Interest Rate Risk and Return

Ứng viên cần có khả năng:

• tính toán và diễn giải các nguồn lợi nhuận của khoản đầu tư vào fixed-rate bond
• giải thích mối quan hệ giữa holding period return của bond, Macaulay duration và investment horizon
• định nghĩa, tính toán và diễn giải Macaulay duration

Trong các bài học trước về các thước đo yield, đã xác định rằng rate of return đối với một fixed income investor sẽ tương đương với yield-to-maturity (YTM) của bond. Trong các bài học này, các nguồn lợi nhuận của fixed income investments sẽ được xác định và investment returns sẽ được minh họa dưới nhiều kịch bản khác nhau, bao gồm cả kịch bản được hàm chứa trong phép tính YTM. Các bài học trước cũng đã xác định sự tồn tại của interest rate risk. Sẽ cho thấy investment horizon, xét tương quan với các đặc điểm của bond, là một yếu tố chủ yếu trong interest rate risk mà các nhà đầu tư phải đối mặt, và các nhà đầu tư khác nhau trong cùng một fixed income investment có thể có rates of return và quan điểm về risk khác nhau như thế nào. Cuối cùng, Macaulay duration sẽ được giới thiệu như một thước đo bình quân gia quyền của thời gian cho đến khi nhận được cash flow của bond, và việc nắm giữ một bond trong suốt Macaulay duration của nó loại bỏ cả reinvestment risk và price risk như thế nào.

• Có ba nguồn lợi nhuận từ fixed-rate bond investments: (1) các khoản thanh toán coupon và principal, (2) việc reinvestment các coupon, và (3) gain hoặc loss khi bán bond nếu bond được bán trước maturity.

• Rate of return của một fixed-rate bond investment được tính bằng cách sử dụng holding period, future value của các coupon đã nhận, sale price và purchase price để tính một compounded annualized rate of return.

• Khi tất cả cash flows được nhận vào đúng các ngày đã lên lịch, khi các coupon được reinvested tại cùng mức rate với YTM của bond và khi bond được nắm giữ đến maturity, annualized compounded rate of return của nhà đầu tư sẽ bằng YTM của bond. Khi bất kỳ giả định nào trong số đó không đúng, rate of return của nhà đầu tư sẽ khác.

• Reinvestment risk và price risk là hai loại interest rate risk và có mối quan hệ nghịch biến. Loại thứ nhất liên quan đến risk gắn với reinvestment yield thấp hơn đối với cash flows do interest rates giảm, trong khi loại thứ hai là risk gắn với giá giảm do interest rates tăng.

• Khi investment horizon dài hơn, tầm quan trọng của reinvestment risk tăng lên tương đối so với price risk. Trong trường hợp investment horizon của nhà đầu tư bằng Macaulay duration của bond, hai loại risk bù trừ cho nhau.

• Macaulay duration là thời gian bình quân gia quyền cho đến khi nhận được cash flows của một bond, trong đó trọng số được gán cho mỗi cash flow là phần trong tổng price của bond mà mỗi cash flow đại diện (tức là present value).

• Trong trường hợp investment horizon dài hơn (ngắn hơn, bằng) Macaulay duration của một bond, reinvestment risk của coupon lớn hơn (thấp hơn, bằng) price risk của bond.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Đây là một số câu hỏi ban đầu nhằm đánh giá kiến thức hiện có của bạn về Learning Module.

1. Risk gắn với một khoản đầu tư đối với một buy-and-hold fixed income investor, không bao gồm credit risk, phát sinh từ:

   • A. chỉ capital gain/loss khi bán.

   • B. chỉ coupon reinvestment.

   • C. không từ cả capital gain/loss khi bán lẫn coupon reinvestment.

   • Lời giải:

B là đáp án đúng. Biến động của interest rates trong suốt holding period sẽ ảnh hưởng đến lợi nhuận từ coupon reinvestment.

A sai vì không có risk về capital gain hoặc loss do buy-and-hold investor không bán trước maturity.

C sai vì lợi nhuận của buy-and-hold investors bị ảnh hưởng bởi rate mà các coupon được reinvested, hay reinvestment risk.

2. Family office mua eurobond kỳ hạn sáu năm, trả coupon hằng năm 5.8% và được định giá tại par, với maturity date là 15 December 2037. Bond được mua vào ngày 15 December 2031 và ngay sau đó interest rates tăng lên 6.5%. Bond được bán sau ba năm. Total annualized return của khoản đầu tư gần nhất với:

   • A. 5.28%.

B. 5.80%.

• C.* 6.50%. Lời giải: A là đáp án đúng. Annualized total return của khoản đầu tư bao gồm (1) các khoản thanh toán coupon, (2) coupon reinvestment, và (3) capital gain (loss) khi bán. Giá trị này là 5.28%, như sau: Future value của các coupon có reinvestment là = FV (0.065, 3, 5.8, 0, 0) = 18.556. Future value của sale price của bond sau 3 năm là = PV (0.065, 3, 5.8, 100, 0) = 98.146. Realized return, r , là_1 T − 1. r = (FV PV_)__1 _______________ 3 − 1. r = (_18.556 + 98.146 100 _)_r = 0.0528 = 5.28% B không đúng vì đó sẽ là lợi nhuận khi interest rates duy trì ở mức 5.8%. C không đúng vì 6.5% là interest rate mà các coupon sẽ được reinvested, chứ không phải rate of return của khoản đầu tư đối với family office. 3. Risk mà một nhà đầu tư mua bond tại par value và dự định bán trước khi nhận khoản thanh toán coupon đầu tiên phải đối mặt, giả sử không có credit risk, phát sinh từ: A. price risk. B. reinvestment risk. C. không từ cả price risk lẫn reinvestment risk. Lời giải: A là đáp án đúng. Các thay đổi của interest rates có thể ảnh hưởng đến price của bond và do đó ảnh hưởng đến returns của nhà đầu tư. B không đúng vì nếu nhà đầu tư bán bond trước khi nhận khoản thanh toán coupon đầu tiên, reinvestment risk trở nên không liên quan vì sẽ không có coupon nào được reinvested. C không đúng vì nhà đầu tư phải đối mặt với price risk. 4. Reinvestment risk và price risk của một bond trở thành các risk bù trừ cho nhau nếu investment horizon: A. bằng time to maturity của bond. B. bằng Macaulay duration của bond. C. nhỏ hơn Macaulay duration của bond. Lời giải: B là đáp án đúng. Khi investment horizon bằng Macaulay duration, gain (loss) từ coupon reinvestment được bù trừ bởi loss (gain) về price của bond do các thay đổi của interest rates.

A không đúng vì đối với một nhà đầu tư nắm giữ bond đến maturity date của nó (không bao gồm credit risk), người đó sẽ không có price risk nhưng có reinvestment risk. Do đó, reinvestment risk sẽ lớn hơn price risk.

Phương án C sai vì khi investment time frame ngắn hơn Macaulay duration, price risk lớn hơn reinvestment risk.

5. Hightest Capital mua một bond kỳ hạn 15 năm, trả coupon rate 6.8% hằng năm. Investment period của Hightest Capital là 7 năm. Macaulay duration của bond là 9.85 năm. Duration gap khi bond được mua là:

   • A. 2.85.

   • B. 5.15.

   • C. 8.00.

Lời giải:

Phát biểu A là đúng. Duration gap của một bond = Macaulay duration của bond - investment horizon của nhà đầu tư = 9.85 - 7.0 = 2.85

Phương án B sai vì đó là chênh lệch giữa time till maturity và Macaulay duration của bond (15 – 9.85 = 5.15).

Phương án C sai vì đó là chênh lệch giữa time till maturity và investment horizon của nhà đầu tư (15 – 7 = 8.00).

6. Giả sử một bond còn hai năm đến maturity, có các khoản thanh toán coupon 4% mỗi nửa năm và yield to maturity là 4.60%. Nếu đã trôi qua 63 trong số 180 ngày cho đến khoản thanh toán interest đầu tiên và sử dụng phương pháp cơ sở 30/360 thì Macaulay duration của bond gần nhất với:

   • A. 0.9419 years.

   • B. 1.7666 years.

   • C. 1.9416 years.

Lời giải:

B là đáp án đúng.

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Trọng số|Thời gian đến khi nhận × Trọng số| ||||99.6559|1.0000|3.5331| |||||Annualized|1.7666| |||||MacDur||

Thời gian đến khi nhận cash flow đầu tiên = (180-63)/180 = 0.65 vì bond đã trôi qua 63 ngày kể từ khi được phát hành. Mọi cash flow khác sẽ cách cash flow trước đó 1 kỳ.

7. Giả sử một bond còn năm năm đến maturity, có các khoản thanh toán interest hằng năm với coupon 0% và yield to maturity là -0.38%. Nếu bond được phát hành hôm nay thì

với coupon rate 4.8%, được định giá tại par và cơ sở 30/360, annualized Macaulay duration của bond gần nhất với:

A. 3.5361 years. B. 5.0000 years. C. 6.3412 years. Lời giải:

B là đáp án đúng. Không cần tính toán, vì Macaulay duration của một zero-coupon bond bằng time-to-maturity của nó trừ khi nó nằm giữa các coupon dates. Để chứng minh, hãy xem bảng dưới đây:

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Trọng số|Thời gian đến khi nhận × Trọng số| ||||100.9554|1.0000|5.0000|

tính toán và diễn giải các nguồn lợi nhuận từ việc đầu tư vào fixed-rate bond;

Ba nguồn lợi nhuận phát sinh khi mua fixed-rate bonds bao gồm (1) việc thanh toán các coupon và principal như đã cam kết vào các ngày đã cam kết, (2) reinvestment các khoản thanh toán coupon, và (3) khả năng phát sinh gain/loss từ việc bán bond trước khi nó maturity. Về vấn đề này, chúng ta tập trung vào tác động của việc thay đổi interest rates đối với reinvestment các khoản thanh toán coupon và price của bond khi nó được bán trước maturity.

Để bắt đầu, hãy xem xét hai nhà đầu tư mua eurobond mới kỳ hạn 10 năm, coupon 6.2% (hằng năm) của BRWA; tuy nhiên, time horizon của hai người là khác nhau. Thứ nhất, interest rates không thay đổi. Thứ hai, chúng ta xem xét tác động của interest rates cao hơn. Thứ ba, chúng ta sẽ cho thấy tác động của interest rates thấp hơn.

VÍ DỤ 1

Nhà đầu tư thứ nhất được gọi là một "buy-and-hold" investor, người mua eurobond mới kỳ hạn 10 năm, coupon 6.2% (hằng năm) của BRWA được định giá tại par (settlement: 15 October 2025; maturity: 15 October 2035) và nắm giữ đến maturity. Reinvesting các khoản thanh toán coupon tại rate 6.2%, tức yield-to-maturity, future value của các coupon tại maturity date của bond được tính bằng hàm FV của Microsoft Excel như sau:

= - FV ( Rate , Nper , Pmt , Pv , Type ),

trong đó Type là kỳ mà khoản thanh toán được thực hiện vào cuối (0) hoặc đầu (1). Đối với bond trên,

= - FV (0.062, 10, 6.2, 0, 0) = 82.493 trên mỗi 100 par value.

Trong khi tổng các coupon nhận được là 62 (= 6.2 × 10), phần còn lại là 20.493 (= 82.493 - 62), được gọi là khoản gain "interest-on-interest". Do đó, rate of return của nhà đầu tư (xét theo compound annual growth rate) là 6.20%.

Trong Example 1, cho thấy yield-to-maturity tại thời điểm mua bằng rate of return của nhà đầu tư theo ba điều kiện sau: (1) nhà đầu tư sẽ nắm giữ bond đến maturity, (2) sẽ không có default từ issuer, và (3) các khoản thanh toán coupon interest sẽ được reinvested tại cùng mức interest rate.

Trong Example 2, nhà đầu tư thứ hai (được gọi là Baywhite Financial hoặc Baywhite) mua bond kỳ hạn 10 năm, có khoản thanh toán coupon hằng năm 6.2% với cùng price. Tuy nhiên, investment horizon của nhà đầu tư thứ hai chỉ là bốn năm, vì vậy các khoản thanh toán coupon interest chỉ được reinvested trong bốn năm và sau đó bond được bán sau khi nhận bốn khoản thanh toán coupon.

VÍ DỤ 2

Baywhite mua một eurobond kỳ hạn 10 năm, coupon 6.2% do BRWA phát hành. Sau bốn năm, Baywhite bán eurobond. Nếu các khoản thanh toán coupon được reinvested tại 6.2% trong bốn năm, future value của việc reinvestment các coupon sẽ là 27.20321 cho mỗi 100 par value của bond.

= − FV (0.062, 4, 6.2, 0, 0) = 27.203.

Khoản thu nhập interest-on-interest là 2.403 (27.203 – 24.800). Khi bán eurobond, còn sáu năm đến maturity. Yield to maturity được giả định là 6.2%. Do đó, selling price bằng 100% par.

Annualized rate of return của Baywhite là 6.20%:

• Horizon yield* là IRR của một nhà đầu tư tạo ra return từ total return (bao gồm các khoản thanh toán coupon đã được reinvested và sale price hoặc redemption price) và purchase price của bond. Horizon yield của bond là annualized rate of return trong holding period.

Trong Example 2, horizon yield của Baywhite là 6.2%, giống với yield-to-maturity ban đầu mặc dù Baywhite đã bán eurobond trước maturity. Example 2 cho thấy realized horizon yield bằng yield-to-maturity ban đầu khi (1) các khoản thanh toán coupon được reinvested tại cùng interest rate với yield-to-maturity ban đầu, và (2) eurobond được bán tại một price nằm trên constant-yield price

trajectory, điều này có nghĩa là không có capital gain (hoặc loss) khi bond được bán. Cần lưu ý rằng capital gains (losses) chỉ được realized nếu bond được bán tại price cao hơn (thấp hơn) constant-yield price trajectory của nó, như đã thấy trong các bài học trước.

Điểm trên trajectory cho thấy carrying value của bond. Carrying value là purchase price + (hoặc –) amortized discount (premium) nếu bond được mua dưới (hoặc trên) par. Constant-yield price trajectory của các bond trong Example 1 và Example 2 chỉ đơn giản là một đường thẳng tại mức price 100 vì các bond được mua và bán tại par.

Bây giờ, chúng ta xem xét interest rates tăng ảnh hưởng đến VFO và Baywhite như thế nào, trong đó interest rates tăng thêm 100 basis points ngay sau khi đầu tư. Interest rate của bond tăng từ 6.20% lên 7.20%, và reinvestment rates của các coupon cũng sẽ cao hơn 100 bps.

VÍ DỤ 3

VFO, tức nhà đầu tư buy-and-hold, mua eurobond mới kỳ hạn 10 năm, annual coupon 6.2% do BRWA phát hành tại par, sau đó interest rates tăng lên 7.20%. future value của các coupon được reinvested tại 7.20% trong 10 năm là

Và realized rate of return (horizon yield) của VFO là 6.43%:

VFO được hưởng lợi từ coupon reinvestment rate cao hơn. horizon yield trong trường hợp này đạt 6.43% - cao hơn 23 basis points so với Example 1, khi interest rates không thay đổi. Cần lưu ý rằng VFO không có capital gain hay capital loss vì bond đáo hạn tại par.

VÍ DỤ 4

Baywhite mua các eurobond giống hệt của BRWA tại par, ngay sau khi rates trở thành 7.2%, và bán chúng sau 4 năm. future value của việc reinvestment coupon payments tại 7.2% là

= - FV (0.072, 4, 6.2, 0, 0) = 27.609.

Tuy nhiên, ngoài giá trị đó, chúng ta cần xem xét sale price của bond, vì sự thay đổi của interest rates tác động đến bond’s price, trong khi Baywhite bán bond trước maturity, không giống VFO. Chúng ta sẽ tính price sau 4 năm là

thu được horizon yield 4 năm là 5.28%:

r = 0.0528 = 5.28%.

Mặc dù Baywhite được hưởng lợi từ việc coupon reinvestment cao hơn, lợi ích này hoàn toàn bị bù trừ bởi capital losses do bán bonds tại yield cao hơn (price thấp hơn). Do đó, rate of return của Baywhite thấp hơn so với Example 2, khi interest rate duy trì không đổi ở mức 6.2%.

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét rate of return của cả hai nhà đầu tư này trong trường hợp interest rates giảm 100 basis points; theo đó, yield của BRWA bonds sẽ giảm từ 6.20% xuống 5.20% ngay sau khi được mua.

Interest rates giảm xuống 5.20% ngay sau khi VFO, nhà đầu tư buy-and-hold, mua BRWA's 10-year eurobonds tại par.

1. Tính future value của các coupon được reinvested. Lời giải:

future value của việc reinvestment coupon payments tại 5.20% trong 10 năm là = − FV (0.052, 10, 6.2, 0, 0) = 78.715.

2. Tính horizon yield (realized rate of return) của VFO.

Lời giải:

horizon yield của VFO là 5.98%:

r = 0.0598 = 5.98%.

3. So sánh investment performance của VFO trong trường hợp này với Example 1 và Example 3.

   • Lời giải:

VFO gặp bất lợi do coupon reinvestment rate thấp hơn. horizon yield 5.98% thấp hơn 22 basis points so với trường hợp trước đó (Example 1, khi interest rates không thay đổi), và thấp hơn 45 basis points so với trường hợp trước đó (Example 3). Không có capital gain cũng không có capital loss vì VFO giữ bonds đến maturity date.

Baywhite mua BRWA’s 10-year Eurobonds tại face value, và interest rates ngay lập tức giảm xuống 5.20%. Baywhite bán bonds sau 4 năm.

4. Tính future value của các coupon được reinvested.

Lời giải:

Kết quả của việc coupon reinvestment sẽ là

= – FV (0.052, 4, 6.2, 0, 0) = 26.802.

5. Tính horizon yield (realized rate of return) của Baywhite. Lời giải:

bond disposal value sau 4 năm sẽ là

• = – PV (0.052, 6, 6.2, 100, 0) = 105.043,

cho yield thực tế trong 4 năm là 7.16%.

6. So sánh investment performance của Baywhite trong ví dụ này với Examples 2 và 4.

Lời giải:

Sự giảm của future value của các coupon được bù đắp vượt mức bởi capital gain của Baywhite từ việc bán bond. Do đó, horizon yield của Baywhite cao hơn Example 2 và Example 4.

Từ minh họa này, có thể thấy interest income đại diện cho return phát sinh từ thời gian trôi qua, bao gồm coupon interest income, reinvestment các coupon, và amortization discount hoặc premium do mua bond thấp hơn hoặc cao hơn par value nhằm điều chỉnh return phù hợp với market discount rate. capital gain hoặc capital loss là return trên khoản đầu tư của nhà đầu tư phát sinh từ sự thay đổi về giá trị của bond, trong đó đối với fixed-rate bonds, sự thay đổi này xuất phát từ sự thay đổi của yield-to-maturity của bond hoặc market discount rate.

Tóm lại, các ví dụ trên cho thấy vai trò then chốt của investment horizon của nhà đầu tư trong việc hiểu interest rate risk và return liên quan đến fixed-rate bonds. Có hai loại interest rate risk mà bond investor phải đối mặt và chúng bù trừ cho nhau: reinvestment risk và price risk. future value của các coupon được reinvested tăng khi interest rates tăng và giảm khi interest rates giảm. bond price vào maturity date, sau horizon date, giảm khi interest rates tăng và tăng khi interest rates giảm.

Tầm quan trọng của reinvestment risk tăng lên khi investment horizon của nhà đầu tư tăng. Trong trường hợp buy-and-hold strategy, nhà đầu tư chỉ có reinvestment risk. Tầm quan trọng của price risk tăng lên khi investment horizon của nhà đầu tư giảm. Nhà đầu tư bán bond trước khi nhận coupon đầu tiên chỉ có price risk. Điều này có nghĩa là hai nhà đầu tư có thể đối mặt với các interest rate risk khác nhau mặc dù họ nắm giữ cùng một bond.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Điền vào chỗ trống bằng hai từ dưới đây:

Reinvestment risk

Price risk

Nhà đầu tư có investment horizon dài hạn quan tâm nhiều hơn đến _____________, trong khi nhà đầu tư có investment horizon ngắn hạn quan tâm nhiều hơn đến ____________.

Lời giải:

Do đó, nhà đầu tư có investment horizon dài hạn quan tâm nhiều hơn đến reinvestment risk, trong khi nhà đầu tư có investment horizon ngắn hạn quan tâm nhiều hơn đến price risk.

2. carrying value của bond là gì?

Lời giải:

carrying value của bond là tổng của price mà bond được mua cộng (trừ) amortization của discount (premium) khi bond được mua thấp hơn (cao hơn) par.

3. Ghép các nội dung sau

Lời giải:

Đối với A, đáp án là tăng. future value của các coupon tỷ lệ thuận với interest rates. Khi interest rates tăng, future value của các coupon sẽ cao hơn vì chúng sẽ kiếm được nhiều interest hơn từ việc được reinvested.

Đối với B, đáp án là giảm. future value của các coupon tỷ lệ thuận với interest rates. Khi interest rates giảm, future value của các coupon sẽ giảm vì chúng sẽ kiếm được ít interest hơn từ việc được reinvested.

4. Một nhà đầu tư mua một bond có maturity 5 năm, annual coupon 5.6%, được priced at par (Settlement Date: 15 Dec. 2031, Maturity Date: 15 Dec. 2036) và bán bond sau 2 năm. Ngay sau khi nhà đầu tư mua bond, interest rates tăng lên 5.9%. total return của nhà đầu tư sau 2 năm gần nhất với:

   • A. 5.23%.

   • B. 5.60%.

C. 5.75%.

Lời giải:

A là đáp án đúng. total return của nhà đầu tư bao gồm (1) coupons, (2) reinvestment các coupon, và (3) gain/loss khi bán trước khi bond đáo hạn. future value của các coupon, giả sử chúng được reinvested tại 5.90%, là

• = – FV (0.059, 2, 5.6, 0, 0) = 11.5304.

sale price của bond sau 2 năm, khi vẫn còn 3 năm đến maturity, sẽ là

• = – PV (0.059, 3, 5.6, 100, 0) = 99.1966.

realized rate of return trong trường hợp này là 5.23%.

_1 ____________ 2 − 1. r = (11.530 + 99.197 100 ) r = 0.0523 = 5.23%. B không đúng vì đó là rate of return nếu interest rates duy trì ở mức 5.60%. C không đúng vì đó là arithmetic average của hai rates (tức coupon rate 5.6% và interest rate mới, cao hơn là 5.9%).

A không đúng vì đây chỉ đơn giản là arithmetic average của annual coupon payment rate và market interest rate.

B không đúng vì nó bỏ qua capital gain do interest rates giảm.

INVESTMENT HORIZON AND INTEREST RATE RISK 3

Giải thích mối quan hệ giữa holding period return, Macaulay duration và investment horizon. Tính Macaulay Duration và diễn giải ý nghĩa của nó.

Bây giờ, chúng ta sẽ tiếp tục phân tích này bằng cách đưa thêm một nhà đầu tư thứ ba vào xem xét: Hightest Capital, có investment period 8 năm. Với interest rate hiện hành là 6.20%, future value của các coupon payments được reinvested là

= –FV(0.062, 8, 6.2, 0, 0) = 61.807.

Tại thời điểm bond được bán, bond còn 2 năm đến maturity. Với yield to maturity hiện hành là 6.20% và bond được bán với price là 100, horizon yield của Hightest là 6.20%.

Nếu interest rates ngay lập tức tăng lên 7.20% sau khi mua, thì future value của các coupon sẽ là

Và bond price sẽ là

realized horizon yield là 6.24%.

Như có thể thấy, capital loss khi bán bond là 1.803 (= 98.197 – 100.00) gần như được bù đắp bởi additional income 2.265 từ coupon reinvestments do sự thay đổi của interest rates. Do đó, total return của Hightest hầu như không thay đổi so với kịch bản rates ổn định (6.24% so với 6.20%).

Hãy xem xét một kịch bản khác, trong đó market interest rates giảm 100 bps xuống 5.20%. Trong trường hợp này, future value của các coupon giảm, trong khi bond price tại ngày bán tăng: = – FV (0.052, 8, 6.2, 0, 0) = 59.630.

Do đó, horizon yield của Hightest trong 8 năm hiện là 6.17%:

Một lần nữa, có thể nhận thấy rằng capital gain khi bán bond là 1.854 gần như được bù đắp bởi sự mất mát của coupon reinvestment income. Kết quả là total return của Hightest hầu như không thay đổi so với kịch bản rates ổn định (6.17% so với 6.20%).

Kết quả đầu tư của Hightest, cũng như VFO và Baywhite, được thể hiện trong Exhibit 1 dưới đây. Như có thể thấy, có một hàm ý đáng kể đối với Hightest trong trường hợp investment horizon 8 năm: total returns và horizon yields hầu như bằng nhau bất kể interest rates .

Exhibit 1

investment horizon 8 năm của Hightest được xem xét nhằm minh họa một trong những đặc điểm quan trọng nhất của BRWA bond và fixed income instruments nói chung: Macaulay duration, tức holding period của một bond mà gains (hoặc losses) từ coupon reinvestment được bù trừ bởi losses (hoặc gains) từ price changes do một lần dịch chuyển “parallel” tức thời của yield curve sau khi bond được mua. Khái niệm này được đặt theo tên người phát minh ra nó - Frederick Macaulay, một nhà kinh tế học người Canada, người lần đầu đề xuất thuật ngữ này vào năm 1938. Theo các tính toán ở trên, Macaulay duration của bond đang xét là khoảng 8 năm.

Exhibit 2 trình bày Macaulay duration của một bond có initial price bằng par value.

Exhibit 2: Interest Rate Risk, Macaulay Duration, and Investment Horizon

Theo panel A, price giảm ngay lập tức khi interest rates tăng, sau đó price “pulls to par” theo thời gian. Sự gia tăng future value của các coupon được reinvested diễn ra dần dần và đường cong thể hiện additional future value của các coupon được reinvested do interest rates tăng. Thời điểm Macaulay duration xảy ra là thời điểm gain từ các coupon được reinvested bằng với loss do interest rates tăng.

Panel B cũng thể hiện mô hình tương tự trong điều kiện interest rates giảm. price tăng ngay lập tức, sau đó là hiện tượng “pull-to-par” dẫn đến price giảm dần theo thời gian. Ảnh hưởng từ reinvestment tại interest rate thấp hơn ban đầu không đáng kể, nhưng tăng lên đáng kể theo thời gian. Như trước đó, Macaulay duration cho thấy thời điểm hai lực đối nghịch có mức độ bằng nhau - tức lợi ích từ việc interest rates giảm bằng với tác động tiêu cực từ coupon reinvestment tại rate thấp hơn.

Phân tích trên cho phép chúng ta đưa ra các nhận định tổng quát về mối quan hệ giữa interest rate risk, Macaulay duration và investment horizon được trình bày trong Exhibit 3:

Exhibit 3: Macaulay Duration, Investment Horizon, and Interest Rate Risk

Macaulay duration của BRWA bond là 7.7429 năm (chúng ta sẽ trình bày lời giải trong bài học tiếp theo). Do đó, Statement 1 áp dụng cho VFO với horizon 10 năm; Statement 2 áp dụng cho Hightest với horizon 8 năm; và Statement 3 áp dụng cho Baywhite với horizon 4 năm.

Như Equation 1 cho thấy, duration gap của bond được định nghĩa là chênh lệch giữa Macaulay duration và investment horizon của nhà đầu tư.

Duration gap = Macaulay duration – Investment horizon.

(1)

VFO có horizon 10 năm và duration gap âm. Điều này có nghĩa rằng rủi ro chính của VFO là interest rates giảm. Hightest có horizon 8 năm và duration gap gần bằng 0; điều này có nghĩa rằng công ty gần như được hedged trước interest rates’ risk. Baywhite có duration gap dương và horizon 4 năm; do đó, công ty đối mặt với rủi ro interest rates tăng. Đáng chú ý, investment horizon giảm theo thời gian, cũng như Macaulay duration của bond.

Các nhà đầu tư có tên Rook Point Investors, Fyleton Investments và Amy Investments đầu tư vào một eurobond Romania có coupon 5.61%, kỳ hạn 30 năm và được mua tại par. Macaulay duration của bond là 15.16 năm. investment horizon của Rook Point Investors là 5 năm; của Fyleton Investors là 15 năm; và của Amy Investments là 30 năm.

1. Tính rate of return của ba nhà đầu tư trong ba kịch bản:

Kịch bản 1: interest rates giảm ngay 50 bps sau khi mua.

Kịch bản 2: interest rates không đổi ở mức 5.61%.

Kịch bản 3: interest rates tăng ngay 50 bps sau khi mua.

Lời giải:

Bảng sau thể hiện rate of return của từng nhà đầu tư trong các kịch bản khác nhau:

Có thể quan sát thấy rằng total return không thay đổi khi investment horizon của nhà đầu tư

rất gần với Macaulay duration của bond. Mức tăng (giảm) của gains (losses) do coupon reinvestment risk được bù trừ bằng mức giảm (tăng) của losses (gains) do price risk.

|Lãi suất ổn định|ở mức 5.61%||Lãi|suất tăng lên 6.1|1%|Lãi|suất giảm xuống 5.1|1%| |MacDur > Horizon|MacDur≅ Horizon|MacDur < Horizon|MacDur > Horizon|MacDur≅ Horizon|MacDur < Horizon|MacDur > Horizon|MacDur≅ Horizon|MacDur < Horizon| |Giá trị tương lai|của coupon| |Giá trị tương lai|của coupon| |Giá trị tương lai|của coupon| | |Giá trị hoàn trả|hoặc giá bán| |Giá trị hoàn trả|hoặc giá bán| |Giá trị hoàn trả|hoặc giá bán| | ||Horizon Yield|||Horizon Yield|||Horizon Yield|| |5.610%|5.610%|5.610%|4.626%|5.613%|5.861%|6.659%|5.624%|5.367%|

1. Ghép các nội dung sau:

Lời giải:

Đáp án A: Lãi suất giảm. Duration gap âm cho thấy Macaulay duration của bond nhỏ hơn investment horizon của nhà đầu tư, hàm ý rằng reinvestment risk là interest rate risk chi phối khi interest rates giảm.

Đáp án B: Lãi suất tăng. Duration gap dương cho thấy Macaulay duration của bond lớn hơn investment horizon của nhà đầu tư, hàm ý rằng price risk là interest rate risk chi phối khi interest rates tăng.

2. Hoàn thành phương trình dưới đây bằng các thuật ngữ sau:

Macaulay duration

Investment horizon

Time-to-maturity

Duration gap = __________ - __________.

Lời giải:

Duration gap = Macaulay duration - Investment horizon.

3. Một nhà đầu tư bond dự định nắm giữ một bond 8 năm trong 8 năm trước khi bond đáo hạn. Macaulay duration của bond là 6.841. Nhà đầu tư có khả năng cao nhất chịu interest rate risk nào?

   • A. Price risk

   • B. Reinvestment risk

C. Không có price risk cũng không có reinvestment risk Lời giải:

Đáp án B là đúng. Nhà đầu tư không chịu price risk vì cô ấy sẽ không bán bond trước khi bond đáo hạn. Tuy nhiên, rate of return của cô ấy sẽ bị ảnh hưởng bởi rate mà cô ấy có thể reinvest coupons.

Ngoài ra, investment horizon của nhà đầu tư là 8 năm trong khi Macaulay duration là 6.841. Khi investment horizon lớn hơn Macaulay duration, nhà đầu tư sẽ chịu reinvestment risk.

định nghĩa, tính toán và giải thích Macaulay duration.

Từ bài học trước, Macaulay duration được trình bày là holding period của một bond có thể bù trừ reinvestment risk và interest rate risk. Chúng ta sẽ xem xét cách có thể tính Macaulay duration.

Một trong những cách dễ nhất để hiểu Macaulay duration của một fixed coupon bond thông thường là xem nó như weighted average của thời gian cho đến khi nhận được các cash flows của bond, trong đó weight của mỗi cash flow là tỷ trọng của cash flow đó trong toàn bộ price của bond (tức present value). Trước khi thảo luận công thức tổng quát, trước tiên hãy đưa ra một ví dụ về cách tính Macaulay duration bằng eurobond 10 năm, coupon 6.2% (hàng năm) của BRWA từ các bài học trước.

Exhibit 4 trình bày việc tính Macaulay duration tại thời điểm phát hành, giả định bond được phát hành tại par, settlement date là 15 October 2025 và maturity date là 15 October 2035. Vì đây là corporate bond, chúng ta sử dụng day-count convention 30/360.

• Exhibit 4: Macaulay Duration của Eurobond BRWA Corp. 10 năm, coupon 6.2% hàng năm tại thời điểm phát hành*

|(1)|(2)|(3)|(4)|(5)|(6)| |||||(4) ÷ Tổng|(1) × (5)| |||||các present|| |||||values||

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash flow|Present value|Weight|Thời gian đến khi nhận × weight| ||||100.0000|1.0000|7.7429|

• Số period và thời gian đến khi nhận cash flow lần lượt xuất hiện ở cột 1 và 2. Trong trường hợp phép tính được thực hiện tại thời điểm phát hành hoặc vào các coupon payment dates, hai số liệu này giống nhau.

• Cột thứ ba cho thấy cash flows trên mỗi 100 par value và cột thứ tư cho thấy present value của cash flow.

• Weight (hoặc tỷ trọng của mỗi cash flow trong PV) xuất hiện ở cột thứ năm. Hãy lưu ý rằng cash flow cuối cùng, PMTN + FVN, có giá trị 106.2, chiếm 58% PV của bond.

• Tích của thời gian đến khi nhận cash flow (cột 2) và weight (cột 5) xuất hiện ở cột thứ sáu. Tổng của cột này cho ra Macaulay duration là 7.7429 năm. Điều này hàm ý rằng Hightest Capital đã quản lý thành công việc cân bằng reinvestment risk và price risk vì duration gần với investment horizon 8 năm của Hightest Capital đã được tính trong bài học trước.

Thông thường, Macaulay duration được báo cáo dưới dạng một chỉ số annualized. Trong trường hợp trên, không cần điều chỉnh vì bond là coupon-paying bond và trả coupon hàng năm. Trong trường hợp semiannual coupon bond, chúng ta nên chia Macaulay duration cho hai vì có hai semiannual periods trong một năm. Đơn vị của annualized Macaulay duration là năm.

Hãy lưu ý rằng 7.7429 năm nhỏ hơn 10 năm, là time to maturity của bond. Lý do là Macaulay duration là thước đo thời gian đến khi nhận các cash flows được weighted theo present value, trong khi time to maturity chỉ đơn giản là thời gian đến khi nhận cash flow cuối cùng.

trong đó

t là số ngày giữa coupon trước đó và settlement date;

T là số ngày trong coupon period;

• t / T là phần của coupon period đã trôi qua kể từ lần thanh toán trước đó;

PMT là coupon payment cho mỗi period;

• FV biểu thị future value nhận được khi bond đáo hạn, hoặc face value của bond;

• r là yield-to-maturity cho mỗi period; và

N biểu thị số khoảng cách đều nhau đến maturity tính từ đầu interval hiện tại.

VÍ DỤ 5

Macaulay Duration giữa các Coupon Dates

Tiếp theo, chúng ta hãy tính Macaulay duration của bond BRWA giữa các coupon payments, tức vào ngày 11 December 2025, 57 ngày sau issue date. So với ví dụ trước, điểm khác biệt duy nhất ở đây là chúng ta đã tiến thêm 57 ngày, vì vậy thay vì t / T = 0 tại thời điểm phát hành, t / T = 57/360, và thời gian đến khi nhận mỗi cash flow giảm 57 ngày.

Macaulay Duration của Eurobond BRWA Corp. 10 năm, coupon 6.2% hàng năm, settlement 57 ngày sau khi phát hành

|(1)|(2)|(3)|(4)|(5)|(6)| |||||(4) ÷ Tổng|(1) × (5)| |||||present values||

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash flow|Present value|Weight|Thời gian đến khi nhận × weight|

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash flow|Present value|Weight|Thời gian đến khi nhận × weight| ||||100.9570|1.0000|7.5845|

Khi so sánh hai ví dụ, chúng ta có thể nhận thấy rằng thời gian đến khi nhận mỗi cash flow thấp hơn vì chúng ta đã tiến thêm 57 ngày, và do đó mỗi cash flow có present value cao hơn. Tuy nhiên, present value weight của mỗi cash flow không thay đổi. Chúng ta có thể quan sát rằng Macaulay duration (7.5845) thấp hơn so với ví dụ trước (7.7429) do thời gian đến khi nhận ngắn hơn.

Ví dụ hiện tại làm nổi bật một đặc tính quan trọng của Macaulay duration - đây không phải là một thước đo tĩnh mà giảm dần khi thời gian trôi qua và thời gian đến khi nhận mỗi cash flow giảm xuống.

Ngoài phương pháp spreadsheet, Macaulay duration cũng có thể được tính bằng công thức DURATION trong Microsoft Excel và Google Sheets như sau:

=DURATION( Settlement , Maturity , Coupon , Yld , Frequency , [ Basis ])

trong đó

Settlement là settlement date, ở định dạng DATE

Maturity là maturity date, ở định dạng DATE

Coupon là annual coupon rate

Yld là annual yield-to-maturity

Periodicity là frequency, thường là số coupon mỗi năm; là 1 đối với annual, 2 đối với semi-annual, 4 đối với quarterly

[ Basis ] là phương pháp day count; 0 hoặc để trống là 30/360, 1 là actual/actual, 2 là actual/360, 3 là actual/365

Cuối cùng, phương pháp thứ ba để tính Macaulay duration là áp dụng một biểu thức analytical được xây dựng bằng calculus và algebra như được thể hiện trong Equation 3 dưới đây:

trong đó

r là yield-to-maturity tính trên cơ sở mỗi period;

N là số periods cách đều nhau đến maturity tính từ đầu period hiện tại;

c là periodic coupon rate;

t là số ngày từ coupon payment date trước đó đến settlement date;

và

T là số ngày trong một coupon period.

1. Một bond còn 3 năm đến maturity, trả semiannual coupons ở mức 4% và có price là 100. annualized Macaulay duration của bond gần nhất với:

A. 2.801 năm.

B. 2.857 năm.

C. 3.000 năm.

Lời giải:

B là đúng.

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash flow|Present value|Weight|Thời gian đến khi nhận × weight| ||||100.00000|1.00000|5.71346| |Annualized|Macaulay|duration|(năm)||2.857|

Annualized Macaulay duration (năm)

2. Một nhà đầu tư có investment horizon 3 năm đầu tư vào một bond còn 4 năm đến maturity, trả semiannual coupons ở mức 1% và có yield to maturity là 0.90%. Nhà đầu tư chủ yếu lo ngại về:

   • A. interest rates tăng.

   • B. interest rates giảm.

   • C. interest rates không tăng cũng không giảm.

   • Lời giải:

Phương án A là đúng. Macaulay duration của bond là 3.9312 năm.

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Weight|Thời gian đến khi nhận × Weight|

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Weight|Thời gian đến khi nhận × Weight| ||||100.3920|1.0000|7.8624| ||||Annualized|MacDur (năm)|3.9312|

Nếu Macaulay duration của bond lớn hơn time horizon mà nhà đầu tư muốn nắm giữ bond (tức 3 năm), thì price risk chi phối, và mối lo chính của nhà đầu tư sẽ là interest rates tăng.

3. Một bond có remaining maturity là 5 năm, annual coupon là 0.5% và yield-to-maturity là -0.20%. annualized Macaulay duration của bond là bao nhiêu?

A. 2.4758.

• B. 4.9515.

C. 5.3130.

Lời giải:

B là đúng.

|Period|Thời gian đến khi nhận|CF|PV|Weight|Thời gian đến khi nhận × Weight| ||||103.5211|1.0000|4.9515|

4. Một bond có remaining maturity là 5 năm, annual coupon là 0.5% và yield-to-maturity là -0.20%. Giả sử còn 91 ngày đến coupon payment tiếp theo và sử dụng day count 30/360. annualized Macaulay duration của bond gần nhất với:

   • A. 4.2371.

   • B. 4.5054.

C. 4.6987.

Lời giải:

C là đúng.

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Weight|Thời gian đến khi nhận × Weight|

|Period|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Weight|Thời gian đến khi nhận × Weight| ||||103.4687|1.0000|4.6987|

Điều quan trọng cần nhớ là cách hiệu quả nhất để tính Macaulay duration bằng Excel khi coupon được trả trong các thời điểm không phải coupon payment period là xem thời gian đến khi nhận cash flow đầu tiên là (1 - t / T), sau đó cộng thêm một vào time period của mỗi cash flow tiếp theo.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

• 1. EN: The horizon yield of an investor would be equal to the yield-to-maturity of a bond, if the coupons received on that bond are reinvested at a rate:

Horizon yield của một nhà đầu tư sẽ bằng yield-to-maturity của một bond, nếu các coupon nhận được từ bond đó được reinvest ở một rate:

• A. EN: lower than the bond’s yield-to-maturity at investment.

• A. thấp hơn yield-to-maturity của bond tại thời điểm đầu tư.

• B. EN: equal to the bond’s yield-to-maturity at investment.

• B. bằng yield-to-maturity của bond tại thời điểm đầu tư.

• C. EN: higher than the bond’s yield-to-maturity at investment.

• C. cao hơn yield-to-maturity của bond tại thời điểm đầu tư.

• 2. EN: An investor buys an eight-year, 6.4% annual coupon eurobond trading at par (date of settlement: 15 June 2031, maturity date: 15 December 2039), and then sells it after six years. If interest rates increase by 100 bps right after the purchase, then the investor’s rate of return at the end of six years would be:

Một nhà đầu tư mua một eurobond 8 năm, annual coupon 6.4%, được giao dịch tại par (settlement date: 15 June 2031, maturity date: 15 December 2039), sau đó bán bond sau 6 năm. Nếu interest rates tăng 100 bps ngay sau khi mua, thì rate of return của nhà đầu tư vào cuối 6 năm sẽ:

• A. EN: lower than 6.4%.

• A. thấp hơn 6.4%.

• B. EN: equal to 6.4%.

• B. bằng 6.4%.

• C. EN: higher than 6.4%.

• C. cao hơn 6.4%.

• 3. EN: The book value of a bond bought at a price lower than par value will be the same as the initial purchase price:

Book value của một bond được mua với price thấp hơn par value sẽ bằng initial purchase price:

• A. EN: minus the accumulated premium amortization.

• A. trừ accumulated premium amortization.

• B. EN: minus the accumulated discount amortization.

• B. trừ accumulated discount amortization.

• C. EN: plus the accumulated discount amortization.

• C. cộng accumulated discount amortization.

• 4. EN: The duration gap at which price risk and reinvestment risk are the same is:

Duration gap tại đó price risk và reinvestment risk bằng nhau là:

• A. EN: less than zero.

• A. nhỏ hơn 0.

• B. EN: equal to zero.

• B. bằng 0.

• C. EN: greater than zero.

• C. lớn hơn 0.

• 5. EN: If the investment horizon of an investor is less than the Macaulay duration of a bond, then the investor is exposed to the downside risk, if after buying the bond, interest rates:

Nếu investment horizon của một nhà đầu tư nhỏ hơn Macaulay duration của một bond, thì nhà đầu tư sẽ chịu downside risk nếu sau khi mua bond, interest rates:

• A. EN: decrease.

• A. giảm.

• B. EN: increase.

• B. tăng.

• C. EN: either decrease or increase.

• C. giảm hoặc tăng.

• 6.* EN: The investor buys a 12-year, 5.8% annually compounded bond and sells it after 10 years. The Macaulay duration of the bond is 8.97 years. In case there is a decline in the interest rates by 75 bps immediately after purchasing the bond, then:

Nhà đầu tư mua một bond 12 năm, 5.8% annually compounded và bán bond sau 10 năm. Macaulay duration của bond là 8.97 năm. Trong trường hợp interest rates giảm 75 bps ngay sau khi mua bond, thì:

• A. EN: negative reinvestment risk.

• A. negative reinvestment risk.

• B. EN: no reinvestment risk.

• B. không có reinvestment risk.

• C. EN: positive reinvestment risk.

• C. positive reinvestment risk.

• 7.* EN: Assume a bond that has 3 years left until maturity, a coupon rate of 4% payable semi-annually, and a yield-to-maturity of 4.60%. It is currently 12 days from the beginning of the first coupon period and it uses 30/360 day count convention, then the annualized Macaulay duration of the bond is closest to:

Giả sử một bond còn 3 năm đến maturity, có coupon rate 4% trả semi-annually và yield-to-maturity 4.60%. Hiện tại là 12 ngày kể từ đầu coupon period đầu tiên và bond sử dụng day count convention 30/360, thì annualized Macaulay duration của bond gần nhất với:

• A. EN: 1.8764 years.

• A. 1.8764 năm.

• B. EN: 2.8386 years.

• B. 2.8386 năm.

• C. EN: 2.8553 years.

• C. 2.8553 năm.

• 8.* EN: Hightest Capital buys a seven-year, 6.4% coupon bond and has an investment horizon of 4 years. The Macaulay duration of the bond is 5.86 years. In case interest rates rise by 50 bps immediately after buying the bond, Hightest Capital is exposed to:

Hightest Capital mua một coupon bond 7 năm, 6.4% và có investment horizon 4 năm. Macaulay duration của bond là 5.86 năm. Trong trường hợp interest rates tăng 50 bps ngay sau khi mua bond, Hightest Capital chịu:

• A. EN: negative price risk.

• A. negative price risk.

• B. EN: negative reinvestment risk.

• B. negative reinvestment risk.

• C. EN: positive price risk.

• C. positive price risk.

EN: 1. B is the correct answer. For the investor to have a horizon yield which matches the yield-to-maturity of the bond, there are two conditions that must be satisfied:

LỜI GIẢI

EN: - (1) The coupon payments are reinvested at the original yield-to-maturity.

1. B là đáp án đúng. Để nhà đầu tư có horizon yield khớp với yield-to-maturity của trái phiếu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

EN: - (2) The bond is bought at the constant-yield price path. This means that there is no capital gain or loss on the bond being sold.

• (1) Các khoản thanh toán coupon được tái đầu tư tại yield-to-maturity ban đầu.

EN: Because there is no gain or loss in selling the bond, the horizon yield will be equal to the yield-to-maturity when the above stated first condition is true (i.e. the coupons are reinvested at the same yield-to-maturity).

• (2) Trái phiếu được mua theo constant-yield price path. Điều này có nghĩa là không có capital gain hoặc loss đối với trái phiếu được bán.

EN: Option A is wrong since the horizon yield will be less than the yield-to-maturity when the coupons are reinvested at the lower rate as compared to the yield-to-maturity, provided that there is no capital gain or loss in selling the bond.

Vì không có gain hoặc loss khi bán trái phiếu, horizon yield sẽ bằng yield-to-maturity khi điều kiện thứ nhất nêu trên được thỏa mãn (tức là các coupon được tái đầu tư tại cùng yield-to-maturity).

EN: Option C is wrong since the horizon yield will be greater than the yield-to-maturity when the coupons are reinvested at the higher rate as compared to the yield-to-maturity, provided that there is no capital gain or loss in selling the bond.

Phương án A sai vì horizon yield sẽ thấp hơn yield-to-maturity khi các coupon được tái đầu tư tại mức lãi suất thấp hơn so với yield-to-maturity, với điều kiện không có capital gain hoặc loss khi bán trái phiếu.

EN: 2. A is right since the future value of reinvested coupon interest will be

Phương án C sai vì horizon yield sẽ cao hơn yield-to-maturity khi các coupon được tái đầu tư tại mức lãi suất cao hơn so với yield-to-maturity, với điều kiện không có capital gain hoặc loss khi bán trái phiếu.

EN: - = FV (0.074,6,6.4,0,0) = 46.245.

2. A là đáp án đúng vì future value của coupon interest được tái đầu tư sẽ là

EN: Sale price of the bond after six years is

• = FV (0.074,6,6.4,0,0) = 46.245.

Sale price của trái phiếu sau sáu năm là

EN: resulting in a yield of 6.32% over six years, which is less than 6.40%:

tạo ra yield là 6.32% trong sáu năm, thấp hơn 6.40%:

EN: r = 0.0632 = 6.32%.

EN: Options B and C are wrong because the interest rate has gone up and the investment period for the investor is not sufficient to compensate for the fall in price with further income.

r = 0.0632 = 6.32%.

EN: 3. Option C is right. When a bond is bought at a discount, its price would be "pulled to par" as it approaches maturity. The carrying amount at time t = Purchase Price + Discount Amortization

Các phương án B và C sai vì interest rate đã tăng và investment period của nhà đầu tư không đủ để bù đắp cho sự giảm giá bằng thu nhập bổ sung.

EN: Option A is wrong because when a bond is purchased at a discount, then the bond is purchased at a discount, not a premium.

3. Phương án C là đáp án đúng. Khi một trái phiếu được mua tại discount, giá của nó sẽ được "pulled to par" khi tiến gần đến maturity. Carrying amount tại thời điểm t = Purchase Price + Discount Amortization

EN: Option B is wrong because the discount amortization amount is to be added to the purchase price to find out the carrying value.

Phương án A sai vì khi một trái phiếu được mua tại discount, thì trái phiếu được mua tại discount, không phải premium.

EN: 4. B is correct. The degree of price risk and the degree of reinvestment risk neutralize one another equally when the horizon of investment by an investor and the duration of the bond are equal. In this case, there is no gap in duration.

Phương án B sai vì discount amortization amount phải được cộng vào purchase price để xác định carrying value.

EN: - A is wrong since a gap in duration that is below zero shows that the Macaulay duration is below the horizon of investment by an investor and that there is more reinvestment risk than price risk.

4. B là đáp án đúng. Mức độ price risk và mức độ reinvestment risk triệt tiêu lẫn nhau một cách cân bằng khi horizon of investment của nhà đầu tư và duration của trái phiếu bằng nhau. Trong trường hợp này, không có gap in duration.

EN: C is wrong because when there is a gap in duration above zero, the Macaulay duration will be above the horizon of investment and hence more price risk than reinvestment risk.

• A sai vì gap in duration nhỏ hơn 0 cho thấy Macaulay duration thấp hơn horizon of investment của nhà đầu tư và có nhiều reinvestment risk hơn price risk.

C sai vì khi gap in duration lớn hơn 0, Macaulay duration sẽ lớn hơn horizon of investment và do đó có nhiều price risk hơn reinvestment risk.

Lời giải

EN: 5. B is correct. If the horizon of investment is shorter than the Macaulay duration, then the investor’s risk will be high interest rates. For this kind of investor, the market price risk outweighs the coupon reinvestment risk.

EN: - A is wrong because for an investor to face risk from low interest rates, the horizon of investment should be longer than the Macaulay duration.

5. B là đáp án đúng. Nếu horizon of investment ngắn hơn Macaulay duration, thì rủi ro của nhà đầu tư sẽ là interest rate cao. Đối với loại nhà đầu tư này, market price risk lớn hơn coupon reinvestment risk.

EN: - Answer C is wrong as the investment horizon of less than the Macaulay duration implies the risk arising due to the rise in the interest rates.

• A sai vì để nhà đầu tư đối mặt với rủi ro từ interest rate thấp, horizon of investment phải dài hơn Macaulay duration.

EN: 6. Answer A is right. The investor has an investment horizon of 10 years, which is greater than the Macaulay duration of 8.97 years. Thus, the risk of reinvestment outweighs the risk of the prices.

• Đáp án C sai vì investment horizon ngắn hơn Macaulay duration hàm ý rủi ro phát sinh do interest rate tăng.

EN: - Answer B is wrong as the investor faces the risk of reinvestment as the investment horizon exceeds the Macaulay duration.

6. Đáp án A là đúng. Nhà đầu tư có investment horizon là 10 năm, lớn hơn Macaulay duration là 8.97 năm. Do đó, reinvestment risk lớn hơn price risk.

EN: Answer C is wrong as the investor faces negative coupon reinvestment risk rather than positive reinvestment risk, as the coupons will be reinvested in a lower interest environment.

• Đáp án B sai vì nhà đầu tư đối mặt với reinvestment risk do investment horizon dài hơn Macaulay duration.

EN: 7. B is correct.

Đáp án C sai vì nhà đầu tư đối mặt với negative coupon reinvestment risk thay vì positive reinvestment risk, do các coupon sẽ được tái đầu tư trong môi trường interest rate thấp hơn.

7. B là đáp án đúng.

EN: 8. Answer A is right. Hightest Capital has an investment horizon of four years, which is less than the Macaulay duration of 5.86 years. Thus, the risk of prices exceeds the risk of reinvestment and Hightest Capital faces the price risk due to the increase in interest rates. Answer B is wrong as the increase in the interest rates will be good for coupon reinvestment. Thus, Hightest Capital has positive reinvestment risk. Answer C is wrong as Hightest Capital faces negative price risk as the price of the bond will decrease due to 50 bp increase in the interest rates.

|Kỳ|Thời gian đến khi nhận|Cash Flow|PV|Trọng số|Thời gian đến khi nhận × Trọng số| ||||98.4856|1.0000|5.6439| ||||MacDur annualized|2.8220|

8. Đáp án A là đúng. Hightest Capital có investment horizon là bốn năm, ngắn hơn Macaulay duration là 5.86 năm. Do đó, price risk lớn hơn reinvestment risk và Hightest Capital đối mặt với price risk do interest rate tăng. Đáp án B sai vì việc interest rate tăng sẽ có lợi cho coupon reinvestment. Do đó, Hightest Capital có positive reinvestment risk. Đáp án C sai vì Hightest Capital đối mặt với negative price risk do giá của trái phiếu sẽ giảm vì interest rate tăng 50 bp.