Toán học Danh mục đầu tư

• bởi Richard A. DeFusco, PhD, CFA, Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, Jerald E. Pinto, PhD, CFA, và David E. Runkle, PhD, CFA.

Richard A. DeFusco, PhD, CFA, công tác tại University of Nebraska-Lincoln (USA). Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, công tác tại University of Rhode Island (USA). Jerald E. Pinto, PhD, CFA, công tác tại CFA Institute (USA). David E. Runkle, PhD, công tác tại Jacobs Levy Equity Management (USA).

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên cần có khả năng:

• tính toán và diễn giải expected value, variance, standard deviation, covariance và correlation của portfolio returns
• tính toán và diễn giải covariance và correlation của portfolio returns bằng joint probability function của returns
• định nghĩa shortfall risk, tính toán safety-first ratio và xác định optimal portfolio bằng Roy’s safety-first criterion

Modern portfolio theory sử dụng lặp đi lặp lại khái niệm đánh giá các cơ hội đầu tư bằng expected return như một thước đo reward và variance of return như một thước đo risk. Trong Lesson 1, chúng ta sẽ hiểu về portfolio return và các thước đo risk. Expected return và variance of return là các hàm của returns của các individual assets trong portfolio. Chúng ta bắt đầu bằng cách tính expected return của một portfolio như weighted average của expected returns của các securities trong portfolio. Với các estimates về expected returns của các individual securities, portfolio expected return có thể dễ dàng được xác định. Lesson 2 liên quan đến việc dự báo một số portfolio measures nhất định, như correlations và covariances, thông qua việc nghiên cứu risk và return của các thành phần riêng lẻ trong một portfolio. Lesson 3 đề cập đến một số portfolio risk measures được sử dụng rộng rãi trong portfolio management.

• Variance trong một portfolio mô tả expected risk liên quan đến một khoản đầu tư và được biểu diễn về mặt toán học là σ2(Rp) = E {[Rp E(Rp)]2}. Portfolio expected return (E(Rp)) là một biểu thức toán học thể hiện weighted average của expected returns từ các component assets (R1 đến Rn), và tỷ trọng của các individual assets trong portfolio tính theo currency units (w1 đến wn).

• Portfolio variance phụ thuộc vào risk của từng component asset và cả combined risk của các components khi xét cùng nhau, trong đó combined risk của các components được thể hiện thông qua covariance, được định nghĩa là:

• Covariance giữa portfolio returns có thể âm (cho thấy average negative relationship giữa portfolio returns), bằng 0 (nếu không tồn tại relationship giữa portfolio returns), hoặc dương (average positive relationship giữa portfolio returns). Correlation, giống như covariance, đo lường linear association và có các giá trị từ -1 (strongly inverse) đến +1 (strongly direct), trong đó 0 cho thấy không có relation.

• Covariance giữa portfolio returns có thể được xác định thông qua joint probability function của random variables. Được định nghĩa theo các variables X và Y là P(X,Y), đây là joint probability để X và Y cùng xảy ra. Ví dụ, P(X=3, Y=2) sẽ cho xác suất mà X bằng 3 và Y bằng 2.

• Mathematical expression để xác định covariance giữa random variables RA và RB, chẳng hạn các individual assets của một portfolio, có thể được mô tả như sau:

Thước đo này có thể được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các possible products của deviations được weighted theo joint probabilities của chúng.

• Joint Probability Function có thể được đơn giản hóa khi xử lý independent variables, được cho đối với hai random variables X và Y nếu và chỉ nếu P( X,Y ) = P(X) P(Y ). Expected value của product của cả independent và uncorrelated random variables là product của expected values của chúng.

• Một trong các ứng dụng của normal distribution theory vào các vấn đề đầu tư thực tế là safety first rules. Quy tắc này liên quan đến việc giảm thiểu risk of shortfall, tức là risk mà portfolio value (hoặc portfolio return) giảm xuống dưới một minimum threshold nào đó trong một khoảng thời gian cụ thể,

• Safety First Ratio được tính bằng (SFRatio = [E(RP) − RL]/σP, trong đó E(RP) là expected portfolio return, RL là một minimum threshold level cho một predetermined variable nào đó (như portfolio return), và σP là portfolio standard deviation. Trong trường hợp RL là risk-free rate, SFRatio trở thành Sharpe ratio.

• Roy’s Safety First Criterion đề xuất lựa chọn một optimal portfolio sao cho probability mà portfolio return giảm xuống dưới minimum threshold RL được giảm thiểu. Đối với một portfolio có SFRatio được xác định trước, probability mà

return của nó thấp hơn RL là Normal (–SFRatio), trong khi safety-first optimal portfolio mang lại probability như vậy thấp nhất. Phương pháp này được áp dụng như sau: trước tiên, tất cả các portfolios đang được xem xét được đánh giá theo SFRatios của chúng và portfolio có SFRatio cao nhất được lựa chọn.

xác định expected return, variance, standard deviation, covariance và correlation của returns trên portfolio

The expected return on the portfolio ( E ( Rp )) có thể được tính như weighted average của expected returns (R1 đến Rn) của các constituent securities, trong đó weights là tỷ trọng của chúng ( w1 đến wn ) trong portfolio theo currency terms:

= w 1 E ( R 1) + w 2 E ( R 2) + … + wn E ( Rn ).

Giả sử chúng ta có expected returns của các assets được đưa vào three-asset portfolio được thể hiện trong Exhibit 1.

Exhibit 1: Weights and Expected Returns of Sample Portfolio

Sau đó, chúng ta tính expected return của portfolio bằng 11.75%:

Trong trường hợp này, mối quan tâm của chúng ta là đo lường portfolio variance of return như một chỉ báo của investment risk. Do đó, portfolio variance được cho bởi công thức:

Đây là expected variance hay variance xét từ forward-looking perspective. Để tính portfolio variance bằng định nghĩa trên, chúng ta cần thông tin về các individual assets trong portfolio cũng như khái niệm covariance. Để tiết kiệm ký hiệu, chúng ta ký hiệu E(Rp) là ERp.

Covariance

Gọi Ri và Rj là hai random variables. Khi đó, covariance giữa Ri và Rj được định nghĩa là:

Cov( Ri , Rj ) = E [( Ri − ERi )( Rj − ERj )]. (3)

Các ký hiệu khác cho covariance bao gồm σ(Ri, Rj) và σij. Từ Equation 3, chúng ta có thể nói rằng covariance giữa hai random variables là weighted average của cross-products của deviations của mỗi random variable so với expected values tương ứng của chúng. Phần trên là thước đo population covariance và là một forward-looking measure. Sample covariance giữa hai random variables Ri và Rj, với sample size là n, được cho như sau:

Từ định nghĩa của portfolio variance, hãy bắt đầu với một three-asset portfolio và xác định variance được cấu thành từ variance components và covariance components như thế nào. Không cần đi qua quá trình derivation, chúng ta có được Equation 5:

Có xét đến thực tế rằng thứ tự của variables trong covariance không quan trọng, chẳng hạn Cov(_R_2, _R_1) = Cov(_R_1, _R_2), và thực tế rằng các diagonal variance terms σ2 (_R_1), σ2 (_R_2), và σ2 (_R_3) lần lượt có thể được biểu diễn là Cov(_R_1, _R_1), Cov(_R_2, _R_2), và Cov(_R_3, _R_3), cách cô đọng nhất để trình bày Equation 5 là

Ngoài ra, phương trình này được khái quát hóa cho bất kỳ portfolio nào có n assets thành

Như có thể thấy từ Equation 6, individual variances of return chỉ thể hiện một phần, chứ không phải toàn bộ, portfolio variance. Ba variance terms ít hơn sáu covariance terms nằm ngoài diagonal. Trong trường hợp có 20 assets, sẽ có 20 variance terms và số lượng off-diagonal covariance terms sẽ là 20(20) – 20 = 380. Quan sát đầu tiên ở đây là khi số lượng securities tăng lên, tầm quan trọng của covariance cũng tăng lên, nếu các yếu tố khác không đổi.

Off-diagonal covariance terms phản ánh ảnh hưởng của co-movements của returns lên portfolio variance. Sử dụng định nghĩa của covariance, có thể đưa ra hai quan sát quan trọng về covariance.

1. Chúng ta có thể diễn giải dấu của covariance như sau:

• Covariance of returns là âm khi return của một asset cao hơn expected level, trong khi return của asset còn lại thấp hơn expected level, xét trung bình.

• Returns của các assets không có liên hệ với nhau khi covariance of returns bằng 0.

Covariance of returns là dương nếu returns của cả hai assets cùng nằm về một phía (hoặc cao hơn hoặc thấp hơn) expected values của chúng tại cùng một thời điểm (average positive relationship giữa returns). Covariance của một random variable với chính nó ( own covariance ) chính là variance của random variable đó: Cov( R, R ) = E {[ RE ( R )][ RE ( R )]} = E {[ RE ( R )] 2} = σ 2 ( R ).

Exhibit 2 cho thấy các inputs để tính portfolio expected return (Panel A) và portfolio variance of return (Panel B). Danh sách đầy đủ các covariances tạo thành toàn bộ statistical data cần thiết để tính portfolio variance of return như được minh họa trong covariance matrix ở Panel B.

Exhibit 2: Inputs to Portfolio Expected Return and Variance

Trong trường hợp có ba assets, covariance matrix có 32 = 3 × 3 = 9 cells, nhưng các diagonal cells (variances - được in đậm trong Exhibit 2) được xử lý độc lập với phần còn lại. Do đó, số lượng covariances không bao gồm variances là 9 - 3 = 6. Tuy nhiên, Cov( R B, R A) = Cov( R A, R B), Cov( R C, R A) = Cov( R A, R C), và Cov( R C, R B) = Cov( R B, R C). Covariance matrix phía dưới diagonal đối xứng với covariance matrix phía trên diagonal; do đó, chỉ cần sử dụng một trong hai (phía dưới hoặc phía trên). Kết quả là chỉ có 6/2 = 3 covariances khác nhau. Nhìn chung, số lượng covariances là n ( n - 1)/2 và số lượng variances là n, trong đó n là số lượng securities.

Hãy xem covariance matrix trong Exhibit 3, trong đó returns được cho dưới dạng %. Các entries trong bảng là bình phương của return percentages (%2). Các số 38%2 và 400%2 lần lượt bằng 0.0038 và 0.0400.

Exhibit 3: Covariance Matrix

Bắt đầu từ Equation 5, bằng cách nhóm các variances lại với nhau, chúng ta có:

_σ_2 ( Rp ) = w 12 _σ_2 ( R 1) + w 22 _σ_2 ( R 2) + w 23 _σ_2 ( R 3) + 2 w 1 w 2 Cov ( R 1 , R 2)

• 2 w 1 w 3 Cov ( R 1 , R 3) + 2 w 2 w 3 Cov ( R 2 , R 3) =( 0.50)2( 400) +( 0.25)2( 81) +( 0.25)2( 441) + 2( 0.50)( 0.25)( 45) + 2( 0.50)( 0.25)( 189) + 2( 0.25)( 0.25)( 38)

Variance = 195.875. Standard deviation của returns = 195.8751/2 = 14%. Kết luận: expected return trên portfolio là 11.75%, trong khi standard deviation của returns là 14

Tổng của ba terms đầu tiên trong phương trình trên (100 + 5.0625 + 27.5625) là 132.625, là tổng các variances của ba assets như một thước đo của portfolio variance. Trong trường hợp returns của ba assets là independent, covariance sẽ bằng 0 và standard deviation của portfolio sẽ là 132.6251/2 = 11.52%, thấp hơn 14% trước đó, qua đó làm giảm riskiness của portfolio. Trong trường hợp các covariance terms là âm, một negative term sẽ được cộng vào 132.625, và do đó portfolio variance và risk sẽ giảm mà không làm thay đổi expected return. Vì vậy, với cùng portfolio return, risk sẽ thấp hơn. Sự giảm risk này là diversification benefit, và nó có nghĩa là lợi ích giảm risk do portfolio management. Diversification benefit phụ thuộc vào việc covariance giảm. Đây là bản chất của modern portfolio theory. Khái niệm này thậm chí còn dễ hiểu hơn khi xét đến khái niệm correlation.

Correlation

Correlation giữa hai random variable Ri và Rj được cho bởi: ρ(Ri, Rj) = Cov(Ri, Rj)/[σ(Ri

Các dạng ký hiệu khác bao gồm Corr(Ri,Rj) và

Định nghĩa về correlation được đề cập ở trên mang tính forward-looking vì covariance forward-looking được chia cho tích của các standard deviation forward-looking. Covariance thường được thay thế bằng công thức Cov(Ri,Rj) = ρ(Ri,Rj) σ(Ri)σ(Rj). Cũng như covariance, correlation coefficient đo lường linear relationship. Tuy nhiên, do phép chia trong công thức, correlation coefficient trở thành một con số thuần túy không có đơn vị đo lường và bị giới hạn bởi +1 và –1, lần lượt là giá trị tối đa và tối thiểu.

Nếu hai biến có positive linear relationship cao, correlation coefficient của chúng sẽ gần +1. Nếu hai biến có negative linear relationship cao, correlation coefficient của chúng sẽ gần –1. Nếu hai biến có linear relationship thấp, correlation coefficient của chúng sẽ gần 0. Từ định nghĩa được đề cập ở trên, chúng ta có thể xây dựng correlation matrix dựa trên thông tin chứa trong covariance matrix. Exhibit 4 trình bày correlation matrix.

Exhibit 4: Correlation Matrix of Returns

Từ Exhibit 3, chúng ta có thể xác định covariance giữa long-term bonds và MSCI EAFE bằng 38. Standard deviation của returns của long-term bonds là 811/2 = 9%, và của returns của MSCI EAFE là 4411/2 = 21%, dựa trên các phần tử trên đường chéo của Exhibit 3. Khi đó, correlation ρ(_R_long-term bonds, _R_EAFE) là 38/[(9%)(21%)] = 0.201, làm tròn thành 0.20. Correlation coefficient của returns S&P 500 với chính nó bằng 1: công thức là covariance chia cho bình phương của standard deviation.

VÍ DỤ 1

Portfolio Expected Return and Variance of Return with Varying Portfolio Weights

Anna Cintara đang xây dựng các portfolio khác nhau gồm hai stock sau:

Exhibit 5: Description of Two-Stock Portfolio

1. Hãy tính covariance giữa returns của hai stock.

   • Lời giải:

Correlation coefficient giữa returns của hai stock là ρ(Ri,Rj) = Cov(Ri,Rj)/[σ(Ri) σ(Rj)], do đó covariance là Cov(Ri,Rj) = ρ(Ri,Rj) σ(Ri) σ(Rj). Trong trường hợp này Cov(R1,R2) = ρ(R1,R2) σ(R1) σ(R2) = 0.30 (6) (15) = 27.

2. Portfolio expected return và standard deviation sẽ là bao nhiêu nếu Cintara phân bổ 100% portfolio của mình vào Stock 1? ( w 1 = 1.00 và w 2 = 0.00). Portfolio expected return và standard deviation sẽ là bao nhiêu nếu Cintara phân bổ 100% portfolio của mình vào Stock 2? ( w 1 = 0.00 và w 2 = 1.00).

   • Lời giải:

Trong trường hợp Cintara phân bổ 100% portfolio của mình vào Stock 1, portfolio của cô sẽ có expected return là 4% và standard deviation là 6%. Trong trường hợp Cintara phân bổ 100% portfolio của mình vào Stock 2, portfolio của cô sẽ có expected return là 8% và standard deviation là 15%.

3. Portfolio expected return và standard deviation khi sử dụng current portfolio weight sẽ là bao nhiêu?

Lời giải:

Expected return của portfolio 40/60 hiện tại là

• E (Rp) = w 1 E ( R 1) + (1 − w 1) E ( R 2) = 0.40(4%) + 0.60(8%) = 6.4%

Portfolio variance và standard deviation như sau:

• _σ_2 ( Rp ) = w 12 _σ_2 ( R 1) + w 22 _σ_2 ( R 2) + 2 w 1 w 2 Cov ( R 1 , R 2)

• = (0.40) 2( 36) + (0.60) 2( 225) + 2( 0.40)( 0.60)( 27)

• = 5.76 + 81 + 12.96 = 99.72 σ( Rp ) = 99.72½ = 9.99%

4. Hãy tính expected return và standard deviation của các portfolio khi w 1 thay đổi từ 0.00 đến 1.00 theo khoảng 0.10 (với w 2 = 1 - w 1). Hãy biểu diễn

các kết quả của bạn (weights của từng stock, expected return của portfolio và portfolio standard deviation) dưới dạng bảng, sau đó tạo biểu đồ với standard deviation trên trục x và expected return trên trục y.

Lời giải:

Expected return, variance và standard deviation của các portfolio khác nhau được trình bày trong bảng dưới đây. Phép tính của ba hàng đã được thực hiện ở câu 2 và câu 3, trong khi các hàng còn lại được tính bằng cách sử dụng cùng các công thức về expected return, variance và standard deviation như ở câu 3:

|Stock 1 weight|Stock 2 weight|Expected return (%)|Variance (%2)|Standard devia- tion (%)|

Biểu đồ của expected return và standard deviation được trình bày dưới đây:

Expected Return (%) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Standard Deviation (%)

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. EN: The standard deviations of returns from US and Spanish bonds denominated in common currency terms are 0.64 and 0.56, respectively. Assuming that the correlation coefficient between the two bonds is 0.24, the covariance of the returns is closest to:

Standard deviation của returns từ US bonds và Spanish bonds được định giá bằng cùng một currency lần lượt là 0.64 và 0.56. Giả sử correlation coefficient giữa hai bond là 0.24, covariance của returns gần nhất với:

• EN: A. 0.086.

• A. 0.086.

• EN: B. 0.335.

• B. 0.335.

• EN: C. 0.390.

• C. 0.390.

• EN: Solution: A is the correct option. The covariance of returns is computed as follows: Covariance(returns US bonds, returns Spanish bonds) = σUS bonds x σ Spanish bonds x ρreturns US bonds, returns Spanish bonds) = 0.64 x 0.56 x 0.24 = 0.086

• Lời giải: A là phương án đúng. Covariance của returns được tính như sau: Covariance(returns US bonds, returns Spanish bonds) = σUS bonds x σ Spanish bonds x ρreturns US bonds, returns Spanish bonds) = 0.64 x 0.56 x 0.24 = 0.086

2. EN: The covariance of returns is positive if the returns of two assets have the tendency of being:

Covariance của returns là positive nếu returns của hai asset có xu hướng:

• EN: A. have the same expected values.

• A. có cùng expected value.

• EN: B. be above their expected value at different times.

• B. cao hơn expected value của chúng tại những thời điểm khác nhau.

• EN: C. on the same side of their expected return at the same time.

• C. nằm cùng phía so với expected return của chúng tại cùng một thời điểm.

  • EN: Solution: C is the correct answer. The covariance of returns will be positive if the returns on both assets have a tendency of being on the same side of their respective expected returns at the same time.

  • Lời giải: C là đáp án đúng. Covariance của returns sẽ là positive nếu returns của cả hai asset có xu hướng nằm cùng phía so với expected return tương ứng của chúng tại cùng một thời điểm.

3. EN: Which of the following correlation coefficients represents the weakest linear relationship between two variables?

Correlation coefficient nào sau đây biểu thị linear relationship yếu nhất giữa hai biến?

• EN: A. –0.67

• A. –0.67

• EN: B. –0.24

• B. –0.24

• EN: C. 0.33

• C. 0.33

EN: Solution: Option B is correct. Correlations close to +1 have high positive linearity, while correlations close to -1 have high negative linearity. Correlation equals zero shows that there is no linear relationship between the variables. The higher the absolute value of correlation coefficient from 0, the more linear relationship exists.

Lời giải: Phương án B là đúng. Correlation gần +1 có positive linearity cao, trong khi correlation gần -1 có negative linearity cao. Correlation bằng 0 cho thấy không có linear relationship giữa các biến. Absolute value của correlation coefficient càng cao so với 0 thì linear relationship càng lớn.

4. EN: An analyst develops the following covariance matrix of returns:

Một analyst xây dựng covariance matrix của returns như sau:

EN: The correlation of returns between the hedge fund and the market index is closest to:

Correlation của returns giữa hedge fund và market index gần nhất với:

• EN: A. 0.005.

• A. 0.005.

• EN: B. 0.073.

• B. 0.073.

• EN: C. 0.764.

• C. 0.764.

EN: Solution: C is the right answer. The correlation between two random variables Ri and Rj can be measured by ρ(Ri,Rj) = Cov(Ri,Rj)/[σ(Ri)σ(Rj)]. In this question, we use subscript i for hedge funds and subscript j for the market index. Therefore, the standard deviation is σ(Ri) = 2561/2 = 16 and σ(Rj) = 811/2 = 9. Then ρ(Ri,Rj) = Cov(Ri,Rj)/[σ(Ri) σ(Rj)] = 110/(16 x 9) = 0.764.

Lời giải: C là đáp án đúng. Correlation giữa hai random variable Ri và Rj có thể được đo bằng ρ(Ri,Rj) = Cov(Ri,Rj)/[σ(Ri)σ(Rj)]. Trong câu hỏi này, chúng ta sử dụng subscript i cho hedge fund và subscript j cho market index. Do đó, standard deviation là σ(Ri) = 2561/2 = 16 và σ(Rj) = 811/2 = 9. Khi đó ρ(Ri,Rj) = Cov(Ri,Rj)/[σ(Ri) σ(Rj)] = 110/(16 x 9) = 0.764.

5. EN: All else being equal, as the correlation between two assets moves towards +1.0, the diversification benefits:

EN: A. decrease.

Các yếu tố khác không đổi, khi correlation giữa hai asset tiến về +1.0, diversification benefits:

A. giảm.

• EN: B. stay the same.

• B. giữ nguyên.

• EN: C. increase.

• C. tăng.

• EN: Solution: A is correct. Diversification benefits will decrease as the correlation between two assets tends to +1. In other words, the correlation tends to +1 shows there is a high positive linear relationship.

• Lời giải: A là đúng. Diversification benefits sẽ giảm khi correlation giữa hai asset có xu hướng tiến về +1. Nói cách khác, correlation tiến về +1 cho thấy có positive linear relationship cao.

6. EN: How many covariance terms, ignoring the variances, do we need to know in order to compute the portfolio return variance if we have a portfolio of five stocks?

Cần biết bao nhiêu covariance terms, bỏ qua variances, để tính portfolio return variance nếu chúng ta có một portfolio gồm năm stock?

• EN: A. 10

• A. 10

• EN: B. 20

• B. 20

• EN: C. 25

• C. 25

• EN: Solution: Answer A is correct. A 5 × 5 covariance matrix will contain 5 × 5 = 25 elements. After removing 5 elements corresponding to variances from the main diagonal of the matrix, 20 elements remain. Since a covariance matrix is symmetric, the number of unique elements is 10 (20/2 = 10).

• Lời giải: Đáp án A là đúng. Một covariance matrix 5 × 5 sẽ chứa 5 × 5 = 25 phần tử. Sau khi loại bỏ 5 phần tử tương ứng với variances khỏi đường chéo chính của matrix, còn lại 20 phần tử. Vì covariance matrix là đối xứng, số phần tử duy nhất là 10 (20/2 = 10).

7. EN: Which of the following statements is the most correct? If the covariance of returns between two assets is 0.0023, then the:

Phát biểu nào sau đây là đúng nhất? Nếu covariance của returns giữa hai asset là 0.0023, thì:

• EN: A. assets’ risk is near zero.

• A. risk của các asset gần bằng 0.

• EN: B. asset returns are unrelated.

• B. asset returns không có mối liên hệ.

• EN: C. asset returns have a positive relationship.

• C. asset returns có positive relationship.

• EN: Solution: Answer C is correct. The covariance of returns is positive if both asset returns have the tendency to be above or below their expected values simultaneously.

• Lời giải: Đáp án C là đúng. Covariance của returns là positive nếu returns của cả hai asset có xu hướng đồng thời cao hơn hoặc thấp hơn expected value của chúng.

8. EN: A two-stock portfolio includes stocks with the following characteristics:

Một two-stock portfolio bao gồm các stock có các đặc điểm sau:

EN: What is the standard deviation of portfolio returns?

Standard deviation của portfolio returns là bao nhiêu?

• EN: A. 14.91 percent

• A. 14.91%

• EN: B. 18.56 percent

• B. 18.56%

• EN: C. 21.10 percent

• C. 21.10%

• EN: Solution: Answer B is correct. The covariance of the returns on the two stocks is Cov(R1,R2) = ρ(R1,R2) σ(R1) σ(R2) = 0.20 (12) (25) = 60. The portfolio variance is

• Lời giải: Đáp án B là đúng. Covariance của returns của hai stock là Cov(R1,R2) = ρ(R1,R2) σ(R1) σ(R2) = 0.20 (12) (25) = 60. Portfolio variance là

_σ_2 ( Rp ) = w 12 _σ_2 ( R 1) + w 22 _σ_2 ( R 2) + 2 w 1 w 2 Cov ( R 1 , R 2) =( 0.30)2( 12)2 +( 0.70)2( 25)2 + 2( 0.30)( 0.70)( 60) = 12.96 + 306.25 + 25.2 = 344.41.

Portfolio standard deviation là σ2 ( Rp ) = 344.41½ = 18.56%.

9. EN: Lena Hunziger has designed the following three-asset portfolio:

9. Lena Hunziger đã thiết kế three-asset portfolio sau:

Variance-Covariance Matrix

EN: According to Hunziger, the return on the portfolio is 6.3%. What is the standard deviation of the portfolio?

EN: A. 13.07 percent

Theo Hunziger, return của portfolio là 6.3%. Standard deviation của portfolio là bao nhiêu?

EN: B. 13.88 percent

A. 13.07%

EN: C. 14.62 percent

B. 13.88%

EN: Solution: Answer C is correct. For a portfolio with three assets, the portfolio variance is

C. 14.62%

Lời giải: Đáp án C là đúng. Đối với portfolio có ba asset, portfolio variance là

• _σ_2 ( Rp ) = w 12 _σ_2 ( R 1) + w 22 _σ_2 ( R 2) + w 32 _σ_2 ( R 3) + 2 w 1 w 2 Cov ( R 1 , R 2)

• • 2 w 1 w 3 Cov ( R 1 , R 3) + 2 w 2 w 3 Cov ( R 2 , R 3)

=( 0.20)2( 196) +( 0.30)2( 225) +( 0.50)2( 400) + 2( 0.20)( 0.30)( 105) + 2( 0.20)( 0.50)( 140) + 2( 0.30)( 0.50)( 150) = 7.84 + 20.25 + 100 + 12.6 + 28 + 45 = 213.69.

Portfolio standard deviation là

_σ_2 ( Rp ) = 213.691/2 = 14.62% .

xác định và giải thích covariance và correlation của portfolio returns dựa trên joint probability distribution của returns

Chúng ta ước tính covariance và correlation như thế nào? Trong nhiều trường hợp, chúng ta sử dụng forecasted covariance dựa trên historical covariance hoặc các kỹ thuật khác như market model regression từ historical return data. Cũng có thể sử dụng joint probability function của các random variable khi nó có thể được ước tính. Joint probability function của hai random variable X và Y, là P ( X,Y ), biểu thị probability để các giá trị cụ thể của X và Y cùng xảy ra. Ví dụ, P ( X =3, Y =2), biểu thị probability để X bằng 3 và Y bằng 2.

Giả sử joint probability function của BankCorp stock returns (RA) và NewBank stock returns (RB) có dạng đơn giản như minh họa trong Exhibit 6 dưới đây.

• Exhibit 6: Joint Probability Function of BankCorp and NewBank Returns (Entries Are Joint Probabilities)*

Expected return của BankCorp stock là 0.20(25%) + 0.50(12%) + 0.30(10%) = 14%. Expected return của NewBank stock là 0.20(20%) + 0.50(16%) + 0.30(10%) = 15%. Joint probability function được trình bày ở trên có thể là kết quả của một analysis được thực hiện dựa trên việc các điều kiện trong banking industry là favorable, average hay unfavorable. Exhibit 7 cho thấy cách covariance được tính.

Exhibit 7: Covariance Calculations

|Banking Industry Condition|Deviations BankCorp|Deviations NewBank|Product of Deviations|Probability of Condition|Probabili- ty-Weighted Product| |Good|25−14|20−15|55|0.20|11| |Average|12−14|16−15|−2|0.50|−1| |Poor|10−14|10−15|20|0.30|6 Cov(RA,RB) = 16|

Note: Expected return của BankCorp là 14% và của NewBank là 15%.

Deviations của returns BankCorp và NewBank so với mean hoặc expected value lần lượt được trình bày trong cột số thứ nhất và thứ hai. Cột thứ ba trình bày product của các deviations. Ví dụ, đối với điều kiện tốt của ngành, (25−14)(20−15)=11(5)=55. Sau đó, 55 được nhân hoặc weighted với 0.20, là probability của điều kiện tốt trong banking industry: 55(0.20)=11. Các phép tính cho điều kiện banking average và poor tuân theo cùng một khuôn mẫu. Bằng cách cộng tất cả các product như vậy sau khi được weighted theo probability, ta có thể thu được Cov(RA,RB)=16.

Công thức để tính covariance giữa các random variable RA và RB là

Cov ( RA , RB ) = ∑ i ∑ j P ( RA , i , RB , j )( RA , i − E RA )( RB , j − E RB ) . (8)

Theo công thức này, tất cả các product có thể có của deviations phải được cộng lại, có tính đến joint probability xảy ra tương ứng.

Tiếp theo, cần xem xét thực tế rằng khi hai random variable là independent, joint probability function trở nên đơn giản hơn.

Hai random variable X và Y là independent khi và chỉ khi P ( X,Y ) = P ( X ) P ( Y ).

Ví dụ, theo giả định independence, P (3,2) = P (3) P (2). Ta nhân các individual probabilities để có được joint probabilities. Tính chất independence mạnh hơn tính chất uncorrelatedness vì correlation chỉ xử lý linear relations giữa các random variable. Điều kiện này đúng đối với các random variable independent và do đó, nó cũng đúng đối với các random variable uncorrelated.

Expected value của product của các random variable uncorrelated bằng product của expected value của chúng.

E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) nếu X và Y là uncorrelated.

Nhiều financial variable, bao gồm revenue (price nhân quantity), là product của các random quantity. Trong những tình huống như vậy, quy tắc trên giúp việc đánh giá expected value của product của các random variable trở nên dễ dàng.

VÍ DỤ 2

Covariances and Correlations of Security Returns

Isabel Vasquez đang phân tích correlation giữa bốn asset class trong portfolio của công ty cô. Trong Exhibit 8, cô vẽ đồ thị 24 mức return trong tháng gần nhất của large-cap US stocks so với 24 mức return trong tháng gần nhất của large-cap world ex-US stocks (Panel 1), và 24 mức return trong tháng gần nhất của intermediate-term corporate bonds so với 24 mức return trong tháng gần nhất của long-term corporate bonds (Panel 2). Vasquez trình bày các giá trị return, variance và covariance dưới dạng số thập phân thay vì %. Lưu ý phạm vi của các trục dọc của chúng (Return %).

Exhibit 8: Monthly Returns for Four Asset Classes

A. Equity Monthly Returns Return (%) 0.15 0.10 0.05 0 –0.05 –0.10 –0.15 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Large-Cap US Large-Cap World Ex US B. Corporate Bond Monthly Returns Return (%) 0.15 0.10 0.05 0 –0.05 –0.10 –0.15 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Intermediate Corp Bonds Long-Term Corp Bonds

1. Exhibit 9 chứa dữ liệu được chọn của bốn asset class.

Exhibit 9: Selected Data for Four Asset Classes

|Asset Classes|Large-Cap US Equities|World (ex US) Equities|Intermediate Corp Bonds|Long-Term Corp Bonds| |Variance|0.001736|0.001488|0.000174|0.000699| |Standard deviation|0.041668|0.038571|0.013180|0.026433| |Covariance|0.00|1349|0.0003|18| |Correlation|0.87|553|0.951|33|

Như Vasquez đã phát hiện, thể hiện trong Exhibit 9, mặc dù hai equity class có variance và covariance cao hơn đáng kể so với hai bond class, correlation của hai equity class lại thấp hơn correlation của hai bond class. Cô cũng phát hiện rằng mặc dù long-term bonds biến động mạnh hơn (variance cao hơn) intermediate-term bonds, return của chúng có correlation rất cao.

shortfall risk, compute safety first ratio and find optimal portfolio under Roy’s safety first criterion

Theo Modern portfolio theory (MPT), việc định giá các investment opportunity được thực hiện dựa trên mean return và variance of return measures. Theo economic theory, mean–variance analysis sẽ hoàn toàn đúng khi nhà đầu tư risk averse, lựa chọn investments nhằm tối đa hóa expected utility và thỏa mãn mong muốn của họ, đồng thời khi either returns are normally distributed (assumption 1) hoặc nhà đầu tư có quadratic utility function (một khái niệm được sử dụng trong economics như một cách biểu diễn bằng toán học các trade-off giữa risk và return). Mặc dù mean–variance analysis không hoàn toàn đúng khi assumption 1 hoặc 2 bị vi phạm, mệnh đề cho rằng returns are normally distributed đóng vai trò rất quan trọng trong việc ứng dụng MPT. Vì practitioners thích làm việc với các observable, như returns.

Để giải thích khái niệm này, hãy xem xét một nhà đầu tư đang cố gắng tiết kiệm cho retirement của mình. Mặc dù mục tiêu là kiếm được real return tối đa, portfolio phải kiếm được ít nhất minimum return cần thiết để real capital preservation trong một khoảng thời gian. Giả sử long-run inflation rate là 2%, minimum acceptable return sẽ là 2%. Table 10 so sánh ba investment choice về expected return và standard deviation of return. Probability of earning a return thấp hơn 2% được tính dựa trên giả định normally distributed returns. Như quan sát từ Table 10, Portfolio II là portfolio tối ưu vì đây là sự kết hợp của expected return cao nhất và volatility thấp nhất, do đó có probability thấp nhất về việc earning return thấp hơn 2% (hay nói cách khác, probability cao nhất về việc kiếm được ít nhất 2%). Điều này cũng thể hiện rõ ở Panel B, nơi Portfolio II có shaded area nhỏ nhất ở bên trái mức 2% (probability of earning thấp hơn minimum acceptable return).

Exhibit 10: Probability of Earning a Minimum Acceptable Return

Panel A: Alternative Portfolio Characteristics

Panel B: Likelihoods of Attainting Minimal Acceptable Return

A. Portfolio I

0.05 Minimum Acceptable Mean = 5% 0.04 Return = 2% 0.03 0.02 0.01 0 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40 Return B. Portfolio II 0.05 Minimum Acceptable Mean = 8 % 0.04 Return = 2% 0.03 0.02 0.01 0 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40 Return C. Portfolio III 0.05 0.04 Minimum Acceptable Mean = 5% 0.03 Return = 2% 0.02 0.01 0 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30 40 Return

Trong mean-variance analysis, khái niệm risk được xem xét theo cách đối xứng vì standard deviation đo lường variability cả phía trên lẫn phía dưới mean. Thay vì đo lường total variability, một cách tiếp cận khác chỉ đo lường risk phía dưới mean. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ nói về safety first rules vì chúng giúp hiểu ứng dụng của normal distribution theory đối với các vấn đề đầu tư thực tế. Safety-first rules là tập hợp các quy tắc nhằm giảm thiểu shortfall risk, tức risk mà portfolio value hoặc return of the portfolio giảm xuống dưới một threshold nào đó trong một khoảng thời gian nhất định. Risk mà assets trong defined benefit plans giảm xuống dưới liabilities là một ví dụ về shortfall risk.

Hãy xem xét tình huống mà một nhà đầu tư cảm thấy bất kỳ return nào thấp hơn RL đều không thể chấp nhận được. Theo Roy’s safety-first criterion (Roy 1952), optimal portfolio là portfolio tối thiểu hóa probability of return thấp hơn threshold level RL. Nói cách khác, mục tiêu của nhà đầu tư là chọn một portfolio có P (RP < RL) thấp nhất. Nếu portfolio returns are normally distributed, khi đó chúng ta có thể tính P (RP < RL) từ số standard deviation mà RL nằm thấp hơn expected portfolio return E(RP). Portfolio

có giá trị lớn nhất của E(RP) − RL trên mỗi đơn vị standard deviation sẽ tối thiểu hóa probability của việc RP giảm xuống dưới critical level RL. Do đó, khi returns are normally distributed, safety-first optimal portfolio sẽ tối đa hóa safety-first ratio (SFRatio), có thể được viết như sau:

SFRatio = [E(RP) − RL]/σP. (9)

Ở đây, numerator của phương trình biểu thị khoảng cách từ mean return đến critical level. Standard deviation của portfolio được sử dụng để biểu thị khoảng cách này theo số standard deviation. Để chọn portfolio theo Roy criterion (và giả định normally distributed returns), bạn nên thực hiện hai bước sau:

1. Tính SFRatio của từng portfolio.

2. Chọn portfolio có SFRatio cao nhất.

Đối với portfolio có SFRatio nhất định, probability of getting return thấp hơn RL là Normal (–SFRatio), và safety-first optimal portfolio có probability này thấp nhất. Hãy xem xét một ví dụ: Giả sử critical return của một nhà đầu tư là 2%. Người đó đang cân nhắc hai portfolio. Portfolio 1 cung cấp expected return 12% với standard deviation 15%. Portfolio 2 cung cấp expected return 14% với standard deviation 16%. Theo Equation 9, SFRatio của chúng lần lượt là 0.667 = (12 − 2)/15 và 0.75 = (14 − 2)/16 đối với Portfolio 1 và 2. Sau đó, đối với Portfolio 2 tốt hơn, probability of portfolio return thấp hơn 2% là N (–0.75) = 1 − N (0.75) = 1 – 0.7734 = 0.227, hoặc 23%, nếu portfolio return is normally distributed.

Như bạn có thể đã nhận thấy, SFRatio tương tự Sharpe ratio. Việc thay RL bằng risk-free rate, RF, trong SFRatio sẽ tạo ra Sharpe ratio. Sử dụng safety-first approach, giờ đây chúng ta có thể nhìn Sharpe ratio theo một cách khác. Chúng ta thấy rằng khi sử dụng Sharpe ratio, portfolio có Sharpe ratio cao nhất sẽ tối thiểu hóa probability of portfolio return thấp hơn risk-free rate.

VÍ DỤ 3

The Safety-First Optimal Portfolio for a Client

Bạn đang thực hiện nghiên cứu về asset allocations của khách hàng cho một portfolio trị giá CAD800,000. Mặc dù investment objective của cô ấy là growth trong dài hạn, vào cuối mỗi năm, cô ấy muốn bán CAD30,000 từ portfolio để hỗ trợ việc học của con cái. Cô ấy không muốn đụng đến initial capital là CAD800,000. Dưới đây là ba allocation thay thế.

Exhibit 11: Mean and Standard Deviation for Three Allocations (in Percent)

Trả lời các câu hỏi sau (Normality được giả định trong Questions 2 và 3)

1. Với yêu cầu khách hàng không muốn rút từ CAD800,000, hãy tìm shortfall level RL. Sử dụng RL để trả lời Question 2.

Lời giải:

Vì CAD30,000/CAD800,000 = 3.75%, điều này có nghĩa rằng bất kỳ portfolio return nào thấp hơn 3.75% đều khiến khách hàng phải rút từ principal của mình để lấy CAD30,000. Do đó, RL = 3.75%

2. Theo safety-first rule, portfolio nào trong ba portfolio là phù hợp hơn?

(Gợi ý: Để chọn portfolio phù hợp hơn theo safety-first principle, hãy chọn portfolio có ratio lớn nhất [E(RP) − RL]/σP.)

A. 0.787037 = (25 − 3.75)/27

• B. 0.90625 = (11 − 3.75)/8

• C. 0.5125 = (14 − 3.75)/20

Lời giải:

Option B là lựa chọn tốt nhất vì ratio cao nhất của safety-first measures (0.90625) đạt được bởi allocation B.

3. Probability là bao nhiêu để return của safety-first optimal portfolio thấp hơn shortfall level?

Lời giải:

Để trả lời câu hỏi này, lưu ý rằng P (RB < 3.75) = Normal (−0.90625). Hợp lý khi làm tròn số 0.90625 thành 0.91 vì đây là con số phù hợp nhất để sử dụng với các bảng standard normal CDF. Trước tiên, hãy tính Normal (−0.91) = 1 − Normal (0.91) = 1 − 0.8186 = 0.1814 hoặc 18.1%. Với sự trợ giúp của spreadsheet function, chúng ta có Normal (-0.90625) = 0.182402 hoặc 18.2%. Nói cách khác, portfolio tối ưu theo safety-first criterion có probability khoảng 18% là nằm dưới return threshold 3.75%. Bạn có thể thấy điều này trong graphic bên dưới, nơi allocation B có area thấp nhất dưới distribution curve và dưới mức 3.75%.

0.10 Target Return = 3.75% 0.08 B 0.06 0.04 C 0.02 A 0 –80.3 –56.3 –32.3 –8.3 15.8 39.8 63.8 87.8 Percent

Có thể đưa ra một số nhận xét ở đây. Thứ nhất, trong trường hợp một số input data thay đổi, chúng ta có thể nhận được một ranking khác. Ví dụ, nếu mean return của B là 10% thay vì 11%, thì allocation A sẽ tốt hơn allocation B. Thứ hai, nếu việc đạt return threshold 3.75% là cần thiết chứ không chỉ là mong muốn, khi đó chúng ta có thể mô hình hóa CAD830,000 như một liability. Để loại bỏ hoặc immunize quasi-liability CAD830,000, chúng ta có thể sử dụng fixed income strategy như cash flow matching.

Trong nhiều tình huống đầu tư ngoài Roy's safety-first criterion, chúng ta sử dụng normal distribution để đánh giá probability. Một tình huống khác, trong đó normal distribution đóng vai trò then chốt, liên quan đến financial risk management. Tất cả financial institutions, bao gồm investment banks, security dealers và commercial banks, đều có các quy trình đặc biệt để đo lường và quản lý financial risk của họ ở các cấp độ khác nhau - từ individual trading positions đến overall risk của công ty. Hai phương pháp chính trong việc quản lý financial risk là VaR và stress testing/scenario analysis. Stress testing và scenario analysis bao gồm một số quy trình để ước tính losses từ sự kết hợp cực kỳ bất lợi của các events/scenarios. Value at risk (VaR) là một ước tính bằng tiền về giá trị tối thiểu của losses trong một khoảng thời gian xác định (ví dụ: một ngày, một quý hoặc một năm) với probability level nhất định (0.05 hoặc 0.01). Giả sử time horizon là một ngày và probability level là 0.05 (tức 95% one-day VaR). Trong trường hợp này, nếu VaR bằng EUR5 million đối với portfolio, thì probability bị mất EUR5 million hoặc nhiều hơn trong một ngày là 0.05 (với điều kiện tất cả assumptions đều đúng). Một trong những phương pháp cơ bản để tính VaR là variance–covariance hoặc analytical method, phương pháp giả định normal distribution of returns.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Khách hàng sở hữu một portfolio bao gồm common stock và fixed income securities trị giá GBP1,350,000. Khách hàng dự định bán một phần portfolio trị giá GBP50,000 vào cuối năm để mua shares trong một partnership của một business venture. Ngoài ra, khách hàng muốn rút GBP50,000 mà không làm ảnh hưởng đến số tiền ban đầu là GBP1,350,000. Dưới đây là các bảng thể hiện các portfolio thay thế.

Mean and Standard Deviation for Four Allocations (in Percent)

||A|B|C|D| |Expected annual return|16|12|10|9| |Standard deviation of return|24|17|12|11|

1. Trả lời các câu hỏi sau (giả sử normality cho phần B & C):

• A. Giả sử khách hàng không muốn xâm phạm vào GBP1,350,000 của mình, giá trị của shortfall level, RL là bao nhiêu? Áp dụng shortfall level khi trả lời phần B.

• B. Dựa trên safety-first principle, portfolio nào là phù hợp nhất?

• C. Xác suất có một return thấp hơn shortfall level, RL là bao nhiêu?

  • Lời giải:

• A. Vì GBP50,000/GBP1,350,000 bằng 3.7%, khách hàng phải sử dụng principal khi rút GBP50,000 nếu return thấp hơn 3.7%. Do đó, RL = 3.7%.

• B. Để xác định allocation nào là safety-first optimal, hãy chọn phương án có giá trị lớn nhất của [E(RP) − RL]/σP:

  - Allocation A 0.5125 = (16 - 3.7)/24. 
  

Allocation B 0.488235 = (12 - 3.7)/17.

Allocation C 0.525 = (10 - 3.7)/12.

Allocation D 0.481818 = (9 - 3.7)/11.

• Allocation C có ratio cao nhất (0.525) là phương án phù hợp nhất dựa trên safety-first criterion.

• C. Để trả lời câu hỏi, chúng ta phải xét rằng P (RC < 3.7%) = Normal(0.037 - 0.10)/0.12) = Normal(-0.525). Sử dụng công thức NORM.S.DIST() của Excel, ta có NORM.S.DIST((0.037 - 0.10)/0.12) = 29.98%, hoặc xấp xỉ 30%. Xác suất safety-first optimal portfolio không đạt được mục tiêu return 3.7% là khoảng 30%.

2. Một khách hàng có portfolio trị giá GBP2,000,000 muốn rút GBP90,000 trong một năm mà không sử dụng principal. Sử dụng Roy

• A. Allocation A

• B. Allocation B

• C. Allocation C

• Lời giải:

Đáp án: B là đúng. safety-first ratio của allocation B là lớn nhất. RL của portfolio bằng GBP90,000/GBP2,000,000 = 4.5%. Do đó, bất kỳ return nào thấp hơn RL = 4.5% sẽ làm ảnh hưởng đến principal của portfolio. Để xác định safety-first optimal portfolio, hãy chọn portfolio có ratio cao nhất:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Roy, A. D. 1952. “Safety First and the Holding of Assets.” Econometrica 20 (3): 431-49. 10.2307/1907413

EN: An analyst has developed the following joint probability distribution of a foreign index (FI) and domestic index (DI).

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Một analyst đã xây dựng joint probability distribution sau đây của một foreign index (FI) và domestic index (DI).

EN: The covariance between the return on foreign index and domestic index is closest to:

EN: A. 26.39.

Covariance giữa return của foreign index và domestic index gần nhất với:

EN: B. 26.56.

A. 26.39.

EN: C. 28.12.

B. 26.56.

C. 28.12.

EN: 1. B is correct. The covariance is 26.56, calculated as follows. First, expected returns are E (RFI) = (0.25 × 25) + (0.50 × 15) + (0.25 × 10) = 6.25 + 7.50 + 2.50 = 16.25 and E (RDI) = (0.25 × 30) + (0.50 × 25) + (0.25 × 15) = 7.50 + 12.50 + 3.75 = 23.75. Covariance is Cov(RFI,RDI) = ∑ i ∑ j P ( RFI , i , RDI , j )( RFI , i − E RFI )( RDI , j − E RDI ) = 0.25[(25 – 16.25)(30 – 23.75)] + 0.50[(15 – 16.25)(25 – 23.75)] + 0.25[(10 – 16.25)(15 – 23.75)] = 13.67 + (–0.78) + 13.67 = 26.56.

LỜI GIẢI

1. B là đáp án đúng. Covariance là 26.56, được tính như sau. Trước tiên, expected returns là E (RFI) = (0.25 × 25) + (0.50 × 15) + (0.25 × 10) = 6.25 + 7.50 + 2.50 = 16.25 và E (RDI) = (0.25 × 30) + (0.50 × 25) + (0.25 × 15) = 7.50 + 12.50 + 3.75 = 23.75. Covariance là Cov(RFI,RDI) = ∑ i ∑ j P ( RFI , i , RDI , j )( RFI , i − E RFI )( RDI , j − E RDI ) = 0.25[(25 - 16.25)(30 - 23.75)] + 0.50[(15 - 16.25)(25 - 23.75)] + 0.25[(10 - 16.25)(15 - 23.75)] = 13.67 + (-0.78) + 13.67 = 26.56.