Module 5: Portfolio Mathematics

Nguồn: SAPP Quant 2026 pp. 212–254

Mục tiêu học tập

LOS	Mô tả
Pre.i–iv	Phân phối xác suất, rời rạc/liên tục, CDF, phân phối đều
Pre.v	Phân phối Bernoulli và binomial
Pre.vi	Phân phối Normal — xác suất trong các khoảng giá trị
Pre.viii	Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên; phân phối normal chuẩn
5.a	Expected value, variance, covariance, correlation của tỷ suất sinh lời danh mục
5.b	Covariance và correlation sử dụng hàm xác suất đồng thời
5.c	Shortfall risk, safety-first ratio, tiêu chí Roy

Tỷ suất sinh lời kỳ vọng danh mục — Portfolio Expected Return (LOS 5.a)

E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot E(R_i)

trong đó $w_i$ = tỷ trọng của tài sản $i$ , $E(R_i)$ = tỷ suất sinh lời kỳ vọng của tài sản $i$

Covariance

Cov(R_i, R_j) = E\left[(R_i - E(R_i))(R_j - E(R_j))\right]

Ma trận Covariance cho 3 tài sản: $n^2$ phần tử, đường chéo chính = variance

Correlation

\rho(R_i, R_j) = \frac{Cov(R_i, R_j)}{\sigma(R_i) \cdot \sigma(R_j)}

Khoảng giá trị: $-1 \leq \rho \leq +1$

Portfolio Variance (2 tài sản)

\sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \cdot Cov(R_A, R_B)

= w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \cdot \rho(R_A, R_B) \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B

Lợi ích đa dạng hóa (Diversification benefit): Khi $\rho < 1$ , rủi ro danh mục nhỏ hơn bình quân gia quyền của rủi ro từng tài sản riêng lẻ. Khi $\rho < 0$ , lợi ích còn lớn hơn nữa.

Ví dụ

Danh mục: 30% cổ phiếu ( $\sigma = 20\%$ ), 70% trái phiếu ( $\sigma = 12\%$ ), $\rho = 0.6$

\sigma_p^2 = (0.3)^2(0.20)^2 + (0.7)^2(0.12)^2 + 2(0.3)(0.7)(0.0144) = 0.0167

\sigma_p = \sqrt{0.0167} = 12.92\%

Kịch bản	$\rho$	$\sigma_p$	Ghi chú
Tương quan dương	0.6	12.92%	Cơ sở
Độc lập	0	10.32%	Rủi ro thấp hơn
Tương quan âm	−0.6	6.82%	Rủi ro thấp hơn nhiều

Phân phối xác suất — Probability Distributions (Prerequisites)

Phân phối	Loại	Đặc điểm chính
Discrete Uniform	Rời rạc	Tất cả kết quả có xác suất như nhau
Bernoulli	Rời rạc	Hai kết quả: thành công ( $p$ ) hoặc thất bại ( $1-p$ )
Binomial	Rời rạc	Số lần thành công trong $n$ phép thử Bernoulli
Continuous Uniform	Liên tục	Xác suất bằng nhau trên toàn khoảng $[a,b]$
Normal	Liên tục	Hình chuông, đối xứng, $\mu \pm 1\sigma$ = 68%, $\mu \pm 2\sigma$ = 95%

Standard Normal (Z-score)

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Tiêu chí Roy's Safety-First (LOS 5.c)

SFRatio = \frac{E(R_p) - R_L}{\sigma_p}

trong đó $R_L$ = ngưỡng tỷ suất sinh lời tối thiểu chấp nhận được (threshold)

Quy tắc: Chọn danh mục có SFRatio cao nhất — danh mục này tối thiểu hóa xác suất tỷ suất sinh lời rơi xuống dưới ngưỡng.

Liên kết

Xây dựng từ: M04 — Probability, M03 — Statistics
Ứng dụng trong: môn Portfolio Management
Công thức: All M05 Formulas