Option Replication Using Put Call Parity

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

put call parity of European options put call forward parity of European options

Các bài học trước đã xem xét các biểu đồ payoff và profit của call và put; phạm vi giá trị của option và các yếu tố quyết định giá trị của option. Trong quá trình này, chúng ta đã so sánh payoff bất đối xứng của one-sided option với payoff đối xứng của forward và underlying asset.

Chúng ta tiếp tục khám phá chủ đề này để hiểu rằng có thể kết hợp các option contract sao cho tổ hợp đó có cùng payoff với underlying asset, risk-free asset và forward commitment. Bài học đầu tiên sẽ giải thích rằng giá trị của European call có thể được suy ra bằng cách sử dụng giá trị của European put có cùng các đặc điểm underlying và ngược lại, theo giả định no-arbitrage được gọi là put–call parity. Bài học thứ hai sẽ giải thích cách điều này có thể được mở rộng sang trường hợp forward commitment và việc áp dụng put–call parity cho investment strategy với options. Chúng ta sẽ xem xét European options đối với underlying asset không có income hoặc benefit.

• Put call parity là mối quan hệ giữa put và call options có cùng các đặc điểm underlying, cho phép xác định giá của option này bằng cách sử dụng giá của option kia.

• Put call parity áp dụng cho European options có cùng strike price và maturity date. Điều này có nghĩa đây là mối quan hệ no-arbitrage giữa giá của put option, call option, underlying asset và risk-free asset.

• Put–call parity không duy trì nếu tồn tại khả năng tạo ra riskless arbitrage profits.

Option Replication Using Put–Call Parity

• Put–call forward parity mở rộng nguyên tắc put–call parity cho forward contracts dựa trên sự tương đương giữa việc nắm giữ underlying asset và long forward contract cùng với risk-free bond.

• Theo put–call forward parity, chúng ta có thể cho thấy rằng bought put và sold call options tương đương với long risk-free bond và short forward contract, trong khi sold put và bought call options tương đương với long forward contract và short risk-free bond.

• Ngoài các ứng dụng trong option strategies, put–call parity có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như cho thấy equity position do investor nắm giữ tương đương với bought call option trên firm value có upside value không giới hạn, trong khi debt position có sold put option trên firm value có upside value bị giới hạn.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Những câu hỏi này nhằm giúp bạn xác định mức độ kiến thức hiện tại của mình liên quan đến Learning Module.

1. Trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào mô tả tương đương với long underlying position theo put-call parity?

• A. Buy put option trên underlying, sell call option trên underlying và buy risk-free bond

• B. Sell put option trên underlying, buy call option trên underlying và buy risk-free bond

• C. Sell put option trên underlying, buy call option trên underlying và sell risk-free bond

Lời giải:

Phương án B là đúng. Put-call parity cho thấy long underlying position tương đương với sold put option, bought call option và bought risk-free bond. Điều này được minh họa bằng phương trình sau:

Put–call parity: S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T implies S 0 = – p 0 + c 0 + X (1 + r )–T.

2. Chọn chiến lược nào trong các chiến lược sau có cùng giá trị theo put-call parity với portfolio nào:

3. Long call option ( c 0): A. Long underlying, short risk-free bond và short call option

4. Short risk-free bond (– X (1 + r )–T ) B. Long underlying, long put option và short risk-free bond

5. Short put option (– p 0): C. Short underlying, long call option và short put option

Lời giải:

Hãy nhớ rằng phương trình put-call parity có thể được viết là

S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

1. Phương án B là đúng. Giá trị của chiến lược long call option là no-arbitrage value của chiến lược long underlying asset, long put option và short risk-free bond strategy.

2. C là đúng. Short position trong risk free bond tương đương với short position trong underlying, long position trong call và short position trong put. 3. A là đúng. Short position trong put tương đương với long position trong underlying, short position trong risk-free bond và short position trong call.

3. Phát biểu nào sau đây định nghĩa đúng synthetic protective put theo put–call forward parity? A. Long position trong forward trên underlying asset, long position trong put trên underlying asset và short position trong risk-free bond

• B.* Short position trong forward trên underlying asset, long position trong put trên underlying asset và short position trong risk-free bond

• C.* Short position trong forward trên underlying asset, short position trong put trên underlying asset và short position trong risk-free bond

Lời giải: A là đúng. Công thức của put–call forward parity như sau: F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T . Sắp xếp lại các hạng tử như sau sẽ cho thấy synthetic protective put position ở vế trái của phương trình: F 0( T )(1 + r )–T + p 0 – X (1 + r )–T = c 0.

4. Phát biểu nào sau đây định nghĩa đúng shareholders claim bằng cách sử dụng option payoff?

• A. Shareholder payoffs tương tự như payoff của put option trên firm value. B. Shareholder payoffs tương tự như payoff của covered call option trên firm value.

• C. Shareholder payoffs tương tự như payoff của call option trên firm value.

  • Lời giải:

Phương án C là đúng. Trong trường hợp shareholder claims được phân tích như một option, shareholder payoffs tương tự như call option trên firm value.

Giải thích put-call parity đối với European options

Trước đây, một bài học đã giải thích sự khác biệt giữa điều kiện định giá no-arbitrage và việc replication cash flows đối với forward commitments và contingent claims. Forward contracts được định giá bằng 0 ban đầu và replication payoff certain của contract thông qua việc vay tiền để mua underlying asset hoặc bán underlying asset và cho vay số tiền thu được. Trong trường hợp options, investors mua các derivatives này bằng một premium payment ban đầu và vì payoff của chúng là contingent, điều này thúc đẩy chúng ta xác định upper và lower bounds cho giá của options theo điều kiện no-arbitrage. Replication options hoạt động theo cách tương tự như đối với forwards, nhưng trong trường hợp này, borrowing và lending diễn ra đối với một proportion của underlying asset. Proportion này sẽ thay đổi khi moneyness của options thay đổi. Bây giờ, chúng ta sẽ mở rộng phương pháp này bằng một portfolio được xây dựng từ sự kết hợp của các positions.

Option Replication Using Put–Call Parity

Trong bài học này, chúng ta minh họa cách xây dựng portfolio từ cash và derivatives giúp chúng ta định giá và đánh giá các positions mà không cần modeling chúng bằng các điều kiện no-arbitrage. Hãy xem xét một investor có mục tiêu thu được lợi ích từ sự tăng trưởng giá trị của underlying asset và hedge bản thân khỏi sự giảm giá trị của underlying asset. Hãy xem xét hai portfolios sau trong Exhibit 1 bên dưới:

• 1. Tại t = 0, một investor mua một call option ( c 0) trên underlying với exercise price X và một risk-free bond sẽ payoff X tại t = T. Chi phí của chiến lược này sẽ là c 0 + X (1 + r)–T, trong đó T là expiration date của option.

• 2. Tại t = 0, một investor mua một đơn vị underlying ( S 0) và một put option trên underlying ( p 0) với exercise price là X tại t = T. Chi phí của chiến lược này sẽ là p 0 + S 0.

Exhibit 1 dưới đây cho thấy payoffs của các thành phần riêng lẻ trong hai portfolios này.

Exhibit 1: Payoffs tại thời điểm T của hai Portfolios

Thoạt nhìn, có vẻ như trong cả hai trường hợp, investor đều có cùng cơ hội thu lợi từ sự tăng giá của underlying asset mà không phải chịu rủi ro giá của underlying asset giảm xuống dưới exercise price.

Trong trường hợp thứ nhất (Portfolio 1), investor mua một call option, option này payoff khi giá của underlying asset vượt strike price ( ST > X ), và thực hiện một khoản đầu tư vào riskless bond. Vì riskless asset payoff X tại thời điểm T , investor thực hiện khoản thanh toán c 0 + X (1 + r )–T tại thời điểm t = 0. Sự kết hợp giữa việc mua call và riskless bond được gọi là fiduciary call và được minh họa trong Exhibit 2.

Exhibit 2: Portfolio 1 (Fiduciary Call) Payoff tại thời điểm T

Trong trường hợp thứ hai (Portfolio 2) trong Exhibit 1, investor thực hiện khoản thanh toán S 0 + p 0 tại thời điểm khởi tạo portfolio và được bảo vệ trong trường hợp giá của underlying asset giảm xuống dưới X. Sự kết hợp giữa việc sở hữu underlying asset và mua put trên cùng asset đôi khi được gọi là protective put . Payoff của Portfolio 2 tại thời điểm T được minh họa trong Exhibit 3.

Exhibit 3: Portfolio 2 (Protective Put) Payoff tại thời điểm T

Option Replication Using Put–Call Parity

Mặc dù có những khác biệt này, cả hai portfolios đều có cùng payoff, như được minh họa trong Exhibits 2 và 3. Như bạn có thể nhớ, nguyên tắc no arbitrage yêu cầu rằng hai assets có cùng future cash flows phải có cùng chi phí, có tính đến transaction costs. Trong Exhibit 4, chúng ta xem xét điều này đối với hai portfolios bằng cách so sánh cash flows trong mọi kịch bản có thể xảy ra tại thời điểm t = T .

Exhibit 4: Protective Put so với Fiduciary Call tại Expiration

Cả hai portfolios đều có cùng cash flows tại thời điểm T trong từng kịch bản, do đó giá của cả hai portfolios phải bằng nhau tại t = 0 để đáp ứng điều kiện no arbitrage trong phương trình được gọi là put-call parity :

S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

Ngoài ra, theo put-call parity, có thể nói rằng tổng giá trị của long underlying stock cộng với giá trị của put tại t = 0 phải bằng giá trị của long call cộng với giá trị của risk-free bond.

VÍ DỤ 1

Biomian Put–Call Parity

Trong một ví dụ khác, Viswan Family Office (VFO) đang nắm giữ cổ phiếu Biomian không trả cổ tức với giá hiện tại (S 0) là INR295 mỗi cổ phiếu. VFO đang muốn mua một quyền chọn put kỳ hạn sáu tháng đối với cổ phiếu Biomian với exercise price (X) là INR265. Nếu chief investment officer của VFO nhận thấy giá của quyền chọn call kỳ hạn sáu tháng đang được giao dịch ở mức INR59 mỗi cổ phiếu tại cùng exercise price là INR265, ông ấy sẽ phải trả bao nhiêu cho quyền chọn put trên mỗi cổ phiếu nếu risk-free interest rate áp dụng là 4%?

Từ Equation 1, chúng ta có thể biểu diễn put-call parity như sau:

S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

Giá trị của risk-free bond được xác định là INR259.85 (INR265 (1.04)-0.5) và được thay vào Equation 1 như sau:

INR295 + p 0 = INR59 + INR259.85.

p 0 = INR23.85.

Do đó, option premium của quyền chọn put kỳ hạn sáu tháng được kỳ vọng là p 0 = INR23.85.

Khả năng xuất hiện arbitrage profit tồn tại khi hai portfolio này không được giao dịch ở cùng một mức giá. Tương tự như trường hợp single asset, bất kỳ nhà đầu tư nào có khả năng vay và cho vay tại risk-free rate đều có thể tạo ra riskless profit trong trường hợp bất kỳ portfolio nào trong số này bị định giá thấp hoặc định giá cao, như minh họa dưới đây.

VÍ DỤ 2

Cơ hội Arbitrage Put–Call Parity của VFO

Tương tự Ví dụ 1, Viswan Family Office sở hữu cổ phiếu Biomian không trả cổ tức có giá trị (S 0) là INR295 mỗi cổ phiếu. Quyền chọn put mà VFO đang cân nhắc mua có giá trị INR23.85 nhưng thực tế đang được giao dịch ở mức cao hơn là INR30. Giả sử risk-free rate là 4%. Cơ hội arbitrage là gì và VFO có thể tạo ra riskless profit như thế nào?

Sử dụng Equation 1, mối quan hệ put-call parity sẽ là:

S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

Bằng cách thay các số liệu trong Ví dụ 1 và giá hiện tại của quyền chọn put vào Equation 1, ta có phương trình sau:

INR295 + INR30 > INR59 + INR259.85,

do đó, S 0 + p 0 > c 0 + X (1 + r )–T .

Bằng cách bán quyền chọn put và cổ phiếu, đồng thời mua quyền chọn call và risk-free asset tại t = 0, VFO tạo ra initial cash flow là INR6.15 (= INR295 + INR30 – INR59 – INR259.85), hay S 0 + p 0 – c 0 – X (1 + r )-T, như được mô tả trong hình bên dưới.

|Vị thế Arbitrage|Cash Flow tại****t = 0|Put được thực hiện (ST <X)|Không thực hiện (ST =X)|Call được thực hiện (ST >X)| |Protective Put:||||| |Bán Underlying Asset|_S_0|–ST|–ST|–ST| |Bán Put Option|_p_0|–(X–ST)|0|0| |Tổng cộng:|_S_0+_p_0|–X|–ST(=X)|–ST| |Fiduciary Call:||||| |Mua Call Option|–_c_0|0|0|(ST–X)| |Mua Risk-Free Asset|–X(1 +r)–T|X|X|X| |Tổng cộng:|–_c_0–X(1 + r)–T|X|X(=ST)|ST| |Portfolio tổng thể:|_S_0+_p_0–_c_0 –X(1 +r)–T|0|0|0|

Rõ ràng, cash flow của hai portfolio bằng 0 trong mỗi kịch bản tại thời điểm t = T, dẫn đến arbitrage profit cho VFO là INR6.15.

put–call parity trong European options

Mối quan hệ put–call parity giữa pricing của call option, put option, underlying stock và risk-free assets được trình bày trong phần trên giúp chúng ta hiểu các khái niệm replication và pricing của từng derivative, cash và option strategy.

Option Replication bằng Put–Call Parity

Nếu chúng ta giải Equation 1 để tính giá của put option premium, p 0, kết quả sẽ cho thấy giá của quyền chọn put có thể được xác định bằng cách cộng giá của call option (c 0), risk-free bond (X (1 + r )–T), rồi trừ đi giá của underlying stock (S 0). Điều này có thể được thấy trong Equation 2 và Exhibit 5 dưới đây.

p 0 = c 0 + X (1 + r )–T – S 0. (1)

Rõ ràng Equation 2 không chỉ cho thấy giá của quyền chọn put sẽ là bao nhiêu mà còn cho thấy việc replication quyền chọn put thông qua call option, underlying stock và risk-free asset. Điều này có thể được thấy trong Exhibit 5 dưới đây.

• Exhibit 5: Put Option như một Long Call, Long Bond và Short Underlying

Hơn nữa, chúng ta có thể tiếp tục cho thấy payoff của quyền chọn put và call, vốn có asymmetric profile, về cơ bản triệt tiêu lẫn nhau để xác định giá của underlying trong trường hợp không có arbitrage như sau:

S 0 = c 0 - p 0 + X (1 + r )–T . (2)

Exhibit 6 dưới đây trình bày tính tương đương của các vị thế riêng lẻ này dưới dạng các vị thế cash và derivative được replication.

Exhibit 6: Replication các vị thế riêng lẻ theo Put–Call Parity

|Vị thế|Underlying (****_S_0)|Risk-Free Bond (X(1 +r)–T****)|Call Option (****_c_0)|Put Option (****_p_0)| |Underlying (_S_0)|—|Long|Long|Short| |Risk-free bond (X(1 +r)–T)|Long|—|Short|Long| |Call option (_c_0)|Long|Short|—|Long| |Put option (_p_0)|Short|Long|Long|—|

Các thành phần này không chỉ được sử dụng để kiếm risk-free profit từ mispricing mà còn có thể được dùng để tạo ra các options trading strategies khác, như minh họa dưới đây.

VÍ DỤ 3

Chiến lược VFO Covered Call

Như đã thấy trong một ví dụ trước, Viswan Family Office hiện đang nắm giữ cổ phiếu Biomian không trả cổ tức trị giá INR295 mỗi cổ phiếu. Vì chief investment officer của Viswan Family Office tin rằng giá cổ phiếu Biomian sẽ tăng trong dài hạn, nhưng trong sáu tháng tới sẽ gần như không thay đổi, ông ấy muốn BÁN một call option kỳ hạn sáu tháng với exercise price là INR325 mỗi cổ phiếu.

Ông ấy sẽ tạo một vị thế tương đương bằng cách nắm giữ một risk-free bond và một quyền chọn put bằng put-call parity như thế nào? Giá trị kỳ vọng của call option sẽ là bao nhiêu nếu giá của quyền chọn put là INR56?

Chiến lược covered call bao gồm việc có một vị thế long underlying và short call option, hay (S 0 – c 0). Từ Equation 1, chúng ta biết put-call parity được viết như sau:

Có thể sắp xếp lại biểu thức trên để có (S 0 – c 0) như sau:

Do đó, chiến lược covered call tương đương với việc nắm giữ một risk-free bond long và một put option short, như mô tả dưới đây.

Giá call không có arbitrage, c 0, có thể được xác định bằng put-call parity như sau:

S 0 – c 0 = X (1 + r )–T – p 0.

INR295 – c0 = INR325(1.04)–0.5 – INR56.

c 0 = INR32.31.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: 1. Find the appropriate answers that complete the following statement: If two portfolios generate cash flows that are ________ at time T in all scenarios, then the no-arbitrage values of such portfolios should ________ each other at t = 0. This is often called put-call parity.

Put–Call Parity

1. Hãy tìm các đáp án phù hợp để hoàn thành phát biểu sau: Nếu hai portfolio tạo ra các cash flow ________ tại thời điểm T trong mọi kịch bản, thì các no-arbitrage value của các portfolio đó phải ________ nhau tại t = 0. Điều này thường được gọi là put-call parity.

EN: If two portfolios generate cash flows that are identical at time T in all scenarios, then the no-arbitrage values of such portfolios should equal each other at t = 0. This is often called put-call parity.

Solution:

EN: 2. Choose the position with the same no-arbitrage value as which portfolio under put-call parity?

Nếu hai portfolio tạo ra các cash flow giống hệt nhau tại thời điểm T trong mọi kịch bản, thì các no-arbitrage value của các portfolio đó phải bằng nhau tại t = 0. Điều này thường được gọi là put-call parity.

EN: 1. Short call option (– c 0)

2. Hãy chọn portfolio có cùng no-arbitrage value với từng vị thế sau theo put-call parity?

EN: 2. Long risk-free bond ( X (1 + r )–T )

1. Short call option (– c 0)

EN: 3. Long put option ( p 0)

2. Long risk-free bond (X (1 + r )–T)

EN: - A. Short underlying, long risk-free bond, and long call option

3. Long put option (p 0)

EN: - B. Short underlying, short put option, and long risk-free bond

• A. Short underlying, long risk-free bond và long call option

EN: - C. Long underlying, short call option, and long put option

• B. Short underlying, short put option và long risk-free bond

• C. Long underlying, short call option và long put option

EN: Remember the put-call parity relationship can be written as

Solution:

Hãy nhớ rằng mối quan hệ put-call parity có thể được viết là:

EN: 1. Answer B is correct. A short call option is the equivalent of being short on the underlying security, being short a put option, and being long on a risk-free bond position.

• S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

EN: 2. Answer C is correct. Being long a risk-free bond position is the equivalent of being long on the underlying security, being short a call option, and long a put option.

1. Đáp án B là đúng. Một short call option tương đương với short underlying security, short put option và long một vị thế risk-free bond.

EN: 3. Answer A is correct. Being long on a put option is the equivalent of being short on the underlying security, being long a risk-free bond, and being long on a call option.

2. Đáp án C là đúng. Long một vị thế risk-free bond tương đương với long underlying security, short call option và long put option.

EN: 3. The answer is __________ call and a risk-free bond position.

3. Đáp án A là đúng. Long put option tương đương với short underlying security, long risk-free bond và long call option.

4. Đáp án là __________ call và một vị thế risk-free bond.

EN: A fiduciary call involves the purchase of a call and a risk-free bond position.

Solution:

Một fiduciary call bao gồm việc mua một call và một vị thế risk-free bond.

Put–Call Forward Parity

EN: 4. Label the following statement as True or False and provide reasons for your decision: The covered call option strategy involves a long underlying and long call position or ( S 0 + c 0) at initiation.

4. Hãy xác định phát biểu sau là Đúng hay Sai và đưa ra lý do cho quyết định của bạn: Chiến lược covered call option bao gồm long underlying và long call position, hay (S 0 + c 0), tại thời điểm khởi tạo.

EN: This statement is false. The covered call strategy involves a long position on the underlying but a short call position or ( S 0 - c 0).

Solution:

Phát biểu này là sai. Chiến lược covered call bao gồm long underlying nhưng short call position, hay (S 0 - c 0).

Giải thích put-call forward parity đối với European options

Trước đó, chúng ta đã học từ các bài học trước rằng forward commitment replication bao gồm việc vay tiền tại risk-free rate và mua underlying nếu vị thế là long, hoặc thay vào đó bán khống underlying và đầu tư số tiền tại risk-free rate nếu vị thế là short. Chúng ta cũng đã thấy rằng long underlying cộng với short forward tạo ra risk-free payoff. Bây giờ, chúng ta sẽ bổ sung các building block này vào phương trình put-call parity từ bài học trước.

Giải thích put-call forward parity đối với European options

Trong một trong các bài học trước, chúng ta đã thấy rằng một vị thế long trong underlying có thể được replication thông qua việc sử dụng long forward contract và risk-free asset. Do đó, khi kết hợp synthetic asset với phương trình put-call parity - nói cách khác, thay present value của F 0(T) cho S 0 trong Equation 1 - chúng ta có cái được gọi là put–call forward parity:

F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T . (3)

Để chứng minh put-call forward parity, chúng ta có thể so sánh vị thế synthetic protective put với các vị thế protective put và fiduciary call. Để thực hiện điều đó, hãy xem xét các điều chỉnh đối với các portfolio đã được thảo luận trong phần minh họa put-call parity ở trên, cụ thể là:

• 1.* Tại t = 0, nhà đầu tư mua một forward contract và một risk-free bond có face value bằng forward price, F 0(T), cùng với một put option (p 0) trên underlying có strike price là X và đáo hạn tại t = T.

• 2.* Tại t = 0, nhà đầu tư mua một call option (c 0) trên underlying có strike price là X và một risk-free bond chi trả X tại t = T.

Trong trường hợp đầu tiên, nhà đầu tư đã thay thế vị thế cash underlying bằng vị thế synthetic underlying được tạo thành từ một forward purchase và một risk-free bond. Vị thế synthetic underlying kết hợp với một quyền chọn put đã mua trên underlying được gọi là synthetic protective put. Exhibit 7 minh họa tính tương đương giữa protective put và synthetic protective put bằng cách so sánh cash flow của chúng tại cả t = 0 và contract maturity T.

Option Replication bằng Put–Call Parity

Exhibit 7: Protective Put so với Synthetic Protective Put

Exhibit 8 trình bày sự so sánh các future cash flow của synthetic protective put và fiduciary call trong tất cả các kịch bản có thể xảy ra tại thời điểm đáo hạn.

Exhibit 8: Synthetic Protective Put so với Fiduciary Call

Do đó, chi phí của fiduciary call phải bằng chi phí của synthetic protective put, qua đó thể hiện put-call forward parity:

F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1+ r )–T .

Bằng cách biến đổi các hạng tử này, chúng ta có thể chứng minh rằng long put và short call tương đương với long risk-free bond và short forward contract:

p 0 – c 0 = [ X – F 0( T )](1 + r )–T .

(4)

Tương tự trường hợp put-call parity trước đó, hãy phân tích một ví dụ khác với một synthetic position làm underlying.

VÍ DỤ 4

VFO Put–Call Forward Parity

Thay vì có vị thế tiền mặt, trong ví dụ này, chúng ta có một vị thế long forward và một risk-free bond, như trong trường hợp Viswan Family Office. Giá cổ phiếu Biomian ( S 0) là INR295 mỗi cổ phiếu. VFO dự định mua một put kỳ hạn sáu tháng đối với cổ phiếu Biomian với exercise price ( X ) là INR265. Biết rằng chief investment officer của VFO biết giá của call kỳ hạn sáu tháng với exercise price INR265 là INR59 mỗi cổ phiếu, put nên được định giá bao nhiêu trên mỗi cổ phiếu nếu risk-free rate là 4%?

Từ Equation 5, mối quan hệ put–call forward parity là p 0 – c 0 = [ X – F 0( T )](1 + r )–T .

Thay các giá trị vào và giải với F 0( T ) = INR300.84 (= INR295(1.04)0.5 ), ta có p 0 – INR59 = (INR265 – INR300.84)(1.04)–0.5 . p 0 = INR23.86.

VFO sẽ phải trả put option premium kỳ hạn sáu tháng là p 0 = INR23.86.

put–call parity cho European options: giải thích

put–call forward parity cho European options: giải thích

Những bài học rút ra từ mối quan hệ put–call parity không chỉ liên quan đến giao dịch options mà còn mở rộng sang việc định giá firm theo các claims của các nhà cung cấp vốn - các shareholders của equity cũng như các chủ sở hữu debt.

Giả sử rằng tại thời điểm t = 0, một firm có market value là V 0 có thể vay tiền bằng cách sử dụng zero-coupon debt có giá trị D. Market value của assets của firm, V 0, khi đó sẽ bằng present value của debt liability, PV( D ), cộng với equity E 0. Nghĩa là, V 0 = E 0 + PV( D ).

Debt sẽ đáo hạn tại T , khi đó debt và assets của công ty sẽ được phân chia giữa debtholders và shareholders theo hai khả năng:

• 1. Khả năng thanh toán (* VT > D ) : Trong trường hợp giá trị của công ty ( VT ) lớn hơn face value của debt, hay VT > D , tại thời điểm T , thì công ty được xem là có khả năng thanh toán, nghĩa là công ty có thể hoàn trả cho debtholders và shareholders.

  • Debtholders nhận D và được hoàn trả đầy đủ.

  • Shareholders nhận phần còn lại: ET = VT – D .

Tái tạo Option bằng Put–Call Parity

• 2. Mất khả năng thanh toán (* VT < D ) : Trong trường hợp giá trị của công ty ( VT ) thấp hơn face value của debt, hay VT < D , tại thời điểm T , công ty mất khả năng thanh toán. Do đó, shareholders sẽ không nhận được gì, trong khi debtholders được nhận một khoản phải thu lớn hơn giá trị assets của công ty. Vì vậy, debtholders sẽ nhận VT cho khoản debt có giá trị D tại thời điểm T .

• Debtholders có priority claim đối với assets và sẽ nhận VT < D .

  • Shareholders nhận phần còn lại, ET = 0.

Không giống risk-free bond, đã được giải thích trong bài học trước về put-call parity, công ty này có risky debt vì chỉ trong trường hợp có khả năng thanh toán ( VT > D ), debtholders mới nhận được D. Do đó, debtholders yêu cầu shareholders trả một premium tương tự như put premium.

Mức độ tiếp xúc với upside của shareholders là unlimited (miễn là công ty vẫn có khả năng thanh toán và hoàn trả cho debtholders), trong khi mức độ tiếp xúc với downside của shareholders là limited. Ngược lại, mức độ tiếp xúc với upside của debtholders cũng limited, vì debtholders nhận được khoản hoàn trả debt miễn là công ty vẫn có khả năng thanh toán; tuy nhiên, principal cộng với interest của debtholders exposed với downside risk do mất khả năng thanh toán.

Bây giờ, hãy xem xét payoffs tại thời điểm đáo hạn đối với cả hai trường hợp:

• shareholder payoff là max(0, VT – D ) và

• debtholder payoff là min( VT , D ).

Hãy xem xét các payoffs sau dưới góc độ options:

• Shareholders sở hữu asset của underlying company ( VT ), đồng thời đã written một put option trên giá trị của công ty ( VT ), trong đó strike price của put option là D; nghĩa là, max(0, D – VT ).

• Debtholders sở hữu risk-free bond ( D ), và đã sold một put option trên giá trị của công ty ( VT ), trong đó strike price là D.

Các payoff profiles của shareholders và debtholders được trình bày trong Exhibit 9.

Exhibit 9: Payoff của Shareholder và Debtholder tại thời điểm T

Cấu trúc Payoffs của Shareholder và Debtholder

Phân phối Firm Value giữa Shareholders và Debtholders

Lưu ý rằng chiến lược của shareholder là mua một put option trên assets và giữ vị thế long đối với assets của firm tương đương với việc có một call option trên assets của firm. Risky debt do debtholders nắm giữ là sự kết hợp giữa risk-free debt D và put option trên assets được bán cho shareholders.

Sử dụng mối quan hệ put–call parity, S 0 + p 0 = c 0 + PV( X ), được xác định trong Equation 1, chúng ta có thể thay S 0 bằng giá trị của firm tại t = 0 ( V 0) và thay X bằng debt ( D ). Ta có thể giải công thức và nhận được:

V 0 + p 0 = c 0 + PV( D ).

V 0 = c 0 + PV( D ) – p 0. (5)

Equation 6 biểu thị giá trị assets của firm tại t = 0. Từ góc nhìn của shareholder và debtholder, shareholder có một chiến lược bao gồm payoff tương tự c 0, tức là một call option trên firm value. Debtholder có một chiến lược bao gồm PV( D ) – p 0, hay risk-free debt của firm plus put option đã bán trên firm value. Put option ( p 0) có thể được xem là một credit spread trên debt của firm, hay một premium cao hơn risk-free rate, được debtholders yêu cầu để bù đắp insolvency risk. Put option tăng giá trị đối với shareholders cùng với xác suất mất khả năng thanh toán tăng lên. Từ góc nhìn của debtholder, giá trị cao hơn của put đã bán đồng nghĩa với credit risk cao hơn trong debt của firm.

Put–Call Forward Parity và Ứng dụng của Option

1. Xác định phát biểu sau là đúng hay sai, và đưa ra lý do cho câu trả lời của bạn: Một trong những mối liên hệ giữa put-call parity và put-call forward parity là cash underlying được thay thế bằng synthetic underlying gồm một forward purchase và một risk-free bond.

Lời giải:

Phát biểu này là đúng. Sự thay thế này giúp tạo ra mối liên hệ giữa call price, put price và forward price theo put-call forward parity.

2. Xác định mỗi vị thế sau có cùng giá trị với portfolio nào theo put-call forward parity:

3. Long call option (c 0) A. Forward sale, long risk-free bond và long call option

4. Long risk-free bond ( X (1 + r )–T )

5. Long put option ( p 0)

• B. Forward purchase, long put option và short risk-free bond

• C. Long forward purchase, short call option và long put option

Lời giải:

Hãy nhớ rằng mối quan hệ put-call parity forward cũng có thể được viết là:

• F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

1. B là đáp án đúng. Vị thế long đối với call option tương đương với forward buying, vị thế long đối với put option và vị thế short đối với risk-free bond.

2. C là đáp án đúng. Vị thế long đối với risk-free bond tương đương với forward buying, vị thế short đối với call option và vị thế long đối với put option.

3. A là đáp án đúng. Vị thế long đối với put option tương đương với forward selling, vị thế long đối với risk-free bond và vị thế long đối với call option.

4. Giải thích cash flows tại thời điểm option đáo hạn của một synthetic protective put.

Lời giải:

Một synthetic protective put đề cập đến tình huống trong đó nhà đầu tư có một vị thế underlying synthetic (bao gồm forward purchase và vị thế long risk-free bonds có giá trị bằng exercise price) cộng với một put.

Có hai khả năng tại thời điểm option đáo hạn, T :

• *Option được thực hiện (X > ST ): Trong trường hợp này, nhà đầu tư nhận được ( X – ST ). Risk-free asset mang lại return là F0(T), trong khi forward purchase mang lại return là ST – F 0( T ).

Total return bằng ( X – ST ) + [ ST – F 0( T )] + F 0( T ) = X .

• *Option không được thực hiện (X ≤ ST ): Khi option không được thực hiện, nó sẽ trở nên vô giá trị. Risk-free asset mang lại return F0(T) và forward purchase mang lại return ST – _F_0(T).

Total return bằng [ ST – F 0( T )] + F0( T ) = ST .

4. Giải thích cách vị thế của một debtholder có thể được so sánh với việc bán một put option trên firm value.

Lời giải:

• Nếu giá trị của doanh nghiệp ( VT ) thấp hơn face value của debt, hay VT < D tại thời điểm T , doanh nghiệp mất khả năng thanh toán, và debt holders nhận được một khoản thấp hơn face value ( D ) để đáp ứng các debt claims của họ. Nói cách khác, payoff của debt holder là min( D, VT ) = D - max( 0, D - VT ) và bằng face value của debt ( D ) trừ đi một put option trên business value ( VT ) với exercise price D (tức là một put written trên business value).

Tái tạo Option bằng Put–Call Parity

Bài tập thực hành

Thông tin sau đây liên quan đến các câu hỏi 1-6

EN: South China Sprintwyck Investments (SCSI) has a Chinese stock portfolio that has performed well in the first half of the year because of the overweight exposure it had to stocks in the health care industry. The company is looking at options-based strategies for one of its existing overweight exposures, ChinaWell Inc. (CWI). CWI has an initial stock price ( S 0) of CNY127.50, pays no dividend and the risk-free interest rate is 4%. You have recently been hired as an analyst at SCSI to review a number of strategies for CWI's stock.

South China Sprintwyck Investments (SCSI)

EN: * 1. One strategy under consideration by SCSI is selling a three-month call on CWI stock. If you see that there is a traded price for a put with the same underlying and expiration date as the call, which of the following statements best describes the calculation of the no-arbitrage call price?*

South China Sprintwyck Investments (SCSI) có một stock portfolio Trung Quốc đã hoạt động tốt trong nửa đầu năm nhờ mức độ overweight đối với các cổ phiếu trong ngành health care. Công ty đang xem xét các chiến lược dựa trên options cho một trong những khoản overweight hiện có, ChinaWell Inc. (CWI). CWI có initial stock price ( S 0) là CNY127.50, không trả dividend và risk-free interest rate là 4%. Bạn vừa được tuyển dụng làm analyst tại SCSI để xem xét một số chiến lược đối với cổ phiếu của CWI.

EN: - A. Using put–call parity, the call price may be derived by subtracting the traded put price from the underlying price less the present value of the exercise price.

• 1.* Một chiến lược đang được SCSI xem xét là bán một call kỳ hạn ba tháng trên cổ phiếu CWI. Nếu bạn thấy có traded price cho một put có cùng underlying và expiration date với call, phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất cách tính no-arbitrage call price?

  EN: - B. Using put–call parity, the call price may be derived by adding the traded put price to the underlying price less the present value of the exercise price.

  • A. Sử dụng put–call parity, call price có thể được suy ra bằng cách trừ traded put price khỏi underlying price trừ đi present value của exercise price.

EN: - C. The price of the call can be obtained using put-call parity through the process of adding the price of the traded put to the discounted value of the exercise price minus the underlying price.

• B. Sử dụng put–call parity, call price có thể được suy ra bằng cách cộng traded put price vào underlying price trừ đi present value của exercise price.

EN: * 2. In light of the sudden increase in CWI share price, SCSI suggests its clients employ protective puts as their strategy for the next three to six months. Given that you find out that a six-month CWI call option having exercise price CNY120 is being sold at CNY22.60, which of the following figures is closest to your expected price for the six-month put option?*

• C. Giá của call có thể được xác định bằng put-call parity thông qua việc cộng giá của traded put vào discounted value của exercise price trừ đi underlying price.

  EN: - A. CNY15.10

• 2.* Trước sự tăng đột ngột của CWI share price, SCSI đề xuất các clients sử dụng protective puts làm chiến lược cho ba đến sáu tháng tới. Biết rằng một CWI call option kỳ hạn sáu tháng có exercise price CNY120 đang được bán với giá CNY22.60, con số nào sau đây gần nhất với mức giá kỳ vọng của bạn đối với six-month put option?

  EN: - B. CNY9.83

  • A. CNY15.10

  EN: - C. CNY12.77

  • B. CNY9.83

EN: * 3. You find out that the six-month put option on CWI shares is being overvalued compared to the no-arbitrage price calculated in Question 2 above. Which of the following describes how you would go about earning a riskless arbitrage profit?*

• C. CNY12.77

EN: - A. Selling the six-month put option and selling short the CWI stock while using the cash generated from selling put to invest in a call option and risk-free bonds.

• 3.* Bạn phát hiện rằng six-month put option trên cổ phiếu CWI đang bị định giá quá cao so với no-arbitrage price được tính ở Câu 2 ở trên. Phương án nào sau đây mô tả cách bạn có thể tạo ra riskless arbitrage profit?

EN: - B. Selling the six-month put option and buying a call option and borrowing at the risk-free rate to purchase CWI stock.

• A. Bán six-month put option và bán short cổ phiếu CWI, đồng thời sử dụng cash thu được từ việc bán put để đầu tư vào một call option và risk-free bonds.

EN: - C. Write the six-month put option, purchase a call option, make a forward purchase of CWI stock, and purchase a risk-free bond.

• B. Bán six-month put option, mua một call option và vay tại risk-free rate để mua cổ phiếu CWI.

• C. Write six-month put option, mua một call option, thực hiện forward purchase cổ phiếu CWI và mua một risk-free bond.

Bài tập thực hành

EN: * 4. In the most recent research note written about CWI by the equity analyst of SCSI, she makes mention of CWI’s leverage ratio as the reason for her bearish opinion on the stock. Using the concept of put-call parity applied to the value of the firm, which statement below would correctly describe the outlook of CWI using options?*

EN: - A. The stockholder payoff has gotten better compared to the debtholder, since the debtholder has sold a put option on the firm’s value, and the value of the firm has risen.

• 4.* Trong research note gần đây nhất về CWI do equity analyst của SCSI viết, cô đề cập đến leverage ratio của CWI là lý do cho bearish opinion của mình về cổ phiếu. Sử dụng khái niệm put-call parity áp dụng cho giá trị của firm, phát biểu nào dưới đây sẽ mô tả đúng outlook của CWI bằng options?

EN: - B. The debtholder payoff has worsened compared to the stockholders, since the debtholder has become short a put option on the value of the firm equivalent to the value of debt, and the value of debt has increased.

• A. Stockholder payoff đã tốt hơn so với debtholder, vì debtholder đã bán một put option trên firm value và giá trị của firm đã tăng.

EN: - C. The stockholder payoff has gotten better compared to the debtholders, since the debtholders have sold a call option on the firm’s assets to the stockholder.

• B. Debtholder payoff đã xấu đi so với stockholders, vì debtholder đã trở thành short một put option trên firm value có giá trị tương đương với debt, và giá trị của debt đã tăng.

EN: * 5. Which of the following best describes how SCSI could use a forward contract on CWI and call and put options on CWI to generate a risk-free bond return?*

• C. Stockholder payoff đã tốt hơn so với debtholders, vì debtholders đã bán một call option trên assets của firm cho stockholder.

EN: - A. Write a forward contract on CWI, write a put option on CWI, and buy a call option on CWI

• 5.* Phương án nào sau đây mô tả đúng nhất cách SCSI có thể sử dụng một forward contract trên CWI cùng với call và put options trên CWI để tạo ra risk-free bond return?

EN: - B. Buy a forward contract on CWI, buy a put option on CWI, and write a call option on CWI

• A. Write một forward contract trên CWI, write một put option trên CWI và mua một call option trên CWI

EN: - C. Buy a forward contract on CWI, buy a put option on CWI, and buy a call option on CWI

• B. Mua một forward contract trên CWI, mua một put option trên CWI và write một call option trên CWI

EN: * 6. SCSI notes that a 3-month call option on CWI with exercise price CNY 130 has a premium of CNY 3. The 3-month forward contract on CWI has a forward price of CNY 128.76. Which of the following choices is nearest to the premium of the 3-month put option on CWI with exercise price CNY 130?*

• C. Mua một forward contract trên CWI, mua một put option trên CWI và mua một call option trên CWI

  EN: - A. CNY 4.20

• 6.* SCSI lưu ý rằng một call option kỳ hạn 3 tháng trên CWI với exercise price CNY 130 có premium là CNY 3. Forward contract kỳ hạn 3 tháng trên CWI có forward price là CNY 128.76. Lựa chọn nào sau đây gần nhất với premium của put option kỳ hạn 3 tháng trên CWI với exercise price CNY 130?

  EN: - B. CNY 1.20

  • A. CNY 4.20

  EN: - C. CNY 0.50

  • B. CNY 1.20

  • C. CNY 0.50

Tái tạo Option bằng Put–Call Parity

LỜI GIẢI

1. EN: The correct answer is B. From Equation 1, the put–call parity relationship is S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

EN: These can then be arranged such that c 0 = S 0 + p 0 – X (1 + r )–T , showing that the call price could be determined by adding the put price to the underlying price minus the present value of the exercise price.

Đáp án đúng là B. Từ Equation 1, mối quan hệ put–call parity là S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

Sau đó, các biểu thức này có thể được sắp xếp lại thành c 0 = S 0 + p 0 – X (1 + r )–T , cho thấy call price có thể được xác định bằng cách cộng put price vào underlying price rồi trừ đi present value của exercise price.

2. EN: The correct answer is C. If c 0 = CNY22.60, S 0 = CNY127.50, and PV( X ) = CNY117.67 (= 120(1.04)–0.5 ), we can solve for p 0 using put–call parity: S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

Đáp án đúng là C. Nếu c 0 = CNY22.60, S 0 = CNY127.50 và PV( X ) = CNY117.67 (= 120(1.04)–0.5 ), chúng ta có thể giải p 0 bằng cách sử dụng put–call parity: S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

p 0 = c 0 + X (1 + r )–T – S 0.

CNY12.77 = 22.60 + 117.67 – 127.50.

3. EN: The correct answer is A. Since the put option is overpriced, we will sell it to capture the arbitrage profit represented by the difference between the selling price and the no arbitrage price. From the put-call parity relation, which is given by Equation 1,

Đáp án đúng là A. Vì put option đang bị định giá quá cao, chúng ta sẽ bán nó để thu arbitrage profit được thể hiện bằng chênh lệch giữa selling price và no arbitrage price. Từ mối quan hệ put-call parity, được cho bởi Equation 1,

EN: we could also arrange this equation to show that the value of the put option is the same as that of a call option, a risk-free bond, and the short selling of CWI stock:

• S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T .

chúng ta cũng có thể sắp xếp lại phương trình này để cho thấy giá trị của put option bằng giá trị của một call option, một risk-free bond và việc short selling cổ phiếu CWI:

EN: This is what Answer A captures, while Answer B entails having a long cash position in CWI and Answer C entails having a synthetic long position in CWI stock.

p 0 = c 0 + X (1 + r )–T – S 0.

Đây là điều mà Answer A thể hiện, trong khi Answer B bao hàm việc nắm giữ long cash position trong CWI và Answer C bao hàm việc nắm giữ synthetic long position trong cổ phiếu CWI.

4. EN: The correct answer is B. The payoff of the debtholders has worsened relative to the payoffs of the shareholders since they have essentially sold a put option on the value of the company equivalent to their value of debt, which has gone up in value.

EN: - The payoff to the debtholder is min(D, VT) = D – max(0, D – VT ), which is the face value of the debt (D ) minus the put option on the value of the business ( VT ) with strike price equal to D. Choice A is wrong since the debtholder, not the stockholders, has sold the put option. C is also wrong, since the stockholder has a call option; however, the call option is not sold by the debtholder.

Đáp án đúng là B. Payoff của debtholders đã xấu đi so với payoffs của shareholders vì về cơ bản họ đã bán một put option trên giá trị của công ty, tương ứng với giá trị khoản nợ của họ, mà giá trị của khoản nợ này đã tăng lên.

• Payoff dành cho debtholder là min(D, VT) = D – max(0, D – VT ), tức là face value của khoản nợ (D ) trừ put option trên giá trị của doanh nghiệp ( VT ) với strike price bằng D. Choice A sai vì debtholder, chứ không phải stockholders, là bên đã bán put option. C cũng sai vì stockholder có một call option; tuy nhiên, call option không phải do debtholder bán.

5. EN: B is correct. Using the put–call forward parity equation as follows: F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T

EN: And re-arranging the equation to get the riskless bond, we have the following equation:

B là đáp án đúng. Sử dụng phương trình put–call forward parity như sau: F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T

Và khi sắp xếp lại phương trình để tìm riskless bond, chúng ta có phương trình sau:

EN: The forward contract and the put option have both positive signs, meaning that they have long positions. The negative sign on the call option denotes short position.

• F 0( T )(1 + r )–T + p 0 – c 0 = X (1 + r )–T .

Forward contract và put option đều có dấu dương, nghĩa là chúng có long positions. Dấu âm trên call option biểu thị short position.

6. EN: A is correct. The answer may be worked out using the put-call parity or put-call forward parity. Put-call forward parity can be used to prove the answer.

A là đáp án đúng. Đáp án có thể được tính bằng cách sử dụng put-call parity hoặc put-call forward parity. Put-call forward parity có thể được sử dụng để chứng minh đáp án.

• F 0( T )(1 + r )–T + p 0 = c 0 + X (1 + r )–T 128.76(1.04)–0.25 + p 0 = 3 + 130(1.04)–0.25

127.50 + p 0 = 131.73 p 0 = 4.23.