Fixed Income Bond Valuation Prices and Yields

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên phải có khả năng:

• xác định giá của một bond khi biết yield-to-maturity vào ngày coupon hoặc giữa các ngày coupon
• hiểu mối quan hệ giữa giá của một bond, coupon rate, maturity và yield-to-maturity
• mô tả matrix pricing

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng discounted cash flow analysis để xác định giá bond và minh họa cách discount rate được sử dụng cũng như các đặc điểm của một bond, chẳng hạn như coupon rate và maturity, ảnh hưởng đến giá bond. Giá bond và các cash flow trong tương lai của bond có thể được sử dụng để xác định internal rate of return của bond, được gọi là yield-to-maturity, vốn hữu ích trong việc đánh giá return của bond theo một số giả định nhất định. Một trong các giả định áp dụng cho Learning Module này là tất cả các khoản thanh toán interest và principal của bond đều được thực hiện như kỳ vọng. Chúng ta sẽ phân tích mối quan hệ giữa giá bond và các đặc điểm của bond, minh họa cách các đặc điểm khác nhau của bond ảnh hưởng đến giá bond và cách chúng ta định giá bond vào ngày coupon cũng như giữa các ngày coupon. Chúng ta sẽ kết thúc bằng việc giải thích khái niệm matrix pricing và cách nó được sử dụng để xác định giá bond và yield-to-maturity của bond.

Tất cả các example và exhibit trong bài đọc đều có sẵn trong một workbook Microsoft Excel. Tên của mỗi worksheet trong workbook tương ứng với example hoặc exhibit trong văn bản.

• Bond pricing là một trong các ứng dụng của discounted cash flow analysis. Giá bond phụ thuộc vào các đặc điểm của bond, cash flow của bond và discount rate.

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

• Bằng cách so sánh giá của một bond với face value của bond hoặc coupon rate của bond với discount rate, chúng ta có thể xác định liệu bond được giao dịch at a discount, at par hay at a premium.

• Khi biết market price của một bond, có thể tìm được internal rate of return của các cash flow, được gọi là yield-to-maturity (YTM). Yield-to-maturity là interest rate mà tại đó present value của các cash flow trong tương lai bằng với giá của bond.

• Rate of return của nhà đầu tư từ khoản đầu tư bond sẽ bằng yield-to-maturity nếu (1) nhà đầu tư giữ bond cho đến maturity; (2) issuer thanh toán đầy đủ các coupon và principal theo đúng lịch; (3) nhà đầu tư tái đầu tư tất cả các coupon nhận được tại cùng mức YTM.

• Trong trường hợp một bond được định giá hoặc giao dịch giữa các coupon period, nhà đầu tư phải trả thêm một khoản cho accrued interest để bù đắp cho người bán, vì người mua sẽ nhận toàn bộ khoản thanh toán coupon cùng một lúc.

• Để tính accrued interest của một bond vào bất kỳ ngày nào, chúng ta phải nhân coupon của bond với tỷ lệ số ngày đã trôi qua trong coupon period so với tổng số ngày trong coupon period. Có nhiều phương pháp để tính số ngày trong period. Actual/Actual và 30/360 là một số trong các phương pháp đó.

• Giá bond biến động ngược chiều với sự thay đổi của YTM. Các đặc điểm của bond xác định mức độ nhạy cảm của bond đối với những thay đổi của YTM.

• Coupon rate của một fixed-coupon bond càng thấp thì mức thay đổi giá theo % càng lớn đối với một mức thay đổi nhất định của yield to maturity của bond. Nói chung, thời gian đến maturity của một bond càng dài thì mức thay đổi giá theo % càng lớn đối với một mức thay đổi nhất định của yield to maturity của bond.

• Không giống equities được giao dịch tích cực, bonds có liquidity thấp, khiến việc price discovery trở nên khó khăn.

• Kỹ thuật matrix pricing ước tính giá bonds bằng cách sử dụng yield của các instrument có thể so sánh. Phương pháp matrix pricing phổ biến khi báo giá bonds.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi sơ bộ này được cung cấp để giúp bạn xác định vị trí của mình về mức độ kiến thức liên quan đến Learning Module.

1. Một corporate bond sẽ maturity vào ngày 1 tháng 1 năm 2035 và trả coupon nửa năm một lần với annual rate là 3.25%, có face value là 100. Market discount rate là 4.0%. Giá bond, tính theo % của face value, cho settlement date ngày 1 tháng 1 năm 2030 gần nhất với:

   • A. 96.632.

   • B. 96.661.

C. 103.436.

• Lời giải:

A là lựa chọn đúng. Giá bond sẽ bằng tổng của tất cả các khoản thanh toán coupon và principal được discount theo discount rate trên thị trường.

PV = PMT 1/(1 + r )1 + PMT 2/(1 + r )2 + … + ( PMTN + FVN )/(1 + r )N , trong đó

PMT =1.625 r = 0.02 FV = 100 N = 10 _1.625 _1.625 _1.625 _1.625 1.625_PV= (1 + 0.02)1+ (1 + 0.02)2+ (1 + 0.02)3+ (1 + 0.02)4+ (1 + 0.02)5+ _ (1 + 0.02) 1.6256+ _ (1 + 0.02) 1.6257+ _ (1 + 0.02) 1.6258+ _ (1 + 0.02) 1.6259+ _ (1 + 0.02)101.62510 PV = 96.632. Lưu ý: Các đại lượng trong phép tính không được làm tròn, mặc dù chúng được hiển thị với ba chữ số thập phân cho mục đích trình bày. Kết quả được làm tròn đến ba chữ số thập phân.

Các phép tính cũng có thể được thực hiện bằng cách sử dụng hàm PV hoặc PRICE trong Microsoft Excel và Google Sheets.

=-PV(rate, nper, pmt, [FV], type) =-PV(0.02,10,1.625,100,0) = 96.632 =PRICE(settlement, maturity, rate, yield, redemption, frequency, [basis]) =PRICE(DATE(2030,1,1),DATE(2035,1,1),0.0325,0.04,100,2) = 96.632

2. Điều kiện nào sau đây KHÔNG cần thiết để một nhà đầu tư bond đạt được rate of return từ khoản đầu tư bond bằng YTM của bond? A. Bond phải được nắm giữ cho đến maturity. B. Issuer có thể default chỉ một khoản thanh toán coupon. C. Các khoản thanh toán coupon phải được tái đầu tư tại mức YTM.

Lời giải:

B là đáp án đúng. Để đạt được YTM, nhà đầu tư bond cần tất cả các khoản thanh toán coupon và principal được issuer thực hiện đúng hạn.

A không đúng vì để đạt được YTM, nhà đầu tư bond cần nắm giữ bond cho đến maturity. C không đúng vì để đạt được YTM, nhà đầu tư bond cần tái đầu tư các coupon tại mức YTM.

3. Một Sovereign Bond kỳ hạn 3 năm được phát hành vào ngày 1 tháng 1 năm 2030 với các khoản thanh toán coupon nửa năm một lần ở mức 1.5% mỗi năm vào ngày 30 tháng 6 và 31 tháng 12, đồng thời có face value là 100. Discount rate trên thị trường là 2.0%. Vào settlement date ngày

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

29 tháng 8 năm 2031, flat price của bond tính theo % của par value, sử dụng day count convention Actual/Actual, gần nhất với:

A. 99.343.

B. 99.587. C. 99.832. Lời giải:

A là đáp án. Flat price là total price trừ đi accrued interest. Total price là present value vào ngày trade settlement và bao gồm các partial period vì các khoản thanh toán không được thực hiện vào đúng các ngày chính xác.

Ở đây,

PMT = 0.75

r = 0.01

t = 60 (số ngày từ 30 tháng 6 năm 2031 đến 29 tháng 8 năm 2031)

T = 184 (số ngày giữa 30 tháng 6 năm 2031 và coupon period tiếp theo vào ngày 31 tháng 12 năm 2031)

FV = 100

N = 3

P VFull = 99.587.

Accrued interest là phần tỷ lệ của khoản thanh toán coupon tiếp theo thuộc về người bán.

Flat price là 99.587 - 0.245 = 99.343.

Các phép tính present value cũng có thể được thực hiện dễ dàng bằng phần mềm bảng tính. Hơn nữa, hàm PRICE trong Microsoft Excel và Google Sheets có thể được sử dụng để tính flat price (không phải full price).

=PRICE( settlement, maturity, rate, yield, redemption, frequency, [basis] )

=PRICE(DATE(2031,8,29),DATE(2032,12,31),0.015,0.02,100,2)

= 99.343.

4. Đúng hay sai: Bond's quoted price cũng được gọi là full price vì đó là giá mà người mua trả cho người bán.

A. Đúng

• • Sai Lời giải: Sai. Bond's quoted price cũng được gọi là flat price. Full price là giá mà người mua trả cho người bán và giá này bao gồm accrued interest nếu settlement date không phải là ngày thanh toán coupon. 5. Giả sử Chính phủ Nhật Bản phát hành hai noncallable fixed coupon bonds vào cùng một ngày với cùng coupon rate. Hai bonds giống hệt nhau ngoại trừ một bond maturity trong 10 năm và bond còn lại maturity trong 30 năm. Nếu market discount rate của các bonds tăng 65 basis points thì điều nào sau đây sẽ đúng? A. Bond 10 năm sẽ có mức thay đổi giá theo % lớn hơn bond 30 năm. B. Bond 10 năm sẽ có mức thay đổi giá theo % nhỏ hơn bond 30 năm. C. Bond 10 năm và bond 30 năm sẽ có mức thay đổi giá theo % bằng nhau. Lời giải: Phương án B là đáp án đúng. Thông thường, mức thay đổi giá theo % của bonds có thời hạn ngắn hơn nhỏ hơn mức thay đổi giá theo % của bonds có thời hạn dài hơn nếu market discount rate tương ứng của chúng tăng cùng một mức. Phương án A là lựa chọn sai vì thông thường mức thay đổi giá theo % của bonds có thời hạn ngắn hơn nhỏ hơn mức thay đổi giá theo % của bonds có thời hạn dài hơn nếu market discount rate tương ứng của chúng tăng cùng một mức. Phương án C là lựa chọn sai vì mức thay đổi giá theo % của bonds có thời hạn ngắn hơn và bonds có thời hạn dài hơn không giống nhau nếu market discount rate của chúng tăng cùng một mức. 6. Đúng hay sai. Hãy giải thích câu trả lời của bạn. Matrix pricing là một estimation process sử dụng các báo giá từ derivatives market (ví dụ: interest rates swap) để xác định giá của illiquid bonds hoặc bonds mới có transaction data khan hiếm. A. Đúng B. Sai Lời giải: Sai. Matrix pricing là một estimation process sử dụng giá của các bonds có thể so sánh để ước tính giá của illiquid bonds hoặc newly issued bonds.

Tính giá của một bond khi biết yield-to-maturity vào ngày coupon hoặc giữa các ngày coupon

BOND PRICING AND THE TIME VALUE OF MONEY 2

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

Bond Pricing with a Market Discount Rate

Bond pricing là một ví dụ khác về phương pháp định giá discounted cash flow, phụ thuộc vào đặc điểm của cash flow của bond cũng như một discounting rate (hoặc các discounting rate). Như đã thảo luận trước đó trong một trong các bài học, giá của bond tại thời điểm phát hành là present value của tất cả các cash flow interest và principal đã được cam kết. Market discount rate được sử dụng trong công thức time-value-of-money để xác định present value. Market discount rate là rate of return được nhà đầu tư yêu cầu khi xem xét risk liên quan đến đầu tư bond. Nó cũng được gọi là required yield hoặc required rate of return.

Việc tính present value (PV) của mỗi cash flow coupon của bond (PMT) xảy ra trong t period với market discount rate là r cho mỗi period lẽ ra đã được biết từ bài học time-value-of-money trước đó:

PV (Bond coupon) = PMTt /(1 + r )t . (1)

Equation 2 là phần mở rộng của công thức đó, biểu diễn công thức tổng quát để tính giá bond (PV) khi biết market discount rate vào một ngày coupon:

PV = PMT 1/(1 + r )1 + PMT 2/(1 + r )2 + … + ( PMTN + FVN )/(1 + r )N , (2)

trong đó FV bằng face value của bond và N bằng số period đến maturity.

Như chúng ta nhớ, bond của Bright Wheels Automotive (BRWA) đã được giới thiệu trong một trong các bài học trước. Giá của bond là 100% face value hoặc par value vì market discount rate, r, bằng fixed coupon rate của PMT (cả hai đều là 3.2% mỗi năm hoặc 1.6% mỗi nửa năm). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các tình huống khác nhau, trong đó coupon rate của bond không bằng market discount rate.

EXAMPLE 1

|BR|WA Par,|Disco|unt, a|nd Pr|emiu|m Bo|nd|||| |Period:|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10| |Cash Flow:|1.6|1.6|1.6|1.6|1.6|1.6|1.6|1.6|1.6|101.6| |PV of Cash Flow at 1.2% periodic YTM:|1.6|1.6|1.5|1.5|1.5|1.5|1.5|1.5|1.4|90.2| |Bond price (sum):|103.75|||||||||| |PV of Cash Flow at 1.6% periodic YTM:|1.6|1.6|1.5|1.5|1.5|1.5|1.4|1.4|1.4|86.7| |Bond price:|100.00|||||||||| |PV of Cash Flow at 2.0% periodic YTM:|1.6|1.5|1.5|1.5|1.4|1.4|1.4|1.4|1.3|83.3| |Bondprice:|96.41||||||||||

Lưu ý: Vui lòng tham khảo candidate learning ecosystem trực tuyến để xem spreadsheet chứa các phép tính này trong workbook Microsoft Excel đã tải xuống.

Khi market discount rate tăng lên 2% mỗi nửa năm, bonds được phát hành at par phải cung cấp coupon rate cũng là 2% mỗi nửa năm. BRWA bonds có coupon rate là 1.6%, do đó chúng sẽ được định giá thấp hơn bond cung cấp 2%. Có thể nói rằng coupon rate của BRWA bonds là deficient so với market discount rate cao hơn là 2%. Trong trường hợp này, market price của bond thấp hơn 100% par. Như thấy trong example 1, sau khi discount cash flow của BRWA bonds bằng market discount rate 2%, giá bond được tính là 96.41. Mức giá thấp này là sự bù đắp cho coupon rate thấp của bond so với market discount rate. Khi giá bond thấp hơn 100, có thể nói bond đang được giao dịch at a discount. (Trong bối cảnh giá bond, "discount" không liên quan đến "discount" trong market discount rate). Exhibit 1 trình bày một bond đang được giao dịch at a discount.

Exhibit 1: Discount Bond Cash Flows

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét giá của trái phiếu BRWA hiện hữu thay đổi như thế nào khi market discount rate giảm xuống 1.2%. Một trái phiếu tương tự (maturity là 5 năm, coupon payments được thực hiện semi-annually), được phát hành trong trường hợp market discount rate là 1.2% semi-annually, sẽ có coupon rate là 1.2% semi-annually và giá của nó sẽ bằng 100% par. Vì coupon rate của trái phiếu BRWA là 1.6%, giá của nó sẽ cao hơn giá của một trái phiếu có coupon rate 1.2%. Có thể nói rằng coupon rate của trái phiếu BRWA là excessive so với market discount rate thấp hơn là 1.2%. Do đó, giá trái phiếu BRWA tăng khi market discount rate giảm. Chiết khấu các cash flows của trái phiếu BRWA tại market discount rate 1.2% và cộng các present values lại, chúng ta nhận được giá trái phiếu bằng 103.73% par. Giá này cao hơn giá của trái phiếu có coupon 1.2% do coupon rate cao hơn. Exhibit 2 trình bày một trái phiếu giao dịch ở mức premium.

Exhibit 2: Premium Bond Cash Flows

Hàm PV trong Microsoft Excel hoặc Google Sheets cũng có thể được sử dụng để tính giá:

=PV(rate, nper, pmt, FV, type) ,

trong đó

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

Rate là interest rate cho mỗi period

Nper là tổng số periods

PMT là payment cho mỗi period

FV là future value hoặc face value

Type bằng 0 hoặc 1 tùy thuộc vào việc payments được thực hiện vào cuối hay đầu mỗi period

Các mối quan hệ giữa discount, premium và par được minh họa trong Exhibit 3.

Exhibit 3: Fixed-Rate Discount, Premium, and Par Bonds

Interest rates cho mỗi period được annualized bằng cách nhân interest rate cho mỗi period với số periods trong một năm. Do đó, một cách khác để diễn đạt rằng trái phiếu BRWA là một premium bond là stated annual coupon rate 3.2% của nó cao hơn stated annual discount rate 2.4%. Trừ khi được quy định khác, interest rates thường được báo giá dưới dạng annual rates.

Yield-to-Maturity

Với market price của một trái phiếu, yield-to-maturity của nó có thể được tính bằng Equation 2. yield-to-maturity của một trái phiếu là internal rate of return của nó, tức là uniform interest rate mà khi được áp dụng cho future cash flows của trái phiếu sẽ tạo ra present value bằng với price của trái phiếu. Yield-to-maturity là một market discount rate implied hoặc observed.

Một nhà đầu tư vào trái phiếu chỉ kiếm được rate of return trên một trái phiếu bằng với YTM của nó nếu tất cả các điều kiện sau đây đều đúng:

1. Nhà đầu tư nắm giữ trái phiếu đến maturity.

• 2.* Issuer của trái phiếu thanh toán đầy đủ coupons và principal đúng theo lịch. YTM là promised yield, nghĩa là không có issuer default.

• 3. Coupon payments sẽ được reinvested với cùng rate như YTM.

Ví dụ, giả sử chúng ta biết từ quan sát rằng trái phiếu BRWA fixed rate 3.2% kỳ hạn năm năm trong Example 1 được bán với giá 108.15. Yield to maturity là giá trị của r giải phương trình:

108.15 = 1.6/(1 + r )1 + 1.6/(1 + r )2 + … + 101.6/(1 + r )10 .

Công thức YIELD trong Microsoft Excel hoặc Google Sheets có thể được sử dụng để tính periodic interest payments:

=YIELD(settlement, maturity, rate, pr, redemption, frequency, [basis]) trong đó

settlement là settlement date được viết bằng công thức DATE

maturity đề cập đến maturity date được nhập thông qua hàm DATE

rate đề cập đến periodic hoặc semi-annual coupon rate

pr là price trên mỗi 100 đô la face value

redemption là future value tại maturity

frequency là số coupons mỗi năm

[basis] là day-count convention, thường là 0 đối với trái phiếu Mỹ (day count 30/360).

Trong trường hợp của chúng ta, khi giả định trái phiếu BRWA có settlement date là ngày 15 tháng 10 năm 2025 và maturity date là ngày 15 tháng 10 năm 2030, các input tương ứng sẽ là DATE(2025,10,15) và DATE(2030,10,15). Các input parameters khác bao gồm rate = 1.6%, pr = 108.15, redemption = 100, frequency = 2 và basis = 0 như sau:

=YIELD(DATE(2025,10,15),DATE(2030,10,15),1.6%,108.15,100,2,0)

Sử dụng price 108.15, hàm YIELD cho annual yield-to-maturity của trái phiếu BRWA là 1.50%. Ngoài ra, vì yield-to-maturity đại diện cho một internal rate of return, cũng có thể tính cùng kết quả này bằng hàm IRR trong Microsoft Excel và Google Sheets.

Yield-to-maturity, thường được gọi là "yield", có thể được sử dụng thay thế cho market discount rate hoặc required yield và bond prices. Ví dụ, phát biểu của market participants rằng "yields are rising" có nghĩa là "market discount rates are rising" hoặc "bond prices are falling".

Yield-to-maturity của một trái phiếu có thể dương, bằng 0 hoặc âm. Yields của nhiều sovereign bonds đã trở thành âm do accommodative monetary policies được central banks thực hiện bắt đầu từ năm 2012 nhằm ứng phó với inflation rates thấp hơn target. Các trái phiếu có negative yield-to-maturity bao gồm những trái phiếu đã tăng giá đáng kể do được phát hành với yields cao trong quá khứ, cũng như các zero-coupon sovereign government bonds mới được phát hành trên par value. Trái phiếu thường không được phát hành với negative coupons.

Trung Quốc đã giới thiệu sovereign euro-denominated bond có negative yield đầu tiên vào năm 2020, với các chi tiết được trình bày trong Exhibit 4.

Exhibit 4: People’s Republic of China Eurobond

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

Hàm Excel YIELD không thể được sử dụng cho một zero-coupon bond. Chúng ta tính yield-to-maturity cho một single cash flow bằng par (PMT = 100) trong thời gian năm năm (t = 5) tại issuance price (PV = 100.763) bằng Equation 1:

Như Financial Times đã lưu ý, có sự quan tâm lớn đối với trái phiếu Trung Quốc có negative yield này do yield của nó cao hơn hơn 50 bps so với European sovereign bonds, cụ thể là khi so sánh với German bund kỳ hạn năm năm có yield khoảng -0.74% vào thời điểm đó - và nói chung vì nhiều nhà đầu tư muốn đầu tư vào Trung Quốc, nơi các Chinese bonds euro-denominated khá khan hiếm.

Flat Price, Accrued Interest, and the Full Price

Nếu trái phiếu được định giá giữa hai coupon payments, thì bond price bao gồm hai phần: flat price (PV__Flat) và accrued interest (AI). Tổng của chúng là full price (PV__Full), còn được gọi là invoice price hoặc “dirty” price.

PV__Full = PV__Flat + AI . (3)

Flat price, là chênh lệch giữa full price và accrued interest, còn được gọi là quoted hoặc "clean" price, và đây là loại price mà bond dealers thường quote. Trong trường hợp có giao dịch bán, accrued interest được cộng vào flat price để có được full price, là số tiền do buyer thanh toán và seller nhận được vào trade settlement date.

Việc sử dụng flat price để quote nhằm ngăn các nhà đầu tư bị hiểu sai về xu hướng price của một trái phiếu trên thị trường, vì full prices sẽ cho thấy price tăng mỗi ngày ngay cả khi không có thay đổi về YTM do interest được accrual. Khi coupon được thanh toán, quoted price sẽ giảm mạnh, như được minh họa trong Exhibit 5.

Exhibit 5: Flat Price, Accrued Interest, and Full Price

Accrued interest là phần của coupon payment sắp tới thuộc về seller của trái phiếu, bởi vì mặc dù seller sở hữu trái phiếu trong một phần của period, toàn bộ coupon sẽ được buyer nhận. Accrued interest được tính bằng cách xác định phần thời gian đã trôi qua trong period. Giả sử period giữa các payments có độ dài T ngày, trong khi t là số ngày đã trôi qua kể từ payment gần nhất. Equation 4 dưới đây cho thấy cách tính accrued interest.

trong đó

• t = số ngày từ coupon payment trước đó đến settlement date

• T = số ngày trong coupon period

• t / T = thời gian đã trôi qua kể từ payment gần nhất trong coupon period

• PMT = coupon payment cho mỗi period

Lưu ý rằng accrued interest trong total price không phụ thuộc vào yield to maturity rate. Do đó, chỉ flat price bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi của interest rate.

Có nhiều phương pháp khác nhau để day counting (còn được gọi là ‘day counts’). Day count phụ thuộc vào hai yếu tố: quy tắc day counting trong một period và số ngày được giả định trong mỗi period. 30/360 và actual/actual là các ví dụ về day count conventions. Theo day count convention 30/360, mỗi tháng được giả định có chính xác 30 ngày (mặc dù không tháng nào có như vậy, trừ tháng 2), và mỗi năm có chính xác 360 ngày (mặc dù không có năm nào có 360 ngày). Tuy nhiên, trong trường hợp day count convention actual/actual, mỗi tháng có số ngày thực tế và mỗi năm cũng có số ngày thực tế.

EXAMPLE 2

Actual/Actual vs. 30/360 Day Count

Hai trái phiếu ngoài ra giống hệt nhau trả interest với rate 4.375% semiannually vào ngày 15 tháng 5 và ngày 15 tháng 11 hằng năm. Một trái phiếu là government bond sử dụng day count convention actual/actual trong khi trái phiếu còn lại là corporate bond sử dụng day count convention 30/360. Trong trường hợp phương pháp actual/actual, số ngày thực tế, bao gồm leap days, holidays và weekends, được tính đến. Day count convention 30/360 giả định 30 ngày mỗi tháng và 360 ngày mỗi năm.

Tính accrued interest cho settlement vào ngày 27 tháng 6.

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

Accrued interest trên actual/actual bond được tính bằng tỷ lệ giữa số ngày thực tế từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 27 tháng 6 (t = 43 days) và số ngày thực tế từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 tháng 11 (T = 184 days), nhân với coupon payment.

Trong trường hợp 30/360 bond, số ngày từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 27 tháng 6 là 42 ngày (15 ngày từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 30 tháng 5 và 27 ngày từ ngày 1 tháng 6 đến ngày 27 tháng 6; ngày 31 tháng 5 không được đưa vào tính toán theo convention 30/360). Giả định rằng có 180 ngày trong six-month period từ ngày 15 tháng 5 đến ngày 15 tháng 11.

Accrued interest được tính bằng công thức sau:

Actual/actual bond: AI = (43/184) × (4.375/2)

= 0.511209 trên mỗi 100 par value.

30/360 bond: AI = (42/180) × (4.375/2)

= 0.510417 trên mỗi 100 par value.

Full price của một fixed-rate bond giữa các coupon payments, có tính đến market discount rate cho mỗi period (r), là present value của future cash flows tại trade settlement date và được xác định bởi Equation 5 dưới đây:

Nó rất giống Equation 2. Tuy nhiên, coupon payment tiếp theo (PMT) được chiết khấu theo phần thời gian còn lại cho đến cuối coupon period, là 1 – t / T. Coupon payment thứ hai được chiết khấu theo phần thời gian còn lại cho đến cuối period cộng thêm một period.

Một trong những ưu điểm của Equation (6) là đại lượng bên trong dấu ngoặc, PV, có thể được tính dễ dàng bằng hàm Excel YIELD vì có N periods cách đều nhau. Trong Equation 6, PV đề cập đến present value của future cash flows tại coupon date gần nhất; nó tương đương với Equation 2 nhưng không bằng PV__Flat.

Hai ví dụ sau đây minh họa cách tính flat price, accrued interest và total price của một trái phiếu.

VÍ DỤ 3

Trái phiếu BRWA - Flat Price và Full Price

Xác định flat price và total price của trái phiếu BRWA fixed 3.2% sau 90 ngày kể từ lần coupon payment đầu tiên.

Ở bước đầu tiên, chúng ta tính present value của trái phiếu tại coupon date, thời điểm đánh dấu đầu kỳ mà trái phiếu được settlement, bằng cách sử dụng Equation 2 hoặc hàm PV trong Excel/Google Sheets.

=-PV(rate, nper, pmt, [FV], type)

=-PV(0.02,9,1.60,100,0) = 96.735

Đầu tiên, full price được tính bằng cách đếm số ngày theo công thức day count convention đã nêu và áp dụng Equation 6.

Số ngày từ đầu kỳ đến settlement, t = 90 Số ngày trong kỳ chứa settlement , T = 180 P V__Full = PV ×( 1 + r)t/T P V__Full = 96.735 ×( 1 + 0.02)90/180 P V__Full = 97.698

Sau đó, chúng ta sử dụng Equation 4 để tính accrued interest. AI =t_ T×PMT AI_ =90 180× 1.60

AI = 0.80

Cuối cùng, flat price được tính bằng Equation 3 bằng cách khấu trừ accrued interest khỏi full price.

P V__Full = P V__Flat + AI P V__Flat = P V__Full − AI P V__Flat = 97.698 − 0.80 P V__Flat = 96.898

Lưu ý : Các giá trị trong phép tính không được làm tròn, mặc dù các phép tính được trình bày với tối đa ba chữ số thập phân. Đáp án sẽ được làm tròn đến ba chữ số thập phân.

VÍ DỤ 4

Trái phiếu Romania - Flat Price và Full Price

Trái phiếu fixed-coupon EUR annual 4.625%, actual/actual của Romania, đáo hạn vào ngày 3 tháng 4 năm 2049, đã được thảo luận trước đó trong lớp. Hãy tính full price ( PV__Full ), accrued interest ( AI ) và flat price ( PV__Flat ) tại thời điểm settlement vào ngày 15 tháng 12 năm 2031, giả sử annual yield to maturity là 3.50%.

Lời giải

Bước 1 Tính PV tại đầu current coupon period của settlement date:

=-PV(rate, nper, pmt, [FV], type) =-PV(0.035,18,4.625,100,0) = 114.838

Bước 2 Xác định số actual days (t):

Định giá Fixed-Income Bond: Giá và Yield

Bước 3 Xác định số actual days trong coupon period (T):

Lưu ý rằng năm 2032 là năm nhuận, có thêm một ngày.

Bước 4 Sử dụng Equation 6 để giải PV__Full :

P V__Full = PV ×( 1 + r)_ T__t . P V__Full = 114.838 ×( 1 + 0.035) _366256 . P V__Full = 117.635.

Bước 5 Sử dụng Equation 4, tính accrued interest:

AI =t_ T×PMT. AI_ =256 366× 4.625. AI = 3.235.

Bước 6 Sử dụng Equation 3 để giải PV__Flat :

P V__Full = P V__Flat + AI . P V__Flat = P V__Full − AI . P V__Flat = 117.635 − 3.235.

P V__Flat = 114.400.

Lưu ý : Tất cả các đại lượng trong các phép tính trên đều được giữ nguyên không làm tròn mặc dù được hiển thị đến ba chữ số thập phân. Lời giải được làm tròn đến ba chữ số thập phân.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Define yield-to-maturity.

Solution:

The yield to maturity is the internal rate of return of the cash flow of the bond, which refers to the common interest rate where the total present value of the cash flows, once discounted using that interest rate, is equal to the price of the bond.

Định giá Fixed-Income Bond: Giá và Yield

Step 2 Calculate the actual number of days ( t ):

Step 3 Calculate the exact number of days in the coupon period ( T ):

Bước 4 Sử dụng Equation 6 để giải PV__Full :

• P V__Full = PV ×( 1 + r)_ T__t .

P V__Full = 108.584 ×( 1 + 0.0975) _365131 .

P V__Full = 112.271.

Step 5 Using Equation 4, compute the amount of accrued interest:

AI =t_ T×PMT.

AI_ =131 365× 12.

AI = 4.307.

Bước 6 Sử dụng Equation 3 để giải PV__Flat :

• P V__Full = P V__Flat + AI .

• P V__Flat = P V__Full − AI .

• P V__Flat = 112.271 − 4.307.

• P V__Flat = 107.964.

Note: The values used in the computation are not rounded although three decimals are displayed. Answers are rounded up to three decimals.

6. Repeat the above computations for the same bond from Question 5, but this time using a day count basis of 30/360. Solution:

• Step 1 PV Calculation as of the Beginning of the Current Coupon Period for the Settlement Date:

• =-PV(rate, nper, pmt, [FV], type)

• =-PV(0.0975,5,12,100,0)

= 108.584

Step 2 Calculation of Days ( t ):

Step 3 Assumption that Days within the Coupon Period ( T ) is 360. Step 4 Solution for PV__Full Using Equation 6:

Step 5 Solution for Accrued Interest Using Equation 4:

Bước 6 Sử dụng Equation 3 để giải PV__Flat :

Note : No rounding is applied in the quantities used in the above calculations, although three decimal digits were used in the presentation of the values for clarity.

liên hệ bond prices, coupon rates, maturities và yield-to-maturity

Định giá Fixed-Income Bond: Giá và Yield

Mối quan hệ nghịch đảo

Như đã trình bày trong bài trước, giá của một fixed rate bond thay đổi tùy thuộc vào interest rate được sử dụng làm discount rate. Trong mọi phép tính time value of money, discount rate cao hơn làm present value của bất kỳ fixed future cash flow nào thấp hơn, trong khi discount rate thấp hơn làm nó cao hơn. Do đó, yields-to-maturity và bond prices biến động ngược chiều nhau.

Coupon Effect

Mức độ của bond coupon cash flow sẽ quyết định mức độ bond price phản ứng với một biến động yield nhất định giữa các trái phiếu có maturity bằng nhau. Bond coupon càng nhỏ, tỷ trọng của total cash flow xảy ra tại maturity càng lớn. Việc discount final cash flow theo độ lớn của (1 + r )N, như được thể hiện trong Equation 2, làm tăng ảnh hưởng của biến động yield r so với các trái phiếu mà final cash flow chỉ chiếm tỷ trọng nhỏ hơn trong tổng số. Điều này được minh họa rõ nhất bằng cách so sánh trường hợp cực trị của zero coupon bond, là trái phiếu chi trả 100% cash flow tại maturity (bao gồm interest), với một trái phiếu khác có cùng đặc điểm và có fixed coupon như bên dưới.

VÍ DỤ 5

Tác động của thay đổi Yield đối với Zero-Coupon và Coupon Bond

Một nhà đầu tư có thể lựa chọn giữa Romania Eurobond có fixed coupon 4.625% trong 30 năm và được định giá tại par, và một zero coupon bond khác, với mọi yếu tố khác không đổi và cùng YTM 4.625%.

Xác định mức thay đổi giá theo % của cả hai trái phiếu thay thế nếu YTM thay đổi 100 bps tại thời điểm issuance.

Sử dụng Equation 1 (đối với zero-coupon bond) và hàm PV của Excel hoặc Google Sheets (đối với coupon bond 4.625%) để tính và so sánh các khác biệt này. Xem candidate learning ecosystem trực tuyến để tham khảo spreadsheet của các phép tính này trong Microsoft Excel workbook đã tải xuống.

|Change|YTM|Pri|ces|Price C|hanges|Percent Cha|age Price nges| |||Coupon|Zero|Coupon|Zero|Coupon|Zero| |0.01|0.05625|85.665|19.364|–14.335|–6.395|–14.34%|–24.83%| |–0.01|0.03625|118.107|34.361|18.107|8.601|18.11%|33.39%|

Với cùng time to maturity, trái phiếu có coupon thấp hơn (hoặc zero-coupon) trải qua mức thay đổi giá theo % lớn hơn trái phiếu có coupon cao hơn khi market discount rates có mức thay đổi giống hệt nhau.

Maturity Effect

Time to maturity của trái phiếu là một yếu tố khác ảnh hưởng đến mối quan hệ bond price/yield. Nhìn chung, khi các yếu tố khác không đổi, trái phiếu có maturity dài hơn sẽ có mức thay đổi giá theo % lớn hơn trái phiếu có maturity ngắn hơn trong trường hợp market discount rates có mức thay đổi giống hệt nhau. Maturity effect này là do giá trị N lớn hơn trong Equation 2 đối với trái phiếu thứ nhất.

VÍ DỤ 6

Tác động của thay đổi Yield đối với các Maturity khác nhau

Giả sử có một nhà đầu tư có thể lựa chọn giữa Bond A có coupon 1.5%, maturity 30 năm và được định giá tại par, với Bond B có maturity 10 năm, coupon 1.5% và được định giá tại par, từ cùng một issuer.

Tính mức thay đổi giá theo % của các trái phiếu này nếu YTM tăng/giảm 100 bps.

Xem xét price change của cả trái phiếu 10 năm và 30 năm bằng cách tính và so sánh các price change này bằng hàm PV. Vui lòng tham khảo candidate learning ecosystem trực tuyến để xem spreadsheet của các phép tính này trong Microsoft Excel workbook đã tải xuống.

Lưu ý rằng mức thay đổi giá theo % của trái phiếu dài hạn lớn hơn trái phiếu ngắn hạn. Cũng lưu ý rằng price change khi YTM giảm lớn hơn price change khi YTM tăng .

Có thể có các ngoại lệ đối với maturity effect, nhưng chúng rất hiếm. Những ngoại lệ như vậy chỉ xảy ra đối với các trái phiếu dài hạn có coupon thấp (không phải zero-coupon) được bán tại discount. Maturity effect luôn áp dụng cho zero-coupon bonds, cũng như các trái phiếu được bán tại face value hoặc cao hơn.

Quỹ đạo giá với Constant-Yield

Price change xảy ra theo thời gian ngay cả khi market interest rate không đổi. Khi thời gian trôi qua, tức là khi N trong Equation 2 nhỏ dần, nhà đầu tư ngày càng gần hơn với việc nhận face value của trái phiếu, giả sử issuer không default. Biểu đồ constant yield-price sau đây trong Exhibit 6 minh họa price change

Định giá Fixed-Income Bond: Giá và Yield

của hai trái phiếu 10 năm theo thời gian: một trái phiếu có coupon 2% tại discount và một trái phiếu khác có coupon 8% tại premium. Market discount rate được sử dụng trong phép tính là 5%.

Exhibit 6: Quỹ đạo giá với Constant-Yield

Giá của trái phiếu coupon 2% ban đầu là 76.835 cho 100 par value và tăng hằng năm, tiến gần par value vào maturity date. Giá của trái phiếu coupon 8% ban đầu là 123.165 và giảm hằng năm, tiến gần par value vào maturity date. Nói cách khác, giá được "kéo về par." Vui lòng xem candidate learning ecosystem trực tuyến để tham khảo các spreadsheet có phép tính trong Microsoft Excel workbook đã tải xuống.

Convexity Effect

Mức thay đổi theo tỷ lệ % trong giá của một trái phiếu cũng sẽ khác nhau tùy thuộc vào cách yield thay đổi. Mức tăng giá theo tỷ lệ % lớn hơn về giá trị tuyệt đối so với mức giảm giá theo tỷ lệ %. Điều đó có nghĩa là mối quan hệ giữa giá trái phiếu và yield không phải là một đường thẳng mà là một đường cong và có tính "convex". Xem Exhibit 7 để xem đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa giá của một trái phiếu và yield-to-maturity của trái phiếu đó.

Exhibit 7: Mối quan hệ Price-Yield lồi

VÍ DỤ 7

Trái phiếu BRWA: Mối quan hệ lồi

Mặc dù có sự tăng và giảm đều đặn trong yield-to-maturity hằng năm của trái phiếu BRWA, hãy lưu ý sự khác biệt trong mức thay đổi giá. Vui lòng xem candidate learning ecosystem trực tuyến để truy cập các bảng tính có các phép tính trong workbook Microsoft Excel đã tải xuống.

Việc giảm yield-to-maturity từ 160 bps xuống 120 bps khiến giá tăng 3.75%, trong khi việc tăng YTM từ 160 bps lên 200 bps khiến giá giảm với mức nhỏ hơn. Do đó, chúng ta có thể nói rằng trái phiếu BRWA có positive convexity. Convexity sẽ được giải thích thêm trong các bài học sắp tới.

Định giá trái phiếu Fixed-Income: Giá và Yields

1. Xét trái phiếu Romania trong Example 4, trả coupon hằng năm với coupon rate là 4.625% và có face value là 100. Ngày phát hành và ngày đáo hạn của trái phiếu lần lượt là ngày 3 tháng 4 năm 2019 và ngày 3 tháng 4 năm 2049. Hãy tính yield-to-maturity ban đầu tại ngày phát hành nếu issue price của trái phiếu là 99.488.

Lời giải:

yield-to-maturity ban đầu là 4.657%. Hàm YIELD trong Microsoft Excel hoặc Google Sheets có cú pháp như sau:

=YIELD(settlement, maturity, rate, pr, redemption, frequency,[basis])

=YIELD(DATE(2019,4,3),DATE(2049,4,3),0.04625,99.488,100,1)

= 4.657%

2. Mô tả coupon effect.

Lời giải:

Đối với hai trái phiếu non-callable, fixed-coupon chỉ khác nhau về coupon rates, một sự thay đổi trong yield khiến trái phiếu có coupon thấp hơn trải qua mức thay đổi giá theo tỷ lệ % lớn hơn so với trái phiếu có coupon cao hơn.

3. Mô tả maturity effect.

Lời giải:

Nhìn chung, đối với hai trái phiếu chỉ khác nhau về time-to-maturities, sự gia tăng yield khiến trái phiếu có maturity dài hơn trải qua mức thay đổi giá theo tỷ lệ % lớn hơn so với trái phiếu có maturity ngắn hơn.

4. Có hai trái phiếu có cùng maturity date. Một trái phiếu đang giao dịch at a discount, trong khi trái phiếu còn lại đang giao dịch at a premium. Giả sử yield sẽ không thay đổi cho đến maturity và sẽ không có default đối với trái phiếu nào trong hai trái phiếu, giá của hai trái phiếu này theo thời gian sẽ:

   • A. hội tụ.

   • B. không thay đổi.

   • C. phân kỳ.

Lời giải:

A là đáp án đúng. Giá sẽ hội tụ do hiện tượng “pull-to-par.” Khi maturity đến gần, present value của future cash flow sẽ điều chỉnh về phía par value, giả sử sẽ không có default từ issuer.

4 MATRIX PRICING

mô tả matrix pricing

Quy trình Matrix Pricing

Cần lưu ý rằng không giống như listed equities, bonds được giao dịch không thường xuyên, điều đó có nghĩa là không có market price hiện hữu để tính yield-to-maturity. Điều này cũng xảy ra đối với các trái phiếu chưa được phát hành. Để giải quyết vấn đề này, giá của các trái phiếu như vậy có thể được ước tính bằng cách sử dụng giá của các trái phiếu comparable. Các trái phiếu comparable có times to maturity, coupon và credit quality tương tự. Phương pháp này được thể hiện trong Exhibit 8 và Exhibit 9 và được gọi là matrix pricing.

Exhibit 8: Matrix Pricing

• Exhibit 9: Xác định giá của trái phiếu mới hoặc trái phiếu illiquid bằng Matrix Pricing*

Ví dụ, hãy xét trường hợp định giá một corporate bond ba năm trả coupon bán niên 4% có tên là Bond X. Giả định rằng Bond X không được giao dịch tích cực và không có giao dịch nào gần đây đối với trái phiếu này. Exhibits 10 và 11 dưới đây lần lượt thể hiện quotes và yields to maturity của bốn corporate bonds có credit rating giống hệt nhau dưới dạng matrix và bảng.

Định giá trái phiếu Fixed-Income: Giá và Yields

Exhibit 10: Các trái phiếu comparable được giao dịch tích cực

Exhibit 11: Matrix các trái phiếu comparable được giao dịch tích cực

Bây giờ, analyst sẽ tìm average yield cho từng năm, là 3.8035% đối với các trái phiếu hai năm và 4.1885% đối với các trái phiếu năm năm.

Yield của trái phiếu ba năm có credit quality giống hệt Bond X có thể được xác định bằng quá trình interpolation. Yield được nội suy là 3.932%.

Sử dụng 3.9318% làm annual yield ba năm được nội suy, corporate bond ba năm trả coupon bán niên 4% sẽ có giá là 100.191 trên mỗi 100 par value.

Yield to maturity có thể được tính bằng hàm YIELD của Excel hoặc Google Sheets:

=YIELD(DATE(2025,10,1),DATE(2028,10,1),0.04,100.191,100,2,1)

Hơn nữa, matrix pricing cũng được sử dụng trong underwriting các trái phiếu mới nhằm ước tính required yield spread dựa trên benchmark rate. Nó có thể được định nghĩa là chênh lệch giữa yield-to-maturity của trái phiếu và yield của government benchmark bond có maturity period tương tự.

Trong trường hợp này, giả sử một công ty sắp phát hành một trái phiếu năm năm. Công ty có một debt obligation dưới dạng một khoản nợ bốn năm có các khoản coupon payment hằng năm là 3%. Giá của trái phiếu này là 102.400 trên mỗi 100 par value. Đây là full price, nghĩa là nó giống hệt flat price vì accrued interest bằng 0. Nói cách khác, điều này có nghĩa là coupon vừa được thanh toán và còn bốn năm nữa đến maturity. required rate of return bốn năm của trái phiếu này là 2.36%:

Nó có thể được tính bằng hàm YIELD trong Microsoft Excel/Google Sheets:

=YIELD(DATE(2025,10,1),DATE(2029,10,1),0.03,102.401,100,2,1)

Trong trường hợp này, chúng ta không có government bonds bốn năm nào để xác định required yield spread của chứng khoán này. Nhưng chúng ta có thông tin về government bonds ba năm và năm năm có yields to maturity lần lượt là 0.75% và 1.45%. Average của hai yields to maturity là 1.10%, nghĩa là đây là yield ước tính của government bond bốn năm. Do đó, required yield spread cao hơn implied benchmark rate 126 basis points (0.0236 - 0.0110 = 0.0126).

Bây giờ issuer có thông tin về yield spread bốn năm: 126 bps. Spread này là benchmark cho việc ước tính spread năm năm của trái phiếu mới được phát hành.

1. Đúng hay sai? Bond price quotes trên các website như Bloomberg cho biết giá mà tại đó giao dịch gần nhất của trái phiếu này đã xảy ra.

   • A. Đúng

   • B. Sai

   • Lời giải:

Sai. Hầu hết bonds không được giao dịch tích cực; do đó, bond price quotes trên các website như Bloomberg thường có thể được xác định thông qua các kỹ thuật matrix pricing.

2. Giá của một trái phiếu được analyst ước tính, dựa trên một corporate bond bốn năm trả coupon hằng năm 4.5%. Hai corporate bonds có credit quality tương đương được xác định, gồm một trái phiếu ba năm trả coupon hằng năm 5.50% có market price là 107.500 trên mỗi 100 par value và một trái phiếu năm năm trả coupon hằng năm 4.50% có market price là 104.750 trên mỗi 100 par value. Với sự hỗ trợ của kỹ thuật matrix pricing, giá của trái phiếu trên mỗi 100 par value gần nhất sẽ là:

A. 103.895.

B. 104.991.

C. 106.125.

Lời giải:

Đáp án: B là đúng. Bước đầu tiên là tìm yield-to-maturity của hai trái phiếu quan sát được. required yield của trái phiếu ba năm 5.50% có giá 107.500 là 2.856%:

required yield của trái phiếu năm năm 4.50% có giá 104.750 là 3.449%:

Yield to maturity của trái phiếu bốn năm có creditworthiness tương đương sẽ được xác định bằng cách tính average của hai required yields:

Với yield to maturity ước tính là 3.153%, giá ước tính của corporate bond illiquid bốn năm trả coupon hằng năm 4.50% sẽ là 104.991 cho mỗi 100 face value:

3. Để ước tính giá của một trái phiếu illiquid, một analyst sử dụng kỹ thuật matrix pricing. Hãy nêu ba đặc điểm của trái phiếu có thể được sử dụng để so sánh các trái phiếu được giao dịch thường xuyên với trái phiếu illiquid.

   • Lời giải:

Matrix pricing là phương pháp xác định giá của một trái phiếu mới phát hành hoặc trái phiếu illiquid bằng cách so sánh trái phiếu đó với các trái phiếu được giao dịch thường xuyên có

1. maturity,

2. coupon rates, và

3. credit quality.

EN: 1. Consider a noncallable fixed-coupon bond, priced at 106.0625 with YTM of 2.8%. In case YTM increased instantaneously by 80 bps, the bond price would fall by 11%. In case YTM falls instantaneously by 80 bps, the bond price will rise by:

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: - A. less than 11%.

1. Xét một trái phiếu noncallable fixed-coupon, có giá 106.0625 với YTM là 2.8%. Trong trường hợp YTM tăng ngay lập tức 80 bps, giá trái phiếu sẽ giảm 11%. Trong trường hợp YTM giảm ngay lập tức 80 bps, giá trái phiếu sẽ tăng:

EN: - B. exactly 11%.

• A. ít hơn 11%.

EN: - C. more than 11%.

• B. đúng 11%.

EN: 2. Exceptions to the maturity effect occur in bonds with:

• C. nhiều hơn 11%.

EN: - A. long maturity periods, low coupon interest rates, and are trading at a discount.

2. Các ngoại lệ đối với maturity effect xảy ra ở các trái phiếu có:

EN: - B. short maturity periods, high coupon interest rates, and are trading at a discount.

• A. maturity periods dài, coupon interest rates thấp và đang giao dịch at a discount.

EN: - C. long maturity periods, high coupon interest rates, and are trading at a premium.

• B. maturity periods ngắn, coupon interest rates cao và đang giao dịch at a discount.

EN: 3. If the market discount rate remains unchanged, as a non-callable fixed coupon bond nears its maturity period:

• C. maturity periods dài, coupon interest rates cao và đang giao dịch at a premium.

EN: - A. the price-yield relationship will become more convex.

3. Nếu market discount rate không thay đổi, khi một trái phiếu non-callable fixed coupon đến gần maturity period của nó:

EN: - B. low-coupon bond trading at a discount is going to rise in price.

• A. mối quan hệ price-yield sẽ trở nên convex hơn.

EN: - C. high-coupon bond trading at a premium is going to rise in price.

• B. trái phiếu có coupon thấp đang giao dịch at a discount sẽ tăng giá.

EN: 4. A fixed income analyst is using the following formula for pricing the bond.

• C. trái phiếu có coupon cao đang giao dịch at a premium sẽ tăng giá.

4. Một fixed income analyst đang sử dụng công thức sau để định giá trái phiếu.

EN: The bond price relative to par value is most likely:

EN: - A. greater than 100.

Giá trái phiếu so với par value có khả năng cao nhất là:

EN: - B. exactly 100.

• A. lớn hơn 100.

EN: - C. less than 100.

• B. đúng bằng 100.

EN: 5. Four-year 2.0% semi-annual coupon bond which pays coupons semi-annually has a price of 102.581. The annualized yield to maturity on the bond is closest to: A. 0.67%.

• C. nhỏ hơn 100.

EN: B. 1.34%.

5. Trái phiếu bốn năm có semi-annual coupon 2.0%, trả coupon bán niên, có giá là 102.581. annualized yield to maturity của trái phiếu gần nhất với: A. 0.67%.

EN: C. 2.22%.

B. 1.34%.

EN: 6. The bond is sold after its coupon payment periods. Which one of the following is correct?

C. 2.22%.

EN: - A. The purchaser pays the whole price plus the accrued interest.

6. Trái phiếu được bán sau các coupon payment periods của nó. Phát biểu nào sau đây là đúng?

EN: - B. The quoted price of the bond is higher than the flat price.

• A. Người mua thanh toán whole price cộng với accrued interest.

EN: - C. Accrued interest is not included in the flat price.

• B. quoted price của trái phiếu cao hơn flat price.

• C. Accrued interest không được bao gồm trong flat price.

EN: 7. A financial analyst is assessing a bond which is about to be released by XYZ Company. The bond will have a life span of five years and its coupon rate will be 2.25%, payable semiannually. As XYZ company has not issued any bonds before, matrix pricing will be used by the analyst to determine the price of the bond. The analyst has located four comparable bonds with the following features.

Định giá trái phiếu Fixed-Income: Giá và Yields

7. Một financial analyst đang đánh giá một trái phiếu sắp được XYZ Company phát hành. Trái phiếu sẽ có thời hạn năm năm và coupon rate là 2.25%, payable semiannually. Vì XYZ Company chưa từng phát hành trái phiếu nào trước đây, matrix pricing sẽ được analyst sử dụng để xác định giá của trái phiếu. Analyst đã xác định được bốn trái phiếu comparable có các đặc điểm sau.

Hãy tạo một matrix để hỗ trợ analyst tính giá của trái phiếu XYZ năm năm bằng cách sử dụng dữ liệu đã cho ở trên:

LỜI GIẢI

1. Đáp án C là đúng. Mức tăng tuyệt đối của giá sẽ lớn hơn mức giảm tuyệt đối của giá đối với cùng một mức thay đổi tuyệt đối của YTM do hình dạng convex của mối quan hệ price-yield.

• Đáp án A là không đúng do positive convexity của mối quan hệ price-yield. Với một mức thay đổi nhất định của yield level, mức tăng giá sẽ lớn hơn mức giảm giá.

Đáp án B là không đúng vì mối quan hệ price-yield là non-linear.

2. Đáp án A là đúng. Các ngoại lệ đối với maturity effect rất hiếm và áp dụng cho các trái phiếu có coupon rate thấp nhưng không áp dụng cho các zero coupon long-maturity bonds đang giao dịch ở mức discount. Đáp án B là không đúng vì maturity effect áp dụng cho các trái phiếu có short maturities và high coupon rates.

• Đáp án C là không đúng vì maturity effect luôn áp dụng cho các trái phiếu đang giao dịch ở mức premium.

3. Đáp án B là đúng. Vì trái phiếu đang giao dịch ở mức discount, giá của nó chắc chắn sẽ tăng do hiện tượng pull-to-par.

• Phương án A là sai vì convexity có xu hướng giảm khi một trái phiếu gần đến maturity period.

• Phương án C là sai vì các trái phiếu có high coupon đang giao dịch ở mức premium sẽ giảm giá trị khi ngày maturity của chúng đến gần.

4. Phương án A là đúng vì coupon rate của trái phiếu lớn hơn periodic market discount rate. Điều này có nghĩa là coupon rate của trái phiếu cao. Do đó, trái phiếu được giao dịch ở mức premium so với par. Phương án B là sai vì để trái phiếu được giao dịch tại par, coupon rate và discount rate phải bằng nhau.

• Phương án C là sai vì để trái phiếu được giao dịch ở mức discount, yield-to-maturity phải cao hơn coupon rate.

5. Đáp án B là đúng. Có hai cách để tính yield-to-maturity - tính IRR hoặc áp dụng hàm YIELD trong Excel hoặc Google Sheets. annualized periodic IRR bằng periodic IRR nhân với hai.

Đáp án A là sai vì 0.67% là periodic yield-to-maturity chứ không phải annualized yield-to-maturity.

Fixed-Income Bond Valuation: Prices and Yields

Đáp án C là sai. Lưu ý rằng có thể loại trừ đáp án này vì trái phiếu được bán ở mức premium; do đó, yield-to-maturity của nó thấp hơn coupon rate là 2.0%. Để xem bảng tính các phép tính này, hãy xem Microsoft Excel workbook đã tải xuống trong candidate learning ecosystem trực tuyến.

6. Đáp án C là đúng. Flat price, do các bond dealers cung cấp, bằng full price trừ accrued interest. Accrued interest không được bao gồm trong flat price. Đáp án A là sai vì người mua thanh toán full price bao gồm accrued interest.

Đáp án B là sai. Flat price bằng quoted price.

7. Có thể tính bond price bằng cách phân loại yields của các trái phiếu tương tự trong một matrix theo maturity và coupons.

|||Coupon Rate|| ||1.50%|1.75%|2.25%|2.25%| |4 năm||B||A| |5 năm||||| |6 năm||||| |7 năm|D||C||