Probability Trees and Conditional Expectations

This content was already covered in the Foundation for CFA Level I course. If you feel confident with it, you may skip this section.

Phần kiến thức này đã được trình bày trong khóa Foundation. Nếu bạn đã nắm vững nội dung ở đó thì có thể bỏ qua phần này để tiết kiệm thời gian.

[Pre.i] Định nghĩa biến ngẫu nhiên, kết quả và sự kiện

Biến ngẫu nhiên (random variable) là một giá trị bằng số, thể hiện kết quả của một phép thử ngẫu nhiên.

Kết quả (outcome) là các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên.

Biến cố (event) có thể là một kết quả hoặc một tập hợp nhiều kết quả.

Xác suất (probability) của một biến cố là % tượng trưng cho khả năng có thể xảy ra biến cố đó trong một phép thử liên quan.

[Pre.ii] Xác định hai đặc điểm quan trọng của xác suất, bao gồm biến cố xung khắc và hệ biến cố đầy đủ; so sánh xác suất thực nghiệm, chủ quan và tiên nghiệm

Các đặc tính cơ bản của xác suất:

• P(A): Xác suất xảy ra biến cố A (0 ≤ P(A) ≤ 1).

• Biến cố xung khắc (mutually exclusive events): Mô tả hai hoặc nhiều biến cố không thể xảy ra đồng thời.

• Hệ biến cố đầy đủ (exhaustive events): Các sự kiện phải bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra.

• Tổng các xác suất của bất kỳ tập hợp nào của biến cố xung khắc và biến cố đầy đủ đều bằng 1.

Có 2 trường phái xác suất là xác suất chủ quan và xác suất khách quan. Trong xác suất khách quan, cũng chia ra 2 trường phái là xác suất thực nghiệm (empirical probability) và xác suất tiên nghiệm (priori probability). Trong đó:

• Xác suất chủ quan (subjective probability) là phán đoán của cá nhân.

• Xác suất thực nghiệm (empirical probability) là xác suất được xác định bằng cách phân tích dữ liệu trong quá khứ.

• Xác suất tiên nghiệm (priori probability) là xác suất được xác định dựa trên dữ liệu quan sát và thực nghiệm.

[Pre.iii] Mô tả xác suất của một sự kiện dưới dạng Odds for E và Odds Against E

Odd là tỉ lệ giữa xác suất xảy ra 1 sự kiện so với xác suất không xảy ra sự kiện đó.

1. Odds for: $\mathrm{E} = \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)}{1 - \mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)}$

2. Odds against: $\mathrm{E} = \frac{1 - \mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)}$

Trong đó:

• P(E) là xác suất xảy ra sự kiện đó.

[Pre.iv] Đo lường và diễn giải xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện và xác suất vô điều kiện

Xác suất vô điều kiện (unconditional probability) là xác suất xảy ra của một biến cố nhất định, không phụ thuộc vào sự xảy ra của biến cố nào trước/sau đó.

Xác suất có điều kiện (conditional probability) là xác suất của một sự kiện xảy ra với điều kiện một sự kiện khác xảy ra. Công thức tính xác suất có điều kiện như sau:

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{AB}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}$

Trong đó:

• P (A | B): Xác suất của sự kiện A với điều kiện rằng sự kiện B xảy ra.
• P(AB): Xác suất khi sự kiện A và B cùng xảy ra.
• P (B): Xác suất xảy ra sự kiện B

[Pre.v] So sánh và đối chiếu các sự kiện phụ thuộc và độc lập

Sự kiện độc lập (Independent events): Một sự kiện được xem là độc lập khi và chỉ khi sự xuất hiện của một sự kiện này không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của sự kiện kia.

P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B)

Sự kiện phụ thuộc (Dependent events): Các sự kiện không thỏa mãn được yêu cầu của sự kiện độc lập là các sự kiện phụ thuộc.

[Pre.vi] Đo lường xác suất với quy tắc cộng, quy tắc nhân và quy tắc tổng hợp xác suất

1. Quy tắc cộng

• P(A or B) = P(A) + P(B) – P(AB)

• Đối với các biến cố xung khắc: P(A or B) = P(A) + P(B)

2. Quy tắc nhân

• P(AB) = P(A I B) x P(B) = P(B I A) x P(A)

• Đối với các biến cố độc lập: P(AB) = P(A) x P(B)

3. Quy tắc tổng hợp xác suất

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right|{\mathrm{B}}_1\left)\mathrm{P}\right({\mathrm{B}}_1)+\mathrm{P}(\mathrm{A}\left|{\mathrm{B}}_2\right)\mathrm{P}\left({\mathrm{B}}_2\right)+...+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right|{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}\left)\mathrm{P}\right({\mathrm{B}}_{\mathrm{n}})$