Cây xác suất và Kỳ vọng có điều kiện

• bởi Richard A. DeFusco, PhD, CFA, Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, Jerald E. Pinto, PhD, CFA, và David E. Runkle, PhD, CFA.*

Richard A. DeFusco, PhD, CFA, công tác tại University of Nebraska-Lincoln (USA). Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, công tác tại University of Rhode Island (USA). Jerald E. Pinto, PhD, CFA, công tác tại CFA Institute (USA). David E. Runkle, PhD, CFA, công tác tại Jacobs Levy Equity Management (USA).

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

• tính expected values, variances và standard deviations, đồng thời áp dụng chúng vào các vấn đề đầu tư
• biểu diễn một vấn đề đầu tư dưới dạng probability tree và sử dụng conditional expectations trong việc giải quyết các vấn đề đầu tư
• tính toán và giải thích việc cập nhật một investment probability bằng Bayes’ formula

Quyết định về cách đầu tư tiền của một nhà đầu tư dựa trên những bất định liên quan đến hướng đi của nền kinh tế, tổ chức phát hành, công ty hoặc giá trong tương lai. Learning Module này trình bày một số kỹ thuật xác suất để giải quyết những vấn đề thực tiễn như vậy.

Bài học thứ nhất nói về việc tính expected value, variance và standard deviation của một random variable. Expected value, variance và standard deviation là những thước đo định lượng quan trọng trong investment management. Bài học thứ hai giới thiệu việc sử dụng probability trees, giúp tính conditional expectations và total probabilities của expected value.

Trong các quyết định đầu tư, analysts thường có những quan điểm có thể bị ảnh hưởng bởi các quan sát trong tương lai. Trong bài học thứ ba, Bayes' theorem được giới thiệu, giúp điều chỉnh probabilities sau khi có thông tin mới. Bayes' theorem có ứng dụng rộng rãi trong business và investments.

• expected value của một random variable là weighted average của các outcomes của random variable đó theo probabilities tương ứng. Nếu random variable là X, expected value của X là E ( X ).

• variance của một random variable là expected value (probability-weighted average) của squared deviations so với expected value E ( X ) của random variable: σ2 ( X ) = E {[ X − E ( X )]2 }, trong đó σ2 ( X ) biểu thị variance của X .

• Căn bậc hai dương của variance là standard deviation. Standard deviation và variance đều là các thước đo dispersion, nhưng trong khi variance được biểu thị bằng squared units, standard deviation được biểu thị bằng cùng đơn vị với random variable.

• probability tree là biểu diễn đồ họa về outcome của hai hoặc nhiều independent events.

• probability của một event khi biết (được điều kiện bởi) một event khác là conditional probability. probability của event A khi biết event B được ký hiệu là P ( A | B ), và P ( A | B ) = P ( AB )/ P ( B ), P ( B ) ≠ 0.

• Theo total probability rule, nếu S 1, S 2, …, Sn là các scenarios hoặc events mutually exclusive và exhaustive, thì P ( A ) = P ( A | S 1) P ( S 1) + P ( A | S 2) P ( S 2) + … + P ( A | Sn ) P ( Sn ).

• conditional expected value là E ( X | S ) = P ( X 1 | S ) X 1 + P ( X 2 | S ) X 2 + … + P (Xn | S )Xn và có conditional variance và conditional standard deviation tương ứng.

• Bayes' formula là một kỹ thuật để cập nhật probabilities khi có dữ liệu mới.

• Bayes' formula được phát biểu như sau: Updated probability của event khi biết thông tin mới = [(Probability của thông tin mới khi biết event)/(Unconditional probability của thông tin mới)] × Prior probability của event.

tính expected values, variances và standard deviations, đồng thời trình bày cách chúng được áp dụng vào investments

Expected value của một random variable là một trong những khái niệm định lượng quan trọng nhất trong investing. Expected values được investors sử dụng rộng rãi trong việc đánh giá returns của alternative investments, dự báo EPS và các financial metrics và ratios khác, cũng như xem xét bất kỳ yếu tố nào khác có thể ảnh hưởng đến tài chính của họ. Expected value của một random variable được định nghĩa là weighted average của tất cả possible outcomes của random variable đó. Expected value của random variable X được ký hiệu là E(X).

Expected value, chẳng hạn như expected stock return, hoặc hướng tới tương lai dưới dạng một forecast, hoặc hướng tới giá trị "thực" của mean, tức population mean. Chúng ta phải phân biệt expected value với hai khái niệm khác: historical mean và sample mean. sample mean

cũng là một giá trị trung tâm được tóm lược trong một con số duy nhất. Tuy nhiên, sample mean là một giá trị trung tâm của một tập hợp quan sát cụ thể, được biểu thị bằng equally-weighted average của các quan sát đó. Tóm lại, sự khác biệt nằm ở forecast và history, hoặc giữa population và sample.

Công thức sau đây tóm tắt cách tính expected value của một discrete random variable X:

trong đó Xi là một trong n potential outcomes của discrete random variable X .

expected value là forecast của chúng ta. Vì đang xử lý random variables, chúng ta không bao giờ có thể chắc chắn rằng forecast của mình sẽ trở thành hiện thực (mặc dù chúng ta kỳ vọng forecasts của mình sẽ chính xác, ít nhất là xét trên average). Do đó, cần đo lường risk của mình. Variance và standard deviation đo lường mức độ phân tán của outcomes so với expected value hoặc forecast.

variance của một random variable là expected value (probability-weighted average) của squared deviations so với expected value của random variable đó:

Hai ký hiệu cho variance là σ2 ( X ) và Var( X ).

Variance luôn không âm vì nó là tổng của các bình phương. Nếu variance bằng 0, sẽ không có dispersion hoặc risk. Kết quả được biết chắc chắn và đại lượng X hoàn toàn không phải là random. Positive variance có nghĩa là có sự phân tán của kết quả. Variance cao hơn có nghĩa là mức độ phân tán của kết quả cao hơn, ceteris paribus.

Công thức sau đây thể hiện cách tính variance:

trong đó Xi là một trong n possible values của discrete random variable X.

Variance của X là một đại lượng được đo bằng squared units của X. Nếu random variable là return tính bằng %, variance của return được đo bằng % bình phương. Standard deviation là một thước đo dễ hiểu hơn variance vì nó được đo bằng cùng đơn vị với random variable. Standard deviation là căn bậc hai của variance. Nếu random variable là return tính bằng %, standard deviation của return cũng được đo bằng %. Trong các ví dụ dưới đây, khi nêu variance của returns theo % hoặc dollar amount, để tiết kiệm không gian, squared unit có thể được lược bỏ.

Cách tốt nhất để hiểu các thuật ngữ này là thông qua các ví dụ.

VÍ DỤ 1

Earnings per Share của BankCorp, Phần 1

Với vai trò là một analyst trong ngành banking, bạn tham gia xây dựng các models để ước tính earnings per share của các banks đang được nghiên cứu. Vào ngày này, phân tích của bạn liên quan đến việc nghiên cứu BankCorp. Exhibit 1 cung cấp probability distribution của EPS của BankCorp trong fiscal year hiện tại.

Exhibit 1: Probability Distribution của EPS của BankCorp

1. expected value của EPS của BankCorp trong fiscal year hiện tại là bao nhiêu? Lời giải:

Theo định nghĩa của expected value, hãy liệt kê tất cả outcomes và nhân chúng với probabilities tương ứng, sau đó cộng lại.

E (EPS) = 0.15(USD2.60) + 0.45(USD 2.45) + 0.24(USD 2.20) + 0.16(USD 2.00)

• = USD2.3405

expected value của EPS là USD2.34.

2. Bây giờ, sử dụng probability distribution của EPS từ Exhibit 1, bạn muốn đo lường mức độ phân tán so với giá trị forecast của mình. Variance và standard deviation của EPS của BankCorp trong fiscal year hiện tại là bao nhiêu?

Lời giải:

Chúng ta luôn tính variance và standard deviation theo thứ tự sau: đầu tiên là expected value, tiếp theo là variance và cuối cùng là standard deviation. Vì expected value đã được xác định, bây giờ chúng ta áp dụng công thức ở trên và tính variance như sau: Tính chênh lệch giữa từng outcome và mean hoặc expected value. Sau đó, bình phương từng chênh lệch. Tiếp theo, nhân (weight) từng squared difference với probability xảy ra của nó và cộng tất cả các hạng tử này.

• _σ_2( EPS) = P( 2.60) [2.60 − E( EPS) ]2 + P( 2.45) [2.45 − E( EPS) ]2 + P( 2.20) [2.20 − E( EPS) ]2 + P( 2.00) [2.00 − E( EPS) ]2 = 0.15( 2.60 − 2.34)2 + 0.45( 2.45 − 2.34)2 + 0.24( 2.20 − 2.34)2 + 0.16( 2.00 − 2.34)2 = 0.01014 + 0.005445 + 0.004704 + 0.018496 = 0.038785

Standard deviation là căn bậc hai của 0.038785 (tức là 0.19694).

σ(EPS) = 0.0387851/2 = 0.196939, hoặc xấp xỉ 0.20.

biểu diễn một vấn đề đầu tư dưới dạng probability tree và giải thích việc sử dụng conditional expectations trong ứng dụng đầu tư

Trong investments, chúng ta luôn xem xét tất cả thông tin sẵn có trong forecasts của mình. Mỗi khi tinh chỉnh forecast hoặc expectation, chúng ta thường làm như vậy bằng cách sử dụng thông tin mới hoặc các events xảy ra. Khi làm điều đó, thực tế chúng ta đang sử dụng conditional expected values. Expected value của random variable X khi được điều kiện bởi event hoặc scenario S được biểu thị là E ( X | S ). Giả sử random variable X nhận một trong n possible outcomes như dưới đây:

các outcomes X1, X2, …, Xn (trong đó các outcomes này tạo thành một tập hợp các events mutually exclusive và exhaustive). Expected value của X khi biết S bằng outcome thứ nhất X1 nhân với probability của outcome thứ nhất khi biết S, P(X1 | S), cộng với outcome thứ hai X2 nhân với probability của outcome thứ hai khi biết S, P(X2 | S), và cứ tiếp tục như vậy, như dưới đây:

E ( X | S ) = P ( X 1 | S ) X 1 + P ( X 2 | S ) X 2 + … + P (Xn | S )Xn. (4)

Chúng ta sẽ sớm xem một ví dụ về biểu thức này.

Tương tự total probability formula dùng để biểu diễn probabilities theo conditional probabilities, chúng ta có một nguyên tắc để biểu diễn expected values (unconditional) theo conditional expected values. Nguyên tắc này được gọi là total probability rule for expected value .

Total Probability Rule for Expected Value

Công thức như sau:

trong đó SC là "complement of S", nghĩa là event hoặc scenario "S" không xảy ra. E ( X ) = E ( X | S 1) P ( S 1) + E ( X | S 2) P ( S 2) + … + E ( X | Sn) P (Sn), (6)

trong đó S1, S2, …, Sn là các scenarios hoặc events mutually exclusive và exhaustive.

Trường hợp tổng quát, Equation 6, cho thấy expected value của X bằng expected value của X khi biết Scenario 1, E(X | S1), nhân với probability của Scenario 1, P(S1), cộng với expected value của X khi biết Scenario 2, E(X | S2), nhân với probability của Scenario 2, P(S2), và cứ tiếp tục như vậy.

Để áp dụng nguyên tắc này, chúng ta xây dựng các scenarios mutually exclusive và exhaustive, giúp chúng ta hiểu được kết quả của random variable. Nguyên tắc này đã được sử dụng để xây dựng probability distribution của EPS của BankCorp trong Example 1 như sau.

VÍ DỤ 2

Earnings per Share của BankCorp, Phần 2

Earnings của BankCorp phụ thuộc vào mức interest rates và hưởng lợi từ môi trường declining interest rate. Giả sử probability mà trong fiscal year hiện tại BankCorp hoạt động trong declining interest rate environment là 0.60, trong khi probability mà BankCorp hoạt động trong stable interest rate environment là 0.40 (probability hoạt động trong increasing interest rate environment được xem là không đáng kể). Nếu declining interest rate environment xảy ra, thì probability để EPS bằng USD2.60 là 0.25, và probability để EPS bằng USD2.45 là 0.75. Lưu ý rằng 0.60, probability của declining interest rate environment, nhân với 0.25, probability của EPS USD2.60 trong declining interest rate environment, bằng 0.15 - tức (unconditional) probability của USD2.60, được cung cấp trong bảng ở Exhibit 1. Do đó, các probabilities là nhất quán. Hơn nữa, 0.60(0.75) = 0.45 - probability của EPS USD2.45, được cung cấp trong Exhibit 1. probability tree diagram trong Exhibit 2 hoàn tất phần phân tích còn lại.

Exhibit 2: EPS Dự báo của BankCorp

EPS = $2.60 với 0.25 Prob = 0.15 Xác suất lãi suất giảm = 0.60 EPS =$2.45 với 0.75 Prob = 0.45 E (EPS) = $2.34 EPS =$2.20 với 0.60 Prob = 0.24 Xác suất lãi suất ổn định = 0.40 EPS = $2.00 với 0.40 Prob = 0.16

Môi trường lãi suất giảm dẫn chúng ta đến node của cây, tại đó cây phân nhánh thành hai kết quả - USD2.60 và USD2.45. Chúng ta có thể tính EPS kỳ vọng trong môi trường lãi suất giảm theo cách sau, sử dụng Equation 6:

• E (EPS | declining interest rate environment )

• = 0.25(USD2.60) + 0.75(USD2.45)

• = USD2.4875

Nếu lãi suất ổn định,

E (EPS | stable interest rate environment ) = 0.60(USD2.20) + 0.40(USD2.00)

• = USD2.12

Ví dụ, sau khi biết được thông tin mới về lãi suất giảm, chúng ta điều chỉnh kỳ vọng ban đầu về EPS xuống còn USD2.12. Sau đó, sử dụng total probability rule cho expected value,

E( EPS)

= E (EPS | falling interest rate environment) P (falling interest rate environment) + E (EPS | stable interest rate environment) P (stable interest rate environment)

Do đó, E (EPS) = USD2.4875(0.60) + USD2.12(0.40) = USD2.3405, hoặc xấp xỉ USD2.34.

Giá trị này hoàn toàn giống với giá trị expected value của EPS được tính trực tiếp bằng probability distribution trong Example 1. Cũng như probabilities của chúng ta phải nhất quán, các expected values của chúng ta, dù là unconditional hay conditional, cũng phải nhất quán; nếu không, chúng ta sẽ tạo ra lợi nhuận cho người khác bằng chính chi phí của mình khi thực hiện các hoạt động đầu tư.

Tóm lại, điều chúng ta đã làm là xác định các yếu tố hoặc kịch bản ảnh hưởng đến sự xảy ra của sự kiện quan tâm. Sau khi gán probabilities cho các kịch bản này, chúng ta tiến hành hình thành các kỳ vọng dựa trên các kịch bản đó rồi làm việc ngược lại để suy ra expected value. Trong ví dụ trên, EPS là sự kiện quan tâm, trong khi interest rate environment là yếu tố ảnh hưởng đến EPS.

Chúng ta cũng có thể tính variance của EPS dựa trên từng kịch bản:

• σ2 (EPS| declining interest rate environment )

• = P (USD2.60| declining interest rate environment )

• × [USD2.60 − E (EPS| declining interest rate environment )]2

• • P (USD2.45| declining interest rate environment )

• × [USD2.45 − E (EPS| declining interest rate environment )]2

• = 0.25(USD2.60 − USD2.4875)2 + 0.75(USD2.45 − USD2.4875)2 = 0.004219

Ngoài ra, σ2 (EPS | stable interest rate environment ) được tính bằng

• = 0.60(USD2.20 − USD2.12)2 + 0.40(USD2.00 − USD2.12)2 = 0.0096

Các giá trị này được gọi là conditional variances, tức variance của EPS khi interest rate environment là declining và variance của EPS khi interest rate environment là stable. Mối liên hệ giữa unconditional variance và conditional variance khá phức tạp. Những khía cạnh quan trọng của vấn đề này là: (1) variance, giống như expected value, có cả dạng conditional và unconditional; và (2) conditional variance cho phép chúng ta đo lường risk trong một tình huống nhất định.

VÍ DỤ 3

Earnings per Share của BankCorp, Phần 3

Tiếp nối ví dụ về BankCorp, bây giờ bạn chuyển sự chú ý sang cost structure của BankCorp. Một cách tiếp cận để mô hình hóa operating costs của BankCorp mà bạn đang xem xét là

• _Y_ˆ = a + bX ,

trong đó _Y_ˆ là ước tính của operating expenses tính bằng hàng triệu US dollars, và X biểu thị số lượng branch offices; đồng thời _Y_ˆ là ước tính của conditional mean của Y khi biết X, có thể được ký hiệu là E ( Y | X ). Intercept term a là fixed cost, trong khi b là variable cost. Equation estimation:

_Y_ˆ = 12.5 + 0.65 X .

Hiện tại, BankCorp hoạt động thông qua 66 chi nhánh, và phương trình cho thấy chi phí hoạt động là 12.5 + 0.65(66) = $55.4 million. Có hai growth scenarios như được mô tả bởi cây trong Exhibit 3.

Exhibit 3: Operating Costs Dự báo của BankCorp

Branches = 125 0.50 Op. Costs = ? Prob = ? High Growth Probability = 0.80 Branches = 100 0.50 Op. Costs = ? Prob = ? Expected Op. Costs = ? Branches = 80 0.85 Op. Costs = ? Low Growth Prob = ? Probability = 0.20 Branches = 70 0.15 Op. Costs = ? Prob = ?

1. Hãy tính chi phí hoạt động dự báo dựa trên các mức khác nhau của chi phí hoạt động bằng cách sử dụng _Y_ˆ = 12.5 + 0.65 X. Hãy chỉ ra probabilities gắn với các mức khác nhau của số lượng branch offices. Đây là câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra trong các ô terminal của decision tree.

Lời giải:

Sử dụng _Y_ˆ = 12.5 + 0.65 X , từ trên xuống dưới, ta có

2. Hãy xác định expected value của operating cost khi ở tình huống high growth. Hãy xác định expected value của operating cost khi ở tình huống low growth.

   • Lời giải:

Tất cả các giá trị US dollar được biểu thị theo đơn vị triệu.

• E(operating costs| high growth ) = 0.50(USD93.75) + 0.50(USD77.50)

• = USD85.625

E(operating costs| low growth ) = 0.85(USD64.50) + 0.15(USD58.00) = USD63.525

3. Tham chiếu câu hỏi trên trong ô đầu tiên của decision tree: expected operating costs của BankCorp là bao nhiêu?

   • Lời giải:

Tất cả các giá trị US dollar được biểu thị theo đơn vị triệu.

• E (operating costs) = E (operating costs| high growth ) P ( high growth )

• • E (operatingcosts| low growth ) P ( low growth )

• Expected operating costs của BankCorp là USD81.205 million.

Trong phần này, chúng ta mới chỉ làm việc với chính các random variables, mà chưa xem xét sâu hơn liệu các đại lượng mô tả như expected value và variance của các random variables có thể là hàm của một số random variables khác hay không. Portfolio return là một ví dụ về random variable chắc chắn là hàm của các random variables khác, cụ thể là returns từ các securities riêng lẻ trong portfolio. Để phân tích expected value và variance của portfolio return, chúng ta cần biết mối quan hệ giữa hai đại lượng này và hiểu rằng chúng thực tế là hàm của các thuộc tính của returns của các securities riêng lẻ. Khi nói đến variance của portfolio return, điều quan trọng cần nhận ra là yếu tố có ý nghĩa là cách returns của các securities riêng lẻ covary.

Bài tập thực hành

1. EN: Assume that the probabilities of recovery of principal for a default bond are dependent on which one of two scenarios occurs. Scenario 1 occurs with probability 0.75, leading to the recovery of USD0.90 for every USD1 of principal with probability 0.45, or recovery of USD0.80 for every USD1

Giả sử probabilities của việc thu hồi principal đối với một default bond phụ thuộc vào việc một trong hai kịch bản nào xảy ra. Scenario 1 xảy ra với probability là 0.75, dẫn đến việc thu hồi USD0.90 trên mỗi USD1 principal với probability là 0.45, hoặc thu hồi USD0.80 trên mỗi USD1

Bayes' Formula and Updating Probability Estimates

EN: of principal with probability 0.55. Scenario 2 occurs with probability 0.25, leading to the recovery of USD0.50 for every USD1 of principal with probability 0.85, or recovery of USD0.40 for every USD1 of principal with probability 0.15.

EN: Based on the data provided in Scenario 1 and Scenario 2 above, answer the following questions:

principal với probability là 0.55. Scenario 2 xảy ra với probability là 0.25, dẫn đến việc thu hồi USD0.50 trên mỗi USD1 principal với probability là 0.85, hoặc thu hồi USD0.40 trên mỗi USD1 principal với probability là 0.15.

Dựa trên dữ liệu được cung cấp trong Scenario 1 và Scenario 2 ở trên, hãy trả lời các câu hỏi sau:

• A. EN: Compute the expected recovery, given the first scenario.

• A. Hãy tính expected recovery, với điều kiện là kịch bản thứ nhất.

• B. EN: Compute the expected recovery, given the second scenario.

• B. Hãy tính expected recovery, với điều kiện là kịch bản thứ hai.

• C. EN: Compute the expected recovery.

• C. Hãy tính expected recovery.

• D. EN: Graph the information in a probability tree diagram.

• D. Hãy biểu diễn thông tin bằng một sơ đồ probability tree.

• E. EN: Determine the probability of each of the four different possible recovery values: USD0.90, USD0.80, USD0.50, and USD0.40.

• E. Hãy xác định probability của từng giá trị recovery có thể xảy ra trong bốn giá trị khác nhau: USD0.90, USD0.80, USD0.50 và USD0.40.

EN: - A. Outcome related to Scenario 1: Given that there is a probability of USD0.90 recovery per USD1 of principal, occurring with probability 0.45, in Scenario 1, where Scenario 1 occurs with probability 0.75, then the probability of recovering USD0.90 is 0.45 (0.75) = 0.3375. Similarly, the probability of recovering USD0.80 is 0.55(0.75) = 0.4125. Outcome related to Scenario 2: Given that there is a probability of USD0.50 recovery per USD1 of principal, occurring with probability 0.85, in Scenario 2, where Scenario 2 occurs with probability 0.25, then the probability of recovering USD0.50 is 0.85(0.25) = 0.2125.

• Lời giải:

• A. Kết quả liên quan đến Scenario 1: Với việc có khả năng thu hồi USD0.90 trên mỗi USD1 principal, xảy ra với probability là 0.45, trong Scenario 1, trong đó Scenario 1 xảy ra với probability là 0.75, thì probability thu hồi USD0.90 là 0.45 (0.75) = 0.3375. Tương tự, probability thu hồi USD0.80 là 0.55(0.75) = 0.4125. Kết quả liên quan đến Scenario 2: Với việc có khả năng thu hồi USD0.50 trên mỗi USD1 principal, xảy ra với probability là 0.85, trong Scenario 2, trong đó Scenario 2 xảy ra với probability là 0.25, thì probability thu hồi USD0.50 là 0.85(0.25) = 0.2125.

B. E ( recovery | Scenario 1 ) = 0.45(USD0.90) + 0.55(USD0.80) = USD0.845 C. E ( recovery | Scenario 2 ) = 0.85(USD0.50) + 0.15(USD0.40) = USD0.485 D. E ( recovery ) = 0.75(USD0.845) + 0.25(USD0.485) = USD0.755 Recovery = $0.90 0.45 Prob = 0.3375 Scenario 1, Probability = 0.75 0.55 Recovery =$0.80 Prob = 0.4125 Expected Recovery = $0.755 Recovery =$0.50 0.85 Prob = 0.2125 Scenario 2, Probability = 0.25 Recovery = $0.40 0.15 Prob = 0.0375

tính toán và diễn giải một updated probability trong bối cảnh đầu tư bằng cách sử dụng Bayes’ theorem

Một chủ đề khác có thể hữu ích khi giải các câu hỏi đầu tư là Bayes’ theorem - điều mà probability theory có thể nói về việc học hỏi thông qua kinh nghiệm.

Bayes’ Formula

Khi đưa ra các quyết định đầu tư, người ta thường có một số quan điểm được xây dựng dựa trên kinh nghiệm và kiến thức của mình. Những quan điểm này có thể được điều chỉnh hoặc củng cố thông qua kiến thức và các quan sát mới thu nhận được. Bayes’ theorem là một phương pháp logic để điều chỉnh các quan điểm của một người thông qua việc đối chiếu chúng với bằng chứng mới. Bayes’ theorem và các ý tưởng liên quan khác được áp dụng trong rất nhiều tình huống ra quyết định về business và investment.

Bayes’ theorem sử dụng law of total probability:

Như đã nêu trước đó, quy tắc đó nói rằng probability của một event là weighted average của probabilities của event đó, với điều kiện là một tập hợp các scenarios. Bayes’ theorem thực hiện điều ngược lại - cụ thể là đảo ngược thông tin "given that". Bayes’ theorem sử dụng sự xảy ra của một event để xác định probability của scenario tạo ra event cụ thể đó. Đó là lý do Bayes’ theorem đôi khi được gọi là inverse probability. Trong thực tế, Bayes’ theorem thường được những người đang điều chỉnh beliefs của mình về nguyên nhân của event sử dụng.

• Bayes’ Theorem* Nếu tồn tại một tập hợp probabilities của một event nhất định trước khi nhận được bất kỳ thông tin bổ sung nào, và nếu người ta nhận được thông tin như vậy, thì quy tắc để điều chỉnh probability của một event như sau:

Revised probability của event khi biết thông tin mới

= ___________________________________Unconditional probability của thông tin mớiProbability của thông tin mới khi biết event× Prior probability của event .

Bayes’ theorem dưới dạng ký hiệu probability có thể được viết như sau:

Hãy xem xét ví dụ sau theo tần suất, ban đầu sẽ trực quan hơn probabilities. Giả sử có một large-cap stock index gồm 500 companies, trong đó 100 là technology firms; 60 trong số đó có return >10%, và 40 có return ≤10%. Trong số 400 non-technology firms trong index, 100 firms có returns >10%, và 300 có returns ≤10%. Tree diagram trong Exhibit 4 rất hữu ích để hiểu ví dụ này, được trình bày trong Exhibit 5.

Exhibit 4: Tree Map để Minh họa Bayes’ Formula bằng Tần suất

Tất cả Firms 500 Tech Firms Non-Tech Firms 100 400 Return > 10% Return ≤ 10% 60 40 100 300 Return ≤ 10% Return > 10%

P ( Tech | R > 10%) = 60/(60+100)

• Exhibit 5: Tóm tắt Returns của Tech và Non-Tech Firms trong Large-Cap Equity Index Giả định

Probability để một firm là tech firm khi biết rằng firm đó có return >10%, hay P ( tech | R > 10% ), là bao nhiêu? Dựa trên dữ liệu tần suất của tree map và bảng, chúng ta thấy rất nhiều empirical probabilities, bao gồm:

• P(tech) = 100 / 500 = 0.20,

• P ( non-tech ) = 400 / 500 = 0.80,

• P(R > 10% | tech) = 60 / 100 = 0.60,

• P ( R > 10% | non-tech ) = 100 / 400 = 0.25,

• P(R > 10%) = 160 / 500 = 0.32, và cuối cùng,

• P ( tech | R > 10% ) = 60/ 160 = 0.375.

Probability này là câu trả lời của chúng ta cho câu hỏi đầu tiên.

Không sử dụng các tần suất, hãy tính probability một firm có return >10% và probability một firm là tech firm nếu firm đó có return >10%, hay P ( tech | R > 10% ). Trước hết,

P ( R > 10% )

• = P ( R > 10% | tech ) × P ( tech ) + P ( R > 10% | non-tech ) × P ( non-tech )

Bây giờ chúng ta áp dụng lời giải cho câu hỏi về Bayes' formula:

Probability để một firm có return >10% là tech firm bằng 0.375, đây là một giá trị lớn vì probability một firm là tech firm, dựa trên toàn bộ sample, bằng 0.20. Nói chung, có thể dễ dàng kết luận rằng tree map và dữ liệu tần suất (tương ứng là Exhibit 4 và 5), hoặc các probabilities của Bayes' formula, cho thấy có 160 firms có R >10% và trong số đó có 60 firms là tech firms, do đó

P ( tech | R > 10% ) = 60/160 = 0.375.

Những người ủng hộ Bayesian statistics không xem probabilities (hoặc likelihoods) là các giá trị đã biết mà xem chúng là các giá trị có thể thay đổi dựa trên thông tin mới. Nghĩa là, beliefs hoặc probabilities của chúng ta liên tục thay đổi do sự xuất hiện của thông tin mới.

Để đưa ra một ví dụ khác về việc áp dụng Bayes' formula, chúng ta sẽ giải một investment problem có thể hữu ích cho việc giải bất kỳ vấn đề nào trong thế giới thực. Giả sử bạn là stock investor của DriveMed, Inc. Earnings surprises so với consensus EPS estimates có xu hướng dẫn đến stock returns tốt (hoặc xấu). Hiện tại, DriveMed sắp công bố kết quả EPS của quarter gần nhất và bạn muốn biết sự kiện nào trong ba sự kiện sau đã xảy ra: EPS của quarter gần nhất vượt consensus EPS estimate, EPS của quarter gần nhất bằng consensus EPS estimate, hoặc EPS của quarter gần nhất thấp hơn consensus EPS estimate. Ba sự kiện này mutually exclusive và exhaustive.

Dựa trên nghiên cứu của mình, bạn đã ghi lại các prior probabilities (hoặc gọi tắt là priors) sau đây liên quan đến ba sự kiện này:

• P ( EPS exceeded consensus ) = 0.45

• P ( EPS met consensus ) = 0.30

• P ( EPS fell short of consensus ) = 0.25

Các giá trị probability là "prior" vì chúng chỉ phụ thuộc vào kiến thức hiện tại của bạn trước khi bất kỳ dữ liệu mới nào xuất hiện.

Ngày hôm sau, DriveMed thông báo rằng họ sẽ tăng factory capacity tại Singapore và Ireland do sales demands tăng lên. Bạn phân tích diễn biến trên. Việc mở rộng capacity không chỉ được thực hiện để đáp ứng sales demands tăng lên mà còn nhằm đáp ứng sales demands tăng lên trong quarter vừa qua. Bạn biết rằng sales demand có positive correlation với EPS. Do đó, hiện tại khả năng EPS của quarter trước vượt consensus trở nên cao hơn.

Câu hỏi của bạn là: “Có tính đến thông tin mới này, revised probability rằng EPS của quarter trước cao hơn estimate là bao nhiêu?” Quá trình cập nhật này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng Bayes' theorem một cách hợp lý. Thông tin mới này có thể được gọi ngắn gọn là DriveMed expands. Điều đầu tiên chúng ta làm khi áp dụng Bayes' theorem là tính xác suất của thông tin mới (trong trường hợp này: DriveMed expands ) dựa trên một danh sách các sự kiện có thể gây ra thông tin này. Ở đây, danh sách này bao gồm tất cả các sự kiện có thể xảy ra. Quá trình tìm các conditional probabilities này sẽ giúp quá trình cập nhật trở nên khả thi. Giả sử rằng quan điểm của bạn, sau khi nghiên cứu về DriveMed và ngành của công ty này, là

• P ( DriveMed expands | EPS exceeded consensus ) = 0.75

• P ( DriveMed expands | EPS met consensus ) = 0.20

• P ( DriveMed expands | EPS failed to meet estimates ) = 0.05

Xác suất của một sự kiện (trong trường hợp này: DriveMed expands ) được điều kiện hóa bởi một số dữ liệu được gọi là likelihoods. Một lần nữa, likelihoods là cần thiết để tính xác suất đã được cập nhật.

Sau đó, việc kết hợp các conditional probabilities hoặc likelihoods với prior probabilities của bạn sẽ cho bạn unconditional probability của việc DriveMed mở rộng, P ( DriveMed expands ), như được trình bày dưới đây:

P ( DriveMed expands )

= P ( DriveMed expands | EPS exceeded consensus) × P (EPS exceeded consensus)

• P ( DriveMed expands | EPS met consensus) × P ( EPS met consensus )

• P ( DriveMed expands | EPS fell short of consensus ) × P ( EPS fell short of consensus )

= 0.75(0.45) + 0.20(0.30) + 0.05(0.25) = 0.41, hay 41%.

Đây là cách total probability rule hoạt động. Bây giờ bạn có thể trả lời câu hỏi bằng Bayes’ equation (Equation 8):

P(EPS" " exceeded" " consensus│DriveMed" " expands)

=(0.75/0.41)(0.45)=1.829268(0.45)

=0.823171

Trước khi có thông báo của DriveMed, bạn tin rằng xác suất DriveMed vượt kỳ vọng consensus của mình là 45%. Sau khi diễn giải thông báo của DriveMed, bạn đã cập nhật quan điểm của mình và hiện tin rằng xác suất này là 82.3%. Tên gọi của xác suất đã được cập nhật này là posterior probability.

Phép tính Bayes sử dụng prior probability là 45% và nhân nó với một tỷ số, tức là số hạng đầu tiên ở vế phải của dấu bằng. Mẫu số của tỷ số này là xác suất DriveMed mở rộng theo quan điểm của bạn mà không xét đến (điều kiện hóa theo) bất kỳ điều gì khác. Do đó, xác suất này là unconditional. Tuy nhiên, tử số là xác suất DriveMed mở rộng nếu EPS trong quý trước vượt consensus. Xác suất này cao hơn xác suất unconditional ở mẫu số; vì vậy, tỷ số (bằng 1.83) lớn hơn 1. Điều này hàm ý rằng posterior probability của bạn cao hơn prior probability.

VÍ DỤ 4

Suy luận liệu EPS của DriveMed có đạt Consensus EPS hay không

Bạn vẫn là một nhà đầu tư vào cổ phiếu DriveMed. Nhắc lại các dữ kiện đã cho, prior probabilities của bạn là P( EPS exceeded consensus ) = 0.45, P ( EPS met consensus ) = 0.30, và P ( EPS fell short of consensus ) = 0.25. Các conditional probabilities bạn có là:

P(DriveMed expands | EPS exceeded consensus) = 0.75

P(DriveMed expands | EPS met consensus) = 0.20

P(DriveMed expands | EPS fell short of consensus) = 0.05

1. Theo bạn, giá trị của xác suất P ( EPS exceeded consensus | DriveMed expands ) là bao nhiêu?

Hãy nhớ rằng xác suất bạn cho rằng EPS đã vượt consensus trong quý trước đã tăng từ 45% lên 82.3% sau khi biết rằng DriveMed có kế hoạch mở rộng hoạt động. Bây giờ bạn cần điều chỉnh các prior probabilities khác của mình.

Hãy điều chỉnh prior probability của bạn rằng EPS của DriveMed khớp với consensus estimate.

Lời giải:

Xác suất là P ( EPS met consensus | DriveMed expands ) =

Xác suất P ( DriveMed expands ) được tính bằng cách nhân từng conditional probability trong đề bài, ví dụ P ( DriveMed expands | EPS exceeded consensus ), với prior probability của sự kiện điều kiện tương ứng, ví dụ P ( EPS exceeded consensus ), rồi cộng ba tích lại với nhau. Phép tính giống với phép tính trong bài toán được trình bày ở trên: P ( DriveMed expands ) = 0.75(0.45) + 0.20(0.30) + 0.05(0.25) = 0.41, hay 41%. Các xác suất khác bạn cần là P ( DriveMed expands | EPS met consensus ) = 0.20 và P ( EPS met consensus ) = 0.30. Do đó

P ( EPS met consensus | DriveMed expands )

= [ P ( DriveMed expands | EPS met consensus )/ P ( DriveMed expands )] P ( EPS met consensus )

= (0.20/0.41)(0.30) = 0.487805(0.30) = 0.146341

Sau khi đưa thông báo mở rộng vào xem xét, xác suất đã điều chỉnh rằng EPS của DriveMed chính xác bằng consensus trong quý trước là 14.6%, giảm từ 30% trước đó.

2. Điều chỉnh prior probability rằng EPS của DriveMed thấp hơn consensus. Lời giải:

P( DriveMed expands) đã được tính là 41%. Điều quan trọng cần nhớ là P( DriveMed expands | EPS fell short of consensus) = 0.05 và P( EPS fell short of consensus) = 0.25 là các giá trị đã biết.

P( EPS fell short of consensus |DriveMed expands)

= [P(DriveMed expands| EPS fell short of consensus) /

P ( DriveMed expands )] P ( EPS fell short of consensus )

= (0.05/0.41)(0.25) = 0.121951(0.25) = 0.030488

Do thông báo này, bạn đã thay đổi prior probability rằng EPS của DriveMed không đạt consensus từ 25% xuống 3%.

3. Hãy tính tổng của ba xác suất đã cập nhật và chứng minh rằng tổng bằng 1. (Làm tròn mỗi xác suất đến bốn chữ số thập phân.)

Lời giải:

Tổng của ba xác suất đã cập nhật là

P ( EPS exceeded consensus|DriveMed expands ) + P ( EPS met consensus | DriveMed expands ) + P ( EPS fell short of consensus | DriveMed expands )

Ba sự kiện ( EPS exceeded consensus , EPS met consensus , và EPS fell short of consensus ) là các sự kiện mutually exclusive và exhaustive; do đó, một trong các sự kiện phải đúng và vì vậy conditional probabilities của chúng phải cộng lại bằng 1. Đối với cả conditional probabilities và unconditional probabilities, nếu chúng ta xét tất cả các outcomes hoặc events có thể xảy ra, thì xác suất của chúng luôn phải cộng lại bằng 1.

4. Xét trường hợp do không có prior belief nào liên quan đến việc DriveMed có đạt consensus hay không, prior probabilities của bạn rằng DriveMed exceeded, met, và fell short of consensus là bằng nhau, tức là P ( EPS exceeded consensus ) = P ( EPS met consensus ) = P ( EPS fell short of consensus ) = 1/3.

Lời giải:

Dựa trên các xác suất được nêu trong bài,

P ( DriveMed expands )

= P ( DriveMed expands | EPS exceeded consensus ) P ( EPS exceeded consensus ) + P ( DriveMed expands | EPS met consensus ) P ( EPS met consensus ) + P ( DriveMed expands | EPS fell short of consensus ) P ( EPS fell short of consensus )

Không có gì đáng ngạc nhiên khi xác suất DriveMed mở rộng là 1/3 vì người ra quyết định không có bất kỳ prior beliefs hoặc quan điểm nào về việc EPS có vượt consensus hay không. Bây giờ chúng ta có thể áp dụng Bayes’ theorem để tính P ( EPS exceeded consensus | DriveMed expands ) = [ P ( DriveMed expands | EPS exceeded consensus ) / P ( DriveMed expands )] * P ( EPS exceeded consensus ) = [(0.75/(1/3)] * (1/3) = 0.75, hay 75%. Xác suất trên tương đương với ước tính của bạn về P ( DriveMed expands | EPS exceeded consensus ). Trong trường hợp các prior probabilities bằng nhau, xác suất của thông tin dưới một sự kiện tương đương với xác suất của sự kiện dưới thông tin. Trường hợp có các prior probabilities bằng nhau được gọi là diffuse priors.

EN: This is an illustration showing how Bayes formula can be applied to credit granting when there is a high probability that the person will make payments based on the credit information as compared to without such information.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: 1. What Jake Bronson predicts is the likelihood of repayment by consumer finance applicants who have been granted credit within a specified time period (i.e., who won’t

Đây là một minh họa cho thấy cách Bayes formula có thể được áp dụng vào việc cấp tín dụng khi xác suất người đó thực hiện thanh toán dựa trên thông tin tín dụng cao hơn so với khi không có thông tin đó.

1. Điều Jake Bronson dự đoán là likelihood của việc hoàn trả bởi các người nộp đơn xin consumer finance đã được cấp tín dụng trong một khoảng thời gian xác định (tức là những người sẽ không

EN: (become “past due”). With Bayes’ equation, the following is how he formulated the problem:

(trở thành “past due”). Với Bayes’ equation, đây là cách ông ấy xây dựng bài toán:

EN: in which event ( A ) is “timely repayment” and information ( B ) is “having a good credit report.”

EN: According to Bronson, the probability of timely payment without any condition, P(A) , is 0.90, and the probability of having a good credit report without any condition, P(B) , is 0.80. The probability of having a good credit report, knowing that the borrowers paid on time, P(B | A) , is 0.85.

trong đó event ( A ) là “timely repayment” và information ( B ) là “having a good credit report.”

EN: What is the probability of repayment in a timely fashion by the borrowers who have good credit reports?

Theo Bronson, xác suất thanh toán đúng hạn mà không có bất kỳ điều kiện nào, P(A) , là 0.90, và xác suất có good credit report mà không có bất kỳ điều kiện nào, P(B) , là 0.80. Xác suất có good credit report, khi biết rằng người đi vay đã thanh toán đúng hạn, P(B | A) , là 0.85.

EN: - A. 0.720

Xác suất hoàn trả đúng hạn của những người đi vay có good credit reports là bao nhiêu?

EN: - B. 0.944

• A. 0.720

EN: - C. 0.956

• B. 0.944

EN: ###### Solution:

• C. 0.956

EN: The correct answer is C. The probability of timely repayment, knowing that the borrowers have a good credit report, P(A | B) , is

Lời giải:

Đáp án đúng là C. Xác suất hoàn trả đúng hạn, khi biết rằng người đi vay có good credit report, P(A | B) , là

EN: 2. You have developed some criteria for assessing distressed credits. Those companies which fail to meet the required scores are considered to be at risk of bankruptcy within the next 12 months. The following data have been obtained during validation of the criteria:

EN: - Forty percent of the firms on which the test is used will fail within 12 months: P ( non-survivor ) = 0.40.

2. Bạn đã xây dựng một số tiêu chí để đánh giá distressed credits. Những công ty không đạt các required scores được xem là có nguy cơ bankruptcy trong 12 tháng tới. Dữ liệu sau đây đã được thu thập trong quá trình validation các tiêu chí:

EN: - Fifty-five percent of the firms on which the test is used succeed in passing the test: P ( pass test ) = 0.55.

• 40% các công ty được áp dụng bài kiểm tra sẽ thất bại trong vòng 12 tháng: P ( non-survivor ) = 0.40.

EN: - The conditional probability that a firm will succeed in passing the test given that it survives for 12 months thereafter is 0.85: P ( pass test | survivor ) = 0.85.

• 55% các công ty được áp dụng bài kiểm tra vượt qua bài kiểm tra: P ( pass test ) = 0.55.

EN: Use the information provided to validate your criteria, and then find the following probabilities:

• Conditional probability rằng một công ty sẽ vượt qua bài kiểm tra khi biết rằng công ty đó tồn tại trong 12 tháng sau đó là 0.85: P ( pass test | survivor ) = 0.85.

EN: - A. What is P( pass test | non-survivor )?

Hãy sử dụng thông tin được cung cấp để validation các tiêu chí của bạn, sau đó tìm các xác suất sau:

EN: - B. Use Bayes’ formula to find the conditional probability that a firm is a survivor, given that it passed the test; in other words, find P ( survivor | pass test ).

• A. P( pass test | non-survivor ) bằng bao nhiêu?

EN: - C. What is the probability of being a non-survivor when the company does not pass the test?

• B. Hãy sử dụng Bayes’ formula để tìm conditional probability rằng một công ty là survivor, khi biết rằng công ty đó đã vượt qua bài kiểm tra; nói cách khác, hãy tìm P ( survivor | pass test ).

EN: - D. Is the test effective?

• C. Xác suất là non-survivor khi công ty không vượt qua bài kiểm tra là bao nhiêu?

EN: - Solution:

• D. Bài kiểm tra có hiệu quả không?

EN: - A. The equation may be set up as follows based on the total probability rule:

• Lời giải:

EN: - P ( pass test ) = P ( pass test | survivor ) P ( survivor )

• A. Có thể thiết lập phương trình như sau dựa trên total probability rule:

• P ( pass test ) = P ( pass test | survivor ) P ( survivor )

Bayes' Formula and Updating Probability Estimates

EN: + P ( pass test | non-survivor ) P ( non-survivor ) We know that P ( survivor ) = 1 – P ( non-survivor ) = 1 – 0.40 = 0.60. Therefore, P ( pass test ) = 0.55 = 0.85(0.60) + P ( pass test | non-survivor )(0.40). Thus, P ( pass test | non-survivor ) = [0.55 – 0.85(0.60)]/0.40 = 0.10. B. We can calculate the probability that a company is a survivor as follows:P(survivor|passtest) = [P(passtest|survivor) /P(passtest)]P(survivor) =( 0.85 / 0.55) 0.60 = 0.927273 The information that a company passes the test causes you to update your probability that it is a survivor from 0.60 to approximately 0.927. C. According to Bayes’ formula, P ( non-survivor | fail test ) = [ P (- fail test | non-survivor )/ P ( fail test )] P ( non-survivor ) = [ P ( fail test | non-survivor )/0.45]0.40. We can set up the following equation to obtain P ( fail test | non-survivor ): P ( fail test ) = P ( fail test | non − survivor ) P( non − survivor) + P ( fail test | survivor ) P( survivor) 0.45 = P ( fail test | non − survivor ) 0.40 + 0.15( 0.60) where P ( fail test | survivor ) = 1 − P ( pass test | survivor ) = 1 − 0.85 = 0.15. So, P ( fail test | non-survivor ) = [0.45 − 0.15(0.60)]/0.40 = 0.90. Using this result with the previous formula, we find P ( non-survivor | fail test ) = [0.90/0.45]0.40 = 0.80. Seeing that a company fails the test causes us to update the probability that it is a non-survivor from 0.40 to 0.80. D. A company passing the test greatly increases our confidence that it is a survivor. A company failing the test doubles the probability that it is a non-survivor. Therefore, the test appears to be useful. 3. An analyst estimates that 20 percent of high-risk bonds will fail (go bankrupt). If she applies a bankruptcy prediction model, she finds that 70 percent of the bonds will receive a “good” rating, implying that they are less likely to fail. Of the bonds that failed, only 50 percent had a “good” rating. Using Bayes’ formula, what is the predicted probability of failure given a “good” rating? (Hint, let P ( A ) be the probability of failure, P ( B ) be the probability of a “good” rating, P ( B | A ) be the likelihood of a “good” rating given failure, and P ( A | B ) be the likelihood of failure given a “good” rating.) A. 5.7 percent B. 14.3 percent C. 28.6 percent Solution: B is correct. With Bayes’ formula, the probability of failure given a “good” rating is

EN: 3. An analyst estimates that 20 percent of high-risk bonds will fail (go bankrupt). If she applies a bankruptcy prediction model, she finds that 70 percent of the bonds will receive a “good” rating, implying that they are less likely to fail. Of the bonds that failed, only 50 percent had a “good” rating. Using Bayes’ formula, what is the predicted probability of failure given a “good” rating? (Hint, let P ( A ) be the probability of failure, P ( B ) be the probability of a “good” rating, P ( B | A ) be the likelihood of a “good” rating given failure, and P ( A | B ) be the likelihood of failure given a “good” rating.)

• P ( pass test | non-survivor ) P ( non-survivor ) Chúng ta biết rằng P ( survivor ) = 1 – P ( non-survivor ) = 1 – 0.40 = 0.60. Do đó, P ( pass test ) = 0.55 = 0.85(0.60) + P ( pass test | non-survivor )(0.40). Vì vậy, P ( pass test | non-survivor ) = [0.55 – 0.85(0.60)]/0.40 = 0.10. B. Chúng ta có thể tính xác suất một công ty là survivor như sau:P(survivor|passtest) = [P(passtest|survivor) /P(passtest)]P(survivor) =( 0.85 / 0.55) 0.60 = 0.927273 Thông tin rằng một công ty vượt qua bài kiểm tra khiến bạn cập nhật xác suất công ty đó là survivor từ 0.60 lên khoảng 0.927. C. Theo Bayes’ formula, P ( non-survivor | fail test ) = [ P (- fail test | non-survivor )/ P ( fail test )] P ( non-survivor ) = [ P ( fail test | non-survivor )/0.45]0.40. Chúng ta có thể thiết lập phương trình sau để tìm P ( fail test | non-survivor ): P ( fail test ) = P ( fail test | non − survivor ) P( non − survivor) + P ( fail test | survivor ) P( survivor) 0.45 = P ( fail test | non − survivor ) 0.40 + 0.15( 0.60) trong đó P ( fail test | survivor ) = 1 − P ( pass test | survivor ) = 1 − 0.85 = 0.15. Do đó, P ( fail test | non-survivor ) = [0.45 − 0.15(0.60)]/0.40 = 0.90. Sử dụng kết quả này với công thức trước, ta có P ( non-survivor | fail test ) = [0.90/0.45]0.40 = 0.80. Việc thấy một công ty không vượt qua bài kiểm tra khiến chúng ta cập nhật xác suất công ty đó là non-survivor từ 0.40 lên 0.80. D. Một công ty vượt qua bài kiểm tra làm tăng đáng kể mức độ tin tưởng của chúng ta rằng công ty đó là survivor. Một công ty không vượt qua bài kiểm tra làm xác suất công ty đó là non-survivor tăng gấp đôi. Do đó, bài kiểm tra có vẻ hữu ích.

EN: A. 5.7 percent

3. Một analyst ước tính rằng 20% high-risk bonds sẽ thất bại (bankruptcy). Nếu cô ấy áp dụng một bankruptcy prediction model, cô ấy nhận thấy rằng 70% số bonds sẽ nhận được rating “good”, hàm ý rằng chúng ít có khả năng thất bại hơn. Trong số các bonds đã thất bại, chỉ 50% có rating “good”. Sử dụng Bayes’ formula, xác suất thất bại được dự đoán khi có rating “good” là bao nhiêu? (Gợi ý, gọi P ( A ) là xác suất thất bại, P ( B ) là xác suất có rating “good”, P ( B | A ) là likelihood của rating “good” khi có thất bại, và P ( A | B ) là likelihood của thất bại khi có rating “good”.)

EN: B. 14.3 percent

A. 5.7%

EN: C. 28.6 percent

B. 14.3%

EN: Solution: B is correct. With Bayes’ formula, the probability of failure given a “good” rating is

C. 28.6%

Lời giải: B là đáp án đúng. Với Bayes’ formula, xác suất thất bại khi có rating “good” là

EN: where

EN: P ( A ) = 0.20 = probability of failure

trong đó

EN: P ( B ) = 0.70 = probability of “good” rating

P ( A ) = 0.20 = xác suất thất bại

EN: P ( B | A ) = 0.50 = probability of a “good” rating given failure

P ( B ) = 0.70 = xác suất rating “good”

EN: Based on these probabilities, the probability of failure for a “good” rating is

P ( B | A ) = 0.50 = xác suất rating “good” khi có thất bại

Dựa trên các xác suất này, xác suất thất bại đối với rating “good” là

EN: If an analyst follows the bankruptcy prediction model, then the probability of failure will reduce from 20 percent to 14.3 percent.

P_ ( B | A ) P_ ( A | B ) = P( B)P(A) = 0.700.50 × 0.20 = 0.143

EN: 4. Typically, 5 percent of all CEOs are fired annually due to “performance.” Let us assume that CEO performance is determined using stock performance and that 50 percent of the stock has above-average returns or “good” performance. Empirically, 30 percent of all fired CEOs had “good” performance. If we apply Bayes’ formula, what is the probability of the CEO being fired if he has “good” performance? (Remember that P ( A ) represents the probability of the CEO being fired, P ( B ) is the probability of having a “good” performance rating, P ( B | A ) is the probability of having a “good” performance rating if the CEO is fired, and P ( A | B ) is the probability of the CEO being fired if he has a “good” performance rating?)

Nếu một analyst tuân theo bankruptcy prediction model, thì xác suất thất bại sẽ giảm từ 20% xuống 14.3%.

EN: - A. 1.5 percent

4. Thông thường, 5% tất cả các CEO bị sa thải hằng năm do “performance”. Giả sử CEO performance được xác định bằng stock performance và 50% số cổ phiếu có above-average returns hoặc performance “good”. Theo thực nghiệm, 30% tất cả các CEO bị sa thải có performance “good”. Nếu áp dụng Bayes’ formula, xác suất CEO bị sa thải nếu ông ấy có performance “good” là bao nhiêu? (Hãy nhớ rằng P ( A ) biểu thị xác suất CEO bị sa thải, P ( B ) là xác suất có performance rating “good”, P ( B | A ) là xác suất có performance rating “good” nếu CEO bị sa thải, và P ( A | B ) là xác suất CEO bị sa thải nếu ông ấy có performance rating “good”?)

EN: - B. 2.5 percent

• A. 1.5%

EN: C. 3.0 percent

• B. 2.5%

EN: Solution:

C. 3.0%

EN: Answer C is right. Applying Bayes’ formula, the probability of the CEO being fired if he has “good” performance is:

Lời giải:

Đáp án C là đúng. Áp dụng Bayes’ formula, xác suất CEO bị sa thải nếu ông ấy có performance “good” là:

EN: where

EN: P ( A ) = 0.05 = probability of the CEO being fired

trong đó

EN: P ( B ) = 0.50 = probability of “good” rating

P ( A ) = 0.05 = xác suất CEO bị sa thải

EN: P ( B | A ) = 0.30 = probability of “good” rating if the CEO is fired

P ( B ) = 0.50 = xác suất rating “good”

EN: - The probability that the CEO is fired given the “good” evaluation is

P ( B | A ) = 0.30 = xác suất rating “good” nếu CEO bị sa thải

• Xác suất CEO bị sa thải khi có đánh giá “good” là

P_ ( B | A ) P_ ( A | B ) = P( B)P(A) = 0.500.30 × 0.05 = 0.03 Mặc dù 5% tổng số CEO bị sa thải, xác suất bị sa thải với điều kiện nhận được đánh giá hiệu suất “tốt” là 3%.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

• 1. EN: ** The analyst has come up with two different situations about the recovery of USD100,000 principal amount from defaulted loans:

Nhà phân tích đã đưa ra hai tình huống khác nhau về việc thu hồi principal amount USD100,000 từ các khoản vay bị vỡ nợ:

EN: What is the closest amount for the expected recovery amount?

EN: A. USD36,400.

Số tiền gần nhất cho expected recovery amount là bao nhiêu?

EN: B. USD55,000.

A. USD36,400.

EN: C. USD63,600.

• B. USD55,000.

• C. USD63,600.

2. EN: The probability distribution for a company’s sales is:

Probability distribution cho sales của một công ty là:

EN: What is the closest value for the standard deviation of the sales amount?

EN: A. USD9.81 million.

Giá trị gần nhất của standard deviation của sales amount là bao nhiêu?

EN: B. USD12.20 million.

A. USD9.81 million.

EN: C. USD32.40 million.

• B. USD12.20 million.

• C. USD32.40 million.

LỜI GIẢI

1. EN: The answer is C. In Scenario 1, the expected recovery is 60% x USD50,000 + 40% x USD30,000 = USD42,000, while in Scenario 2, the expected recovery is 90% x USD80,000 + 10% x USD60,000 = USD78,000. Considering the probability of occurrence of each scenario, the expected recovery is 40% x USD42,000 + 60% x USD78,000 = USD63,600. Alternatively, computing the probability of each amount occurring

Đáp án là C. Trong Scenario 1, expected recovery là 60% x USD50,000 + 40% x USD30,000 = USD42,000, trong khi ở Scenario 2, expected recovery là 90% x USD80,000 + 10% x USD60,000 = USD78,000. Xét xác suất xảy ra của từng scenario, expected recovery là 40% x USD42,000 + 60% x USD78,000 = USD63,600. Ngoài ra, có thể tính xác suất xảy ra của từng số tiền

2. EN: A is the right answer. First of all, the analyst needs to compute the expected sales as follows: 0.05 x USD70 + 0.70 x USD40 + 0.25 x USD25 = USD3.50 million + USD28.00 million + USD6

EN: Once expected sales have been computed, we can calculate the variance in sales:

A là đáp án đúng. Trước hết, nhà phân tích cần tính expected sales như sau: 0.05 x USD70 + 0.70 x USD40 + 0.25 x USD25 = USD3.50 million + USD28.00 million + USD6

Sau khi expected sales đã được tính, chúng ta có thể tính variance in sales:

σ2 (Sales)

• = P (USD70)[USD70 – E (Sales)]2 + P (USD40)[USD40 – E (Sales)]2 + P (USD25) [USD25 – E (Sales)]2

= 0.05(USD70 – 37.75)2 + 0.70(USD40 – 37.75)2 + 0.25(USD25 – 37.75)2

• = USD52.00 million + USD3.54 million + USD40.64 million

EN: The standard deviation of the sales is therefore given as σ = (USD 96.18)1/2

• = USD96.18 million.

Do đó, standard deviation của sales được cho bởi σ = (USD 96.18)1/2