Simulation Methods

do Kobor Adam, PhD, CFA biên soạn.

Adam Kobor, PhD, CFA, tại New York University Investment Office (USA)

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên phải có khả năng:

• mô tả mối quan hệ giữa normal distribution và lognormal distribution, cũng như lý do lognormal distribution được sử dụng để mô hình hóa asset prices khi sử dụng continuously compounded asset returns
• mô tả Monte Carlo simulation và giải thích cách nó có thể được sử dụng trong các ứng dụng đầu tư
• mô tả việc sử dụng bootstrap resampling khi thực hiện một simulation dựa trên observed data trong các ứng dụng đầu tư

Việc hiểu và áp dụng probability distribution là một trong những khía cạnh then chốt trong việc dự báo giá tài chính và giá tài sản. Trong learning module này, các khái niệm chính liên quan đến probability distribution được trình bày. Khi nói đến việc áp dụng probability distributions, learning module này sẽ cung cấp thông tin về việc xây dựng và diễn giải phân tích Monte Carlo simulation. Bên cạnh đó, bootstrapping, phương pháp có những điểm tương đồng với Monte Carlo simulations, cũng sẽ được giải thích.

• Lognormal distribution được sử dụng rộng rãi để mô hình hóa probability distribution của financial asset prices vì distribution này có cận dưới là 0 giống như asset prices và cũng mô tả đúng các đặc điểm statistical distribution của financial asset prices. Lognormal distribution thường lệch về bên phải.

• Continuously compounded returns được sử dụng trong nhiều asset pricing models, bao gồm cả risk management.

• Monte Carlo Simulation là một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi trong đầu tư để ước lượng risk và return. Đặc biệt, phương pháp này được sử dụng để định giá các securities phức tạp có embedded options, khi không có pricing formula dành cho các securities này.

• Trong Monte Carlo Simulation, nhiều random samples được tạo ra từ probability distribution hoặc chuỗi distributions được lựa chọn để xác định xác suất thu được một tập hợp outcomes nhất định.

• Bootstrapping hoạt động như một simulation của việc random sampling từ một population để thu được một sampling distribution. Bootstrapping giả định rằng sample được chọn ngẫu nhiên chính là toàn bộ population.

• Vì random sample là một representative sample của population, bootstrapping có thể tái tạo quy trình sampling từ population thông qua việc sampling từ chính sample đó.

Mối quan hệ giữa normal distribution và lognormal distribution, cũng như lý do sử dụng lognormal distribution để mô hình hóa asset prices khi sử dụng continuously compounded asset returns, sẽ được giải thích dưới đây.

Lognormal Distribution

Tương tự normal distribution, lognormal distribution được sử dụng rộng rãi để mô hình hóa probability distribution của asset prices, đặc biệt là share prices. Ví dụ, lognormal distribution là một phần của Black-Scholes-Merton model dùng để định giá options. Theo Black-Scholes-Merton model, giá của asset underlying option tuân theo lognormal distribution.

Một random variable Y được cho là tuân theo lognormal distribution nếu natural logarithm của biến này, ln Y, có normal distribution. Ngược lại, nếu natural logarithm của một random variable Y, ln Y, có normal distribution, thì Y tuân theo lognormal distribution. Một cách dễ ghi nhớ là có thể hiểu lognormal distribution là "log là normal."

Lognormal distribution có hai đặc tính then chốt. Thứ nhất, nó có cận dưới là 0. Thứ hai, lognormal distribution có positive skewness, nghĩa là nó có một right tail dài. Hãy xem hai pdf của lognormal distributions trong Exhibit 1 và lưu ý hai đặc tính này. Financial asset prices có cận dưới là 0. Trên thực tế, người ta nhận thấy rằng lognormal distribution là một distribution đủ chính xác đối với asset prices. Ngược lại, normal distribution là một distribution tốt để mô hình hóa returns. Vì vậy, cả hai distributions đều rất quan trọng đối với các finance practitioners.

Exhibit 1: Hai Lognormal Distributions

Tương tự normal distribution, lognormal distribution được xác định hoàn toàn bởi hai parameters. Điểm phân biệt lognormal distribution với nhiều distributions khác là nó được xác định theo các parameters của một distribution khác. Hai parameters của lognormal distribution là mean và variance của associated normal distribution: mean và variance của ln Y, với điều kiện Y là lognormal. Vì vậy, chúng ta cần xem xét hai nhóm mean và standard deviation, hoặc variance: (1) mean và standard deviation, hoặc variance, của associated normal distribution, đây là các parameters; và (2) mean và standard deviation, hoặc variance, của chính lognormal variable.

Ví dụ, để minh họa lognormal distribution, chúng ta đã tạo ra 1,000 scenarios về yearly returns của một asset, với giả định rằng các returns này tuân theo normal distribution có mean 7% và standard deviation 12%. Đối với mỗi scenario i, chúng ta chuyển đổi simulated continuously compounded returns ( ri ) thành future asset prices bằng công thức Price(1 year later) i = USD1 × exp( ri ), với giả định rằng giá của asset hôm nay là USD1. Xem Exhibit 2. Panel A mô tả distribution của simulated returns cùng với normal pdf được fitted, trong khi Panel B cho thấy distribution của future asset prices cùng với lognormal pdf được fitted. Lưu ý rằng lognormal distribution có cận dưới là 0 và có một right tail dài.

Exhibit 2: Simulated Returns (Normal PDF) và Asset Prices (Lognormal PDF)

A. Normal PDF

120 100 80 60 40 20 0 –28.76 –18.58 –8.41 1.76 11.93 22.1 32.27 42.45 Yearly Returns (%) Histogram Normal Fit

B. Lognormal PDF

120 100 80 60 40 20 0 0.75 0.86 0.98 1.09 1.21 1.32 1.44 1.55 Asset Values 1 Year Later (USD 1 Initial Investment) Histogram Lognormal Fit

Các công thức cho mean và variance của lognormal random variable khá phức tạp. Giả sử X là một normal random variable có mean μ và variance σ__2. Đặt Y = exp( X ). Lưu ý rằng phép biến đổi được biểu diễn bởi exp( X ) hoặc e_X_ ( e = 2.7183) là phép biến đổi ngược của việc lấy log. Vì ln Y = ln [exp( X )] = X có normal distribution, chúng ta giả định X có normal distribution, nên Y có lognormal distribution. Expected value của Y = exp( X ) là bao nhiêu? Có thể người ta sẽ cho rằng E[ Y ] = exp(μ). Expected value thực tế của Y là exp(μ + 0.50 σ__2), lớn hơn exp(μ) theo factor exp(0.50 σ__2) > 1. Tại sao? Khi tăng σ__2, có thể thấy distribution trở nên rộng hơn; nó mở rộng về phía trên nhưng không mở rộng về phía dưới vì nó không thể thấp hơn 0. Do đó, tâm của distribution bị kéo sang phải: Mean của distribution dịch chuyển lên trên. Các biểu thức cho mean và variance của lognormal random variable được liệt kê dưới đây, trong đó μ và σ__2 lần lượt là mean và variance của normal distribution liên kết với lognormal random variable, hãy xem bên dưới khi cần sử dụng các biểu thức này thay vì ghi nhớ chúng:

■ Mean ( μL ) của một lognormal random variable = exp( μ + 0.50 σ__2 ).

• Variance ( σL__2 ) của một lognormal random variable = exp(2 μ + σ__2 ) × [exp( σ__2 ) − 1].

Continuously Compounded Rates of Return

Bây giờ, chúng ta xem xét mối liên hệ giữa stock return và stock price distribution. Trong phần này, chúng ta chứng minh rằng nếu continuously compounded return của một stock có normal distribution, thì future stock price nhất thiết có lognormal distribution. Hơn nữa, chúng ta chứng minh rằng stock price có thể được mô hình hóa tốt bằng lognormal distribution ngay cả khi continuously compounded returns không có normal distribution. Đây là các nền tảng lý thuyết cho việc sử dụng lognormal distribution để mô hình hóa giá của assets.

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng stock price tại một thời điểm tương lai T, PT, bằng current stock price, P 0, nhân với e lũy thừa r0,T, tức continuously compounded return từ thời điểm 0 đến T:

Trước đó, trong bài học, chúng ta đã chỉ ra rằng r 0,T, continuously compounded return đến thời điểm T, bằng tổng của các one-period continuously compounded returns như sau:

Trong trường hợp returns có normal distribution, r 0,T sẽ có normal distribution, trong một số điều kiện, hoặc có approximate normal distribution, không cần điều kiện. Vì PT tỷ lệ với logarithm của một normal random variable, PT có lognormal distribution.

Một trong những giả định nền tảng trong hầu hết các khoản đầu tư là returns independently and identically distributed (i.i.d.). Independence có nghĩa là investors không thể dự đoán future returns từ past returns. Giả định về identical distribution hàm ý rằng return process thể hiện đặc tính stationarity.

Giả sử one-period continuously compounded returns, chẳng hạn r 0,1, là các i.i.d. random variables có mean μ và variance σ2, không giả định normality hay các distributions khác. Trong trường hợp này,

(do giả định independence).

Variance của T period continuously compounded return bằng T lần variance của one-period continuously compounded return; ngoài ra, σ( r 0,T) = σ √ T. Nếu one-period continuously compounded returns ở vế phải của Equation 1 ở trên có normal distribution, thì T period continuously compounded return, r 0,T, cũng sẽ có normal distribution với mean μ_T_ và variance σ__2__T. Điều này là do linear combination của các normally distributed random variables cũng có normal distribution.

Ngay cả khi one-period continuously compounded returns không có normal distribution, tổng của chúng, r 0,T, vẫn có approximate normal distribution do central limit theorem. Bây giờ hãy so sánh PT = P 0exp( r 0,T) với Y = exp( X ), trong đó X có normal distribution còn Y có lognormal distribution, như chúng ta đã đề cập trước đó. Rõ ràng future stock price PT có thể được mô hình hóa bằng một lognormal random variable vì r 0,T được kỳ vọng có approximate normal distribution. Giả định về normality của return là nền tảng cho việc sử dụng lognormal distribution làm mô hình cho distribution của giá stocks và các financial assets khác.

Continuously compounded returns được sử dụng trong nhiều asset pricing models cũng như trong risk management. Volatility là một thước đo standard deviation của continuously compounded returns của underlying asset; thông thường volatility được biểu thị dưới dạng annualized measure. Volatility được ước lượng từ một time series của continuously compounded daily returns. Chúng ta thu thập một tập hợp daily holding period returns, chuyển đổi chúng thành continuously compounded daily returns, sau đó tính standard deviation của continuously compounded daily returns và annualize nó bằng Equation 3.

Việc annualization thường được thực hiện dựa trên 250 ngày trong một năm, con số này xấp xỉ số trading days trong một năm. Vì vậy, nếu daily volatility là 0.01, chúng ta sẽ biểu thị volatility, annualized, là 0.01 √_ 250 = 0.1581 . Example 1 trình bày việc ước lượng volatility cho shares của Astra International.

VÍ DỤ 1

Volatility của Share Price

Giả sử bạn đang nghiên cứu shares của Astra International (Indonesia Stock Exchange: ASII), và bạn quan tâm đến price behavior của Astra trong một tuần khi tin tức kinh tế quốc tế có ảnh hưởng đáng kể đến Indonesian stock market. Bạn quyết định sử dụng volatility làm thước đo variability của Astra shares trong tuần đó. Exhibit 3 trình bày closing prices trong tuần đó.

Exhibit 3: Astra International Daily Closing Prices

Sử dụng dữ liệu đã cho để thực hiện các yêu cầu sau:

1. Cần ước lượng volatility của Astra stocks. (Có thể ước lượng annual volatility dựa trên 250 business days mỗi năm.)

Lời giải:

Trước tiên, tính continuously compounded daily returns, sau đó tính standard deviation của chúng bằng phương pháp thông thường. Khi tính sample variance để xác định sample standard deviation, mẫu số sẽ bằng sample size trừ 1.

ln(7,000/6,950) = 0.007168.

ln(6,850/7,000) = −0.021661. ln(6,600/6,850) = −0.037179. ln(6,350/6,600) = −0.038615. Tổng = −0.090287. Mean = −0.022572. Variance = 0.000452.

Standard deviation = 0.021261.

Standard deviation của continuously compounded daily returns bằng _ 0.021261. Theo Equation 3, σ ˆ ( r 0, T ) = σ ˆ √ T. Trong trường hợp trên, σ ˆ là sample standard deviation của one-period continuously compounded returns. Do đó, σ ˆ bằng 0.021261. Chúng ta đang thực hiện annualization, điều này hàm ý rằng T đại diện cho năm. σ ˆ được tính theo ngày; do đó, T tương đương với 250, tức số trading days trong một năm.

Vì vậy, annual volatility của Astra stock trong tuần đó là 33.6%, có thể tính từ 0.021261 √_

2. Xác định một estimate cho continuously compounded annual expected return của Astra.

Lời giải:

Lưu ý rằng sample mean, -0.022572 (từ Lời giải 1), là một sample estimate của mean, μ, của continuously compounded one period hoặc daily returns. Sample mean này có thể được chuyển đổi thành một estimate của expected continuously compounded annual return, sử dụng Equation 2, μ ˆ T = – 0.022572 (250) (sử dụng 250 để nhất quán với volatility calculation).

3. Hãy nhận xét liệu có hợp lý khi sử dụng sample mean của daily returns để tính expected continuously compounded annual return của cổ phiếu Astra hay không.

Lời giải:

Chỉ có bốn quan sát daily return và con số này là quá ít để estimate expected returns. Ngoài ra, variability trong daily returns lấn át bất kỳ tín hiệu nào về expected return trong một chuỗi nhỏ như vậy.

4. Phân phối của cổ phiếu Astra là gì nếu continuously compounded daily returns có phân phối normal?

Lời giải:

Nếu continuously compounded daily returns của cổ phiếu Astra có phân phối normal, thì giá cổ phiếu Astra sẽ có phân phối lognormal.

Do đó, đã xác lập rằng probability distribution của stock price tuân theo phân phối lognormal trong những điều kiện nhất định. Trước đây, các công thức mean và variance của một lognormally distributed random variable đã được trình bày dưới dạng các gạch đầu dòng. Đối với stock price, μ ˆ và σ ˆ2 xuất hiện trong các công thức trên sẽ đại diện cho mean và variance của horizon T, chứ không phải của one-period, continuously compounded returns, nhất quán với horizon PT.

mô tả Monte Carlo simulation và giải thích cách phương pháp này có thể được sử dụng trong các ứng dụng đầu tư

Sau khi đã hiểu các probability distributions được sử dụng để mô tả giá của assets và returns của chúng, chúng ta chuyển sự chú ý sang một phương pháp được gọi là Monte Carlo simulation, trong đó probability distributions giữ vai trò quan trọng. Một trong những đặc điểm của Monte Carlo simulation là việc tạo ra nhiều random samples được rút ra từ một probability distribution nhằm tìm xác suất thu được một phạm vi các kết quả có thể xảy ra.

Monte Carlo simulation được áp dụng rộng rãi trong việc estimate risk và return cho mục đích đầu tư. Trong bối cảnh này, chúng ta thực hiện simulation về hiệu suất profit/loss của portfolio trong một time horizon, trên cơ sở từng asset hoặc trên cơ sở toàn bộ portfolio. Bằng cách chạy repeated trials trong quá trình simulation và rút ngẫu nhiên các quan sát từ một probability distribution, chúng ta sẽ thu được một simulated frequency distribution của portfolio returns, từ đó có thể xác định các measures về performance và risk.

Ứng dụng quan trọng thứ hai của Monte Carlo simulation trong đầu tư liên quan đến valuation của complex securities mà giá trị của chúng không thể được estimate bằng một analytic pricing formula. Ngoài ra, đối với một số securities, chẳng hạn mortgage backed securities có embedded options, Monte Carlo simulation là một công cụ modeling quan trọng. Vì chúng ta kiểm soát các underlying assumptions khi thực hiện simulation, chúng ta có thể áp dụng Monte Carlo simulation cho model valuation của các securities đó và đánh giá sensitivity của model đối với sự thay đổi trong một số assumptions nhất định.

Để hiểu procedure của Monte Carlo Simulation, phương pháp này được trình bày thông qua chuỗi các bước sau, có thể được xem là một overview về cách Monte Carlo Simulation nên được áp dụng trong các tình huống khác nhau.

Để minh họa các bước nêu trên, chúng ta áp dụng Monte Carlo Simulation vào valuation của option, contingent claim, mà giá trị của nó phụ thuộc vào giá của một underlying security khác. Không có analytic pricing formula cho các contingent claims như vậy. Trong trường hợp của chúng ta, giá trị của contingent claim, một Asian option, bằng chênh lệch giữa underlying stock price tại maturity và average stock price trong suốt thời hạn tồn tại của contingent claim hoặc USD 0, tùy giá trị nào lớn hơn. Ví dụ, nếu underlying stock price tại maturity là USD 34 và average stock price là USD 31 trong suốt thời hạn của claim, giá trị của contingent claim tại maturity là USD 3 (USD 34 – USD 31 = USD 3).

Giả sử thời hạn của claim là một năm. Chúng ta sẽ simulate stock prices theo tháng trong khoảng thời gian 12 tháng và tạo ra 1,000 scenarios để evaluate giá trị của contingent claim này. Payoff diagram của contingent claim security này được thể hiện ở Panel A của Exhibit 4, histogram của simulated average và final stock prices được trình bày ở Panel B và histogram của simulated payoffs của contingent claim được trình bày ở Panel C.

Payoff diagram (Panel A) phản ánh trạng thái của contingent claim tại maturity. Khi final price của stock thấp hơn average value của nó trong suốt thời hạn tồn tại của contingent claim, payoff sẽ bằng USD 0. Ngược lại, payoff sẽ bằng chênh lệch giữa final price và average price của stock. Histogram của simulated

final và average stock prices được trình bày ở Panel B. Lưu ý rằng simulated distribution của final price rộng hơn simulated distribution của average price. Hơn nữa, lưu ý rằng giá trị của contingent claim phụ thuộc vào chênh lệch giữa final và average stock prices.

Exhibit 4: Payoff Diagram, Histogram of Simulated Average, and Final Stock Prices, and Histogram of Simulated Payoffs for Contingent Claim

A. Biểu đồ payoff của Contingent Claim Payoff (USD) 35 30 25 20 15 10 5 0 –30 –20 –10 0 10 20 30 Final Price Trừ Average Price (USD)

B. Histogram của Simulated Average và Final Stock Prices Số lần thử

250 200 150 100 50 0 16.0 20.7 25.5 30.2 34.9 39.7 44.4 Stock Price (USD) Average Stock Price Final Stock Price

C. Histogram của Simulated Contingent Claim Payoffs

Số lần thử

700 600 500 400 300 200 100 0 0 1.7 3.5 5.2 6.9 8.7 10.4 Contingent Claim Payoff (USD)

Cuối cùng, Panel C trình bày histogram của contingent claim payoffs được tạo ra bởi Monte Carlo simulation. Trong 654 trên 1,000 trials, ending stock price nhỏ hơn hoặc bằng average price; do đó, contingent claim không tạo ra payoff trong 65.4% số trials. Mặt khác, trong 34.6% số trials, contingent claim chi trả phần chênh lệch dương giữa final price và average price, với mức payoff cao nhất là USD 11.

Exhibit 5 cung cấp process flowchart để triển khai Monte Carlo simulation nhằm value contingent claim. Ba bước đầu tiên trong quy trình trình bày cách xác định simulation; trong khi các bước từ 4 đến 6 trình bày cách chạy simulation.

Exhibit 5: Các bước triển khai Monte Carlo Simulation

Bước 1: Xác định đại lượng cần quan tâm (tức là, giá trị của contingent claim) Xác định Bước 2: Xác định một time grid; K sub-periods Monte Carlo Simulation simulation với mức tăng �t cho toàn bộ time horizon Bước 1: Xác định model với Bước 3: Xác định phương pháp tạo risk factors dữ liệu được sử dụng trong simulation Bước 2: Xác định probability Bước 4: Sử dụng simulated values để distributions cho các tạo ra stock prices được dùng để value risk factors chính Chạy contingent claim Bước 3: Rút random numbers simulation từ distributions cho từng trong Bước 5: Tính average stock price risk factor chính trong từng số lượng đã xác định và giá trị của contingent trong số K sub-periods trials claim payoff Bước 4: Sử dụng model để chuyển đổi random numbers thành stock Bước 6: Lặp lại các bước 4&5 trong số lượng prices trials cần thiết. Sau đó tính summary value (tức là average của present values của contingent claim payoff)

Procedure để thực hiện Monte Carlo simulation nhằm value contingent claim bằng six-step approach được trình bày dưới đây:

• 1.* Xác định đại lượng cần quan tâm theo các underlying variables. Đại lượng cần quan tâm là contingent claim value, và underlying variable là stock price. Sau đó, xác định (các) giá trị khởi đầu của (các) underlying variable.

• CiT là ký hiệu chúng ta sử dụng cho giá trị của claim tại maturity, T. i là chỉ số dưới trong CiT, cho thấy CiT là giá trị được tạo ra bởi simulation trial thứ i, theo đó trong mỗi simulation trial, một lần rút các random values (một iteration của Step 4) được thực hiện.

• 2.* Xác định time grid. Chia horizon theo calendar time thành K subperiods. Calendar time / K là increment of time, Δ t. Trong trường hợp của ví dụ trên, calendar time là một năm, trong khi K là 12, do đó Δ t bằng một tháng.

• 3.* Xác định data generation scheme. Cần thiết lập các distributional assumptions liên quan đến các key risk factors quyết định dynamics của các underlying variables. Trong ví dụ của chúng ta, stock price là underlying variable của contingent claim; do đó, cần thiết lập model về stock price movement, tương đương với period return model. Chúng ta áp dụng model sau cho những thay đổi trong stock price. Zk là ký hiệu cho standard normal random variable:

ΔStock price = ( μ × Prior stock price × Δ t ) + ( σ × Prior stock price × Zk ).

Zk là key risk factor trong simulation process. Thông qua việc thiết lập μ (mean) và σ (standard deviation), distribution của stock price variable được kiểm soát. Mặc dù trong ví dụ của chúng ta chỉ có một key risk factor, nhưng một simulation nhất định có thể có nhiều key risk factors.

Sau đó, bằng cách sử dụng computer software hoặc một function trong spreadsheet, hãy generate K random values của mỗi risk factor. Trong ví dụ của chúng ta, function trong spreadsheet sẽ tạo ra một draw gồm K (= 12) giá trị của standard normal variable Zk: Z1, Z2, Z3, . . ., ZK. Việc tạo standard normal random numbers (hoặc random numbers thuộc bất kỳ distribution nào) sẽ được thảo luận thêm sau khi trình bày các simulation steps.

• 4. Sử dụng simulated values để tạo ra stock prices được dùng để value contingent claim. Procedure này chuyển các normally distributed random numbers được tạo ở Step 3 thành những thay đổi trong stock price (ΔStock price) bằng cách sử dụng công thức về stock price dynamics từ Step 3. Kết quả của procedure này là K samples về mức thay đổi tiềm năng của stock price trong K sub-periods (hãy nhớ rằng K = 12). Bước bổ sung sẽ chuyển những thay đổi này thành K stock prices dựa trên initial stock price trong K sub-periods. Bước này rất quan trọng: chúng ta sử dụng các distributional assumptions của Monte Carlo simulation để ngẫu nhiên tạo ra một số lượng rất lớn stock price paths.

• 5. Tính average stock price và giá trị của contingent claim. Procedure này cho chúng ta average stock price trong suốt thời hạn tồn tại của contingent claim (tổng của K stock prices chia cho K). Sau đó, chúng ta tính giá trị của contingent claim tại maturity, CiT, và present value của nó, Ci0, bằng cách discounting terminal value theo một interest rate đang áp dụng tại thời điểm hiện tại (chỉ số dưới i trong Ci0 đề cập đến simulation trial thứ i, giống như trong CiT.) Chúng ta đã hoàn thành một simulation trial.

• 6. Lặp lại các bước 4 và 5 trong số lượng trials cần thiết. Lặp lại Step 4 một cách iterative cho đến khi hoàn thành số lượng trials cần thiết, I. Sau đó, cung cấp summary values và statistics cho simulation. Trong ví dụ của chúng ta, điều cần thiết là mean của Ci0 trên số lượng simulation trials, I = 1,000. Mean này là Monte Carlo estimate của giá trị contingent claim của chúng ta.

Trong Example 2, chúng ta tiếp tục ứng dụng Monte Carlo simulation vào valuation của một contingent claim khác.

VÍ DỤ 2

Định giá một Lookback Contingent Claim bằng Monte Carlo Simulation

1. Giá trị tại maturity của một standard lookback contingent claim trên một stock bằng (Giá trị của stock tại maturity − Giá trị tối thiểu của stock trong suốt thời hạn tồn tại của claim trước maturity) hoặc USD 0, tùy giá trị nào lớn hơn. Nếu giá trị tối thiểu đã đạt được trước maturity là USD 20.11 và giá trị của

Ví dụ, trong trường hợp stock tại maturity có giá trị là USD 23, contingent claim sẽ được định giá là USD 23 – USD 20.11 = USD 2.89.

Một approach để sử dụng Monte Carlo simulation nhằm định giá một lookback contingent claim sẽ là gì?

Lời giải:

Phần trước đã giải thích cách áp dụng Monte Carlo simulation để định giá một số loại contingent claims. Như đã trình bày trước đó, giá trị của cổ phiếu có thể được tính trong quá trình thực hiện một simulation trial nhằm phục vụ mục đích định giá. Tương tự, đối với một lookback contingent claim, giá trị tối thiểu của cổ phiếu có thể được tính trong một simulation trial. Khi đã biết giá trị tối thiểu của cổ phiếu đối với một simulation trial cụ thể, terminal value của claim có thể được xác định. present value của terminal value này chính là giá trị của contingent claim tại thời điểm t = 0. Giá trị trung bình của các giá trị claim như vậy tại t = 0 trên tất cả các simulation trials cho ra giá trị được mô phỏng bằng Monte Carlo của lookback contingent claim.

Cuối cùng, cần lưu ý rằng Monte Carlo simulation được sử dụng như một phương pháp bổ trợ cho các analytical approaches. Phương pháp thứ nhất chỉ đưa ra các statistical approximations, trong khi phương pháp thứ hai cung cấp sự hiểu biết rõ hơn về các mối quan hệ nhân quả. Tuy nhiên, khi các financial products tiếp tục đổi mới, Monte Carlo simulation có phạm vi ứng dụng rộng hơn trong investment management.

1. Hãy giải thích Monte Carlo simulation và ứng dụng của nó trong investment management.

Lời giải:

Trong Monte Carlo simulation, một tập hợp các mẫu được tạo ngẫu nhiên từ một hoặc một số probability distributions đã xác định sẽ mô phỏng tác động của risk lên hệ thống đang được xem xét. Phương pháp này được áp dụng rộng rãi để ước tính risk và return trong các ứng dụng đầu tư. Trong các ứng dụng đó, Monte Carlo simulation tính toán performance của profit and loss của portfolio trong một khoảng thời gian cụ thể. Các lần lặp lại trong simulation tạo ra frequency distribution của returns của portfolio, từ đó xác định các thước đo về performance và risk. Một ứng dụng quan trọng khác của Monte Carlo simulation trong lĩnh vực đầu tư là định giá các securities không có công thức tính toán đã biết. Simulation là một modeling technique mạnh mẽ đối với các securities có embedded options.

2. Monte Carlo simulation so với các analytic approaches như thế nào xét về advantages và disadvantages trong việc định giá securities?

Lời giải:

• Ưu điểm: Monte Carlo simulation có thể được sử dụng để định giá các complex securities không có analytic solution, đặc biệt là European options.

• Nhược điểm: Monte Carlo simulation chỉ cung cấp cho chúng ta các statistical solutions chứ không phải exact solutions. Các analytic techniques cung cấp insight sâu hơn về causality so với Monte Carlo simulation.

4. Một drawback của Monte Carlo simulation là: A. không thể thực hiện phân tích “what if”. B. cần dữ liệu lịch sử để tính returns. C. không thể xác định riêng biệt causes và effects.

• Lời giải:* C là đáp án đúng. Monte Carlo simulation bổ trợ cho analytical models. Monte Carlo simulation cung cấp các estimates chứ không phải exact answers. Analytical models, nếu tồn tại, cung cấp insight sâu hơn về causality.

mô tả việc sử dụng bootstrap resampling trong việc thực hiện một simulation dựa trên observed data trong các ứng dụng đầu tư

Trước đây, chúng ta đã trình bày cách tính standard error của sample mean, có thể được thực hiện bằng central limit theorem. Trong chương này, chúng ta giới thiệu một computational technique gọi là resampling , bao gồm việc lặp đi lặp lại quá trình lấy mẫu từ initial observed data sample để đưa ra statistical inferences về population parameters. Bootstrap là một trong những hình thức resampling phổ biến nhất và sử dụng computer simulation để đưa ra statistical inferences mà không cần đến sự hỗ trợ của analytical formula như z -statistic hoặc t -statistic.

Logic của bootstrap là chúng ta mô phỏng quá trình lấy một random sample từ population để xây dựng sampling distribution. Sự khác biệt giữa bootstrap và regular sampling là chúng ta không biết population có đặc điểm như thế nào ngoài sample gồm n observations được lấy từ population. Vì một random sample là đại diện tốt cho population, chúng ta có thể lấy samples từ sample như thể chúng ta đang lấy mẫu từ population.

Cả bootstrap và Monte Carlo simulation đều bao gồm repetitive sampling. Bootstrapping bao gồm việc resampling một dataset như thể đó là true population, đồng thời đưa ra statistical inferences về các parameter values (ví dụ: mean, variance, skewness và kurtosis) của population bằng cách sử dụng sampling distribution. Monte Carlo simulation bao gồm việc tạo ra các random datasets từ một statistical distribution đã biết của các parameter values.

Phía bên phải của Exhibit 6 minh họa quy trình này. Trong bootstrap approach, chúng ta lặp đi lặp lại việc lấy samples từ original sample sao cho mỗi resample có cùng kích thước với original sample. Lưu ý rằng sau khi lấy từng phần tử, phần tử đó được đưa trở lại (nói cách khác, được thay thế) để nó có cơ hội được lấy lại trong các lần lấy tiếp theo. Một số phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong các resamples, trong khi những phần tử khác có thể không bao giờ xuất hiện.

Exhibit 6: Bootstrap Resampling

Sample True Population Estimated Population Bootstrap Bootstrap Bootstrap Sample 1 Sample 2 ... Sample n ... Sample 1 Sample 2 Sample “B” Estimate 1 Estimate 2 Estimate n Estimate 1 Estimate 2 Estimate B True Sampling Distribution Bootstrap Sampling Distribution

Cơ chế thực hiện simulation để định giá contingent claim trong bài học trước thông qua bootstrap approach chỉ khác nhau ở nguồn của random variable. Thay vì được lấy từ một probability distribution, trong bootstrap approach, random variable được lấy từ sample như đã thảo luận trong phần giải thích liên quan đến Exhibit 6. Exhibit 7 minh họa các bước trong bootstrap approach, cho thấy sự khác biệt giữa bootstrap process và Monte Carlo simulation như được mô tả trong Exhibit 6.

Exhibit 7: Các bước triển khai Simulation bằng Bootstrapping

Step 1: Specify the quantity of interest (i.e., value of the contingent claim) Specify the Step 2: Specify a time grid; K sub-periods simulation with �t increment for the full time horizon Bootstrap Simulation Step 3: Specify the method for generating Step 1: Use the observed empirical the data used in the simulation distribution of the asset to derive properties of the distribution Step 4: Use the simulated values to Run the produce stock prices used to value Step 2: Draw k random values of contingent claim stock process from the empirical distribution using the bootstrap procedure Step 5: Calculate the average stock price and the value of the contingent claim payoff Step 6: Repeat steps 4&5 over the required number trials. Then calculate summary value (i.e., average of the present values of the contingent claim payoff)

Do đó, các bước mô phỏng contingent claim thông qua bootstrap approach (trong đó hai bước đầu tiên và ba bước cuối cùng) là giống nhau đối với bootstrapping và Monte Carlo simulation:

• 1. Xác định quantity of interest theo các underlying variables. Quantity of interest là giá trị của contingent claim, và underlying variable là stock price. Đồng thời, xác định (các) giá trị khởi đầu của (các) underlying variable. Chúng ta sẽ ký hiệu giá trị của claim tại maturity, T , là CiT. Chỉ số dưới i trong CiT hàm ý rằng CiT là một giá trị phát sinh từ simulation trial thứ i, trong đó mỗi simulation trial bao gồm việc lấy các random values (Bước 4).

• 2. Xác định một time grid phù hợp với periodicity của sample observations. Trước hết, lấy horizon theo calendar time và chia thành K sub-periods. Calendar time chia cho K là time increment, Δ t . Trong ví dụ của chúng ta, calendar time là một năm, trong khi K là 12; do đó, Δ t là một tháng.

• 3. Xác định phương pháp tạo dữ liệu được sử dụng trong simulation. Trong ví dụ của chúng ta, stock price là underlying variable của contingent claim, do đó, chúng ta sẽ sử dụng những thay đổi quan sát được trong stock price làm empirical distribution. Chính xác hơn, chúng ta sử dụng empirical distribution của historical behavior của stock price process: price changes hoặc price returns.

• 4. Tạo simulated stock prices được sử dụng để đánh giá giá trị của contingent claim. Sử dụng computer program hoặc spreadsheet function, chúng ta lấy K random values của stock process từ empirical distribution thông qua bootstrap procedure. Thứ hai, chuyển đổi các thay đổi của stock price (ΔStock price) được tạo ở Bước 3 thành stock price dynamics. Việc chuyển đổi này là cần thiết để chuyển các thay đổi đó thành một chuỗi gồm K stock prices với initial stock price làm điểm bắt đầu trong K sub-periods. Điều quan trọng cần lưu ý là trong trường hợp của chúng ta, chúng ta phụ thuộc vào distribution của các bootstrapped trials được suy ra từ historical stock price processes.

• 5. Tính average stock price và giá trị của contingent claim. Một phép tính bổ sung là average stock price trong suốt vòng đời của contingent claim (tổng của K stock prices chia cho K ). Sau đó, chúng ta tính giá trị của contingent claim tại maturity, CiT, và tính present value của nó, Ci0, bằng cách discounting terminal value này bằng interest rates tại thời điểm hiện tại. (Chỉ số dưới i trong Ci0 có nghĩa là simulation trial thứ i, tương tự như trong CiT .) Chúng ta hoàn thành một simulation trial.

• 6. Lặp lại Bước 4 và Bước 5 với số lượng trials cần thiết. Lặp lại việc quay về Bước 4 cho đến khi đạt được số lượng trials đã xác định, I. Cuối cùng, tạo summary statistics của simulation. Quantity of interest trong ví dụ của chúng ta là mean value của Ci0 trên tổng số bootstrapping iterations ( I = 1,000). Mean value là bootstrap estimator của giá trị contingent claim của chúng ta theo observed empirical distribution.

Một lần nữa, cần ghi nhớ rằng việc sử dụng bootstrap simulation có tính bổ trợ cho analytical methods. Phương pháp này chỉ cung cấp các statistical estimations dựa trên empirical distribution được xây dựng với sự hỗ trợ của bootstrapping method sử dụng historical prices và price process đã quan sát; đây không phải là một exact solution. Các analytical approaches cung cấp insight sâu hơn về cause-and-effect relationships bất cứ khi nào có thể.

1. Những advantages và disadvantages của bootstrapping approach là gì? Lời giải: Ưu điểm:

   • Bootstrapping dễ thực hiện.

• ■ Bootstrapping approach cung cấp một bức tranh rõ ràng về statistical properties của population và có thể đóng vai trò như việc sampling từ population thông qua sampling từ observed sample.

  • Điểm yếu:

  • Bootstrapping chỉ cung cấp statistical estimates, không phải exact results.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

• 1. EN: The weekly closing prices of the stock of Mordice Corporation are:

Giá đóng cửa hằng tuần của cổ phiếu Mordice Corporation là:

Exhibit 1: Cổ phiếu Mordice Corporation

EN: The continuously compounded return on the shares of Mordice Corporation during the period August 1 to August 15 is closest to:

EN: A. 6.90 percent.

continuously compounded return của cổ phiếu Mordice Corporation trong giai đoạn từ ngày 1 August đến ngày 15 August gần nhất với:

EN: B. 7.14 percent.

A. 6.90%.

EN: C. 8.95 percent.

B. 7.14%.

C. 8.95%.

2. EN: In contrast to normal distributions, lognormal distributions:

EN: A. are skewed to the left.

Ngược lại với normal distributions, lognormal distributions:

EN: B. have outcomes that cannot be negative.

A. lệch về bên trái.

EN: C. are more appropriate in explaining the returns of assets than their prices.

B. có các outcomes không thể âm.

C. phù hợp hơn trong việc giải thích returns của assets so với prices của chúng.

• 3. EN: The lognormal distribution is a more realistic assumption regarding the distribution of stock prices than the normal distribution since stock prices are:

EN: A. symmetrical.

lognormal distribution là một assumption thực tế hơn về distribution của stock prices so với normal distribution vì stock prices:

EN: B. unbounded.

A. đối xứng.

EN: C. non-negative.

B. không bị giới hạn.

C. không âm.

4. EN: Analysts performing bootstrap:

EN: A. try to make statistical inferences about population parameters using only one sample.

Các analysts thực hiện bootstrap:

EN: B. draw many samples of equal size with replacement from the original population.

A. cố gắng đưa ra statistical inferences về population parameters chỉ bằng cách sử dụng một sample.

EN: C. needs to give probability distributions of the relevant risk factors that make up the stochastic variables.

B. lấy nhiều samples có cùng kích thước, có hoàn lại, từ original population.

C. cần cung cấp probability distributions của các relevant risk factors cấu thành stochastic variables.

LỜI GIẢI

1. A là đúng. Continuously compounded return của một asset trong một giai đoạn có thể được định nghĩa là natural log của mức thay đổi giá của asset trong giai đoạn đó. Do đó, ln(120/112) = 6.90%.

Lưu ý rằng continuously compounded return của một asset từ period 0 đến period T là tổng của các continuously compounded returns trong từng period, trong trường hợp này là weekly returns.

Week 1 return: ln(160/112) = 35.67%.

Week 2 return: ln(120/160) = –28.77%.

Continuously compounded return = 35.67% + –28.77% = 6.90%.

2. B là đúng. Theo định nghĩa, Lognormal random variables không thể nhận giá trị âm (cận dưới là zero) và có các distributions lệch về bên phải.

3. C là đúng. Giá trị nhỏ nhất của các lognormally distributed variables là zero. Lognormal distribution lệch phải.

4. A là phương án đúng. Bootstrapping bằng random sampling cho phép researcher thu được observed variable bằng cách sử dụng random sampling approach khi population parameters chưa được biết. Analyst không có knowledge về population parameters, nhưng bằng cách sử dụng random sampling, analyst có thể estimate population parameters từ sample được chọn ngẫu nhiên. B không đúng vì trong bootstrapping, analyst sử dụng sampling từ existing sample thay vì population, trong đó size của resampled data set bằng size của initial sample và mỗi element được chọn đều được replaced. C không đúng vì trong bootstrapping, analyst sử dụng distribution của underlying variables mà không sử dụng probability distributions.