Curve Based and Empirical Fixed Income Risk Measures

Ứng viên cần có khả năng:

• giải thích vì sao effective duration và effective convexity là các thước đo phù hợp nhất của interest rate risk đối với trái phiếu có embedded options
• tính percentage price change của một trái phiếu đối với một mức thay đổi xác định của benchmark yield, khi biết effective duration và convexity của trái phiếu
• định nghĩa key rate duration và mô tả việc sử dụng nó để đo lường price sensitivity của fixed-income instruments đối với những thay đổi của benchmark yield curve
• mô tả sự khác biệt giữa empirical duration và analytical duration

Chúng ta đã thảo luận về các phép đo yield based và convexity đối với bond price sensitivities. Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về các thước đo curve based của bond price sensitivity liên quan đến những thay đổi trong benchmark yield curve và trong trường hợp cash flows không chắc chắn. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách thay đổi trong full price của một trái phiếu được tính bằng các thước đo curve based duration và convexity, cũng như việc các issuer và investor sử dụng các thước đo approximate duration và convexity. Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về key rate durations như một thước đo interest rate risk. Hơn nữa, chúng ta sẽ thấy rằng những thay đổi trong benchmark yields và credit spreads của các issuer có chất lượng thấp hơn có mối quan hệ nghịch, đặc biệt trong những thời điểm market stress.

• Các ước tính yield duration và convexity chỉ phù hợp đối với những thay đổi nhỏ trong yield level. Effective duration và effective convexity phù hợp đối với cả những thay đổi nhỏ và lớn trong yields.

• Effective duration và effective convexity hữu ích trong việc đo lường interest rate risk của các trái phiếu có future cash flows không chắc chắn.

• Effective duration và effective convexity có thể giúp ước tính percentage change trong full price của một trái phiếu do sự dịch chuyển của benchmark yield curve.

• Key Rate (Partial) Duration là một phép đo sensitivity của giá trái phiếu đối với những thay đổi trong benchmark yield tại một maturity cụ thể. Sự kết hợp giữa key rate duration và các dự báo về biến động của benchmark yields cho phép tái cân bằng portfolio nhằm nâng cao yield của nó.

• Tổng weighted key rates duration của tất cả các trái phiếu trong một portfolio bằng duration của toàn bộ portfolio.

• Analytical duration và convexity là các ước tính duration và convexity dựa trên mathematical formulae. Empirical duration và convexity được xác định bằng historical data và có tính đến các ảnh hưởng khác nhau lên giá trái phiếu.

• Khi xác định loại estimation nào cần áp dụng, cần xem xét correlation giữa benchmark yields và credit spreads.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi sơ bộ này được thiết kế để giúp bạn đánh giá mức độ kiến thức hiện tại của mình liên quan đến Learning Module.

1. Trong các fixed-income securities dưới đây, loại nào sẽ sử dụng yield duration và convexity để đánh giá interest rate risk thay vì effective duration và convexity?

   • A. Trái phiếu fixed-rate 30 năm

   • B. Callable bond

   • C. Mortgage-backed security

   • Lời giải:

A là đáp án. Callable bond và mortgage-backed security có các options embedded không được tính đến trong yield duration và convexity. Trái phiếu fixed-rate 30 năm không có option embedded; do đó, có thể sử dụng một trong hai phương pháp.

2. Tính effective duration của một trái phiếu với các dữ liệu sau:

   • PV 0 = 102.208.

• Giá khi benchmark yield curve tăng 25 basis points: PV + = 100.004.

• Giá khi benchmark yield curve giảm 25 basis points: PV – = 103.891.

Lời giải:

3. Tính effective convexity của một trái phiếu với dữ liệu dưới đây: ■ PV 0 = 102.208. ■ Giá khi benchmark yield curve tăng 25 basis points: PV + = 100.004.

■ Giá khi benchmark yield curve giảm 25 basis points: PV – = 103.891.

Lời giải: ______________________[( P V −) + ( P V +)] − [2 × ( P V 0)]

EffCon =( ΔCurve)2 × ( P V 0)

---

EffCon =[(103.891) + (100.004)] − 2 × (102.208)2 ×( 102.208)

EffCon = −815.592

4. Nếu benchmark yield curve dịch chuyển 50 bps, percentage change trong full price của một trái phiếu sẽ là bao nhiêu nếu effective duration của nó là 6.094 và effective convexity là –230.097? Lời giải: % ΔP V__Full ≈ (− EffDur × ΔCurve ) + [_ 21×EffCon× (ΔCurve)2] % ΔP V__Full ≈( − 6.094 × 0.005) + [_1 2× − 230.097 × (0.005)2] %Δ _PV__Ful_l ≈ 3.33%

|5. Bảng dưới đây chứa các dự báo về những thay đổi kỳ vọng trong benchmark yield curve theo tenor.|h forecasts of|h expected cha|h nges in the|h benchmark| |Maturity 1 năm|5 năm|10 năm|20 năm|30 năm| |Curve shift tại maturity +100 bps|+150 bps|+200 bps|+250 bps|+300 bps|

Cả Bond A và Bond B trong portfolio của bạn đều có trọng số bằng nhau. Đây là key rate durations của hai trái phiếu.

Dựa trên thông tin và biến động dự kiến của yields, bạn nên bán trái phiếu nào để tối đa hóa lợi nhuận của mình?

Lời giải:

Bond B, vì mức price loss của nó do mức tăng dự kiến trong benchmark yields sẽ lớn hơn gấp đôi so với Bond A.

Đối với Bond A, ∆ PV / PV = –1.706 × 0.015 = –2.56%.

Đối với Bond B, ∆ PV / PV = –3.195 × 0.020 = –6.39%.

6. Tại sao yield duration và convexity kém giá trị hơn khi áp dụng cho contingency bonds?

Lời giải:

Duration và convexity đo lường cash flow sensitivity đối với interest rates với giả định rằng cash flows sẽ được nhận theo đúng lịch trình. Tuy nhiên, cash flows gắn với các trái phiếu có contingency characteristics có thể không được nhận theo đúng lịch trình nếu, chẳng hạn, một trái phiếu được issuer redeem sau khi interest rates giảm. Do đó, duration và convexity không thể đo lường chính xác price sensitivity đối với những thay đổi trong interest rates.

7. Xét analytical duration so với empirical duration, phát biểu nào sau đây là đúng?

• A. Analytical duration và convexity là các thước đo duration và convexity được tính thông qua mathematical equations.

• B. Empirical duration và convexity được đo lường thông qua statistical equations có tính đến các factors ảnh hưởng đến bond prices.

  • C. Cả A và B

Lời giải:

A là đáp án đúng. Analytical duration và convexity là các thước đo duration và convexity được tính thông qua mathematical equations.

Phương án B sai vì statistical models chủ yếu được áp dụng trong việc ước tính empirical duration và convexity.

Phương án C sai vì phương án B sai.

8. Phát biểu sau đây có đúng không? Analytical duration tốt hơn empirical duration trong trường hợp các trái phiếu có credit risks.

Lời giải:

Không, phát biểu này không đúng. Trong trường hợp government bond rates giảm do market stress conditions, hiện tượng “flight to safety” sẽ dẫn đến credit spreads mở rộng vì kỳ vọng về default tăng lên. Vì credit spreads có mối quan hệ nghịch với benchmark yields trong trường hợp này, credit spreads mở rộng sẽ ít nhất bù trừ một phần hoặc thậm chí bù trừ hoàn toàn tác động của việc benchmark yields của chính phủ giảm, từ đó làm cho empirical durations thấp hơn analytical durations. Do đó, empirical duration là công cụ dự báo bond prices tốt hơn analytical duration.

Giải thích vì sao effective duration và effective convexity là những công cụ phù hợp nhất để đo lường interest rate risk trong trường hợp các trái phiếu có embedded options

Yield duration và convexity giả định rằng cash flows của trái phiếu là chắc chắn. Nhưng khi trái phiếu có một số contingent features như embedded option trong trường hợp callable bond (hoặc puttable bond), future cash flows là không chắc chắn vì việc thực hiện option phụ thuộc vào trạng thái của market interest rates so với coupon interest được trả (hoặc nhận). Chẳng hạn, duration của một callable bond không phản ánh sensitivity của bond price đối với thay đổi trong yield-to-worst vì yield-to-worst chỉ là một trong nhiều kịch bản có thể xảy ra tùy thuộc vào future interest rates.

Do đó, các trái phiếu có embedded options không có yield-to-maturity được xác định rõ ràng, và vì vậy, Macaulay và modified durations không thể đóng vai trò là các thước đo interest rate risk đầy đủ. Thay vào đó, thước đo interest rate risk của các trái phiếu này sẽ là sensitivity của giá trái phiếu đối với thay đổi trong benchmark yield curve, ví dụ government par curve, được gọi là effective duration và là curve duration trái ngược với thước đo yield duration.

Exhibit 1 minh họa tác động của thay đổi tức thời trong benchmark yield curve (Δ Curve) lên giá của một callable bond so với tác động đó lên giá của một non-callable bond có các đặc điểm giống hệt nhau (tức là coupon rate, payment frequency, time-to-maturity và credit risk). Lưu ý rằng trục hoành trong biểu đồ này biểu thị một benchmark yield, tức là một điểm trên government par curve.

Exhibit 1: Đặc điểm Interest Rate Risk của Callable Bond

Giá của non-callable bond luôn cao hơn giá của callable bond tương đương. Sự chênh lệch này biểu thị giá trị của embedded call option do bond issuer nắm giữ (chứ không phải investor). Nếu interest rates cao so với coupon rate, giá trị của call option thấp. Ngược lại, khi rates thấp, giá trị của call option cao vì issuer có thể thực hiện quyền refinance debt của mình tại mức interest rates thấp hiện tại. Investor đối mặt với “call risk” vì nếu trái phiếu bị gọi mua lại, investor sẽ cần reinvest funds tại interest rates thấp hơn.

Figure 1 cũng cho thấy rằng, trong trường hợp benchmark yield curve dịch chuyển song song, khi benchmark yields cao (Δ Curve > 0), effective durations của callable bond và non-callable bond gần như bằng nhau. Nhưng khi interest rates thấp (Δ Curve < 0), effective duration của callable bond nhỏ hơn của non-callable bond vì, trong những điều kiện như vậy, giá của callable bond tăng ít hơn so với non-callable bond do sự hiện diện của call option. Nói cách khác, embedded call option dẫn đến việc giảm effective duration của trái phiếu, đặc biệt trong giai đoạn interest rates giảm khi khả năng trái phiếu bị gọi mua lại cao. Effective duration có thể được xem là expected duration - thời gian bình quân gia quyền để nhận cash flows.

Tương tự effective duration, tác động bậc hai của sự dịch chuyển song song của benchmark yield curve được đánh giá với sự trợ giúp của statistic được gọi là effective convexity, tức là curve convexity. Theo Figure 1, khi benchmark yield giảm, độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong của non-callable bond tăng và do đó convexity là dương. Tuy nhiên, độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong của callable bond giảm xuống đến điểm uốn rồi trở thành âm.

Trong trường hợp benchmark yield cao và giá trị của embedded call option nhỏ, tác động của những thay đổi trong interest rates lên non-callable bond và callable bond gần như giống hệt nhau, và convexities của các trái phiếu này là dương. Tuy nhiên, khi benchmark yield giảm, các đường cong phân kỳ, và callable bond đi vào vùng negative convexity vì giá trị của embedded call option tăng lên.

Figure 2 minh họa các đặc điểm của một trái phiếu có embedded put option.

Exhibit 2: Đặc điểm Interest Rate Risk của Putable Bond

Putable bond trao cho người mua quyền trả lại trái phiếu cho issuer trước maturity date của nó tại face value, qua đó bảo đảm người mua không chịu bất kỳ tổn thất nào phát sinh từ việc interest rates tăng có thể khiến trái phiếu được bán dưới par. Do đó, giá của putable bond sẽ luôn cao hơn so với một non-putable bond tương tự.

Embedded put option làm duration của trái phiếu ngắn hơn, đặc biệt khi interest rates tăng. Khi interest rates trên benchmark yield curve tăng, trong trường hợp interest rates thấp hơn coupon rate, giá trị của put option thấp và do đó thay đổi trong benchmark yield ảnh hưởng đến bond price gần giống như cách nó ảnh hưởng đến giá của non-putable bonds. Tuy nhiên, khi interest rates trên benchmark yield curve tăng, put option

Điều này càng có ý nghĩa quan trọng hơn đối với investor, vì option bán lại trái phiếu cho issuer tại face value làm cho giá của trái phiếu ít nhạy cảm hơn với việc interest rates tăng. Quan trọng là tất cả putable bonds đều có positive convexity.

Các thước đo duration và convexity có thể hữu ích để hiểu về mortgage-backed securities (MBS), được tạo ra từ quá trình securitization của một pool of mortgages và sẽ được thảo luận trong các lớp học tiếp theo. Cash flow của MBS phụ thuộc vào khả năng của homeowners trong việc refinance hoặc repay một existing mortgage bằng một new mortgage. Mortgage refinancing phổ biến ở Hoa Kỳ và các nơi khác và borrowers thường sử dụng option này khi interest rates giảm.

Việc tính effective duration (EffDur) khá tương tự với approximate modified duration như được đưa ra trong Equation 1 dưới đây.

Công thức tính effective convexity (EffCon) cũng rất tương tự với approximate convexity, như được đưa ra trong Equation 2.

Chỉ có hai thay đổi, đó là Δ Curve nằm ở mẫu số, vì effective duration là một chỉ số curve duration và do đó đo lường interest rate risk do sự dịch chuyển song song của benchmark yield curve, và PV – cùng PV + sử dụng option pricing models. Các models này sẽ được thảo luận trong các modules tiếp theo, và chúng dựa trên các giả định như (1) độ dài của call protection period, (2) schedule của call prices và call dates, (3) expected credit spreads so với benchmark yields (bao gồm mọi liquidity spread), (4) interest rate volatility và (5) market interest rate (chẳng hạn government par curve). Analyst giữ cố định bốn inputs đầu tiên và thay đổi input cuối cùng để lần lượt tính PV + và PV –.

Mặc dù các chỉ số effective duration và effective convexity là những thước đo đúng của interest rate risk đối với các trái phiếu có embedded options, chúng cũng có thể được sử dụng tương tự với option-free bonds để bổ sung cho yield duration. Điều này là vì có thể tồn tại một số khác biệt giữa effective duration và modified duration của một trái phiếu do khi dịch chuyển government par curve trong model, government zero curve cũng được dịch chuyển nhưng không theo cách song song. Do đó, có một số khác biệt trong thay đổi của bond price so với trường hợp có sự dịch chuyển song song trong yield-to-maturity.

Trung bình, modified duration và effective duration của một option-free bond có thể không giống nhau. Nhưng khi yield curve trở nên phẳng hơn, time-to-maturity ngắn hơn và trái phiếu được định giá gần par value, sự khác biệt sẽ nhỏ hơn; và trong trường hợp yield curve phẳng, sự khác biệt biến mất. Không có cách nào khác ngoài việc sử dụng option pricing models để xác định những khác biệt như vậy giữa hai duration. Ví dụ, hãy xét coupon bond 3.2% (semiannual) kỳ hạn 5 năm của BRWA có par value, đáo hạn vào ngày 15 October 2030 và settled vào ngày 15 October 2025. Với PV 0 = 100.00 và ∆ Yield = 0.0005, trong một bài học trước, chúng ta đã tìm được

PV + = 99.771 và PV – = 100.230,

các thước đo yield duration và convexity như dưới đây:

ApproxModDur = 4.587 và ApproxCon = 24.239.

Thay vì những thay đổi trong yield của bond, hãy xét một sự dịch chuyển lên và xuống 5 bps trong benchmark government par curve (∆ Curve ), dẫn đến các spot rates dịch chuyển theo cách có phần không song song. Giả sử PV0 = 100.00 và ∆ Curve = 0.0005 với các mức giá mới sau:

PV + = 99.760 và PV – = 100.241,

Các thước đo rủi ro fixed-income dựa trên curve và thực nghiệm

effective duration có thể được tính theo Equation 1 bằng 4.816:

Tương tự, sử dụng cùng tập số liệu trong Equation 2, convexity có thể được tính bằng 40.000:

EffCon = 40.000

VÍ DỤ 1

Effective Duration and Convexity

Cấp trên của bạn trong bộ phận fixed income muốn biết interest rate risk của một bond đang được xem xét để đưa vào portfolio. Bà ấy kỳ vọng bond có duration từ 7.0 đến 8.0 với positive convexity.

Giả sử full price của callable bond là 101.060 trên mỗi 100 par value. Giả sử rằng khi government par curve dịch chuyển lên và xuống 25 basis points, full prices của callable bond này theo option valuation model của bạn lần lượt là 99.050 và 102.891. Do đó,

• PV 0 = 101.060,

• PV + = 99.050,

• PV – = 102.891, và

• Δ Curve = 0.0025.

Bạn xác định effective duration và effective convexity cho callable bond này như sau: ________________( P V −) − ( P V +) EffDur = 2 ×( ΔCurve) × ( P V 0). __________________ EffDur = 2 ×(102.891( 0.0025)) − ×((99.050 101.060)). EffDur = 7.601. EffCon = _____________________[( P V −) + ( P V +) − 2 × ( P V 0)].( ΔCurve)2 × ( P V 0) EffCon = _____________________________[(102.891) + (99.050)] − [2 × (101.060)] .( 0.0025)2 ×( 101.060) EffCon = −283.

Bạn khuyên portfolio manager không nên mua callable bond này vì mặc dù effective duration của bond đáp ứng yêu cầu của bà ấy, effective convexity của bond lại âm.

Bài tập thực hành

1. EN: Match each scenario to the interest rate risk measures below.

Ghép từng tình huống với các thước đo interest rate risk dưới đây.

EN: Solution:

EN: Match for A is modified duration. Modified duration is employed to determine the percent change in price assuming a change in yield to maturity. Match for B is money duration. Money duration is modified duration converted into currency units and can be used to determine the currency unit change in the bond position.

Lời giải:

EN: Match for C is effective duration. Callable bonds have uncertain future cash flow based on future interest rates. Hence, a curve duration statistic like effective duration will best measure interest rate risk.

Đáp án cho A là modified duration. Modified duration được sử dụng để xác định mức thay đổi giá theo tỷ lệ khi giả định yield to maturity thay đổi. Đáp án cho B là money duration. Money duration là modified duration được chuyển đổi sang đơn vị tiền tệ và có thể được sử dụng để xác định mức thay đổi theo đơn vị tiền tệ của bond position.

EN: Questions 2 through 5 are based on the following information:

Đáp án cho C là effective duration. Callable bonds có cash flow trong tương lai không chắc chắn, phụ thuộc vào interest rates trong tương lai. Do đó, một thống kê curve duration như effective duration sẽ đo lường interest rate risk tốt nhất.

EN: As a member of a fixed-income team, you have been tasked with analyzing the pricing data of a Viviyu Inc. callable bond. The full price today, price when the benchmark yield curve moves up by 25 bps, and the price when the benchmark yield curve moves down by 25 bps are as follows:

Các câu hỏi từ 2 đến 5 dựa trên thông tin sau:

Là một thành viên của fixed-income team, bạn được giao nhiệm vụ phân tích pricing data của một callable bond của Viviyu Inc. Full price hôm nay, giá khi benchmark yield curve dịch chuyển lên 25 bps và giá khi benchmark yield curve dịch chuyển xuống 25 bps như sau:

■ PV 0 = 102.208,

■ PV + = 100.004, và

EN: 2. Calculate the effective duration of the Viviyu Inc. callable bond.

■ PV – = 103.891.

2. Tính effective duration của callable bond Viviyu Inc.

EN: Solution:

Lời giải:

________________2 ×(( P ΔCurve V −) −) ( × P V (+ P ) V 0).

EffDur =

EN: 3. In auditing of the above data, it was established that PV + was wrongly calculated, and PV+ is actually 100.50426. All the other data was correctly calculated.

__________________ EffDur = 2 ×(103.891( 0.0025) − ) ×(100.004( 102.208)). EffDur = 7.6061.

3. Trong quá trình audit dữ liệu trên, người ta xác định rằng PV + đã được tính sai và PV+ thực tế là 100.50426. Tất cả dữ liệu khác đều được tính đúng.

Các thước đo rủi ro fixed-income dựa trên curve và thực nghiệm

EN: Discuss how the updated data will affect the effective duration.

Hãy thảo luận dữ liệu đã cập nhật sẽ ảnh hưởng như thế nào đến effective duration.

EN: Solution:

EN: The calculation of the effective duration does not have to be done again. As the new PV + is greater than the old one and everything else remains the same, then the numerator becomes smaller. Therefore, the effective duration decreases.

Lời giải:

EN: 4. Compute the effective convexity of the Viviyu Inc. callable bond as follows:

Không cần tính lại effective duration. Vì PV + mới lớn hơn giá trị cũ và mọi thứ khác vẫn giữ nguyên, tử số sẽ nhỏ hơn. Do đó, effective duration giảm.

4. Tính effective convexity của callable bond Viviyu Inc. như sau:

   • PV 0 = 102.208,

   • PV + = 98.504,

   • PV – = 103.891, và

   • Δ Curve = 0.0025.

EN: Solution:

Lời giải:

EN: 5. Question 4 had a negative effective convexity, as compared to effective duration, which was positive. What does negative effective convexity mean? Solution:

EffCon = ______________________[( P V −) + ( P V +)] − [2 × ( P V 0)].( ΔCurve)2 × ( P V 0) EffCon = _____________________________[(103.891) + (98.504)] − [2 × (102.208)] .( 0.0025)2 ×( 102.208) EffCon = −3,164.

EN: Negative effective convexity means that the bond’s price will fall more with an increase in the benchmark yield than when the benchmark yield falls.

5. Câu hỏi 4 có effective convexity âm, trong khi effective duration dương. effective convexity âm có ý nghĩa gì? Lời giải:

effective convexity âm có nghĩa là giá của bond sẽ giảm nhiều hơn khi benchmark yield tăng so với khi benchmark yield giảm.

Tính mức thay đổi giá theo tỷ lệ của một bond đối với một thay đổi xác định trong benchmark yield, khi biết effective duration và convexity của bond

effective duration và effective convexity là hai khái niệm liên quan đến curves giúp đo lường risk trong các financial instruments phức tạp như bonds có các khoản thanh toán trong tương lai không chắc chắn. Chúng được tính bằng cách sử dụng bond prices được tạo ra từ option valuation model với các dịch chuyển nhất định trong benchmark government yield curve.

Tương tự, cũng như các thước đo interest rate risk khác dựa trên yields, effective duration và effective convexity có thể giúp tính mức thay đổi theo tỷ lệ trong giá của một bond khi benchmark yield curve dịch chuyển (∆ Curve ). Điều này được minh họa trong Equation 3.

Bây giờ, hãy quay lại với coupon bond 3.2% (semiannual) của BRWA, settled vào ngày 15 October 2025, đáo hạn vào ngày 15 October 2030 và hiện được định giá at par, sử dụng Equation 3 cùng effective duration và effective convexity đã được tính trước đó:

EffDur = 4.816 và EffCon = 26.723,

Mức thay đổi theo tỷ lệ trong full price của bond đối với các dịch chuyển ±100 basis points trong government par curve được tính ở trên.

%∆ PV__Full ≈ (–4.816 × 0.01) + [½ × 26.723 × (0.01)2 ] = –4.68%.

%∆ PV__Full ≈ (–4.816 × –0.01) + [½ × 26.723 × (–0.01)2 ] = 4.95%.

Những thay đổi trong bond price này nên được so sánh với các thay đổi đã tính trước đó là -4.47% và 4.71% đối với bond BRWA này khi chỉ sử dụng ApproxModDur và khi sử dụng lần lượt ApproxModDur và ApproxCon, với các thay đổi ±100 basis points trong yield-to-maturity.

Như đã đề cập ở trên, sự khác biệt trong kết quả giữa các thước đo dựa trên curve và các thước đo interest rate risk dựa trên yield bắt nguồn từ sự khác biệt nhỏ trong bond prices ( PV + và PV -) và, do đó, trong các chỉ số EffDur và EffCon (so với các chỉ số ApproxModDur và ApproxCon), bởi vì sự dịch chuyển song song của government par curve dẫn đến các dịch chuyển không song song của spot (zero) rates và one-year forward rates.

Các thước đo interest rate risk sử dụng curves rất hữu ích cho cả issuers và investors. Ví dụ, như chúng ta đã thấy ở trên, đối với một callable bond, việc benchmark curve giảm xuống với interest rates thấp so với coupon của bond sẽ dẫn đến effective duration giảm và thậm chí effective convexity trở nên âm. Từ góc độ investor, những kết quả như vậy làm giảm mạnh mức tăng giá của bond trong trường hợp interest rates giảm. Từ góc độ issuer, bonds có thể được called rồi bán lại theo các market conditions mới.

Bây giờ, nếu xét putable bond, một sự dịch chuyển lên của benchmark curve với interest rates tương đối cao so với coupon rate của bond sẽ làm giảm effective duration và effective convexity (mặc dù effective convexity luôn dương). Điều đó có nghĩa là, từ góc độ investor, tác động giá tiêu cực của việc interest rates tăng đối với giá của bond bị hạn chế vì investor có thể bán bonds trở lại cho issuer tại put price (thường là par) thay vì bán với giá discounted và đầu tư số tiền nhận được theo các market rates hiện tại cao hơn.

Một trong những vấn đề liên quan đến việc tính effective duration và effective convexity là lựa chọn mức thay đổi của benchmark yield curve. Khi nói về approximate modified duration, thay đổi trong yield-to-maturity càng lớn thì độ chính xác của estimate càng thấp. Pricing models cho một số securities như callable bonds do corporations phát hành và asset-backed securities (ABSs) đưa ra các giả định về hành vi của corporate issuers hoặc underlying borrowers tùy thuộc vào interest rates. Trong trường hợp corporate issuer, quyết định call bond và re-finance nó một phần phụ thuộc vào issuer-specific credit spreads. Trong trường hợp underlying mortgage borrowers, thay đổi về giá trị của financed asset ảnh hưởng đến quyết định có nên re-finance mortgage hay không (và call MBS bond). Đó là lý do tại sao estimate interest rate risk dựa trên effective duration và effective convexity không nhất thiết chính xác hơn khi lựa chọn các thay đổi nhỏ hơn của benchmark interest rates. Các ước tính interest rate risk dựa trên curve đã trở thành một thành phần thiết yếu trong financial analysis của cả traditional bonds và financial liabilities.

VÍ DỤ 2

Sử dụng Effective Duration và Convexity để ước tính thay đổi giá của bonds khi benchmark rate thay đổi

Quay lại Example 1, để hỗ trợ quan điểm của bạn rằng PM không nên mua callable bond đang giao dịch ở mức 101.060, bạn muốn chỉ ra tác động lên giá của effective convexity âm của bond. Giả sử benchmark government par curve tăng và giảm 100 bps, đồng thời tính bond prices bằng Equation 3 với các estimates EffDur và EffCon thu được dựa trên bond prices được tính bởi option valuation model của bạn:

• %∆ PV__Full ≈ (–7.601 × 0.01) + [½ × –285.168 × (0.0100)2 ] = –9.03%.

• %∆ PV__Full ≈ (–7.601 × –0.01) + [½ × –285.168 × (–0.0100)2 ] = 6.17%.

Trao đổi với PM, bạn kết luận rằng effective convexity âm dẫn đến giá của bond giảm thêm khi benchmark interest rates tăng và giá của bond tăng thêm khi benchmark interest rates giảm. Trong trường hợp dự báo của PM cho rằng các sự kiện benchmark tăng và giảm có xác suất như nhau, PM sẽ không đầu tư vào bond. Tuy nhiên, nếu PM dự báo rằng sự kiện benchmark giảm xảy ra với xác suất cao hơn, tức expected gain là dương, PM có thể quyết định đầu tư vào bond.

EN: Questions 1–5 refer to the following information:

Bài tập thực hành

EN: As an analyst dealing with fixed-income securities, you have been asked to assess the effects of a 200-basis-point upward shift in the benchmark government par curve on two bonds. The following data relating to effective duration and effective convexity of the bonds were derived from the bond pricing model.

Các câu hỏi 1-5 dựa trên thông tin sau:

EN: Bond A: Effective duration = 9.369; Effective convexity = –353.752. Bond B: Effective duration = 8.517; Effective convexity = –321.756.

Là một analyst làm việc với fixed-income securities, bạn được yêu cầu đánh giá tác động của sự dịch chuyển lên 200-basis-point trong benchmark government par curve đối với hai bonds. Dữ liệu sau liên quan đến effective duration và effective convexity của các bonds được suy ra từ bond pricing model.

EN: 1. Calculate the estimated percentage change in the full price of bond A in case of 200 bps upward shift in the benchmark government par curve.

Bond A: Effective duration = 9.369; Effective convexity = –353.752. Bond B: Effective duration = 8.517; Effective convexity = –321.756.

EN: Solution:

1. Tính mức thay đổi theo tỷ lệ ước tính trong full price của bond A trong trường hợp benchmark government par curve dịch chuyển lên 200 bps.

Lời giải:

EN: 2. Calculate the estimated percentage change in the full price of bond B in case of 200 bps upward shift in the benchmark government par curve. Solution:

• % ΔP V__Full ≈ (− EffDur × ΔCurve ) + [_ 21×EffCon× (ΔCurve)2] . % ΔP V__Full ≈( − 9.369 × 0.02) + [_1 2× − 353.752 × (0.02)2] . %Δ PV__Full ≈ −25.81%.

2. Tính mức thay đổi theo tỷ lệ ước tính trong full price của bond B trong trường hợp benchmark government par curve dịch chuyển lên 200 bps. Lời giải:

   • % ΔP V__Full ≈ (− EffDur × ΔCurve ) + [_ 21×EffCon× (ΔCurve)2] . % ΔP V__Full ≈( − 8.517 × 0.02) + [_1 2× − 321.756 × (0.02)2] . %Δ PV__Full ≈ −23.47%.

Key Rate Duration và ứng dụng trong Fixed Income Analysis

Như đã lưu ý ở trên, effective duration đo lường mức độ nhạy cảm của trái phiếu đối với sự thay đổi của benchmark yield curve nếu tất cả các yield thay đổi cùng một mức. Ngoài ra, key rate duration có thể cho chúng ta biết về mức độ nhạy cảm của trái phiếu đối với các thay đổi do benchmark yield curve dịch chuyển không song song. Key rate duration (partial duration) là thước đo mức độ nhạy cảm của trái phiếu đối với sự thay đổi của benchmark yield tại một maturity nhất định. Nó hữu ích trong việc tách riêng phản ứng về giá của trái phiếu đối với những thay đổi của rate tại các maturity then chốt trên benchmark yield curve.

Curve-Based and Empirical Fixed-Income Risk Measures

Key rate durations được định nghĩa là thước đo mức độ nhạy cảm về giá của một chứng khoán trên một phạm vi các maturity trên yield curve, trong đó tổng các key rate durations bằng effective duration (Phương trình 4 và 5):

trong đó rk là key rate thứ k. Không giống effective duration, key rate durations sẽ giúp xác định "shaping risk" của trái phiếu, tức là mức độ nhạy cảm của trái phiếu đối với những thay đổi trong hình dạng của benchmark yield curve (ví dụ, khi yield curve trở nên dốc hơn, phẳng hơn hoặc bị xoắn).

Phương pháp tính key rate durations tương tự phương pháp tính effective duration, nhưng trong khi toàn bộ benchmark yield curve được thay đổi trong trường hợp sau, thì chỉ một số điểm then chốt nhất định được thay đổi lần lượt trong trường hợp trước. Key rate thứ k (có thể là rate kỳ hạn 0.5, 2, 5, 10, 20 hoặc 30 năm) được tăng và giảm 1 bp, các giá trái phiếu mới PV + và PV – được tạo ra, sau đó key rate duration tại maturity cụ thể này được tính theo Phương trình 4. Do đó, effective duration được tính riêng cho từng maturity shift.

Exhibit 3: Key Rate Shift

Exhibit 4 minh họa quy trình lần lượt thay đổi benchmark rate lên và xuống tại từng maturity then chốt trên benchmark yield để tính key rate duration tại maturity đó.

Exhibit 4: Key Rate Shifts across the Benchmark Yield Curve

Yield Term 0.5 2 5 10 20 30

Về các ứng dụng thực tế của key rate duration, analyst muốn ước tính mức thay đổi của giá callable bond nếu có sự tăng 25 bps trong interest rate của các benchmark ngắn hạn, chẳng hạn như 2-year Treasury notes có modified duration là 1.99, nhưng không có thay đổi nào trong interest rate của các maturity dài hơn. Với hình dạng yield curve dương đã cho, tình huống được mô tả được xem là sự làm phẳng yield curve.

Theo Phương trình 6, các hạng tử từ Phương trình 4 được sắp xếp lại để tính ∆ PV / PV (hoặc %∆ PV__Full ).

_ΔPV PV= −KeyRateDurk×Δrk. (6)

Với Phương trình 6, thay đổi giá ước tính sẽ là -0.4975%: ∆ PV / PV = –1.99 × 0.0025.

Hãy xem xét danh mục đơn giản gồm các government bonds được trình bày trong Exhibit 5.

Exhibit 5: Simple Government Bond Portfolio

|Tenor (Năm)|Coupon|Annualized Yield (%)|Giá|Quy mô vị thế|Modified Duration|Key Rate Duration| |2|0.00|0.50|99.006|$99,006,219|1.990|0.711| |5|0.00|1.25|93.960|$93,959,580|4.938|1.675| |10|0.00|1.75|84.010|$84,009,625|9.828|2.981| |||||$276,975,424|5.368|5.368|

Giả sử weights của danh mục dựa trên giá của các trái phiếu kỳ hạn 2, 5 và 10 năm tương ứng, với danh mục có giá trị $277 triệu, hay$1 triệu × (99.006 + 93.96 + 81.01). Khi đó, modified duration của danh mục sẽ được tính như sau:

5.368 = [1.990 × (99.006/277)] + [4.938 × (93.96/277)] + [9.828 × (84.01/277)].

Ngoài ra, chúng ta có thể tính key rate duration cho từng maturity. Ví dụ, key rate duration 2 năm (_KeyRateDur_2) sẽ là:

0.711 = 1.990 × (99.006/277).

Cần lưu ý rằng ba số liệu key rate duration cộng lại bằng số liệu duration của danh mục là 5.368.

Danh mục trên được xem là một “index.” Một manager muốn vượt hiệu suất của index sẽ muốn điều chỉnh key rate duration dựa trên kỳ vọng của mình về sự thay đổi trong hình dạng yield curve, như được giải thích trong ví dụ dưới đây.

EXAMPLE 3

Sử dụng Key Rate Duration để ước tính Interest Rate Risk cho các trái phiếu trong một danh mục

Tiếp theo Example 2 ở trên, portfolio manager yêu cầu bạn giúp xác định liệu có cần rebalance bond portfolio để tối đa hóa return dựa trên tenor của các trái phiếu trong danh mục, dữ liệu key rate duration và kỳ vọng về benchmark government par curve shift tại các maturity khác nhau hay không. Lưu ý rằng cả bốn trái phiếu đều có cùng benchmark government par curve. Dữ liệu hiện tại của các trái phiếu như sau:

Các thay đổi trong benchmark government par curves được dự báo tại các maturity khác nhau được liệt kê dưới đây.

|Maturity|1 năm|5 năm|10 năm|20 năm| |Expected|–23 bps|–25 bps|–18 bps|–10 bps| |change|||||

Khi nhân key rate duration với curve shift tại một maturity cụ thể, chúng ta có thể dự báo thay đổi về giá của trái phiếu. Ví dụ, thay đổi giá cho maturity 1 năm sẽ là –0.645 × –0.0023 = 0.148%. Việc tính thay đổi giá cho tất cả các trái phiếu được trình bày dưới đây:

||1 năm (Trái phiếu|5 năm (Trái phiếu|10 năm|20 năm| |Maturities|A)|B)|(Trái phiếu C)|(Trái phiếu D)| |% change in|0.148%|0.371%|0.388%|0.298%| |bondprice|||||

Do đó, do những thay đổi giá được dự báo cho các trái phiếu cho thấy thay đổi giá có lợi cho Trái phiếu B và C, sẽ tốt hơn nếu tăng weightings của các trái phiếu này so với Trái phiếu D và Trái phiếu A, vốn sẽ mang lại mức gains thấp hơn trong tất cả các trái phiếu.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Câu hỏi 1-3

Công việc bạn đã thực hiện về tác động của việc benchmark government par curve tăng 200 basis points đối với hai trái phiếu đã được mở rộng sang một tình huống phức tạp hơn nhiều. Bạn được yêu cầu phân tích tình huống benchmark government par curve dịch chuyển không song song, trong đó curve trở nên dốc hơn tại các maturity dài hơn. Chi tiết về các dịch chuyển không song song của benchmark government par curves được đưa ra dưới đây:

|Maturity|1 year|5 years|10 years|20 years|30 years| |Expected|+100 bps|+150 bps|+200 bps|+250 bps|+300 bps| |change||||||

Thông tin liên quan về hai trái phiếu như sau:

EN: 1. From the information provided above, determine which of the bonds will have the higher percentage change in its price because of the shift in the benchmark par curve. Solution: Bond B. ∆ PV / PV of Bond A = –2.702 × 0.015 = –4.05%. ∆ PV / PV of Bond B = –3.953 × 0.020 = –7.91%.

EN: 2. Assuming that the figures provided in the table above concerning the non-parallel yield curve shifts are forecasts, and your portfolio is equally invested in the two bonds, which of the following should be the appropriate action?

1. Từ thông tin được cung cấp ở trên, hãy xác định trái phiếu nào sẽ có mức thay đổi theo tỷ lệ % về giá lớn hơn do benchmark par curve dịch chuyển. Lời giải: Bond B. ∆ PV / PV của Bond A = –2.702 × 0.015 = –4.05%. ∆ PV / PV của Bond B = –3.953 × 0.020 = –7.91%.

EN: - A. Sell Bond A. B. Sell Bond B. C. Sell Bond A and B.

2. Giả sử các số liệu được cung cấp trong bảng trên liên quan đến các non-parallel yield curve shifts là dự báo và danh mục của bạn được đầu tư ngang bằng vào hai trái phiếu, hành động nào sau đây là phù hợp?

EN: - Solution: C is correct. Sell both Bonds A and B, because both bonds' prices are forecasted to decline.

• A. Bán Bond A. B. Bán Bond B. C. Bán Bond A và B.

EN: 3. Why are key rate durations important for portfolio management despite the fact that the key rate duration of the bonds in a portfolio sums up to the portfolio duration?

• Lời giải: C là đáp án đúng. Bán cả Bond A và B, vì giá của cả hai trái phiếu đều được dự báo sẽ giảm.

3. Tại sao key rate durations lại quan trọng đối với portfolio management mặc dù key rate duration của các trái phiếu trong một danh mục cộng lại bằng portfolio duration?

EN: - Having knowledge about the duration of the portfolio as well as the movements of the benchmark yield curve can give us a rough estimate about our potential gains and losses, but by means of key rate durations, a portfolio manager can over-weight or under-weight certain tenors in order to enhance the risk adjusted returns.

LỜI GIẢI

• Việc có kiến thức về duration của danh mục cũng như các biến động của benchmark yield curve có thể cho chúng ta một ước tính sơ bộ về gains và losses tiềm năng, nhưng bằng key rate durations, một portfolio manager có thể over-weight hoặc under-weight một số tenor nhất định nhằm nâng cao risk adjusted returns.

EMPIRICAL DURATION 5

mô tả sự khác biệt giữa empirical duration và analytical duration

Cho đến nay, các phương pháp được sử dụng để tính các thống kê duration và convexity thông qua các biểu thức toán học được gọi là phương pháp analytical duration; các phương pháp mà chúng ta đã thảo luận ở trên được trình bày trong Exhibit 6. Vấn đề là các ước tính về ảnh hưởng của những thay đổi benchmark yield đối với giá trái phiếu dựa trên analytical duration hàm ý rằng

government bond yields và spreads là các random variables độc lập và không có tương quan. Phương pháp analytical duration đưa ra ước tính khá tốt về mối quan hệ price-yield trong hầu hết các trường hợp.

Exhibit 6: Curve-Based and Empirical Duration Measures

Nhưng còn một điều quan trọng nữa liên quan đến duration. Những người thực hành Fixed Income thường xuyên sử dụng historical data cùng với statistical analysis và một số variables khác ảnh hưởng đến giá trái phiếu để có được các ước tính về empirical duration (Exhibit 6).

Ví dụ, trong thời kỳ khủng hoảng, investors bán risky assets và mua government bonds. Hiệu ứng "flight to quality" có thể dẫn đến government benchmark yields giảm và credit spreads mở rộng. Figure 7 trình bày một ví dụ về hiệu ứng "flight to quality" trong giai đoạn đầu của đại dịch COVID-19 vào cuối tháng 2 năm 2020.

Exhibit 7: 10-Year US Treasury Yield vs. US Corporate BB Credit Spread, Q1 2020

Chúng ta nên lưu ý rằng trong các giai đoạn được mô tả, có thể có sự khác biệt giữa các ước tính analytical duration và empirical duration. Khi ước tính government bonds có ít hoặc không có credit risk, chúng ta kỳ vọng analytical duration và empirical duration sẽ gần nhau vì factor chính ảnh hưởng đến giá trái phiếu sẽ là government benchmark yields. Tuy nhiên, credit spreads (và liquidity spreads) sẽ trở nên rộng hơn khi probability of default tăng lên. Do mối quan hệ âm giữa credit spreads và benchmark yields trong trường hợp này, credit spreads mở rộng sẽ bù trừ một phần hoặc toàn bộ cho việc government benchmark yields giảm và dẫn đến các ước tính empirical duration thấp hơn các ước tính analytical duration (điều đó có nghĩa là một sự giảm giá trái phiếu do credit spreads mở rộng sẽ bù trừ cho một sự tăng giá do government benchmark yields giảm). Để lựa chọn loại duration, analysts nên xem xét mối quan hệ giữa benchmark yields và credit spreads.

EXAMPLE 4

Corporate Bond Portfolio của Viswan Family Office - Empirical Duration so với Analytical Duration

Ngoài equities, Viswan Family Office (VFO) nắm giữ một government bond portfolio và một corporate bond portfolio. Các vị thế trong government bond portfolio chủ yếu bao gồm US Treasury securities trung hạn; tuy nhiên, debt của các sovereign issuers thuộc developed markets có xếp hạng cao khác cũng có thể được đưa vào. Một nửa corporate bond portfolio bao gồm investment grade bonds và nửa còn lại bao gồm high-yield bonds; danh mục bao gồm nhiều maturity và companies khác nhau từ Bắc Mỹ, Châu Âu và Châu Á.

Tại sao empirical duration có thể hữu ích hơn trong việc đánh giá interest rate risk cho corporate bond portfolio của VFO so với government bond portfolio của VFO?

Lời giải:

Government bond portfolio bao gồm debt securities do chính phủ Mỹ và các sovereign issuers thuộc developed markets có xếp hạng cao khác phát hành. Do đó, vì government benchmark yields là các factors chính ảnh hưởng đến overall bond yields trong danh mục này, sẽ không có sự khác biệt giữa các thước đo empirical duration và analytical duration.

Debt securities portfolio của corporation bao gồm một phạm vi đa dạng các debt securities có mức độ credit risk và liquidity risk khác nhau, và do đó cũng có spreads khác nhau.

Correlations giữa các biến động của benchmark yields và độ lớn của credit spreads và liquidity spreads là âm, đặc biệt trong các stressed market environments, vì vậy trong các giai đoạn này, sự giảm của benchmark yields được bù trừ nhiều hơn bởi sự gia tăng của credit spreads và liquidity spreads. Do đó, duration của các trái phiếu có xếp hạng thấp hơn này thấp hơn đáng kể so với analytical durations của chúng.

Vì vậy, empirical duration là thước đo interest rate risk tốt hơn trong corporate bond portfolio so với analytical duration.

1. Liên quan đến analytical duration so với empirical duration, nhận định nào sau đây là đúng?

• A. Empirical duration và convexity là các giá trị duration và convexity được tính toán bằng các công thức.

Curve-Based and Empirical Fixed-Income Risk Measures

• B. Các ước tính analytical duration và convexity được suy ra từ historical data trong các non-statistical models có tính đến nhiều biến số ảnh hưởng đến giá trái phiếu.

• C. Neither A nor B

Lời giải:

C là đáp án đúng.

A không đúng vì analytical duration và convexity estimates, chứ không phải empirical duration và convexity estimates, được tính toán dựa trên các công thức toán học.

B đúng vì empirical duration và convexity estimates, chứ không phải analytical duration và convexity estimates, được ước tính dựa trên historical data trong các non-statistical models có tính đến nhiều biến số ảnh hưởng đến giá trái phiếu.

2. Đúng hay sai: Empirical duration estimates cho ra các ước tính tốt hơn analytical duration estimates đối với các trái phiếu có credit risk.

Lời giải:

Đúng. Government bond yields sẽ bị đẩy xuống thấp hơn bởi các macroeconomic variables trong một market stress scenario. Flight to safety cũng sẽ dẫn đến credit spreads của high-yield bonds nới rộng do expected default risk gia tăng. Xét đến negative correlation giữa credit spreads và benchmark yields trong kịch bản này, việc credit spread nới rộng sẽ bù đắp ít nhất một phần hoặc hoàn toàn mức giảm của government benchmark yields. Analytical duration không giả định bất kỳ correlation nào giữa benchmark yields và spreads.

3. Hãy thảo luận một số khó khăn trong việc tính toán empirical duration.

Lời giải:

Việc tính toán empirical duration sử dụng dữ liệu quá khứ và xem xét nhiều yếu tố. Việc lựa chọn những yếu tố nào để đưa vào và loại trừ, tầm quan trọng của từng yếu tố, và trọng số của dữ liệu hiện tại so với dữ liệu cũ (duration nên được đo trong khoảng thời gian bao lâu) là một số khó khăn liên quan.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Thông tin sau đây liên quan đến các câu hỏi 1-8

EN: 1. What kind of duration calculation would be most appropriate for the two bonds issued by Large-Cap Company for measuring interest-rate risk?*

Một nhà đầu tư nắm giữ một well-diversified portfolio trị giá $200,000 bằng tiền mặt. Nhà đầu tư dự định sử dụng số tiền này để mua short-term bonds kỳ hạn một năm của Large-Cap Company trước khi đầu tư số tiền đó vào một upcoming IPO. Hiện tại, có hai trái phiếu của Large-Cap Company trên thị trường với thời hạn đáo hạn một năm. Một trái phiếu là Bond A, là non-callable, trong khi Bond B là callable bond. Bạn được yêu cầu thực hiện một phân tích.

EN: - A. Modified duration

Bản dịch: 1.* Loại duration calculation nào sẽ phù hợp nhất đối với hai trái phiếu do Large-Cap Company phát hành để đo lường interest-rate risk?

EN: - B. Macaulay duration

Bản dịch: - A. Modified duration

EN: - C. Effective duration

Bản dịch: - B. Macaulay duration

EN: 2. With regard to Bond B, if the benchmark yield curve declines, the tangent line to the bond will flatten with declining benchmark yield and will reach an inflection point; thereafter the effective convexity will be:*

Bản dịch: - C. Effective duration

EN: - A. positive.

Bản dịch: 2.* Đối với Bond B, nếu benchmark yield curve giảm, tiếp tuyến của đường cong trái phiếu sẽ trở nên phẳng hơn khi benchmark yield giảm và sẽ đạt đến một inflection point; sau đó effective convexity sẽ là:*

EN: - B. negative.

Bản dịch: - A. dương.

EN: - C. neither positive nor negative.

Bản dịch: - B. âm.

EN: * 3. The below information regarding Bond A and Bond B has been collected:

Bản dịch: - C. không dương cũng không âm.

Bản dịch: * 3. Thông tin dưới đây liên quan đến Bond A và Bond B đã được thu thập:

EN: Determine the relative interest rate risk of Bond A and Bond B.

EN: - A. Bond A is riskier than Bond B.

Bản dịch: Xác định interest rate risk tương đối của Bond A và Bond B.

EN: - B. Bond B is riskier than Bond A.

Bản dịch: - A. Bond A rủi ro hơn Bond B.

EN: - C. Bond A and Bond B have similar interest rate risks.

Bản dịch: - B. Bond B rủi ro hơn Bond A.

EN: * 4. In the case of a 200 bps increase in the benchmark yield in relation to the percentage price change of Bond A, what proportion of the price change should be of concern to you?

Bản dịch: - C. Bond A và Bond B có interest rate risks tương tự nhau.

EN: - A. Duration

Bản dịch: * 4. Trong trường hợp benchmark yield tăng 200 bps, liên quan đến percentage price change của Bond A, thành phần nào của price change là điều bạn nên quan tâm?

EN: - B. Convexity

Bản dịch: - A. Duration

EN: - C. Not able to determine with given information

Bản dịch: - B. Convexity

Bản dịch: - C. Không thể xác định với thông tin được cung cấp

EN: * 5. Your colleague asks you whether you also thought about investigating key rate durations in the comparison of interest rate risks of Bond A and Bond B. Would an investigation into key rate durations of Bond A and Bond B provide more insight to you regarding interest rate risk of both the bonds?

Curve-Based and Empirical Fixed-Income Risk Measures

EN: - A. Yes

Bản dịch: * 5. Đồng nghiệp của bạn hỏi liệu bạn có cân nhắc việc xem xét key rate durations khi so sánh interest rate risks của Bond A và Bond B hay không. Việc xem xét key rate durations của Bond A và Bond B có mang lại cho bạn thêm thông tin về interest rate risk của cả hai trái phiếu hay không?

EN: - B. No

Bản dịch: - A. Có

EN: - C. Inconclusive

Bản dịch: - B. Không

EN: * 6. The investor has diversified his/her portfolio, and the fixed-income portion of his/her portfolio includes bonds of various maturities with duration equal to 7.48621. What will be the consequence on the effective duration of the fixed-income portion of the investor’s portfolio if Bond A is included in the portfolio?*

Bản dịch: - C. Không thể kết luận

EN: - A. It would increase.

Bản dịch: * 6.* Nhà đầu tư đã đa dạng hóa portfolio của mình, và fixed-income portion của portfolio bao gồm các trái phiếu có nhiều kỳ hạn khác nhau với duration bằng 7.48621. Hệ quả đối với effective duration của fixed-income portion trong portfolio của nhà đầu tư sẽ là gì nếu Bond A được đưa vào portfolio?

EN: - B. If would decrease.

Bản dịch: - A. Nó sẽ tăng.

EN: - C. It would stay the same.

Bản dịch: - B. Nó sẽ giảm.

EN: * 7. With regard to the two bonds you are analyzing, would analytical duration estimations or empirical duration estimations be the most appropriate ones for your analysis?*

Bản dịch: - C. Nó sẽ giữ nguyên.

EN: - A. Analytical duration estimates

Bản dịch: * 7.* Đối với hai trái phiếu mà bạn đang phân tích, analytical duration estimations hay empirical duration estimations sẽ là các ước tính phù hợp nhất cho phân tích của bạn?

EN: - B. Empirical duration estimates

Bản dịch: - A. Analytical duration estimates

EN: - C. Either type of estimate would be appropriate.

Bản dịch: - B. Empirical duration estimates

EN: * 8. How would a "flight to safety" (i.e., declining government bond yields and widening credit spreads) affect the analytical duration estimation of Bond A?*

Bản dịch: - C. Bất kỳ loại estimate nào cũng sẽ phù hợp.

EN: - A. Decreased duration

Bản dịch: * 8.* Một "flight to safety" (tức là government bond yields giảm và credit spreads nới rộng) sẽ ảnh hưởng như thế nào đến analytical duration estimation của Bond A?

EN: - B. Increased duration

Bản dịch: - A. Duration giảm

EN: - C. No impact

Bản dịch: - B. Duration tăng

Bản dịch: - C. Không ảnh hưởng

EN: 1. C is correct. Because Bond B is callable, there is an option embedded within this bond, and thus the effective duration is the best measure of duration. Moreover, the effective duration is applicable to non-optionable bonds and will allow the comparison of the interest rate risks of both bonds.

LỜI GIẢI

EN: 2. B is correct. Given that the bond is callable, at a certain point along the yield curve, the issuer will exercise the call and the owner will be unable to realize any gain from further reductions in the benchmark yield curve.

Bản dịch: 1. C là đáp án đúng. Vì Bond B là callable, có một option được embedded trong trái phiếu này, và do đó effective duration là thước đo duration tốt nhất. Hơn nữa, effective duration có thể áp dụng cho non-optionable bonds và sẽ cho phép so sánh interest rate risks của cả hai trái phiếu.

EN: 3. Choice B is the answer. The reason is that Bond B is more risky as the increase in yield curve of 100 bps leads to a larger decrease in prices due to negative convexity.

Bản dịch: 2. B là đáp án đúng. Do trái phiếu là callable, tại một điểm nhất định trên yield curve, issuer sẽ exercise the call và người sở hữu sẽ không thể hiện thực hóa bất kỳ khoản lãi nào từ việc benchmark yield curve tiếp tục giảm.

EN: - %∆ PV__Full Bond A ≈ (–7.48621 × 0.0200) + [½ × 29.35972 × (–0.0200)2 ] = –7.33941%.

Bản dịch: 3. Lựa chọn B là đáp án. Lý do là Bond B rủi ro hơn vì yield curve tăng 100 bps dẫn đến giá giảm nhiều hơn do negative convexity.

EN: %∆ PV__Full Bond B ≈ (–7.23853 × 0.0200) + [½ × –321.75618 × (0.0200)2 ] = –8.84730%.

Bản dịch: - %∆ PV__Full Bond A ≈ (–7.48621 × 0.0200) + [½ × 29.35972 × (–0.0200)2 ] = –7.33941%.

EN: 4. Choice A is the correct answer. Generally speaking, the impact of duration on bonds’ price changes is substantially higher than the impact of convexity.

Bản dịch: %∆ PV__Full Bond B ≈ (–7.23853 × 0.0200) + [½ × –321.75618 × (0.0200)2 ] = –8.84730%.

EN: %∆ PV__Full Bond A, Duration ≈ –7.48621 × 0.0200 = –14.97242%.

Bản dịch: 4. Lựa chọn A là đáp án đúng. Nhìn chung, tác động của duration lên price changes của trái phiếu cao hơn đáng kể so với tác động của convexity.

EN: %∆ PV__Full Bond A, Convexity Adjustment ≈ ½ × 29.35972 × (–0.0200)2 = –0.58719%.

Bản dịch: %∆ PV__Full Bond A, Duration ≈ –7.48621 × 0.0200 = –14.97242%.

EN: 5. Choice B is the right answer. As both bonds mature in one year, there is no point in using the key rate duration approach because both bonds will experience the same change of the curve.

Bản dịch: %∆ PV__Full Bond A, Convexity Adjustment ≈ ½ × 29.35972 × (–0.0200)2 = –0.58719%.

EN: 6. Choice C is correct. The effective duration of Bond A is equal to the portfolio’s effective duration.

Bản dịch: 5. Lựa chọn B là đáp án đúng. Vì cả hai trái phiếu đều đáo hạn sau một năm, không có lý do gì để sử dụng key rate duration approach vì cả hai trái phiếu sẽ trải qua cùng một thay đổi của đường cong.

EN: 7. Choice B is correct. Both Bond A and Bond B are corporate bonds, hence, the credit risk exists. In this case, the empirical duration would be the best choice since yields and credit spread may not be positively correlated.

Bản dịch: 6. Lựa chọn C là đáp án đúng. Effective duration của Bond A bằng effective duration của portfolio.

EN: 8. C is the right answer. The analytical duration would not be affected by this event at all. But there would be an effect on empirical duration. A flight to safety would make the bond price go up because of the fall in benchmark interest rate and increasing of credit spread.

Bản dịch: 7. Lựa chọn B là đáp án đúng. Cả Bond A và Bond B đều là corporate bonds, do đó tồn tại credit risk. Trong trường hợp này, empirical duration sẽ là lựa chọn tốt nhất vì yields và credit spread có thể không positively correlated.

Bản dịch: 8. C là đáp án đúng. Analytical duration hoàn toàn không bị ảnh hưởng bởi sự kiện này. Nhưng empirical duration sẽ bị ảnh hưởng. Flight to safety sẽ làm giá trái phiếu tăng lên do benchmark interest rate giảm và credit spread tăng.