Giá trị thời gian của tiền trong tài chính

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

• tính toán và diễn giải present value (PV) của fixed income và equity securities dựa trên expected future cash flows
• tính toán và diễn giải implied return của fixed income securities, required return và implied growth của equity securities dựa trên present value (PV) và cash flows
• thảo luận về nguyên tắc cash flow additivity, ý nghĩa của nguyên tắc này đối với điều kiện no-arbitrage và việc sử dụng nguyên tắc này để tính toán implied forward interest rates, implied forward exchange rates và option values

Learning module này sử dụng các khái niệm về time value of money trong việc định giá financial securities. Bài học đầu tiên sẽ trình bày việc tính toán PV của expected future cash flows từ bonds và stocks. Bài học thứ hai sẽ thảo luận về việc tính toán implied bond và stock returns dựa trên current prices của chúng. Implied growth rates liên quan đến current stock prices cũng sẽ được tính toán và diễn giải. Bài học cuối cùng sẽ nói về cash flow additivity, một khái niệm thiết yếu giúp bảo đảm rằng giá của financial securities không mang lại cho nhà đầu tư riskless profits. Module này đề cập đến một khái niệm then chốt trong việc định giá financial assets.

• Giá của một bond bằng tổng PV của coupon payments và par value của bond. Discount bonds có mức giá chỉ phản ánh PV của par values của chúng.

• Giá trị của một stock nên phản ánh tổng PV của expected future dividend payments của nó vĩnh viễn.

• Các phương pháp được sử dụng để định giá stocks được phân loại dựa trên mô hình anticipated growth trong tương lai của dividends, bao gồm (1) zero growth, (2) constant growth hoặc (3) variable growth trong dividend payments.

• Nếu biết giá của bond, implied return của bond có thể được tính dựa trên giá của bond và expected future cash flows của nó.

• required return của stock có thể được tính khi biết giá của stock và thông tin về future dividends của stock.

• Dividend growth rate của stock có thể được ước tính từ giá của stock và thông tin về expected future dividends và required returns của nó.

• Nguyên tắc cash flow additivity cho biết rằng khi định giá nhiều cash flow streams, có thể so sánh các cash flow streams đó, với điều kiện các cash flows xảy ra tại cùng một thời điểm.

• Việc sử dụng cash flow additivity cung cấp một cách để kiểm tra rằng giá của các assets tương tự nhau về mặt kinh tế là bằng nhau, ngay cả khi cash flow streams của các assets này có thể khác nhau.

• Có một số ví dụ về ứng dụng cash flow additivity để minh họa cách no-arbitrage pricing hoạt động:

tính toán và diễn giải present value (PV) của fixed-income và equity instruments dựa trên expected future cash flows

Thời điểm của cash flows liên quan đến financial instruments ảnh hưởng đến giá trị của chúng vì cash flows nhận được sớm hơn có giá trị cao hơn cash flows nhận được muộn hơn. Time value of money phản ánh sự đánh đổi giữa việc nhận cash flows ngay bây giờ hoặc tại một thời điểm trong tương lai và tạo cơ hội để so sánh current hoặc present value của một hoặc nhiều cash flows với giá trị của các cash flows khác tại nhiều thời điểm khác nhau trong tương lai. Sự khác biệt này được xác định dựa trên một discount rate r phù hợp, như đã được thảo luận trong learning module trước. Discount rate phụ thuộc vào loại financial instrument cũng như thời điểm và mức độ không chắc chắn của expected cash flows.

Nhìn chung, mối quan hệ giữa current hoặc present value ( PV ) và future value ( FV ) của cash flow có thể được biểu diễn như sau:

Trong trường hợp số kỳ compounding t rất lớn, tức là t →∞, chúng ta có continuous compounding của cash flow như sau:

Mặt khác, các phép tính present value có thể được viết lại bằng thuật ngữ future value như sau:

Công thức continuous time tương đương với Equation 3 như sau: PV t = FV e-rt.

Fixed-Income Instruments và Time Value of Money

Fixed income securities là debt securities, chẳng hạn như bond hoặc loan, trong đó có một thỏa thuận theo đó issuer vay tiền từ investor để đổi lấy các cam kết hoàn trả trong tương lai. Discount rate đối với fixed income securities là một interest rate, và rate of return của bonds/loans được gọi là yield-to-maturity (YTM).

Có ba loại cash flows đối với fixed income securities, bao gồm

• Discount: Nhà đầu tư ban đầu mua một bond hoặc một loan với một khoản chi phí ( PV ), và sau đó khi maturity, họ nhận được một cash flow dưới dạng principal ( FV ). Phần chênh lệch ( FV − PV ) là interest mà nhà đầu tư thu được từ khoản đầu tư.

• Periodic Interest: Nhà đầu tư ban đầu mua một bond hoặc một loan với một khoản chi phí ( PV ), và trong suốt investment period, họ nhận được periodic interest payments ( PMT ), và cuối cùng nhận được principal ( FV ) và interest tại maturity.

• Uniform Payments: Nhà đầu tư thực hiện khoản đầu tư ban đầu ( PV ), và trong suốt investment period, họ nhận được các payments ( A ) đồng đều, bao gồm cả interest và principal repayment.

Discount Instruments

Sơ đồ discount cash flow như sau:

Exhibit 1: Discount Bond Cash Flows

FV ( FV-PV ) biểu thị FV interest trong suốt investment period PV Nhà đầu tư nhận khoản thanh toán principal cuối cùng của bond tại maturity 5.0 năm Nhà đầu tư thanh toán giá trị discounted của bond tại thời điểm bắt đầu PV

Công thức PV của một discount bond thanh toán principal amount ( FV ) tại thời điểm t dựa trên market discount rate r mỗi kỳ như sau:

PV (Discount Bond) = FVt / (1 + r )t . (5)

Khoản thu nhập duy nhất của nhà đầu tư trong trường hợp này là chênh lệch giữa giá ( PV ) mà họ đã trả và total principal ( FV ) mà họ sẽ nhận được vào cuối investment period. Loại bond này được gọi là zero-coupon bond vì trong trường hợp này không có coupons nào được phát hành.

VÍ DỤ 1

Discount Bonds trong điều kiện Positive và Negative Interest Rates

Mặc dù hầu hết các chính phủ phát hành fixed coupon bonds, trong đó principal được thanh toán vào cuối kỳ, nhiều chính phủ như US, UK hoặc India bán riêng các interest hoặc principal cash flows được tách ra từ các bonds đó và phát hành chúng dưới dạng discount bonds. Hãy xem xét một principal cash flow sẽ được thanh toán sau 20 năm của một government bond do Republic of India phát hành khi yield-to-maturity là 6.70%. Ở đây, chúng ta xem xét một interest rate được compounded hằng năm, tức là t trong Equation 5 là số năm cho đến khi cash flow phát sinh.

1. Nhà đầu tư dự kiến sẽ phải trả bao nhiêu cho discount bond như vậy, dựa trên principal là INR100?

Lời giải:

INR27.33

Chúng ta tính PV bằng Equation 5 dựa trên r = 6.70%, t = 20 và FV20 = INR100:

PV = INR100 / (1 + 0.067)20 = INR27.33.

Ngoài ra, chúng ta có thể tính bằng cách sử dụng hàm PV trong Excel hoặc Google Sheets:

PV (rate, nper, pmt, FV, type),

trong đó:

rate = market discount rate mỗi kỳ,

nper = number of periods,

pmt = periodic coupon payment (đối với zero-coupon bond, giá trị này bằng 0).

FV = future hoặc face value,

và type = payment vào cuối (0) hoặc đầu (1) mỗi kỳ.

Do là một cash outflow (investment cost), kết quả của Excel đối với present value mang dấu âm. Do đó,

PV = (27.33) = PV (0.067,20,0,100,0) .

Mặc dù principal amount (FV) vẫn không đổi ở mức INR100, cost (hoặc price) (PV) thay đổi theo thời gian cũng như theo những thay đổi của interest rates.

2. Giả sử interest rates không đổi, cost (hoặc price) (PV) của bond sẽ là bao nhiêu sau ba năm?

INR33.21

Tính PV bằng cách thay t = 17 vào phương trình trước đó từ Equation 5:

PV = INR100 / (1 + 0.067)17 = INR33.21.

Mức tăng giá INR5.88 khi r không đổi hàm ý rằng có một khoản interest ngầm được tạo ra trong khoảng thời gian ba năm. Với một positive interest rate, PV thường tăng lên (hoặc tích lũy) theo thời gian để tiến đến FV khi t tiến gần hơn về 0.

3. Giá cũng sẽ thay đổi do sự thay đổi của interest rate. Giả sử sau khi mua bond, giá ngay lập tức giảm xuống INR22.68224 cho mỗi INR100 face value của bond. Khi đó, implied interest rate của discount bond này là bao nhiêu?

Lời giải:

7.70%

Trong trường hợp này, chúng ta có thể tính r từ Equation 5 như sau:

INR22.68224 = INR100 / (1 + r )20 .

Biến đổi Equation 5 cho chúng ta:

r = 7.70% = (100/22.68224)1/20 − 1.

Một phương pháp khác là sử dụng hàm RATE của MS Excel hoặc Google Sheets:

= RATE (nper, pmt, PV, FV, type, guess) sử dụng cùng các đối số như trên, nhưng bổ sung đối số guess như một estimation parameter tùy chọn, giá trị này nên là một số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, với giá trị mặc định là 0.1, tức là,

7.70% = RATE (20,0,-22.68224,100,0,0.1).

Như đã thấy ở trên, r tăng 100 basis points (1.00%) dẫn đến giá giảm INR4.65, điều này làm nổi bật inverse correlation giữa hai yếu tố này.

4. Hãy xem xét một trường hợp khác về negative interest rates đối với bonds. Vào tháng 7 năm 2016, Germany trở thành quốc gia đầu tiên trong eurozone phát hành sovereign debt của mình dưới dạng 10-year bonds với negative interest rates. Đối với German Government Bond có annual YTM là -0.05% tại thời điểm phát hành, hãy xác định PV của bond tương ứng với mỗi EUR100 face value (FV) tại thời điểm phát hành.

Lời giải:

EUR100.50

Xác định giá trị PV tại r = -0.05%, t =10 và FV10 là EUR100 bằng Equation 1:

PV = EUR100.50 = EUR100 / (1 − 0.0005)10 ,

hoặc

PV = (100.50) = PV (−0.0005,10,0,100,0) .

Khi phát hành, bond này có premium, điều này hàm ý rằng người mua bond tại thời điểm phát hành trả nhiều hơn EUR0.50 so với future value sẽ nhận được tại maturity, tức principal.

5. Sau sáu năm, khi inflation của Germany đã tăng lên mức chưa từng có và các nhà đầu tư đang yêu cầu nominal rate of return cao hơn, giả sử German government bond trong câu 4 đang được giao dịch với giá ( PV ) là EUR95.72 cho mỗi EUR100 principal. YTM của bond này là bao nhiêu? Lời giải:

   • 1.10%

• Equation 5 được sử dụng để giải r từ PV là 95.72, FV là 100 và t = 4, cho kết quả:

EUR95.72 = EUR100 / (1 + r )4 ; r = 1.10%, hoặc 1.10% = RATE (4,0,-95.72,100,0,0.1) .

So với giá tăng dần của một discount bond, đối với một premium bond, giá sẽ giảm (hoặc amortize) theo thời gian về future value là EUR100 tại maturity.

Coupon Instrument

Một mô hình periodic cash flows cho interest payments cùng với principal repayment tại maturity được minh họa trong Exhibit 2. Ở đây, tất cả periodic cash flows đều bằng nhau và xảy ra mỗi nửa năm.

Exhibit 2: Coupon Bond Cash Flows

PMT + FV FV Nhà đầu tư nhận coupon cuối cùng và principal payment tại maturity PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 năm Nhà đầu tư thanh toán present value của bond tại thời điểm bắt đầu PV

Định giá bond là sự mở rộng đơn giản của việc discount một cash flow trong một kỳ thành một công thức định giá bond tổng quát, có thể được sử dụng để tìm giá của một bond dựa trên market discount rate tại một coupon date như sau:

• PV(Coupon Bond)

= PMT 1 / (1 + r )1 + PMT 2 / (1 + r )2 + … + ( PMTN + FVN ) / (1 + r )N . (6)

VÍ DỤ 2

Trái phiếu coupon hằng năm của Cộng hòa Hy Lạp

Trong giai đoạn đỉnh điểm của đại dịch COVID-19, Chính phủ Hy Lạp đã phát hành một trái phiếu có coupon rate hằng năm là 2% và kỳ hạn bảy năm.

1. Giá phát hành của trái phiếu là bao nhiêu nếu YTM quan sát được tại thời điểm phát hành là 2.00%?

Lời giải:

EUR100

Giải PV bằng Equation 6 với PMTi = EUR2, r = 2.00%, và FV = EUR100:

PV = EUR100

Bài tập này có thể được giải bằng công thức PV của Excel hoặc Google Sheets đã đề cập ở trên ( PV (0.02,7,2,100,0)). Điều này là do giá phát hành bằng face value vì trái phiếu được phát hành at par.

Present value của từng cash flow có thể được tính bằng Equation 5 dưới đây. Đối với cash flow EUR102 sau bảy năm, present value của nó sẽ là:

PV = EUR88.80 = EUR102/(1.02)7 .

Present value của toàn bộ cash flows của trái phiếu được trình bày trong bảng dưới đây:

|Năm/Kỳ|0|1|2|3|4|5|6|7| |FV||2|2|2|2|2|2|102| |PV|100.00|1.96|1.92|1.88|1.85|1.81|1.78|88.80|

2. Bây giờ, giả sử rằng đúng hai năm sau, sự gia tăng đột ngột của inflation rate tại Eurozone đã khiến giá trái phiếu Hy Lạp giảm xuống còn EUR93.091 (trên mỗi EUR100 principal). YTM mà các nhà đầu tư kỳ vọng trong những trường hợp này sẽ là bao nhiêu?

Lời giải:

3.532%

Trong trường hợp này, r được giải bằng Equation 6 dưới đây, trong đó PV = 93.091, tức là:

Chúng ta có thể giải r bằng cách sử dụng hàm RATE của Microsoft Excel (5,2,93.091,100,0,0.1), cho kết quả bằng 3.532%. Nhà đầu tư nắm giữ fixed coupon bonds sẽ chịu capital loss nếu họ kỳ vọng một YTM cao.

Interest rate r dùng để discount toàn bộ cash flows trong Equation 6 là YTM của trái phiếu, và YTM này luôn được biểu thị theo năm. Cần lưu ý rằng một số trái phiếu được phát hành bởi các public và private corporations và trả interest nửa năm một lần. Trong Example 3, chúng ta sẽ xem xét trái phiếu của Republic of India, trái phiếu đã được stripped trong một ví dụ đơn giản hóa trước đó.

VÍ DỤ 3

Trái phiếu coupon nửa năm của Republic of India

Hãy xem xét trái phiếu chính phủ Republic of India có kỳ hạn 20 năm, từ đó discount bond trong Example 1 đã được stripped. Trái phiếu được phát hành với coupon rate 6.70% và YTM 6.70% theo năm, đồng thời có coupon payments nửa năm một lần.

1. Giải giá của trái phiếu tại thời điểm phát hành.

Lời giải:

INR100

Vì coupon period là nửa năm, PMT sẽ là INR 3.35(=6.70/2) đối với face value INR 100, trong khi periodic discount rate là 3.35%(=6.70%/2).

PV = 3.35/(1.0335) + 3.35/(1.0335)2 + … + 3.35/(1.0335)39 + 103.35/ (1.0335)40 .

Như đã thảo luận trong Example 2, coupon rate bằng YTM, vì vậy chúng ta kỳ vọng PV của trái phiếu này tại ngày phát hành là INR 100.

2. Nếu YTM tăng lên 7.70%, giá trái phiếu sẽ là bao nhiêu?

Lời giải:

INR89.88

Giá trị của PV có thể được giải ra là INR89.88 bằng Equation 6, giả định r = 3.85% (=7.70/2), hoặc bằng cách sử dụng hàm PV của Microsoft Excel hoặc Google Sheets (PV (0.0385,40,3.35,100,0) ). Ba cash flows đầu tiên và ba cash flows cuối cùng như sau:

||Năm|0|0.5|1|1.5|19|19.5|20| |r|Kỳ|0|1|2|3|38|39|40| ||FV||3.35|3.35|3.35|3.35|3.35|103.35| |6.70%|PV|100.00|3.24|3.14|3.03|0.96|0.93|27.66| |7.70%|PV|89.88|3.23|3.11|2.99|0.80|0.77|22.81|

3. Giải giá discount bond liên quan đến khoản hoàn trả principal duy nhất sau 20 năm bằng cách sử dụng Example 1, trong đó YTM = 6.70, và việc discount được thực hiện nửa năm một lần.

Lời giải: INR26.77. Sử dụng Equation 5:

PV ( FV 40) = INR26.77 = 100 / (1.0335)40 .

Discount nửa năm một lần trong 40 kỳ cho ra giá trị PV ( FV40 ) là 26.77, thấp hơn PV ban đầu là 27.33 trong trường hợp 20 kỳ theo năm của Example 1 (vì 1/(1+ r )t > 1/(1+ r /2)2t bất cứ khi nào r ≥ 0).

Perpetual bond là dạng ít phổ biến hơn của coupon bond, trong đó không có maturity date được quy định. Phần lớn perpetual bonds được các công ty phát hành như một nguồn financing tương tự equity, với một số redemption options. Giả sử N →∞ trong Equation 6, biểu thức này được đơn giản hóa thành công thức sau đây cho present value của một perpetuity (hoặc perpetuity có fixed periodic cash flow không thể được redeemed):

PV (Perpetual Bond) = PMT / r .

(7)

VÍ DỤ 4

Trái phiếu perpetual của KB Financial

Năm 2020, KB Financial (công ty mẹ của Kookmin Bank) đã phát hành perpetual bonds trị giá KRW325 tỷ với quarterly coupons 3.30%.

1. Hãy xác định YTM của trái phiếu nếu market price là KRW97.03 (trên mỗi KRW100).

Lời giải:

3.40%

Tính r từ Equation 7 bằng cách sử dụng PV = KRW97.03 và quarterly payment (hoặc PMT) là KRW0.825 (= (3.30% × KRW100)/4):

KRW97.03 = KRW0.825 / r ;

r = 0.85% mỗi kỳ, hoặc 3.40% (=0.85% × 4) trên annualized basis.

Công cụ Annuity

Một số ví dụ về fixed-income securities bao gồm level payments, tức là có cả interest và principal payments cho đến maturity, là các fully amortized loans như mortgages, cũng như chuỗi fixed income gồm các periodic payments trong một số kỳ xác định, được gọi là annuity. Exhibit 3 đưa ra một ví dụ về level payments mỗi tháng dựa trên mortgage.

Exhibit 3: Mortgage Cash Flows

Nhà đầu tư nhận khoản thanh toán định kỳ cố định là tổng của interest và principal payments INT INT INT INT INT INT INT INT INT INT PRN PRN PRN PRN PRN PRN PRN PRN PRN PRN 1 2 3 4 5 ... 356 357 358 359 360 Tháng Người vay nhận khoản vay mortgage khi bắt đầu

PV

Chúng ta có thể tính cash flow của một periodic annuity ( A ) đến hạn vào cuối mỗi kỳ tương ứng như sau:

trong đó:

• A = periodic cash flow,

• r = market interest rate mỗi kỳ,

• PV = present value hoặc principal amount của loan hoặc bond, và

• t = số kỳ thanh toán.

VÍ DỤ 5

Mortgage Cash Flows

Một nhà đầu tư cần một mortgage loan fixed rate trong 30 năm để chi trả 80% tổng chi phí mua một tòa nhà trị giá USD1,000,000.

1. Khoản thanh toán hằng tháng mà nhà đầu tư phải trả, với annual mortgage rate là 5.25%.

Lời giải:

Giải A bằng Equation 8 với r = 0.4375% (= 5.25%/12), t là 360, và PV là USD800,000 (=80% × USD1,000,000):

__________________1 −( 1 + 0.4375%)−360 .

360 monthly payments sẽ bao gồm cả principal và interest.

2. Principal và interest của hai monthly payments đầu tiên được phân bổ như thế nào?

Lời giải:

Interest của tháng đầu tiên là USD3,500 và principal là USD917.63
Interest của tháng thứ hai là USD3,495.99 và principal là USD921.64

Tháng 1:

Interest: USD3,500 = USD800,000 × 0.4375% (= PV0 × r )

Principal Amortization: USD4,417.63 − USD3,500 = USD917.63 Remaining Principal ( PV1 ): USD799,082.37 = USD800,000 − USD917.63

Tháng 2:

Interest: USD3,495.99 = USD799,082.37 × 0.4375% (= PV1 × r ) Principal Amortization: USD4,417.63 − USD3,495.99 = USD921.64 Remaining Principal ( PV2 ): USD798,160.73 = USD799,082.37 − USD921.64

Mặc dù mortgage payment không thay đổi, tỷ trọng interest trong mỗi khoản thanh toán giảm dần theo thời gian, trong khi tỷ trọng principal repayment tăng lên.

Bảng dưới đây cho thấy ba monthly payments đầu tiên và ba monthly payments cuối cùng.

|Tháng|Tổng khoản thanh toán hằng tháng|Khoản thanh toán Inter- est hằng tháng|Khoản hoàn trả Principal hằng tháng|Principal còn lại| |1|$4,417.63|$ 3,500.00|$917.63|$ 799,082.37| |2|$4,417.63|$ 3,495.99|$921.64|$ 798,160.73| |3|$4,417.63|$ 3,491.95|$925.68|$ 797,235.05| |…||||| |358|$4,417.63|$ 57.48|$4,360.15|$ 8,777.61| |359|$4,417.63|$ 38.40|$4,379.23|$ 4,398.39| |360|$4,417.63|$ 19.24|$4,398.39|$ 0.00|

Equity Instruments và Time Value of Money

Equity investments bao gồm preferred stocks hoặc common stocks. Equity investments là những khoản đầu tư mà nhà đầu tư sở hữu ownership position trong một business firm. Nhà đầu tư nhận toàn bộ discretionary income flows dưới dạng dividends. Trái ngược với fixed income investments, equity investments không có maturity period; chúng có tính perpetual và tồn tại trong một khoảng thời gian không xác định cho đến khi business firm giải thể. Valuation của một share được thực hiện bằng cách discount dividend income trong tương lai bằng required rate of return ( r ).

Các giả định nền tảng phổ biến khi xem xét equity valuation bằng dividends làm nguồn cash flow tuân theo một trong ba approaches sau:

• Dividends không đổi: Nhà đầu tư chi một khoản tiền ( PV ) để mua preferred stock hoặc common stock và nhận lại một dividend không đổi ( D ).

• Dividend Growth Rate không đổi: Nhà đầu tư chi một khoản tiền ( PV ) để mua một stock và nhận dividend đầu tiên sau một kỳ ( Dt+1 ), dividend này tăng với constant growth rate ( g ).

• Dividend Growth Rate thay đổi: Nhà đầu tư chi một khoản tiền ( PV ) để mua một stock và nhận dividend đầu tiên sau một kỳ ( Dt+1 ), dividend này tăng với tốc độ thay đổi khi firm trải qua các giai đoạn khác nhau, bắt đầu từ high growth stage đến slow growth stage.

Trường hợp đơn giản nhất, trong đó dividends do firm chi trả luôn không đổi, được minh họa trong Exhibit 4.

Time Value of Money trong Finance

Exhibit 4: Equity Cash Flows với Constant Dividends

Constant Dividend D D D D D được trả ngay bây giờ 1 2 3 4 5 Năm Nhà đầu tư trả giá của stock ngay bây giờ Present Value

Giá của một share stock, được dự kiến trả constant periodic dividend mãi mãi, là một infinite series, có thể được rút gọn thành công thức present value của một perpetuity đã trình bày ở trên. Điều này rất giống với giá trị của một perpetual bond mà chúng ta đã thấy trước đó. Cụ thể, valuation trong Equation 7:

VÍ DỤ 6

Constant Dividend Cash Flows

Shipline PLC là một corporation chi trả constant annual dividends là GBP1.50, được kỳ vọng sẽ kéo dài mãi mãi.

1. Giá kỳ vọng của stock Shipline sẽ là bao nhiêu nếu required rate of return của các shareholders là 15%?

Lời giải:

• GBP10

Tính PV trong Equation 10, trong đó D là GBP1.50 và rate of return mỗi kỳ r là 15%:

PV = GBP10.00 = GBP1.50/0.15.

Ngoài ra, một forecasting method phổ biến khác giả định rằng dividends sẽ tăng với một tốc độ ổn định (g) mãi mãi, như được minh họa trong Exhibit 5 dưới đây.

Exhibit 5: Equity Cash Flows với Constant Dividend Growth

D ( 1 + g ) 5 D ( 1 + g ) 4 D ( 1 + g ) 3 D ( 1 + g ) 2 Dividend tăng với tốc độ g D ( 1 + g ) mãi mãi 1 2 3 4 5 Năm Nhà đầu tư trả giá share hôm nay PV

Nếu dividends tăng với tốc độ g trong mỗi kỳ và được chi trả vào cuối mỗi kỳ, thì dividend tiếp theo (ở kỳ t + 1) có thể được biểu diễn như sau:

Nếu dividend cash flows tăng với tốc độ g mãi mãi, thì Equation 10 có thể được sửa đổi như sau:

được đơn giản hóa thành:

trong đó r – g > 0.

Thay vì dividend growth không đổi, chúng ta cũng có thể giả định dividend growth thay đổi. Điều này được sử dụng, chẳng hạn, để dự báo stock price của một firm được kỳ vọng có cash flows tăng trưởng nhanh trong một số kỳ, trước khi tăng trưởng chậm lại. Ở dạng đơn giản nhất, sự thay đổi trong dividend growth có thể được biểu diễn bằng two-period growth model, như minh họa trong Exhibit 6 dưới đây.

Time Value of Money trong Finance

Exhibit 6: Equity Cash Flows với Two-Stage Dividend Growth

D ( 1 + gs ) 3 ( 1 + g1 ) 2 D ( 1 + gs ) 3 ( 1 + g1 ) D ( 1 + gs ) 3 D ( 1 + gs ) 2 Dividend tăng với tốc độ D ( 1 + gs ) g1 mãi mãi 1 2 3 4 5 Năm Nhà đầu tư trả giá share hôm nay PV g gs g1 Năm

Ví dụ, Exhibit 6 mô tả một tình huống trong đó short-term dividend growth gs diễn ra trong ba năm đầu tiên, trước khi slow growth gl diễn ra mãi mãi (trong đó gs > gl ). Nếu chúng ta khái quát hóa short-term growth thành n kỳ trước infinite growth của gl , thì Equation 14 có thể được sửa đổi như sau:

trong đó E ( St + n ) biểu thị terminal value của stock sau n kỳ và được xác định như sau:

Stock price của Shipline PLC sẽ được xem xét lại nhằm xác định cách giá share kỳ vọng của một company bị ảnh hưởng khi đưa ra các giả định về constant dividend, constant growth in dividend và changing growth in dividend.

VÍ DỤ 7

Constant and Changing Dividend Growth

Trước đây, với giả định cổ tức là £1.50 mỗi năm và required rate of return là 15%, người ta đã xác định rằng giá cổ phiếu kỳ vọng của Shipline PLC là £10.00. Bây giờ, thay vào đó, hãy giả định rằng một investment analyst kỳ vọng Shipline sẽ tăng cổ tức hằng năm của mình thêm 6% vô thời hạn.

1. Giá cổ phiếu kỳ vọng của Shipline theo giả định trên sẽ là bao nhiêu? Lời giải:

GBP17.67

Sử dụng Equation 14, giải PV bằng cách dùng Dt+1 là GBP1.59 (=GBP1.50 × (1 + 0.06)), r là 15%, và g là 6%:

PV = GBP1.59 / (15% − 6%) = GBP17.67.

Lưu ý rằng, khi g tăng, mẫu số ( r - g ) giảm; do đó, PV tăng.

2. Tuy nhiên, giá cổ phiếu kỳ vọng của Shipline sẽ là bao nhiêu khi chúng ta giả định rằng cổ tức ban đầu sẽ tăng với tốc độ 6% trong giai đoạn ba năm và sau đó tăng trưởng ổn định 2%?

Lời giải:

GBP13.05

Lời giải cho giá cổ phiếu kỳ vọng (PV) của Shipline có thể được xác định bằng cách sử dụng Equations 15 - 17 và Dt = 1.5, gs = 6%, n = 3, r = 15%, và gl = 2% như sau:

Trước hết, chúng ta phải tính present value của các khoản cổ tức phát sinh từ tốc độ tăng trưởng cao 6% trong ba năm đầu theo biểu thức thứ nhất. Tiếp theo, chúng ta phải tính present value của các khoản cổ tức với tốc độ tăng trưởng thấp 2% trong khoảng thời gian vô hạn. Tổng của hai phép tính này cho chúng ta giá cổ phiếu kỳ vọng.

Bước 1 Chúng ta có thể giải phần thứ nhất để được GBP3.832 bằng cách có các dòng cổ tức của giai đoạn tăng trưởng ban đầu như sau trong bảng tính dưới đây:

Bước 2 Như được trình bày trong Equation 17, biểu thức thứ hai được rút gọn như sau: ( 1 + E ( Sr 4) )3; with_E(S_4 ) = r − D 4 gl.

Chúng ta có thể giải D4 là GBP1.823 (=1.787 × 1.02 = D3 (1 + gl )) và biểu thức thứ hai là GBP9.22 như sau:

Bước 3 Do đó, dựa trên các phép tính ở trên, giá cổ phiếu kỳ vọng của Shipline sẽ là GBP13.05 (tức là 3.83+9.22).

Dưới đây là sensitivity analysis về giá cổ phiếu kỳ vọng (PV) của Shipline theo long term growth rate (gl) sau ba năm cổ tức tăng trưởng 6%:

tính toán và diễn giải implied return của fixed-income instruments và required return cùng implied growth của equity instruments dựa trên present value (PV) và cash flows

Lesson 1 tập trung vào sự đánh đổi giữa giá trị của cash flows ở hiện tại so với trong tương lai đối với một số fixed income và equity securities. Có thể có một trường hợp trên thị trường mà cả present value và future value của một số instruments và cash flows đều được những người tham gia thị trường biết đến. Điều này hàm ý rằng có thể tính implied return hoặc growth rate của cash flows, dựa trên present value và các đặc điểm khác của cash flows. Do đó, việc tính implied return/growth giúp biết được market expectation được phản ánh trong market price.

Implied Return for Fixed-Income Instruments

Fixed income securities có các khoản thanh toán interest và principal được xác định trước. Khi chúng ta biết present value hoặc giá và giả định rằng tất cả future cash flows được nhận như kỳ vọng, khi đó chúng ta có discount rate (r) hoặc yield-to-maturity ( YTM ).

Đối với discount bond/instrument, bạn nên lưu ý rằng nhà đầu tư chỉ nhận được một cash flow principal ( FV ) tại maturity, trong đó ( FV − PV ) là return được hàm ý trong bond/instrument, như được minh họa trong Exhibit 7 dưới đây:

Exhibit 7: Discount Bond Implied Return

FV Khoản thanh toán principal của bond tại maturity 5.0 Years Giá trị bond đã được discount tại thời điểm ban đầu (1+r) t PV

Có thể biến đổi Equation 5 ở trên để xác định implied return trên instrument cho mỗi kỳ ( t ).

VÍ DỤ 8

Discount Bond Implied Return

Từ Example 1, vào năm 2016, các nhà đầu tư mua German 10-year government bonds phải chịu chi phí EUR100.50 trên mỗi EUR100 principal và một YTM âm là −0.05% mỗi năm. Nghĩa là, German 10-year government bond ban đầu được phát hành trên thị trường với return âm đối với nhà đầu tư. Sáu năm sau, giá của các bond này ( PV ) là EUR95.72 trên mỗi EUR100 principal.

1. implied return trên bond này đối với nhà đầu tư trong sáu năm là bao nhiêu?

Lời giải:

−0.81%

annualized return ( r ) của nhà đầu tư có thể được giải từ Equation 18 với PV = 100.5, FV = 95.72, và t = 6 như sau:

Cần lưu ý rằng một nhà đầu tư kỳ vọng nhận được EUR100 sau 10 năm bằng cách mua discount bond tại thời điểm phát hành sẽ có implied return dưới dạng YTM tại thời điểm phát hành, bằng −0.05%. Tuy nhiên, việc giá giảm EUR4.78 trong sáu năm đầu dẫn đến annualized return là −0.81%, thấp hơn YTM ban đầu là −0.05%. Rõ ràng, negative return có liên hệ với khả năng giá ( PV ) của discount bond giảm do inflation tăng.

2. expected return của một nhà đầu tư mua discount bond tại EUR95.72 và giữ đến maturity sau bốn năm là bao nhiêu?

Lời giải:

1.10%

Trong trường hợp này, giá hiện tại 95.72 trong Equation 18 trở thành PV , trong khi FV vẫn là 100 với t = 4:

Rõ ràng r là 1.10% bằng với YTM trong bốn năm còn lại được xác định trong Example 1. total returns của hai nhà đầu tư bằng với YTM ban đầu là −0.05% như sau:

Điều này được minh họa bằng sơ đồ sau:

100 95.72 –0.8% 10.0 Years 1.10% 95.72 100.5 6 năm đầu 4 năm cuối Annualized Return: Annualized Return: –0.8% 1.10% Full 10y Annualized Return (YTM) –0.05%

Trong khi cash flows từ discount bonds chỉ phát sinh tại thời điểm maturity, các fixed-income securities có trả interest định kỳ tạo ra cash flows trong suốt vòng đời của bond cho đến maturity. market discount rate được hàm ý duy nhất áp dụng cho tất cả cash flows tại mọi thời điểm là YTM, một constant discount rate cho tất cả promised cash flows như được minh họa đối với coupon bond trong Exhibit 8.

Exhibit 8: Coupon Bond Implied Return

PMT + FV FV Khoản thanh toán coupon cuối cùng và principal tại maturity YTM = IRR PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Years Present value của bond tại thời điểm ban đầu PV

Theo định nghĩa của mình, YTM hàm ý rằng nhà đầu tư kỳ vọng nhận được tất cả promised cash flows cho đến maturity và có thể reinvest toàn bộ cash nhận được tại cùng YTM. Đối với coupon bonds, điều này có nghĩa là các khoản thanh toán interest được thực hiện định kỳ, trong khi đối với các level payment instruments như mortgage, điều này hàm ý khả năng đầu tư cả interest và principal đã được amortize tại cùng YTM. Tương tự như các internal rates of return khác, YTM không thể được xác định bằng đại số; tuy nhiên, nó có thể được xác định theo phương pháp lặp bằng spreadsheet hoặc financial calculator theo quy trình sau:

PV(Coupon Bond)

trong đó FV bằng principal của bond và N là số kỳ cho đến maturity.

Việc tính Yield To Maturity trong Microsoft Excel / Google Sheets đối với bond instruments có thể được thực hiện bằng cách áp dụng công thức Yield cho bonds có periodic coupon payments và hoàn trả toàn bộ principal vào maturity date:

=YIELD(settlement, maturity, rate, pr, redemption, frequency, [basis])

trong đó:

settlement = ngày settlement theo định dạng DATE function;

maturity = ngày maturity theo định dạng DATE function;

rate = semi-annual (hoặc periodic) coupon rate;

Giá trên mỗi một trăm đơn vị face value =

Redemption = Value of future payments;

number of coupons issued per year = frequency; và

[basis] = phương pháp đếm ngày, thường là 0 đối với US Treasuries (30/360).

Example 9 trình bày implicit return từ các khoản đầu tư vào fixed income securities.

VÍ DỤ 9

Greek Coupon Bond Implied Return

Từ Example 2 ở trên, hãy nhớ rằng Greek government bonds kỳ hạn 7 năm được phát hành vào năm 2020 với annual coupon là 2.00% được báo giá EUR93.091 trên mỗi EUR100 face value sau đó hai năm.

1. implied return trong two-year holding period sẽ là bao nhiêu đối với một nhà đầu tư có thể reinvest interest payments tại YTM ban đầu là 2.00%?

Lời giải:

−1.445%

Một lần nữa, theo Equation 18 ở trên như chúng ta đã làm đối với discount bonds, bước đầu tiên trong phép tính là xác định future value ( FV ) của bond sau hai năm bao gồm future price là 93.091 và tất cả cash flows cho đến thời điểm đó đã được reinvest:

FV2 = PMT 1(1 + r ) + PMT2 + PV2

FV2 = 97.13 = 2 × (1.02) + 2 + 93.091

negative annualized return này phát sinh vì có capital loss là EUR6.91 (=100 - 93.091), lớn hơn tổng periodic interest và reinvested proceeds là EUR4.04 (=2 × (1.02) + 2). Việc giá của bond giảm xuống EUR93.091 vào năm 2022 được cho là do Eurozone inflation tăng trong giai đoạn này.

Đối với một nhà đầu tư mua coupon bond 2% vào năm 2022 với giá EUR93.091, hãy nhớ rằng chúng ta đã xác định r (YTM) là 3.532%. Điều quan trọng cần lưu ý là phép tính YTM trong trường hợp này giả định rằng tất cả cash flows sẽ được reinvest tại 3.532% cho đến maturity. Phép tính YTM luôn giả định rằng bond được giữ đến maturity.

100 93.091 –1.445% 2 2 2 2 2 2 2 Years 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 3.532% 93.091 100

Equity Instruments, Implied Return, and Implied Growth

Như đã đề cập trong phần thảo luận ở trên về việc tính present value của một equity investment, giá của một cổ phiếu không chỉ tính đến required return mà còn cả growth trong cash flows. Từ giả định ban đầu của chúng ta về constant growth của dividends bằng cách sử dụng Equation 14 ở trên, công thức có thể được biến đổi thành:

Vế trái của phương trình trên chỉ đơn thuần thể hiện chênh lệch giữa required return và constant growth rate, trong khi vế phải thể hiện dividend yield của cổ phiếu dựa trên expected dividends trong kỳ tiếp theo. Do đó, implied return của một cổ phiếu dựa trên expected dividend yield và growth của nó có thể được trình bày trong Equation 21 dưới đây:

Điều này đơn giản có nghĩa là, với giả định dividends của một cổ phiếu tăng trưởng với tốc độ không đổi mãi mãi, implied return của cổ phiếu tương đương với expected dividend yield cộng với constant growth rate.

Mặt khác, có thể sẽ hữu ích khi biết implied growth rate của một cổ phiếu, được trình bày trong Equation 22 dưới đây:

Giả sử next expected dividend của một cổ phiếu đã được biết, thì implied growth của nó có thể được tính bằng cách lấy required return trừ đi expected dividend yield.

VÍ DỤ 10

Implied Return and Growth for a Stock

Giá mỗi cổ phiếu của Coca-Cola Company là $63.00, và annual dividend trên mỗi cổ phiếu được kỳ vọng cho năm tới là$1.76.

1. Giả sử annual dividend growth rate của Coke sẽ duy trì không đổi ở mức 4% vĩnh viễn, hãy xác định expected return mà các nhà đầu tư yêu cầu.

6.79% Theo Equation 21

required return của cổ phiếu Coca Cola sẽ là 6.79% dựa trên giá của cổ phiếu, expected dividend và expected growth rate của dividend. Các future returns mà nhà đầu tư kỳ vọng từ cổ phiếu của họ dựa trên các giả định về giá hiện tại, expected future cash flows và growth rate của cash flows. Bây giờ, thay vì xác định required return, giả sử chúng ta phải tính growth rate của dividends. Trong kịch bản này, cần đưa ra giả định về future returns của cổ phiếu, như đã thực hiện trong câu hỏi 2.

2. Nếu analyst giả định rằng expected return của cổ phiếu Coke là 7%, dividend growth rate của Coke sẽ là bao nhiêu?

Lời giải:

4.21% Sử dụng Equation 22,

implied dividend growth rate của cổ phiếu Coca-Cola là 4.21%, có tính đến expected rate of return, stock price và expected dividend của cổ phiếu. Vì expected rate of return được sử dụng trong bài này tương đối cao hơn so với câu hỏi 1, implied dividend growth rate sẽ tăng lên để biện minh cho mức giá USD63.00 của cổ phiếu Coca-Cola.

Khi so sánh share prices của các cổ phiếu, thay vì so sánh trực tiếp equity share prices bằng currency, người ta thường ưu tiên so sánh tỷ lệ giữa share price và earnings per share, được gọi là price to earnings ratio.

Price to earnings ratio là một phương pháp relative valuation, kiểm soát một yếu tố đã biết khác là earnings per share và cả currency nhằm tạo ra các đối tượng so sánh tốt hơn. Nó cũng có thể được hiểu tương tự như giá trên mỗi mét vuông của bất động sản.

Một cổ phiếu có price-to-earnings ratio bằng 20 có nghĩa là cổ phiếu được bán với mức giá bằng 20 lần earnings per share và do đó đắt hơn một cổ phiếu có price to earnings ratio bằng 10.

Price to earnings ratio không chỉ được áp dụng cho individual stocks mà còn cho stock indexes, chẳng hạn như S&P 500, FTSE 100 hoặc Nikkei 225. Trong trường hợp này, giá trị stock index được chia cho weighted average earnings per share của các thành phần trong index. Sau này trong khóa học, chúng ta sẽ thảo luận chủ đề này chi tiết hơn; nhưng tại thời điểm này, chúng ta có thể sử dụng price to earnings ratio liên hệ với mối quan hệ đã đề cập trước đó giữa stock price ( PV ) và expected future cash flows để đưa ra một số nhận xét. Cụ thể, nhắc lại Equation 14,

chúng ta có thể chia cả hai vế cho Et , earnings per share của kỳ t , để được

Trong khi vế trái của Equation 23 là price to earnings ratio, số hạng đầu tiên trong tử số ở vế phải là tỷ lệ earnings được chi trả cho stockholders dưới dạng dividends, được gọi là dividend payout ratio.

Với price to earnings ratio và dividend payout ratio, có thể giải để tìm required return hoặc implied constant dividend growth rate (giả sử một trong các biến này đã được biết). required return hữu ích trong việc hiểu kỳ vọng của nhà đầu tư về future returns của cổ phiếu. implied constant growth rate có thể được so sánh với actual growth rate của công ty và/hoặc growth rate do analyst ước tính. Ví dụ, khi implied constant growth rate là 10% và analyst chỉ kỳ vọng doanh nghiệp tăng trưởng 5%, analyst có thể xem cổ phiếu là overvalued.

Cần lưu ý rằng trong ứng dụng thực tế, cái gọi là forward price to earnings ratio, hay tỷ lệ giữa share price và ước tính earnings per share của kỳ tiếp theo (t + 1), thường được sử dụng. Theo đó, chúng ta có thể điều chỉnh phương trình trên như sau:

Mối quan hệ giữa forward price-to-earnings ratio với expected dividend payout ratio cao hơn, expected growth cao hơn và required return thể hiện rõ từ Equation 24.

VÍ DỤ 11

Implied Return and Growth from Price to Earnings Ratio

1. Giả sử forward price to earnings ratio của cổ phiếu Coca-Cola là 28, expected dividend payout ratio là 70%, và dividend được kỳ vọng tăng trưởng với tốc độ không đổi 4% mỗi năm. Hãy tìm required return của cổ phiếu Coca-Cola.

Lời giải :

6.50% Sử dụng Equation 24,

Giải phương trình này theo r, ta được required return của Coca-Cola là 6.50%. Từ đáp án ở trên cho required return của cổ phiếu Coca-Cola, có thể thấy rõ rằng nếu giả định required return của cổ phiếu là 6.50% thay vì giải để tìm required return, thì implied growth rate sẽ được tìm thấy là 4%, và đáp án này được đưa ra trong câu hỏi 2.

2. Giả sử forward price to earnings ratio của cổ phiếu Coca-Cola là 28, expected dividend payout ratio là 70%, và required return của cổ phiếu là 6.50%. Hãy tính implied growth rate.

Lời giải:

4.00% Theo Equation 24,

_ 28 =0.70 0.065− g.

Giải phương trình trên theo g cho kết quả growth rate là 4.00%. Cụ thể, return của cổ phiếu sẽ cao hơn growth của dividends 2.5 percentage points (tức là 6.50% - 4.00%).

Phân tích trong các phần trước cũng đúng tương tự đối với stock indices.

3. Một stock index có forward P/E ratio là 19. expected dividend payout ratio của index là 60%. Giả sử equity investors có expected index rate of return là 8%. implied growth rate của index là bao nhiêu?

Lời giải:

4.84% Theo Equation 24:

Do đó, kỳ vọng của nhà đầu tư về dividend growth của index trong tương lai là 4.84%. Mặt khác, có thể giả định rằng kỳ vọng của nhà đầu tư về growth rate là 4.84% và tính required return bằng cách giải theo r . Trong trường hợp này, required return là 8%. Vì vậy, forward price-to-earnings ratio của index là 19 và expected dividend payout ratio là 60% hàm ý kỳ vọng của nhà đầu tư về return 8% và growth 4.84%. Cụ thể, required return cao hơn dividend growth 3.16% (tức là 8% − 4.84%).

Ý chính có thể rút ra từ các kết quả trên là giá của equities, dù được biểu thị đơn thuần là giá hay price-to-earnings ratio, đều chứa đựng các kỳ vọng đồng thời về returns và growth. Kỳ vọng của nhà đầu tư về returns và growth có liên hệ với nhau thông qua khoảng chênh lệch giữa r và g . Ví dụ, trường hợp Coca-Cola với price-to-earnings ratio bằng 28 hàm ý rằng nhà đầu tư phải kỳ vọng return của cổ phiếu Coca-Cola cao hơn growth rate của nó 2.5%.

4. Giả sử cổ phiếu Coca-Cola đang được giao dịch với forward price to earnings ratio là 28 và expected dividend payout ratio là 70%. Người ta tin rằng return của cổ phiếu Coca-Cola là 9% và dividends của nó sẽ tăng 4.50% mỗi năm vô thời hạn. Hãy đề xuất một chiến lược cho nhà đầu tư muốn nắm giữ vị thế đối với cổ phiếu Coca-Cola.

Lời giải:

Nhà đầu tư nên thực hiện short position đối với cổ phiếu Coca-Cola. Sử dụng các tham số trên trong Equation 24, ta có bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức này có được vì forward price-to-earnings ratio của Coca-Cola cao hơn rất nhiều so với 15.56 được tính từ phương trình. Do đó, kỳ vọng của nhà đầu tư về cash flow growth và return mâu thuẫn với forward price to earnings ratio của cổ phiếu Coca-Cola. Nhà đầu tư nên thực hiện short position đối với cổ phiếu vì giá của nó phải giảm, do price-to-earnings ratio hiện tại cao hơn rất nhiều so với fundamentals. Như đã chỉ ra ở kết quả của câu hỏi 1 và 2, kỳ vọng về required return và growth rate phải thỏa mãn r - g = 2.50%.

Cash flow additivity principle, ý nghĩa của nguyên tắc này trong bối cảnh no-arbitrage condition, và việc áp dụng nguyên tắc để tính implied forward interest rate, implied forward exchange rate và options value

Các trade-offs liên quan đến time value of money giữa current và future cash flows có thể được mở rộng hơn từ việc đánh giá future cash flows theo current terms hoặc xác định implied rate of return của một instrument bằng cách sử dụng cash flow additivity principle. Nguyên tắc này khẳng định rằng present value của một chuỗi future cash flows, được quy về một ngày chung, bằng tổng present values của các cash flows. Nguyên tắc này có ý nghĩa quan trọng trong việc bảo đảm market prices thỏa mãn no-arbitrage condition, vốn bảo đảm không tồn tại cơ hội kiếm risk-free profit khi có transaction costs. Hãy xem xét một ví dụ đơn giản để minh họa khái niệm cash flow additivity principle.

VÍ DỤ 12

Basic Cash Flow Additivity

Giả sử bạn có GBP100 và có hai chiến lược để lựa chọn với các cash flow streams như minh họa trong Exhibit 9.

Exhibit 9: Two Investment Strategies

Thời gian t =0 t =1 t =2 t =3 Chiến lược 1.) GBP100 CF(1)1: GBP45 CF(1)2: GBP45 CF(1)3: GBP45 Chiến lược 2.) GBP100 CF(2)1: GBP60 CF(2)2: GBP40 CF(2)3: GBP32.35

Bạn yêu cầu rate of return là 10% cho cả hai investment strategies.

1. Hãy đề xuất nên lựa chọn investment strategy nào.

Lời giải:

Để đề xuất strategy tốt hơn giữa hai strategies, cần xác định strategy nào có present value cao hơn, đồng thời xác định liệu một trong hai strategies có present value dương hay không. Chúng ta có thể thực hiện điều này bằng cách xác định present values của cả hai strategies và kiểm tra xem ít nhất một trong số chúng có present value dương hay không, đồng thời so sánh present values của chúng, hoặc bằng cách tạo một chuỗi cash flows mới bằng cách lấy chênh lệch giữa cash flows của hai strategies. Cả hai phương pháp đều sẽ cho cùng một giá trị số để so sánh hai strategies, và đây chính là cash flow additivity principle. Trước tiên, hãy xác định chuỗi cash flows bằng cách lấy chênh lệch giữa hai strategies như minh họa dưới đây:

Thời gian t =0 t =1 t =2 t =3 Chiến lược 2.) - Chiến lược 1.) CF(2-1)1: GBP0 CF(2-1)1: GBP15 CF(2-1)2: (GBP5) CF(2-1)3: (GBP12.65) GBP100

Kết quả của phân tích này là hai strategies tương đương về mặt kinh tế; do đó, bạn không nên ưu tiên strategy nào hơn strategy còn lại. Chúng ta cần xác định liệu hai strategies này có giá trị kinh tế hay không. Để làm điều này, trước tiên hãy tính present value của từng strategy riêng biệt.

Cả hai investment strategies đều có giá trị về mặt kinh tế vì cash flows của chúng có present value dương. Vì present values bằng nhau, chênh lệch giữa present value của strategy 2 và present value của strategy 1 bằng 0 (tức là 11.91 - 11.91). Cả hai strategies có giá trị như nhau và do đó có thể lựa chọn bất kỳ strategy nào.

Trong các phần bên dưới, chúng ta minh họa cash flow additivity principle bằng ba economic scenarios và tiếp tục minh họa no-arbitrage principle bằng cách so sánh hai strategies tương đương về mặt kinh tế.

Implied Forward Rates Using Cash Flow Additivity

Hai discount bonds có risk-free maturity periods được trình bày dưới đây:

One-year bond: r 1 = 2.50%

Two-year bond: r 2 = 3.50%

Một risk-neutral investor muốn kiếm tiền từ GBP100 của mình trong investment period hai năm sẽ có hai strategies sau:

Investment strategy 1: Đầu tư hôm nay trong hai năm với annualized interest rate là 3.50%. Bằng cách sử dụng Equation 5, chúng ta có thể tìm future value của khoản đầu tư sau hai năm ( FV2 ) như sau:

GBP100 = FV 2 / (1+ r 2)2 ;

FV 2 = GBP107.12.

Investment strategy 2: Đầu tư hôm nay trong một năm với interest rate là 2.50% và đầu tư lại sau một năm thêm một năm nữa với interest rate là F 1,1 (one-year forward rate after one year).

Hai investment strategies ở trên có thể được thể hiện trong Exhibit 10:

Exhibit 10: Implied Forward Rate Example

Thời gian t =0 t =1 t =2 Chiến lược 1.) lãi suất 1 năm Implied forward rate F1,1 GBP100 GBP102.5 GBP102.5(1+ F 1,1) GBP100(1+r1) Chiến lược 2.) lãi suất 2 năm GBP100 GBP107.12 GBP100(1+r2) 2

Dựa trên nguyên tắc cash flow additivity, sự bàng quan của nhà đầu tư risk-neutral giữa chiến lược 1 và 2 là có thể nếu điều kiện sau được thỏa mãn:

FV 2 = PV 0×(1+ r 2)2 = PV 0×(1 + r 1)(1+ F 1,1), (25)

GBP107.12 = GBP100 (1.025)(1+ F 1,1), và

F 1,1 = 4.51%.

Có thể viết lại Equation 25 theo cách sau:

• F 1,1 = (1 + r 2)2 /(1 + r 1) – 1.

Bây giờ, để chứng minh rằng forward interest rate trong trường hợp này sẽ là 4.51%, chúng ta cần xét ví dụ về một nhà đầu tư có lựa chọn kiếm được lãi suất 5% sau một năm. Cơ hội arbitrage dưới đây sẽ cho thấy cách nhà đầu tư có thể kiếm được lợi nhuận không rủi ro:

• 1.* Vay GBP100 trong hai năm với lãi suất 3.50% để thanh toán GBP107.12 vào cuối hai năm.

• 2.* Cho vay GBP100 trong năm đầu tiên với lãi suất 2.50% và năm thứ hai với lãi suất 5%, qua đó nhận được GBP107.63 vào cuối hai năm.

• 3.* Kết hợp hai chiến lược này tạo ra lợi nhuận không rủi ro GBP0.51 trong hai năm mà không cần đầu tư bất kỳ khoản nào.

Các chiến lược trên chứng minh rằng forward rates phải luôn được thiết lập theo cách không cho phép nhà đầu tư đạt được arbitrage gains không rủi ro trên thị trường tài chính. Chứng minh này dựa trên việc so sánh hai chiến lược có hiệu quả kinh tế tương đương (vay trong hai năm theo two-year rate và vay trong hai giai đoạn một năm theo hai mức lãi suất khác nhau). One-year forward interest rate F 1,1 được định nghĩa là break-even rate của việc tái đầu tư sau một năm.

EXAMPLE 13

Forward Interest Rate Changes

Vào tháng 6 năm 2022, US Federal Reserve đã gây bất ngờ cho các thị trường tài chính bằng việc tăng target interest rate thêm 75 bps, cao hơn dự kiến, và báo hiệu các đợt tăng interest rate tiếp theo do lạm phát tăng nhanh. Figure 11 minh họa giá của one-year và two-year strips của US Treasuries với mệnh giá USD100 vào ngày cuối cùng của tháng 5 năm 2022 và sau quyết định của Fed vào tháng 6:

Exhibit 11: One- and Two-Year US Treasury Strip Prices

1. Dựa trên Figure 11 ở trên, hãy tính sự thay đổi của breakeven one-year reinvestment sau một năm ( F1,1 ).

Solution:

62 bps hoặc 0.62%

Ban đầu, chúng ta sử dụng Equation 18 để tìm từng discount rate r. Ví dụ, đối với two-year discount bond vào ngày 15 tháng 6:

Bảng dưới đây tóm tắt các discount bond rates:

Giải các forward rates tương ứng ( F 1,1) bằng cách biến đổi Equation 25: F 1,1 = (1+ r 2)2 /(1+ r 1) – 1.

F1,1 (31 May): F1,1 = 3.069% = (1 + 2.539%)2 /(1 + 2.012%) – 1. F1,1 (15 June): F1,1 = 3.689% = (1 + 3.177%)2 /(1 + 2.667%) – 1.

Trong khi giá trị lớn hơn của r1 và r2 vào giữa tháng 6 cho thấy nhà đầu tư đã phản ánh mức tăng lãi suất 75 bps vào discount rate, thì mức tăng 62 bps (hoặc 0.62%) của F1,1 thể hiện ước tính về mức interest rates có thể tăng thêm, xét đến thực tế rằng one-year nominal rate of return được áp dụng một năm kể từ bây giờ. Như bạn sẽ thấy trong biểu đồ bên dưới, biểu đồ so sánh r1, r2 và F1,1 từ ngày 31 tháng 5 đến ngày 15 tháng 6, F1,1 > r2.

Yield (%) 4.00% F1,1 r2 3.00% r1 F1,1 r2 2.00% r1 1.00% Kỳ hạn 1 2 3

Forward Exchange Rates Using No Arbitrage

Khái niệm cash flow additivity bây giờ sẽ được áp dụng trong một trường hợp kinh tế liên quan đến nhiều loại tiền tệ.

Giả sử bạn có USD1,000 muốn đầu tư trong thời hạn sáu tháng. Bạn đang xem xét một khoản đầu tư risk-free vào government bonds của Mỹ hoặc Nhật Bản trong sáu tháng. Giả sử thêm rằng spot exchange rate giữa JPY và USD là 134.40 (tức là JPY134.40 = USD1). Risk-free rate của Japanese yen trong sáu tháng là 0.05%, trong khi của US dollar là 2.00%.

Investment strategy 1: Đầu tư USD1,000 vào U.S. Treasury bill kỳ hạn sáu tháng

Đầu tư USD1,000 với US dollar-risk free interest rate 2.00% trong sáu tháng. Tại thời điểm t= 0.

Tại t = T sau sáu tháng: Nhận USD1,010.05 (= 1,000e(0.02 × 0.5) ). Investment strategy 2: Chuyển USD1,000 sang Japanese yen theo exchange rate hiện hành là 134.40, đầu tư vào Japanese Treasury bill kỳ hạn sáu tháng và chuyển số tiền này trở lại US dollars sau sáu tháng bằng cách sử dụng six-month forward exchange rate được thiết lập hôm nay là 133.096.

Tại t = 0: Chuyển USD1,000 thành JPY134,400. Cho vay JPY134,400 trên JPY money market với risk-free interest rate 0.05% trong sáu tháng.

Tại t = T sau sáu tháng: Nhận JPY loan proceeds là 134,433.60 (= 134,400e(0.0005 × 0.5) ). Chuyển JPY loan proceeds sang US dollars theo forward rate 133.096 để nhận USD1010.05 (=134,433.60/133.096).

Hai investment strategies này tương đương theo nghĩa là mỗi chiến lược đều yêu cầu khoản đầu tư ban đầu USD1000 tại t = 0 và mang lại USD1010.05 sau sáu tháng. Điểm chung giữa hai chiến lược này là six-month forward exchange rate 133.096 JPY/USD. Nếu six-month forward rate lớn hơn hoặc nhỏ hơn 133.096, thì sẽ tồn tại arbitrage opportunity đối với những người chuyển đổi từ Japanese yen sang US dollars. Exhibit 12 minh họa hai chiến lược này.

Exhibit 12: No-Arbitrage Condition in the Foreign Exchange Market

Đầu tư Cho vay USD1,000 với Chiến lược 1 USD1,000 rusd = rd =2.00% Nhận USD1,000e USD1,010.05 r d T =1,000e (0.02 × 0.5) Bắt đầu với Thời gian USD1,000 t =0 t = 6 tháng Đầu tư Bán USD Nhận Chiến lược 2 USD1,000 USD[134,433.60 × 1/ F o,( f /d) ( T )] phải bằng USD1,010.05 S o,( f /d) = 134.400 F o,( f /d) ( T ) = JPY134,433.60 = 133.096 USD1,010.05 Cho vay JPY134,400 với Nhận JPY134,400 rJPY = rf = 0.05% Nhận JPY134,400e JPY134,433.60 r f T = 134,400e (0.0005 × 0.5)

EXAMPLE 14

Foreign Exchange Forward Rates in a Changing Interest Rate Environment

Các central banks đã phản ứng khác nhau trước sự tăng vọt đột ngột của inflation rate vào năm 2022. Ví dụ, khi Fed tăng rates thêm 75 bps lên 1.75% vào tháng 6, Bank of England có lập trường ít quyết liệt hơn, tăng benchmark rate thêm 25 bps lên 1.25%. Exhibit 13 so sánh one-year US Treasury strip rates ( rUSD ) từ ví dụ trước với UK gilt strip rates ( rGBP) :

Exhibit 13: Comparison of US Treasury Strip Rates

1. Giả sử spot price của USD/GBP là 1.2602 (tức là 1.2602 USD đổi được 1.00 GBP), được quan sát vào ngày 31 tháng 5, không thay đổi, những thay đổi trong risk-free rates của US dollars và British pounds sẽ có tác động gì đến one-year USD/GBP forward rate?

Solution:

USD/GBP forward rate không có arbitrage tăng từ 1.2693 lên 1.2742. Giả sử nhà đầu tư có 1,000 British pounds để đầu tư vào one-year risk-free discount bond được định danh bằng British pounds hoặc US dollars.

Tính đến ngày 31 tháng 5:

Để có thể mua GBP1 sau một năm bằng domestic currency, số US dollars cần thiết phải có spot price tương đương với discounted future price.

Domestic Investment Strategy: Gửi 1,000 GBP với one-year British-pound risk-free rate 1.291% để nhận 1,012.99GBP (= 1,000e^(0.01291)) sau một năm.

Foreign Investment Strategy: Gửi GBP1,000 tại USD/GBP 1.2602 để chuyển thành USD1,260.20, số tiền này kiếm được 1,285.81USD (=1,260.20 e^(0.02012)) với one-year US dollar risk-free rate là 2.0

Tính đến ngày 15 tháng 6:

Domestic Strategy: Đầu tư GBP1,000 với one-year British pound risk-free rate 1.562% và nhận GBP1,015.74 (= 1,000e(0.01562)) sau một năm.

Foreign Strategy: Chuyển GBP1,000 theo tỷ giá 1.2602 và nhận USD1,260.20, khoản này nếu được đầu tư với one-year US-dollar risk-free rate 2.667% sẽ mang lại USD1,294.26 (=1,260.20 e(0.02667)) sau một năm.

USD/GBP forward rate không có arbitrage tính đến ngày 15 tháng 6 là 1.2742 (= USD1,294.26/GBP1,015.74).

Do đó, tính đến giữa tháng 6, người đồng ý chuyển US dollars sang British pounds sau một năm cần trả nhiều US dollars hơn (1.2742 thay vì 1.2693) cho GBP1 so với việc ký thỏa thuận vào cuối tháng 5. Nói cách khác, sự gia tăng lớn hơn của rUSD làm mở rộng interest rate differential (rUSD-rGBP), dẫn đến US dollar depreciation trên forward basis so với British pound trong giai đoạn này. Theo cách diễn đạt khác, kỳ vọng US dollar depreciation trên forward basis so với British pound đòi hỏi US dollar interest rate cao hơn để khiến nhà đầu tư quan tâm đến việc đầu tư vào US dollars thay vì British pounds.

Option Pricing Using Cash Flow Additivity

Hãy xét một asset có giá hiện tại là 40 Chinese yuan (tức là CNY40). Asset này có rủi ro vì trong kỳ tiếp theo, nó có thể tăng 40% và có giá CNY56 hoặc giảm 20% và có giá CNY32.

Nhà đầu tư dự định bán một contract trên asset, theo đó người mua contract có quyền mua asset cụ thể đó với giá CNY50 sau kỳ thời gian tiếp theo nhưng không có nghĩa vụ phải làm như vậy. Chúng ta có thể sử dụng lý thuyết cash flow additivity để định giá contract mà không có arbitrage risk.

Binomial tree diagram trong Exhibit 14 mô tả hai trạng thái tương lai có thể xảy ra của asset:

Exhibit 14: One-Period Binomial Tree for the Asset’s Price

S 1 u = CNY56 S 0 = CNY40 S 1 d = CNY32 0 thời gian T = 1

Giá trị contract trong cả hai trạng thái có thể xảy ra của asset được đưa ra dưới đây (xem Exhibit 15):

• Giá tăng: mức tăng 40% dẫn đến giá trị contract là CNY6 (=CNY56 – CNY50), vì contract holder sẽ mua asset với giá CNY50 và bán nó trên thị trường với giá CNY56.

• Giá giảm: mức giảm 20% dẫn đến giá trị contract bằng 0 (CNY0), vì contract holder sẽ không mua asset với giá CNY50 khi market price của nó là CNY32.

Exhibit 15: One-Period Binomial Tree for the Contract’s Price

c 1 u = CNY6 c 0 = ? c 1 d = CNY0 0 thời gian T = 1

Hãy xét tình huống của contract seller như sau:

• Tại t = 0, giá trị contract là c 0.

• Tại thời điểm t = 1, contract sẽ có giá trị hoặc là CNY6 (nếu asset value tăng lên CNY56) hoặc là CNY0 (nếu stock price giảm xuống CNY32).

Giá trị contract ban đầu c 0 chưa được biết và có thể được tìm bằng cách sử dụng cash flow additivity và no arbitrage pricing rules. Do đó, có thể tạo một risk-free portfolio, hoặc một portfolio có cùng giá trị trong cả hai kịch bản, bằng cách sử dụng giá trị của contract và underlying asset trong tương lai. Ví dụ, giả sử một nhà đầu tư tạo một portfolio tại thời điểm t = 0 bằng cách bán contract với giá c 0 và mua 0.25 cổ phiếu của asset. Portfolio này được gọi là replicating vì nó được xây dựng cụ thể để tạo ra một cash flow stream tương tự như của một risk-free asset. Khi đó, giá trị của portfolio V tại thời điểm t = 0 và tại t = 1 trong cả hai kịch bản như sau:

• V 0 = 0.25 × 40 – c 0,

• V 1_u_ = 0.25 ×56 – 6 = 8, và

• V 1_d_ = 0.25 × 32 – 0 = 8.

Như có thể thấy ở trên, giá trị của replicating portfolio là CNY8 bất kể giá của asset tăng hay giảm. Kết quả là portfolio này trở thành risk-free và có thể được discounted như một risk-free asset. Payoffs cho hai kịch bản được đưa ra trong Exhibit 16 bên dưới.

Exhibit 16: Call Option Replication

0.25S 1 u - c1 u 0.25S 0 - c 0 0.25S 1 d - c1 d 0 time T = 1

Để tìm c0, chúng ta cân bằng present value của replicating portfolio (0.25 × 40 − c0) với risk-free discounted future payoff là CNY8 trong mỗi kịch bản, như được trình bày trong Equation 5. Giả sử r bằng 5%:

Chúng ta xác định c0 bằng CNY2.38. Do đó, fair price mà bên bán hợp đồng nhận từ bên mua hợp đồng là CNY2.38.

Trong ví dụ trước, chúng ta giả định nhà đầu tư mua 0.25 đơn vị tài sản để cấu thành portfolio của mình. Phần tài sản underlying asset này được gọi là hedge ratio trong option pricing. Thực tế, ví dụ trước là một quy trình đơn giản hóa để xác định giá trị của call option (nội dung này sẽ được học ở phần sau của chương trình). Như thường lệ, chúng ta sử dụng cash flow additivity khi so sánh các kịch bản khác nhau để tính no-arbitrage price của financial instrument.

EXAMPLE 15

Put Option

Put option trao cho người nắm giữ quyền bán một cổ phiếu tại mức giá được xác định trước X. Giả sử X = CNY50, giá trị put option trong một kỳ (p1) có thể được xác định là Max(0, CNY50 − S1).

1. Xây dựng một risk-free portfolio dựa trên put option với 0.75 đơn vị underlying asset bằng cách sử dụng one-period binomial tree với cùng các mức giá sau một năm, initial stock price (S0) là CNY40 và discount rate 5%, sau đó giải put option price (p0).

Solution:

Lời giải:

One-period binomial tree model như sau:

S 1 u = CNY56 S 0 = CNY40 S 1 d = CNY32 0 time T = 1

Giá trị của put option trong hai kịch bản như sau:

• Giá tăng (p1__u): Mức tăng 40% dẫn đến giá trị put option bằng CNY0, vì người nắm giữ option sẽ không thực hiện quyền bán cổ phiếu tại exercise price.

• Giá giảm (p1__d): Mức giảm 20% dẫn đến giá trị put option bằng CNY18 (CNY50 - CNY32), vì người nắm giữ put option sẽ quyết định bán cổ phiếu có market price CNY32 tại exercise price CNY50.

P 1 u = CNY0 P 0 = ? P 1 d = CNY18 0 time T = 1

Vì giá trị của put option tăng khi stock price giảm, risk-free portfolio bao gồm việc mua cổ phiếu và mua put option. Giả sử tại t = 0, chúng ta bán một put option với giá _p_0 và mua 0.75 đơn vị cổ phiếu. Giá trị của risk-free portfolio tại t = 0 và t = 1 như sau:

• _V_0 = 0.75 _S_0 _+p_0,

■ V_1_u = 0.75 S_1_u + p_1_u, và ■ V_1_d = 0.75 S_1_d + p1_d_,

trong đó V1__u = V1__d.

Giá trị của risk-free portfolio sau một kỳ (V1 = 0.75 S1 + p1) trong hai kịch bản là:

• Giá tăng (V1__u): Giá trị portfolio là CNY42 (=(0.75 × CNY56) + CNY0)).

• Giá giảm (V1__d): Giá trị portfolio là CNY42 (=(0.75 × CNY32) + CNY18)).

Giải p0 bằng cách cân bằng giá trị của replicating portfolio (0.75 S0 + _p_0) với discounted value của payoff, với S0 là CNY40 và r là 5%:

V0 = 0.75 S0 +p0,

_ _p_0 =CNY 1.0542 − 0.75 (_CNY_40) .

Giải được p0 bằng CNY10. Put option price cao là do payoff của put option lớn hơn call option với các tham số của binomial model. Các yếu tố ảnh hưởng đến option price sẽ được thảo luận chi tiết ở các phần sau của chương trình.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: Grupo Ignacia issued 10-year corporate bonds two years ago. These bonds have an annual coupon rate of 10.7% paid semi-annually. The YTM on annual basis of Grupo Ignacia’s bonds is 11.6%. The price of Grupo Ignacia’s bonds per MXN100 par value is closest to:

• 1.* Grupo Ignacia đã phát hành corporate bonds kỳ hạn 10 năm cách đây hai năm. Các trái phiếu này có annual coupon rate 10.7%, được thanh toán semi-annually. YTM theo annual basis của trái phiếu Grupo Ignacia là 11.6%. Giá trái phiếu Grupo Ignacia trên mỗi MXN100 par value gần nhất là:

EN: A. MXN95.47.

• A. MXN95.47.

EN: B. MXN97.18.

• B. MXN97.18.

EN: C. MXN95.39.

C. MXN95.39.

EN: Grey Pebble Real Estate wishes to acquire a fully amortizing fixed-rate mortgage of 5 years with a loan equaling 75% of the cost of purchasing a residential building, which is NZD5 Million. The interest rate of the loan is 4.8%. The monthly payment for the mortgage will be closest to:

• 2. Grey Pebble Real Estate muốn mua một fully amortizing fixed-rate mortgage kỳ hạn 5 năm, với khoản vay bằng 75% chi phí mua một residential building trị giá NZD5 Million. Interest rate của khoản vay là 4.8%. Khoản thanh toán hàng tháng của mortgage gần nhất là:

EN: A. NZD70,424.

• A. NZD70,424.

EN: B. NZD93,899.

• B. NZD93,899.

EN: C. NZD71,781.

• C. NZD71,781.

EN: Mylandia Corp is known to distribute dividends among its stockholders annually, the last one having been CAD2.40. Mylandia analysts have forecasted a growing dividend payout by 3 percent per year forever. The required rate of return from Mylandia stock is 8 percent per annum. The expected stock price of Mylandia will be closest to:

• 3. Mylandia Corp được biết đến là công ty phân phối dividends cho stockholders hằng năm, dividend gần nhất là CAD2.40. Các analyst của Mylandia dự báo dividend payout sẽ tăng 3% mỗi năm vĩnh viễn. required rate of return của Mylandia stock là 8%/năm. expected stock price của Mylandia gần nhất là:

EN: A. CAD48.00.

• A. CAD48.00.

EN: B. CAD49.44.

• B. CAD49.44.

EN: C. CAD51.84.

• C. CAD51.84.

EN: It has been announced by Mylandia Corp that there will be a high cash flow generation in the coming 3 years, hence increasing its last dividend payout of CAD2.40 by 10 percent each for the next 3 years; after which the growth will be a steady 3 percent per annum. The rate of return expected from Mylandia is 8 percent. The expected stock price of Mylandia stock is:

• 4. Mylandia Corp đã thông báo rằng sẽ có mức cash flow generation cao trong 3 năm tới, do đó dividend payout gần nhất là CAD2.40 sẽ tăng 10% mỗi năm trong 3 năm tiếp theo; sau đó growth sẽ ổn định ở mức 3%/năm. expected rate of return từ Mylandia là 8%. expected stock price của Mylandia stock là:

EN: A. CAD49.98.

• A. CAD49.98.

EN: B. CAD55.84.

• B. CAD55.84.

EN: C. CAD59.71.

• C. CAD59.71.

EN: Consider a zero coupon Swiss Confederation bond that has 12 years until maturity, par value CHF100 and current price CHF89. The expected future price of the bond in 3 years' time is CHF95.25. The expected annualized return if the bond is bought today will be closest to:

• 5. Xét một zero coupon Swiss Confederation bond còn 12 năm đến maturity, có par value CHF100 và current price CHF89. expected future price của trái phiếu sau 3 năm là CHF95.25. expected annualized return nếu trái phiếu được mua hôm nay gần nhất là:

EN: A. 0.58 percent.

• A. 0.58%.

EN: B. 1.64 percent.

• B. 1.64%.

EN: C. 2.29 percent.

C. 2.29%.

EN: Four years ago, 10-year corporate bonds were issued by Grupo Ignacia. The bonds make semiannual payments of 10.7 percent annualized coupon, and their current price is MXN97.50 per MXN100 of par value. The yield-to-maturity of the bonds will be closest to:

• 6. Cách đây bốn năm, Grupo Ignacia đã phát hành corporate bonds kỳ hạn 10 năm. Các trái phiếu thanh toán semiannually với annualized coupon 10.7%, và current price là MXN97.50 trên mỗi MXN100 par value. yield-to-maturity của trái phiếu gần nhất là:

EN: A. 11.28 percent.

• A. 11.28%.

EN: B. 11.50 percent.

• B. 11.50%.

EN: C. 11.71 percent.

• C. 11.71%.

EN: The stock of Mylandia Corporation is currently priced at CAD60.00. Mylandia pays a dividend on its shares annually. The last dividend paid by the company was CAD2.40 and it occurred yesterday. According to the analysts who follow Mylandia, the growth rate of Mylandia's dividend is constant and equals 3 percent per year. The required return for Mylandia is:

• 7.* Mylandia Corporation stock hiện có giá CAD60.00. Mylandia trả dividend cho cổ đông hằng năm. Dividend gần nhất công ty đã trả là CAD2.40 và diễn ra hôm qua. Theo các analyst theo dõi Mylandia, growth rate của dividend Mylandia là không đổi và bằng 3%/năm. required return của Mylandia là:

EN: A. 8.00 percent.

• A. 8.00%.

EN: B. 7.00 percent.

• B. 7.00%.

EN: C. 7.12 percent.

• C. 7.12%.

EN: The benchmark stock index in India – NIFTY 50 – is currently trading at the forward price-to-earnings ratio of 15. The expected dividend payout ratio for NIFTY 50 in the coming year is 50 percent and the required return on NIFTY 50 is 7.50 percent. Assuming that the analyst thinks that dividends of NIFTY 50 will grow at a constant rate of 4.50 percent going forward, what of the following statements is true?

• 8.* Benchmark stock index tại Ấn Độ - NIFTY 50 - hiện đang giao dịch với forward price-to-earnings ratio là 15. expected dividend payout ratio của NIFTY 50 trong năm tới là 50% và required return của NIFTY 50 là 7.50%. Giả sử analyst cho rằng dividends của NIFTY 50 sẽ tăng với constant rate 4.50% trong tương lai, phát biểu nào sau đây là đúng?

EN: A. The analyst should view the NIFTY 50 as overpriced.

• A. Analyst nên xem NIFTY 50 là overpriced.

EN: B. The analyst should view the NIFTY 50 as underpriced.

• B. Analyst nên xem NIFTY 50 là underpriced.

EN: C. The analyst should consider the NIFTY 50 index to be fairly valued.

• C. Analyst nên xem NIFTY 50 index là fairly valued.

EN: Given that your required return is 8 percent and that you need to invest USD500,000, which of the following investments listed in Exhibit 1 should you choose?

• 9.* Cho rằng required return của bạn là 8% và bạn cần đầu tư USD500,000, bạn nên chọn khoản đầu tư nào trong Exhibit 1 dưới đây?

Exhibit 1: Investment Opportunities

|Cash flows (in thousands)|t = 0|t = 1|t = 2|t = 3| |Opportunity 1|−500|195|195|195| |Opportunity 2|−500|225|195|160.008|

EN: A. Opportunity 1

• A. Opportunity 1

EN: B. Opportunity 2

• B. Opportunity 2

EN: C. Indifferent between the two opportunities.

• C. Không có sự khác biệt giữa hai cơ hội đầu tư.

EN: Interest rates on one-year Italian government bonds are 0.73 percent; interest rates on Italian two-year government bonds are 1.29 percent. The break-even one-year reinvestment rate one year from now is closest to:

• 10.* Interest rate của Italian government bonds kỳ hạn một năm là 0.73%; interest rate của Italian government bonds kỳ hạn hai năm là 1.29%. one-year reinvestment rate hòa vốn sau một năm kể từ hiện tại gần nhất là:

EN: A. 1.01 percent.

• A. 1.01%.

EN: B. 1.11 percent.

• B. 1.11%.

EN: C. 1.85 percent.

• C. 1.85%.

EN: The present spot rate between the euro and the US dollar is USD/EUR 1.025. The risk-free interest rates for one year are 0.75% for the euro and 3.25% for the US dollar. The one-year USD/EUR forward rate which would most effectively prevent any arbitrage opportunities is:

• 11. Current spot rate giữa euro và US dollar là USD/EUR 1.025. risk-free interest rate trong một năm là 0.75% đối với euro và 3.25% đối với US dollar. one-year USD/EUR forward rate có thể ngăn chặn arbitrage opportunities hiệu quả nhất là:

EN: A. USD/EUR1.051.

• A. USD/EUR1.051.

EN: B. USD/EUR1.025.

• B. USD/EUR1.025.

EN: C. USD/EUR0.975.

• C. USD/EUR0.975.

EN: The price of the stock is currently USD 25. After one year, the price of the stock will be either USD 35 or USD 15. The investor writes a call option on this stock. This gives the holder of the call option an option, but no obligation, to buy the stock at USD 25 after one year. Simultaneously, the investor purchases 0.5 units of the stock. What is true about the value of the portfolio of the investor at the end of one year?

• 12. Giá cổ phiếu hiện tại là USD25. Sau một năm, giá cổ phiếu sẽ là USD35 hoặc USD15. Nhà đầu tư viết một call option trên cổ phiếu này. Điều này trao cho người nắm giữ call option quyền, nhưng không có nghĩa vụ, mua cổ phiếu với giá USD25 sau một năm. Đồng thời, nhà đầu tư mua 0.5 đơn vị cổ phiếu. Phát biểu nào đúng về giá trị portfolio của nhà đầu tư vào cuối một năm?

EN: A. The value of the portfolio is USD 7.50 in both scenarios.

• A. Giá trị portfolio là USD7.50 trong cả hai kịch bản.

EN: B. The value of the portfolio is USD 25 in both scenarios.

• B. Giá trị portfolio là USD25 trong cả hai kịch bản.

EN: C. The value of the portfolio is USD 17.50 if the stock increases and USD 7.50 if the stock decreases.

• C. Giá trị portfolio là USD17.50 nếu giá cổ phiếu tăng và USD7.50 nếu giá cổ phiếu giảm.

LỜI GIẢI

EN: 1. C is the right answer. The coupon payment is 5.35 (=10.7/2), the discount rate is 5.8% (=11.6%/2) per period and the number of periods is 16(=8x2). From equation 6, the solution is as follows:

1. C là đáp án đúng. Coupon payment là 5.35 (=10.7/2), discount rate là 5.8% (=11.6%/2) mỗi kỳ và number of periods là 16 (=8x2). Theo Equation 6, lời giải như sau:

EN: Alternatively, the Microsoft Excel or Google Sheets PV function(PV (0.058,16,5.35,100,0)) can also provide an answer of MXN95.39. A is wrong because MXN95.47 is the result that will come from using coupon payments of 10.7, discount rate of 11.6%, and 8 as the number of periods. B is wrong because MXN97.18 is the result from the use of the right semiannual coupon and discount rates while using the wrong number of periods which is 8.

Ngoài ra, hàm PV của Microsoft Excel hoặc Google Sheets (PV (0.058,16,5.35,100,0)) cũng cho kết quả MXN95.39. A sai vì MXN95.47 là kết quả khi sử dụng coupon payments là 10.7, discount rate là 11.6% và number of periods là 8. B sai vì MXN97.18 là kết quả của việc sử dụng đúng semiannual coupon và discount rate nhưng sử dụng sai number of periods là 8.

EN: 2. A is the right answer. The present value of the mortgage is NZD3.75 million (=0.75x5,000,000), the periodic discount rate is 0.004 (=0.048/12) and the number of periods is 60(=5x12). From equation 8,

2. A là đáp án đúng. present value của mortgage là NZD3.75 million (=0.75x5,000,000), periodic discount rate là 0.004 (=0.048/12) và number of periods là 60 (=5x12). Theo Equation 8,

0.4% (NZD3, 750, 000)

EN: Alternatively, the spreadsheet PMT function can be used with the inputs provided earlier.

Ngoài ra, có thể sử dụng hàm PMT trong spreadsheet với các đầu vào đã cung cấp ở trên.

EN: B is wrong because NZD93,899 is the result of using NZD5 million as the present value term.

B sai vì NZD93,899 là kết quả của việc sử dụng NZD5 million làm present value term.

EN: Option C is wrong because the outcome of the calculation is NZD71,781 when the rate used in the calculation is 4.8 percent, and the number of periods used is 5, after which the answer is divided by 12.

Phương án C sai vì kết quả tính toán là NZD71,781 khi rate sử dụng trong phép tính là 4.8% và number of periods sử dụng là 5, sau đó kết quả được chia cho 12.

EN: 3. Option B is right because the next dividend of Mylandia is CAD2.472 (=2.40×1.03), and based on Equation 14,

3. Phương án B đúng vì dividend tiếp theo của Mylandia là CAD2.472 (=2.40×1.03), và dựa trên Equation 14,

EN: 4. Option C is right because from the first step, the following expected dividends of Mylandia for the next three years are:

4. Phương án C đúng vì từ bước đầu tiên, expected dividends của Mylandia trong ba năm tiếp theo như sau:

EN: In 1 year: D1 = CAD2.64 (=2.40×1.10)

Sau 1 năm: D1 = CAD2.64 (=2.40×1.10)

EN: In 2 years: D2 = CAD2.90 (=2.40×1.102 ) In 3 years: D3 = CAD3.19 (=2.40×1.103 )

Sau 2 năm: D2 = CAD2.90 (=2.40×1.102) Sau 3 năm: D3 = CAD3.19 (=2.40×1.103)

EN: The second step uses the lower growth rate of 3 percent. The dividend of Mylandia (D4) is CAD3.29 (=2.40×1.103×1.03) at the end of year four. At this point, the expected terminal value of Mylandia at the end of three years is CAD65.80 based on Equation 17, as shown below:

Bước thứ hai sử dụng growth rate thấp hơn là 3%. Dividend của Mylandia (D4) là CAD3.29 (=2.40×1.10³×1.03) vào cuối năm thứ tư. Tại thời điểm này, expected terminal value của Mylandia vào cuối năm thứ ba là CAD65.80 dựa trên Equation 17, như minh họa bên dưới:

EN: 5. Option C is right because the future value (FV) of the bond is CHF95.25, its present value (PV) is CHF89, and the number of annual periods ( t ) is 3. Based on Equation 18,

5. Phương án C đúng vì future value (FV) của bond là CHF95.25, present value (PV) là CHF89 và number of annual periods (t) là 3. Dựa trên Equation 18,

2.29% = (92.25/89)(1/3) − 1.

EN: A is not the right answer because it uses t of 12. B is not the right answer because it uses PV of CHF95.25 and FV of 100.

A không phải đáp án đúng vì sử dụng t bằng 12. B không phải đáp án đúng vì sử dụng PV là CHF95.25 và FV là 100.

EN: 6. A is the right answer. In this case, the YTM will be calculated as the result of applying the RATE spreadsheet function with the following arguments: number of periods = 12 (=6×2), coupon payment of 5.35 (=10.7/2), PV of −97.50, and FV of 100. The answer we get (5.64 percent) should be multiplied by 2 to be expressed in annual terms; hence, the YTM is 11.28 percent.

6. A là đáp án đúng. Trong trường hợp này, YTM được tính bằng cách áp dụng hàm RATE trong spreadsheet với các đối số sau: number of periods = 12 (=6×2), coupon payment là 5.35 (=10.7/2), PV là −97.50 và FV là 100. Kết quả nhận được (5.64%) nên được nhân với 2 để biểu thị theo annual terms; do đó, YTM là 11.28%.

EN: B is not the right answer because the yield is 11.50 percent if the number of periods is eight instead of 12. C is not the right answer because the yield is 11.71 percent if the number of periods is six instead of 12.

B không phải đáp án đúng vì yield là 11.50% nếu number of periods là 8 thay vì 12. C không phải đáp án đúng vì yield là 11.71% nếu number of periods là 6 thay vì 12.

EN: 7. C is the right answer. We may solve for the required return under the assumption that the dividend grows at a constant rate according to Equation 21:

7. C là đáp án đúng. Chúng ta có thể giải required return với giả định dividend tăng với constant rate theo Equation 21:

r_ =2.40 (1.03) + 0.03 = 0.0712 . 60

EN: B is not the right answer because 7.00 percent will be the result if the previous dividend of CAD2.40 is used instead of the next expected dividend. A is not the right answer because 8.00 percent is the assumed required return according to one of the examples in the Mylandia of Question Set 1.

B không phải đáp án đúng vì 7.00% sẽ là kết quả nếu sử dụng previous dividend CAD2.40 thay vì next expected dividend. A không phải đáp án đúng vì 8.00% là required return được giả định theo một trong các ví dụ về Mylandia của Question Set 1.

EN: 8. The answer B is correct. Equation 24 yields the following inequality given the previous input:

8. Đáp án B đúng. Equation 24 cho bất đẳng thức sau với các đầu vào đã cho:

EN: The above inequality suggests that the NIFTY 50 index is undervalued based on the fundamental inputs in the equation. This is because the fundamental inputs suggest that the forward price to earnings ratio is 16.67 as compared to the current 15. The other approach to solving this problem would be to find out the implied growth and then comparing this value with that of the analyst’s growth expectation as follows:

Bất đẳng thức trên cho thấy NIFTY 50 index bị undervalued dựa trên các fundamental inputs trong phương trình. Điều này là vì các fundamental inputs cho thấy forward price-to-earnings ratio là 16.67 so với mức hiện tại là 15. Cách tiếp cận khác để giải bài toán này là tìm implied growth rồi so sánh giá trị này với growth expectation của analyst như sau:

_ 15 =0.50 0.075− g.

EN: Solving for g gives 4.1667 percent. Because the analyst anticipates growth in dividends to be 4.50 percent, the NIFTY 50 index is undervalued.

Giải g cho kết quả 4.1667%. Vì analyst dự báo growth của dividends là 4.50%, NIFTY 50 index bị undervalued.

EN: 9. The answer C is correct. Applying the principle of cash flow additivity, we subtract Opportunity 2 from Opportunity 1 to get the following cash flows:

9. Đáp án C đúng. Áp dụng nguyên tắc cash flow additivity, chúng ta trừ Opportunity 2 khỏi Opportunity 1 để có các cash flows sau:

Opportunity 1 - Opportunity 2 0 −30 0 34.992

EN: The present value of the cash flows above discounted at an interest rate of 8 percent reveals that both investments have the same present value. Hence, the two investments are equal from an economic perspective and there is no preference for any of the investments.

present value của các cash flows trên, được discounted với interest rate 8%, cho thấy cả hai khoản đầu tư có cùng present value. Do đó, xét về economic perspective, hai khoản đầu tư là tương đương và không có sự ưu tiên cho khoản đầu tư nào.

EN: 10. C is the right answer. The one-year forward rate represents the breakeven rate of reinvestment of one year after one year, which is calculated as: F 1,1 = (1+ r 2)2 /(1+ _r

10. C là đáp án đúng. one-year forward rate đại diện cho breakeven rate của việc reinvestment trong một năm, sau một năm kể từ hiện tại, được tính như sau: _F_1,1 = (1+ _r_2)2 /(1+ _r

EN: F_ 1,1 = (1.0129)2 /(1.0073) – 1 = 0.0185.

• _F_1,1 = (1.0129)2 /(1.0073) - 1 = 0.0185.

EN: 11. A is the right answer. Investors will have to ensure that they have the ability to set a one-year forward exchange rate between USD/

11. A là đáp án đúng. Nhà đầu tư phải đảm bảo rằng họ có thể thiết lập one-year forward exchange rate giữa USD/

EN: The present value is EUR1.051. Solution approach is illustrated below. After one year, one unit of euro invested without any risk becomes EUR1.0075 (=e0.0075). After one year, one unit of euro converted to US dollars and invested without any risk becomes USD1.0589 (=1.025e0.0325).*

present value là EUR1.051. Cách tiếp cận lời giải được minh họa bên dưới. Sau một năm, một đơn vị euro được đầu tư không có rủi ro trở thành EUR1.0075 (=e0.0075). Sau một năm, một đơn vị euro được chuyển đổi sang US dollars và đầu tư không có rủi ro trở thành USD1.0589 (=1.025*e0.0325).

EN: In order to convert 1.0589 USD to 1.0075 EUR, the forward exchange rate should be

Để chuyển đổi USD1.0589 thành EUR1.0075, forward exchange rate phải là

EN: 12. Answer A is right. In the case that the stock goes up to USD35 and the stock falls to USD35, the portfolio value will be USD7.50 as shown below:

12. Đáp án A đúng. Trong trường hợp giá cổ phiếu tăng lên USD35 và giá cổ phiếu giảm xuống USD35, giá trị portfolio sẽ là USD7.50 như minh họa bên dưới:

EN: If stock price goes to USD35, value = 0.5×35 – 10 = 7.50.

Nếu stock price lên USD35, giá trị = 0.5×35 - 10 = 7.50.

EN: If stock price goes to USD15, value = 0.5×15 – 0 = 7.50. Trong trường hợp giá cổ phiếu tăng lên USD35, call option được bán tại USD25 có giá trị USD10 đối với người mua.

Nếu stock price xuống USD15, giá trị = 0.5×15 - 0 = 7.50.