Yield Based Bond Convexity and Portfolio Properties

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

• tính toán và giải thích convexity và convexity adjustment
• tính toán percentage price change của một bond đối với một thay đổi nhất định của yield, dựa trên duration và convexity của bond
• tính toán duration và convexity của portfolio và thảo luận các hạn chế của các thước đo này

Trong khi duration là một phép xấp xỉ tuyến tính về mức độ nhạy cảm của giá bond đối với các thay đổi của yield, mối quan hệ thực tế giữa giá của một bond và yield-to-maturity của nó là một đường cong (convex). Convexity, với vai trò là một thước đo rủi ro bổ sung, cho phép đưa ra các ước tính tốt hơn về thay đổi giá bond dựa trên modified duration, có tính đến độ cong của mối quan hệ price/yield. Convexity adjustment đóng vai trò ngày càng quan trọng trong trường hợp yield-to-maturity biến động lớn và đối với các bond dài hạn. Phần học này cũng trình bày cách tính duration và convexity của một bond portfolio, đồng thời thảo luận một số hạn chế do các giả định nền tảng.

Phần lớn các example và exhibit được cung cấp trong bài đọc có thể được truy cập ở định dạng Microsoft Excel. Mỗi worksheet trong file Excel được đánh dấu bằng số example hoặc exhibit tương ứng trong bài đọc.

• Convexity là một thước đo rủi ro bổ sung, phản ánh tác động phi tuyến tính (second-order) của các thay đổi trong yield lên giá của một option-free fixed-rate bond. Convexity adjustment được cộng thêm vào ước tính tuyến tính về thay đổi giá do modified duration cung cấp.

Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties

• Convexity luôn dương đối với một option-free fixed-rate bond, điều này có nghĩa là mức tăng giá do yield giảm và mức giảm giá do yield tăng đều bị ước tính quá mức khi chỉ sử dụng duration. Vì vậy, convexity có lợi cho nhà đầu tư.

• Convexity có cùng mối quan hệ với các đặc điểm của bond như duration, nghĩa là một fixed-rate bond sẽ có convexity lớn hơn khi time-to-maturity dài hơn, coupon rate thấp hơn và yield-to-maturity thấp hơn.

• Money convexity là convexity được đo bằng đơn vị tiền tệ hoặc theo tỷ lệ % của par value của bond, do nó là tích của annual convexity của một bond và tổng giá của bond.

• Duration và convexity của portfolio có thể được tính theo một trong hai cách: (1) weighted average của thời gian nhận tổng cash flows của portfolio hoặc (2) weighted average của duration và convexity của từng bond riêng lẻ.

• Mặc dù phương pháp sau là chính xác về mặt lý thuyết, phương pháp đầu tiên khó áp dụng. Phương pháp trước thường được portfolio manager sử dụng, mặc dù nó đưa ra giả định rằng các dịch chuyển của yield curve có tính song song, một kịch bản khó xảy ra.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi nêu trên nhằm giúp bạn đánh giá mức độ hiểu biết hiện tại của mình về Learning Module.

1. EN: Convexity of the 4-year, 2.8% (Semiannual) Coupon Bond which has been issued on 1 August 2035 and has maturity date 1 August 2039 is closest to:

Convexity của 4-year, 2.8% (Semiannual) Coupon Bond được phát hành vào ngày 1 August 2035 và có ngày maturity là 1 August 2039 gần nhất với:

• EN: A. 7.624.

A. 7.624.

• EN: B. 16.413.

B. 16.413.

C. 65.651.

Lời giải: B là đáp án đúng.

Four-Year, 2.8% Semiannual Bond tại thời điểm phát hành

|(1) (2)|(3)|(4)|(5) (6)|= (2) × (5)|(7) = Col. 2 × (Col. 2 + 1) × Col. 5 × (1 + YTM/2)****-2| |Period Time to Receipt|Cash Flow|Present Value|Weight Time ×|to Receipt Weight|Convexity of Cash Flows| |||100.0000|1.00000 |7.62391|65.65133| |Annualized Macaulay Duration and|Convexity|||3.81195|16.41283| |Annualized convexity là 16.41 (65.65133) chia cho bình phương số kỳ mỗi năm: 22= 4).|283 và kết quả được lấy từ tổng|các giá trị tại Column 7|của các kỳ mỗi năm (hai kỳ)|||

2. EN: Identify which of the following statements is true.

Xác định phát biểu nào sau đây là đúng.

A. luôn âm đối với một option-free fixed-rate bond.

B. phản ánh tác động first-order của các thay đổi yield lên giá của một bond.

C. được cộng vào ước tính thay đổi giá bond do modified duration cung cấp.

Lời giải: C là đáp án đúng. Convexity adjustment được cộng vào ước tính thay đổi giá do modified duration cung cấp đối với một thay đổi nhất định của yield-to-maturity:

%ΔP V Full≈ (−AnnModDur ×ΔYield) + [1_ 2 ×AnnConvexity× (ΔYield) 2 ] .

*A sai vì convexity luôn dương đối với một option-free fixed-rate bond. B sai vì convexity phản ánh tác động second-order của các thay đổi yield lên giá của một bond, còn duration phản ánh tác động first-order.

Câu 3 và 4 liên quan đến thông tin sau. Một nhà đầu tư nắm giữ vị thế GBP50,000,000 trong một 10-year, 3.50% fixed-coupon bond (semiannual) đang được giao dịch tại par value. Annualized modified duration là 8.376 và annualized convexity là 81.701. Nhà đầu tư kỳ vọng interest rates sẽ giảm 100 bps.

3. EN: The expected percentage change in the price of the bond is closest to:

Mức thay đổi % dự kiến của giá bond gần nhất với:

A. 7.97%.

B. 8.01%.

C. 8.78%.

Lời giải: C là đáp án đúng. Thay đổi giá dự kiến được tính như sau:

%Δ PV__Full ≈ 0.0878 = 8.78%

4. EN: The inclusion of money convexity to the change in the value of bond calculated through the use of money duration is closest to:

Phần bổ sung của money convexity vào thay đổi giá trị của bond được tính bằng money duration gần nhất với:

• EN: A. GBP204,252.

A. GBP204,252.

• EN: B. GBP408,503.

B. GBP408,503.

• EN: C. GBP4,188,220.

C. GBP4,188,220.

Solution:

Lời giải: A là đáp án đúng. Trong câu hỏi này, cần xác định money convexity adjustment. Trước tiên, tính money convexity:

MoneyCon = AnnConvexity × PV__Full .

MoneyCon = 81.701 × GBP50,000,000.

MoneyCon = GBP4,085,033,604.

Sau đó, tính Money Convexity Adjustment:

MoneyConv.Adjustment ≈ GBP204,252.

5. EN: A EUR100 million bond portfolio contains the following bonds:

Một EUR100 million bond portfolio bao gồm các bond sau:

|Bond|Maturity (yrs.)|YTM (%)|Market Value|Annualized Modified Duration|Annualized Convexity| |A|3|2.80%|EUR40,000,000|2.858|9.752| |B|10|3.50%|EUR60,000,000|8.376|81.701|

Percentage price change của bond portfolio do yield-to-maturity tăng 50 bps gần nhất với:

A. 3.018%.

B. 3.085%.

C. 3.151%.

Solution:

Lời giải: A là đáp án đúng. Weight của Bond A và Bond B lần lượt là 40% và 60%. Do đó, weighted-average duration và convexity của portfolio lần lượt là 6.169 và 52.921. Percentage portfolio price change dự kiến, giả định YTM thay đổi 50 bp, có thể được ước tính như sau:

• % ΔP V__Full ≈( − 6.169 × 0.005) + [_1 2× 52.921 × (0.005)2] . %Δ PV__Full ≈ −3.018%

6. EN: Using weighted-average duration and convexity measures to estimate bond portfolio interest rate risk:

Việc sử dụng các thước đo weighted-average duration và convexity để ước tính bond portfolio interest rate risk:

• EN: A. is difficult in practice.

A. khó áp dụng trong thực tế.

• EN: B. is the theoretically correct approach.

B. là phương pháp đúng về mặt lý thuyết.

• EN: C. assumes a parallel shift in the yield curve.

C. giả định yield curve dịch chuyển song song.

• EN: Solution: C is the right answer. Using the weighted-average duration and convexity measures to estimate bond portfolio interest rate risk is convenient, but not the theoretically correct procedure (the correct way is using the weighted average of time to receipt of the aggregate cash flows, though). Nevertheless, this method implies the parallel shift of the yield curve.

Lời giải: C là đáp án đúng. Việc sử dụng các thước đo weighted-average duration và convexity để ước tính bond portfolio interest rate risk là thuận tiện, nhưng không phải là quy trình đúng về mặt lý thuyết (cách đúng là sử dụng weighted average của thời gian nhận aggregate cash flows). Tuy nhiên, phương pháp này hàm ý yield curve dịch chuyển song song.

tính toán và diễn giải convexity, đồng thời mô tả convexity adjustment

Interest rate risk, hay mức độ nhạy cảm của giá bond đối với các thay đổi yield, là một trong những khái niệm phổ biến nhất được sử dụng trong phân tích fixed-income investments. Duration là một thước đo rủi ro quan trọng, cho thấy tác động tuyến tính của thay đổi yield-to-maturity lên giá của một bond. Ngược lại, Convexity là một thước đo rủi ro cho thấy tác động phi tuyến tính của các thay đổi yield lên giá bond đối với một option-free fixed-rate bond.

Exhibit 1: Convexity của một Option-Free Fixed-Rate Bond

Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties

Mối quan hệ price-yield-to-maturity thực tế là một đường price-yield-to-maturity cong (convex), cho thấy giá thực tế của một bond dựa trên market discount rate. Money duration ước tính thay đổi giá bond bằng cách đo đường thẳng tiếp tuyến với đường cong. Khi thay đổi trong yield-to-maturity nhỏ, chênh lệch giữa các đường là nhỏ.

Tuy nhiên, đối với các thay đổi lớn hơn, chênh lệch là đáng kể và money duration không cung cấp một thước đo đầy đủ về interest-rate risk. Phân tích trong những tình huống như vậy cần tính đến tính phi tuyến tính của tác động giá do convexity gây ra. Khi sử dụng đồng thời các thước đo duration và convexity đối với những thay đổi tương đối lớn của yield, giá bond ước tính sẽ gần với giá bond thực tế hơn đáng kể. Cụ thể, việc sử dụng cả convexity và duration khiến giá bond tăng nhiều hơn khi yield giảm và giảm ít hơn khi yield tăng.

Như được thể hiện trong Equation 1, convexity được cộng vào ước tính về percentage (full) price change khi chỉ sử dụng modified duration, vốn đã được sử dụng trong các phần học trước. % ΔP V__Full ≈ (− AnnModDur × ΔYield ) + [_ 21×AnnConvexity× (ΔYield) 2] . (1)

Hạng tử đầu tiên trong dấu ngoặc đơn là kết quả của modified duration. Hạng tử trong dấu ngoặc vuông là convexity adjustment: chỉ số annual convexity AnnConvexity nhân với một nửa nhân với bình phương của thay đổi yield-to-maturity. Hạng tử này luôn dương đối với mọi option-free fixed-rate bond, vì vậy giá bond cao hơn trong cả trường hợp yield tăng hoặc yield giảm (xem Exhibit 1).

Tương tự Macaulay duration và modified duration, AnnConvexity có thể được xác định theo ba cách: (1) sử dụng Microsoft Excel spreadsheet, (2) sử dụng approximation formula và (3) sử dụng closed form formula được suy ra bằng calculus. Phương pháp 1 và 2 sẽ được minh họa dưới đây.

Hãy xem lại 5-year 3.2% (semiannual) coupon bond của BRWA, được giao dịch tại par để giao vào ngày 15 October 2025 và maturity vào ngày 15 October 2030. Exhibit 2 minh họa cách tính AnnConvexity cho bond này bằng spreadsheet. Như bạn thấy, cách tính gần như giống với duration, ngoại trừ có thêm một column (Col. 7) bao gồm phép tính convexity sau đây, trong đó CF là cash flow:

(Time to receipt of CF ) × (Time to receipt of CF + 1) × (Weight of CF ) × (1 + Periodic YTM )(-Periods per year) .

Tác động phi tuyến tính ( _Time to receipt of CF_2 ) được tạo ra ở bước nhân hai hạng tử đầu tiên với nhau. Nếu chia tổng của Column 7 (96.95578) cho bình phương số kỳ mỗi năm (22=4), chúng ta sẽ thu được annualized convexity ( AnnConvexity ) là 24.2389.

Exhibit 2: Tính toán Convexity cho một Option-Free Fixed-Rate Bond

|Col. 1|Col. 2|Col. 3|Col. 4|Col. 5|Col. 6 = Col. 2 × Col. 5|Col. 7 = Col. 2 × (Col. 2 + 1) × Col. 5 × (1 + YTM/2)****-2| |Period|Time to Receipt|Cash Flow|Present Value|Weight|Time to Receipt × Weight|Convexity of Cash Flows| ||||100.0000|1.0000|9.3203|96.9558| |Annualized Macaulay Duration and Convexity|||||4.6601|24.2389|

Bạn có thể tìm spreadsheet được trình bày trong Exhibit 2 dưới dạng interactive file trong Microsoft Excel workbook có thể tải xuống.

Thay vào đó, có thể sử dụng Equation 2 để tính annualized convexity ( ApproxCon ) cho bond. Việc sử dụng equation này thuận tiện đối với các bond có cash flows không chắc chắn, bao gồm contingent features và default risk (các vấn đề này sẽ được xem xét trong các phần học sau). Lưu ý rằng nó sử dụng cùng các input variables như modified duration approximation.

Đối với bond của BRWA, trước tiên, tăng annual yield-to-maturity thêm 5 basis points, tức lên 3.25%, và tính PV +. Sau đó, giảm nó 5 bps, tức xuống 3.15%, và tính PV -. Đây là cách xác định các full prices mới (giá ban đầu là PV 0 = 100.00). Hãy sử dụng hàm PRICE trong Excel,

PRICE( settlement, maturity, rate, yield, redemption, frequency, [basis] ),

ta có:

PV + = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2030,10,15),0.032,0.0325,100,2,0) = 99.770965.

PV - = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2030,10,15),0.032,0.0315,100,2,0) = 100.229641.

Sử dụng Equation 2, ApproxCon bằng 24.23896, là một ước tính rất tốt cho AnnConvexity bằng 24.23895 mà chúng ta đã xác định trong Exhibit 2 đối với bond này.

Các đặc điểm của bond tạo ra convexity tương tự các yếu tố ảnh hưởng đến duration. Nếu bond có fixed rate, convexity của nó sẽ:

■ lớn hơn khi time-to-maturity dài hơn,

Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties

• lớn hơn khi coupon rate thấp hơn, và

• lớn hơn khi yield-to-maturity thấp hơn.

Một đặc điểm khác là sự phân tán của cash flows, hay mức độ cash flows được phân tán theo thời gian. Giữa hai bond có duration bằng nhau, bond có mức độ phân tán cash flows lớn hơn sẽ có convexity lớn hơn. Các lợi ích của convexity đối với nhà đầu tư được trình bày trong Exhibit 3 dưới đây.

• Exhibit 3: Lợi ích của Bond Convexity đối với một Option-Free Bond

Giá Bond có convexity cao hơn Bond có convexity thấp hơn Đường tiếp tuyến với đường cong price-yield Yield-to-maturity

Hai bond được xem xét trong Exhibit 3 có cùng giá, maturity, yield-to-maturity và modified duration, do đó chúng có cùng đường tiếp tuyến với đường cong price-yield của mình. Lợi ích của việc có convexity cao hơn phát huy tác dụng khi yield thay đổi. Với cùng một mức giảm yield-to-maturity, bond có convexity cao hơn tăng giá nhiều hơn, trong khi với cùng một mức tăng yield-to-maturity, bond có convexity cao hơn giảm giá ít hơn. Xét theo khía cạnh này, bond có convexity cao hơn vượt trội hơn bond có convexity thấp hơn khi yield giảm hoặc tăng; do đó, đây là lựa chọn an toàn hơn cho nhà đầu tư.

Trong bối cảnh này, cần lưu ý rằng phần convexity bổ sung của bond có convexity cao hơn không được định giá sẵn. Nếu không, bond đó sẽ có giá cao hơn (yield-to-maturity thấp hơn).

VÍ DỤ 1

Duration and Convexity of 30-Year Romanian Bond

Một trái phiếu 30 năm của Chính phủ Romania với coupon hằng năm 4.625% đang được giao dịch vào ngày 15 tháng 10 năm 2025 tại yield-to-maturity là 4.75%, và sẽ đáo hạn vào ngày 15 tháng 10 năm 2055.

• 1.** Sử dụng hàm PRICE của Excel, tính ApproxModDur và ApproxCon cho trái phiếu khi yield-to-maturity tăng và giảm 5 bp.

• 2. So sánh và giải thích các giá trị duration và convexity của trái phiếu Romania 30 năm và trái phiếu BRWA 5 năm.

Để tính ApproxModDur và ApproxCon, trước hết cần tính PV 0, sau đó tính PV + và PV – khi YTM tăng/giảm 5 bp:

PV 0 = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2055,10,15),0.04625,0.0475,100,1,0)

= 98.022448.

PV + = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2055,10,15),0.04625,0.0480,100,1,0) = 97.247386.

PV – = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2055,10,15),0.04625,0.0470,100,1,0) = 98.806567. _________________ ApproxModDur_ = 2 ×98.806567 − 97.247386( 0.0005) × 98.022448= 15.90637. _____________________________ ApproxCon_ =98.806567 + 97.247386 − (2 × 98.022448) = 369.58881.( 0.0005)2 × 98.022448

So sánh Duration và Convexity: Trái phiếu Romania và BRWA

|Bond|Maturity (Năm)|Coupon (%)|YTM (%)|Approx- ModDur|ApproxCon| |Romania|30|4.625 Thanh toán hằng năm|4.75|15.90637|369.64203| |BRWA|5|3.20 Nửa năm một lần|3.20|4.58676|24.23896|

Duration và convexity của trái phiếu Romania lớn hơn rất nhiều so với trái phiếu của BRWA do trái phiếu Romania có thời gian đến maturity dài hơn (30 năm so với 5 năm). Yếu tố này bù trừ cho coupon rate và YTM cao hơn của trái phiếu Romania, vì cả hai yếu tố này đều làm giảm duration và convexity.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Các câu hỏi từ 1 đến 5 dựa trên dữ liệu sau.

||Issuance||Annual Pay Cou-|| |Bond|Ngày phát hành|Maturity|pon (%)|YTM (%)| |Bond X|7/15/25|7/15/34|2.25|2.25| |Bond Y|7/15/25|7/15/35|5.33|2.34|

1. EN: Calculate modified duration and convexity for Bond X. Tính modified duration và convexity cho Bond X.

Lời giải:

|Col. 1|Col. 2|Col. 3|Col. 4|Col. 5|Col. 6 = Col. 2 × Col. 5|Col. 7 = Col. 2 × (Col. 2 + 1) × Col. 5 × (1 + YTM)****–1| |Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|Present Value|Weight|Thời gian đến khi nhận × Weight|Convexity của Cash Flows| ||||100.0000|1.00000|8.24718|78.26579| |acaulay Duratio|n and Convexity||||8.24718|78.26579| |i ation|||||8.06571|—|

Annualized Macaulay Duration và Convexity Modified Duration

2. EN: Determine ApproxModDur and ApproxCon for Bond Y when there is a 5 bp increase or decrease in the yield-to-maturity. Xác định ApproxModDur và ApproxCon cho Bond Y khi yield-to-maturity tăng hoặc giảm 5 bp.

Lời giải:

Để tính ApproxModDur và ApproxCon cho Bond Y, trước hết cần tính PV 0, PV + và PV –.

PV 0 = PRICE(DATE(2025,7,15),DATE(2035,7,15),0.0533,0.0234,100,1,0) = 126.386358.

PV+ = PRICE(DATE(2025,7,15),DATE(2035,7,15),0.0533,0.0239,100,1,0) = 125.877943.

PV – = PRICE(DATE(2025,7,15),DATE(2035,7,15),0.0533,0.0229,100,1,0) = 126.897325.

_______________________________ ApproxCon_ =126.897325 + 125.877943 − (2 × 126.386358) = 80.76704.( 0.0005)2 × 126.386358

3. EN: Analyze the risk measures obtained from Question 1 and Question 2 in light of the expected change in yield-to-maturity. Phân tích các thước đo rủi ro thu được từ Câu hỏi 1 và Câu hỏi 2 xét theo thay đổi dự kiến của yield-to-maturity.

Lời giải:

Modified duration có thể được xem là thước đo rủi ro phù hợp cho một trái phiếu khi YTM thay đổi nhỏ. Vì Bond X và Bond Y có các giá trị modified duration (hoặc ApproxModDur) gần như bằng nhau, lần lượt là 8.06571 và 8.06560, nên price change dự kiến khi YTM thay đổi nhỏ cũng sẽ gần như bằng nhau đối với cả hai trái phiếu.

4. EN: Analyze the risk measures obtained from Question 1 and Question 2 in light of the expected change in yield-to-maturity. Phân tích các thước đo rủi ro thu được từ Câu hỏi 1 và Câu hỏi 2 xét theo thay đổi dự kiến của yield-to-maturity.

Lời giải:

• Chỉ riêng duration không thể ước tính price change dự kiến khi YTM thay đổi lớn. Convexity sẽ điều chỉnh cho thực tế rằng mối quan hệ giữa price và YTM là phi tuyến. Vì cả hai có duration gần như tương tự nhau, sự khác biệt về convexity của Bond Y, vốn có convexity cao hơn, hàm ý rằng Bond Y sẽ giảm ít hơn khi YTM tăng mạnh, đồng thời sẽ tăng nhiều hơn khi YTM giảm mạnh.

5. EN: Analyze the impact of each of the following characteristics in terms of convexity on Bond X relative to Bond Y: Phân tích tác động của từng đặc điểm sau xét theo convexity đối với Bond X so với Bond Y:

   • a. Maturity

   • b. Coupon rate

c. YTM

Lời giải:

• a. Maturity của Bond Y cao hơn Bond X (10 năm so với 9 năm). Do đó, Bond Y sẽ có convexity cao hơn Bond X.

• b. Coupon rate của Bond X thấp hơn coupon rate của Bond Y (2.25% so với

• Bond X sẽ có convexity cao hơn Bond Y nếu (7.28%).

• c. YTM của Bond X thấp hơn YTM của Bond Y (2.25% so với 2.34%), do đó Bond X sẽ có convexity cao hơn Bond Y.

tính percentage price change của một trái phiếu khi yield thay đổi một mức xác định, dựa trên duration và convexity của trái phiếu

Sau đây, chúng ta thảo luận cách tính percentage price change của một trái phiếu khi yield thay đổi một mức xác định dựa trên duration và convexity của trái phiếu. Như trình bày bên dưới, ước tính như vậy chính xác hơn nhiều so với khi percentage price change chỉ được tính bằng duration.

Tiếp tục với trái phiếu 5 năm do BRWA phát hành, có coupon 3.2% và thanh toán nửa năm một lần, settlement vào ngày 15 tháng 10 năm 2025 và maturity vào ngày 15 tháng 10 năm 2030, với yield-to-maturity hiện tại là 3.20%, nếu yield thay đổi ±100 basis points thì giá trái phiếu, được tính bằng hàm PRICE của Excel, sẽ như sau:

PV + = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2030,10,15),0.032,0.0420,100,2,0) = 95.53212.

PV – = PRICE(DATE(2025,10,15),DATE(2030,10,15),0.032,0.0220,100,2,0) = 104.71035.

Yield-Based Bond Convexity và Portfolio Properties

Do đó, mối quan hệ price-yield thực tế của trái phiếu này như sau:

• Yield tăng 100 bp (4.20%): Price = 95.53212; %∆ PV__Full = –4.46788%.

• Yield giảm 100 bp (2.20%): Price = 104.71035; %∆ PV__Full = 4.71035%.

Modified duration của trái phiếu này được tính bằng 4.58676, do đó yield-to-maturity tăng (giảm) 100 bps sẽ dẫn đến %∆ PV__Full ≈ –4.58676% (4.58676%).

Bây giờ, chúng ta minh họa độ chính xác cao hơn và rủi ro thấp hơn đạt được khi đưa convexity adjustment vào thước đo duration dùng để ước tính percentage price changes của trái phiếu BRWA. Với Equation 1 và thước đo AnnConvexity, trong trường hợp yield-to-maturity thay đổi ±100 bp (từ 3.20%), ta có:

%∆ PV__Full ≈ (–4.58676 × 0.0100) + [½ × 24.23895 × (0.0100)2 ] = –4.46556%.

Exhibit 4 cho thấy percentage price changes của trái phiếu BRWA khi yield thay đổi ±100 bp, sử dụng riêng duration và sử dụng duration kết hợp convexity, so với price changes chính xác do hàm PRICE của Excel tính ra. Có thể thấy, độ chính xác tăng lên khi đưa convexity adjustment vào, vì chênh lệch percentage price nhỏ hơn ¼ basis point khi có convexity, trong khi khoảng 12 bps khi không có. Chênh lệch này sẽ lớn hơn nhiều trong trường hợp yield thay đổi lớn hơn hoặc đối với các trái phiếu có maturity dài hơn/coupon thấp hơn.

• Exhibit 4: Sử dụng Duration và Convexity để ước tính Bond Price Changes*

|Change in Bond Yield|Actual %∆PVFull|Estimated %∆PVFull Using ModDur|Difference from Actual Change|Estimated %∆PVFull Using ModDur + Convexity|Difference from Actual Change| |+ 100 bps|–4.46788|–4.58676|–0.11887|–4.46556|0.00232| |– 100 bps|4.71035|4.58676|–0.12359|4.70795|–0.00239|

Như bạn đã biết, money duration là thước đo sự thay đổi bậc một của full price của một trái phiếu theo đơn vị tiền tệ dưới tác động của sự thay đổi yield to maturity. Money convexity (MoneyCon) đo lường sự thay đổi bậc hai của full price của trái phiếu theo đơn vị tiền tệ và bằng annual convexity nhân với full price, như được nêu trong Equation 3.

MoneyCon = AnnConvexity × PV__Full . (3)

Tương tự việc ước tính percentage change của full price của một trái phiếu, money duration và money convexity được sử dụng cùng nhau để ước tính chính xác hơn sự thay đổi full price của trái phiếu, từ đó giảm rủi ro, như được trình bày trong Equation 4.

Let us illustrate money convexity calculation using the example with BRWA’s 5-year, 3.2% coupon semiannual bond settled on 15 October 2025 and maturing on 15 October 2030 with yield to maturity of 3.2%. This bond is at par. As we know from the previous discussion, the annual modified duration and annual convexity for this bond equal 4.58676 and 24.23895 correspondingly.

Assume that an investor holds a bond worth USD 100 million and the yield to maturity rises by 100 basis points. Earlier we found out that the bond’s price drops to 95.53212 and, hence, the market value of the position falls down to $95,532,116 (=$100,000,000 × 0.9553212). The drop equals $4,467,884.

Using only MoneyDur to estimate the market value change, we get even greater drop, $4,586,759 (=$458,675,875 × 0.0100).

Using Equation 3, the MoneyCon of this position would be $2,423,894,503 (= 24.23895 ×$100,000,000), and applying Equation 4, which includes MoneyDur and MoneyCon , to calculate the change in market value gives us –$4,465,564, as shown below:

With the use of both MoneyDur and MoneyCon , the difference between the estimated change and the actual change in value of the bond position is $2,320. Exhibit 5 provides a summary of this exercise and illustrates the estimated and actual changes in position value for a 100 bp fall in the yield.

• Exhibit 5: Application of Money Duration and Money Convexity to Bond Price Changes

|||Estimated ∆PVFull|Differ- ence from|Estimated ∆PVFull****Using|Differ- ence from| |Change in Bond Yield|Actual ∆PVFull|Using MoneyDur|Actual Change|MoneyDur + MoneyCon|Actual Change| |+ 100 BPS|–$4,467,884|–$4,586,759|$118,875|–$4,465,564|–$2,320| |– 100 BPS|$4,710,348|$4,586,759|–$123,590|4,707,953|–$2,395|

A portfolio manager has a position in five-year zero-coupon FRG bonds settling on 11 May 2025 and maturing on 11 April 2030. The yield-to-maturity of the bond is –0.72% (quoted as an effective annual rate Act/Act). There are five periods of one year each, and there are 30 days to settle out of 365 days in the year.

1. Tính full price của trái phiếu trên mỗi 100 face value.

Lời giải:

Since Excel’s PRICE function does not apply to negative yields, the formula for the present value PV of a zero-coupon bond should be applied. The number of annual periods equals five, the day count convention is 30 out of 365 days in a year, and since 1 + r = 1 + (–0.0072) = 0.9928, the full price of the bond is 103.6175 for each 100 of par value.

2. Tính ApproxModDur và ApproxConv khi yield-to-maturity tăng và giảm 1 basis point.

Lời giải:

PV + = 103.566215.

Approximate modified duration = 4.9535

Approximate convexity = 29.918

_______________________________ ApproxCon_ =103.668868 + 103.566215 − (2 × 103.617526) = 29.918.( 0.0001)2 × 103.617526

3. Tính approximate percentage price change do yield-to-maturity tăng 100 basis point.

   • Solution:

Convexity adjustment for the estimated percentage price change, given a 100 basis point increase in yield-to-maturity, is estimated as –4.80391%. The estimated percentage price change, without convexity adjustment, is –4.9535%. Thus, convexity adjustment amounts to 14.96 basis points.

4. Bây giờ hãy so sánh ước tính percentage price change trong trường hợp yield-to-maturity tăng 100 basis point với percentage change thực tế, khi giả định yield-to-maturity tăng 100 basis point lên 0.28%.

Lời giải:

PV__Full = 98.634349

Actual percentage price change = 98.634349/103.617526 − 1 = –4.80920%. The convexity adjusted percentage price change is –4.80391%, while the percentage price change, estimated without convexity adjustment, is –4.95350%.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Các câu hỏi từ 1 đến 4 dựa trên thông tin sau.

Một nhà đầu tư cá nhân

1. EN: Compute the values of ApproxModDur and ApproxCon for the bond considering 1 bp change in yield-to-maturity both upwards and downwards. Tính các giá trị ApproxModDur và ApproxCon cho trái phiếu khi xét yield-to-maturity tăng và giảm 1 bp.

Lời giải:

PV + = PRICE(DATE(2025,6,30),DATE(2032,6,30),0.0295,0.0296,100,2,0)

PORTFOLIO DURATION AND CONVEXITY 4

tính duration và convexity của portfolio và mô tả các hạn chế của những khái niệm này

Tương tự như thước đo interest rate risk của một bond đơn lẻ, duration và convexity cũng có thể được áp dụng để đo lường interest rate risk của các portfolio gồm nhiều bond. Có hai phương pháp để tính thước đo interest rate risk của portfolio gồm nhiều bond:

• 1.* Dựa trên thời gian bình quân gia quyền cho đến khi nhận được các cash flow tổng hợp.

Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties

• 2.* Dựa trên bình quân gia quyền của duration và convexity riêng lẻ của các bond trong portfolio.

Phương pháp thứ nhất là đúng về mặt lý thuyết, tuy nhiên khó triển khai trong thực tế. Chúng ta sẽ tập trung vào phương pháp thứ hai, phương pháp thường được các portfolio manager quản lý fixed income investments sử dụng. Các hạn chế của phương pháp này cũng sẽ được thảo luận.

Giả sử một institutional investor có một portfolio gồm hai bond, mỗi bond có par value là $50 million, gồm bond BRWA kỳ hạn 5 năm và bond của government of Romania kỳ hạn 30 năm được mô tả trong Exhibit 6. Đồng thời, giả sử cả hai bond đều được phát hành bằng US dollars.

Exhibit 6: Dữ liệu đầu vào để xác định Portfolio Duration và Convexity

||Maturity|Coupon||Yield||| |Bond|(Năm)|(%)|Price|(%)|Duration|Convexity| |BRWA|5|3.200|100.000|3.200|4.58676|24.23896| |Romania|30|4.625|98.022|4.750|15.90637|369.64203|

Market value của portfolio bằng $99,011,224 và portfolio có tỷ trọng theo market value gần như bằng nhau giữa các bond. Duration và convexity của portfolio được tính bằng bình quân gia quyền của duration và convexity của từng bond, sử dụng tỷ trọng market value của từng bond trong tổng portfolio. Ước tính này gần với duration và convexity về mặt lý thuyết của portfolio và trở nên chính xác hơn khi chênh lệch yields-to-maturity giữa các bond nhỏ và yield curve phẳng.

Sử dụng portfolio weights trong ví dụ đơn giản của chúng ta, portfolio duration và convexity được tính như sau:

Weighted-average modified duration = (4.58676 × 0.5050) + (15.90637 × 0.4950) = 10.19004.

Weighted-average convexity = (24.23896 × 0.5050) + (369.64203 × 0.4950) = 195.21581.

Ưu điểm của weighted average method là giúp khái niệm interest rate risk dễ sử dụng. Do đó, trong trường hợp yields-to-maturity của mỗi bond trong portfolio tăng 100 bps, giá trị portfolio sẽ giảm 9.214%.

%∆ PV__Full ≈ (–10.19004 × 0.0100) + [½ × 195.21581 × (0.0100)2 ] = –9.21396%.

Tuy nhiên, việc áp dụng các thước đo này cũng có một nhược điểm: các chỉ số portfolio duration và convexity này dựa trên giả định rằng yields ở mọi kỳ hạn tăng/giảm với cùng một mức và theo cùng một hướng, tức là xảy ra parallel shift trên yield curve. Trên thực tế, parallel shift thuần túy không xảy ra; thay vào đó, có thể quan sát thấy sự steepening, flattening hoặc twisting của yield curve.

VÍ DỤ 2

Portfolio Duration and Convexity

Một institutional investor đang cân nhắc khả năng bổ sung một vị thế mới có par value USD50 million vào một US Treasury bond kỳ hạn 10 năm trong portfolio hiện có gồm các bond BRWA và government of Romania. Thông tin cần thiết được trình bày trong Exhibit 7.

Exhibit 7: Dữ liệu đầu vào để xác định Portfolio Duration và Convexity

|Bond|Maturity (Năm)|Coupon (%)|Price|Yield (%)|Duration|Convexity| |BRWA|5|3.200|100.000|3.200|4.58676|24.23896| |Romanian|30|4.625|98.022|4.750|15.90637|369.64203| |US|10|1.500|98.168|1.700|9.23693|93.87376| |Treasury|||||||

1. Tính weighted-average duration và convexity cho portfolio được đề xuất.

Lời giải:

Dựa trên thông tin được cung cấp trong Exhibit 7, bình quân gia quyền của modified duration và convexity có thể được tính như sau:

Weighted-average modified duration = (4.58676 × 0.33762) + (15.90637 × 0.33094) + (9.23693 × 0.33144)

= 9.87415.

Weighted-average convexity = (24.23896 × 0.33762) + (369.64203 × 0.33094) + (93.87376 × 0.33144)

= 161.62749.

2. So sánh và diễn giải duration và convexity của portfolio được đề xuất so với portfolio hiện có

Lời giải:

Khi bổ sung vị thế mới trong US Treasury bond, portfolio duration sẽ giảm từ 10.19004 xuống 9.87415 và convexity - từ 195.21581 xuống 161.62749. Điều này có nghĩa là việc giảm portfolio duration sẽ làm giảm rủi ro liên quan đến thay đổi price trong trường hợp yield curve dịch chuyển song song theo hướng tăng, nhưng do convexity cũng giảm nên những rủi ro này sẽ nhỏ hơn.

3. Tư vấn liệu có nên thực hiện vị thế trong US Treasury bond nếu investor kỳ vọng yields giảm song song 100 bp.

Lời giải:

Theo giả định rằng yields sẽ giảm song song 100 bp, investor không nên thực hiện vị thế trong US Treasury bonds. Việc thực hiện vị thế sẽ làm giảm portfolio duration và convexity, do đó mức tăng giá trị kỳ vọng của portfolio cũng sẽ giảm. Với quan điểm của investor về yield curve, họ nên hướng tới việc tăng duration và convexity của portfolio.

Câu hỏi 1-4 dựa trên dữ liệu sau.

Một investor mua face value EUR10 million của một zero-coupon bond kỳ hạn 5 năm và một fixed-rate semiannual coupon bond kỳ hạn 10 năm. Chi tiết của các bond được cung cấp dưới đây.

Two-Bond Portfolio

|Bond|Maturity (Năm)|Coupon (%)|Price|YTM (%)|Duration|Convexity| |Zero|5|0.00|83.18777|3.750|4.81928|27.87052| |Semi- annual|10|5.50|105.91556|4.750|7.71210|72.54897|

1. Tính weighted-average modified duration cho portfolio.

Lời giải:

Market value của các bond như sau:

Zero-coupon: €10,000,000 × 83.18777/100 = €8,318,777.

Semi-annual: €10,000,000 × 105.91556/100 = €10,591,556.

Do đó, tỷ trọng là 43.991% đối với zero-coupon bond và 56.009% đối với semi-annual bond. Điều này dẫn đến weighted average modified duration là

2. Tính weighted-average convexity cho portfolio.

Lời giải:

Sử dụng các tỷ trọng từ phép tính ở trên,

Weighted-average convexity = (27.87052 × 0.43991) + (72.54897 × 0.56009)

= 52.89463.

3. Tìm estimated percentage price change của portfolio nếu yield-to-maturity của mỗi bond tăng 100 basis point.

   • Lời giải:

   • %∆ PV__Full ≈ (–6.43953 × 0.0100) + [½ × 52.89463 × (0.0100)2 ] = –6.1751%.

4. Với kỳ vọng inflation tăng và monetary policy thắt chặt, investor kỳ vọng interest rates sẽ tăng. Dựa trên thông tin này, investor nên thay thế bond 10 năm bằng bond nào sau đây?

A. Một bond kỳ hạn 20 năm B. Một floating-rate bond kỳ hạn 15 năm

• C. Một bond kỳ hạn 10 năm có coupon thấp hơn

• Lời giải:

Đáp án đúng là B. Investor nên chọn một bond có interest rate risk thấp hơn vì họ kỳ vọng interest rates tăng. Bond kỳ hạn 20 năm và bond kỳ hạn 10 năm có coupon thấp hơn được kỳ vọng sẽ có duration cao hơn so với bond kỳ hạn 10 năm hiện tại. Chúng sẽ chịu percentage price change lớn hơn nếu interest rates tăng. Tuy nhiên, floating rate bonds có interest rate risk thấp vì coupon được điều chỉnh dựa trên những thay đổi của interest rates.

Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties

EN: 1. A 5.5% semiannual-pay fixed-coupon bond is sold at par on 1 May 2025 and matures on 1 May 2029. Assuming a 50 bps increase and decrease in the yield-to-maturity of the bond, PV + and PV – are 99.82283 and 100.177546, respectively. The convexity of the bond is closest to:

Bài tập thực hành

1. Một fixed-coupon bond trả lãi nửa năm một lần với coupon 5.5% được bán at par vào ngày 1 May 2025 và đáo hạn vào ngày 1 May 2029. Giả sử yield-to-maturity của bond tăng và giảm 50 bps, PV + và PV – lần lượt là 99.82283 và 100.177546. Convexity của bond gần nhất với:

EN: B. 15.045.

• EN: A. 3.548.
• A. 3.548.

B. 15.045.

EN: 2. A bond provides a semiannual fixed coupon of 4.70%. On its coupon payment date of 16 December 2025, it is sold at par. Its maturity date is 16 December 2033. The annualized convexity statistic of the bond is closest to:

• EN: C. 101.793.
• C. 101.793.

2. Một bond trả fixed coupon nửa năm một lần là 4.70%. Vào ngày trả coupon 16 December 2025, bond được bán at par. Ngày đáo hạn là 16 December 2033. Chỉ số convexity đã annualized của bond gần nhất với:

   • EN: A. 51.670.

   • A. 51.670.

   • EN: B. 53.231.

   • B. 53.231.

EN: 3. In case of changes in yield-to-maturity, the convexity adjustment is most required for:

• EN: C. 206.681.
• C. 206.681.

3. Trong trường hợp yield-to-maturity thay đổi, convexity adjustment cần thiết nhất đối với:

   • EN: A. first-order effect on bond prices.

   • A. tác động bậc một lên bond prices.

   • EN: B. bond price risk due to small changes in yield-to-maturity.

   • B. bond price risk do những thay đổi nhỏ trong yield-to-maturity.

   • EN: C. non-linear relationship of bond prices and yield to maturity.

   • C. mối quan hệ phi tuyến giữa bond prices và yield to maturity.

Thông tin sau liên quan đến câu hỏi 4-9

Portfolio bond bao gồm ba bond sau đây, không có option và có fixed rates of interest:

EN: 4. In case of an increase of 50 bps in the yield-to-maturity of Bond X, the expected percentage price change in Bond X is closest

4. Trong trường hợp yield-to-maturity của Bond X tăng 50 bps, expected percentage price change của Bond X gần nhất là

   • EN: A. 1.792%.

   • A. 1.792%.

   • EN: B. 1.812%.

   • B. 1.812%.

EN: 5. With a 75 basis point movement in the yields to maturity for Bonds Y and Z, the convexity adjustment on Bond Z would be higher than the convexity adjustment of Bond

• EN: C. 1.832%.
• C. 1.832%.

5. Với biến động 75 basis point trong yields to maturity của Bonds Y và Z, convexity adjustment của Bond Z sẽ cao hơn convexity adjustment của Bond

Bài tập thực hành

EN: Y:

Y:

• EN: A. if the YTM change is positive.

• A. nếu thay đổi của YTM là dương.

• EN: B. if the YTM change is negative.

• B. nếu thay đổi của YTM là âm.

EN: 6. With a 100 basis point rise in the yield to maturity and applying money duration and money convexity, the approximate change in the full price of Bond Y will be:

• EN: C. regardless of the direction of the change in YTM.
• C. bất kể hướng thay đổi của YTM.

6. Với mức tăng 100 basis point trong yield to maturity và áp dụng money duration và money convexity, approximate change trong full price của Bond Y sẽ là:

   • EN: A. GBP472,937.

   • A. GBP472,937.

   • EN: B. GBP450,180.

   • B. GBP450,180.

EN: 7. With a 100 basis point rise in the yield to maturity and applying the weighted average duration and convexity, the expected percentage price change of the bond portfolio will be:

• EN: C. GBP427,423.
• C. GBP427,423.

EN: A. 7.981%.

7. Với mức tăng 100 basis point trong yield to maturity và áp dụng weighted average duration và convexity, expected percentage price change của bond portfolio sẽ là:

A. 7.981%.

EN: C. 9.533%.

• EN: B. 8.949%.
• B. 8.949%.

EN: 8. The benchmark for the bond portfolio is a fixed income index that has a duration of 9.5325 and convexity of 103.0677. Using the weighted average portfolio duration and convexity, the bond portfolio will outperform its benchmark in the following situations:

C. 9.533%.

8. Benchmark của bond portfolio là một fixed income index có duration là 9.5325 và convexity là 103.0677. Sử dụng weighted average portfolio duration và convexity, bond portfolio sẽ outperform benchmark trong các tình huống sau:

   • EN: A. Only when interest rates are rising

   • A. Chỉ khi interest rates tăng

   • EN: B. Only when interest rates are falling

   • B. Chỉ khi interest rates giảm

EN: 9. The technique of using the weighted average portfolio duration and convexity to evaluate the price risk of a bond portfolio is best described as:

• EN: C. Both when interest rates are rising and falling
• C. Cả khi interest rates tăng và giảm

9. Kỹ thuật sử dụng weighted average portfolio duration và convexity để đánh giá price risk của bond portfolio được mô tả phù hợp nhất là:

   • EN: A. being theoretically correct.

   • A. đúng về mặt lý thuyết.

   • EN: B. being commonly used by portfolio managers.

   • B. được các portfolio managers sử dụng phổ biến.

   • EN: C. accommodating non-parallel shifts in the yield curve.

   • C. bao quát các non-parallel shifts của yield curve.

Yield-Based Bond Convexity and Portfolio Properties

LỜI GIẢI

EN: 2. A is correct.

2. A là đúng.

Eight-Year, 4.70% Semiannual Bond

EN: 3. Choice C is correct. The convexity adjustment is a complement to the duration measure. It captures the non-linearity effect that yield changes have on price. Convexity adjustment becomes relevant when there are big changes in the yield; otherwise, a good approximation is provided by duration, which assumes linearity.

|Col. 1|Col. 2|Col. 3|Col. 4|Col. 5|Col. 6 = Col. 2 × Col. 5|Col. 7 = Col. 2 × (Col. 2 + 1) × Col. 5 × (1 + YTM/2)****–2| |Period|Time to Receipt|Cash Flow|Present Value|Weight|Time to Receipt × Weight|Convexity of Cash Flows| ||||100.0000|1.00000|13.51910|206.68136| |Annualize|d Convexity|||||51.67034|

EN: 4. Choice A is correct. Expected price change is as follows:

3. Đáp án C là đúng. Convexity adjustment là phần bổ sung cho thước đo duration. Nó nắm bắt tác động phi tuyến mà những thay đổi của yield có lên price. Convexity adjustment trở nên phù hợp khi có những thay đổi lớn về yield; nếu không, duration cung cấp một xấp xỉ tốt vì duration giả định tính tuyến tính.

4. Đáp án A là đúng. Expected price change như sau:

   • %Δ PV__Full ≈ (–3.6239 × 0.005) + [½ × 16.2513 × (0.005)2 ]

EN: 5. Choice C is correct. As can be seen from its formula, convexity adjustment uses the square of the change in yield, which makes it positive no matter the direction in which the change in yield-to-maturity goes. As a result, convexity adjustment for Bond Z will always be greater than the convexity adjustment for Bond Y.

= –1.79164% ≈ –1.792%.

EN: 6. C is correct.

5. Đáp án C là đúng. Như có thể thấy từ công thức, convexity adjustment sử dụng bình phương của thay đổi trong yield, khiến giá trị này dương bất kể thay đổi trong yield-to-maturity theo hướng nào. Do đó, convexity adjustment của Bond Z sẽ luôn lớn hơn convexity adjustment của Bond Y.

6. C là đúng.

MoneyDur ≈ 9.0036 × 5,000,000 = 45,018,000

MoneyCon ≈ 91.0278 × 5,000,000 = 455,139,000

EN: 7. Choice B is correct. Portfolio weights for Bonds X, Y, and Z are 0.25, 0.25, and 0.50, respectively. Portfolios' durations and convexities are as follows:

Δ PV__Full ≈ –(45,018,000 × 0.01) + [½ × 455,139,000 × (0.01)2 ] = –GBP427,423.

7. Đáp án B là đúng. Portfolio weights của Bonds X, Y và Z lần lượt là 0.25, 0.25 và 0.50. Duration và convexity của portfolio như sau:

Weighted-average duration = (0.25 × 3.6239) + (0.25 × 9.0036) + (0.50 × 12.7512) = 9.5325.

Weighted-average convexity = (0.25 × 16.2513) + (0.25 × 91.0278) + (0.50 × 179.8591)

= 116.7493.

EN: 8. Choice C is correct. This portfolio has a weighted average duration of 9.5325, which is the same as the benchmark's duration. However, it has a higher convexity (116.7493) than the benchmark (103.0677). All else being constant, this portfolio will perform better than the benchmark portfolio when rates go up or down.

%Δ PV__Full ≈ (–9.5325 × 0.01) + [½ × 116.7493 × (0.01)2 ] = –8.9487% ≈ –8.949%.

EN: 9. Choice B is right. The weighted-average approach to measure portfolio duration and convexity is simple and can be easily applied; this method is widely used by portfolio managers for evaluation of the price risk of their bond portfolio. However, the weighted-average approach assumes that the shift in the yield curve is parallel. The correct way to measure portfolio duration and convexity is based on the weighted average time until receipt of aggregate cash flows, but it is hard to implement.

8. Đáp án C là đúng. Portfolio này có weighted average duration là 9.5325, bằng với duration của benchmark. Tuy nhiên, portfolio này có convexity cao hơn (116.7493) so với benchmark (103.0677). Khi các yếu tố khác không đổi, portfolio này sẽ hoạt động tốt hơn benchmark portfolio khi rates tăng hoặc giảm.

9. Đáp án B là đúng. Weighted-average approach để đo lường portfolio duration và convexity là đơn giản và có thể dễ dàng áp dụng; phương pháp này được các portfolio managers sử dụng rộng rãi để đánh giá price risk của bond portfolio. Tuy nhiên, weighted-average approach giả định rằng sự dịch chuyển của yield curve là parallel. Cách đúng để đo lường portfolio duration và convexity dựa trên thời gian bình quân gia quyền cho đến khi nhận được aggregate cash flows, nhưng cách này khó triển khai.