.

VÍ DỤ 3

Kiểm định Correlation của Exchange Rate

Một analyst thu thập dữ liệu exchange rate của năm currency so với US dollar. Khi xem xét distribution của các exchange rate, cô nhận thấy có sự lệch khỏi normal distribution, đặc biệt là negative skewness ở bốn series và positive skewness ở series thứ năm. Do đó, cô thấy hợp lý khi xem xét correlation giữa các currency này thông qua Spearman rank correlations. Spearman rank correlations giữa các currency dựa trên 180 ngày dữ liệu được cung cấp trong correlogram ở Exhibit 5. Trong correlogram, tam giác phía dưới chứa các giá trị correlation, trong khi tam giác phía trên thể hiện trực quan magnitude của correlation; các vòng tròn lớn hơn tương ứng với absolute value của correlation cao hơn và các vòng tròn màu đậm biểu thị negative correlation.

Exhibit 5: Spearman Rank Correlations giữa các Exchange Rate so với US Dollar

1.0 AUD 0.8 0.6 0.9124 CAD 0.4 0.2 0.6079 0.5654 EUR 0 –0.2 0.6816 0.7047 0.4889 GBP –0.4 –0.6 –0.1973 –0.2654 0.3691 –0.2046 JPY –0.8 –1.0

1. Chúng ta có thể bác bỏ null hypothesis về không có correlation ( H 0: rS = 0 và Ha : rS ≠ 0) tại significance level 5% đối với bất kỳ Spearman rank correlation theo từng cặp nào nêu trên không?

Lời giải:

Critical value của t cho 2.5% ở mỗi tail của distribution là ±1.97338.

Vì có năm exchange rate, sẽ có 5C2 = {5! / [2!(5-2)]}, hay 10, cặp correlation riêng biệt. Do đó, cần tính 10 t -statistics. Ví dụ, correlation coefficient của EUR/USD và AUD/USD là 0.6079. Giá trị của t -statistic là

Thực hiện quy trình nêu trên cho tất cả các cặp exchange rate, chúng ta thu được các test statistic như được liệt kê trong Exhibit 6 dưới đây.

• Exhibit 6: Test Statistics cho kiểm định Spearman Rank Correlations

||AUD/USD|CAD/USD|EUR/USD|GBP/USD| |CAD/USD|29.7409|||| |EUR/USD|10.2144|9.1455||| |GBP/USD|12.4277|13.2513|7.4773|| |JPY/USD|−2.6851|−3.6726|5.2985|−2.7887|

Kết luận, analyst cần bác bỏ cả 10 null hypotheses, vì các t -statistics được tính cho tất cả các cặp exchange rate đều nằm ngoài khoảng critical values.

Kiểm định Parametric và Non-Parametric về Independence

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bạn muốn tìm hiểu liệu có correlation giữa alpha và mutual fund expense ratios của các US large cap growth funds hay không. Dưới đây là mẫu dữ liệu.

EN: 1. State null and alternative hypotheses based on the research question statement.

1. Hãy nêu null hypothesis và alternative hypothesis dựa trên nội dung của research question.

EN: We have a “not equal to” alternative hypothesis:

Lời giải:

Chúng ta có alternative hypothesis dạng “không bằng”:

EN: 2. What test statistic would you use to test the hypotheses stated in Part A?

H 0: ρ = 0 versus Ha : ρ ≠ 0

2. Bạn sẽ sử dụng test statistic nào để kiểm định các hypothesis được nêu ở Phần A?

EN: The mutual fund expense ratios have an upper and lower bound; there is a lower bound on alpha (because no return can be lower than −100%), and mutual fund expense ratio cannot be negative. These two factors may not be normally distributed, and assumptions of a parametric test are unlikely to be met.

Lời giải:

EN: We will apply the non-parametric Spearman rank correlation coefficient test:

Mutual fund expense ratios có upper bound và lower bound; alpha có lower bound (vì không có return nào có thể thấp hơn −100%), và mutual fund expense ratio không thể âm. Hai yếu tố này có thể không tuân theo normal distribution, và các assumption của parametric test khó có khả năng được thỏa mãn.

Chúng ta sẽ áp dụng non-parametric Spearman rank correlation coefficient test:

EN: where the t-distributed test statistic is given as

trong đó t -distributed test statistic được xác định như sau

EN: The formula for calculating the Spearman rank correlation coefficient test is presented in the table below.

Công thức tính Spearman rank correlation coefficient test được trình bày trong bảng dưới đây.

|Mutual Fund|Alpha|Expense Ratio|Rank by Alpha|Rank by Expense Ratio|Difference in Rank|Difference Squared| |1|−0.52|1.34|6|6|0|0| |2|−0.13|0.40|1|9|−8|64| |3|−0.50|1.90|5|1|4|16| |4|−1.01|1.50|9|2.5|6.5|42.25| |5|−0.26|1.35|3|5|−2|4| |6|−0.89|0.50|8|8|0|0| |7|−0.42|1.00|4|7|−3|9| |8|−0.23|1.50|2|2.5|–0.5|0.25| |9|−0.60|1.45|7|4|3|9 144.5|

EN: 3. Find out whether to reject the null hypothesis at 0.05 level of significance when the critical values are ±2.306.

rs_ = 1 −6(144.5) 9(80)= − 0.20417.

EN: The test statistic that we get using the t-distributed test statistic

3. Hãy xác định có bác bỏ null hypothesis tại significance level 0.05 khi critical values là ±2.306 hay không.

Test statistic mà chúng ta thu được khi sử dụng t -distributed test statistic

EN: As the value lies within the range of +2.306, we do not reject the null hypothesis that the Spearman rank correlation coefficient is zero.

t = r√ n − 2 ______________________7 _ √ 1 − r_2 is_t= √− 0.20417 1 − 0.041681√= − 0.540183 0.978937= − 0.55181 .

Vì giá trị này nằm trong khoảng ±2.306, chúng ta không bác bỏ null hypothesis rằng Spearman rank correlation coefficient bằng 0.

các kiểm định independence dựa trên contingency table data

Trong trường hợp dữ liệu của chúng ta có tính categorical hoặc discrete, chúng ta không thể sử dụng các kỹ thuật đã thảo luận cho đến thời điểm này để kiểm định xem việc phân loại dữ liệu có độc lập hay không. Ví dụ, chúng ta quan sát frequency table sau đây của 1,594 ETF theo hai category: size và investment type (value, growth hoặc blend), như được minh họa trong Exhibit 7. Phân loại investment type có tính discrete, do đó chúng ta không thể sử dụng correlation để xác định mối quan hệ giữa size và investment type.

Kiểm định Parametric và Non-Parametric về Independence

Exhibit 7: Phân loại Size và Investment Type của 1,594 ETF

||Size Bas|ed on Market Capita|lization|| |Investment Type|Small|Medium|Large|Total| |Value|50|110|343|503| |Growth|42|122|202|366| |Blend|56|149|520|725| |Total|148|381|1,065|1,594|

Exhibit 7 được gọi là contingency table hoặc two-way table (vì ở đây có hai category - size và investment type).

Trong trường hợp chúng ta muốn kiểm định liệu có tồn tại mối quan hệ nào giữa size và investment type hay không, chúng ta có thể sử dụng test of independence bằng cách áp dụng một nonparametric test statistic có phân phối chi-square:

trong đó:

• m = số ô trong bảng, là tích của số nhóm trong class thứ nhất và số nhóm trong class thứ hai;

• Oij = số observation trong mỗi ô của hàng i và cột j (observed frequency); và

• Eij = số observation kỳ vọng trong mỗi ô của hàng i và cột j, với giả định independence (expected frequency).

Test statistic này có ( r − 1)( c − 1) degrees of freedom, trong đó r là số hàng và c là số cột.

Trong Exhibit 7, có ba nhóm trong size class (small, medium và large), đồng thời cũng có ba nhóm trong investment type class (value, growth và blend). Do đó, tổng số ô m là 9 (= 3 × 3). Số ETF trong mỗi ô ( Oij ), tức observed frequency, đã được cung cấp; vì vậy, để xác định giá trị của chi-square test statistic, chúng ta cần ước tính Eij, expected frequency, tức số ETF mà chúng ta kỳ vọng có trong mỗi ô nếu hai class, size và investment type, hoàn toàn independent. Số ETF kỳ vọng ( Eij ) được tính như sau:

Lấy một size và investment type, ví dụ small-cap value:

Chúng ta thực hiện phép tính trên cho tất cả các combination của size và investment type (nói cách khác, m = 9 combination) và thu được expected frequencies như được hiển thị trong Panel A của Exhibit 8. Sau đó, chúng ta thu được giá trị của

bằng cách bình phương chênh lệch giữa observed frequency và expected frequency rồi chia cho expected frequency của từng ô, như được chỉ ra trong Panel B của Exhibit 8. Bằng cách cộng các giá trị của

theo m ô, chúng ta thu được giá trị của chi-square statistic là 32.08025.

Exhibit 8: Dữ liệu đầu vào để tính Chi-Square Test Statistic cho 1,594 ETF với giả định Independence giữa Size và Investment Type

A. Expected Frequency của ETF theo Size và Investment Type

B. Scaled Squared Deviation cho từng Combination của Size và Investment Type

Trong ví dụ ETF của chúng ta, chúng ta muốn kiểm định null hypothesis về independence giữa hai class (nói cách khác, không có mối quan hệ giữa size và investment type) so với alternative hypothesis về dependence (nói cách khác, có mối quan hệ giữa size và investment type) tại significance level 5%, như được thể hiện trong Exhibit 9. Nếu observed values giống với expected values, test statistic sẽ bằng 0. Tuy nhiên, nếu observed values không giống expected values, test statistic sẽ lớn hơn 0 vì chênh lệch giữa observed values và expected values được bình phương. Do đó, trong test of independence sử dụng contingency table, chỉ có một rejection region, ở phía bên phải.

• Exhibit 9: Kiểm định Independence giữa Size và Investment Type của 1,594 ETF

Kiểm định Parametric và Non-Parametric về Independence

Bước 4 Nêu decision rule.

Tại α = 5% significance level và (3 − 1) × (3 − 1) = 4 degrees of freedom, critical value là 9.4877.

Contingency table có thể được biểu diễn dưới dạng đồ họa gọi là mosaic diagram. Mosaic diagram hiển thị các lưới tương ứng với chênh lệch giữa observed frequency count và expected frequency count. Hãy xem Exhibit 10, là biểu diễn của ETF contingency table.

Exhibit 10: Mosaic của ETF Contingency Table

Small Medium Large Size 4> 2 to 4 Value 0 to 2 –2 to 0 Growth Investment Type –4- to –2 –4< Blend Standardized Residuals:

Chiều rộng của các hình chữ nhật trong Exhibit 10 biểu thị tỷ trọng ETF thuộc nhóm small, medium và large, trong khi chiều cao biểu thị tỷ trọng ETF thuộc nhóm value, growth và blend. Phần tô đậm hơn biểu thị số observation lớn hơn mức kỳ vọng dựa trên independence, trong khi phần tô nhạt hơn biểu thị số observation thấp hơn mức kỳ vọng liên quan đến các standardized residual box. Standardized residual, còn được gọi là Pearson residual, được xác định như sau:

(6)

Đối với bài toán ETF này, chúng ta có thể nói rằng số lượng medium-size growth ETF (3.69 standardized residual) và số lượng large-size growth ETF (−2.72 standardized residual) lần lượt cao hơn và thấp hơn mức kỳ vọng, với giả định các variable independent.

VÍ DỤ 4

Sử dụng Contingency Tables để kiểm định Independence

Hãy xem contingency table được cung cấp trong Exhibit 11. Contingency table này phân loại 500 firm được chọn ngẫu nhiên theo hai khía cạnh của ESG ratings: environmental rating và governance rating.

• Exhibit 11: Phân loại 500 Firm được chọn ngẫu nhiên theo Environmental và Governance Ratings

||Govern|ance Rating||| |Environmental Rating|Progressive|Average|Poor|Total| |Progressive|35|40|5|80| |Average|80|130|50|260| |Poor|40|60|60|160| |Total|155|230|115|500|

1. Expected frequencies cho hai khía cạnh của ESG ratings này là gì nếu chúng independent với nhau?

Lời giải:

Expected frequencies nếu các category independent với nhau được trình bày trong Panel A của Exhibit 12. Ví dụ, expected frequency của category “progressive governance và progressive environmental ratings” được tính bằng Equation 5 như sau:

Scaled squared deviations cho từng category của environmental và governance ratings được cung cấp trong Panel B của Exhibit 12. Ví dụ, scaled squared deviation cho category “progressive governance và progressive environmental ratings” được xác định bằng Equation 4 như sau:

Kiểm định Parametric và Non-Parametric về Independence

Exhibit 12: Dữ liệu đầu vào để tính Chi-Square Test Statistic với giả định Independence giữa Environmental và Governance Ratings

A. Expected Frequencies của Environmental và Governance Ratings với giả định Independence

• • B. Scaled Squared Deviation cho từng Combination của Environmental và Governance Ratings*

2. Tại significance level 5%, hãy kiểm định xem hai category ESG rating này có independent với nhau hay không.

Lời giải:

Một nhóm các nhà phân tích theo dõi 250 công ty và phân loại chúng dựa trên hai tiêu chí. Thứ nhất, họ phân loại các công ty theo lịch sử chi trả dividend và dự báo earnings vào một trong ba nhóm, trong đó 1 đại diện cho nhóm dividend stars và 3 đại diện cho nhóm dividend laggards. Thứ hai, họ phân loại các công ty dựa trên financial leverage của công ty bằng cách sử dụng debt ratios, debt terms và corporate governance vào một trong ba nhóm, trong đó 1 đại diện cho nhóm có mức risk thấp nhất dựa trên tiêu chí financial leverage và 3 đại diện cho nhóm có mức risk cao nhất. Việc phân loại 250 công ty được trình bày dưới đây:

Dựa trên việc phân loại 250 công ty, hãy trả lời các câu hỏi sau.

1. Các giả thuyết để kiểm định tính độc lập của hai nhóm phân loại này là gì?

   • Lời giải:

Các giả thuyết được trình bày dưới đây:

H 0 : Không có mối quan hệ giữa các xếp hạng dividend và financial leverage, do đó các cách phân loại này là độc lập.

• Ha : Có mối quan hệ giữa các xếp hạng dividend và financial leverage, do đó các cách phân loại này không độc lập.

2. Test statistic đúng cho loại kiểm định này là gì? Lời giải:

Test statistic đúng là

trong đó Oij đề cập đến tần suất quan sát được của nhóm i và j, còn Eij đề cập đến tần suất kỳ vọng của nhóm i và j với giả định rằng các cách phân nhóm là độc lập.

Các tần suất kỳ vọng theo giả định về tính độc lập như sau:

|Financial Leverage|Di|vidend Gro|up|| |Nhóm|1|2|3|Tổng| |Tổng|80|100|70|250|

Các scaled squared deviations cho từng tổ hợp nhóm như sau:

3. Với critical value tại mức significance 0.05 là 9.4877, hãy nêu kết luận của bạn.

Lời giải:

Tổng của các scaled squared deviations này là computed chi-square value bằng 46.3223. Vì computed value lớn hơn critical value là 9.4877, chúng ta bác bỏ null hypothesis về tính độc lập giữa các cách phân nhóm này.

EN: Jill Batten is investigating the relationship between the returns on the stock of Stellar Energy Corp. and the percentage change in the US Consumer Price Index for Energy (CPIENG) in the prior month. With 248 data points, the sample correlation between the two variables (Stellar and CPIENG) is −0.1452. In addition, she wants to test the statistical significance of the sample correlation against zero. The critical value for the test statistic is 1.96. In this case, the statistical relationship between Stellar and CPIENG can be considered as:

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: A. significant, since the calculated test statistic is not within the range of the critical values for the test statistic.

1. Jill Batten đang nghiên cứu mối quan hệ giữa returns của cổ phiếu Stellar Energy Corp. và mức thay đổi theo % của US Consumer Price Index for Energy (CPIENG) trong tháng trước. Với 248 data points, sample correlation giữa hai biến (Stellar và CPIENG) là −0.1452. Ngoài ra, cô muốn kiểm định statistical significance của sample correlation so với 0. critical value của test statistic là 1.96. Trong trường hợp này, mối quan hệ thống kê giữa Stellar và CPIENG có thể được xem là:

EN: B. significant, since the calculated test statistic is less than the critical value for the test statistic.

A. significant, vì calculated test statistic không nằm trong phạm vi của các critical values đối với test statistic.

EN: C. insignificant, since the calculated test statistic is not within the range of the critical values for the test statistic.

B. significant, vì calculated test statistic nhỏ hơn critical value đối với test statistic.

EN: 2. Which one of the following statements is true concerning the chi-square test for independence?

C. insignificant, vì calculated test statistic không nằm trong phạm vi của các critical values đối với test statistic.

EN: A. The test has a one-sided rejection region.

2. Phát biểu nào sau đây là đúng liên quan đến chi-square test for independence?

EN: B. The null hypothesis is that the two groups are independent.

A. Kiểm định có một rejection region một phía.

EN: C. With two categories and each having three levels or groups, the degrees of freedom would be six.

B. null hypothesis là hai nhóm độc lập.

C. Với hai categories và mỗi category có ba levels hoặc groups, degrees of freedom sẽ là sáu.

EN: 1. A is correct. The calculated test statistic is

LỜI GIẢI

1. A là đáp án đúng. calculated test statistic là

EN: Since the t value = -2.30177 lies beyond the critical range of ±1.96, we reject the null hypothesis of no relationship and state that the evidence is enough to say that the relationship is not zero.

EN: 2. A is correct since in the test statistic, there are squares of differences between observed and expected values, meaning that it is a one-sided test on the right side. B is wrong since the null hypothesis is that the two groups are independent, and C is also wrong since the degrees of freedom are four.

Vì t value = -2.30177 nằm ngoài critical range ±1.96, chúng ta bác bỏ null hypothesis về việc không có mối quan hệ và kết luận rằng bằng chứng là đủ để cho thấy mối quan hệ không bằng 0.

2. A là đáp án đúng vì trong test statistic có bình phương của chênh lệch giữa observed values và expected values, điều này có nghĩa đây là một kiểm định một phía ở phía bên phải. B sai vì null hypothesis là hai nhóm độc lập, và C cũng sai vì degrees of freedom là bốn.