Skip to main content
Module

M04 — Probability

This page doesn't have dedicated content yet. Showing the parent module content from Module 4: Probability Trees and Conditional Expectations.

Open full lesson

Module 4: Probability Trees and Conditional Expectations

Nguồn: SAPP Quant 2026 pp. 179–211

Learning Outcomes

LOSMô tả
Pre.i–iiiBiến ngẫu nhiên, sự kiện, mutually exclusive/exhaustive, các loại xác suất, odds
Pre.ivConditional probabilities
Pre.vQuy tắc nhân và cộng xác suất; sự kiện phụ thuộc và độc lập
Pre.viTotal probability rule
Pre.viiFactorial, combination, permutation
4.aExpected values, variances, standard deviations trong các bài toán đầu tư
4.bProbability trees và conditional expectations
4.cBayes' formula

Khái Niệm Cơ Bản

Thuật ngữĐịnh nghĩa
Random variableĐại lượng mà giá trị trong tương lai còn chưa chắc chắn
OutcomeMột giá trị có thể xảy ra của random variable
EventMột outcome hoặc một tập hợp outcome xác định
ProbabilityKhả năng xảy ra của một event: 0≤P(E)≤10 \leq P(E) \leq 1

Các Loại Probability

LoạiCách xác định
SubjectiveDựa trên phán đoán cá nhân ("Tôi tin có 70% khả năng...")
EmpiricalPhân tích dữ liệu quá khứ (tần suất lịch sử)
A prioriLập luận hình thức (ví dụ: P=16P = \frac{1}{6} cho một con xúc xắc cân bằng)

Odds

Odds for E=P(E)1−P(E)Odds against E=1−P(E)P(E)\text{Odds for } E = \frac{P(E)}{1 - P(E)} \qquad \text{Odds against } E = \frac{1 - P(E)}{P(E)}

Các Quy Tắc Probability

Conditional Probability

P(A∣B)=P(AB)P(B)P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}

Addition Rule

  • Không mutually exclusive: P(A or B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) - P(AB)
  • Mutually exclusive: P(A or B)=P(A)+P(B)P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)

Multiplication Rule

  • Sự kiện phụ thuộc (dependent events): P(AB)=P(A∣B)⋅P(B)P(AB) = P(A|B) \cdot P(B)
  • Sự kiện độc lập (independent events): P(AB)=P(A)⋅P(B)P(AB) = P(A) \cdot P(B)

Total Probability Rule

P(A)=∑i=1NP(A∣Bi)⋅P(Bi)P(A) = \sum_{i=1}^{N} P(A|B_i) \cdot P(B_i)

trong đó B1,B2,…,BNB_1, B_2, \ldots, B_N là mutually exclusive và exhaustive

Expected Value và Variance (LOS 4.a)

Expected Value:

E(X)=∑i=1nP(Xi)⋅XiE(X) = \sum_{i=1}^{n} P(X_i) \cdot X_i

Variance:

σ2(X)=∑i=1nP(Xi)⋅[Xi−E(X)]2\sigma^2(X) = \sum_{i=1}^{n} P(X_i) \cdot [X_i - E(X)]^2

Standard Deviation:

σ(X)=σ2(X)\sigma(X) = \sqrt{\sigma^2(X)}

Bayes' Formula (LOS 4.c)

P(B∣A)=P(A∣B)⋅P(B)P(A)P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)}

Dùng để cập nhật xác suất khi có thông tin mới. Mẫu số được tính bằng total probability rule.

Counting Principles (Pre.vii)

Phương phápCông thứcThứ tự có quan trọng?Trường hợp sử dụng
Factorialn!n!CóTổng số cách sắp xếp nn phần tử
PermutationP(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}CóChọn rr từ nn phần tử có quan tâm thứ tự
CombinationC(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}KhôngChọn rr từ nn phần tử, không quan tâm thứ tự

Liên Kết