The Term Structure of Interest Rates Spot Par and Forward Curv

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có thể:

• định nghĩa spot rates và spot curve, đồng thời tính giá của một bond bằng spot rates
• định nghĩa par rates và forward rates, đồng thời tính par rates, forward rates từ spot rates, spot rates từ forward rates và giá của một bond bằng forward rates
• so sánh spot curve, par curve và forward curve

Trong các bài học trước, fixed-income securities được định giá bằng cách discount toàn bộ cash flows trong tương lai bằng một interest rate, chẳng hạn như yield to maturity hoặc MRR cộng với discount margin. Ba bài học tiếp theo sẽ đưa ra một giả định ít hạn chế hơn bằng cách giới thiệu term structure of interest rates, nghĩa là interest rates phụ thuộc vào time to maturity. Dữ liệu tốt nhất để phân tích term structure là default-risk-free zero-coupon bonds; chúng cũng được gọi là spot rates hoặc spot curve. Trên thực tế, spot rates không thể quan sát trực tiếp và có nhiều phương pháp khác nhau để tính toán chúng. Spot curve được sử dụng để xây dựng thêm hai yield curves: par curve và forward curve. Par curve bao gồm yields của các benchmark securities giả định được định giá tại par, trong khi forward curve bao gồm interest rates cho các kỳ bắt đầu trong tương lai. Cả spot, par và forward curves đều thiết yếu đối với phân tích fixed income securities và nhiều mục đích khác vì chúng chứa các default-risk-free rates of return cho những kỳ bắt đầu từ hiện tại và trong tương lai. Chúng ta sẽ thảo luận về giá của bonds dưới từng loại rate và thiết lập mối quan hệ giữa chúng.

Phần lớn các examples và exhibits được sử dụng xuyên suốt phần đọc đều có trong Microsoft Excel workbook. Mỗi sheet trong workbook được đặt tên theo số của example hoặc exhibit tương ứng trong phần đọc.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

• Spot rates là market discount rates trên default-risk-free zero-coupon bonds, hoặc đôi khi được gọi là zero rates. Nếu một chuỗi spot rates được sử dụng để tính bond prices, thì sẽ thu được no-arbitrage bond price.

• Par rate là market discount rate cho một maturity cụ thể mà tại đó bond được định giá tại par. Par rate được tính dựa trên spot rates cho đến maturity.

• Implied forward rates được tính bằng spot rates và biểu thị mức tăng thêm khi kéo dài maturity sang một khoảng thời gian bổ sung. Điều này khiến chúng trở thành breakeven interest rates cho việc reinvesting.

• Vì par rates và forward rates đều có thể được suy ra từ spot rates, spot curve có mối liên hệ chặt chẽ với par curve và forward curve.

• Nếu term structure dốc lên, thì par rates sẽ thấp hơn spot rates và forward rates sẽ cao hơn spot rates. Đối với term structure dốc xuống, par rates sẽ cao hơn spot rates và forward rates sẽ thấp hơn spot rates.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi sau được xây dựng nhằm giúp đánh giá mức độ hiểu của bạn về module.

1. Tính price và yield-to-maturity (YTM) của một bond có coupon 1%, maturity 3 năm và par value là 100, dựa trên các spot rates sau:

Lời giải:

Price là 97.135:

2. Par rate biểu thị điều gì?

Lời giải:

• Par rate là yield-to-maturity của bond sao cho present value của cash flows của bond (tức price của bond) bằng với par hoặc face value của bond.

3. Tính implied one-year forward rate sau hai năm nữa (tức 2y1y) bằng các spot rates sau với annual compounding.

Lời giải:

• (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B−A = (1 + ZB )B .

(1 + 0.01)1 × (1 + IFR 2,1)2 = (1 + 0.02)3 . IFR 2,1 = 2.50%.

4. Nêu ý nghĩa kinh tế của forward rate được tính ở Câu 3.

Lời giải:

One-year forward rate sau hai năm nữa (2y1y) là 3.01% có nghĩa là one-year interest rate được kỳ vọng là 3.01% sau hai năm kể từ hiện tại. Điều này cho biết interest rate mà tại đó cùng một kết quả sẽ đạt được trong khoảng thời gian ba năm, dù người ta đầu tư vào two-year bond hay three-year bond.

5. Phân biệt spot rates và forward rates.

Lời giải:

Spot rates liên quan đến rates của việc borrowing và lending tiền cho tenor xác định ngay lập tức hoặc trong vài ngày tới, trong khi forward rates liên quan đến rates sẽ áp dụng cho một thỏa thuận borrowing hoặc lending tại một thời điểm trong tương lai cho một tenor nhất định.

6. Phát biểu: One-year forward rate có lớn hơn spot rate tương ứng khi spot curve dốc xuống không?

   • A. Đúng

   • B. Sai

Lời giải:

Sai. Trong trường hợp spot curve dốc xuống, one-year forward curve sẽ dốc xuống từ spot curve. Điều này có nghĩa là spot rates giảm đối với các kỳ dài hơn cho thấy reinvestment rates thấp hơn cho các năm tiếp theo.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

Giải thích spot rates và spot curve, và cách tính bond price bằng spot rates.

Maturity Structure of Interest Rates

Giả sử yield-to-maturity của một bond cao hơn bond còn lại. Có nhiều lý do khiến các bonds này có yields khác nhau. Một số lý do bao gồm credit risk, khác biệt về currency, liquidity, khác biệt về tax và periodicity assumption. Credit risk và khác biệt về currency đã được minh họa trong các bài học trước, khi 30-year bonds của Romania (Ministry of Finance), được denominated bằng euro, có yield-to-maturity là 4.657%, cao hơn 411 bp so với bonds của Federal Republic of Germany. Có một lý do khác khiến các bonds có thể có yields-to-maturity khác nhau, đó là times-to-maturity khác nhau. Yếu tố gây ra sự khác biệt về yield-to-maturity giữa các bonds này được gọi là maturity structure of interest rates hoặc term structure of interest rates.

Term structure được hiểu rõ hơn khi sử dụng các bonds có tất cả các đặc tính giống nhau ngoại trừ time-to-maturity; nghĩa là các bonds có cùng currency, credit risk, liquidity, tax status và periodicity assumption, đồng thời có cùng coupon rates, qua đó có cùng coupon reinvestment risk. Bộ dữ liệu lý tưởng để sử dụng khi phân tích term structure là yields-to-maturity của một chuỗi default-risk-free zero coupon bonds hoặc spot rates. Sovereign bonds của developed markets thường được sử dụng trong phân tích như vậy vì chúng đại diện cho default risk thấp nhất của issuer trên thị trường. Bộ dữ liệu đầy đủ là spot curve của government bonds, hoặc đôi khi được gọi là zero curve hoặc "strip" curve (vì coupons được tách khỏi bonds).

Spot curve của government bonds được xem là dữ liệu lý tưởng cho term structure vì nó phù hợp với khái niệm "các yếu tố khác không đổi". Các bonds này được giả định có cùng currency, credit risk, liquidity và tax status. Quan trọng nhất, với tư cách là zero coupon bonds, các bonds này không có coupon reinvestment risk. Một ví dụ về spot curve của government bonds được trình bày trong Exhibit 1 cho các times-to-maturity khác nhau từ 1 năm đến 30 năm. Annual yield rates được đưa ra trên cơ sở semiannual bond để có thể dễ dàng so sánh với coupon bearing bonds trả lãi semiannually, chẳng hạn như corporate bonds.

Exhibit 1: Spot (Zero) Curve của Government Bonds

Spot curve của government bonds được thể hiện trong Exhibit 1 có độ dốc đi lên và phẳng dần đối với các times-to-maturity dài, cho thấy government bonds dài hạn có yield cao hơn short-term bonds. Đây thường là trường hợp trong điều kiện bình thường. Đôi khi spot curve của government bonds có độ dốc đi xuống, nghĩa là yields của short-term bonds cao hơn yields của long-term bonds. Inverted yield curve là tên gọi của spot curve dốc xuống như vậy. Các lý thuyết cố gắng giải thích hình dạng của yield curve và hệ quả của nó đối với điều kiện financial markets trong tương lai được thảo luận ở phần khác.

Mặc dù spot curve của government bonds bao gồm zero coupon bonds là lý tưởng cho phân tích, có một số cân nhắc thực tế cần được tính đến. Trước hết, phần lớn government bonds đều có coupons. Các coupon bonds này có thể khác nhau về liquidity và tax status. Các bonds cũ hơn ("seasoned") có xu hướng kém liquid hơn vì chúng được nắm giữ bởi các tổ chức buy-and-hold và khách hàng retail. Government bonds được phát hành với các times-to-maturity cố định, chẳng hạn 5 năm và 10 năm. Một 6-year bond có thể là 10-year bond đã được phát hành cách đây 4 năm. Hơn nữa, khi interest rates thay đổi, các bonds cũ hơn có thể được bán tại discount hoặc premium so với face value, dẫn đến khác biệt về tax.

Rõ ràng trên thực tế, chỉ các government bonds được phát hành gần đây nhất mới được xem xét để xây dựng yield curve. Chúng có liquidity gần như tương đương và được định giá gần với par value nên có ít khác biệt về tax hơn. Ngoài ra, có ít dữ liệu hơn cho toàn bộ phạm vi maturities và vì vậy cần interpolation để hình thành curve. Exhibit 2 dưới đây thể hiện yield curve cho một chính phủ phát hành 2-, 3-, 5-, 7-, 10- và 30-year bonds với semiannual coupons. Linear interpolation được sử dụng để xây dựng yield curve.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves*

Exhibit 2: Yield Curve của Government Coupon Bonds

Exhibit 2 cũng đưa ra yields của short-term government securities có 1 tháng, 3 tháng, 6 tháng và 12 tháng đến maturity. Mặc dù money market instruments được định giá bằng discount rates, chúng được chuyển đổi thành bond equivalent yields (hoặc add-on rates với 365 ngày/năm). Ngoài ra, tất cả bonds được đưa vào yield curve cần được chuyển đổi sang cùng periodicity để so sánh giữa các times to maturity. Điều này đã được thực hiện trong các bài học trước đối với việc chuyển đổi discount rates thành bond equivalent yields và các periodicities khác nhau.

Bond Pricing Using Spot Rates

Vì interest rates phụ thuộc vào maturities và do đó thể hiện term structure, có thể định giá bonds bằng các discount rates tương ứng với các ngày của cash flows. Chuỗi các discount rates như vậy sẽ là spot curve. Prices của bonds được định giá dựa trên spot rates tạo ra no-arbitrage prices. Nếu price của một bond không bằng no-arbitrage price của nó, thì tồn tại arbitrage opportunity khi không có transaction costs.

Ví dụ, nếu one-year spot rate là 2%, two-year spot rate là 3% và three-year spot rate là 4%, thì price của một three-year bond trả annual coupon 5% sẽ là 102.960:

Với premium trên bond, yield-to-maturity phải thấp hơn coupon rate 5%. Do đó, yield-to-maturity là 3.935% khi sử dụng basic bond pricing formula:

Price của bond sẽ giống nhau khi cash flows được discounted bằng yield-to-maturity:

Tuy nhiên, present value của cash flows được discounted bằng spot rates khác với present value được discounted bằng yield-to-maturity. Coupon payment đầu tiên có present value là 4.902 nếu discounting rate là 2%, nhưng là 4.811 nếu rate là 3.935%. Mặt khác, present value của cash flow cuối cùng (bao gồm redemption of the principal) là 93.345 nếu discounting rate là 4%, nhưng là 93.520 nếu rate là 3.935%. Tuy nhiên, tổng present value vẫn là 102.960 bất kể bạn tính theo cách nào.

Equation 1 ở trên là một phương trình tổng quát để xác định price của một bond bằng cách sử dụng chuỗi spot rates. Lưu ý rằng đối với các bonds có risk characteristics khác với spot rates (ví dụ, credit risk, như corporate bonds), cần cộng thêm một spread vào spot rates.

trong đó

Z1 là spot rate hoặc zero rate cho period 1

Z 2 là spot rate, cũng được gọi là zero-coupon yield hoặc zero rate, cho period 2.

ZN là spot rate, cũng được gọi là zero-coupon yield hoặc zero rate, cho period N.

Spot rates của government bonds Canada và Australia sẽ được sử dụng làm examples về bond pricing bằng spot rate.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

Exhibit 3: Government Bond Spot Rates: Canada and Australia

VÍ DỤ 1

Bond Prices and Yields-to-Maturity Based on Spot Rates

1. Xác định giá của trái phiếu chính phủ Canada kỳ hạn 5 năm với coupon 1.00% bằng cách sử dụng spot rates được cung cấp trong Exhibit 3.

Lời giải:

99.50. Để xác định giá của trái phiếu, chúng ta áp dụng Equation 1 cùng với spot rates được đưa ra cho từng cash flow.

2. Xác định giá trên mỗi 100 face value của một trái phiếu chính phủ Úc kỳ hạn 5 năm trả lãi suất 0.80%, giả sử rằng spot rates được cho trong Exhibit 3.

Lời giải:

99.99. Để xác định giá của trái phiếu, chúng ta áp dụng Equation 1 và spot rates được cho cho từng cash flow.

PV = 99.99

3. Xác định yield to maturity của trái phiếu chính phủ Canada kỳ hạn 5 năm dựa trên giá được tính trong Bài 1.

Lời giải:

1.104%. Thay vì xác định giá, chúng ta sẽ sử dụng Equation 1 để tính YTM, IRR làm cho giá được tính trong Bài 1 bằng với present value của các cash flow. Trong Excel hoặc Google Sheets, có thể sử dụng hàm RATE hoặc IRR để xác định r.

Lưu ý rằng yield của coupon bond thấp hơn một chút so với spot rate kỳ hạn 5 năm.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Đúng hay Sai: Trên thực tế, spot rate được xây dựng bằng cách sử dụng các phép tính yield-to-maturity trên các trái phiếu chính phủ trả coupon mới được phát hành với nhiều kỳ hạn khác nhau.

   • EN: A. True

   • A. Đúng

   • EN: B. False

   • B. Sai

EN: True. Although zero-coupon risk-free government bonds will be preferred, in reality, the spot curve is constructed using yields of recently issued coupon-paying government bonds using linear interpolation. These bonds fulfill the requirements of the term structure analysis.

Lời giải:

EN: 2. Identify the missing word in the following statement: Because of the scarcity of data to construct the yields for all maturity periods, it is often necessary to __________ yields observed.

Đúng. Mặc dù zero-coupon risk-free government bonds được ưu tiên hơn, trên thực tế, spot curve được xây dựng bằng cách sử dụng yields của các coupon-paying government bonds mới được phát hành thông qua linear interpolation. Các trái phiếu này đáp ứng các yêu cầu của term structure analysis.

2. Xác định từ còn thiếu trong phát biểu sau: Do sự khan hiếm dữ liệu để xây dựng yields cho tất cả các kỳ hạn, thường cần phải __________ yields quan sát được.

EN: Because of the scarcity of data to construct the yields for all maturity periods, it is often necessary to interpolate yields observed.

Lời giải:

EN: 3. Compute the price and yield to maturity of a 2.5%, 5-year bond, using the following spot rates. Assume that compounding occurs annually.

Do sự khan hiếm dữ liệu để xây dựng yields cho tất cả các kỳ hạn, thường cần phải interpolate yields quan sát được.

3. Tính giá và yield to maturity của một trái phiếu 5 năm có coupon 2.5%, sử dụng các spot rates sau. Giả sử compounding diễn ra hằng năm.

• Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

EN: The price is 101.314.

4 year 2.400% 5 year 2.200% Solution:

Giá là 101.314.

EN: 4. Given the following term structure of Canadian government bonds, compute the price of a 0.50%, 3-year Canadian government bond.

4. Với term structure sau của các trái phiếu chính phủ Canada, hãy tính giá của một trái phiếu chính phủ Canada kỳ hạn 3 năm, coupon 0.50%.

EN: 5. In Example 1, there is an exercise concerning a 0.50% coupon, 3-year Canadian government bond where the price of the bond is equal to the 99.126 price in Question 4 above. Compare the spot rates for Canadian government bonds in Example 1 and Question 4 and explain why the two different yield curves give the same pricing result.

5. Trong Example 1, có một bài tập liên quan đến một trái phiếu chính phủ Canada kỳ hạn 3 năm, coupon 0.50%, trong đó giá của trái phiếu bằng với mức giá 99.126 ở Câu 4 ở trên. Hãy so sánh spot rates của các trái phiếu chính phủ Canada trong Example 1 và Câu 4, đồng thời giải thích tại sao hai yield curves khác nhau lại cho cùng một kết quả định giá.

EN: The term structure in Example 1 is upward sloping, whereas in Question 4, the term structure is downward sloping. What is interesting is that, in spite of the very big difference between the starting points (that is, one-year spot rates) in these examples, the three-year spot rates are similar. In Example 1, the three-year rate is 0.7977%, whereas in Question 4, the three-year rate is 0.7951%. Therefore, due to the similarity of the spot rates in the examples with the upward- and downward-sloping term structures, it is possible to demonstrate the same price (and YTM) in upward- and downward-sloping term structure scenarios.

Lời giải:

Term structure trong Example 1 là upward sloping, trong khi ở Câu 4, term structure là downward sloping. Điều thú vị là, mặc dù có sự khác biệt rất lớn giữa các điểm khởi đầu (nghĩa là one-year spot rates) trong các ví dụ này, three-year spot rates lại tương tự nhau. Trong Example 1, three-year rate là 0.7977%, trong khi ở Câu 4, three-year rate là 0.7951%. Do đó, nhờ sự tương đồng của spot rates trong các ví dụ có upward- và downward-sloping term structures, có thể cho thấy cùng một mức giá (và YTM) trong các kịch bản term structure upward- và downward-sloping.

Định nghĩa và cách tính par rates và forward rates, forward rates từ spot rates, spot rates từ forward rates, và giá của một trái phiếu từ forward rates

Par Rates from Spot Rates

Ứng dụng quan trọng nhất của spot rates là tìm ra par rates. Par rate là yield to maturity làm cho present value của một trái phiếu bằng par (100% face value của nó). Par rates của các trái phiếu chính phủ giả định có các kỳ hạn khác nhau, thường được sử dụng trong term structure analysis, được dùng vì chúng không tính đến thuế, transaction cost và các yếu tố khác có thể làm sai lệch giá của các trái phiếu thực tế được giao dịch tại discount hoặc premium. Ví dụ, US Treasury yield curve nổi tiếng được US Department of the Treasury công bố hằng ngày bao gồm các par rates. Tuy nhiên, các government securities được phát hành gần đây nhất hoặc on-the-run government securities đã được giới thiệu trong một bài học trước là các trái phiếu thực tế có yields to maturities gần với nhưng không bằng par rates.

Công thức sau có thể được sử dụng vào ngày thanh toán coupon để tìm par rate theo PMT nếu biết một chuỗi spot rates Z 1, Z 2, . . ., Zn. Giữa các ngày thanh toán coupon, chúng ta đặt flat price, chứ không phải full price, bằng 100.

Phương trình trên khá giống Equation 1 với PV = FV = 100. Như đã nêu ở trên, để một trái phiếu được giao dịch at par, coupon rate và yield to maturity cần bằng nhau. Do đó, bằng cách tìm PMT, chúng ta tìm được yield to maturity khi trái phiếu được giao dịch at par. Giá trị này, khi chia cho 100, cho chúng ta par rate per period.

Hãy sử dụng một ví dụ để minh họa cách tính par rates khi spot rates đã biết. Giả sử spot rates hiện tại của các trái phiếu chính phủ kỳ hạn một, hai, ba và bốn năm lần lượt là 5.263%, 5.616%, 6.359% và 7.008%. Tất cả các rates đều được biểu thị dưới dạng effective annual rates. One-year par rate là 5.263%:

Three-year và four-year par rates lần lượt là 6.306% và 6.899%.

• Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

Như chúng ta thấy từ công thức giá trái phiếu, các rates ở trên thực sự cho chúng ta par rates. Bằng cách thay các par rates ở trên làm coupon và yield to maturity trong công thức giá trái phiếu, ta có: 5.606/(1.05606)1 + 105.606/(1.05606)2 = 100.

Tương tự, giá của trái phiếu bốn năm cũng sẽ là 100:

• 6.899/(1.06899)1 + 6.899/(1.06899)2 + 6.899/(1.06899)3 + 106.899/(1.06899)4

• = 100.

VÍ DỤ 2

Bond Prices and Yields-to-Maturity Based on Par Rates

1. Par rate của một trái phiếu có thể được tính từ tập hợp spot rates phản ánh các kỳ hạn cho đến và bao gồm kỳ hạn của par rate mong muốn. Sử dụng dữ liệu spot rate được trình bày trong Exhibit 1, hãy tính par rate cho một trái phiếu chính phủ Canada kỳ hạn ba năm. Trong ví dụ này (và các ví dụ tiếp theo), giả định thanh toán và compounding hằng năm. Lời giải: Sử dụng Equation 2 để giải PMT, như sau: _ _ _ 100 = (1 +PMT z 1)1 + (1 +PMT z 2)2 + ⋯ +PMT (1 ++ 100 zN )N. ___________ PMT_ __________ PMT_ ____________ 100 =( 1 + 0.003117)1+ ( 1 + 0.00568)2+ ( 1 + 0.007977_PMT_+ 100)3. Chúng ta có thể factor out PMT rồi giải nó: ____________1 ___________1 ____________1 ____________100 100 = PMT × (( 1 + 0.003117)1+ ( 1 + 0.00568)2+ ( 1 + 0.007977)3) + ( 1 + 0.007977)3. PMT = 0.7952.

Để có được par rate per period, coupon payment được chia cho 100 (tức là 0.7952/100). Do đó, par rate sẽ là 0.7952%.

Forward Rates from Spot Rates

Ngoài ra, spot rates có thể được sử dụng để suy ra implied forward rates (còn được gọi là forward yields), đại diện cho breakeven reinvestment rates. Chúng kết nối returns kiếm được thông qua đầu tư vào các zero-coupon bonds ngắn hạn hơn và đầu tư vào các zero-coupon bonds dài hạn hơn.

Giả sử yields-to-maturity của zero-coupon bonds kỳ hạn ba năm và bốn năm lần lượt là 3.65% và 4.18%, một analyst muốn biết các rates này hàm ý implied returns cao hơn bao nhiêu đối với một investment period bốn năm so với ba năm (hoặc thêm một năm). Đó là implied one-year forward yield cho ba năm trong tương lai, được minh họa trong Exhibit 4.

Exhibit 4: Implied One-Year Rate, Three Years from Today

Theo market convention, forward rate này được gọi là “3y1y”, viết tắt của “three-year into one-year rate” hoặc đơn giản là “3’s, 1’s.” Con số thứ nhất biểu thị độ dài của forward period tính từ hiện tại theo năm, trong khi con số thứ hai là tenor của underlying bond hoặc time-to-maturity của nó. Trên money markets, forward rate thường được biểu thị theo tháng.

Tuy nhiên, nếu kỳ vọng của nhà đầu tư là one-year rate sau ba năm sẽ thấp hơn 3y1y, đầu tư vào zero-coupon bond bốn năm có thể là đủ. Nhưng nếu nhà đầu tư tin rằng one-year yield sẽ cao hơn implied forward rate, nên chọn trái phiếu ba năm và reinvest khoản đó ở anticipated higher rate sau thêm một năm. Vì lý do trên, implied forward rate có thể được gọi là breakeven reinvestment rate.

Equation 3 là công thức implied forward rate, IFRA B - A, cho một security có kỳ hạn bắt đầu tại t = A và kết thúc tại t = B (tenor B - A), trong đó chúng ta cần zA và spot rate zB. Xem minh họa bên dưới.

(1 + ZA )A × (1 + IFRA,B - A )B-A = (1 + ZB )B .

(3)

Exhibit 5: Implied Forward Rates

Với Equation 3, bây giờ chúng ta giải 3y1y vì biết yields-to-maturity của zero-coupon bonds kỳ hạn ba năm và bốn năm lần lượt là 3.65% và 4.18%.

(1 + ZA )A × (1 + IFRA,B - A )B-A = (1 + ZB )B .

(1 + 0.0365)3 × (1 + IFR 3,1)1 = (1 + 0.0418)4 .

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves*

IFR 3,1 = 0.057863 = 5.79%

Implied forward yield “3y1y” bằng 5.79%. Nhà đầu tư phải mua trái phiếu ba năm nếu cô ấy nghĩ rằng one-year yield sau ba năm sẽ lớn hơn hiện tại, và ngược lại.

VÍ DỤ 3

Deriving Forward Rates from Spot Rates

1. Hãy quay lại spot rates được trình bày trong Exhibit 1. Bây giờ, hãy xem lại cách có thể tìm implied 2y1y forward rate trên các trái phiếu chính phủ Canada, giả định sử dụng annual compounding (periodicity bằng 1).

Lời giải:

Để tìm implied 2y1y forward rate, cần hiểu rằng chúng ta đang cố tìm one-year interest rate tại thời điểm hai năm sau kể từ Time 0. Do đó, A = 2, B = 3, ZA là two-year spot rate và ZB là three-year spot rate:

• (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B - A )B-A = (1 + ZB )B .

IFR2,1 = 0.0126.

Do đó, implied forward rate của trái phiếu một năm tại thời điểm hai năm kể từ bây giờ bằng 1.26%.

Spot Rates from Forward Rates and Bond Pricing with Forward Rates

Mặc dù forward rates có thể được ước tính bằng spot rates, spot rates cũng có thể được ước tính bằng forward rates; do đó, bất kỳ rates nào trong số này cũng có thể được sử dụng trong định giá vì chúng có mối liên hệ với nhau. Ví dụ sau sẽ cho thấy cách thực hiện điều này.

Giả sử tập hợp one-year rates hiện tại hôm nay, cũng như one-year rates sau một, hai và ba năm, như sau:

Đây là annual rates dựa trên periodicity bằng 1. Chúng cũng là effective annual rates. Rate đầu tiên, cụ thể là 0y1y, là one-year spot rate. Các rates còn lại là one-year forward rates. Spot rates có thể được tính bằng Equation 3. Two-year implied spot rate là 2.324%:

• (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B - A )B-A = (1 + ZB )B .

Có thể thấy rằng phép nhân của các rates 0y1y và 1y1y bằng two-year spot rate. Đặc điểm này áp dụng một cách tổng quát, vì spot curve được tính dựa trên geometric average của forward rates, như có thể thấy khi giải implied three-year và four-year spot rates. Với sự hỗ trợ của Equation 3, có thể tính three-year spot rate bằng cách sử dụng two-year implied spot rate vừa có được:

Tuy nhiên, vì two-year spot rate là phép nhân của các rates 0y1y và 1y1y, có thể nhân dọc theo forward curve để tìm three-year và four-year spot rates:

Giả sử một analyst muốn tính giá trị của một trái phiếu bốn năm trả coupon hằng năm 3.75% và có cùng risks với các trái phiếu trong forward curve. Với sự hỗ trợ của implied spot rates, có thể xác định rằng bond value là 102.637 trên mỗi 100 par value của nó.

_( 1.01883.75)1+ _( 1.0232403.75)2+ _( 1.0272783.75)3+ _( 1.030741103.75)4= 102.637.

Định giá trái phiếu cũng có thể được thực hiện với sự hỗ trợ của forward rates như dưới đây:

_ _____________3.75 ____________________3.753.75( 1.0188)+ ( 1.0188 × 1.0277)+ ( 1.0188 × 1.0277 × 1.0354) + __________________________( 1.0188 × 1.0277 × 1.0354 × 1.0412103.75)= 102.637.

VÍ DỤ 4

Deriving Spot Rates from Forward Rates and Pricing Bonds Using Forward Rates

Ví dụ, nếu giả định các forward rates sau đây của Canadian government bonds:

1. Tính three-year spot rate của Canadian government bonds từ các forward rates được cung cấp ở trên.

Lời giải:

Three-year spot rate sẽ được tính từ ba one-year forward rates được cung cấp ở trên: 0y1y, 1y1y và 2y1y.

• (1.003117 × 1.008250 × 1.012587) = (1 + z 3)3 .

z 3 = 0.7977%.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves*

2. Tính giá trị của một Canadian government bond kỳ hạn ba năm có coupon rate 0.50% dựa trên forward rates.

Lời giải:

PV = 99.126

Bài toán hiện tại liên quan đến Problem 4 của Lesson Question Set trước đó. Khi xem lại lời giải cho câu hỏi đó, có thể thấy rằng giá trị của Canadian government bond kỳ hạn ba năm có coupon rate 0.50% là 99.126, bất kể việc tính toán được thực hiện dựa trên spot rate hay forward rates.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. EN: Contrast a par rate and a yield-to-maturity.

Phân biệt par rate và yield-to-maturity.

• EN: Solution: Par rate is the YTM and coupon rate based on a bond being priced at par value and its cash flows discounted based on spot rates, whereas the YTM is the internal rate of return on a bond’s cash flows based on a bond’s price.

• Lời giải: Par rate là YTM và coupon rate dựa trên giả định một bond được định giá tại par value và các cash flows của bond được chiết khấu dựa trên spot rates, trong khi YTM là internal rate of return của các cash flows của một bond dựa trên giá của bond.

2. EN: Compute the three-year par rate based on the following spot rates. It is assumed that annual compounding applies:

Tính three-year par rate dựa trên các spot rates sau. Giả định annual compounding được áp dụng:

*EN: Solution:

• 2.607%.*

Lời giải:

• 2.607%.

• EN: PMT = 2.607%

• PMT = 2.607%

3. EN: Find the forward rate implied by the spot rates.

Tìm forward rate được hàm ý bởi các spot rates.

*EN: Solution:

1. B. The 1y2y is a two-year forward rate in one year. Consequently, we begin with the three-year spot rate, using the one-year spot rate to determine the implied two-year forward rate.*

Lời giải:

1. B. 1y2y là two-year forward rate sau một năm. Do đó, chúng ta bắt đầu với three-year spot rate, sử dụng one-year spot rate để xác định implied two-year forward rate.

Par and Forward Rates

EN: 2. C. The 3y2y is a two-year forward rate in three years. Consequently, we begin with the five-year spot rate, using the three-year spot rate to determine the implied two-year forward rate.

EN: 3. A. The 2y1y is a one-year forward rate in two years. Consequently, we begin with the three-year spot rate, using the two-year spot rate to determine the implied one-year forward rate.

2. C. 3y2y là two-year forward rate sau ba năm. Do đó, chúng ta bắt đầu với five-year spot rate, sử dụng three-year spot rate để xác định implied two-year forward rate.

3. A. 2y1y là one-year forward rate sau hai năm. Do đó, chúng ta bắt đầu với three-year spot rate, sử dụng two-year spot rate để xác định implied one-year forward rate.

4. EN: Complete the blanks in the sentence below: An implied forward rate is a _______________ reinvestment rate such that there are no arbitrage possibilities between the spot and forward rates.

Điền vào chỗ trống trong câu dưới đây: An implied forward rate là một _______________ reinvestment rate sao cho không có arbitrage possibilities giữa spot rates và forward rates.

• EN: Solution: An implied forward rate is a breakeven reinvestment rate such that there are no arbitrage possibilities between the spot and forward rates.

• Lời giải: An implied forward rate là một breakeven reinvestment rate sao cho không có arbitrage possibilities giữa spot rates và forward rates.

5. EN: Determine the implied forward rate 2y3y using the spot rates provided below. Annual compounding is assumed.

Xác định implied forward rate 2y3y bằng cách sử dụng các spot rates được cung cấp dưới đây. Giả định annual compounding.

*EN: Solution:

2.467%.

(1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B–A = (1 + ZB )B

(1 + 0.023)2 × (1 + IFR 2,3)3 = (1 + 0.024)5 Z3 = 2.467%*

Lời giải:

2.467%.

(1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B–A = (1 + ZB )B

(1 + 0.023)2 × (1 + IFR 2,3)3 = (1 + 0.024)5 Z3 = 2.467%

6. EN: Find out the price of a 2 percent coupon bond with 100 face value and maturity of 3 years when the following forward rates apply and show that this price is the same irrespective of whether spot rate or forward rate is considered as a discount rate.

Tìm giá của một coupon bond 2% có face value 100 và maturity 3 năm khi các forward rates sau được áp dụng, đồng thời chỉ ra rằng giá này là như nhau bất kể spot rate hay forward rate được xem là discount rate.

*EN: Solution:

Price of the contract = 98.619. Approach*

Lời giải:

Giá của hợp đồng = 98.619. Phương pháp

• Term Structure of Interest Rates – Spot, Par, and Forward Curves*

EN: PV = 98.6190.

EN: One year = 1.5%, Two years = 2.0%, and Three years = 3.0%

PV = 98.6190.

EN: Two-year = (1.015 × 1.025)(1/2) – 1 = 1.999%. Three-year = (1.015 × 1.025 × 1.035)(1/3) – 1 = 2.4967%. Using the spot prices to price the bond gives the following:

Một năm = 1.5%, Hai năm = 2.0% và Ba năm = 3.0%

EN: _2 _2 _102 PV =( 1.015)1+ ( 1.01999)2+ ( 1.024967)3. PV = 98.6190.

Two-year = (1.015 × 1.025)(1/2) – 1 = 1.999%. Three-year = (1.015 × 1.025 × 1.035)(1/3) – 1 = 2.4967%. Sử dụng spot prices để định giá bond cho kết quả sau:

_2 _2 _102 PV =( 1.015)1+ ( 1.01999)2+ ( 1.024967)3. PV = 98.6190.

7. EN: Explain how an investor who is planning to hold the investment position for five years would optimally choose between the two investment approaches below:

Giải thích cách một investor dự định nắm giữ investment position trong năm năm sẽ lựa chọn tối ưu giữa hai investment approaches dưới đây:

• EN: Purchase a three-year bond using the 3% spot rate and invest the amount for another two years using the expected future two-year rate.

• Mua một three-year bond sử dụng spot rate 3% và đầu tư số tiền đó thêm hai năm nữa bằng expected future two-year rate.

  • EN: Buy a five-year government bond at the 4% spot rate.

  • Mua một five-year government bond tại spot rate 4%.

*EN: Solution:

Determine the implied two-year forward rate in three years:*

Lời giải:

Xác định implied two-year forward rate sau ba năm:

• EN: (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B–A = (1 + ZB )B .

• (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B–A = (1 + ZB )B .

• EN: (1 + 0.03)3 × (1 + IFR3,2)2 = (1 + 0.04)5 .

EN: IFR 3,2 = 5.52%

• (1 + 0.03)3 × (1 + IFR3,2)2 = (1 + 0.04)5 .

EN: If the investor is expecting the two-year rate in three years to be higher than 5.52%, then the optimal investment approach would be to purchase the three-year government bond and invest in the higher interest rate. In case the investor expects the two-year rate in three years to be lower than 5.52%, then the investor should opt to buy the five-year bond. The forward rate is the breakeven rate of reinvestment.

IFR 3,2 = 5.52%

Nếu investor kỳ vọng two-year rate sau ba năm sẽ cao hơn 5.52%, thì investment approach tối ưu sẽ là mua three-year government bond và đầu tư ở mức interest rate cao hơn. Trong trường hợp investor kỳ vọng two-year rate sau ba năm thấp hơn 5.52%, thì investor nên chọn mua five-year bond. Forward rate là breakeven rate of reinvestment.

So sánh spot curve, par curve và forward curve

Vì spot rates, par rates và forward rates có liên kết với nhau, nên spot, par và forward curves cũng có liên kết với nhau. Điều này dễ hiểu hơn thông qua một minh họa. Trong buổi học trước, chúng ta đã sử dụng spot rates để xác định par rates và forward rates cho Canadian và Australian government bonds. Điều này được minh họa bằng cách sử dụng các rates khác nhau trong Exhibit 1 để xây dựng yield curves tại các maturities khác nhau.

Spot, Par, and Forward Curves (Canada and Australia)

A. Spot, Par, and Forward Curves: Canadian Government Bonds

B. Spot, Par, and Forward Curves: Australian Government Bonds

Từ đây, chúng ta có thể suy ra rằng

• 1. Spot rates là dương và spot curve dốc lên.
• 2. Spot và par curves rất giống nhau. Par rates thấp hơn so với spot rates; chênh lệch giữa hai rates lớn hơn ở các maturities dài.
• 3. Forward rates cao hơn spot rates và par rates.

Các quan sát này dựa trên các mối quan hệ tổng quát sau đây giữa hình dạng của các curves. Khi spot curve dốc lên, par rates gần với nhưng thấp hơn spot rates, đặc biệt ở phần cuối dài của curve. Điều này xảy ra do short-term spot rates tương đối thấp, dẫn đến bond prices tương đối cao, đặc biệt đối với các bonds có maturity dài hơn, từ đó tạo ra par rates tương đối thấp trong phép tính giả định price bằng 100% par. Lý do forward rates cao hơn spot rates khi spot curve dốc lên đã được giải thích trong bài học ở trên liên quan đến định nghĩa forward rates là incremental rate of return.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

Trong Exhibit 6, chúng ta thấy spot, par và forward curves trong trường hợp spot curve phẳng và flat rate là 2.50% cho tất cả các maturities. Với flat spot rate curve, par rates và forward rates sẽ bằng spot rate trên tất cả các maturities. Nói cách khác, flat spot rate curve phản ánh tình huống không có kỳ vọng về sự thay đổi của future interest rates; do đó, forward rates bằng spot rates. Trong trường hợp cụ thể này, government bonds sẽ trả coupon rate 2.5% và bonds sẽ có par value (par rate trong trường hợp này cũng là 2.5%).

Exhibit 6: Flat Term Structure

Exhibit 7 thể hiện spot, par và forward curves đối với downward-sloping spot curve hoặc spot rates giảm theo các maturities dài hơn. Chúng ta bắt đầu với one-year spot rate 4% và giảm xuống 1.90% cho maturity 10 năm. Tương tự như các ví dụ trước, par rates gần với spot rates. Downward-sloping spot rates phản ánh kỳ vọng về one-year rates thấp hơn đáng kể trong các năm tương lai, và điều này được thể hiện bởi forward curve. Spot rate term structure trong ví dụ cụ thể này hàm ý one-year rate 0.1175% sau chín năm.

Exhibit 7: Inverted Term Structure

Cuối cùng, Exhibit 8 tóm tắt mối quan hệ tổng quát giữa spot, par và forward curves.

Exhibit 8: Mối quan hệ giữa Spot, Par và Forward Curves

• Interest Rate Structure: Spot Curve, Par Curve, and Forward Curve

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. EN: Below is a chart showing the spot curve and the implied forward curve. Point out the forward curve in the chart and explain how you arrived at your conclusion.

Dưới đây là một biểu đồ thể hiện spot curve và implied forward curve. Hãy chỉ ra forward curve trong biểu đồ và giải thích cách bạn đi đến kết luận.

*EN: Solution:

The forward curve is depicted by the line that starts at 3.0% and then declines to about 1.5% in Year 5 and rises steeply in Years 5 to 6 to end at 4.5% in Year 10.*

Lời giải:

EN: If the spot curve slopes downwards (Years 1–5), then the forward curve slopes below the spot curve. If the spot curve slopes upwards (Years 6–10), then the forward curve slopes above the spot curve.

Forward curve được biểu diễn bởi đường bắt đầu tại 3.0%, sau đó giảm xuống khoảng 1.5% vào Year 5 và tăng mạnh từ Years 5 đến 6 để kết thúc tại 4.5% vào Year 10.

EN: In Questions 2 and 3, use the data of the spot rates from Exhibit 9. It is important to point out that some bonds may have negative yields. Negative yields were common among developed market sovereign bonds following the financial crisis due to accommodative monetary policies as a result of below-target inflation rates. Negative yields do not affect the mathematics behind bond pricing.

Nếu spot curve dốc xuống (Years 1-5), thì forward curve nằm dưới spot curve. Nếu spot curve dốc lên (Years 6-10), thì forward curve nằm trên spot curve.

Trong Questions 2 và 3, sử dụng dữ liệu spot rates từ Exhibit 9. Điều quan trọng cần lưu ý là một số bonds có thể có negative yields. Negative yields phổ biến trong các developed market sovereign bonds sau financial crisis do accommodative monetary policies, là hệ quả của inflation rates thấp hơn mục tiêu. Negative yields không ảnh hưởng đến toán học đằng sau bond pricing.

Exhibit 9: Negative Spot Rates (Germany and Switzerland)

2. EN: Determine the implied 9y1y forward rate in nine years in Switzerland. Solution:

EN: The problem requires determining the 9y1y forward rate. It can be derived using the spot rate of the 10-year and the 9-year bonds as follows:

Xác định implied 9y1y forward rate sau chín năm ở Switzerland.

Bài toán yêu cầu xác định 9y1y forward rate. Có thể suy ra rate này bằng cách sử dụng spot rate của 10-year và 9-year bonds như sau:

• EN: (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B–A = (1 + ZB )B

EN: (1 + -0.001945)9 × (1 + IFR 9,1)1 = (1 + -0.001216)10

• (1 + ZA )A × (1 + IFRA,B – A )B–A = (1 + ZB )B

EN: IFR 9,1 = 0.537%

(1 + -0.001945)9 × (1 + IFR 9,1)1 = (1 + -0.001216)10

EN: Therefore, the implied 9y1 year forward rate for Swiss government bonds in nine years is 0.537%.

IFR 9,1 = 0.537%

Do đó, implied 9y1 year forward rate của Swiss government bonds sau chín năm là 0.537%.

3. EN: Why does a country like Switzerland with negative spot rates have positive forward rates?

Tại sao một quốc gia như Switzerland có negative spot rates lại có positive forward rates?

*EN: Solution:

As seen in the previous problems, if the yield curve is upward sloping (as is the case for Switzerland), then forward rates would always be higher than spot rates. If the negative interest rates move to zero, then there is a greater chance of having positive forward rates.*

Lời giải:

Như đã thấy trong các bài trước, nếu yield curve dốc lên (như trường hợp của Switzerland), thì forward rates sẽ luôn cao hơn spot rates. Nếu negative interest rates tiến về 0, thì khả năng có positive forward rates sẽ cao hơn.

4. EN: Refer to the following graph showing spot and forward yield curves of German sovereign bonds. Elaborate on why forward curves coincide almost perfectly with spot curves at two and three-year maturities.

Tham khảo biểu đồ sau thể hiện spot và forward yield curves của German sovereign bonds. Hãy giải thích vì sao forward curves gần như trùng khớp hoàn toàn với spot curves tại two-year và three-year maturities.

*EN: Solution:

Forward rates are equal to spot rates in the case of a flat term structure of interest rates. Spot rates in Germany at two and three-year maturities seem to be about the same as the spot rate for one year. So, we can say that the term structure of Germany is flat up to three years, and thus, forward rates are roughly equal to spot rates.*

Lời giải:

Forward rates bằng spot rates trong trường hợp flat term structure of interest rates. Spot rates ở Germany tại two-year và three-year maturities dường như xấp xỉ bằng spot rate cho one year. Vì vậy, có thể nói rằng term structure của Germany là phẳng cho đến ba năm, và do đó, forward rates xấp xỉ bằng spot rates.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Curves

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Thông tin sau đây liên quan đến các câu hỏi 1-9

Dựa trên thông tin về spot rates được cung cấp ở trên, hãy trả lời câu hỏi sau.

Government Bond Spot Rates

EN: 1. What coupon rate would be selected by the Swiss government if it wants to have a minimum premium over par value for a five-year debt issuance?

|Kỳ hạn|Canada|Australia|Germany|Switzerland| |1-year|0.3117%|0.0272%|–0.6965%|–0.7882%| |2-year|0.5680%|0.0675%|–0.7034%|–0.7133%| |3-year|0.7977%|0.3003%|–0.7021%|–0.6435%| |4-year|0.9640%|0.5853%|–0.6418%|–0.5615%| |5-year|1.1105%|0.8052%|–0.5578%|–0.4757%| |6-year|1.2052%|0.9877%|–0.4796%|–0.4080%| |7-year|1.2998%|1.1702%|–0.4014%|–0.3402%| |8-year|1.3935%|1.2878%|–0.3269%|–0.2673%| |9-year|1.4872%|1.4054%|–0.2524%|–0.1945%| |10-year|1.5809%|1.5230%|–0.1779%|–0.1216%|

EN: A. 1.0%

1. Swiss government sẽ chọn coupon rate nào nếu muốn có mức premium tối thiểu so với par value cho một đợt phát hành nợ kỳ hạn năm năm?

EN: B. 0.5%

A. 1.0%

EN: C. 0.0%

B. 0.5%

EN: 2. The government of Australia is planning on selling bonds having three years maturity with a coupon rate of 3.0%. Based on the spot rates in Australia, the bond price is closest to:

C. 0.0%

EN: A. 108.05.

2. Chính phủ Australia đang lên kế hoạch bán trái phiếu có kỳ hạn ba năm với coupon rate là 3.0%. Dựa trên các spot rates tại Australia, giá trái phiếu gần nhất là:

EN: B. 108.07.

A. 108.05.

EN: C. 108.69.

B. 108.07.

EN: 3. Let’s assume the one-year and two-year spot rates in Canada increase by 20 bps each while the three-year spot rate in Canada stays the same. Then, which of the following best represents the new three-year par rate in Canada?

C. 108.69.

EN: A. Increases by approximately 13 bps

3. Giả sử spot rates kỳ hạn một năm và hai năm tại Canada đều tăng 20 bps, trong khi spot rate kỳ hạn ba năm tại Canada giữ nguyên. Khi đó, phương án nào sau đây mô tả đúng nhất par rate kỳ hạn ba năm mới tại Canada?

EN: B. Increases by approximately 7 bps

A. Tăng khoảng 13 bps

EN: C. Increases by approximately 0.16 bps

B. Tăng khoảng 7 bps

C. Tăng khoảng 0.16 bps

Bài tập thực hành

EN: 4. Select the spot rates used to derive the respective forward rates.

4. Hãy chọn các spot rates được sử dụng để suy ra các forward rates tương ứng.

EN: 5. Which of the following options comes closest to the implied five-year forward rate in two years for Switzerland government bonds?

EN: A. –0.191%

5. Phương án nào sau đây gần nhất với implied forward rate năm năm bắt đầu sau hai năm đối với trái phiếu chính phủ Switzerland?

EN: B. –0.001%

A. –0.191%

EN: C. –0.317%

B. –0.001%

EN: 6. Select the order of forward rates along with the spot rate that these forward rates help derive.

C. –0.317%

6. Hãy chọn thứ tự các forward rates cùng với spot rate mà các forward rates này giúp suy ra.

EN: 7. Which of the following is correct regarding the yield curve?

EN: A. Spot curves are derived from par rates.

7. Phát biểu nào sau đây là đúng về yield curve?

EN: B. Par curves are derived from forward rates.

A. Spot curves được suy ra từ par rates.

EN: C. Forward curves are derived from spot rates.

B. Par curves được suy ra từ forward rates.

EN: 8. Pair up each statement regarding forward rate curves with a statement about spot rate curves.

C. Forward curves được suy ra từ spot rates.

8. Ghép từng phát biểu về forward rate curves với một phát biểu về spot rate curves.

EN: 9. Match the statements concerning par curves below with corresponding state-

9. Ghép các phát biểu dưới đây liên quan đến par curves với các phát biểu tương ứng về spot rate curves.

• Term Structure of Interest Rates: Spot, Par, and Forward Rate Curves

các thảo luận về spot rate curves.

EN: 1. Answer C is correct. Since Switzerland currently has a negative five-year spot (and par) rate, any non-negative coupon will ensure that the Swiss government issues debt above par value. Debt issuance without a coupon will result in issuance of debt closest to the par.

LỜI GIẢI

EN: 2. B is correct.

1. Đáp án C là đúng. Vì Switzerland hiện có spot rate (và par rate) kỳ hạn năm năm âm, bất kỳ coupon không âm nào cũng sẽ đảm bảo rằng Swiss government phát hành nợ với giá cao hơn par value. Việc phát hành nợ không có coupon sẽ dẫn đến mức giá phát hành gần par nhất.

2. B là đúng.

EN: 3. Answer C is correct. In Example 2, we have computed the Canadian par rate for three years. The par rate of 0.7952% is very close to the spot rate of 0.7977%; therefore, the key change that affects the three-year par rate is the change in the three-year spot rate. As there is no change in this rate, the only change that occurs is the movement of the par rate slightly towards the spot rate, which is approximately 0.7968%.

PV = 108.07.

EN: 4. Question 1. B. Through the use of two-year and five-year rates, the difference denotes the tenor of the implied forward rate of three years, while the shorter tenor rate denotes the starting period of the forward in two years.

3. Đáp án C là đúng. Trong Example 2, chúng ta đã tính par rate kỳ hạn ba năm của Canada. Par rate 0.7952% rất gần với spot rate 0.7977%; do đó, thay đổi chính ảnh hưởng đến par rate kỳ hạn ba năm là thay đổi của spot rate kỳ hạn ba năm. Vì không có thay đổi nào ở rate này, thay đổi duy nhất xảy ra là par rate dịch chuyển nhẹ về phía spot rate, đạt khoảng 0.7968%.

EN: 2. C. Through the use of two-year and seven-year rates, the difference denotes the tenor of the implied forward rate of five years, while the shorter tenor rate denotes the starting period of the forward in two years.

4. Câu hỏi 1. B. Thông qua việc sử dụng rates hai năm và năm năm, chênh lệch giữa chúng biểu thị tenor của implied forward rate là ba năm, trong khi rate có tenor ngắn hơn biểu thị thời điểm bắt đầu của forward là sau hai năm.

EN: 3. A. Through the use of five-year and seven-year rates, the difference denotes the tenor of the implied forward rate of two years, while the shorter tenor rate denotes the starting period of the forward in five years.

2. C. Thông qua việc sử dụng rates hai năm và bảy năm, chênh lệch giữa chúng biểu thị tenor của implied forward rate là năm năm, trong khi rate có tenor ngắn hơn biểu thị thời điểm bắt đầu của forward là sau hai năm.

EN: 5. Answer A is correct. The implied five-year forward rate in two years refers to 2y5y. The calculation uses the seven-year Swiss government rate and two-year Swiss government rate, as shown below:

3. A. Thông qua việc sử dụng rates năm năm và bảy năm, chênh lệch giữa chúng biểu thị tenor của implied forward rate là hai năm, trong khi rate có tenor ngắn hơn biểu thị thời điểm bắt đầu của forward là sau năm năm.

4. Đáp án A là đúng. Implied forward rate năm năm bắt đầu sau hai năm được ký hiệu là 2y5y. Phép tính sử dụng rate chính phủ Switzerland kỳ hạn bảy năm và rate chính phủ Switzerland kỳ hạn hai năm, như minh họa dưới đây:

EN: Option B shows 5y2y implied forward rate, while option C shows 2y3y implied forward rate.

2y5y IFR = (1 – 0.003402)7 /(1 – 0.007133)2 – 1 = 0.191%.

EN: 6. B. This is a set of three one-year forwards, which gives us information about a three-year spot rate.

Phương án B cho thấy 5y2y implied forward rate, trong khi phương án C cho thấy 2y3y implied forward rate.

EN: 2. C. It is a set that begins with a one-year spot rate, then a two-year forward rate at the end of one year and lastly three-year forward rate at the end of three years.

6. B. Đây là một tập hợp gồm ba forwards kỳ hạn một năm, cung cấp cho chúng ta thông tin về spot rate kỳ hạn ba năm.

EN: 3. A. This sequence is a series of four one-year forwards.

2. C. Đây là một tập hợp bắt đầu bằng spot rate kỳ hạn một năm, sau đó là forward rate kỳ hạn hai năm bắt đầu sau một năm và cuối cùng là forward rate kỳ hạn ba năm bắt đầu sau ba năm.

EN: 7. Answer C is correct. Forward rates used in constructing forward curves are derived from spot rates. Option A is not correct because par rates are derived from spot rates. Option B is not correct because par curves are derived from spot rates.

3. A. Chuỗi này là một loạt gồm bốn forwards kỳ hạn một năm.

EN: 8. 1. B. In a normal interest rate environment characterized by an upward-sloping yield curve, forward interest rates will be higher than their respective spot rates.

7. Đáp án C là đúng. Các forward rates được sử dụng để xây dựng forward curves được suy ra từ spot rates. Phương án A không đúng vì par rates được suy ra từ spot rates. Phương án B không đúng vì par curves được suy ra từ spot rates.

8. 1. B. Trong môi trường interest rate normal được đặc trưng bởi yield curve dốc lên, forward interest rates sẽ cao hơn các spot rates tương ứng.

• The Term Structure of Interest Rates: Spot, Par and Forward Curves

EN: all maturities.

EN: 2. A. In an inverted spot rate environment, forward interest rates will be lower than their respective spot rates.

tất cả các kỳ hạn.

EN: 3. C. Flat maturity structure of interest rates may be made some times. In a scenario where the spot rates are constant, this means that there is a future expectation that the rates of interest will not change from the constant level. Therefore, forward rates will equal to spot rates in a flat term structure environment.

2. A. Trong môi trường spot rate inverted, forward interest rates sẽ thấp hơn các spot rates tương ứng.

EN: 9. 1. A. An example of such an environment can be found in the data on the interest rate of Germany and Switzerland where the spot rates are negative although the spot rates curve is upward sloping. In such scenarios, par rates exceed spot rates.

3. C. Flat maturity structure của interest rates đôi khi có thể xuất hiện. Trong một kịch bản mà spot rates là không đổi, điều này có nghĩa là có kỳ vọng trong tương lai rằng rates of interest sẽ không thay đổi so với mức không đổi đó. Do đó, forward rates sẽ bằng spot rates trong môi trường flat term structure.

EN: 2. B. This phenomenon is shown by the data on interest rates of the governments of Canada and Australia, where the spot rates are positive and the spot curve is normal.

9. 1. A. Một ví dụ về môi trường như vậy có thể được tìm thấy trong dữ liệu về interest rate của Germany và Switzerland, nơi spot rates là âm mặc dù spot rates curve có độ dốc đi lên. Trong những kịch bản như vậy, par rates cao hơn spot rates.

EN: 3. C. This is a theoretical scenario but can be shown by constructing a flat spot rate curve.

2. B. Hiện tượng này được thể hiện qua dữ liệu về interest rates của chính phủ Canada và Australia, nơi spot rates là dương và spot curve là normal.

3. C. Đây là một kịch bản mang tính lý thuyết nhưng có thể được minh họa bằng cách xây dựng một flat spot rate curve.