Các thước đo thống kê của tỷ suất sinh lợi tài sản

do Pamela Peterson Drake, PhD, CFA, và Wu Jian, PhD biên soạn.

Pamela Peterson Drake, PhD, CFA, công tác tại James Madison University (USA). Jian Wu, PhD, công tác tại State Street (USA).

Thí sinh cần có khả năng:

• tính toán, diễn giải và đánh giá các measures of central tendency và location để giải quyết một vấn đề đầu tư
• tính toán, diễn giải và đánh giá các measures of dispersion để giải quyết một vấn đề đầu tư
• diễn giải và đánh giá các measures of skewness và kurtosis để giải quyết một vấn đề đầu tư
• diễn giải correlation giữa hai biến để giải quyết một vấn đề đầu tư

Dữ liệu luôn là một trong những đầu vào quan trọng cho securities analysis và investment management, cho phép nhà đầu tư tận dụng sự phong phú của dữ liệu sẵn có cho các khoản đầu tư của mình. Mặc dù môi trường giàu dữ liệu mang lại tiềm năng rất lớn để nhà đầu tư tạo ra lợi nhuận, nó không phải lúc nào cũng giúp chuyển đổi dữ liệu thành thông tin có giá trị.

Module hiện tại cung cấp cái nhìn sâu sắc về một số khái niệm quan trọng, tạo thành một phần không thể thiếu của bộ công cụ cần thiết cho bất kỳ chuyên gia đầu tư nào, từ một analyst mới vào nghề đến một portfolio manager dày dạn kinh nghiệm. Module hiện tại tạo nền tảng cho một số công cụ quan trọng sẽ được đề cập trong tương lai khi chủ đề quantitative methods tiếp tục phát triển; chúng cũng quan trọng đối với việc làm chủ các kỹ thuật và asset classes trong investment management được thảo luận sau đó trong chương trình CFA.

Learning module hiện tại bao quát việc tóm tắt và phân tích các khía cạnh của financial returns như measures of central tendency, dispersion và hình dạng của distribution of returns, bao gồm skewness và kurtosis. Learning module hiện tại kết thúc bằng biểu diễn đồ họa của covariance và correlation giữa hai biến, là những khái niệm quan trọng trong portfolio construction nhằm đạt được diversification giữa các assets khác nhau trong portfolio.

• Sample statistics như central tendency, dispersion, skewness và kurtosis rất quan trọng trong investment analysis, đặc biệt khi đưa ra các nhận định xác suất về returns.

• Measures of central tendency bao gồm mean, median và mode, thể hiện cách dữ liệu tập trung.

• arithmetic mean là tổng của tất cả các observations chia cho số observations. Đây là measure of central tendency được sử dụng phổ biến nhất.

• median là giá trị của observation ở giữa trong một tập observations đã được sắp xếp, hoặc là trung bình của giá trị của hai phần tử ở giữa nếu có số observations chẵn. Việc sử dụng median phù hợp nhất với skewed distributions vì nó không bị ảnh hưởng bởi extreme observations.

• mode là observation xuất hiện thường xuyên nhất trong một distribution. Đây là measure of central tendency duy nhất có thể được sử dụng với categorical data. Trong một distribution, có thể có một mode, hai modes, ba modes, v.v.

• Quantiles bao gồm median, quartiles, quintiles, deciles và percentiles, lần lượt chia distribution thành hai phần, bốn phần, năm phần, mười phần và một trăm phần.

• box and whiskers plot thể hiện distribution của một tập dữ liệu. “Box” biểu thị interquartile range, là chênh lệch giữa quartile thứ nhất và quartile thứ ba. “Whiskers” nằm ngoài “box” thể hiện các dispersion measures khác.

• Dispersion measures, bao gồm range, mean absolute deviation (MAD), variance, standard deviation, target downside deviation và coefficient of variation, cho biết mức độ các outcomes biến động so với arithmetic mean.

• range là chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tập dữ liệu. Range có tính hữu ích thực tiễn rất hạn chế vì nó dựa trên thông tin chỉ thu được từ hai data points.

• Mean Absolute Deviation của sample là trung bình của các chênh lệch tuyệt đối giữa các observations và mean.

• Variance là trung bình của các chênh lệch đã được bình phương so với mean và standard deviation là căn bậc hai dương của variance. Khi tính sample variance, s2, và sample standard deviation, s, trung bình của chênh lệch đã bình phương được tính bằng cách chia cho n-1.

• Target downside deviation hoặc semideviation đo lường rủi ro của một khoản đầu tư nằm dưới target.

• coefficient of variation (CV) là tỷ lệ giữa standard deviation và mean của một nhóm observations. Vì CV biểu thị sự biến động trong các observations tương đối so với độ lớn mean của chúng, nó cho phép so sánh dispersion của các datasets khác nhau. Do scaling effect, CV là một statistic không có thứ nguyên, nghĩa là không có đơn vị đo lường.

• Skewness đề cập đến mức độ đối xứng trong distribution của các data points quanh mean. Nếu asset returns distribution có positive skewness, nó có các khoản lỗ nhỏ xảy ra thường xuyên và các khoản lãi cực lớn xảy ra không thường xuyên so với asset có normal distribution. Nếu asset returns distribution có negative skewness, nó có các khoản lãi nhỏ xảy ra thường xuyên và các khoản lỗ cực lớn xảy ra không thường xuyên so với asset có normal distribution. Returns có symmetric distribution có skewness bằng 0.

• Kurtosis mô tả tổng khối lượng kết hợp của các tails của một distribution so với các phần khác của distribution. Các distributions có tails dày hơn normal distribution được gọi là fat-tailed hoặc leptokurtic; các distributions có tails mỏng hơn normal distribution được gọi là thin-tailed hoặc platykurtic. Kurtosis của biến có normal distribution bằng 3.

• correlation coefficient ước tính mối quan hệ giữa hai biến. Nó là tỷ lệ giữa covariance và tích của standard deviations của hai biến. Positive correlation có nghĩa là cả hai biến có các chuyển động tương tự nhau, trong khi negative correlation có nghĩa là các chuyển động của cả hai biến theo hướng ngược nhau. Correlation không hàm ý causation mà chỉ hàm ý association. Các vấn đề tiềm ẩn của correlational analysis là outliers và spurious correlation.

tính toán, diễn giải và đánh giá các measures of central tendency và location để giải quyết một vấn đề đầu tư

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về measures of central tendency và measures of location. Một measure of central tendency xác định trung tâm của dữ liệu. Đối với một chuỗi returns, measure of central tendency cho biết trung tâm của distribution of returns, về cơ bản là một thước đo của return “expected” từ sample. Measures of location bao gồm measures of central tendency và các measures khác xác định những đặc điểm khác của distribution hoặc vị trí của dữ liệu.

frequency distribution, histogram và contingency table là những công cụ thuận tiện để tóm tắt một chuỗi returns của một cổ phiếu như bước đầu tiên để mô tả dữ liệu. Ví dụ, histogram của frequency distribution của daily returns của EAA Equity Index giả định trong năm năm gần nhất được trình bày trong Exhibit 1.

• Exhibit 1: Histogram của Daily Returns của EAA Equity Index*

Số lượng Observations 600 500 470 493 400 300 200 122 94 100 37 27 5 7 1 1 1 0 –4.1 đến –3.3 đến –2.5 đến –1.6 đến –0.8 đến 0 đến 0.9 đến 1.7 đến 2.5 đến 3.3 đến 4.2 đến –3.3 –2.5 –1.6 –0.8 0 0.9 1.7 2.5 3.3 4.2 5.0 Phạm vi Daily Return (%)

Measures of Central Tendency

The Arithmetic Mean

Analysts và portfolio managers muốn chỉ có một con số để mô tả kết quả khả dĩ mang tính đại diện cho quyết định đầu tư của họ. Một trong những measures of central tendency được sử dụng phổ biến nhất là arithmetic mean.

• Arithmetic mean: arithmetic mean được định nghĩa là tổng các giá trị của observations chia cho số observations.

The Sample Mean

Sample mean là trung bình được tính bằng cách sử dụng công thức arithmetic mean trên một sample.

trong đó n biểu thị số data points trong sample.

Một ưu điểm và cũng là một nhược điểm của arithmetic mean là nó rất nhạy cảm với outlier data. Vì tất cả data points đều được đưa vào khi tính arithmetic mean và được gán trọng số như nhau, arithmetic mean có thể dễ dàng bị lệch lên hoặc xuống tùy thuộc vào sự hiện diện của các số rất lớn hoặc rất nhỏ. Phương pháp phổ biến nhất khi điều này xảy ra là sử dụng median thay cho mean.

The Median

Một cách khác để đo lường central tendency là median.

• Định nghĩa về Median** Median là giá trị của phần tử ở giữa trong một tập dữ liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Đối với một sample có số observations n lẻ, median là giá trị của

observation đứng ở vị trí ( n + 1)/2. Đối với số observations chẵn, median được định nghĩa là trung bình của các giá trị của observations đứng ở vị trí n /2 và ( n + 2)/2.

Bất kể chúng ta tính median cho số observations lẻ hay chẵn, sẽ có số observations bằng nhau nằm phía trên và phía dưới median. Một median chỉ có thể tồn tại một lần trong một distribution. Một điểm mạnh tiềm năng của việc sử dụng median là, không giống như mean, outliers không ảnh hưởng đến nó.

Mặt khác, median không tận dụng đầy đủ độ lớn của các observations vì nó chỉ tập trung vào vị trí tương đối của các observations trong thứ tự đã được sắp xếp. Việc tính median cũng có thể khó hơn. Điều này được thể hiện về mặt toán học qua thực tế rằng median kém dễ xử lý về mặt toán học hơn mean.

The Mode

Mode là một measure of central tendency khác.

• Định nghĩa về Mode.* Mode là giá trị xuất hiện phổ biến nhất trong một dataset. Một dataset có thể có nhiều modes hoặc hoàn toàn không có mode. Nếu một dataset có một giá trị được quan sát thường xuyên nhất, nó được gọi là unimodal. Nếu một dataset có hai giá trị được quan sát thường xuyên nhất, dataset này sẽ có hai modes và distribution của nó được gọi là bimodal. Nếu tất cả các giá trị trong một dataset đều khác nhau, distribution của nó không có mode vì tất cả các giá trị xuất hiện với tần suất như nhau trong dataset.

Dữ liệu stock returns cũng như các dữ liệu khác được lấy từ continuous distribution có thể không có kết quả modal. Exhibit 2 thể hiện frequency distribution của daily returns của EAA Equity Index trong năm năm gần nhất.

• Exhibit 2: Frequency Distribution của Daily Returns của EAA Equity Index*

|Khoảng Return (%)|Tần suất tuyệt đối|Tần suất tương đối (%)|Tần suất tuyệt đối tích lũy|Tần suất tương đối tích lũy (%)| |−5.0 đến −4.0|1|0.08|1|0.08| |−4.0 đến −3.0|7|0.56|8|0.64| |−3.0 đến −2.0|23|1.83|31|2.46| |−2.0 đến −1.0|77|6.12|108|8.59| |−1.0 đến 0.0|470|37.36|578|45.95| |0.0 đến 1.0|555|44.12|1,133|90.06| |1.0 đến 2.0|110|8.74|1,243|98.81| |2.0 đến 3.0|13|1.03|1,256|99.84| |3.0 đến 4.0|1|0.08|1,257|99.92| |4.0 đến 5.0|1|0.08|1,258|100.00|

Histogram cho frequency distribution của daily returns đã được cung cấp trong Exhibit 1. Khoảng có số observations cao nhất được gọi là modal interval và trong trường hợp này modal interval là từ 0.0 đến 1.0%. Có 555 observations trong khoảng này trên tổng số 1,258 observations.

Xử lý Outliers

Trong thực tế, mặc dù một extreme value hoặc outlier trong một financial dataset có thể cho thấy một giá trị hiếm gặp trong population, nó cũng có thể có nghĩa là đã xảy ra lỗi khi ghi nhận giá trị của observation. Một observation có thể xuất phát từ một population khác. Trước tiên, chúng ta cần kiểm tra các lỗi trong dữ liệu trước khi xem xét cần làm gì với extreme values trong một sample.

Đối với trường hợp xử lý một outlier trong sample, có thể thực hiện transformation đối với biến số, chẳng hạn như áp dụng logarithmic transformation, hoặc lựa chọn một biến khác sao cho đạt được cùng hiệu quả. Nhưng khi không thể sử dụng các dạng model specification và/hoặc transformations thay thế, có ba lựa chọn để xử lý outliers:

Lựa chọn 1 - Không làm gì - sử dụng dữ liệu nguyên trạng.

Lựa chọn 2 - Loại bỏ tất cả outliers.

Lựa chọn 3 - Thay thế outliers bằng một số khác.

Lựa chọn 1 có thể được sử dụng trong trường hợp các giá trị là phù hợp, hợp lệ và chính xác, đồng thời cần nắm bắt toàn bộ distribution của sample. Xét đến thực tế rằng outliers chứa thông tin, việc loại bỏ hoặc sửa đổi outliers có thể dẫn đến mất thông tin có giá trị. Hơn nữa, xét đến tính chủ quan của quyết định liên quan đến sự hiện diện của một outlier trong dataset, việc này trở nên không cần thiết.

Lựa chọn thứ hai dựa trên việc loại bỏ extreme values. Một cách để tính measure of central tendency trong trường hợp này là sử dụng trimmed mean. Nó được tính bằng cách trước tiên loại bỏ một tỷ lệ nhỏ được xác định trước của các giá trị thấp nhất và cao nhất, sau đó tính arithmetic mean của phần còn lại. Ví dụ, trong 5% trimmed mean, chúng ta loại bỏ 2.5% giá trị thấp nhất và 2.5% giá trị cao nhất, rồi tính arithmetic mean của 95% giá trị còn lại. Trimmed means thường được áp dụng khi chấm điểm các sự kiện thể thao, khi điểm của giám khảo thấp nhất và cao nhất không được tính đến trong tổng điểm.

Lựa chọn thứ ba liên quan đến việc thay thế extreme values bằng các giá trị nhất định. Một measure of central tendency trong trường hợp này là winsorized mean. Nó được tính sau khi thay thế một tỷ lệ được xác định trước của các giá trị thấp nhất trong dataset bằng một giá trị thấp được chỉ định và thay thế một tỷ lệ được xác định trước của các giá trị cao nhất trong dataset bằng một giá trị cao được chỉ định. Ví dụ, trong 95% winsorized mean, 2.5% giá trị thấp nhất được đặt bằng giá trị mà bên dưới giá trị đó có 2.5% tổng số giá trị nằm ở dưới (sau này sẽ được giải thích rằng đây được gọi là giá trị “2.5th percentile”) và 2.5% giá trị cao nhất được đặt bằng giá trị mà bên dưới giá trị đó có 97.5% tổng số giá trị nằm ở dưới (giá trị “97.5th percentile”).

Việc so sánh statistical measures của các datasets, có và không có sự hiện diện của outliers, có thể cho thấy những thông tin quan trọng về đặc điểm của dataset. Đặc biệt, những so sánh như vậy trở nên đặc biệt hữu ích khi nhà đầu tư phân tích hành vi của asset returns và những thay đổi về rate, price, spread và volume của chúng.

Trong Example 1, chúng ta minh họa các lựa chọn nêu trên để xử lý vấn đề outliers bằng cách sử dụng daily returns của Euro-Asia-Africa (EAA) Equity Index giả định trong Exhibit 2.

VÍ DỤ 1

Xử lý Outliers: Daily Returns của một Index

Sử dụng daily returns của EAA Equity Index trong năm năm gần nhất (tổng cộng 1.258 ngày giao dịch), chúng ta minh họa cách việc sử dụng trimming và winsorizing ảnh hưởng đến phép tính:

Exhibit 3: Tác động của Trimming và Winsorizing

Trimmed mean loại bỏ 2.5% thấp nhất của các returns, tức là mọi daily return thấp hơn −1.934%, và loại bỏ 2.5% cao nhất, tức là mọi daily return cao hơn 1.671%. Kết quả là mean sẽ được tính dựa trên 1.194 observations, thay vì 1.258 observations trong sample.

Khi tính winsorized mean, tất cả các giá trị thấp hơn percentile thứ 2.5 được thay thế bằng giá trị percentile thứ 2.5 là −1.934%, trong khi tất cả các giá trị cao hơn percentile thứ 97.5 được thay thế bằng 1.671%, tức giá trị percentile thứ 97.5. Trong trường hợp này, trimmed mean và winsorized mean đều cao hơn arithmetic mean; do đó, có khả năng tồn tại các negative returns đáng kể trong phân phối của daily returns.

Các thước đo vị trí

Sau khi xem xét các measures of central tendency, giờ đây chúng ta sẽ khám phá phương pháp xác định vị trí của một data set thông qua việc tìm các giá trị mà tại hoặc dưới các giá trị đó có một tỷ lệ xác định của dữ liệu. Ví dụ, việc biết giá trị mà tại đó 25%, 50% và 75% annual returns thấp hơn trong một portfolio return cung cấp cho chúng ta thông tin cô đọng về phân phối của portfolio returns. Các nhà thống kê gọi quantile là thuật ngữ tổng quát nhất dùng cho các giá trị mà tại hoặc dưới các giá trị đó có một phần xác định của dữ liệu được tìm thấy. Trong phần này, chúng ta sẽ mô tả một số quantiles được sử dụng rộng rãi nhất, như quartiles, quintiles, deciles và percentiles, cũng như cách chúng được áp dụng trong đầu tư.

Quartiles, Quintiles, Deciles và Percentiles

Chúng ta đã biết rằng median chia một data distribution thành hai phần bằng nhau. Tuy nhiên, chúng ta có thể chia một data distribution thành các phần nhỏ hơn bằng cách thiết lập các đường phân chia khác. Quartiles chia một data distribution thành bốn phần bằng nhau, quintiles thành năm phần, deciles thành mười phần và percentiles thành một trăm phần. Interquartile range (IQR) là chênh lệch giữa quartile thứ ba và quartile thứ nhất, tức là IQR = Q 3 − Q 1.

Ví dụ 2 minh họa việc tính các quantiles khác nhau đối với daily return của EAA Equity Index.

VÍ DỤ 2

Percentiles, Quintiles và Quartiles của EAA Equity Index

Với daily returns của EAA Equity Index trong năm năm gần nhất, được sắp xếp từ daily return thấp nhất đến cao nhất, các return bins từ 1 (5% thấp nhất) đến 20 (5% cao nhất) được trình bày dưới đây:

Các thước đo thống kê của Asset Returns

• Exhibit 4: Daily Returns của EAA Equity Index theo Bins

||Tỷ lệ phần trăm tích lũy của |Daily Return |nằm trong khoảng (%)|| |Bin|Sample Trading Days (%)|Cận dưới |Cận trên|Số lượng Observations| |1|5|−4.108|−1.416|63| |2|10|−1.416|−0.876|63| |3|15|−0.876|−0.629|63| |4|20|−0.629|−0.432|63| |5|25|−0.432|−0.293|63| |6|30|−0.293|−0.193|63| |7|35|−0.193|−0.124|62| |8|40|−0.124|−0.070|63| |9|45|−0.070|−0.007|63| |10|50|−0.007|0.044|63|

Do dữ liệu có tính chất phân phối liên tục, rất khó có khả năng một return rơi đúng vào ranh giới của bất kỳ bin nào, ngoại trừ Bin 1 và Bin 20.

Dựa trên thông tin được cung cấp trong Exhibit 4, hãy thực hiện các hoạt động sau:

1. Xác định percentiles thứ 10 và thứ 90.

Lời giải:

Percentiles thứ 10 và thứ 90 biểu thị giá trị return tương ứng với các bins chứa lần lượt 10% và 90% daily returns. Percentile thứ 10 biểu thị giá trị return là −0.876% (bao gồm các returns ở mức đó và thấp hơn), và percentile thứ 90 biểu thị giá trị return là 0.991% (bao gồm các returns ở mức đó và thấp hơn).

2. Xác định quintiles thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Lời giải:

Quintile thứ nhất bao phủ 20% đầu tiên của dữ liệu đã được xếp hạng, tương ứng với −0.432% (và thấp hơn). Quintile thứ hai bao phủ 40% đầu tiên của dữ liệu đã được xếp hạng, tương ứng với −0.070% (và thấp hơn).

Quintile thứ ba bao phủ 60% đầu tiên của dữ liệu đã được xếp hạng, tương ứng với 0.173% (và thấp hơn).

3. Xác định quartiles thứ nhất và thứ ba.

Lời giải:

Quartile thứ nhất bao phủ 25% đầu tiên của dữ liệu đã được xếp hạng, tương ứng với −0.293% (và thấp hơn). Quartile thứ ba bao phủ 75% đầu tiên của dữ liệu đã được xếp hạng, tương ứng với 0.460% (và thấp hơn).

4. Xác định median.

Lời giải:

Median là return sao cho 50% các returns nằm phía trên hoặc phía dưới nó, tương ứng với 0.044%, là daily return lớn nhất trong bin thứ 10 trên tổng số 20 bins.

5. Tính interquartile range.

Lời giải:

Interquartile range là chênh lệch giữa quartile thứ ba và quartile thứ nhất, lần lượt là 0.460% và −0.293%.

Một cách khác để thể hiện bằng đồ họa cách dữ liệu được phân tán trong mỗi quartile là sử dụng các biểu đồ, chẳng hạn như box and whisker chart. Box and whisker plot được minh họa trong Exhibit 5. “Box” thể hiện ranh giới thấp nhất của quartile thứ hai và ranh giới cao nhất của quartile thứ ba; median hoặc arithmetic average trong trường hợp này được xác định là measure of central tendency của toàn bộ phân phối. Whiskers là các đường kéo dài từ box và được giới hạn bởi fences, tức là các giá trị thấp nhất và cao nhất của phân phối.

Exhibit 5: Box and Whisker Plot

Giá trị cao nhất Ranh giới trên của Q 3 Interquartile Median Range × Arithmetic Average Ranh giới thấp nhất của Q 2 Giá trị thấp nhất

Một số lựa chọn khác nhau được sử dụng khi tạo box and whisker plots. Ví dụ, để dễ dàng xác định sự hiện diện của outliers, các fences của whiskers có thể được liên hệ với interquartile range thay vì các giá trị cao nhất và thấp nhất như trong Exhibit 5.

Trong Exhibit 5, chúng ta có thể nhận diện trực quan interquartile range là chiều cao của box, trong khi các fences được đặt ở các cực trị. Tuy nhiên, một dạng box and whisker plot khác thường sử dụng 1.5 lần interquartile range cho các fences. Điều này có nghĩa là upper fence bằng 1.5 lần interquartile range cộng với ranh giới trên của Q 3, trong khi lower fence bằng ranh giới dưới của Q 2 trừ đi 1.5 lần interquartile range. Outliers (các observations nằm ngoài các fences) cũng có thể được thể hiện trên biểu đồ.

Giờ đây, chúng ta có thể thấy tầm quan trọng của outliers trong box and whisker plots bằng cách sử dụng daily returns của EAA Equity Index, được trình bày trong Exhibit 6.

Các thước đo thống kê của Asset Returns

Exhibit 6: Box and Whisker Chart cho Daily Returns của EAA Equity Index

Daily Return (%) 6 5 Giá trị lớn nhất là 5.001% 4 3 2 ( Q 3 Ranh giới trên 1.589% (Upper Fence) 1 Bound) 0.460% Median là 0 ( Q 2 Ranh giới dưới 0.044% –1 Bound) –1.422% –2 –0.293% (Lower Fence) –3 –4 Giá trị nhỏ nhất là –4.108% –5

Từ Exhibit 6, có thể thấy rằng:

• Observations lớn nhất và nhỏ nhất của phân phối lần lượt có giá trị 5.001 và −4.108, trong khi giá trị median (50th percentile) bằng 0.044.

• Interquartile range là 0.753 [= 0.460 − (−0.293)], và khi nhân với 1.5 rồi cộng với cận trên của Q 3 là 0.460, ta có upper fence là 1.589 [= (1.5 × 0.753) + 0.460].

• Lower fence có thể được tính theo cách tương tự bằng cách áp dụng giới hạn dưới của Q 2 và bằng −1.422 [= −(1.5 × 0.753) + (−0.293)].

Như đã đề cập ở trên, bất kỳ observation nào lớn hơn (nhỏ hơn) upper fence (lower fence) đều được coi là outlier.

Quantiles trong thực hành đầu tư

Quantiles được áp dụng không chỉ để đánh giá hiệu quả của một portfolio mà còn để phát triển investment strategy và thực hiện nghiên cứu.

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quantiles trong lĩnh vực tài chính là xếp hạng hiệu quả bởi các investment analysts. Hiệu quả của các investment managers có thể được đặc trưng bởi percentile mà hiệu quả của họ thuộc vào so với hiệu quả của các managers khác trong cùng peer group. Một trong những phương pháp phổ biến nhất để đánh giá hiệu quả bằng quantiles là xếp hạng sao investment fund của Morningstar, trong đó số lượng sao được liên hệ với các percentiles của performance indicators khi so sánh với các investment funds tương tự.

Một ứng dụng quan trọng khác của quantiles trong tài chính liên quan đến công việc nghiên cứu. Bằng cách phân chia dữ liệu thành các quantiles theo một đặc điểm định lượng khách quan, chẳng hạn như sales, market capitalization hoặc asset size, người ta có thể xem xét ảnh hưởng của đặc điểm cụ thể này lên một đại lượng quan tâm, chẳng hạn như returns, sales, growth và valuation metrics. Do đó, quantitative investors xếp hạng các công ty dựa trên market value của equity hoặc cái gọi là market capitalization trước khi chia chúng thành các deciles. Decile thứ nhất đại diện cho một portfolio gồm các công ty có market values thấp nhất, còn được gọi là small capitalization companies. Decile thứ mười gồm các công ty có market values cao nhất và được gọi là large capitalization companies. Việc xếp hạng theo deciles cho phép analysts so sánh hiệu quả của các small và large market capitalization companies theo cả tuyệt đối và tương đối với nhau.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Biểu đồ histogram trong Exhibit 7 cung cấp phân phối của annual returns của S&P 500 Index trong khoảng thời gian 50 năm.

Exhibit 7: Annual Returns của S&P 50 Index

Tần suất 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –37 –32 –27 –22 –17 –12 –7 –2 3 8 13 18 23 28 33 đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến –32 –27 –22 –17 –12 –7 –2 3 8 13 18 23 28 33 38 Các khoảng Return (%)

1. EN: The bin containing the median return is:

   • EN: A. 3 percent to 8 percent.

   • A. 3% đến 8%.

   • EN: B. 8 percent to 13 percent.

   • B. 8% đến 13%.

   • EN: C. 13 percent to 18 percent.

   • C. 13% đến 18%.

EN: C is correct. As there are 50 observations in the histogram, the median return would be the average of the 50/2 = 25th and (50 + 2)/2 = 26th observation. Summing up the return bin frequencies on the left from the 13 percent to 18 percent range we have 24. Thus, the 25th and 26th returns would be included in the 13 percent to 18 percent range.

• EN: Solution:
• Lời giải:

C là đáp án đúng. Vì có 50 observations trong histogram, median return sẽ là trung bình của observation thứ 50/2 = 25 và observation thứ (50 + 2)/2 = 26. Cộng dồn frequencies của các return bins ở bên trái, đến khoảng từ 13% đến 18%, chúng ta có 24. Do đó, returns thứ 25 và 26 sẽ nằm trong khoảng từ 13% đến 18%.

2. EN: Based on Exhibit 7, the distribution would be best described as being:

   • EN: A. unimodal.

   • A. unimodal.

   • EN: B. bimodal.

   • B. bimodal.

   • EN: C. trimodal.

   • C. trimodal.

EN: Solution:

EN: Option C is correct because for the distribution whose data is grouped into intervals, the mode is the interval that has the highest frequency. The three intervals of 3 percent to 8

Lời giải:

Đáp án C là đúng vì đối với phân phối có dữ liệu được nhóm thành các intervals, mode là interval có frequency cao nhất. Ba intervals từ 3% đến 8

Các thước đo thống kê của Asset Returns

EN: Percentages of 15%, 18% to 23%, and 28% to 33% appear with the most frequency of 7.

EN: Review the annual returns on three portfolios P, Q, and R in Exhibit 8. The two portfolios P and R were formed in Year 1 while Portfolio Q was formed in Year 2.

Các khoảng từ 13% đến 18%, 18% đến 23% và 28% đến 33% xuất hiện với frequency cao nhất là 7.

Xem xét annual returns của ba portfolios P, Q và R trong Exhibit 8. Hai portfolios P và R được thành lập trong Year 1, trong khi Portfolio Q được thành lập trong Year 2.

Exhibit 8: Annual Portfolio Returns

||Year 1 (%)|Year 2 (%)|Year 3 (%)|Year 4 (%)|Year 5 (%)| |Portfolio P|−3.0|4.0|5.0|3.0|7.0| |Portfolio Q|NA|−3.0|6.0|4.0|8.0| |Portfolio R|1.0|−1.0|4.0|4.0|3.0|

3. EN: The median annual return for:

   • EN: A. Portfolio P is 4.5 percent.

   • A. Portfolio P là 4.5%.

   • EN: B. Portfolio Q is 4.0 percent.

   • B. Portfolio Q là 4.0%.

• EN: C. Portfolio R has a higher return compared to its average yearly return.
• C. Portfolio R có return cao hơn so với average yearly return của nó.

EN: Answer C is correct. Median of Portfolio R is 0.8 percent greater than the mean of Portfolio R. Answer A is not correct because median of annual returns on Portfolio P is 4.0 percent. Answer B is not correct because median of annual returns on Portfolio Q is 5.0 percent.

• EN: Solution:
• Lời giải:

Đáp án C là đúng. Median của Portfolio R cao hơn mean của Portfolio R 0.8%. Đáp án A không đúng vì median của annual returns của Portfolio P là 4.0%. Đáp án B không đúng vì median của annual returns của Portfolio Q là 5.0%.

4. EN: The mode for Portfolio R is:

   • EN: A. 1.0 percent.

   • A. 1.0%.

   • EN: B. 3.0 percent.

   • B. 3.0%.

   • EN: C. 4.0 percent.

   • C. 4.0%.

EN: C is correct. The mode is the value that appears most often in a dataset, and in the case of Portfolio R, this is 4.0%.

• EN: Solution:
• Lời giải:

EN: A mutual fund had the following returns over the past 10 years:

C là đáp án đúng. Mode là giá trị xuất hiện thường xuyên nhất trong một dataset, và trong trường hợp của Portfolio R, giá trị này là 4.0%.

Một mutual fund có các returns sau trong 10 năm qua:

Exhibit 9: Fund Returns trong 10 Years

Year Return 9 5.5% 10 4.0% 5. EN: The fund’s arithmetic mean return over the 10 years is closest to: 5. arithmetic mean return của fund trong 10 years gần nhất là: EN: A. 2.97 percent. A. 2.97%. EN: B. 3.00 percent. B. 3.00%. EN: C. 3.33 percent. C. 3.33%. EN: Solution: Lời giải: EN: B is correct. The sum of the returns is 30.0 percent, so the arithmetic mean is 30.0%/10 = 3.0%. B là đáp án đúng. Tổng các returns là 30.0%, vì vậy arithmetic mean là 30.0%/10 = 3.0%. 6. EN: The fund’s geometric mean return over the 10 years is closest to: 6. geometric mean return của fund trong 10 years gần nhất là: EN: A. 2.94 percent. A. 2.94%. EN: B. 2.97 percent. B. 2.97%. EN: C. 3.00 percent. C. 3.00%. EN: Solution: Lời giải: EN: B is correct. The geometric mean return is calculated as follows: B là đáp án đúng. geometric mean return được tính như sau: _ _____________________________________________ R G = 10√(1 + 0.045) × (1 + 0.06) × … × (1 + 0.055) × (1 + 0.04) − 1 , R _ G = 10√ _ 1.3402338 − 1 = 2.9717%. 7. EN: The harmonic mean return over the 10 years is closest to: 7. harmonic mean return trong 10 years gần nhất là: EN: A. 2.94 percent. A. 2.94%. EN: B. 2.97 percent. B. 2.97%. EN: C. 3.00 percent. C. 3.00%. EN: Solution: Lời giải: EN: A is correct. The harmonic mean is calculated as follows: A là đáp án đúng. harmonic mean được tính như sau: X _ H = ____________ n n − 1 , ∑ i =1(1 / (1 + ri ) _ ______________________________10 X H = _ _ _ _ (1.045 1 ) + ( 1.06 1 ) + … + ( 1.055 1 ) + ( 1.04 1 ) − 1 , _ _ X H = (9.714 10 ) − 1 = 2.9442 %. EN: Consider the box and whisker plot in Exhibit 10: Xem xét box and whisker plot trong Exhibit 10:

Các thước đo thống kê của Asset Returns

Exhibit 10: Box and Whisker Plot

180 160 154.45 140 120 114.25 100 100.49 80 79.74 60 51.51 40

8. EN: The median is closest to:

   • EN: A. 34.51.

   • A. 34.51.

   • EN: B. 100.49.

   • B. 100.49.

   • EN: C. 102.98.

   • C. 102.98.

EN: B is correct. On a box and whisker diagram, the "box" refers to the lower limit of the second quartile and the upper limit of the third quartile, and the median or mean is marked inside the box as the central tendency of the distribution. The median is marked inside the box, and it is 100.49.

• EN: Solution:
• Lời giải:

B là đáp án đúng. Trên một box and whisker diagram, “box” chỉ giới hạn dưới của quartile thứ hai và giới hạn trên của quartile thứ ba, còn median hoặc mean được đánh dấu bên trong box như measure of central tendency của phân phối. Median được đánh dấu bên trong box và có giá trị 100.49.

EN: A. 13.76. A. 13.76.

9. EN: The interquartile range is closest to:

EN: C. 34.51. Solution: C. 34.51. Lời giải:

• EN: B. 25.74.
• B. 25.74.

EN: C is correct. The interquartile range is the height of the box, or the difference between 114.25 and 79.74, which is 34.51.

C là đáp án đúng. Interquartile range là chiều cao của box, hoặc chênh lệch giữa 114.25 và 79.74, bằng 34.51.

tính toán, diễn giải và đánh giá các thước đo độ phân tán để giải quyết một vấn đề đầu tư

Ý nghĩa của expected return hoặc mean return là không thể phủ nhận: Để hiểu đầy đủ một khoản đầu tư, cũng cần phải hiểu mức độ mà returns có xu hướng phân tán quanh mean return của chúng. Dispersion là sự biến thiên của dữ liệu quanh xu hướng trung tâm. Trong khi mean return liên quan đến reward, dispersion liên quan đến risk và uncertainty.

Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét các thước đo độ phân tán phổ biến nhất: range, mean absolute deviation, variance và standard deviation. Tất cả đều là các thước đo absolute dispersion. Absolute dispersion là mức độ biến thiên tồn tại độc lập với bất kỳ giá trị tham chiếu hoặc sự so sánh nào.

Range

Thước đo độ phân tán được gọi là range đã được giới thiệu khi chúng ta xem xét frequency distributions. Range là thước đo đơn giản nhất trong tất cả các thước đo độ phân tán.

• Định nghĩa về Range.* Range là chênh lệch giữa quan sát cao nhất và thấp nhất trong một tập dữ liệu:

Range = Giá trị cao nhất − Giá trị thấp nhất. (2)

Một phương pháp khác để biểu diễn range của một phân phối là nêu cả giá trị maximum và minimum. Trong cách tiếp cận thay thế này, range của phân phối được nêu là “từ Maximum Value đến Minimum Value”.

Một ưu điểm của thước đo độ phân tán range là tính đơn giản trong tính toán. Một nhược điểm của range là nó sử dụng hai điểm dữ liệu từ phân phối. Range không thể cho chúng ta biết bất kỳ điều gì về bản chất của phân phối (hình dạng). Vì range là chênh lệch giữa giá trị maximum và minimum trong phân phối, nó nhạy cảm với các điểm dữ liệu cực kỳ lớn hoặc nhỏ (outliers) trong phân phối.

Mean Absolute Deviations

Các thước đo độ phân tán có thể được xác định bằng cách sử dụng tất cả các điểm dữ liệu trong phân phối chứ không chỉ các điểm cực trị. Các thước đo độ phân tán có thể được tính bằng arithmetic mean của độ lệch của dữ liệu so với mean của phân phối. Tuy nhiên, vấn đề ở đây là độ lệch quanh mean luôn có tổng bằng 0. Do đó, cần tìm một cách để xử lý vấn đề các độ lệch âm triệt tiêu các độ lệch dương.

Một trong các phương pháp là xem xét absolute deviation của dữ liệu so với mean như trong trường hợp mean absolute deviation (MAD).

Công thức MAD. MAD cho một sample là:

Trong đó X_ là sample mean, n là số điểm dữ liệu trong sample và ký hiệu | | biểu thị absolute value của giá trị nằm giữa hai dấu gạch.

MAD sử dụng tất cả các điểm dữ liệu trong sample; do đó, nó hiệu quả hơn range trong việc đo dispersion. Một điểm yếu về mặt toán học của MAD là nó không dễ thao tác, trái với thước đo dispersion tiếp theo, sample variance.

Sample Variance and Sample Standard Deviation

Giải pháp thứ hai cho vấn đề các độ lệch dương và âm triệt tiêu lẫn nhau là bình phương các độ lệch. Variance và standard deviation, đều sử dụng squared deviations, là hai thước đo dispersion phổ biến nhất. Variance có thể được định nghĩa là arithmetic mean của squared deviations quanh mean. Mặt khác, standard deviation là căn bậc hai của variance.

Sample Variance

Trong investment analysis, chúng ta không biết mean của population mà chúng ta quan tâm; do đó, chúng ta cố gắng xấp xỉ nó thông qua sample mean được rút ra từ population. Thước đo dispersion tương ứng, trong trường hợp này, sẽ là sample variance hoặc standard deviation.

• Công thức của Sample Variance. Sample Variance, s__2, là:

trong đó X_ là sample mean và n là số quan sát trong sample.

Quá trình tính variance giải quyết vấn đề các độ lệch âm so với mean triệt tiêu các độ lệch dương bằng cách bình phương các độ lệch.

Khi tính sample variance, việc chia cho sample size trừ đi một (hoặc n - 1) thay vì n sẽ cải thiện các đặc tính thống kê của sample variance. Giá trị n - 1 cũng được gọi là số degrees of freedom của variance estimator. Để ước tính population variance bằng cách sử dụng _s_2, sample mean, vốn là một estimated parameter, cần được xác định trước. Do đó, sau khi tính sample mean, chỉ còn n - 1 mẩu thông tin độc lập trong sample và vì vậy, khi biết sample mean và n - 1 mẫu, giá trị mẫu cuối cùng có thể được xác định.

Sample Standard Deviation

Vì variance được tính theo đơn vị bình phương so với mean, cần có một cách để quay trở lại đơn vị ban đầu. Standard deviation, là căn bậc hai của variance, giải quyết vấn đề này và dễ diễn giải hơn variance.

Một đặc tính quan trọng của sample standard deviation là, không giống sample variance, sample standard deviation có cùng đơn vị với dữ liệu. Ví dụ, nếu tập dữ liệu là tỷ lệ daily returns của một index, thì sample mean và sample standard deviation sẽ được tính theo %, trong khi variance được tính theo % bình phương của daily returns.

• *Công thức Sample Standard Deviation.

Sample standard deviation, s, là:

Trong đó X_ là sample mean và n là số quan sát trong sample.

Vì standard deviation là thước đo dispersion quanh arithmetic mean, thông lệ là báo cáo arithmetic mean và standard deviation như descriptive statistics cho dữ liệu đã cho. Trong trường hợp một time series của các percentage changes, việc báo cáo geometric mean (compound rate of growth) cũng sẽ rất hữu ích.

Downside Deviation and Coefficient of Variation

Variance hoặc standard deviation của return của một asset được xem là thước đo risk của asset đó. Vì variance hoặc standard deviation của returns tính đến các returns cao hơn và thấp hơn arithmetic mean, tương ứng với upside và downside risks,

các nhà đầu tư thường quan tâm đến downside risk, chẳng hạn như returns thấp hơn mean hoặc thấp hơn một minimum target return nào đó. Do đó, một số phương pháp đo downside risk đã được phát triển.

Downside Deviation

Chúng ta có thể quan tâm đến các quan sát của return (hoặc bất kỳ biến nào khác) thấp hơn một giá trị khác với arithmetic mean. Ví dụ, nếu chúng ta có mục tiêu annual return là 6.0% (minimum acceptable return), thì chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến các returns thấp hơn 6.0%. Target downside deviation, còn được gọi là target semideviation, là thước đo dispersion dưới một target nhất định, ví dụ 6.0%. Để tính target semideviation của một sample, trước tiên chúng ta phải xác định target. Sau đó, sau khi tìm các quan sát thấp hơn target, chúng ta nên tính tổng bình phương của chúng, chia cho một đơn vị ít hơn số quan sát trong sample, và cuối cùng lấy căn bậc hai.

Công thức Sample Target Semideviation. Target semideviation, s Target, là:

Trong đó B là target và n là số sample observations. Điều này được minh họa trong Example 3 dưới đây.

VÍ DỤ 3

Tính Target Downside Deviation

Giả sử monthly returns của một portfolio như sau (Exhibit 11):

Exhibit 11: Monthly Portfolio Returns

1. Xác định target semideviation khi target return là 3%. Đáp án:

|Tháng|Quan sát|Độ lệch so với Target 3%|Các độ lệch dưới Target|Bình phương các độ lệch dưới Target| |Tháng Một|5|2|—|—| |Tháng Hai|3|0|—|—| |Tháng Ba|−1|−4|−4|16| |Tháng Tư|−4|−7|−7|49| |Tháng Năm|4|1|—|—| |Tháng Sáu|2|−1|−1|1| |Tháng Bảy|0|−3|−3|9| |Tháng Tám|4|1|—|—| |Tháng Chín|3|0|—|—| |Tháng Mười|0|−3|−3|9| |Tháng Mười Một|6|3|—|—| |Tháng Mười Hai|5|2|—|—| |Tổng||||84|

84 Target semideviation = √( 12 − 1) = 2.7634%.

2. Nếu target là 4%, câu trả lời của bạn có khác với câu 1 không? Nếu có, hãy giải thích mà không thực hiện bất kỳ phép tính nào.

Lời giải:

Nếu target return cao hơn, các độ lệch sẽ lớn hơn và sẽ có nhiều giá trị hơn nằm dưới target trong các cột độ lệch và squared deviations, điều đó có nghĩa là target semideviation cũng sẽ lớn hơn.

Mối quan hệ giữa target downside deviation và sample standard deviation là gì? Để chỉ ra sự khác biệt giữa target downside deviation và standard deviation, chúng ta sử dụng Example 4 dựa trên dữ liệu của Example 3.

VÍ DỤ 4

So sánh Target Downside Deviation với Standard Deviation

1. Đối với dữ liệu của Example 3, hãy tính sample standard deviation.

Lời giải:

_ 96.2500 Sample standard deviation là √_ 11= 2.958%.

2. Đối với dữ liệu của Example 3, hãy tính target downside deviation với giả định target là 2%. Đáp án:

|Tháng|Quan sát|Độ lệch so với Target 2%|Các độ lệch dưới Target|Bình phương các độ lệch dưới Target| |Tháng Một|5|3|—|—| |Tháng Hai|3|1|—|—| |Tháng Ba|−1|−3|−3|9| |Tháng Tư|−4|−6|−6|36| |Tháng Năm|4|2|—|—| |Tháng Sáu|2|0|—|—| |Tháng Bảy|0|−2|−2|4| |Tháng Tám|4|2|—|—| |Tháng Chín|3|1|—|—| |Tháng Mười|0|−2|−2|4| |Tháng Mười Một|6|4|—|—| |Tháng Mười Hai|5|3|—|—| |Tổng||||53|

__53 Target semideviation với target 2% = √ 11= 2.195%.

3. Tính standard deviation, target downside deviation với target 2% và target downside deviation với target 3%.

Lời giải:

Standard deviation dựa trên độ lệch so với mean, hoặc 27% / 12 = 2.25%. Standard deviation xem xét tất cả các độ lệch so với mean, dù thấp hơn hay cao hơn mean. Do đó, sample standard deviation sẽ là 2.958%.

Vì chúng ta chỉ xem xét bốn quan sát thấp hơn target 2%, target semideviation là 2.195%. Nó nhỏ hơn sample standard deviation vì target semideviation chỉ tính đến downside risk (tức là các độ lệch dưới target). Nếu chúng ta xem xét target semideviation sử dụng target 3%,

thì có năm quan sát thấp hơn mốc 3% và do đó, target semideviation lớn hơn, bằng 2.763%.

Coefficient of Variation

Chúng ta đã đề cập trước đó rằng standard deviation trực quan hơn variance vì standard deviation được đo bằng cùng đơn vị với các quan sát. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể gặp khó khăn trong việc diễn giải standard deviation theo mức độ biến thiên tương đối của các datasets khác nhau, do có sự khác biệt lớn giữa means của các datasets hoặc do khác biệt về đơn vị đo lường. Trong phần này, chúng ta sẽ giải thích một khái niệm được sử dụng trong những trường hợp như vậy - coefficient of variation. Relative dispersion được định nghĩa là dispersion tương đối so với một reference value hoặc benchmark nào đó.

Coefficient of variation đặc biệt hữu ích trong các tình huống đã đề cập ở trên (tức là khi có sự khác biệt đáng kể về means hoặc khác biệt về đơn vị đo lường).

• Công thức của Coefficient of Variation.* Coefficient of variation (CV) là tỷ lệ giữa standard deviation và mean value của một tập hợp các quan sát:

trong đó s là sample standard deviation và X_ là sample mean.

Ví dụ, khi các quan sát là returns, CV phản ánh mức độ risk (standard deviation) trên mỗi một đơn vị reward (mean return). Một vấn đề có thể xảy ra, đặc biệt khi làm việc với returns, là nếu X_ âm, statistic này trở nên vô nghĩa.

CV có thể được biểu thị dưới dạng bội số (chẳng hạn như hai) hoặc % (chẳng hạn như 200%). Bằng cách đo mức độ biến thiên của các quan sát so với mean values của chúng, CV cho phép so sánh trực tiếp mức độ biến thiên giữa các datasets khác nhau. Là một thước đo có tính đến việc điều chỉnh theo scale, CV là một scale-free statistic (tức là nó không có đơn vị đo lường).

Để minh họa mức độ hữu ích của coefficient of variation trong việc so sánh các datasets có standard deviations rất khác nhau, chúng ta sẽ xem xét hai samples giả định của các firms trong Example 5.

VÍ DỤ 5

Coefficient of Variation của Returns on Assets

Giả sử một analyst đã thu thập ROA (theo %) của 10 firms cho mỗi trong hai industries:

Exhibit 12: Returns on Assets for Two Industries

Thông tin này có thể được minh họa bằng đồ thị như sau (Exhibit 13):

Phụ lục 13: Lợi nhuận trên tài sản được thể hiện bằng đồ thị

Ngành A –5 –3 –1 2 4 6 7 9 10 11 Ngành B –10–9 –7 –3 1 3 5 18 20 22

1. Hãy tính ROA trung bình của từng ngành.

Lời giải:

ROA trung bình của cả hai ngành bằng tổng của 10 quan sát, bằng 40 trong mỗi trường hợp, chia cho 10 quan sát, tức là 40/10 = 4%.

2. Hãy tính standard deviation của ROA cho từng ngành.

Lời giải:

Theo Equation 5, standard deviation của Ngành A là 5.60 và của Ngành B là 12.12.

3. Hãy xác định CV của ROA cho cả hai ngành.

Lời giải:

Áp dụng Equation 7, CV của Ngành A = 5.60/4 = 1.40 và CV của Ngành B = 12.12/4 = 3.03.

Mặc dù hai ngành có cùng arithmetic mean ROA, variance lại rất khác nhau vì ROA của Ngành B phân tán hơn nhiều so với Ngành A. Điều này được minh họa rõ ràng bởi việc Ngành B có giá trị CV cao hơn Ngành A. Nói cách khác, mức độ biến động tương đối của Ngành B lớn hơn hơn hai lần (2.16 = 3.03/1.40) so với Ngành A.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Xét MSCI World Index total returns hằng năm trong giai đoạn 10 năm (Phụ lục 14):

Phụ lục 14: MSCI World Index Total Returns

EN: 1. The mean absolute deviation (MAD) of the MSCI World Index total returns for Years 6 through 10 is closest to:

EN: A. 10.20 percent.

1. mean absolute deviation (MAD) của MSCI World Index total returns từ Năm 6 đến Năm 10 gần nhất với:

EN: B. 12.74 percent.

• A. 10.20%.

EN: C. 16.40 percent. Solution:

• B. 12.74%.

EN: A is correct. The calculation of MAD is as follows:

C. 16.40%. Lời giải:

EN: Step 1: Add up the annual returns and divide by n to calculate the arithmetic mean( X_) of 16.40 percent.

A là đáp án đúng. Cách tính MAD như sau:

Bước 1: Cộng các annual returns và chia cho n để tính arithmetic mean( X_) là 16.40%.

EN: This calculation is illustrated below:

_ MAD =50.98% = 10.20%. 5

Phép tính này được minh họa dưới đây:

Annual returns và summary statistics của ba quỹ được trình bày dưới đây:

EN: 2. The fund having the highest mean absolute deviation (MAD) is the Fund:

EN: A. ABC.

2. Quỹ có mean absolute deviation (MAD) cao nhất là Quỹ:

EN: B. XYZ.

A. ABC.

EN: C. PQR.

B. XYZ.

EN: Solution:

C. PQR.

EN: A is the correct answer. The MAD of the returns of Fund ABC is highest compared to the other two funds. Calculation of the MAD of each fund is done using Equation 3 below:

Lời giải:

EN: MAD for ABC fund =

A là đáp án đúng. MAD của returns của Quỹ ABC cao nhất so với hai quỹ còn lại. MAD của từng quỹ được tính bằng Equation 3 dưới đây:

MAD của quỹ ABC =

EN: MAD of Fund XYZ =

MAD của Quỹ XYZ =

_____________________________________________________________| − 33 − (− 10.8)|+| − 12 − (− 10.8)|+| − 12 − (− 10.8)|+| − 8 − (− 10.8)|+| 11 − (− 10.8)| 5

EN: MAD for Fund PQR =

= 9.8% .

MAD của Quỹ PQR =

EN: 3. Here are some facts from Exhibit 15 regarding Portfolio A and Portfolio B for the last 12 months:

_______________________________________________| − 14 − (− 5)| + | − 18 − (− 5)|+| 6 − (− 5)|+| − 2 − (− 5)|+| 3 − (− 5)| = 8.8% . 5

3. Dưới đây là một số thông tin từ Phụ lục 15 liên quan đến Portfolio A và Portfolio B trong 12 tháng gần nhất:

Phụ lục 15: Thống kê của Portfolio A và Portfolio B

EN: 4. Most likely, the geometric mean return for Portfolio B will be:

EN: A. less than 2.85 percent.

4. Nhiều khả năng, geometric mean return của Portfolio B sẽ là:

EN: B. equal to 2.85 percent.

• A. thấp hơn 2.85%.

B. bằng 2.85%.

Các thước đo thống kê của Asset Returns

EN: C. greater than 2.85 percent. Solution:

EN: A is correct. The more dispersed the distribution, the greater the distance between the arithmetic mean and the geometric mean.

C. cao hơn 2.85%. Lời giải:

A là đáp án đúng. Phân phối càng phân tán, khoảng cách giữa arithmetic mean và geometric mean càng lớn.

diễn giải và đánh giá các thước đo skewness và kurtosis để giải quyết một vấn đề đầu tư

Mean và variance có thể không đủ để mô tả đặc điểm của return distribution của một khoản đầu tư. Ví dụ, vì các độ lệch so với mean trong phép tính variance được bình phương, chúng ta không thể xác định liệu các độ lệch lớn sẽ xảy ra theo hướng dương hay âm. Cần sử dụng nhiều hơn chỉ các thước đo central tendency, location và dispersion để có thêm thông tin về phân phối. Một đặc điểm như vậy của phân phối mà chúng ta quan tâm là mức độ đối xứng của các return distributions.

Khi return distribution đối xứng quanh mean, phân phối được phản chiếu ở hai phía của mean. Nghĩa là, mỗi khoảng gain có khả năng xảy ra ngang bằng với một khoảng loss.

Phân phối hữu ích nhất là normal distribution như được thể hiện trong Phụ lục 16 dưới đây. Đây là một phân phối đối xứng, có hình chuông và là một phần không thể thiếu của mean-variance model trong portfolio selection. Các đặc điểm của normal distribution bao gồm:

• Mean, median và mode của nó bằng nhau.

• Nó có thể được giải thích đầy đủ bằng hai tham số, cụ thể là mean và variance (hoặc standard deviation).

Phụ lục 16: The Normal Distribution

Hàm mật độ xác suất –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Standard Deviation

Tuy nhiên, các loại phân phối khác có thể cần thêm một số tham số để mô tả đặc điểm của chúng ngoài mean và variance.

Skewness

Một phân phối không đối xứng được gọi là skewed. Một return distribution positively skewed sẽ có nhiều khoản lỗ nhỏ nhưng các khoản lãi rất lớn. Ngược lại, một return distribution negatively skewed sẽ có nhiều khoản lãi nhỏ nhưng các khoản lỗ rất lớn. Hình 17 dưới đây cho thấy một phân phối positively skewed (Panel A), với phần cuối bên phải kéo dài ra, trong khi Panel B cho thấy một phân phối negatively skewed, với phần cuối bên trái kéo dài ra.

Phụ lục 17: Đặc điểm của các phân phối lệch

A. Phân phối lệch dương Hàm mật độ xác suất Mode Median Mean

B. Lệch âm Mật độ xác suất Mean Median Mode

Một phân phối đơn mode positively skewed có mode nhỏ hơn median, và median lại nhỏ hơn mean. Trong trường hợp phân phối đơn mode negatively skewed, mean nhỏ hơn median, và median nhỏ hơn mode. Vì vậy, với một expected return và standard deviation nhất định, nhà đầu tư nên ưu tiên positive skew vì mean return sẽ nằm cao hơn median. Positive skew hàm ý downside returns tương đối thường xuyên nhưng bị giới hạn và upside returns tương đối ít xảy ra nhưng không bị giới hạn.

Skewness là thuật ngữ mà các nhà thống kê dùng để chỉ một thước đo độ lệch. (“Skewness” cũng được dùng thay cho từ “skew.”) Giống như variance, skewness dựa trên độ lệch của từng quan sát so với mean của nó. Skewness (còn được gọi là

Các thước đo thống kê của Asset Returns

relative skewness) được định nghĩa là độ lệch trung bình đã được lập phương so với mean, được chuẩn hóa bằng cách chia đại lượng này cho standard deviation đã được lập phương.

Khác với việc bình phương, việc lập phương giữ nguyên dấu của độ lệch so với mean. Đối với một phân phối positively skewed, trong đó mean cao hơn median, có hơn một nửa số độ lệch âm và ít hơn một nửa số độ lệch dương. Tuy nhiên, để tổng các độ lệch đã được lập phương là dương, các khoản lỗ phải nhỏ và có khả năng xảy ra cao, trong khi các khoản lãi phải ít có khả năng xảy ra và lớn. Do đó, nếu skewness dương, thì trung bình các độ lệch dương lớn hơn các độ lệch âm.

Công thức dùng để ước tính sample skewness khi n tương đối lớn (trên 100) là:

Như chúng ta sẽ thấy ở phần sau của chương trình học, các khoản đầu tư khác nhau có các dạng skewness khác nhau.

Kurtosis

Ngoài skewness, một cách khác mà distribution of returns có thể khác với normal distribution liên quan đến xu hướng tạo ra các giá trị cực trị của phân phối. Nếu nhà đầu tư nhận thấy khả năng xuất hiện các độ lệch cực lớn so với mean tăng lên, họ sẽ coi những khả năng đó là rủi ro cao hơn.

• Kurtosis cho biết tổng trọng số của các phần đuôi của phân phối, nghĩa là phần xác suất tổng thể của phân phối nằm ngoài, chẳng hạn, 2.5 standard deviations so với mean. Một phân phối có trọng số ở phần đuôi lớn hơn so với normal distribution được gọi là leptokurtic hoặc fat-tailed; một phân phối có trọng số ở phần đuôi nhỏ hơn so với normal distribution được gọi là platykurtic hoặc thin-tailed; trong khi một phân phối có cùng lượng trọng số ở phần đuôi như normal distribution được gọi là mesokurtic. Fat-tailed distribution sẽ tạo ra các độ lệch cực trị so với mean thường xuyên hơn normal distribution, trong khi thin-tailed distribution sẽ tạo ra ít độ lệch cực trị hơn.

Xem Phụ lục 18 để hình dung fat-tailed distribution. Lưu ý rằng trong hình minh họa dưới đây, fat-tailed distribution và normal distribution có mean, standard deviation và skewness giống hệt nhau. Tuy nhiên, fat-tailed distribution này có thể tạo ra các giá trị ở phần đuôi, được đánh dấu là các điểm giao nhau của hai đường trên đồ thị, tại mức standard deviation khoảng ±2.5 thường xuyên hơn nhiều so với normal distribution. Ngoài ra, fat-tailed distribution này tạo ra nhiều giá trị hơn ở gần mean, được xem là vùng ±1 standard deviation quanh mean. Tuy nhiên, để tổng xác suất bằng một, phân phối này sẽ tạo ra ít giá trị hơn ở vùng giữa vùng trung tâm và hai vùng đuôi.

Phụ lục 18: Fat-Tailed Distribution so với Normal Distribution

Mật độ xác suất 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Standard Deviation Normal Distribution Fat-Tailed Distribution

Việc tính kurtosis bao gồm xác định mean của các độ lệch so với mean được nâng lên lũy thừa bốn, và chuẩn hóa mean này bằng cách chia cho standard deviation được nâng lên lũy thừa bốn. Kurtosis của normal distribution bằng 3.0; do đó, nếu phân phối là fat-tailed, kurtosis sẽ lớn hơn 3.0, trong khi nếu là thin-tailed, kurtosis sẽ nhỏ hơn 3.0.

• Excess kurtosis là kurtosis tương đối so với normal distribution. Đối với sample size lớn ( n = 100 hoặc lớn hơn),

tương tự như skewness, nó không phụ thuộc vào thang đo. Các ước tính sample excess kurtosis được hầu hết các statistical programs cung cấp và được gọi là “kurtosis”.

Excess kurtosis là thước đo kurtosis tương đối so với normal distribution. Excess kurtosis của normal distribution bằng 0. Nếu phân phối là fat-tailed, excess kurtosis của nó sẽ lớn hơn 0, trong khi nếu là thin-tailed, excess kurtosis của nó sẽ nhỏ hơn 0. Do đó, một distribution of returns có excess kurtosis, tức là một fat-tailed return distribution, sẽ có các độ lệch cực lớn so với mean được quan sát thường xuyên hơn normal distribution.

Phụ lục 19: Tóm tắt về Kurtosis

Hầu hết equity return series thường là fat-tailed. Khi fat-tailed return distribution được sử dụng trong các statistical models không tính đến fat tail, khả năng xảy ra các sự kiện xấu hoặc tốt sẽ bị đánh giá thấp. Trong Example 6, chúng ta xem xét lại EAA Equity Index từ Example 1 và phân tích hình dạng của return distribution của nó.

VÍ DỤ 6

Skewness và Kurtosis của EAA Equity Index Daily Returns

Bây giờ hãy xem các số liệu về EAA Equity Index trong Phụ lục 20:

Phụ lục 20: Đặc điểm của các phân phối lệch

Returns thể hiện negative skewness, như được cho thấy trong Phụ lục 21, nơi distribution of the daily returns được so sánh với normal distribution có cùng mean và standard deviation.

Phụ lục 21: Negative Skewness

Số lượng quan sát –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Standard Deviation EAA Daily Returns Normal Distribution

Nhìn vào các số liệu thống kê và biểu đồ ở trên, chúng ta có thể thấy rằng:

• Phân phối thể hiện negative skewness, dựa trên giá trị skewness âm là -0.4260 và tác động của các giá trị thấp hơn mean là 0.0347%.

• Các returns phổ biến nhất sẽ nằm trong khoảng từ 0.0 đến 0.5 standard deviations so với mean (nghĩa là mode sẽ lớn hơn mean, vì các positive returns sẽ bị bù trừ bởi các độ lệch âm lớn).

• Phân phối có fat tails, do excess kurtosis dương (excess kurtosis bằng 3.7962). Có thể dễ dàng nhận thấy fat tails, sự tập trung quanh mean và số lượng quan sát thấp hơn ở các vùng giữa khu vực trung tâm và hai khu vực đuôi trong Phụ lục 21.

Để đánh giá trading liquidity của một cổ phiếu, các nhà đầu tư phân tích distribution of the daily trading volume của cổ phiếu đó. Bằng cách phân tích daily volume, các nhà đầu tư có được thông tin về mức độ quan tâm đối với cổ phiếu, các yếu tố có thể thúc đẩy sự quan tâm đó, cũng như khả năng của thị trường trong việc hấp thụ khối lượng giao dịch cổ phiếu lớn. Thông tin này có thể đặc biệt hữu ích cho các nhà đầu tư đang cân nhắc mở hoặc đóng một large position đối với cổ phiếu cụ thể đó.

Hãy xem xét một ví dụ về phân phối của khối lượng giao dịch hằng ngày của một cổ phiếu trong một năm (Exhibit 22). Số lượng quan sát trong mỗi bin hoặc khoảng, cũng như số lượng quan sát có thể được kỳ vọng nếu giả định một normal distribution (dựa trên sample mean và standard deviation) sẽ được trình bày. Khối lượng giao dịch trung bình hằng ngày trong năm bằng 8.6 triệu cổ phiếu, trong khi standard deviation bằng 4.9 triệu cổ phiếu.

Exhibit 22: Histogram của Daily Trading Volume của một cổ phiếu trong một năm

Số ngày giao dịch 70 60 50 40 30 20 10 0 3.1 4.6 6.1 7.7 9.2 10.7 12.3 13.8 15.3 16.8 18.4 19.9 21.4 23.0 24.5 26.0 27.5 29.1 30.6 32.1 đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến đến 4.6 6.1 7.7 9.2 10.7 12.3 13.8 15.3 16.8 18.4 19.9 21.4 23.0 24.5 26.0 27.5 29.1 30.6 32.1 33.7 Khoảng khối lượng giao dịch cổ phiếu (triệu) Dựa trên mẫu Dựa trên normal distribution

1. Phân phối này có được đặc trưng là skewed không? Nếu có, nguyên nhân có thể là gì?

Lời giải:

Phân phối này có vẻ positively skewed (hoặc right skewed). Điều này có thể xảy ra vì: (1) khối lượng giao dịch âm trong bất kỳ ngày giao dịch cụ thể nào là không thể, do đó phân phối bị cắt cụt tại 0; và (2) khối lượng giao dịch cao bất thường hiếm khi xảy ra, ví dụ do công bố một số tin tức liên quan đến công ty.

Phân phối này có giá trị skewness là 2.1090, xác nhận cách diễn giải ở trên.

2. Phân phối này có thể hiện kurtosis không? Hãy giải thích.

Lời giải:

Phân phối này có vẻ có excess kurtosis do fat right tail, với số lượng cổ phiếu được giao dịch lớn nhất nằm trong khoảng 4.6 - 6.1 triệu, nhiều hơn mức có thể kỳ vọng từ một normal distribution, đồng thời vì có ít điểm dữ liệu hơn mức có thể kỳ vọng ở khu vực giữa tâm của phân phối và tail của nó. Giá trị excess kurtosis của phân phối này là 5.2151.

Các thước đo thống kê của Asset Returns

EN: 1. An analyst estimates the excess kurtosis of the stock’s returns as -0.75. What does this information tell us about the distribution of returns?

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Một analyst ước tính excess kurtosis của returns của cổ phiếu là -0.75. Thông tin này cho chúng ta biết điều gì về phân phối của returns?

   • EN: A. normally distributed.

   • A. có normal distribution.

   • EN: B. fat-tailed compared to the normal distribution.

   • B. có fat tails so với normal distribution.

   • EN: C. thin-tailed compared to the normal distribution.

   • C. có thin tails so với normal distribution.

   • EN: Solution:

EN: C is correct. This distribution has thin tails compared to the normal distribution.

• Lời giải:

EN: Refer to Exhibit 23 to answer Questions 2-4.

C là đáp án đúng. Phân phối này có thin tails so với normal distribution.

EN: An analyst analyzed the annual return distribution of 252 stocks and found the following values:

Tham khảo Exhibit 23 để trả lời Câu 2-4.

Một analyst đã phân tích phân phối annual return của 252 cổ phiếu và tìm thấy các giá trị sau:

Exhibit 23: Mặt cắt ngang của Annual Returns

EN: 2. The coefficient of variation (CV) is closest to:

2. coefficient of variation (CV) gần nhất với:

   • EN: A. 0.02.

   • A. 0.02.

   • EN: B. 0.42.

   • B. 0.42.

   • EN: C. 2.41.

EN: Solution:

• C. 2.41.

EN: B is the correct answer. The coefficient of variation is equal to the ratio of standard deviation to the arithmetic mean or √ _ 0.001723/ 0.09986 = 0.416.

Lời giải:

EN: 3. This distribution is best described as:

B là đáp án đúng. coefficient of variation bằng tỷ lệ của standard deviation trên arithmetic mean, tức là √ _ 0.001723/ 0.09986 = 0.416.

3. Phân phối này được mô tả chính xác nhất là:

   • EN: A. negatively skewed.

   • A. negatively skewed.

   • EN: B. having no skewness.

   • B. không có skewness.

   • EN: C. positively skewed.

   • C. positively skewed.

   • EN: Solution:

EN: - C is the correct answer. The skewness is positive; therefore, it is right-skewed (positive-skewed).

• Lời giải:

EN: 4. In relation to a normal distribution, this sample distribution can be best characterized as having:

• C là đáp án đúng. Skewness là dương; do đó, phân phối này right-skewed (positive-skewed).

4. So với normal distribution, sample distribution này được đặc trưng chính xác nhất là có:

   • EN: A. less probability than the normal distribution.

   • A. xác suất thấp hơn normal distribution.

   • EN: B. the same probability as the normal distribution.

   • B. xác suất bằng với normal distribution.

• EN: C. more probability than the normal distribution.

• C. xác suất cao hơn normal distribution.

• EN: Solution:

EN: C is correct. The excess kurtosis is positive, meaning that the distribution is "fat-tailed"; hence, there is more probability in the tails of the distribution than the normal distribution.

• Lời giải:

C là đáp án đúng. excess kurtosis là dương, nghĩa là phân phối có "fat tails"; do đó, có xác suất cao hơn ở tails của phân phối so với normal distribution.

diễn giải correlation giữa hai biến để giải quyết một vấn đề đầu tư

Scatter Plot

scatter plot là một biểu diễn đồ họa hữu ích để trình bày và diễn giải mối quan hệ giữa hai biến. Giả sử một analyst muốn phân tích hiệu suất tương đối của hai sector, tức IT và utilities, so với market index trong một giai đoạn 5 năm nhất định. Analyst có được returns hằng tháng của các sector và market index trong 5 năm đó. Exhibits 24 và 25 lần lượt cho thấy scatter plot của returns của sector IT và utilities so với S&P 500.

Sự tập trung chặt (lỏng) cho thấy mối quan hệ mạnh (yếu) giữa hai biến.

Exhibit 24: Scatter Plot của Information Technology Sector Index Return so với S&P 500 Index Return

Information Technology 10.0 7.5 5.0 2.5 0 –2.5 –5.0 –7.5 –7.5 –5.0 –2.5 0 2.5 5.0 7.5 S&P 500

Các thước đo thống kê của Asset Returns

Exhibit 25: Scatter Plot của Utilities Sector Index Return so với S&P 500 Index Return

Utilities 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –7.5 –5.0 –2.5 0 2.5 5.0 7.5 S&P 500

Mặc dù scatter plots có cách xây dựng đơn giản, chúng chứa đựng nhiều thông tin. Thứ nhất, cần xác định liệu có bất kỳ mối quan hệ nào giữa hai biến hay không. Mối quan hệ này có thể không tồn tại, hoặc có thể là linear relationship hay non-linear relationship dựa trên pattern thể hiện trên scatter plot. Thứ hai, độ mạnh của mối quan hệ sẽ phụ thuộc vào mức độ tập trung của các điểm trên scatter plot dọc theo một đường thẳng.

Từ Exhibit 24, chúng ta có thể quan sát rằng returns của IT có positive correlation cao với S&P 500 Index vì các điểm dữ liệu tập trung chặt quanh một đường thẳng có độ dốc dương. Tuy nhiên, từ Exhibit 25, chúng ta có thể thấy relative returns của utilities và S&P 500 index không có liên hệ với nhau; tức là các điểm dữ liệu được phân tán ngẫu nhiên.

Thứ hai, việc quan sát các điểm dữ liệu ở hai đầu của mỗi trục cho chúng ta cảm nhận về data range. Thứ ba, nếu có bất kỳ mối quan hệ nào giữa các biến đang được phân tích, việc xem xét scatter plot có thể giúp chúng ta xác định bất kỳ extreme value (outlier) nào. Một outlier có thể dễ dàng được nhận thấy trong Exhibit 24 và được chỉ bằng mũi tên. Xử lý các extreme values như vậy là một trong các bước của financial modeling.

Scatter plots là một công cụ hiệu quả để tìm kiếm patterns giữa hai biến, đánh giá data range và xác định outliers. Tuy nhiên, đôi khi chúng ta phải tìm kiếm mối quan hệ giữa một số lượng biến. Ví dụ, khi chúng ta thực hiện feature selection từ hàng chục biến để xây dựng model.

Với một số kiến thức về sample variance và standard deviation, giờ đây chúng ta có thể tiếp tục với khái niệm correlation giữa hai random variables mà chúng ta đã xem xét thông qua scatter plots.

Covariance và Correlation

• Correlation* là thước đo của linear relationship giữa hai random variables. Tuy nhiên, trước khi định nghĩa correlation, trước hết chúng ta phải xem xét covariance giữa hai random variables.

• Định nghĩa Sample Covariance.* Sample Covariance ( sXY) là một thước đo thống kê được sử dụng để xác định cách hai biến biến động cùng nhau trong một sample:

Như thấy trong Equation 10, sample covariance biểu thị mean của tích các deviations của hai quan sát được thực hiện trên random variables ( Xi và Yi ). Khi returns được xem là random variables, đơn vị đo sẽ là returns squared. Cũng cần lưu ý rằng có n -1 ở mẫu số.

Nói một cách đơn giản, covariance được định nghĩa là thước đo mức độ biến động cùng nhau giữa hai random variables. Khi hai random variables có xu hướng di chuyển cùng chiều, tức là khi X cao hơn mean của X đồng thời Y cao hơn mean của Y, và X thấp hơn mean của X khi Y thấp hơn mean của Y, thì covariance là dương.

Covariance khó hiểu vì nó chỉ là một con số tuyệt đối không có ý nghĩa rõ ràng, đặc biệt vì nó được biểu thị bằng squared units of measure. Do đó, chúng ta đi đến dạng chuẩn hóa của covariance, được gọi là correlation coefficient.

• Định nghĩa Sample Correlation Coefficient* . Một sample correlation coefficient là một chỉ báo cho biết hai biến có mức độ correlation với nhau như thế nào trong một sample. Một sample correlation coefficient ( rXY ) có thể được tính bằng cách chia sample covariance cho tích của hai standard deviations:

Lưu ý rằng correlation coefficient là thước đo mức độ liên hệ chặt chẽ giữa hai random variables thông qua một linear relationship.

Properties of Correlation

Chúng ta xem xét correlation coefficient, hoặc bản thân correlation, và các đặc điểm của nó như sau:

• 1.* Phạm vi của correlation coefficient đối với hai random variables, X và Y , nằm trong khoảng từ -1 đến +1.

• −1 ≤ rXY ≤ +1.

• 2.* Giá trị correlation bằng 0, được gọi là uncorrelated, có nghĩa là không có linear relation giữa hai random variables.

• 3.* Correlation bằng +1 cho thấy một positive linear relation mạnh giữa hai biến.

• 4.* Correlation càng gần -1 thì inverse linear relation càng mạnh. Nếu correlation bằng -1, thì tồn tại một perfect inverse linear relation.

Chúng ta quay lại scatter diagrams để thể hiện correlation bằng đồ họa. Trong khi correlation coefficient là một biểu thức bằng số cho thấy mối quan hệ giữa hai tập dữ liệu, scatter diagram là biểu diễn đồ họa của mối quan hệ đó. Do đó, scatter diagrams có thể được sử dụng rất hiệu quả để diễn giải correlation coefficient.

Example 26 minh họa scatter plots. Figure A bên dưới minh họa scatter plot giữa hai biến có correlation bằng +1. Trong scatter plot được minh họa ở Figure A, tất cả các điểm trên đồ thị nằm trên một đường thẳng có positive gradient. Ngay khi variable X tăng thêm một đơn vị, variable Y tăng thêm hai đơn vị. Vì tất cả các điểm trên đồ thị nằm trên một đường thẳng, mức tăng một đơn vị của X luôn bằng mức tăng hai đơn vị

Các thước đo thống kê của Asset Returns

của Y bất kể giá trị của X. Mặc dù slope có thể khác nhau, dương hoặc âm, mối quan hệ sẽ có correlation coefficient bằng +1 nếu tất cả các điểm nằm trên cùng một đường thẳng. Figure Panel B cho thấy scatter diagram giữa hai biến có correlation coefficient bằng −1. Tương tự như trước, tất cả các điểm được biểu diễn trong diagram này đều nằm trên một đường thẳng. Điểm khác biệt duy nhất là lần này slope của đường thẳng là âm. Việc tăng giá trị của X thêm 1 sẽ làm Y giảm 2 đơn vị.

Exhibit 26: Scatter Plots cho thấy các mức độ Correlation khác nhau

A. Các biến có Correlation bằng +1

B. Các biến có Correlation bằng –1

Biến Y Biến Y 35 20 30 15 25 10 20 5 15 0 10 –5 5 –10 0 –15 0 5 10 15 20 0 10 20 Biến X Biến X

C. Các biến có Correlation bằng 0

D. Các biến có Nonlinear Association mạnh

Biến Y

Biến Y

12 Biến Y 60 10 50 8 40 6 30 4 20 2 5 0 0 10 20 0 Biến X 0 10 20 Biến X

Panel C là scatter plot của hai biến có correlation bằng 0. Đồ thị cho thấy giá trị của variable X không cho biết gì về giá trị của variable Y . Panel D mô tả scatter plot của hai biến thể hiện một non-linear relationship. Vì correlation coefficient là thước đo linear association giữa hai biến, nên việc sử dụng correlation coefficient trong trường hợp này sẽ không hợp lý.

Hạn chế của Correlation Analysis

Exhibit 26 cho thấy correlation là thước đo linear association giữa hai biến, nhưng không phải lúc nào nó cũng đáng tin cậy. Hai biến có thể có một nonlinear relationship và correlation coefficient rất thấp. Một nonlinear relationship giữa variables X và Y được minh họa ở Panel D. Mặc dù có perfect association, không có linear association giữa hai biến.

Correlation có thể là một statistic không đáng tin cậy khi có outliers trong một hoặc cả hai biến. Chúng ta biết rằng outliers là một số ít quan sát nằm ở một trong hai extreme (thấp hoặc cao) của một sample. Correlation có thể rất nhạy cảm với outliers. Trong những trường hợp như vậy, chúng ta cần xác định liệu việc loại bỏ các outliers đó có hợp lý hay không và liệu chúng có chứa information hay noise. Chúng ta sử dụng judgment để xác định liệu các outliers đó có chứa information về mối quan hệ giữa hai biến hay không, hay chúng không chứa information và nên bị loại bỏ. Nếu các outliers này được loại khỏi correlation analysis, chúng ta đã biết cách xử lý các outlier observations - trimming hoặc winsorization of the data.

Quan trọng nhất, cần nhớ rằng correlation không hàm ý causation. Dù hai biến có correlation cao đến đâu, biến này không gây ra biến kia theo nghĩa là các giá trị nhất định của một biến dẫn đến sự xuất hiện của các giá trị nhất định của biến còn lại.

Ngoài ra, đối với mọi loại visualization, bao gồm scatter plots, cần cẩn thận không đưa ra các causal judgments dựa trên dữ liệu mà dữ liệu có thể có hoặc không hỗ trợ.

Spurious correlation được dùng để chỉ:

• correlation giữa hai biến phát sinh từ các association ngẫu nhiên trong một tập dữ liệu nhất định;

• correlation được tạo ra do computation, trong đó mỗi biến trong hai biến được kết hợp với một biến thứ ba; và

• correlation giữa hai biến không xuất phát từ direct association mà từ association của chúng với một biến thứ ba.

Một ví dụ về accidental association là doanh số bán lẻ hằng tháng của bia, rượu vang và rượu mạnh tại Mỹ cùng với mức carbon dioxide trong khí quyển từ năm 2000 đến năm 2018. Chúng được phát hiện có correlation là 0.824, cho thấy positive association giữa chúng. Nhưng dường như không có lý do nào giải thích tại sao điều này lại xảy ra.

Để minh họa loại spurious correlation thứ hai, hai independent variables có thể có quan hệ với nhau khi mỗi biến được chia cho một biến thứ ba. Một ví dụ có thể là cross-sectional sample của dividend yields và total asset values của các công ty. Mặc dù có thể có rất ít correlation giữa hai biến, việc chia cả hai cho market capitalization có thể dẫn đến correlation tăng lên.

Một ví dụ về loại spurious correlation thứ ba bao gồm positive correlation giữa chiều cao và lượng kiến thức từ vựng mà một người sở hữu, trong khi các mối quan hệ thực sự là giữa tuổi và chiều cao, cũng như giữa tuổi và vốn từ vựng.

Professional investors cần thận trọng khi đưa ra investment decisions dựa trên các biến có correlation cao. Spurious correlations có thể dẫn đến các investment decisions có vẻ sinh lời nhưng thực tế sẽ không như vậy.

Một vấn đề khác là correlation không phải là tất cả những gì mô tả dữ liệu. Có một case study gọi là Anscombe’s Quartet trong Example 7, trong đó các đồ thị khác biệt có thể được xây dựng bằng các biến có means, standard deviations và correlations tương tự nhau.

Các thước đo thống kê của Asset Returns

VÍ DỤ 7

Bộ tứ Anscombe

Francis Anscombe, một nhà thống kê người Anh, đã tạo ra các bộ dữ liệu để cho thấy tại sao việc chỉ xem xét các summary statistics (mean, standard deviation và correlation) là không đủ để mô tả dữ liệu. Bốn bộ dữ liệu đã được tạo ra (bộ I, II, III và IV), bao gồm hai biến X và Y, với các đặc điểm sau:

• Các giá trị X trong mỗi dataset giống nhau về mean và standard deviation (9.00, 3.32).

• Các giá trị Y trong mỗi dataset giống nhau về mean và standard deviation (7.50, 2.03).

• Các giá trị X và Y trong mỗi dataset có cùng correlation coefficient là 0.82.

Bảng 27: Summary Statistics

||I||I|I|I|II|I|V| |Quan sát|X|Y|X|Y|X|Y|X|Y| |N|11|11|11|11|11|11|11|11| |Mean|9.00|7.50|9.00|7.50|9.00|7.50|9.00|7.50| |Standard deviation|3.32|2.03|3.32|2.03|3.32|2.03|3.32|2.03| |Correlation|0.|82|0.8|2|0.|82|0.|82|

Trái ngược với các giá trị X giống hệt nhau trong I, II và III của bốn bộ dữ liệu, các giá trị Y lại khá khác nhau. Bốn dataset là:

I. Một mối quan hệ gần như tuyến tính giữa X và Y.

II. Một mối quan hệ curvilinear giữa X và Y.

III. Một mối quan hệ tuyến tính nhưng có một outlier.

IV. X không đổi ngoại trừ một outlier.

Thể hiện bộ tứ này bằng trực quan,

Bảng 28: Thể hiện trực quan

I II Biến Y Biến Y 14 14 12 12 10 10 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 5 10 15 0 5 10 15 Biến X Biến X III IV Biến Y Biến Y 14 14 12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 5 10 15 0 5 10 15 20 Biến X Biến X

Vậy, thông điệp ở đây là gì? Average và standard deviation của hai biến cùng với correlation coefficient của chúng không giải thích được mọi thứ.

Nguồn: Francis John Anscombe, “Graphs in Statistical Analysis,” American Statistician 27 (tháng 2 năm 1973): 17-21.

1. Correlation là 0.34 đối với hai biến X và Y có thể được giải thích phù hợp nhất là:

   • A. những thay đổi trong X gây ra những thay đổi trong Y.

   • B. một mối liên hệ cùng chiều giữa X và Y.

   • C. một mối quan hệ curvilinear giữa X và Y.

   • Lời giải:

• B là đáp án đúng. Correlation coefficient là dương và do đó cả hai chuỗi biến động theo cùng một hướng.

2. Trong các lựa chọn dưới đây, lựa chọn nào là một vấn đề có thể xảy ra khi diễn giải correlation coefficient?

   • A. Outliers

   • B. Spurious correlation

• C. Cả outliers và spurious correlation

• Lời giải:

C là đáp án đúng. Outliers và spurious correlation là những vấn đề có thể xảy ra khi diễn giải correlation coefficient.

Trả lời câu hỏi 3 và 4 bằng cách sử dụng dữ liệu trong Bảng 29.

Một analyst đang nghiên cứu bản chất của sự biến động trong returns của stock portfolio mà cô quản lý so với bond index và real estate index. Dữ liệu thu thập được về returns trong các tháng vừa qua như sau:

Bảng 29: Dữ liệu hằng tháng về Returns và Indexes

Returns (%) Bond Index Real Estate Index Portfolio Returns Returns Returns Arithmetic 5.5 3.2 7.8 average Standard 8.2 3.4 10.3 deviation Portfolio Returns and Bond Index Portfolio Returns and Real Estate Returns Index Returns Covariance 18.9 −55.9

3. Correlation giữa portfolio returns và bond index returns CÓ KHẢ NĂNG CAO NHẤT là:

   • A. âm.

   • B. bằng 0.

   • C. dương.

   • Lời giải:

C là đáp án đúng. Vì covariance giữa hai biến này là dương, correlation coefficient cũng là dương.

4. Không cần tính correlation coefficient, correlation của portfolio returns và real estate index returns là:

   • A. âm.

   • B. bằng 0.

   • C. dương.

   • Lời giải:

Lựa chọn A là đáp án đúng. Điều này là do correlation coefficient là âm vì covariance là âm.

5. Hãy xem xét hai biến A và B. Trong trường hợp biến A có mean là −0.56, trong khi biến B có mean là 0.23 và có covariance dương giữa hai biến, correlation giữa hai biến là:

   • A. âm.

B. bằng 0.

• C.* Dương. Lời giải: Lựa chọn C là đáp án đúng. Correlation coefficient phải là dương vì covariance là dương, bất kể mean của các biến có âm hay không.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: With regard to the results of the analysis of the market capitalizations of 100 firms, the following holds true:

Thông tin sau đây liên quan đến câu hỏi 1-5

Xét các kết quả phân tích market capitalizations của 100 công ty, điều sau đây là đúng:

Bảng 1: Market Capitalization của mẫu gồm 100 công ty

EN: 1. The tenth percentile corresponds to observations in bin(s):

||Tỷ lệ tích lũy|Market Capita billio|lization (euro ns)|Số lượng| |Bin|của mẫu (%)|Lower Bound|Upper Bound|Quan sát|

1. Percentile thứ mười tương ứng với các quan sát trong (các) bin nào:

• EN: A. 2.

• A. 2.

• EN: B. 1 and 2.

• B. 1 và 2.

• EN: C. 19 and 20.

EN: 2. The second quintile corresponds to observations in bin(s):

• C. 19 và 20.

2. Quintile thứ hai tương ứng với các quan sát trong (các) bin nào:

• EN: A. 8.

• A. 8.

• EN: B. 5, 6, 7, and 8.

• B. 5, 6, 7 và 8.

• EN: C. 6, 7, 8, 9, and 10.

EN: 3. The fourth quartile corresponds to observations in bin(s):

• C. 6, 7, 8, 9 và 10.

3. Quartile thứ tư tương ứng với các quan sát trong (các) bin nào:

• EN: A. 17.

• A. 17.

• EN: B. 17, 18, 19, and 20.

• B. 17, 18, 19 và 20.

• EN: C. 16, 17, 18, 19, and 20.

EN: 4. The median is closest to:

• C. 16, 17, 18, 19 và 20.

4. Median gần nhất với:

• EN: A. 44.86.

• A. 44.86.

• EN: B. 46.88.

• B. 46.88.

• EN: C. 49.40.

EN: 5. The interquartile range is closest to:

• C. 49.40.

5. Interquartile range gần nhất với:

• EN: A. 20.76.

• A. 20.76.

• EN: B. 23.62.

• B. 23.62.

• EN: C. 25.52.

EN: * 6. Exhibit 1 below provides the annual MSCI World Index total returns for 10 years.*

• C. 25.52.

• 6.* Bảng 1 dưới đây cung cấp total returns hằng năm của MSCI World Index trong 10 năm.

Bảng 1: MSCI World Index Returns

EN: For the fourth quintile return of MSCI World Index, it is:

Đối với fourth quintile return của MSCI World Index, giá trị đó là:

• EN: A. 20.65 percent.

EN: B. 26.03 percent.

• A. 20.65%.

B. 26.03%.

• EN: C. 27.37 percent.

• C. 27.37%.

EN: A fund has experienced the following over the last 10 years:

Thông tin sau đây liên quan đến câu hỏi 7-9

Một fund đã có kết quả sau trong 10 năm gần nhất:

Bảng 1: Performance trong 10 năm

EN: * 7. The standard deviation of returns over the last 10 years of the fund is:*

• 7.* Standard deviation của returns của fund trong 10 năm gần nhất là:

  • EN: A. 2.40 percent.

  • A. 2.40%.

  • EN: B. 2.53 percent.

  • B. 2.53%.

  • EN: C. 7.58 percent.

EN: * 8. If the target return is 2%, the target semideviation of the returns over the 10 years is:*

• C. 7.58%.

• 8.* Nếu target return là 2%, target semideviation của returns trong 10 năm là:

  • EN: A. 1.42 percent.

  • A. 1.42%.

  • EN: B. 1.50 percent.

  • B. 1.50%.

  • EN: C. 2.01 percent.

EN: * 9. Suppose that the mean and standard deviation of monthly return are provided for three industry sectors as per Exhibit 2:*

• C. 2.01%.

• 9.* Giả sử mean và standard deviation của monthly return được cung cấp cho ba industry sectors theo Bảng 2:

Bảng 2: Mean Monthly Return và Standard Deviations

EN: According to the coefficient of variation (CV), the riskiest industry is:

Theo coefficient of variation (CV), ngành có rủi ro cao nhất là:

• EN: A. utilities.

• A. utilities.

• EN: B. materials.

• B. materials.

• EN: C. industrials.

• C. industrials.

EN: 1. B is correct. The tenth percentile means the lowest 10 percent of observations in the sample. These observations are located in bins 1 and 2.

LỜI GIẢI

EN: 2. B is correct. The second quintile means the second 20 percent of observations. First 20 percent are contained in bins 1-4. Second 20 percent of observations are contained in bins 5-8.

1. B là đáp án đúng. Percentile thứ mười có nghĩa là 10% quan sát thấp nhất trong mẫu. Các quan sát này nằm trong bin 1 và 2.

EN: 3. C is correct. Quartile includes 25 percent of observations. Last 25 percent of 20 bins are 16-20.

2. B là đáp án đúng. Quintile thứ hai có nghĩa là 20% quan sát thứ hai. 20% đầu tiên nằm trong các bin 1-4. 20% quan sát thứ hai nằm trong các bin 5-8.

EN: 4. B is correct. The center of 20 bins is determined as market capitalization of the largest observation in the 10th bin and the smallest observation in the 11th bin, which equals 46.88.

3. C là đáp án đúng. Quartile bao gồm 25% quan sát. 25% cuối cùng của 20 bin là 16-20.

EN: 5. B is the correct answer. Interquartile range is the difference between the minimum value in the second quartile and maximum value in the third quartile. Minimum value in the second quartile is 34.72, while the maximum value in the third quartile is 58.34. Hence, the interquartile range is 58.34 − 34.72 = 23.62.

4. B là đáp án đúng. Trung tâm của 20 bin được xác định là market capitalization của quan sát lớn nhất trong bin thứ 10 và quan sát nhỏ nhất trong bin thứ 11, bằng 46.88.

EN: 6. B is the correct answer. Quintiles divide a data set into five parts; the fourth quintile is located at a point where 80% of the values lie below it. Fourth quintile can be equated with 80th percentile. To calculate the y th percentile ( Py ), we need to locate it first. The location ( Ly ) of the y th percentile in an ordered array of n items can be calculated with the help of the following formula: Ly = ( n + 1) × ( y /100). In the current problem, n = 10 and y = 80%, hence,

5. B là đáp án đúng. Interquartile range là chênh lệch giữa giá trị nhỏ nhất trong quartile thứ hai và giá trị lớn nhất trong quartile thứ ba. Giá trị nhỏ nhất trong quartile thứ hai là 34.72, trong khi giá trị lớn nhất trong quartile thứ ba là 58.34. Do đó, interquartile range là 58.34 − 34.72 = 23.62.

6. B là đáp án đúng. Quintiles chia một data set thành năm phần; fourth quintile nằm tại một điểm mà 80% các giá trị nằm bên dưới nó. Fourth quintile có thể được xem tương đương với 80th percentile. Để tính percentile thứ y ( Py ), trước tiên chúng ta cần xác định vị trí của nó. Vị trí ( Ly ) của percentile thứ y trong một ordered array gồm n phần tử có thể được tính bằng công thức sau: Ly = ( n + 1) × ( y /100). Trong bài toán hiện tại, n = 10 và y = 80%, do đó,

EN: If the values are in ascending order (−40.33%, −5.02%, 9.57%, 10.02%, 12.34%, 15.25%, 16.54%, 20.65%, 27.37%, and 30.79%), then the 8.8th value will lie between 8th and 9th values, 20.65% and 27.37% respectively. With linear interpolation, P80 = X 8 + ( Ly − 8) × ( X 9 − X 8),

L 80 = (10 + 1) × (80/100) = 11 × 0.8 = 8.8.

Nếu các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần (−40.33%, −5.02%, 9.57%, 10.02%, 12.34%, 15.25%, 16.54%, 20.65%, 27.37% và 30.79%), thì giá trị thứ 8.8 sẽ nằm giữa giá trị thứ 8 và thứ 9, lần lượt là 20.65% và 27.37%. Với linear interpolation, P80 = X 8 + ( Ly − 8) × ( X 9 − X 8),

P 80 = 20.65 + (8.8 − 8) × (27.37 − 20.65)

EN: 7. B is the correct answer. Standard deviation of return of the fund can be calculated as follows:

= 26.03%.

7. B là đáp án đúng. Standard deviation của return của fund có thể được tính như sau:

EN: The standard deviation is the square root of the sum of the squares of deviations, divided by n − 1:

Standard deviation là căn bậc hai của tổng bình phương các độ lệch, chia cho n − 1:

EN: 8. Answer B is correct. The target semideviation of the returns for the past 10 years with a target of 2 percent is given by:

0.005750 s = √( 10 − 1) = 2.5276%.

8. Đáp án B là đúng. Target semideviation của returns trong 10 năm qua với target là 2% được tính như sau:

EN: Target semideviation = Square root of [Sum of squares of deviations from target / n − 1]

Target semideviation = Căn bậc hai của [Tổng bình phương các độ lệch so với target / n − 1]

EN: 9. Answer B is correct. The CV ratio is the ratio of the standard deviation to the mean, where a larger CV ratio indicates more risk per unit of return.

0.002025 s Target = √( 10 − 1) = 1.5%.

9. Đáp án B là đúng. CV ratio là tỷ lệ giữa standard deviation và mean, trong đó CV ratio lớn hơn cho thấy rủi ro nhiều hơn trên mỗi đơn vị return.