Yield Based Bond Duration Measures and Properties

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên cần có khả năng:

• định nghĩa, tính toán và diễn giải modified duration, money duration và price value of a basis point (PVBP)
• mô tả cách time-to-maturity, coupon và mức yield của một bond ảnh hưởng đến interest rate risk của bond

Các bài học trước đã xem xét hai loại interest rate risk: reinvestment risk và price risk, đồng thời minh họa rằng việc nắm giữ một bond cho đến Macaulay duration của nó sẽ làm cho hai rủi ro này bằng nhau. Bài học này và các bài học tiếp theo mở rộng chủ đề này bằng cách thảo luận về các thước đo price risk. Các thước đo này có thể được phân loại thành hai nhóm chung: các thước đo không xem xét khả năng default đối với cash flow của underlying bonds và đo lường interest rate risk thông qua độ nhạy với own yield của bond, và các thước đo có xem xét khả năng default và đo lường interest rate risk đối với benchmark yield curve. Bài học này sẽ cung cấp các ví dụ về cách interest rate risk của một bond phụ thuộc vào các đặc điểm của bond, bao gồm time-to-maturity, coupon rate và yield.

Phần lớn các example và exhibit được trình bày trong bài học này đều có sẵn trong một spreadsheet Excel. Trong file này, mỗi worksheet được đặt tên theo số của example hoặc exhibit tương ứng trong văn bản.

• Duration là thước đo bằng số của interest rate risk. Một số thước đo duration đã được phát triển, trong đó có: yield duration - đo lường độ nhạy của bond price đối với các thay đổi trong yield-to-maturity và giả định rằng underlying cash flows đã được biết; curve duration - đo lường độ nhạy đối với các thay đổi trong một benchmark yield curve, trong khi underlying cash flows ít chắc chắn hơn.

Yield-Based Bond Duration Measures and Properties

• Macaulay duration, modified duration, money duration và price value of a basis point (PVBP) là các thước đo yield duration.

• Modified duration thể hiện độ dốc hoặc đạo hàm bậc nhất của bond price đối với yield-to-maturity của bond và thể hiện độ nhạy của bond price đối với các thay đổi trong yield-to-maturity của bond. Modified duration có thể được tính từ Macaulay duration và yield của một bond hoặc bằng các phương pháp xấp xỉ.

• Money duration là sự phát triển từ modified duration, có tính đến quy mô của vị thế bond theo giá trị tiền tệ. Một khái niệm liên quan khác là price value of a basis point, là một ước tính về sự thay đổi của bond price khi yield của bond thay đổi 1 basis point.

• Duration có thể được sử dụng như một công cụ xấp xỉ để ước tính bond price sẽ thay đổi bao nhiêu đối với một thay đổi yield nhất định, nhưng việc này giả định mối quan hệ tuyến tính giữa price và yield, trong khi trên thực tế mối quan hệ này là phi tuyến và đặc biệt rõ ràng trong trường hợp yield thay đổi lớn hoặc bond có những đặc điểm nhất định.

• Các đặc điểm của một bond như time-to-maturity, coupon rate và yield-to-maturity ảnh hưởng đến duration của bond. Đối với một bond nhất định, duration thay đổi và trở nên nhỏ hơn khi thời điểm maturity của bond đến gần hơn.

• Các yếu tố khác không đổi, time-to-maturity càng lớn (nhỏ), coupon rate càng thấp (cao), hoặc yield-to-maturity của một bond càng thấp (cao), thì duration hoặc interest rate risk càng cao.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi mở đầu này được thiết kế để giúp bạn có được ý tưởng về mức độ kiến thức của mình liên quan đến Learning Module.

1. Ghép mỗi mô tả sau đây với thuật ngữ phù hợp:

Lời giải:

Thời gian bình quân có trọng số theo present value để nhận cash flow từ một bond tương ứng với iii. Macaulay duration.

Ước tính thay đổi theo tỷ lệ % của bond price liên quan đến thay đổi trong yield-to-maturity của bond tương ứng với iv. Modified duration.

Việc nhân modified duration đã annualized với total bond price tương ứng với i. Money duration.

Thay đổi trong total bond price do yield thay đổi 1 bp tương ứng với ii. Price value per basis point.

2. Giả sử các yếu tố khác không đổi, việc tăng yield-to-maturity của bond nhiều khả năng nhất sẽ dẫn đến: A. giảm modified duration của bond. B. không thay đổi modified duration của bond. C. tăng modified duration của bond.

Lời giải: A đúng. Việc tăng yield-to-maturity của bond sẽ làm giảm modified duration vì future cash flows sẽ được discount ở một mức rate cao hơn, dẫn đến thời gian bình quân có trọng số theo present value cho đến khi nhận được các cash flow đó giảm xuống. B không đúng vì duration của bond phụ thuộc vào present value của các cash flow, mà present value này phụ thuộc vào yield của bond. C không đúng vì việc tăng yield-to-maturity của bond làm giảm present value của từng cash flow, từ đó làm giảm duration của bond.

3. Giả sử có một bond có annualized modified duration là 4, coupon rate là 5% và price là 95. Thay đổi ước tính trong bond price, trên mỗi 100 par value, khi yield-to-maturity của bond tăng 50 bp, gần nhất là: A. 4.75. B. 3.80. C. 1.90.

Lời giải: C đúng. Money duration là 380: MoneyDur = AnnModDur × PV__Full . MoneyDur = 4.0 × 95. MoneyDur = 380. Do đó, thay đổi trong bond price do yield của bond tăng 50 bp là: Δ PV__Full ≈ − MoneyDur × Δ Yield . Δ PV__Full ≈ −380 × 0.005. Δ PV__Full ≈ −1.90.

Lưu ý rằng thay đổi trong price là âm do yield-to-maturity tăng.

4. Có hai bond, Bond X và Bond Y, giống hệt nhau ở mọi khía cạnh khác ngoại trừ Bond X có coupon rate thấp hơn Bond Y. Do đó: A. hai bond có modified duration giống hệt nhau. B. modified duration của Bond X thấp hơn Bond Y. C. modified duration của Bond Y thấp hơn Bond X.

Lời giải: C đúng. Trong trường hợp hai bond giống hệt nhau ở mọi khía cạnh ngoại trừ một bond có coupon rate thấp hơn bond còn lại, bond có coupon rate thấp hơn sẽ có modified duration cao hơn. Điều này là do, so với Bond Y, present value của từng cash flow của Bond X sẽ chiếm một phần nhỏ hơn trong bond price,

và phần đóng góp vào bond price từ face value của nó sẽ lớn hơn.

5. Công thức tính price value of a basis point bằng cách lấy chênh lệch trong price của một bond khi giảm 0.0001 và khi tăng 0.0001, sau đó chia cho 2, không xem xét:

• A. convexity của mối quan hệ price-yield của bond.

• B. concavity của mối quan hệ price-yield của bond.

• C. tính symmetry trong mối quan hệ price-yield của bond.

• Lời giải:

A đúng. Công thức price value of a basis point không bao gồm ảnh hưởng của convexity. Điều này quan trọng vì thay đổi trong price liên quan đến các thay đổi của yield rate theo cả hai hướng là không đối xứng do mối quan hệ convex giữa price và yield.

6. Thay đổi trong price của một bond do yield rate tăng 100 basis point được mô tả đúng nhất là:

• A. nhỏ hơn thay đổi trong price do yield rate giảm 100 basis point.

• B. bằng với thay đổi trong price do yield rate giảm 100 basis point.

• C. lớn hơn mức giảm trong price khi yield của nó giảm 100 bps.

• Lời giải:

Phương án A là lựa chọn đúng. Đối với hầu hết các bond, đường cong price-yield là convex, điều này hàm ý rằng price của một bond tăng nhiều hơn khi yield giảm so với mức price giảm khi yield tăng.

2 MODIFIED DURATION

định nghĩa, tính toán và diễn giải modified duration, money duration và price value of a basis point (PVBP)

Hãy nhớ từ các buổi học trước rằng bond price và bond yield có mối quan hệ nghịch đảo. Mối quan hệ này có thể được minh họa thông qua việc tính bond price tại các mức yield-to-maturity khác nhau. Exhibit 1 trình bày price của ba bond đã được đề cập trong các buổi học trước tại các mức yield dao động từ 0% đến 10%. Tất cả các bond được giả định là được báo giá bằng cùng một currency.

• Australian government bond 1-year, zero-coupon,

• BRWA bond của Bright Wheels Automotive Corporation, 5-year, coupon 3.2% semiannual, và

• Romanian government bond 30-year, coupon 4.625% annual.

Exhibit 1: Ba Bond Price tại các mức Yield-to-Maturity khác nhau

Lưu ý cách mỗi đường thể hiện một mối quan hệ price-yield khác nhau. Đường đại diện cho Australian government bond 1-year, zero-coupon gần như phẳng, trong khi đường đại diện cho Romanian bond 30-year dốc và đi xuống. Nếu một nhà đầu tư sở hữu cả ba bond và yield của từng bond tăng từ 2% lên 3%, tác động lên price của từng bond sẽ khá khác nhau:

Mặc dù các biểu đồ về mối quan hệ price-yield có thể hỗ trợ hình dung interest rate risk của các bond khác nhau, các con số tốt hơn vì nhà đầu tư sẽ có thể xếp hạng các bond dựa trên tác động của thay đổi yield lên price của chúng.

Thước đo hợp lý cho interest rate risk của một bond là độ dốc, hoặc đạo hàm bậc nhất, của đường price-yield của nó. Ví dụ, có thể kỳ vọng độ dốc của đường price-yield của Australian bond one-year tương đối thấp vì đường này gần như phẳng. Ngược lại, có thể kỳ vọng độ dốc của đường price-yield của Romanian bond 30-year tương đối cao vì đường này khá dốc. Mặc dù ứng viên không được kỳ vọng phải sử dụng calculus, chúng tôi trình bày các bước cần thiết để tìm đạo hàm bậc nhất của đường price-yield nhằm minh họa logic đằng sau các công thức.

Hãy nhớ rằng price, PV, của một option-free bond là present value của cash flow của bond.

Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm theo r, yield to maturity:

Mặc dù điều này cung cấp tốc độ thay đổi của bond price theo các thay đổi trong yield, nó thực hiện điều đó đối với PV, trong khi thay đổi theo tỷ lệ % của bond price sẽ cung cấp nhiều thông tin hơn. Do đó, chia cho PV (price) ta được:

theo tỷ lệ % của bond price và nhân với thời gian cho đến khi nhận được cash flow. Nói cách khác, hạng tử trong dấu ngoặc chia cho PV là Macaulay duration, MacDur, đã được giới thiệu trong các bài giảng trước. Thay MacDur vào phương trình trên sẽ cho:

hoặc

Thước đo ModDur có thể được annualized, tương tự như Macaulay duration, bằng cách chia cho số coupon period mỗi năm của bond.

Vì ModDur đo lường mối liên hệ giữa price và yield của bond, chúng ta có thể ước tính thay đổi trong bond price khi yield thay đổi bằng cách sử dụng ModDur, thay - AnnModDur vào vế phải của Equation 1 và nhân cả hai vế với dr, tức thay đổi trong annualized yield to maturity:

Ví dụ, nếu modified duration của một bond là 5, mức giảm price theo tỷ lệ % được kỳ vọng sẽ là 5% khi yield tăng 100 bps: -5 × 0.01 = -5%. Do đó, modified duration của một bond càng lớn thì độ dốc của đường mối quan hệ price-yield càng lớn.

Thay đổi price theo tỷ lệ % được đo lường so với total price bao gồm accrued interest. Ký hiệu ≈ được sử dụng vì phép tính ở trên là một xấp xỉ tuyến tính của mối quan hệ price-yield phi tuyến. Chúng ta sẽ thảo luận về điều này ở phần sau của khóa học. Dấu âm có nghĩa là bond price và yield-to-maturity có mối quan hệ nghịch đảo với nhau.

Modified duration của một bond cũng có thể được tính trực tiếp bằng hàm MDURATION trong Microsoft Excel và Google Sheets. Hàm này yêu cầu các input giống với hàm DURATION, vốn được sử dụng để tính Macaulay duration:

= MDURATION( Settlement , Maturity , Coupon , Yld , Frequency , [ Basis ]).

VÍ DỤ 1

Modified Duration cho trái phiếu BRWA

Chúng ta có thể sử dụng Phương trình 2 để xác định modified duration của một trái phiếu BRWA kỳ hạn năm năm tại thời điểm thanh toán khi phát hành và 57 ngày sau khi phát hành.

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV|Trọng số|Thời gian × Trọng số| ||||100.0000|1.0000|9.3203|

Tại thời điểm phát hành, Macaulay duration là 9.3203. Sử dụng Phương trình 2, chúng ta có thể xác định modified duration như sau:

ModDur = 9.17351; AnnModDur = 4.58676. Nếu thời điểm thanh toán là 57 ngày sau khi phát hành, thì Macaulay duration là 9.0036.

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV|Trọng số|Thời gian × Trọng số|

Các thước đo và đặc tính Duration của trái phiếu dựa trên Yield

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV|Trọng số|Thời gian × Trọng số| ||||100.5039|1.0000|9.0036|

Để giải bài toán modified duration, chúng ta có thể sử dụng phương trình sau:

ModDur = 8.86184; AnnModDur = 4.43092.

Nếu yield hằng năm của trái phiếu BRWA năm năm có Coupon nửa năm một lần với coupon rate 3.2%, ngày thanh toán 15 October 2025, ngày đáo hạn 15 October 2030, ngay sau khi phát hành, tăng 80 basis points và trở thành 4.00%, thì mức thay đổi giá ước tính sẽ là -3.67%.

%Δ PV__Full ≈ -4.58676 × 0.0080 = -0.0366941.

Nếu yield-to-maturity ngay sau khi phát hành giảm 80 basis points và trở thành 2.40%, thì mức thay đổi giá ước tính sẽ là +3.67%.

%Δ PV__Full ≈ -4.58676 × -0.0080 = 0.0366941.

Điều quan trọng cần lưu ý là trong ví dụ này, các ước tính về thay đổi giá bằng nhau về giá trị tuyệt đối đối với trường hợp yield-to-maturity tăng và giảm. Tuy nhiên, như chúng ta có thể thấy từ Exhibit 1, mối quan hệ giá-yield không phải là tuyến tính mà là một đường cong lồi. Trong một bài học sau, chúng ta sẽ bổ sung convexity adjustment để cải thiện ước tính về thay đổi giá.

Approximate Modified Duration

Mặc dù modified duration có thể được tính dễ dàng cho một fixed-rate bond khi Macaulay duration của nó đã biết, một cách tiếp cận khác là ước tính modified duration thông qua việc ước tính độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong giá-yield của trái phiếu được minh họa trong Exhibit 2 dưới đây.

Exhibit 2: Ước tính Modified Duration

Full price của trái phiếu được ký hiệu là PV 0. Bằng cách thay đổi yield-to-maturity với các mức bằng nhau, ΔYield, chúng ta có thể tính hai giá trái phiếu mới là PV + và PV -. Sử dụng các biến này, chúng ta có thể xác định độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong giá-yield của trái phiếu bằng chênh lệch giữa PV + và PV - chia cho hai lần mức thay đổi của yield-to-maturity. Để có được độ dốc dưới dạng mức thay đổi % của PV 0, chúng ta cần chia chênh lệch này cho PV 0 như được thể hiện trong Phương trình 4 dưới đây.

Phương trình này ước tính modified duration annualized của trái phiếu vì tần suất thanh toán Coupon và tính định kỳ của yield-to-maturity được phản ánh trong việc tính giá trái phiếu. Một minh họa về độ chính xác của phép xấp xỉ được trình bày trong ví dụ dưới đây.

VÍ DỤ 2

Approximate Modified Duration cho trái phiếu BRWA

Trái phiếu BRWA trả Coupon 3.2%, có ngày thanh toán 15 October 2025, đáo hạn 15 October 2030 và yield 3.2%. Full price (PV 0) của trái phiếu bằng mệnh giá, tức 100.00.

Chúng ta có thể tăng yield-to-maturity hằng năm thêm 5 bps, từ 3.20% lên 3.25% (được biểu thị là r +), để có PV + bằng 99.771.

Chúng ta cũng có thể giảm yield-to-maturity hằng năm 5 bps, từ 3.20% xuống 3.15% (được biểu thị là r -), để có PV - bằng 100.230.

Các thước đo và đặc tính Duration của trái phiếu dựa trên Yield

PV − = 100.230.

Sau đó, các giá trị này có thể được thay vào Phương trình 4, trong đó yield-to-maturity hằng năm thay đổi 5 bps, hay Δ Yield = 0.0005:

AnnModDur ≈ 4.587.

Modified duration hằng năm "chính xác" được tính cho trái phiếu BRWA này là 4.58675, trong khi giá trị "xấp xỉ" là 4.586765, thực tế là như nhau. Do đó, mặc dù duration có thể được xác định bằng phương pháp Macaulay duration, nó cũng có thể được ước tính rất chính xác.

Macaulay duration cũng có thể được ước tính bằng cách nhân modified duration ước tính với một cộng yield mỗi kỳ.

• AnnMacDur≈AnnModDur× (1 +r) (5)

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. EN: Assume that the duration of a bond with semiannual coupons of 4% per annum is 3.589 years. The expected percentage change in the full price of the bond if the bond yield increases from 5% to 6% is closest to:

EN: A. 3.485%.

Giả sử duration của một trái phiếu có Coupon nửa năm một lần là 4% mỗi năm là 3.589 năm. Mức thay đổi % dự kiến của full price của trái phiếu nếu bond yield tăng từ 5% lên 6% gần nhất với:

EN: B. 3.502%.

A. 3.485%.

EN: C. 3.589%.

B. 3.502%.

C. 3.589%.

EN: B is correct. The duration in years is 3.589; hence, the modified duration is 3.502%:

Lời giải:

B là đáp án đúng. Duration tính bằng năm là 3.589; do đó, modified duration là 3.502%:

ModDur_ =MacDur( 1 + r) .

_3.589 ModDur =( 1 + 0.025).

EN: This yields an estimate of the percentage change in price on a 100 basis point change in yield of -3.502%:

ModDur = 3.502.

Điều này cho ước tính về mức thay đổi % của giá khi yield thay đổi 100 basis points là -3.502%:

• %Δ PV__Full ≈ − AnnModDur × Δ AnnYield .

%Δ PV__Full ≈ −3.502 × 0.01.

%Δ PV__Full ≈ −3.502%.

2. EN: Duration measurements are used to measure the sensitivity of flat bond prices to changes in yields.

EN: A. True

Các thước đo duration được sử dụng để đo lường độ nhạy của flat bond prices đối với những thay đổi của yields.

A. Đúng

Modified Duration

EN: B. False

B. Sai

EN: B is correct. Duration measurements are used to measure the sensitivity of full prices to changes in yields. Full prices are also referred to as the dirty price of a bond and include the time value of each cash flow while flat prices do not include accrued interest.

Lời giải:

B là đáp án đúng. Các thước đo duration được sử dụng để đo lường độ nhạy của full prices đối với những thay đổi của yields. Full prices cũng được gọi là dirty price của trái phiếu và bao gồm time value của từng cash flow, trong khi flat prices không bao gồm accrued interest.

3. EN: The interest payment on Bond C is 1% per six months and it will mature after five years. If the yield-to-maturity of the bond is -0.5%, then its Macaulay duration is most likely:

   EN: - A. less than its modified duration.

Khoản thanh toán lãi của Bond C là 1% mỗi sáu tháng và trái phiếu sẽ đáo hạn sau năm năm. Nếu yield-to-maturity của trái phiếu là -0.5%, thì Macaulay duration của nó nhiều khả năng nhất là:

EN: - B. the same as its modified duration.

• A. nhỏ hơn modified duration của nó.

EN: - C. greater than its modified duration.

• B. bằng modified duration của nó.

• C. lớn hơn modified duration của nó.

EN: A is the correct answer. We know that the modified duration of a bond is equal to the Macaulay duration divided by 1 plus the yield-to-maturity:

Lời giải:

A là đáp án đúng. Chúng ta biết rằng modified duration của một trái phiếu bằng Macaulay duration chia cho một cộng yield-to-maturity:

EN: If the yield, r, is negative, the denominator is less than 1, which means that MacDur < Modified Duration.

ModDur_ =MacDur (1 + r ).

Nếu yield, r, là âm, mẫu số nhỏ hơn 1, điều đó có nghĩa là MacDur < Modified Duration.

4. EN: Now consider a zero-coupon bond maturing in five years with a yield of 3%. Its modified duration is:

   EN: - A. less than five years.

Bây giờ, hãy xét một zero-coupon bond đáo hạn sau năm năm với yield là 3%. Modified duration của nó là:

EN: - B. five years.

• A. nhỏ hơn năm năm.

EN: C. more than five years.

• B. năm năm.

C. lớn hơn năm năm.

EN: A is the correct answer. For a zero-coupon bond, the Macaulay duration equals time-to-maturity because the zero-coupon bond has only one cash flow that has a weight of 1.0. For the above zero-coupon bond, its modified duration is less than the Macaulay duration.

Lời giải:

A là đáp án đúng. Đối với một zero-coupon bond, Macaulay duration bằng time-to-maturity vì zero-coupon bond chỉ có một cash flow có trọng số bằng 1.0. Đối với zero-coupon bond ở trên, modified duration của nó nhỏ hơn Macaulay duration.

EN: Questions 5-7 relate to the following information.

EN: Deepak Chowdhury, an expert in bond analysis, is considering the BRWA bond, 1-year Australian government bond, and the 30-year Romanian government bond. It can be assumed that all three bonds were issued on 15 October 2025, and today it is 15 January 2026; hence, 92 days have elapsed since the beginning of the first coupon period. The information collected by Deepak is as follows:

Các câu hỏi 5-7 liên quan đến thông tin sau.

Deepak Chowdhury, một chuyên gia về bond analysis, đang xem xét trái phiếu BRWA, trái phiếu chính phủ Australia kỳ hạn 1 năm và trái phiếu chính phủ Romania kỳ hạn 30 năm. Có thể giả định rằng cả ba trái phiếu đều được phát hành vào ngày 15 October 2025, và hôm nay là ngày 15 January 2026; do đó, đã có 92 ngày trôi qua kể từ đầu coupon period đầu tiên. Thông tin Deepak thu thập được như sau:

5. EN: Complete the following table:

5. Hoàn thành bảng sau:

BRWA Australia Romania

EN: ||BRWA|Australian|Romanian| |---|---|---|---| |Full price (per 100 of par value)|100.815|99.262|107.429| |Annualized Macaulay duration|4.405|0.744|16.939| |Annualized modified duration|4.335|0.737|16.248| |Full price, assuming 5 bp YTM increase|100.596|99.225|106.561| |Full price, assuming 5 bp YTM decrease|101.033|99.299|108.307| |Approx. annualized modified duration|4.335|0.737|16.249|

Lời giải:

EN: The calculations are presented in table format. For a spreadsheet in the downloadable Microsoft Excel workbook, please refer to the candidate learning ecosystem website. Please note that while solutions are rounded to three decimal places, other figures are unrounded but presented to three decimal places for readability purposes.

EN: BRWA Bond: Full Price and Duration

Các phép tính được trình bày dưới dạng bảng. Đối với spreadsheet trong Microsoft Excel workbook có thể tải xuống, vui lòng tham khảo candidate learning ecosystem website. Lưu ý rằng mặc dù các lời giải được làm tròn đến ba chữ số thập phân, các số liệu khác không được làm tròn nhưng được trình bày đến ba chữ số thập phân nhằm mục đích dễ đọc.

Trái phiếu BRWA: Full Price và Duration

EN: BRWA Bond: Full price, assuming 5 bp YTM increase

|YTM (định|kỳ)|0.01600|||| |Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV|Trọng số|Thời gian × Trọng số| ||||100.815|1.000|8.809| |||An|nualized Mac|aulay Duration|4.405| ||||Modi|ified Duration|8.670| |||A i|nnualized Modi|ified Duration|4.335|

EN: ###### BRWA Bond: Full price, assuming 5 bp YTM decrease

Trái phiếu BRWA: Full price, giả định YTM tăng 5 bp

EN: YTM (periodic) 0.01625 YTM (periodic) 0.01575

Trái phiếu BRWA: Full price, giả định YTM giảm 5 bp

YTM (định kỳ) 0.01625 YTM (định kỳ) 0.01575

Modified Duration

EN: |Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV+|Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV-| ||||100.596||||101.033|

EN: |BRWA Bond: Approx. Ann. Modified Duration|| |---|---| |PV0|100.815| |PV+|100.596| |PV-|101.033| |Approximate Ann. ModDur|4.335|

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV+|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV-| ||||100.596||||101.033|

EN: |Australian Bond: Full Price and Dura|tion||| |---|---|---|---| |YTM (periodic) 0.010|||| |Period Time to Receipt Cash Flow|PV|Weight|Time × Weight| ||99.262|1.000|0.744| ||Annua|lized Macaulay Duration|0.744| ||Moi|dified Duration|0.737| ||Annua i|lized Modified Duration|0.737| |Australian Bond: Full price, assum-|Austral|ian Bond: Full pri|ce, assuming| |ing 5 bp YTM increase|5 bp YT|M decrease|| |YTM (periodic) 0.0105|YTM (p|eriodic) 0.00|95|

Các thước đo và đặc tính Duration của trái phiếu dựa trên Yield

EN: ||Time to|Cash|||Time to|Cash|| |Period|Receipt|Flow|PV+|Period|Receipt|Flow|PV-| ||||99.225||||99.299|

EN: |Australian Bond: Approx. Ann. Modified Duration|| |---|---| |PV0|99.262| |PV+|99.225| |PV-|99.299| |Approximate Ann. ModDur|0.737|

||Thời gian đến|Dòng|||Thời gian đến|Dòng|| |Kỳ|khi nhận|tiền|PV+|Kỳ|khi nhận|Dòng tiền|PV-| ||||99.225||||99.299|

EN: ###### Romanian Bond: Full Price and Duration YTM (periodic) 0.0425

EN: |Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV|Weight|Time × Weight| |…|…|…|…|…|…| ||||107.429|1.000|16.939| ||||Annualiz|ed Macaulay|16.939| |||||Duration|| ||||Modii|fied Duration|16.248| ||||Annuali i|zed Modified Duration|16.248|

Trái phiếu Romania: Full Price và Duration YTM (định kỳ) 0.0425

EN: |Romanian Bond: Full price, assum-|Romanian Bond: Full price, assuming 5| |---|---| |ing 5 bp YTM increase|bp YTM decrease| |YTM (periodic) 0.0430|YTM (periodic) 0.0420|

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV|Trọng số|Thời gian × Trọng số| |…|…|…|…|…|…| ||||107.429|1.000|16.939| ||||Annualiz|ed Macaulay|16.939| |||||Duration|| ||||Modii|fied Duration|16.248| ||||Annuali i|zed Modified Duration|16.248|

*EN: ||||||Time||| |Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV+|Period|to Receipt|Cash Flow|PV-|

||||||Thời gian||| |Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV+|Kỳ|đến khi nhận|Dòng tiền|PV-|

Money Duration và Price Value of a Basis Point

EN: |Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV+|Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV-| |…|…|…|…|…|…|…|…| ||||106.561||||108.307| |Romani|an Bond: A|pprox. An i|n. Modifie|id Duration|||| |PV0|||||10|7.429|| |PV+|||||10|6.561|| |PV-|||||10|8.307|| |Approx.|ModDur||||1|6.249||

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV+|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Dòng tiền|PV-| |…|…|…|…|…|…|…|…| ||||106.561||||108.307| |Trái phiếu Romania: Approx. Ann. Modified Duration|||||||| |PV0|||||107.429|| |PV+|||||106.561|| |PV-|||||108.307|| |Approx. ModDur|||||16.249||

6. EN: Among the above bonds, which one has the highest and lowest interest rate risk? Explain your answer.

Trong các trái phiếu trên, trái phiếu nào có interest rate risk cao nhất và thấp nhất? Hãy giải thích câu trả lời của bạn.

EN: The Romanian bond has the highest interest rate risk, as evidenced by the Macaulay and modified durations of the bond, which are close to four times the duration of the BRWA bond.

Lời giải:

EN: The Australian bond has the lowest interest rate risk since its Macaulay and modified durations are less than a quarter of the BRWA bond.

Trái phiếu Romania có interest rate risk cao nhất, được thể hiện qua Macaulay duration và modified duration của trái phiếu, gần gấp bốn lần duration của trái phiếu BRWA.

Trái phiếu Australia có interest rate risk thấp nhất vì Macaulay duration và modified duration của nó nhỏ hơn một phần tư so với trái phiếu BRWA.

7. EN: Chowdhury's portfolio manager believes that interest rates will decline from their present level. Which of the following bonds is likely to have the best performance under such conditions, all other things being equal? Explain.

Portfolio manager của Chowdhury tin rằng interest rates sẽ giảm so với mức hiện tại. Trong điều kiện như vậy, với các yếu tố khác không đổi, trái phiếu nào sau đây có khả năng có performance tốt nhất? Hãy giải thích.

EN: Romanian bond will perform better. Interest rate decline will lead to an increase in bond prices with the bonds having higher interest rate risk or duration benefiting the most.

Lời giải:

Trái phiếu Romania sẽ có performance tốt hơn. Việc interest rates giảm sẽ dẫn đến giá trái phiếu tăng, trong đó các trái phiếu có interest rate risk hoặc duration cao hơn sẽ hưởng lợi nhiều nhất.

• xác định, tính toán và diễn giải modified duration, money duration và price value of a basis point (PVBP)

Modified duration đo lường mức thay đổi % của giá trái phiếu khi yield-to-maturity của trái phiếu thay đổi. Một khái niệm tương tự khác là money duration. Money duration đề cập đến thước đo mức thay đổi giá của trái phiếu theo đơn vị tiền tệ. Money duration có thể được biểu thị trên cơ sở mỗi 100 mệnh giá hoặc trên cơ sở quy mô vị thế thực tế. Tại Hoa Kỳ, thuật ngữ dành cho money duration là "dollar duration".

Money duration (MoneyDur) là tích của modified duration annualized với full price (PV__Full) của trái phiếu.

MoneyDur = AnnModDur × PV__Full . (6)

Công thức ước tính mức thay đổi giá trái phiếu theo đơn vị tiền tệ gần như giống với Phương trình 4, điểm khác biệt duy nhất là với mức thay đổi của yield-to-maturity hằng năm (Δ Yield), công thức modified duration ước tính mức thay đổi giá theo %, trong khi công thức money duration ước tính mức thay đổi theo đơn vị tiền tệ.

Δ PV__Full ≈ − MoneyDur × Δ Yield (7)

Hãy xét trái phiếu BRWA năm năm với coupon rate 3.2% trả Coupon nửa năm một lần, ngày đáo hạn 15 October 2030 và yield-to-maturity 3.2%. Giả sử trái phiếu được một institutional investor mua với ngày thanh toán 11 December 2025, tương ứng với 57 ngày trong coupon period đầu tiên (t / T = 57/180).

Giá của trái phiếu là 100.504 trên mỗi 100 mệnh giá, và modified duration annualized là 4.43092. Giả sử nhà đầu tư nắm giữ một vị thế có mệnh giá USD100,000,000 của trái phiếu, chúng ta có:

• market value của khoản đầu tư là USD100,503,921, và

• money duration của khoản đầu tư là USD445,324,719 (= 4.43092 × USD100,503,921).

Do đó, nếu yield-to-maturity tăng 100 bps (từ 3.20% lên 4.20%), khoản lỗ dự kiến xấp xỉ USD4,453,247 (= -USD445,324,719 × 0.0100).

Một khái niệm tương tự khác là price value of a basis point (PVBP), là ước tính về mức thay đổi giá của trái phiếu do yield-to-maturity của trái phiếu tăng 1 bp. PVBP có thể được tính thông qua một công thức tương tự công thức ước tính modified duration. Phương trình 8 là công thức tính PVBP. PV - và PV + là các mức giá được tính bằng cách giảm và tăng yield-to-maturity thêm 1 bp.

PVBP cũng được gọi là "PV01", viết tắt của "Price Value of an 01" hoặc "Present Value of an 01", trong đó "01" biểu thị "1 bp". Tại Hoa Kỳ, PVBP thường được gọi là "DV01", nghĩa là "Dollar Value of 1 bp". PVBP đặc biệt hữu ích đối với các trái phiếu có future cash flows không chắc chắn, chẳng hạn như callable bonds. Một thống kê khác được gọi là "basis point value" (BPV) đơn giản là money duration nhân với 0.0001 (1 bp).

Để minh họa cách tính PVBP, hãy xem lại trường hợp trái phiếu BRWA năm năm, coupon 3.2% trả nửa năm một lần, đáo hạn ngày 15 October 2030 và có yield 3.2%, được institutional investor mua để thanh toán vào ngày 11 December 2025, tức là 57 ngày trong coupon period đầu tiên (t / T = 57/180).

Exhibit 3 cung cấp phần tóm tắt về các thước đo yield duration khác nhau. Để nhắc lại những gì chúng ta đã thảo luận trước đây, các thống kê yield duration đo lường mức thay đổi tức thời trong giá của trái phiếu đối với một thay đổi nhất định trong chính yield-to-maturity của nó, trong khi giữ tất cả các biến khác, đặc biệt là time-to-maturity, không đổi và với các cash flows cơ sở là chắc chắn.

Exhibit 3: Tóm tắt các thống kê Duration dựa trên Yield

Yield Duration of Zero-Coupon and Perpetual Bonds

Vì dòng tiền duy nhất từ zero-coupon bonds là face value nhận được tại maturity, nên thời gian bình quân gia quyền hiện tại cho đến khi nhận được các dòng tiền bằng time-to-maturity vì trọng số present value của dòng tiền duy nhất đó bằng 1.0. Do đó, Macaulay duration của zero-coupon bond bằng time-to-maturity của nó, trong khi modified duration của zero-coupon bond bằng time-to-maturity chia cho 1 cộng với yield của nó.

Perpetuity, hay perpetual bond, là một loại bond không có bất kỳ maturity date nào; do đó, không có face hay maturity value nào được nhận tại thời điểm T . Thay vào đó, nhà đầu tư nhận một khoản coupon cố định mãi mãi trừ khi bond bị called. Non-callable perpetuities rất hiếm, nhưng chúng có một Macaulay duration khá thú vị:

MacDur = (1 + r )/ r .

(9)

Yield-Based Bond Duration Measures and Properties

Duration of Floating-Rate Notes and Loans

Như đã đề cập trong bài trước, lãi của floating-rate securities dựa trên sự thay đổi trong mức của market reference rate (MRR) cộng với quoted margin. Các khoản thanh toán được tính lại vào những ngày đã được xác định trước dựa trên MRR mới. Do đó, interest rate risk chỉ tồn tại giữa các lần tính lại như vậy vì vào ngày tính lại tiếp theo, coupon payments sẽ thay đổi theo MRR mới. Vì vậy, Macaulay duration của floating-rate note hoặc bond bằng số ngày còn lại cho đến payment date tiếp theo chia cho tổng số ngày trong một period:

Nếu có 180 ngày trong một period và đã trôi qua 57 ngày kể từ coupon gần nhất, thì Macaulay duration là

Do đó, floating-rate securities có Macaulay duration thấp vì coupon periods thường ngắn hơn sáu tháng. Đó là lý do những khoản đầu tư như vậy thường được thực hiện để giảm duration của fixed income portfolios.

Một analyst muốn so sánh interest rate risks của BRWA 3.2% bond đáo hạn ngày 15 tháng 10 năm 2030 với floating-rate note (FRN) đáo hạn ngày 15 tháng 10 năm 2030 có coupon bán niên.

Lần reset gần nhất của FRN diễn ra vào ngày 15 tháng 10 năm 2027, và coupon rate tại ngày đó là 3.2%. BRWA bond price cung cấp yield là 3.2% tại cùng ngày.

1. Bạn có những lý do nào để cho rằng Macaulay duration của FRN sẽ thấp hơn Macaulay duration của BRWA fixed-rate bond?

Lời giải:

Macaulay duration của một floating-rate instrument bằng thời gian đến coupon reset date tiếp theo, trong khi Macaulay duration của một fixed-rate instrument phụ thuộc vào time-to-maturity, coupon rate, yield và tỷ lệ của coupon period hiện tại đã trôi qua. Macaulay duration cao nhất của FRN là sáu tháng, còn Macaulay duration của BRWA bond thấp hơn một chút so với maturity của nó (năm năm).

2. Hoàn thành bảng sau:

Lời giải:

Ví dụ, đối với ngày 15 tháng 12 năm 2027, số ngày còn lại cho đến coupon tiếp theo sẽ là 61 ngày. Số ngày trong coupon period sẽ là 183, có thể được tính bằng Microsoft Excel hoặc Google Sheets bằng công thức:

• = COUPDAYS(DATE(2027,12,15),DATE(2028,4,15),2,1).

Do đó, Macaulay duration là (183 – 61)÷183 = 0.6667.

EN: Deepak Chowdhury is analyzing an investment of USD30 million in par values of BRWA, Australian, and Romanian bonds. It should be assumed that all the bonds are issued in the same currency, and all the three bonds were issued on 15 October 2025.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: The bonds are being valued by Chowdhury on 15 January 2026, 92 days after the beginning of the first coupon payment period. Chowdhury has gathered the following information.

Deepak Chowdhury đang phân tích một khoản đầu tư trị giá USD30 million theo par values của BRWA, Australian và Romanian bonds. Giả định rằng tất cả các bonds đều được phát hành bằng cùng một loại tiền tệ và cả ba bonds đều được phát hành vào ngày 15 tháng 10 năm 2025.

Các bonds đang được Chowdhury định giá vào ngày 15 tháng 1 năm 2026, tức 92 ngày sau khi coupon payment period đầu tiên bắt đầu. Chowdhury đã thu thập thông tin sau.

EN: In addition to evaluating the bonds, as part of his analysis, Chowdhury is assessing the change in prices of the bond investments for 1 bp and 100 bp changes in yields.

EN: 1. Complete the following table:

Ngoài việc đánh giá các bonds, trong khuôn khổ phân tích của mình, Chowdhury đang đánh giá sự thay đổi trong prices của các khoản đầu tư vào bond khi yields thay đổi 1 bp và 100 bp.

1. Hoàn thành bảng sau:

EN: Solution:

Lời giải:

||Ảnh hưởng lên khoản đầu tư USD30 million| |---|---|---|---| ||BRWA|Australia|Romania| |Price value per basis point|0.044|0.007|0.175| |Market value of investment (USD)|30,244,381|29,778,597|32,228,627| |Money duration (percent of par)|437.054|73.163|1745.518| |Expected loss from a 100 bp YTM increase (USD)|–1,311,163|–219,490|–5,236,553|

Các số liệu đã được tính toán và được trình bày trong bảng dưới đây. Để thuận tiện cho bạn, vui lòng tìm file Excel có sẵn trên candidate learning ecosystem trực tuyến.

|BRWA Bond: Full|price, giả định|1 bp YTM tăng||BRWA Bond: Full|price, giả định|1 bp YTM giảm|| |YTM (periodic)||0.01605||YTM (periodic)||0.01595|| |Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV+|Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV-| ||||100.771||||100.858|

|BRWA Bond||||||| |Fullprice|100.815||MV||30,244,|381| |MoneyDur|437.054||ChgYield||0.01| ||||Exp. Loss|(1,311,|163)| |Australian Bond: F ull price, giả định 1 bp YTM tăng|||Australian Bond: Full price, giả định|1 bp YTM giảm||| |YTM (periodic)|0.0101||YTM (periodic)|0.0099||| |Period Time to Receipt|Cash Flow|PV+|Period|Time to Receipt| Cash Flow|PV-| |||99.255||||99.269|

Australian Bond

|Romanian Bond: Full price, giả định 1 bp YTM|tăng|||Romanian Bond: Full price, giả định 1 bp YTM|giảm||| |YTM|0.0426|||YTM|0.0424||| |(periodic)||||(periodic)|||| |Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV+|Period|Time to Receipt|Cash Flow|PV-| |…|…|…|…|…|…|…|…| ||||107.254||||107.604|

EN: 2. If the client assumes that interest rates would go up in the future, assuming everything else to remain constant, which bond investment would most likely be the best performer? Solution:

Romanian Bond PV+ 107.254 Full price 107.429 PV- 107.604 Par 30,000,000 PVBP 0.175 MV 32,228,627 AnnModDur 16.248 MoneyDur 1745.518 Full price 107.429 MV 32,228,627 MoneyDur 1745.518 ChgYield 0.01 Exp. Loss (5,236,553)

2. Nếu client giả định rằng interest rates sẽ tăng trong tương lai, giả sử mọi yếu tố khác không đổi, khoản đầu tư vào bond nào nhiều khả năng nhất sẽ có kết quả tốt nhất?

EN: The Australian bond would be the best performer since it has the lowest duration and PVBP, hence, the loss expected from an increase in its yield would be lower than BRWA and Romanian bonds. The loss expected in the BRWA bond because of a 100 bp increase in yield would almost be six times higher than in the case of Australian bond (USD219,490 versus USD1.3 million).

Lời giải:

Australian bond sẽ có kết quả tốt nhất vì nó có duration và PVBP thấp nhất, do đó expected loss từ việc yield tăng sẽ thấp hơn so với BRWA và Romanian bonds. Expected loss của BRWA bond do yield tăng 100 bp sẽ gần gấp sáu lần so với trường hợp Australian bond (USD219,490 so với USD1.3 million).

thảo luận cách maturity, coupon rate và mức yield của một bond ảnh hưởng đến interest rate risk của nó

Các thước đo Macaulay và modified yield duration của một fixed-rate bond điển hình phụ thuộc phần lớn vào các đặc điểm của bond, chẳng hạn như time to maturity, coupon, yield to maturity và tỷ lệ của coupon period hiện tại đã trôi qua. Công thức của Macaulay duration measure đã được cung cấp trước đó và được trình bày bên dưới rất hữu ích trong việc hiểu các properties của duration measure (cũng áp dụng tương tự cho modified duration measure, money duration measure và price value of basis point measure).

Mối liên hệ giữa duration của một bond và các đặc điểm của nó (r , c , N , và t / T ) được thể hiện trong Exhibit 4.

Exhibit 4: Properties of Yield Duration Statistics

Mối quan hệ giữa Macaulay duration và time-to-maturity đối với premium, discount, zero-coupon và perpetual bonds được minh họa trong Exhibit 5. Các đặc điểm này cũng áp dụng tương tự cho modified duration measure, money duration measure và price value of basis point measure.

Exhibit 5: Properties of Macaulay Duration

Nếu mọi yếu tố khác bằng nhau,

• một low-coupon bond sẽ có duration lớn hơn so với một high-coupon bond.

Vì mối quan hệ này tồn tại giữa coupon rate và yield to maturity, do đó

• yield to maturity thấp sẽ làm tăng thời gian bình quân gia quyền để nhận các cash flows và do đó làm tăng duration

bởi vì coupon rate và yield to maturity thấp hơn sẽ làm tăng tầm quan trọng của maturity value hoặc terminal cash flow, đồng thời làm giảm tầm quan trọng của các cash flows nhận được gần thời điểm hiện tại hơn.

• Times-to-maturity dài hơn thường tương ứng với duration cao hơn .

Mối quan hệ này luôn đúng đối với par hoặc premium bonds. Có thể thấy điều này về mặt toán học bằng cách xem biểu thức thứ hai trong ngoặc của closed form equation, trong đó coupon rate ( c ) lớn hơn hoặc bằng yield to maturity ( r ), nghĩa là ( c – r ) ≥ 0, nhưng mẫu số luôn lớn hơn 0. Do đó, Macaulay duration luôn nhỏ hơn (1 + r )/ r.

Một quan sát thú vị khác được thể hiện trong Exhibit 5 đối với discount bonds : sau một thời gian, khi time-to-maturity trở nên đủ lớn, Macaulay duration sẽ lớn hơn (1 + r )/ r , đạt giá trị tối đa rồi bắt đầu giảm. Hành vi này xảy ra khi N lớn và coupon rate nhỏ hơn yield-to-maturity, nghĩa là ( c – r ) < 0. Trong trường hợp này, tử số trong số hạng thứ hai trong ngoặc có thể trở thành âm. Do đó, đối với discount long-maturity bonds, interest rate risk có thể nhỏ hơn so với các bonds có maturity ngắn hơn.

Yield-Based Bond Duration Measures and Properties

Trong trường hợp yield-to-maturity ( r ) không đổi, giá trị của biểu thức trong ngoặc của closed form equation là không đổi theo thời gian trong period. Điều đó có nghĩa là Macaulay duration giảm đều trong period rồi bắt đầu tăng mạnh vào thời điểm thanh toán coupons, tạo thành dạng “răng cưa”. Dạng răng cưa của Macaulay duration đối với BRWA bond với yield-to-maturity không đổi được thể hiện trong Exhibit 6. Trong period, Macaulay duration giảm đều, nhưng tăng vọt một lượng nhỏ vào thời điểm coupon payments.

• Exhibit 6: Macaulay Duration Between Coupon Payments with Constant Yield-to-Maturity for the BRWA 3.2% Bond*

EN: 1. For each pair of bonds, indicate the bond that most likely has greater interest rate risk:

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Với mỗi cặp bonds, hãy chỉ ra bond nhiều khả năng nhất có interest rate risk lớn hơn:

EN: Solution:

Lời giải:

EN: 2. A bond analyst is comparing Bond D, a perpetual bond with a coupon of 5%, with Bond E, a zero-coupon bond maturing in five years. If both bonds are priced to yield 6%, Bond D has:

EN: A. lower interest rate risk.

2. Một bond analyst đang so sánh Bond D, một perpetual bond có coupon 5%, với Bond E, một zero-coupon bond đáo hạn sau năm năm. Nếu cả hai bonds đều được định giá theo yield 6%, Bond D có:

EN: B. the same interest rate risk.

• A. interest rate risk thấp hơn.

EN: C. higher interest rate risk.

• B. interest rate risk giống nhau.

EN: Solution:

• C. interest rate risk cao hơn.

EN: Option C is the right answer. The Macaulay duration of Bond D = 1.06/0.06 = 17.667 years. The Macaulay duration of Bond E = 5 years. Thus, perpetual bond (Bond D) is more sensitive to changes in the interest rate.

• Lời giải:

EN: 3. Graph represents price-yield curves for three bonds, Bond X, Bond Y, and Bond Z. All three bonds have the same coupon rate of 5%.

Phương án C là đáp án đúng. Macaulay duration của Bond D = 1.06/0.06 = 17.667 năm. Macaulay duration của Bond E = 5 năm. Do đó, perpetual bond (Bond D) nhạy cảm hơn với những thay đổi của interest rate.

3. Đồ thị biểu diễn price-yield curves của ba bonds là Bond X, Bond Y và Bond Z. Cả ba bonds đều có cùng coupon rate là 5%.

EN: Which of the three bonds has most likely the longest time to maturity?

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% Yield-to-maturity Bond X Bond Z Bond Y Price

EN: A. Bond X

Bond nào trong ba bonds nhiều khả năng nhất có time to maturity dài nhất?

EN: B. Bond Y

A. Bond X

• B. Bond Y

C. Trái phiếu Z Lời giải:

Phương án B là đáp án đúng. Trái phiếu Y có đường cong price-yield dốc nhất, do đó modified duration của nó cao nhất và vì vậy time to maturity của nó cũng dài nhất.

4. Giữa các lần thanh toán coupon, nếu yield-to-maturity không thay đổi, Macaulay duration của trái phiếu:

   • A. giảm trong suốt coupon period.

   • B. không đổi trong suốt coupon period.

   • C. tăng trong suốt coupon period.

   • Lời giải:

A là đáp án đúng. Macaulay duration giảm đều trong coupon period trước khi tăng đột ngột ở coupon period tiếp theo. Tham khảo Exhibit 6 để xem minh họa về điều này.

5. Hai trái phiếu có time to maturity và yield to maturity giống hệt nhau, nhưng một trái phiếu đang được giao dịch với premium to par trong khi trái phiếu còn lại đang được giao dịch với discount to par. Macaulay duration của trái phiếu premium nhiều khả năng nhất sẽ ________ so với trái phiếu discount.

   • A. thấp hơn

   • B. bằng

   • C. cao hơn

   • Lời giải:

A là đáp án đúng. Nếu hai trái phiếu có maturity giống hệt nhau và yield to maturity giống hệt nhau, nhưng một trái phiếu đang được giao dịch với premium trong khi một trái phiếu đang được giao dịch với discount to par, thì suy ra rằng trái phiếu premium có coupon rate cao hơn. Do đó, trái phiếu premium sẽ có Macaulay duration thấp hơn.

EN: 1. True or false? Duration of the curve is one kind of yield duration.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Đúng hay sai? Curve duration là một loại yield duration.

   • EN: A. True

   • A. Đúng

   • EN: B. False

   • B. Sai

EN: Portfolio managers have to evaluate interest rate risks for three bonds while making a decision to invest USD50 million. The bonds have identical maturity dates of 1 June 2026 and 1 June 2030, and their characteristics are as follows:

Thông tin sau đây liên quan đến câu hỏi 2-7

Portfolio managers phải đánh giá interest rate risks đối với ba trái phiếu khi đưa ra quyết định đầu tư USD50 million. Các trái phiếu có cùng các ngày maturity là 1 June 2026 và 1 June 2030, và các đặc điểm của chúng như sau:

EN: 2. Duration of Bond One, in years, is closest to:

2. Duration của Bond One, tính bằng năm, gần nhất với:

   • EN: A. 3.54.

   • A. 3.54.

   • EN: B. 3.59.

   • B. 3.59.

   • EN: C. 3.78.

EN: 3. The modified duration for Bond Two is closest to:

• C. 3.78.

EN: A. 3.59.

3. modified duration của Bond Two gần nhất với:

EN: B. 3.65.

A. 3.59.

EN: C. 3.78

B. 3.65.

EN: 4. Compared to a five-year zero-coupon bond with a yield of 5%, the modified duration of Bond Three is best characterized as:

C. 3.78

4. So với một zero-coupon bond kỳ hạn năm năm có yield là 5%, modified duration của Bond Three được mô tả đúng nhất là:

   • EN: A. lower than the zero-coupon bond’s modified duration.

   • A. thấp hơn modified duration của zero-coupon bond.

   • EN: B. the same as the zero-coupon bond’s modified duration.

   • B. bằng modified duration của zero-coupon bond.

   • EN: C. greater than the zero-coupon bond’s modified duration.

EN: 5. If there is an increase in the yields to maturity of all three bonds by 100 basis points, which bond would be expected to have the largest price decrease?

• C. lớn hơn modified duration của zero-coupon bond.

5. Nếu yields to maturity của cả ba trái phiếu tăng thêm 100 basis points, trái phiếu nào được kỳ vọng sẽ có mức giảm giá lớn nhất?

   • EN: A. Bond One

   • A. Bond One

   • EN: B. Bond Two

   • B. Bond Two

   • EN: C. Bond Three

   • C. Bond Three

Yield-Based Bond Duration Measures and Properties

EN: 6. Which bond has the highest value of a basis point?

6. Trái phiếu nào có value of a basis point cao nhất?

   • EN: A. Bond One

   • A. Bond One

   • EN: B. Bond Two

   • B. Bond Two

   • EN: C. Bond Three

EN: 7. The portfolio manager wants to compare the interest rate risks associated with Bond Three and Bond Four, which is a six-month resetting floating rate note. As on 1 June 2026, both bonds were quoted at a yield of 5%. If there is a change from 5% to 5.25% during the middle of the first coupon period, which bond would have the highest Macaulay duration?

• C. Bond Three

7. Portfolio manager muốn so sánh interest rate risks liên quan đến Bond Three và Bond Four, là một floating rate note có lãi suất được reset mỗi sáu tháng. Tại ngày 1 June 2026, cả hai trái phiếu đều được báo giá với yield là 5%. Nếu có sự thay đổi từ 5% lên 5.25% vào giữa coupon period đầu tiên, trái phiếu nào sẽ có Macaulay duration cao nhất?

   • EN: A. Bond Three

   • A. Bond Three

   • EN: B. Bond Four

   • B. Bond Four

• EN: C. None of the above: Both bonds have the same Macaulay duration.

• C. Không đáp án nào ở trên: Cả hai trái phiếu có cùng Macaulay duration.

EN: 1. B is correct. Macaulay duration, modified duration, money duration, and price value of a basis point are all yield durations. Curve duration does not fall under the category of yield duration.

LỜI GIẢI

1. B là đáp án đúng. Macaulay duration, modified duration, money duration và price value of a basis point đều là yield durations. Curve duration không thuộc nhóm yield duration.

EN: 2. B is correct.

2. B là đáp án đúng.

|Period|Time to receipt|Cash flow|Present value|Weight|Time to receipt × weight| ||||114.97185|1.00000|7.18458| |Annualized|Macaulay dura|tion|||3.59229|

EN: 3. B is correct.

3. B là đáp án đúng.

|Period|Time to receipt|Cash flow|Present value|Weight|Time to receipt × weight| ||||86.25209|1.00000|7.56003| |Annualized|Macaulay dur|ation|||3.780016| |Modified d|i uration||||3.652190|

EN: 4. A is correct. No calculation is necessary, as we know that a five-year zero-coupon bond has a Macaulay duration of 5, which is greater than that of a coupon bond like Bond three. Since they have the same yields, the bond’s modified durations will have the same relationship as their Macaulay duration. Alternatively, we can calculate Bond Three’s modified duration of 3.585:

4. A là đáp án đúng. Không cần thực hiện phép tính, vì chúng ta biết rằng một zero-coupon bond kỳ hạn năm năm có Macaulay duration là 5, lớn hơn Macaulay duration của một coupon bond như Bond Three. Vì chúng có cùng yields, modified durations của các trái phiếu sẽ có cùng mối quan hệ như Macaulay duration của chúng. Ngoài ra, chúng ta có thể tính modified duration của Bond Three là 3.585:

Yield-Based Bond Duration Measures and Properties

EN: The modified duration of the zero-coupon bond is 5/(1 + 0.05) = 4.7619.

|Period|Time to receipt|Cash flow|Present value Weight|Time to receipt × weight| ||||100.00000 1.00000|7.34939| ||||Annualized Macaulay duration|3.6747| ||||Modified duration|3.5851|

modified duration của zero-coupon bond là 5/(1 + 0.05) = 4.7619.

EN: 5. B is correct.

5. B là đáp án đúng.

EN: 6. A is correct.

6. A là đáp án đúng.

EN: 7. A is correct. The Macaulay duration of Bond Three is 3.6747. The Macaulay duration of Bond Four is 0.5 because of the exposure to interest rate risk over half of the coupon payment period.

7. A là đáp án đúng. Macaulay duration của Bond Three là 3.6747. Macaulay duration của Bond Four là 0.5 do exposure to interest rate risk trong nửa coupon payment period.