Valuing a Derivative Using a One Period Binomial Model

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

mô tả cách định giá một derivative bằng one-period binomial model và giải thích ý tưởng về risk neutrality trong derivatives valuation

Trong các bài học trước, đã mô tả cách no-arbitrage principle và replication có thể được áp dụng để định giá và xác định giá của derivatives. Một mối quan hệ put-call parity đã được thiết lập giữa giá của put option, call option, underlying asset và risk-free asset. Mối quan hệ put-call parity được mở rộng sang forward contracts bằng cách xem xét tính tương đương giữa một vị thế trong underlying asset và một vị thế forward contract kết hợp với risk-free bond.

Việc định giá forward commitments không đòi hỏi bất kỳ giả định nào về giá của underlying asset trong tương lai. Tuy nhiên, việc định giá options và các contingent claims khác đòi hỏi một mô hình về price dynamics của underlying asset trong tương lai. Bài học đầu tiên sẽ trình bày một trong những mô hình phổ biến nhất được sử dụng để định giá European put và call options - binomial model. Phiên bản one-period đơn giản sẽ được trình bày, có thể dễ dàng khái quát hóa cho trường hợp multi-periods và được sử dụng để định giá các contingent claims phức tạp. Trong bài học thứ hai, sẽ minh họa cách risk-neutral probabilities được sử dụng trong derivatives pricing.

• A one-period binomial model định giá contingent claims (chẳng hạn như options) theo giả định rằng giá của underlying asset hoặc sẽ tăng theo R__u (gross return up) hoặc giảm theo R__d (gross return down) trong một kỳ, với một kỳ bằng ngày đáo hạn của derivative contract.

• Binomial model kết hợp một option và underlying asset để xây dựng một riskless portfolio bằng cách thiết lập hedge ratio giữa option và underlying security.

CFA Institute xin gửi lời cảm ơn đến Don Chance, PhD, CFA, vì những đóng góp của ông cho chương này, trong đó có nội dung được điều chỉnh từ nội dung đã công bố trong Derivative Markets and Instruments và được đưa vào chương trình CFA® Program năm 2022.

Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

• Portfolio cần phải đạt risk-free rate of return; nếu không, sẽ tồn tại các cơ hội arbitrage.

• Định giá derivative bằng cách sử dụng risk-free portfolio approach có nghĩa là tính expected payoff của option, có tính đến risk-neutral probabilities thay vì các xác suất thực tế.

• Không cần biết xác suất tăng hoặc giảm của underlying price và expected return của underlying khi định giá một option.

• One-period binomial model có thể được mở rộng thành nhiều kỳ để định giá các claims phức tạp hơn.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi trên được thiết lập nhằm hướng dẫn bạn đánh giá kiến thức hiện tại của mình về Learning Module đang học.

1. Trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào mô tả đúng nhất binomial model trong option pricing?

• A. Mô hình sử dụng xác suất thực tế của việc giá stocks tăng hoặc giảm.

• B. Mô hình liên quan đến việc tạo ra risk-free portfolio thông qua sự kết hợp tối ưu giữa option và stock theo hedge ratio.

• C. Mô hình gần như tương tự các mô hình khác như forward và futures.

Lời giải:

B là đáp án đúng. Contingent claims, chẳng hạn như options, cần có việc mô hình hóa diễn biến giá trong tương lai của underlying asset vì không giống forwards và futures, options có asymmetric payoffs. Việc mô hình hóa diễn biến giá trong tương lai cho phép kết hợp option và underlying asset của nó thành một risk-free portfolio. Chi phí của portfolio, trong đó tỷ lệ giữa option và underlying asset được xác định bởi hedge ratio, xác định no-arbitrage price của option. A không phải đáp án đúng vì các xác suất thực tế của biến động giá tăng và giảm không đóng vai trò trong mô hình. C không phải đáp án đúng vì options có asymmetric payoffs; do đó, chúng cần được xử lý khác với các instruments có symmetric payoff.

2. Khi sử dụng one-period binomial model để định giá một call option, việc xác suất thực tế của một đợt tăng giá của underlying asset tăng lên sẽ dẫn đến

   • A. giảm.

   • B. giữ nguyên.

   • C. tăng.

Lời giải:

giá của call option giữ nguyên. Các xác suất thực tế (real-world) của một biến động giá tăng hoặc giảm trong binomial model không ảnh hưởng đến (no-arbitrage) price of an option.

3. Hãy xác định mỗi thay đổi trong các yếu tố sau có tác động nào đến no-arbitrage price của một put option dựa trên one-period binomial model:

4. Xác suất của một biến động giá tăng, q, tăng. A. Giá put option giữ nguyên

5. Chênh lệch giữa up factor và down factor, R__u − R__d, tăng. B. Giá put option tăng

6. Risk-neutral probability của giá, π, tăng. C. Giá put option giảm

Lời giải:

1. Đáp án đúng là A. Xác suất của một biến động giá tăng, q, không ảnh hưởng đến giá trị trong one-period binomial option pricing model. Do đó, thay đổi này sẽ không ảnh hưởng đến giá của một put option và giá của put option sẽ giữ nguyên.

2. Đáp án đúng là B. Chênh lệch giữa up factor và down factor, R__u – R__d, làm tăng phạm vi các mức giá tiềm năng, khiến option có nhiều khả năng kết thúc in the money hơn. Điều này sẽ làm tăng giá của một put option.

3. Đáp án đúng là C. Risk-neutral probability của giá, π, ảnh hưởng đến xác suất giá của underlying tăng lên. π càng lớn thì put option càng ít có khả năng kết thúc in the money.

4. Trong one-period binomial model, giá của underlying asset có thể thay đổi từ $16.00 hiện tại thành$20.00 hoặc $12.00 vào cuối kỳ. Với risk-free rate of return theo kỳ là 5%, lựa chọn nào sau đây là risk-neutral probability của việc giá tăng?

A. 0.50

B. 0.60

C. 0.625

Lời giải: B là đáp án đúng. Việc tăng từ $16.00 lên$20.00 hoặc giảm từ $16.00 xuống$12.00 tương ứng với: R__u = $20.00/$16.00 = 1.25 và R__d = $12.00/$16.00 = 0.75. Sử dụng risk-neutral probability (π) của việc giá tăng: π = (1 + r – R__d )/( R__u – R__d ) = (1 + 0.05 – 0.75)/(1.25 – 0.75) = 0.3/0.5 = 0.60.

cách định giá derivatives trong one-period binomial model

BINOMIAL VALUATION 2

Law of one price ngụ ý rằng khi payoffs từ hai financial assets (hoặc hai portfolios of assets) tại một thời điểm nào đó trong tương lai giống nhau trong mọi kịch bản, giá trị của hai financial assets đó phải bằng nhau today. Forward contracts mang lại các payoffs đối xứng tại một mức giá đã được xác định trước trong tương lai; do đó, giá trị của chúng không phụ thuộc vào diễn biến giá trong tương lai của underlying asset.

Do asymmetric payoff của options và contingent claims, việc định giá trở nên khó khăn. Giả định về giá trong tương lai của asset là một trong những đặc điểm quan trọng của option valuation vì có nhiều payoffs khác nhau cho các kịch bản khác nhau, mà khả năng xảy ra sẽ thay đổi theo thời gian. Do đó, valuation của option bao gồm việc mô hình hóa diễn biến giá trong tương lai của underlying asset của option.

Binomial model được sử dụng rộng rãi để xác định no-arbitrage price của option. Một trong những ưu điểm của mô hình này là tính đơn giản vì chúng ta chỉ cần đưa ra các giả định về mức độ thay đổi của underlying asset theo hướng tăng và giảm.

cách định giá một derivative bằng one-period binomial model

Nhìn chung, ý tưởng đằng sau binomial model như sau: Trong một khoảng thời gian cụ thể, giá asset có thể tăng (u) lên S 1_u_ > S 0 hoặc giảm (d) xuống S 1_d_ < S 0. Không cần có thông tin về các biến động giá trong tương lai vì biến động giá asset được tạo ra bởi một random variable. Sự chuyển đổi từ S 0 sang S 1_u_ hoặc S 1_d_ có thể được xem là kết quả của một Bernoulli trial.

Gọi q là xác suất của một biến động giá tăng và 1 − q là xác suất của một biến động giá giảm. Trong trường hợp chỉ có hai kết quả có thể xảy ra - một biến động giá tăng và một biến động giá giảm - tổng xác suất bằng 1. Sẽ hữu ích khi xác định gross return của một biến động giá tăng hoặc giảm như sau:

Thoạt nhìn, có vẻ như xác suất q cực kỳ quan trọng trong việc định giá option trên một underlying asset cụ thể. Tuy nhiên, không cần biết giá trị của q; chỉ cần biết giá trị của S 1_u_ và S 1_d_. Chênh lệch giữa S 1_u_ và S 1_d_ đại diện cho “spread” của các kết quả giá. Việc xác định các giá trị của S 1_u_ và S 1_d_ (hoặc R__u S 0 và R__d S 0) có nghĩa là xác định volatility của underlying asset - một parameter quan trọng đối với option pricing như đã được trình bày trước đó. Rõ ràng, mức độ của các biến động giá tăng và giảm cần tương ứng với volatility của underlying asset, như được thể hiện trong Exhibit 1.

Exhibit 1: Biến động giá của Underlying Asset

Binomial model có thể được khái quát hóa cho nhiều kỳ, trong đó giá underlying asset có thể tăng hoặc giảm ở mỗi kỳ. Việc khái quát hóa này dẫn đến việc xây dựng một binomial tree, có thể được sử dụng để mô hình hóa diễn biến giá thực tế hơn. Để giải thích phương pháp option pricing, chỉ cần xem xét one-period binomial model.

minh họa việc định giá một derivative bằng one-period binomial model

Xét một European call option một năm có exercise price (X) là €100. Spot price của underlying (S 0) là €80. One-period binomial model trùng với thời hạn của option (một năm).

Binomial model xác định phạm vi giá của underlying trong một năm, tại đó giá trị của option được biết. Ngoài ra, giả sử rằng S 1_d_ < X < S 1u (exercise price của option [X = €100] nằm giữa các mức giá của underlying trong hai trường hợp), chẳng hạn, đặt S 1_d_ = €60 và S 1u = €110. Do đó, R__u = 1.375 và R__d = 0.75. Giá trị của call option như sau:

• Tại t = 0, giá trị call option là c 0 .

• Tại t = 1, giá trị call option là c 1_u_ (nếu giá underlying tăng lên S 1u) hoặc c 1_d_ (nếu giá underlying giảm xuống S 1_d_).

  • Biến động tăng lên S 1****u : Call option kết thúc in-the-money

• c 1_u_ = Max (0, S 1_u_ − X) = Max (0, €110 − €100) = €10.

  • Biến động giảm xuống S 1****d : Call option hết hạn out-of-the-money

• c 1_d_ = Max (0, S 1_d_ − X) = Max (0, €60 − €100) = 0.

Exhibit 2 trình bày one-period binomial model và giá trị của underlying cũng như call option.

Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

Exhibit 2: Định giá Option bằng One-Period Binomial

Tham số duy nhất chưa biết là c 0, có thể được tính bằng replication và no-arbitrage pricing approach. Nói cách khác, giá trị của option và underlying asset trong mọi kịch bản có thể giúp hình thành một risk-free portfolio. Chẳng hạn, giả sử chúng ta bán option tại t = 0 với giá c 0 và mua h đơn vị underlying. Ký hiệu giá trị portfolio là V, ta có:

V 0 biểu thị khoản đầu tư ban đầu vào portfolio, còn V 1_u_ và V 1_d_ biểu thị giá trị của portfolio tùy theo giá underlying tăng hoặc giảm. Chúng ta phải chọn h sao cho V 1_u_ = V 1_d_ (nghĩa là giá trị của portfolio giống nhau bất kể sự thay đổi giá của underlying asset). Giá trị của tổ hợp, V 1, không phụ thuộc vào sự thay đổi giá của underlying asset. Đối với portfolio V 0, tác động của các thay đổi như sau:

• Biến động tăng từ S 0 lên S 1****u theo R****u :

  • Giá trị asset thay đổi từ €80 lên €110 theo 1.375, hay 37.5%.

  • Call option kết thúc in-the-money:

• c 1_u_ = Max (0, S 1_u_ − X) = Max (0, €110 − €100) = €10.

  • Tổng giá trị portfolio: V 1_u_ = hS 1_u_ – c 1_u_ = €110 × h − €10.

• Biến động giảm từ S 0 xuống S 1****d theo R****d :

• Giá trị asset giảm từ €80 xuống €60, hay theo 0.75, hay −25%.

  • Call option hết hạn out-of-the-money:

• c 1_d_ = Max (0, S 1_d_ − X) = Max (0, €60 − €100) = 0.

  • Tổng giá trị portfolio: V 1_d_ = hS 1_d_ – c 1_d_ = €60 × h.

Vì chúng ta tạo ra hai portfolios tại thời điểm t = 0 có payoffs giống hệt nhau khi option đáo hạn tại thời điểm t = 1, chúng ta phải giải h, tỷ lệ giữa underlying asset, S 0, và call option, c 0, sao cho V 1_u_ = V 1_d_, hoặc hS 1_u_ – c 1_u_ = hS 1_d_ – c 1_d_ . Giải h * ta được:

trong đó tất cả các giá trị ở vế phải đều đã biết tại t = 0. Equation 6 cung cấp hedge ratio của option, hay proportion của underlying asset giúp trung hòa rủi ro liên quan đến một option. Trong trường hợp call option đã bán,

Với mỗi đơn vị call option được bán, chúng ta mua 0.2 đơn vị underlying asset, hoặc với mỗi đơn vị underlying asset, chúng ta phải bán 5 call options để portfolios của chúng có giá trị bằng nhau tại t = 1. Xét hai kịch bản có thể xảy ra như sau:

■ Biến động tăng từ S 0 lên S 1****u theo R****u :

= €110 × 0.20 − €10 = €22 – 10 = €12.

■ Biến động giảm từ S 0 xuống S 1****d theo R****d :

• Tổng giá trị portfolio V 1_d_ = hS 1_d_ – c1__d = €60 × 0.20 = €12.

Các giá trị portfolio giống nhau, V 1_u_ = V 1_d_, điều này có hai hàm ý:

• 1.* Chúng ta có thể sử dụng bất kỳ portfolio nào để tính giá trị của derivative, và

2. Return V 1_u_ / V 0 = V 1_d_ / V0 phải bằng một cộng với risk-free rate.

Kết quả được trình bày trong Exhibit 3 dưới đây.

Exhibit 3: Giá trị của Hedged Portfolio

Chiến lược arbitrage này không chỉ áp dụng riêng cho call option mà còn có thể được sử dụng cho bất kỳ derivative position nào có payoff là một hàm chỉ phụ thuộc vào asset value tại t = 1.

Để bảo đảm không có arbitrage, portfolio value tại t = 1,

• V 1 = h × R__u S 0 − c 1_u_ = h × R__d S 0 − c 1_d_ ,

cần được discounted theo risk-free rate để:

_1 + r.

Từ no-arbitrage pricing và sure payoff của portfolio, V 1, giá trị của call option có thể được biểu diễn như sau:

Định giá một Derivative bằng One-Period Binomial Model

c 0 = h × S 0 − V 1( 1 + r)−1 . (7)

Thay dữ liệu trên vào thông tin được cung cấp trong ví dụ trước, ta biết rằng V 1 = €12. Với annual risk-free rate là 5%:

c 0 = h × S 0 − V 1(1 + r)−1

Do đó, giá của call option c 0 bằng €4.57. Một nhà đầu tư có thể kiểm chứng return on investment bằng risk-free rate of return ( r = 5%) bằng cách so sánh giá trị của initial portfolio V 0 và giá trị của portfolio sau một kỳ V 1 (lưu ý rằng V 1_u_ = V 1_d_ = €12):

V 0 = h × S 0 – c 0

V 0 = €11.43 = €16 - €4.57 V 1 = V 0(1 + r ) (8)

V 1 = €12 = €11.43 (1 + 0.5)

VÍ DỤ 1

Hightest Capital

Hightest Capital cho rằng một cổ phiếu không trả dividend có current market price là $50. Công ty đang cân nhắc bán một European call option kỳ hạn một năm với exercise price là$55. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

• 1.* Giả sử giá cổ phiếu sẽ tăng hoặc giảm 20% trong năm tới, Hightest cho rằng họ nên nhận được bao nhiêu từ việc bán call option? Risk-free rate of return là 5%.

• 2.* Giá call option sẽ bị ảnh hưởng như thế nào nếu giá cổ phiếu tăng hoặc giảm 40% trong năm tới?

• 3. Nếu Hightest lạc quan hơn về future price của cổ phiếu (nói cách khác, nếu họ cho rằng khả năng option ở trạng thái in-the-money cao hơn), điều gì sẽ xảy ra với expected price của call option?

• 4. Giá của một put option có expiration date một năm và exercise price là $55 sẽ là bao nhiêu, giả sử expected movement của giá cổ phiếu là 20% và 40%?

Lời giải câu 1:

Giả sử initial price của underlying stock là S 0 = 50 và strike price của call option là _X =_ 55. Trong trường hợp giá tăng hoặc giảm 20%, giá sẽ đạt:

S 1_u_ = R__u S 0 = 1.2 × $50 =$60.

$60 nếu giá tăng và$40 nếu giá giảm. Vì payoff từ call option tại thời điểm maturity bằng Max(0, ST − X ), ta có:

• c 1_u_ = Max (0, S 1_u_ − X ) = Max (0, $60 −$55) = $5.

giá trị của call option là $5 nếu underlying price tăng và bằng$0 nếu giá giảm. Hedge ratio của option là:

Một risk-free portfolio có thể được hình thành bằng cách bán một call option và mua 0.25 underlying units hôm nay. Giá trị của hedged portfolio tại maturity là:

Có thể sử dụng V 1_u_ hoặc V 1_d_ để xác định certain value, V 1, và do đó current value của hedged portfolio là:

V 0 = V 1(1 + r )−1 = $10.00 × 1.05−1 =$9.52.

Giá trị của call option là:

No-arbitrage value của call option là $2.98. Nếu không, các nhà đầu tư sẽ có thể hình thành một risk-free portfolio với option và underlying asset, tạo ra return lớn hơn risk-free rate.

Lưu ý rằng trong trường hợp cụ thể này, hedge ratio là dương vì derivative được bán trong khi underlying được mua. Trong trường hợp hedge ratio âm, cả derivative và underlying đều được mua hoặc bán đồng thời. Hơn nữa, mặc dù hedge ratio được biểu thị theo tỷ phần của underlying units, options thường có quy mô lớn, cho phép giao dịch theo số lượng underlying units tròn. Tỷ lệ giữa options và underlying units (4:1 trong trường hợp này) phải được duy trì trong portfolio.

Lời giải câu 2:

Với mức thay đổi 40% của giá cổ phiếu, payoff của call option được xác định như sau:

Với giá cổ phiếu thay đổi 40%, giá trị của perfectly hedged portfolio sẽ là:

V 1 = V 1_u_ = h* S 1_u_ − c 1_u_ = 0.375 × $70 −$15 = 11.25. _V_ 1 = _V_ 1_d_ = _h_* _S_ 1_d_ − _c_ 1_d_ = 0.375 × 30 − $0 =$11.25. Present value của hedged position tại t = 0 là:

V 0 = V 1(1 + r)−1 = $11.25 × 1.05−1 =$10.71. Khi đó, giá call option tại t = 0 là:

c 0 = h * S 0 − V 0 = 0.375 × $50 −$10.71 = $18.75 −$10.71 = $8.04.

Expected change của giá càng lớn thì volatility càng cao. Mức độ biến động của thay đổi giá trong kỳ tiếp theo càng lớn thì giá trị của call option càng cao.

Lời giải cho câu 3:

Vì xác suất của biến động tăng hoặc giảm của underlying asset không ảnh hưởng đến arbitrage-free price của option, nên mức giá mà Hightest tính cho option phải giữ nguyên. Hightest có thể hedge rủi ro từ việc viết call option bằng cách mua h * số lượng assets, do đó không tạo ra bất kỳ ảnh hưởng nào đến hedge position.

Lời giải cho câu 4:

Dựa trên công thức put-call parity là c 0 − p 0 = S 0 − X (1 + r )−T , giải theo put price, trong đó stock price thay đổi 20% và call price là $2.98, giá trị của put price sẽ là:

p 0 = c 0 − S 0 + X (1 + r )−T = $2.98 −$50 + $55(1 + 0.05)−1 =$5.36.

Nếu giá của underlying asset biến động 40%, và giá của call option là $8.04, thì giá của put option sẽ là:

p 0 = c 0 − S 0 + X (1 + r )−T = $8.04 −$50 + $55(1 + 0.05)−1 =$10.42.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Binomial Valuation of Options

1. EN: Fill in the blanks with the correct answers: In order to value a contingent claim like an option, a model for the ____________ of the underlying asset is necessary, because of the ______________ of the contingent claim.

Điền vào chỗ trống bằng các đáp án đúng: Để định giá một contingent claim như option, cần có một mô hình cho ____________ của underlying asset, bởi vì ______________ của contingent claim.

EN: In order to value a contingent claim like an option, a model for the future price behavior of the underlying asset is necessary, because of the asymmetric of the contingent claim.

Lời giải:

Để định giá một contingent claim như option, cần có một mô hình cho future price behavior của underlying asset, bởi vì tính asymmetric của contingent claim.

2. EN: Explain the primary difference in pricing a contingent claim and a forward commitment.

Giải thích sự khác biệt chủ yếu giữa việc định giá một contingent claim và một forward commitment.

EN: Since the payoff from a forward commitment is symmetric (that is, it involves the obligation to transact at maturity), it can be perfectly hedged without the need for modeling the future price behavior of the underlying asset. But since the payoff from a contingent claim is asymmetric (that is, it involves only the right but not the obligation to transact at maturity), the future price behavior has to be modeled.

Lời giải:

Vì payoff từ một forward commitment là symmetric (nghĩa là nó bao gồm nghĩa vụ phải thực hiện giao dịch tại maturity), nên nó có thể được hedge hoàn hảo mà không cần mô hình hóa future price behavior của underlying asset. Nhưng vì payoff từ một contingent claim là asymmetric (nghĩa là nó chỉ bao gồm quyền, nhưng không bao gồm nghĩa vụ phải thực hiện giao dịch tại maturity), nên future price behavior phải được mô hình hóa.

3. EN: If an at-the-money put option is valued using a one-period binomial pricing model, what would be the most accurate statement below regarding the put option? The option will:

Nếu một at-the-money put option được định giá bằng one-period binomial pricing model, phát biểu nào dưới đây là chính xác nhất về put option? Option sẽ:

• EN: A. in-the-money if the price moves up.

  A. in-the-money nếu giá tăng.

• EN: B. out-of-the-money if the price moves up.

  B. out-of-the-money nếu giá tăng.

• EN: C. at-the-money if the price moves up or down.

  C. at-the-money nếu giá tăng hoặc giảm.

*EN: The right choice would be B since the option will be out-of-the-money when there is a rise in the price. In at-the-money put option, the strike price is equal to the underlying price. Hence, a fall in the price will cause the put option will move in the money , while an increase in the price will lead to the put option moving out of the money. *

Lời giải:

Đáp án đúng là B vì option sẽ out-of-the-money khi giá tăng. Với at-the-money put option, strike price bằng underlying price. Do đó, giá giảm sẽ khiến put option chuyển sang in the money, trong khi giá tăng sẽ khiến put option chuyển sang out of the money.

4. EN: Discuss how an increase in the up gross return, R__u, and/or a decrease in the down gross return, R__d, affect the price of a call and a put option in a one-period binomial model.

Thảo luận về việc sự gia tăng của up gross return, R__u, và/hoặc sự giảm của down gross return, R__d, ảnh hưởng như thế nào đến giá của call và put option trong one-period binomial model.

Lời giải: EN: In a one-period binomial model, the volatility of the underlying asset is measured by the difference between the up gross return, R__u, and the down gross return, R__d. As a result, when either the up gross return increases or the down gross return decreases (or both of these factors change), the volatility of the underlying asset is going to be higher. If all else remains equal, then the price of both call and put options will increase when the volatility of the underlying asset is expected to be higher.

Trong one-period binomial model, volatility của underlying asset được đo bằng chênh lệch giữa up gross return, R__u, và down gross return, R__d. Do đó, khi up gross return tăng hoặc down gross return giảm (hoặc cả hai yếu tố này cùng thay đổi), volatility của underlying asset sẽ cao hơn. Nếu mọi yếu tố khác không đổi, thì giá của cả call và put options sẽ tăng khi volatility của underlying asset được kỳ vọng cao hơn.

5. EN: There is a put option for a stock that does not pay dividends, with an exercise price, X, of £21 and six months to maturity. Currently, the stock price, _S_0, is £20, and an investor believes that the stock’s price in six months will either increase by 10% or fall by 10%. a. Explain how the investor could construct a perfect hedge with the help of the put option and the underlying stock. b. What will be the value of the hedge portfolio if the price of the stock rises or falls (with the risk-free rate equal to 4%)? c. Calculate the no-arbitrage price of the put option.

Có một put option đối với một stock không trả dividends, với exercise price, X, là £21 và còn sáu tháng đến maturity. Hiện tại, stock price, _S_0, là £20, và một investor tin rằng giá của stock trong sáu tháng tới sẽ tăng 10% hoặc giảm 10%. a. Giải thích cách investor có thể xây dựng một perfect hedge với sự trợ giúp của put option và underlying stock. b. Giá trị của hedge portfolio sẽ là bao nhiêu nếu giá stock tăng hoặc giảm (với risk-free rate bằng 4%)? c. Tính no-arbitrage price của put option.

Lời giải: a. EN: Let us denote the current price of the underlying stock as _S_0 = £20.00 and the exercise price of the put option as X = £21.00. When the price of the stock rises by 10%, the following takes place: S_1_u = R__u _S_0 = 1.1 × £20.00 = £22.00. When the price of the stock falls by 10%, the following takes place: S_1_d = R__d _S_0 = 0.9 × £20.00 = £18.00. Since the payoff from the put option at expiry is Max (0, X − _S_T): p_1_u = Max (0, X − S_1_u) = Max (0, £21.00 − £22.00) = £0. p_1_d = Max (0, X − S_1_d) = Max (0, £21.00 − £18.00) = £3.00.

EN: The put option will have a value of £ 3.00 if the stock declines by 10%, but will have zero value if the stock increases by 10%. The hedge ratio of the option is:

Ký hiệu current price của underlying stock là _S_0 = £20.00 và exercise price của put option là X = £21.00. Khi giá stock tăng 10%, ta có: S_1_u = R__u _S_0 = 1.1 × £20.00 = £22.00. Khi giá stock giảm 10%, ta có: S_1_d = R__d _S_0 = 0.9 × £20.00 = £18.00. Vì payoff từ put option tại expiry là Max (0, X − _S_T): p_1_u = Max (0, X − S_1_u) = Max (0, £21.00 − £22.00) = £0. p_1_d = Max (0, X − S_1_d) = Max (0, £21.00 − £18.00) = £3.00.

Put option sẽ có giá trị £ 3.00 nếu stock giảm 10%, nhưng sẽ có giá trị bằng 0 nếu stock tăng 10%. Hedge ratio của option là:

EN: Thus, for riskless investment, one can purchase a put option along with 0.75 units of the asset.

EN: b. At the maturity date, the value of the perfectly hedged portfolio will be:

Do đó, để có một khoản đầu tư riskless, có thể mua một put option cùng với 0.75 đơn vị của asset.

b. Tại maturity date, giá trị của perfectly hedged portfolio sẽ là:

V 1 = V 1_u_ = h* S 1_u_ + p 1_u_ = 0.75 × £22 + £0 = £16.50.

EN: Using either V 1_u_ or V 1_d_ to calculate the value of the certain asset V 1, the value of the hedged position today is:

V 1 = V 1_d_ = h* S 1_d_ + p 1_d_ = 0.75 × £18 + £3.00 = £16.50.

Sử dụng V 1_u_ hoặc V 1_d_ để tính giá trị của certain asset V 1, giá trị của hedged position hôm nay là:

• EN: c. The price of the put option is:

• c. Giá của put option là:

EN: 6. Determine the correct answers to fill in the blanks: When the _______________ applies, the rate of return on all (real or synthetic) riskfree assets should equal the __________.

p 0 = V 0 − h * S 0− = £16.18 − 0.75 × £20 = £16.18 − £15 = £1.18. The no-arbitrage price of the put option should be £1.18.

Xác định các đáp án đúng để điền vào chỗ trống: Khi _______________ được áp dụng, rate of return trên tất cả các riskfree assets (real hoặc synthetic) phải bằng __________.

Lời giải:

Theo nguyên tắc the law of one price, return từ bất kỳ khoản đầu tư riskless nào (dù là real hay synthetic) đều phải bằng riskless rate.

5 RISK NEUTRALITY

mô tả khái niệm risk neutrality trong derivatives pricing

Như đã đề cập trong bài học trước, giá trị của một option không phụ thuộc vào xác suất thực tế của việc giá underlying asset tăng hay giảm. Nhận thức này là một bước quan trọng giúp options trở nên phổ biến hơn vì mọi người có thể đi đến thống nhất về giá trị của một option cụ thể. Như bạn sẽ thấy trong bài học này, giá của options phụ thuộc vào volatility kỳ vọng - tức là gross rates R__u và R__d.

Chúng ta có thể mở rộng sự phụ thuộc của option value vào portfolio value theo Equation 5 trong bài học trước bằng cách sử dụng ví dụ về call option c 0 như dưới đây:

Giá trị của call option hôm nay, c 0, được xác định là present value của option tại expiration, c 1_u_ và c 1_d_, tại risk-free rate, r. Từ phương trình trên, chúng ta thấy derivative value có sự tương đồng với bất kỳ asset nào khác vì nó sẽ bằng present value của expected future cash flow. Future cash flow trong bối cảnh này được giả định và sẽ nhất quán với risk-neutral rate of returns của underlying.

risk-neutral probability (π) là xác suất được xác định trong bối cảnh binomial option pricing, theo đó discounted weighted sum của các expected values của underlying, S 1_u_ = R__u S 0 và S 1_d_ = R__d S 0, trở nên bằng current price của option. Cụ thể, risk-neutral probability được xác định bằng cách sử dụng risk-free rate cùng với assumed up gross return và down gross return của underlying như trong Equation 7.

Cụ thể hơn, π là risk-neutral probability của việc giá underlying tăng lên S 1_u_ = R__u S 0, và (1 − π) là xác suất của việc giá giảm xuống S 1_d_ = R__d S 0.

Thay các dữ liệu từ ví dụ trước của chúng ta, trong đó R__u S 0 = €110, R__d S 0 = €60, S 0 = €80 và X = €100, R__u = 1.375 và R__d = 0.75, đồng thời giả định annual risk-free rate là 5%:

=[0.48 × Max(0, €110 − €100) + 0.52 × Max(0, €60 − €100)]/1.05

= €4.80/1.05 = €4.57, kết quả này giống với kết quả đã tìm được trước đó trong bài học trước.

Từ Equation 7, các risk-neutral probabilities được tính dựa trên up và down gross returns, R__u và R__d, của underlying, những đại lượng này thể hiện volatility của underlying asset, cùng với risk-free rate được sử dụng để discount future cash flows. Derivative value được xác định theo cách này, độc lập với nhận thức của investors về risk, được gọi là risk-neutral pricing .

Risk-neutral pricing không chỉ giới hạn ở one-period binomial model đơn giản mà trên thực tế có thể được áp dụng cho bất kỳ model nào trong đó future prices của underlying assets được xem xét.

VÍ DỤ 2

Hightest Capital (xem lại)

Hãy xem xét lại Example 1 và European call option do Hightest Capital phát hành để hiểu cách tính option value bằng risk-neutral probability. Hãy giải các vấn đề sau:

• 1.* Xác suất risk-neutral của up movement và down movement trong one-period binomial model của Example 1 là bao nhiêu?

• 2.* Hãy chỉ ra cách các risk-neutral probabilities có thể giúp xác định no-arbitrage value của call option.

• 3.* Giá trị của European put option trên cùng stock, với cùng exercise price và expiration date, là bao nhiêu?

• 4.* Hãy chỉ ra rằng giá của call và put option lần lượt được xác định từ câu 2 và câu 3 phù hợp với put–call parity theorem.

Lời giải cho câu 1:

risk-neutral probability của up state, π, được tính như sau:

Sau đó, risk-neutral probability của down state được tính như sau:

Lời giải cho câu 2:

Giá của call option hôm nay được xác định là expected value (risk-neutral) của payoff, được discount bằng risk-free interest rate, r. Từ Equation 6,

kết quả này bằng với kết quả trong Example 1.

Lời giải cho câu 3:

Vì Equation 6 áp dụng cho bất kỳ European option nào, giá trị của put option với strike price là $55 là

=[0.625 × Max(0, $55 −$60) + 0.375 × Max (0, $55 −$40)]/1.05

Cần lưu ý rằng risk-neutral probability π được lấy giống với các giá trị trong Questions 1 và 2 vì các giá trị này phụ thuộc vào các parameters của underlying binomial model (asset volatility và risk-free rate), bất kể option nào đang được định giá.

Lời giải cho câu 4:

European call và put options có cùng exercise price và expiry date phải thỏa mãn put-call parity, được biểu diễn như sau:

S 0 + p 0 = c 0 + X (1 + r )−T = $50 +$5.36 = $2.98 +$55 × 1.05−1 = $55.36, điều này xác nhận mối quan hệ.

Bài tập thực hành

EN: 1. Which of the following factors affect the value of an option price using binomial pricing models?

Hedging and Risk Neutrality

1. Yếu tố nào sau đây ảnh hưởng đến giá trị của option price khi sử dụng binomial pricing models?

   • A. EN: The risk-free rate of return

   • A. risk-free rate of return

   • B. EN: The level of investors’ risk aversion

   • B. Mức độ risk aversion của investors

   • C. EN: The probability of an upward price move

   • C. Xác suất của một upward price move

EN: The right answer is A, the risk-free rate of return. The value of an option depends on its risk-neutral expectations discounted at the risk-free rate. In one-period binomial pricing model, the risk-neutral probabilities depend only on the risk-free interest rate throughout the life of the option and the asset volatility (in terms of its up and down gross returns, R__u and R__d). Due to the perfect replication possibility of the option with the underlying asset, the value of an option is independent of the risk aversion of investors and the probability of the underlying price going up (or down).

• Lời giải:

EN: 2. Suppose that the price of the underlying asset in a one-period binomial model can rise by 15% or fall by 10% during the period and the risk-free interest rate

Đáp án đúng là A, risk-free rate of return. Giá trị của một option phụ thuộc vào các kỳ vọng risk-neutral của nó được discount tại risk-free rate. Trong one-period binomial pricing model, các risk-neutral probabilities chỉ phụ thuộc vào risk-free interest rate trong suốt vòng đời của option và asset volatility (xét theo up và down gross returns của nó, R__u và R__d). Do khả năng perfect replication của option bằng underlying asset, giá trị của một option độc lập với risk aversion của investors và xác suất giá underlying tăng (hoặc giảm).

2. Giả sử giá của underlying asset trong one-period binomial model có thể tăng 15% hoặc giảm 10% trong kỳ và risk-free interest rate

trong kỳ là 4%, xác suất risk-neutral của một mức giảm trong giá tài sản là bao nhiêu? Lời giải: Giả sử giá của underlying asset trong one-period binomial model có thể tăng 15%, khi đó up gross return là R__u = 1.15. Ngoài ra, giả sử giá giảm 10%, khi đó down gross return là R__d = 0.9. Xác suất risk-neutral của một mức tăng là: _ π_ =1 +r−Rd = 0.56. R__u − R__d= 1 + 0.04 − 0.9 1.15 − 0.9 Xác suất risk-neutral của một mức giảm là 1 – 0.56 = 0.44. 3. Phương án nào sau đây đúng nhất mô tả cách diễn giải risk-neutral pricing của one-period binomial option pricing formula? A. expected payoff trong real-world được discounted tại risk-free rate B. risk-neutral expected payoff được discounted tại risk-free rate C. risk-neutral expected payoff được discounted tại risk-adjusted rate Lời giải: Đáp án đúng là B, risk-neutral expected payoff được discounted tại risk-free rate. Cách diễn giải risk-neutral pricing của option pricing formula cho biết rằng giá trị của một option tại thời điểm hiện tại là risk-neutral expected value của nó tại maturity, được discounted tại risk-free rate. 4. Xác định các đáp án đúng để điền vào chỗ trống: Nếu một call option đang được giao dịch với mức giá cao hơn mức giá được hàm ý từ binomial model, nhà đầu tư có thể kiếm được mức return cao hơn risk-free rate bằng cách ________ tại risk-free rate, __________ call, và _________ underlying. Lời giải: Nếu một call option đang được giao dịch với mức giá cao hơn mức giá được hàm ý từ binomial model, nhà đầu tư có thể kiếm được mức return cao hơn risk-free rate bằng cách vay tại risk-free rate, bán call, và mua underlying. Có thể tạo ra một synthetic risk-free asset bằng cách sử dụng chiến lược này, mang lại mức return cao hơn risk-free rate. Việc bán call bị định giá quá cao sẽ tạo ra dòng tiền vào cao hơn mức cần thiết để tạo ra risk-free rate of return. 5. Giá của một cổ phiếu hiện là ¥8,000. Vào cuối một tháng, khi các option của nó đáo hạn, giá cổ phiếu hoặc tăng 5% hoặc giảm 15%. Nếu risk-free rate là –0.20% trong kỳ, giá trị của một put option có strike price là ¥7,950 là bao nhiêu? A. ¥333.67 B. ¥299.60 C. ¥236.93 Lời giải: Đáp án đúng là B, ¥299.60. Bằng cách sử dụng risk-neutral pricing, chúng ta có thể xác định risk-neutral probability như sau: _ ___________ π_ =1 +r−Rd = 0.74. R__u − R__d= 1 − 0.002 − 0.85 1.05 − 0.85 Do đó, xác suất risk-neutral của một mức giảm là 1 – π = 1 – 0.74 = 0.26. Giá trị của một put option có exercise price là ¥7,950 là:

Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Thông tin sau liên quan đến các câu hỏi 1-4

Privatbank Kleinert KGaA là một private wealth manager có trụ sở tại Munich. Kleinert có một số khách hàng nắm giữ lượng lớn cổ phần trong công ty fintech của Đức, SparCoin AG. Analyst của Kleinert lo ngại về việc giá cổ phiếu của SparCoin giảm trong năm tới và khuyến nghị khách hàng của mình nên cân nhắc mua một put kỳ hạn một năm với exercise price là €100. spot price của SparCoin ( S 0) là €105.25 và công ty không trả dividends. risk-free rate là 0.37%.

• 1.* EN: Kleinert’s analyst estimates a 50-50 chance that the price of SparCoin will either rise by 12% or decline by 10% at the put option’s expiration date. Which of the following statements best describes the no-arbitrage option price implied by this assumption?

Analyst của Kleinert ước tính có xác suất 50-50 rằng giá SparCoin hoặc sẽ tăng 12% hoặc giảm 10% vào ngày expiration của put option. Phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất no-arbitrage option price được hàm ý bởi giả định này?

• A. EN: Since there is a 50% chance that the stock will fall to €94.73, there is a 50-50 chance of a €5.27 payout upon exercise and the no-arbitrage put is therefore worth €2.64 (= €5.27 / 2).

Vì có 50% khả năng cổ phiếu sẽ giảm xuống €94.73, nên có xác suất 50-50 nhận được payout €5.27 khi exercise và do đó no-arbitrage put có giá trị €2.64 (= €5.27 / 2).

• B. EN: Given that there is a 50% probability of the stock falling to €94.73, there is a 50% chance of receiving an amount of €5.27 and given the probability under the risk neutral scenario of 0.47, the price of the put option is calculated as follows: €2.48 (=€5.27 × 0.47).

Với xác suất 50% cổ phiếu giảm xuống €94.73, có xác suất 50% nhận được số tiền €5.27 và với xác suất trong risk-neutral scenario là 0.47, giá của put option được tính như sau: €2.48 (=€5.27 × 0.47).

• C. EN: Given that there is a 50% probability of the stock falling to €94.73 and the probability under the risk neutral scenario is 0.47, the price of the put option is calculated as follows: €2.78 (=€5.27 × {1– 0.47/1.0037}).

Với xác suất 50% cổ phiếu giảm xuống €94.73 và xác suất trong risk-neutral scenario là 0.47, giá của put option được tính như sau: €2.78 (=€5.27 × {1– 0.47/1.0037}).

• 2.* EN: Given that the one year put option with an exercise price of €100 is selling at €2.50, which of the following statements would best describe how the clients of Kleinert would be able to earn a risk free return higher than 0.37%.

Với điều kiện put option kỳ hạn một năm có exercise price là €100 đang được bán với giá €2.50, phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất cách khách hàng của Kleinert có thể kiếm được risk-free return cao hơn 0.37%.

• A. EN: Kleinert should buy the put option and also buy 0.23 units per option for hedging purposes.

Kleinert nên mua put option và cũng mua 0.23 đơn vị underlying cho mỗi option nhằm mục đích hedging.

• B. EN: Kleinert should buy the put option and buy 50% of the underlying share.

Kleinert nên mua put option và mua 50% underlying share.

• C. EN: C. Kleinert should buy the put option and buy 47% of the shares as this reflects the risk-neutral probability of put exercise.

Kleinert nên mua put option và mua 47% số cổ phiếu vì điều này phản ánh risk-neutral probability của việc put được exercise.

• 3.* EN: In case that riskless investment brought higher returns during the next year, which of the following statements would be correct concerning the impact of such event on no-arbitrage value of put option on SparCoin stock?

Trong trường hợp riskless investment mang lại returns cao hơn trong năm tới, phát biểu nào sau đây là đúng về tác động của sự kiện đó lên no-arbitrage value của put option đối với cổ phiếu SparCoin?

• A. EN: The increase in riskless rate of interest would have no impact on SparCoin put option value because it depends only on probability and extent of the stock price increase or decrease when the option expires.

Việc tăng riskless rate of interest sẽ không ảnh hưởng đến giá trị put option của SparCoin vì giá trị này chỉ phụ thuộc vào xác suất và mức độ tăng hoặc giảm của giá cổ phiếu khi option đáo hạn.

Valuing a Derivative Using a One-Period Binomial Model

• B. EN: The increase in riskless rate of interest would increase the value of the put option because the risk-neutral probability of price decrease would increase.

Việc tăng riskless rate of interest sẽ làm tăng giá trị của put option vì risk-neutral probability của việc giá giảm sẽ tăng.

• C. EN: The increase in riskless rate of interest would reduce the value of the put option because it would increase the probability of price increase π and reduce the present value of expected payoff from the put option.

Việc tăng riskless rate of interest sẽ làm giảm giá trị của put option vì điều này sẽ làm tăng xác suất giá tăng π và làm giảm present value của expected payoff từ put option.

• 4.* EN: What would happen if the expected percentage gain and loss of the share price of SparCoin were to double? What is the nearest value for the price of a one-year put option with a strike price of €100?

Điều gì sẽ xảy ra nếu mức tăng và giảm theo % được kỳ vọng của giá cổ phiếu SparCoin tăng gấp đôi? Giá trị gần nhất của một put option kỳ hạn một năm với strike price là €100 là bao nhiêu?

• A. EN: The one-year put option price will rise to €7.90.

Giá put option kỳ hạn một năm sẽ tăng lên €7.90.

• B. EN: The one-year put option price will rise to €8.50.

Giá put option kỳ hạn một năm sẽ tăng lên €8.50.

• C. EN: The one-year put option price will rise to €7.40.

Giá put option kỳ hạn một năm sẽ tăng lên €7.40.

LỜI GIẢI

1. EN: The correct answer is C. A 12% increase in the stock price gives: S 1_u_ = R__u S 0 = 1.12 × €105.25 = €117.88.

Đáp án đúng là C. Mức tăng 12% của giá cổ phiếu cho:

EN: The put option expires without being exercised:

S 1_u_ = R__u S 0 = 1.12 × €105.25 = €117.88.

put option hết hạn mà không được thực hiện:

• EN: p 1_u_ = Max (0, X − S 1_u_ ) = Max (0, €100 − €117.88) = €0. Alternatively, a 10% price decrease gives:

EN: S 1_d_ = R__d S 0 = 0.9 × €105.25 = €94.73.

• p 1_u_ = Max (0, X − S 1_u_ ) = Max (0, €100 − €117.88) = €0. Ngoài ra, mức giảm 10% của giá cho:

EN: The payoff of the put option will be:

S 1_d_ = R__d S 0 = 0.9 × €105.25 = €94.73.

EN: p 1_d_ = Max (1, X − S 1_d_ ) = Max (0, €100 − €94.73) = €5.27.

payoff của put option sẽ là:

EN: To value the put option using risk-neutral pricing method, we use the risk-neutral probability π defined by:

p 1_d_ = Max (1, X − S 1_d_ ) = Max (0, €100 − €94.73) = €5.27.

EN: π = (1 + 0.0037 − 0.9)/(1.12 − 0.9) = 0.47.

Để định giá put option bằng risk-neutral pricing method, chúng ta sử dụng risk-neutral probability π được xác định như sau:

EN: The no-arbitrage price is:

π = (1 + 0.0037 − 0.9)/(1.12 − 0.9) = 0.47.

no-arbitrage price là:

EN: p 0 = (0.47 × €0 + 0.53 × €5.27)/(1 + 0.0037) = €2.79/1.0037 = €2.78.

p 0 = (0.47 × €0 + 0.53 × €5.27)/(1 + 0.0037) = €2.79/1.0037 = €2.78.

2. *EN: Answer: A. If the price of the put option is lower than the no-arbitrage price, there exists an arbitrage opportunity. In this situation, Kleinert’s clients should buy the under-valued put option and h * units of SparCoin stock. The hedge ratio, h , is computed by:

Đáp án: A. Nếu giá của put option thấp hơn no-arbitrage price, sẽ tồn tại một arbitrage opportunity. Trong tình huống này, khách hàng của Kleinert nên mua put option bị định giá thấp và h * đơn vị cổ phiếu SparCoin. hedge ratio, h *, được tính như sau:

EN: Remember that the negative hedge ratio means that both the put and the stock need to be bought or sold in order to achieve a hedge position. The initial outlay associated with the purchase of the put and the stock will be:

EN: €2.50 + 0.2276 × €105.25 = €26.45.

Lưu ý rằng hedge ratio âm có nghĩa là cả put option và cổ phiếu đều cần được mua hoặc bán để đạt được một hedge position. initial outlay liên quan đến việc mua put option và cổ phiếu sẽ là:

EN: If the stock price falls, the value of the portfolio will be:

EN: V 1 = V 1_d_ = h S 1_d_ + p 1_d_ = 0.2276 × €94.73 + €5.27 = €26.83.*

Nếu giá cổ phiếu giảm, giá trị của portfolio sẽ là:

EN: The strategy provides risk-free profits equal to (€26.83 - €26.45)/€26.45 = 1.44%, which is more than 0.37% that can be achieved by other risk-free investments.

V 1 = V 1_d_ = h* S 1_d_ + p 1_d_ = 0.2276 × €94.73 + €5.27 = €26.83.

Chiến lược này mang lại risk-free profits bằng (€26.83 - €26.45)/€26.45 = 1.44%, cao hơn 0.37% có thể đạt được từ các risk-free investments khác.

3. EN: The right answer is C. Higher interest rates decrease the value of the put option. By increasing the risk-free interest rate, we will increase the risk-neutral probability of an upward price change π and reduce the present value of the expected option payoff. Since the put option value depends negatively on the stock price, higher risk-neutral probability of an upward price change will decrease the expected payoff from the put. Therefore, both these factors will lead to lower put option value when the risk-free investment return rises.

Đáp án đúng là C. interest rates cao hơn làm giảm giá trị của put option. Bằng cách tăng risk-free interest rate, chúng ta sẽ tăng risk-neutral probability của một biến động tăng giá π và giảm present value của expected option payoff. Vì giá trị của put option phụ thuộc nghịch chiều với giá cổ phiếu, risk-neutral probability cao hơn của một biến động tăng giá sẽ làm giảm expected payoff từ put option. Do đó, cả hai yếu tố này đều dẫn đến giá trị put option thấp hơn khi risk-free investment return tăng.

4. EN: The right answer is B. A 24% (before 12%) rise in the stock price results in:

Đáp án đúng là B. Mức tăng 24% (trước đó là 12%) của giá cổ phiếu dẫn đến:

Định giá một Derivative bằng One-Period Binomial Model

EN: The put option will lapse unexercised:

EN: p 1_u_ = Max (0, X − S 1_u_ ) = Max (0, €100.00 − €130.51) = €0. Alternatively, a 20% (previously 10%) decrease gives:

put option sẽ hết hạn mà không được thực hiện:

EN: S 1_d_ = R__d S 0 = 0.8 × €105.25 = €84.20. The put option will pay off:

p 1_u_ = Max (0, X − S 1_u_ ) = Max (0, €100.00 − €130.51) = €0. Ngoài ra, mức giảm 20% (trước đó là 10%) cho:

S 1_d_ = R__d S 0 = 0.8 × €105.25 = €84.20. put option sẽ có payoff: