Pricing and Valuation of Options

Thí sinh cần có khả năng:

• mô tả exercise value, moneyness và time value của một option
• so sánh việc sử dụng các khái niệm arbitrage và replication trong định giá forward commitments và contingent claims
• xác định các yếu tố quyết định giá trị của một option và mô tả cách mỗi yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của một option

Option contracts là các contingent claims trong đó một trong các counterparties quyết định liệu và khi nào một giao dịch sẽ diễn ra. Không giống như một forward commitment, trong đó giá trị đối với cả hai bên tại thời điểm khởi đầu hợp đồng bằng 0, người mua option trả một premium cho người bán để có quyền giao dịch underlying asset trong tương lai tại một mức giá đã được thỏa thuận trước. Tính contingent của option contracts không chỉ ảnh hưởng đến giá mà còn ảnh hưởng đến giá trị của options.

Trong bài học đầu tiên, chúng ta xem xét ba đặc điểm riêng biệt của contingent claims liên quan đến giá trị của option và spot price của underlying asset: exercise value hoặc intrinsic value của option, vị thế tương đối giữa spot price của một option và exercise price của nó được gọi là “moneyness”, và time value của một option. Tiếp theo, chúng ta xem xét việc áp dụng các khái niệm arbitrage và replication đã được thảo luận liên quan đến forward commitments vào các contingent claims có payoffs bất đối xứng. Cuối cùng, chúng ta xem xét các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của một option. Trong mọi trường hợp, chúng ta tập trung vào European options chỉ có thể được exercise tại maturity.

• Giá trị của một option bao gồm exercise value và time value. Exercise value là giá trị của option nếu nó có thể được exercise ngay lập tức, trong khi time value phản ánh khả năng rằng thời gian trôi qua và sự biến động giá của underlying sẽ làm tăng khả năng sinh lợi của việc exercise option tại maturity.

• Option moneyness đo lường mối quan hệ giữa giá của underlying asset và exercise price của option. Put hoặc call options được gọi là “at the money” khi giá của underlying bằng exercise price. Options có nhiều khả năng được exercise hơn nếu chúng “in the money” (giá underlying cao hơn exercise price trong trường hợp calls và thấp hơn exercise price trong trường hợp puts) và ít có khả năng được exercise hơn nếu chúng “out of the money.”

• Không giống forward commitment, một option có giới hạn định giá no-arbitrage do payoffs bất đối xứng của nó. Giới hạn dưới phụ thuộc vào discounted value của strike price và giá của underlying, trong khi giới hạn trên là giá của underlying đối với call option và strike price đối với put option.

• Tương tự forward commitment, replication của option bao gồm việc nắm giữ (mua) và financing option thông qua borrowing/lending cash cùng với một long position trong underlying, hoặc bán và financing thông qua lending đối với put options. Replication của một option phụ thuộc vào một tỷ lệ của underlying asset có liên quan rất chặt chẽ đến moneyness của option.

• Underlying price, strike price, time to maturity, risk free rate, volatility của underlying asset và cost/income từ underlying asset là một số yếu tố được sử dụng để xác định option prices.

• Thay đổi về volatility của giá underlying asset và time to expiration thông thường sẽ có cùng chiều tác động lên giá trị của cả put và call options. Thay đổi về strike price, risk free rate và cost/income từ underlying asset sẽ có chiều tác động ngược nhau lên giá trị của call options so với put options.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi ban đầu nhằm giúp bạn đánh giá kiến thức hiện có của mình về Learning Module này.

1. Trong các lựa chọn sau, phát biểu nào đúng về lower bound đối với giá trị của một call option?

• A. Giá của underlying asset trừ đi present value của exercise price của option

• B. Giá của underlying asset trừ đi exercise price của option hoặc 0, tùy giá trị nào lớn hơn

• C. Giá của underlying asset trừ đi present value của exercise price của option hoặc 0, tùy giá trị nào lớn hơn

Lời giải:

Đáp án đúng là C. Lower bound đối với giá trị của một call là giá của underlying asset trừ đi present value của exercise price của nó hoặc 0, tùy giá trị nào lớn hơn. Phương án A sai vì không tính đến việc lower bound bằng 0 nếu giá underlying asset thấp hơn present value của exercise price.

4. Chọn mối quan hệ giữa underlying price và exercise price áp dụng cho put option dưới đây:

5. ST = 100, X = 100 A. Một at-the-money put option 2. ST = 110, X = 100 B. Một in-the-money put option 3. ST = 90, X = 100 C. Một out-of-the-money put option

Lời giải:

Trong trường hợp put options, chúng in the money khi ST < X , at the money khi ST = X , và out of the money khi ST > X . Do đó:

• 1.* A là đáp án đúng vì ST = X = 100 khiến đây là một at-the-money put option.

• 2.* C là đáp án đúng vì ST > X khiến đây là một out-of-the-money put option.

• 3.* B là đáp án đúng vì ST < X khiến đây là một in-the-money put option.

5. Xác định tác động lên giá trị của options khi một trong các yếu tố quyết định option thay đổi như sau (các yếu tố khác không đổi):

6. Exercise price (X) cao hơn A. Làm giảm giá trị của call option và put option

7. Underlying asset price (ST) cao hơn B. Làm giảm giá trị của call option

8. Volatility của giá underlying asset giảm C. Làm giảm giá trị của put option

Lời giải:

• 1.* B là đáp án đúng. Khi exercise price tăng, giá trị của call option giảm vì settlement value của Max (0, ST − X ) giảm khi X cao hơn.

• 2. Đáp án đúng là C. Khi giá của underlying security cao, giá trị của put option sẽ giảm. Điều này là do đặc điểm của put option là bán underlying asset, và do đó Max (0, X − ST ) sẽ giảm khi ST tăng.

• 3.* A là đáp án đúng. Sự giảm volatility của giá underlying security dẫn đến sự giảm giá trị của call option và put option. Volatility giảm của giá underlying làm giảm khả năng call hoặc put tạo ra exercise value cao hơn.

6. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào giải thích đúng về việc giá trị của một call option sẽ bị ảnh hưởng như thế nào bởi sự giảm income từ underlying, khi các yếu tố khác không đổi?

   • A. Giá trị của call option tăng.

   • B. Giá trị của call option giảm.

   • C. Giá trị của call option không thay đổi.

   • Lời giải:

Phương án A là đáp án đúng. Các lợi ích bằng tiền mặt hoặc không bằng tiền mặt (convenience yield) thu được từ underlying asset sẽ thuộc về chủ sở hữu underlying asset chứ không thuộc về người nắm giữ derivative vì giá trị của derivative phụ thuộc vào underlying. Giá trị của một call option trên một underlying asset có income sẽ thấp hơn một call giống hệt trên một underlying asset không có income. Theo cách này, sự giảm income từ underlying asset khiến call option có giá trị cao hơn.

giải thích exercise value, moneyness và time value của một option

Như đã thảo luận trong các bài học trước, mô hình pay-off bất đối xứng của một option khiến chúng ta xem xét valuation của các derivative products này theo một cách khác với forward contract. Khi phân tích các derivatives này, vốn có giá trị dựa trên việc spot price vượt qua một mức exercise tại expiration, người mua và người bán thường sử dụng ba tham số là exercise value, moneyness và time value để đánh giá giá trị của option trong suốt vòng đời của hợp đồng. Từ một bài học trước, chúng ta biết rằng American options có thể được exercise bất cứ lúc nào, trong khi European options chỉ có thể được exercise tại expiration. Trong bài học này, chúng ta sẽ chỉ thảo luận về European options không có additional costs/benefits khi nắm giữ underlying asset.

giải thích exercise value, moneyness và time value của một option

Người nắm giữ option sẽ exercise một option, dù là call hay put, tại expiration nếu nó có pay-off dương, nghĩa là:

• ( ST − X ) > 0 đối với call

• ( X − ST ) > 0 đối với put

Nếu không được exercise, option sẽ expire out-of-the money và khoản lỗ của người nắm giữ option sẽ bằng premium đã trả.

Tại bất kỳ thời điểm nào trước maturity (t < T), người mua và người bán thường đánh giá giá trị của một option bằng cách so sánh spot price của underlying asset (St) với exercise price (X), từ đó xác định exercise value của option tại thời điểm t. Đây là giá trị của option contract, giả định rằng option có thể được exercise tại thời điểm t. Exercise value đối với call và put option tại thời điểm t, có xét đến time value of money, là St trừ đi present value của exercise price (PV(X)) như sau:

Giả sử exercise price, X, bằng forward price, F0(T), thì exercise value của một call option sẽ bằng giá trị của một long forward commitment tại thời điểm t (Vt(T)). Forward commitment này đã được trình bày ở trên là bằng St – PV(F0(T)), với điều kiện St > PV(X). Nghĩa là, đối với một call option có F0(T) = X: Nếu St > PV(X): St – PV(F0(T)) = Max (0, St – PV(X))

Cần lưu ý rằng trong phân tích này, chi phí của option, tức premium mà người mua trả cho một call option (c0 tại t = 0), đang được bỏ qua.

VÍ DỤ 1

Put Option Exercise Value

Ví dụ, trong trường hợp một put option một năm có exercise price (X) là EUR 1,000 và risk-free rate là 1%, exercise value của option sau sáu tháng là bao nhiêu nếu spot price (St) là EUR 950?

Sử dụng equation 2 để giải Max (0, PV(X) − St):

X( 1 + r)− (T−t) − St

= EUR 45.04 (= EUR 1,000(1.01)-0.5 − EUR 950)

Giải thích exercise value, moneyness và time value của một option

Exercise value của một option tại bất kỳ thời điểm t nào được xác định là payoff tại thời điểm đó. Mối quan hệ giữa giá trị của option và exercise price cho biết moneyness của option. Một số ví dụ về option in-the-money bao gồm call option khi underlying spot price cao hơn exercise price ( X ), và put option khi underlying spot price thấp hơn exercise price. Khi underlying spot price bằng exercise price, put hoặc call option được gọi là at the money. Nếu underlying spot price thấp hơn (cao hơn) exercise price của call (put) option, option ít có khả năng được exercised hơn, và do đó option là out of the money (OTM).

Ngoài ra, mức độ mà option ở in or out of the money ảnh hưởng đến mức độ nhạy cảm của giá option đối với những thay đổi của underlying price. Ví dụ, một deep-in-the-money option, nghĩa là option cực kỳ có khả năng được exercised, thường cho thấy sự thay đổi một đổi một giữa giá của option và underlying. Mặt khác, deep-out-of-the-money option, vốn khó có khả năng được exercised, có nghĩa là option thể hiện rất ít độ nhạy cảm trước sự thay đổi của underlying. Đối với at-the-money options, những thay đổi tương đối nhỏ của underlying thường quyết định liệu option có được exercised hay không. Moneyness thường được sử dụng để so sánh các option có cùng underlying asset nhưng khác exercise prices và/hoặc maturity dates. Exhibit 1 mô tả moneyness của một call option tại maturity.

Exhibit 1: Call Option Moneyness at Maturity

VÍ DỤ 2

Put Option Moneyness

Nhắc lại từ Example 1, tại thời điểm t , một put option còn sáu tháng đến maturity có exercise price ( X ) là EUR 1,000 và underlying spot price ( St ) là EUR 950. Hãy xác định moneyness của put option tại thời điểm t .

Vì underlying spot price thấp hơn exercise price, put option là in the money EUR 50.

Giải thích Exercise Value, Moneyness và Time Value của một Option

Exercise value là payoff hiện tại của một option, nhưng một thành phần khác của giá trị option là thời gian còn lại trước maturity. European options không thể được exercised cho đến maturity, nhưng các option này có thể được mua và bán cho đến maturity với một mức giá ( ct hoặc pt lần lượt cho call hoặc put) dựa trên expected future payoff. Thời gian đến expiration càng dài, mức độ phân tán dự kiến của future price của underlying asset càng lớn tại một mức volatility nhất định.

Hơn nữa, sự gia tăng volatility tại một mức giá nhất định của underlying asset và một khoảng thời gian nhất định đến expiration cũng dẫn đến giá trị cao hơn của option vì cùng lý do. Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn về các biến này sau.

Time value của một option là chênh lệch giữa current price của option và current payoff (hoặc exercise value) của option:

Điều này có nghĩa là giá trị của option hiện đang được nắm giữ là tổng của exercise value và time value. Từ Exhibit 2, time value của một option luôn dương nhưng giảm về 0 khi maturity đến gần. Sự giảm sút time value của một option theo thời gian được gọi là time value decay.

Exhibit 2: Exercise Value and Time Value of a Call Option

VÍ DỤ 3

Put Option Time Value

Trong Example 1, một put option một năm có exercise price ( X ) là EUR 1,000 có exercise value là EUR 45.04 khi còn sáu tháng đến maturity và spot price ( St ) là EUR 950. Giả sử current put option price ( pt ) là EUR 50, vậy time value của put option sẽ là bao nhiêu?

Sử dụng Equation 4 để giải pt − Max (0, PV( X ) − St ):

pt − max (0, X( 1 + r)− (T−t) − St ) = EUR 4.96 (= EUR 50 − EUR 45.04)

Bài tập thực hành: Option Value relative to Underlying Spot Price

EN: Identify similarities and differences between the exercise value of a long put option position with an exercise price ( X ) equal to the forward price, F0 ( T ), and a short forward position payoff at maturity with the same underlying information.

1.

Hãy xác định những điểm tương đồng và khác biệt giữa exercise value của một vị thế long put option có exercise price ( X ) bằng forward price, F0 ( T ), và payoff của một vị thế short forward tại maturity với cùng thông tin về underlying.

EN: The exercise value of a put option with an exercise price of X = F0 ( T ) at maturity (Max (0, X − ST )) is identical to the payoff of a short forward commitment at maturity ( F0 ( T ) − ST ) provided that the exercise price is greater than the underlying price. This is because: For F0 ( T ) = X : If X > ST: F0 ( T ) − ST = Max (0, X − ST ) These payoff diagrams will differ if ST > X , as the short forward payoff at maturity will result in the seller making a payment to the buyer, whereas the put option holder will not exercise his right to sell the stock since the put option is out of the money. Please note that in the above comparison of payoffs we have ignored the upfront cost of the option premium paid by the put option buyer ( p0 ) at time t = 0.

Solution:

Exercise value của một put option có exercise price X = F0 ( T ) tại maturity (Max (0, X − ST )) giống hệt payoff của một short forward commitment tại maturity ( F0 ( T ) − ST ) với điều kiện exercise price lớn hơn underlying price. Điều này là vì: Với F0 ( T ) = X : Nếu X > ST: F0 ( T ) − ST = Max (0, X − ST ) Các payoff diagrams này sẽ khác nhau nếu ST > X , vì short forward payoff tại maturity sẽ khiến người bán phải thanh toán cho người mua, trong khi người nắm giữ put option sẽ không thực hiện quyền bán stock của mình vì put option là out of the money. Lưu ý rằng trong phép so sánh payoff ở trên, chúng ta đã bỏ qua upfront cost của option premium mà người mua put option trả ( p0 ) tại thời điểm t = 0.

EN: There is a European put option with three months to maturity on an underlying stock that does not generate any more cash flows in the future. Its exercise price ( X ) is GBP 50, risk-free rate is 2% and the current underlying price ( St ) is GBP 55. Assuming that the current put option price is GBP 5, determine its exercise value and its time value and interpret the results.

2.

Có một European put option còn ba tháng đến maturity đối với một underlying stock không tạo ra thêm cash flows nào trong tương lai. Exercise price ( X ) của nó là GBP 50, risk-free rate là 2% và current underlying price ( St ) là GBP 55. Giả sử current put option price là GBP 5, hãy xác định exercise value và time value của nó, đồng thời diễn giải kết quả.

EN: The value of an option is the sum of its exercise value and time value. The exercise value of a put option is Max (0, PV( X ) − St ) and this is calculated as: Put Option Exercise Value = Max (0, X( 1 + r)− (T−t) − St ) Max(0, GBP 50(1.02)-0.25 − GBP 55) = 0 The exercise value is zero since the current underlying price exceeds the present value of the exercise price. The time value is the difference between the option price and the exercise value. The time value reflects the possibility of the probability and profitability of exercising increasing due to a change in prices in favor of the buyer. Put Option Time Value = pt − Max (0, X( 1 + r)− (T−t) − St )

Solution:

Giá trị của một option là tổng của exercise value và time value. Exercise value của một put option là Max (0, PV( X ) − St ) và được tính như sau: Put Option Exercise Value = Max (0, X( 1 + r)− (T−t) − St ) Max(0, GBP 50(1.02)-0.25 − GBP 55) = 0 Exercise value bằng 0 vì current underlying price cao hơn present value của exercise price. Time value là chênh lệch giữa option price và exercise value. Time value phản ánh khả năng probability và profitability của việc exercise tăng lên do sự thay đổi giá theo hướng có lợi cho người mua. Put Option Time Value = pt − Max (0, X( 1 + r)− (T−t) − St )

• = GBP 5 (= GBP 5 − GBP 0)

Time value luôn dương và giảm về 0 tại maturity ( t = T ). Vì put option là out of the money, giá trị của nó chỉ bao gồm time value.

EN: Match the following underlying price and exercise price relationship with its corresponding call option:

3.

EN: 1. ST = 60, X = 50 A. An at-the-money call option 2. ST = 50, X = 50 B. An in-the-money call option 3. ST = 40, X = 50 C. An out-of-the-money call option

Hãy ghép mối quan hệ sau đây giữa underlying price và exercise price với call option tương ứng:

1. ST = 60, X = 50 A. Một at-the-money call option
2. ST = 50, X = 50 B. Một in-the-money call option
3. ST = 40, X = 50 C. Một out-of-the-money call option

EN: The call option will be considered to be in the money if ST>X, at the money if ST=X, and out of the money if ST<X. Thus:

Solution:

EN: 1. The answer is B. The reason for this is that ST>X, and hence the option is in the money.

Call option sẽ được xem là in the money nếu ST>X, at the money nếu ST=X và out of the money nếu ST<X. Do đó:

EN: 2. The answer is A. The reason for this is that ST=X=50 and hence the option is at the money.

1. Đáp án là B. Lý do là ST>X, và do đó option là in the money.

EN: 3. The answer is C. The reason for this is that ST<X, and hence the option is out of the money.

2. Đáp án là A. Lý do là ST=X=50 và do đó option là at the money.

3. Đáp án là C. Lý do là ST<X, và do đó option là out of the money.

EN: Illustrate how the moneyness of an option influences the change in the option value due to the change in the underlying price.

4.

Hãy minh họa cách moneyness của một option ảnh hưởng đến sự thay đổi trong option value do sự thay đổi của underlying price.

EN: An increase in the moneyness of an option will result in an increase in the sensitivity of the value of the option to the changes in the underlying price. For instance, an option that is very certain to be executed will have a nearly linear relationship between the value of the option and the changes in the underlying price; whereas an option that is less certain to be exercised will have a low response to the changes in the underlying price.

• Solution:

Sự gia tăng moneyness của một option sẽ dẫn đến sự gia tăng độ nhạy cảm của giá trị option đối với những thay đổi của underlying price. Ví dụ, một option gần như chắc chắn sẽ được executed sẽ có mối quan hệ gần tuyến tính giữa giá trị của option và những thay đổi của underlying price; trong khi một option ít chắc chắn được exercised hơn sẽ phản ứng yếu trước những thay đổi của underlying price.

So sánh việc sử dụng các khái niệm arbitrage và replication trong việc định giá forward commitments và contingent claims

Trong một bài học trước, đã giải thích rằng các cơ hội riskless arbitrage tồn tại khi không thỏa mãn “law of one price”, theo đó một identical asset được giao dịch đồng thời tại các mức giá khác nhau ở các địa điểm khác nhau. Trong trường hợp derivatives, chúng ta xác định các no-arbitrage conditions bằng cách sử dụng payoff tại maturity. Như đã được minh họa trong một bài học trước, forward commitments có payoff profile symmetric tạo ra payoff dựa trên chênh lệch giữa forward price, F0 ( T ), của contract được thiết lập tại inception (tại t = 0) và underlying price, ST , tại contract maturity (tại t = T ), hoặc ( ST − F0 ( T )) trong trường hợp long forward contract. Đối với một underlying asset không có cash flow trong contract period, trước đây đã giải thích rằng các asset có known future price phải có current price bằng future price, ST , được discounted tại risk-free interest rate, r: S0 = ST (1 + r )-T . Vì mục đích của bài học này, chúng ta bỏ qua mọi costs và benefits khác từ việc sở hữu underlying asset, ngoại trừ opportunity cost (hoặc risk-free interest rate, r ).

Contingent claims có payoff profile asymmetric, đã được giới thiệu trước đó. Payoff profiles tại maturity của European options trao quyền mua (call option, c ) hoặc bán (put option, p ) một underlying tại một exercise price ( X ) được xác định trước đã được minh họa trước đó như sau:

Exhibit 3: European Option Exercise at Expiration

Cần nhớ rằng, không giống forward commitments có giá bằng 0 tại inception, option buyer trả cho option seller option premium ( c0 cho call và p0 cho put tại t = 0). Do đó, profit tại maturity của option buyer trước đây đã được trình bày như sau (không xét time value of money):

Equations 7 và 8 thể hiện sự khác biệt cơ bản giữa forward commitment và contingent claim từ góc độ arbitrage. Forward commitment không bao gồm khoản thanh toán tiền nào tại thời điểm bắt đầu contract, và có profit hoặc loss không giới hạn tại maturity (trừ trường hợp profit hoặc loss bằng 0 đối với một underlying có giá không thể giảm xuống dưới 0, chẳng hạn như stock) liên quan đến sự tăng hoặc giảm giá của underlying asset. Một option holder chỉ exercise option nếu option là “in the money” tại maturity. Do đặc tính conditional này của payoff profile của options, chúng ta phải xác định upper và lower no-arbitrage price bounds cho bất kỳ thời điểm t nào.

Người mua call option sẽ chỉ exercise khi spot price ( ST ) cao hơn exercise price ( X ) tại maturity. Do đó, lower bound của giá call option là underlying asset price trừ đi present value của exercise price hoặc 0, tùy giá trị nào cao hơn. Nói cách khác, một option được định giá thấp hơn exercise value sẽ vi phạm no-arbitrage principle. Người mua call option sẽ không bao giờ trả cho quyền mua underlying asset nhiều hơn underlying asset price, vốn là upper bound:

Người mua put option sẽ chỉ exercise khi spot price, ST , thấp hơn X tại maturity. Do đó, exercise price, X , trở thành upper bound cho put value. Lower bound của một put option là present value của exercise price trừ spot price hoặc 0, tùy giá trị nào cao hơn:

VÍ DỤ 4

Giới hạn trên và dưới của Call Option

Xét một call option có thời hạn một năm với exercise price, X , là EUR 1,000. underlying asset, S0 , có giá EUR 990 tại thời điểm t = 0 và risk-free interest rate, r , là 1%. Nếu giá của underlying asset, St , sau sáu tháng là EUR 1,050, các giới hạn trên và dưới no-arbitrage là bao nhiêu?

Vì người mua option sẽ chỉ exercise option nếu ST > X tại t = T , giới hạn dưới bằng St − PV ( X ) hoặc bằng 0, tùy giá trị nào cao hơn:

ct , Lower bound = Max (0, St − X( 1 + r)− (T−t) ) ct,Lower bound = Max(0, EUR 1,050 − EUR 1,000(1.01)-0.5 )

EUR,Lower bound = Max(0,EUR 5

Số tiền tối đa mà người mua một call trả cho quyền mua underlying tại St là ct . Upper bound = St ct. Upper bound = EUR 1,050

so sánh việc áp dụng các phương pháp arbitrage và replication trong định giá forward contracts và contingent claims

Chúng ta đã thảo luận trong bài học trước về cách replication approach được sử dụng để tạo ra các cash flow của forward commitment bằng cách sử dụng long position hoặc short position trong asset kết hợp với borrowing/lending cash. Khả năng sử dụng replication approach đối với các market players đảm bảo Law of One Price.

Hãy nhớ từ một trong các bài học trước rằng một call option giống long forward contract ở chỗ cả hai đều tăng giá trị khi underlying tăng, nhưng điểm khác biệt là giá trị của call option chỉ được hiện thực hóa khi có gain từ settlement của option. Sự tương đồng trong trường hợp có gain được minh họa trong Exhibit 4, trong đó X = F0 ( T ).

Exhibit 4: Call Option so với Long Forward Position

Để tái tạo hành vi của call option tại thời điểm bắt đầu kỳ hạn hợp đồng ( t = 0), chúng ta nên borrow money tại risk-free rate, r , và đầu tư funds thu được vào việc mua underlying asset tại S0 . Vào expiration date của option ( t = T ), so với kịch bản của forward commitment, có các kịch bản có thể xảy ra sau đây đối với replication:

• Exercise ( ST > X ): Bán underlying asset với giá ST và repayment X bằng số tiền thu được.

• Không exercise ( ST < X ): Không có gì cần settlement.

Nếu việc exercise option được đảm bảo, số tiền borrowed tại thời điểm bắt đầu hợp đồng sẽ là X (1 + r )-T như trong trường hợp forward commitment. Tuy nhiên, vì việc này không được đảm bảo và exercise phụ thuộc vào probability of exercise tại thời điểm T (nghĩa là phụ thuộc vào moneyness của một option), chúng ta cần borrow một tỷ lệ của X (1 + r )-T tùy thuộc vào probability of exercise tại thời điểm T . Option replication sẽ được nghiên cứu chi tiết hơn trong các bài học sau.

Bây giờ, hãy tập trung vào put option replication. Như đã đề cập trước đó, một short put option có exercise price bằng forward price của underlying asset ( X = F0 ( T )) có cùng payoff với một long forward xét trong các trường hợp underlying price thấp hơn forward price ( ST < X = F0 ( T )). Nói cách khác, giá của put option giảm cùng với sự giảm của giá underlying asset và chỉ settlement trong trường hợp có gain từ exercise option. Điều này được minh họa trong Exhibit 5 với exercise price ( X ) bằng forward price, F0 ( T ).

Exhibit 5: Put Option so với Short Forward Position

Để thực hiện replication của put option tại thời điểm khởi đầu ( t = 0), chúng ta cần sell short underlying asset tại giá S0 và lend số tiền thu được tại risk-free interest rate r. Khi option expiry ( t = T ), trái ngược với forward commitment, các kịch bản replication có thể xảy ra như sau:

• Exercise ( ST < X ): Mua underlying asset bằng số tiền thu được từ risk-free loan tại ST .

• Không exercise ( ST > X ): Không cần thực hiện payment.

Trong trường hợp đầu tiên, khi chúng ta biết chắc chắn rằng option sẽ được exercise, số tiền lent sẽ là X (1 + r )-T, giống như trong trường hợp forward. Nhưng, giống như trong trường hợp call, cấu trúc payoff bất đối xứng đòi hỏi việc thực hiện phải thay đổi theo thời gian dựa trên probability of exercise.

Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích những yếu tố quyết định probability of option exercise trước maturity.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Arbitrage và Replication

1. EN: Identify the right answers that should be used in completing the sentence below: The lower bound of a call price is the underlying’s price _____ the present value of its _____ price or zero, whichever is greater.

Xác định các đáp án đúng để hoàn thành câu sau: Giới hạn dưới của giá call bằng giá của underlying _____ present value của _____ price hoặc bằng 0, tùy giá trị nào lớn hơn.

EN: The lower bound of a call price is the underlying’s price minus the present value of its exercise price or zero, whichever is greater.

Lời giải:

Giới hạn dưới của giá call bằng giá của underlying trừ present value của exercise price hoặc bằng 0, tùy giá trị nào lớn hơn.

2. EN: A six-month European call option on an underlying stock that generates no additional cash flow has an exercise price (X) of GBP 50, an underlying price of S0

Một European call option sáu tháng đối với underlying stock không tạo ra additional cash flow có exercise price (X) là GBP 50, underlying price là S0

EN: ( S0 ) of GBP 49.75, and a risk-free rate of 2%. Calculate the lower bound of the call price in three months’ time if St = GBP 65. Solution: As the call option buyer will exercise only if ST > X at maturity, the lower bound is equal to St − PV ( X ) or zero in three months’ time, whichever is greater: ct , Lower bound = Max (0, St − X( 1 + r)− (T−t) ) Given St = GBP 65, X = GBP 50, r = 2%, and ( T − t ) = 0.25, we can solve for the call option’s lower bound as follows: ct , Lower bound = Max (0, GBP65 − GBP50( 1.02)− (0.25) ) = GBP 15.25

(Tiếp theo)

(S0) là GBP 49.75 và risk-free rate là 2%. Hãy tính giới hạn dưới của giá call sau ba tháng nếu St = GBP 65. Lời giải: Vì người mua call option sẽ chỉ exercise nếu ST > X tại maturity, giới hạn dưới bằng St − PV ( X ) hoặc bằng 0 tại thời điểm ba tháng sau, tùy giá trị nào lớn hơn: ct , Lower bound = Max (0, St − X( 1 + r)− (T−t) ) Với St = GBP 65, X = GBP 50, r = 2%, và ( T − t ) = 0.25, chúng ta có thể tính giới hạn dưới của call option như sau: ct , Lower bound = Max (0, GBP65 − GBP50( 1.02)− (0.25) ) = GBP 15.25

3. EN: Associate each statement on replication strategy with the type of derivative it applies to: 1. At time t = 0, borrow at the risk-free A. Both a call option and a put option rate and purchase the underlying at S0. replication strategy 2. The strategy involves adjustment B. A call option replication strategy over time because the probability of exercise varies. 3. At time t = T, get the loan repayment and C. A put option replication strategy purchase the underlying at ST when exercised.

Ghép mỗi phát biểu về replication strategy với loại derivative mà nó áp dụng: 1. Tại thời điểm t = 0, borrow tại risk-free rate A. Replication strategy của cả call option và put option và mua underlying tại S0. 2. Strategy này cần adjustment B. Call option replication strategy theo thời gian vì probability of exercise thay đổi. 3. Tại thời điểm t = T, nhận khoản loan repayment và C. Put option replication strategy mua underlying tại ST khi được exercise.

*EN: * *1.*B is correct. At time t = 0, a call option replication strategy entails borrowing at the risk-free rate and buying the underlying asset.

Lời giải:

EN: * 2. A is the right answer. Since both a call option and a put option have an asymmetric payoff structure, the replication strategy needs to be updated depending on the probability of exercise.*

• *1.**B là đáp án đúng. Tại thời điểm t = 0, một call option replication strategy bao gồm borrowing tại risk-free rate và mua underlying asset.

EN: * 3. C is the right answer. The replication of a put option if exercised entails receiving the loan payment and buying the underlying at ST at t = T .*

• 2.* A là đáp án đúng. Vì cả call option và put option đều có cấu trúc asymmetric payoff, replication strategy cần được cập nhật tùy thuộc vào probability of exercise.

• 3.* C là đáp án đúng. Replication của một put option, nếu được exercise, bao gồm việc nhận loan payment và mua underlying tại ST vào t = T .

4. EN: Explain the important distinction between the evolution of the replication of a contingent claim compared to that of a forward commitment throughout the term of the contract.

Giải thích điểm khác biệt quan trọng giữa sự phát triển của replication đối với contingent claim so với forward commitment trong suốt thời hạn của hợp đồng.

EN: An option has an asymmetric payoff pattern because the option holder will execute the option only if the exercise value of the option is positive. Since the probability of the execution of the option varies over time, the transactions used for replicating an option will need updating over time. A forward commitment has a symmetric payoff pattern and will settle for certain at some point in the future. Therefore, the transactions used for replicating an option will not need updating over time.

Lời giải:

Một option có mô hình payoff bất đối xứng vì option holder sẽ chỉ execute option nếu exercise value của option là dương. Vì probability of execution của option thay đổi theo thời gian, các transactions được sử dụng để replicating một option sẽ cần được cập nhật theo thời gian. Một forward commitment có mô hình payoff đối xứng và chắc chắn sẽ settlement tại một thời điểm nào đó trong tương lai. Do đó, các transactions được sử dụng để replicating một option sẽ không cần được cập nhật theo thời gian.

Xác định các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của một option và giải thích cách mỗi yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của một option.

Bây giờ, chúng ta chuyển sang việc xác định và mô tả các yếu tố khác nhau ảnh hưởng đến giá trị của một option. Có một số yếu tố chung cho cả forward commitments và contingent claims, và có một số yếu tố cụ thể chỉ riêng cho contingent claims. Các yếu tố quyết định giá trị của một option bao gồm giá trị của underlying, exercise price, time to maturity, risk-free interest rate, volatility của underlying price và bất kỳ income hoặc cost nào liên quan đến underlying asset.

Giá trị của Underlying

Tác động của những thay đổi trong giá trị của underlying sẽ tương tự đối với quyền giao dịch underlying theo option contract và nghĩa vụ giao dịch theo forward commitment. Ví dụ, một call option và một long forward contract sẽ tăng giá trị nếu spot price của underlying tăng, trong khi một put option và một short forward contract sẽ tăng giá trị nếu spot price của underlying giảm, như được minh họa trong Exhibit 6.

Exhibit 6: Giá trị Call và Put Option so với Giá trị Underlying

Một trong những đặc điểm phân biệt forward commitments với contingent claims là mức độ thay đổi giá của một derivative trước một thay đổi nhất định trong underlying value. Trong trường hợp forward commitments, giá trị của derivative là một hàm tuyến tính (một-một) của underlying price, trong khi trong trường hợp contingent claims, giá trị của derivative là một hàm phi tuyến của underlying price và phụ thuộc vào probability rằng người mua option sẽ chọn exercise trong tương lai. Probability người mua option exercise càng cao, độ nhạy của giá trị option đối với underlying price càng lớn. Probability này phụ thuộc vào tỷ lệ giữa giá trị của underlying và exercise price, đây là một trong những đặc điểm riêng biệt của option contract và sẽ được thảo luận dưới đây.

Exercise Price

Exercise price là ngưỡng mà trên đó người mua option sẽ chọn giao dịch tại maturity của hợp đồng. Trong trường hợp call option, exercise price là ngưỡng thấp hơn đối với exercise value của option tại maturity, điều này dẫn đến giá trị option lớn hơn khi exercise price thấp hơn. Vì settlement của call options được xác định bởi Max(0, ST − X ), X thấp hơn sẽ làm tăng cả probability of exercising và settlement value.

Ngược lại, đối với put option, exercise price là ngưỡng trên đối với exercise value của option tại maturity. Do đó, exercise price mà tại đó người mua put option có quyền bán underlying càng lớn thì giá trị option càng lớn. Exhibit 7 minh họa tác động khác nhau của những thay đổi exercise price đối với call và put options.

Exhibit 7: Giá trị Call và Put Option so với Exercise Price

Time to Expiration

Như đã thảo luận trước đó trong lớp, time value, hay chênh lệch giữa option price và exercise value, đề cập đến xác suất mà sự thay đổi tích cực của giá underlying sẽ khiến việc thực hiện option trở nên có lợi hơn. Trái ngược với forward contract, trong đó có xác suất ngang nhau về việc underlying tăng hoặc giảm giá trong một khoảng thời gian tương đối dài, cấu trúc payoff bất đối xứng của option khiến có thể bỏ qua tất cả các kịch bản mà option hết hạn mà không được thực hiện.

Việc tăng time to expiration sẽ luôn làm tăng giá trị của call option trong mọi kịch bản. Tiềm năng tăng giá của underlying là không giới hạn và tăng theo thời gian, trong khi rủi ro giảm giá của việc nắm giữ option chỉ giới hạn ở khoản mất premium.

Giá trị của put option, vốn cho quyền bán underlying, cũng thường tăng theo thời gian. Đối với put option, khả năng underlying giảm giá xuống dưới exercise price tăng lên, trong khi khoản lỗ từ việc nắm giữ option chỉ giới hạn ở premium trong kịch bản underlying tăng giá. Tuy nhiên, vì put options được nhà đầu tư mua để bán underlying và nhận ( X − ST ) tại expiration, việc tăng time to expiration làm giảm present value của pay-off. Trong một số trường hợp, giá trị của put option có thể giảm theo thời gian, đặc biệt đối với deep in the money put options khi time to expiration dài và risk-free rate cao.

Risk-Free Interest Rate

Một bài học trước đã xác lập rằng risk-free rate là opportunity cost của việc nắm giữ một asset. Phương pháp no arbitrage valuation hàm ý rằng risk-free rate sẽ quyết định giá trị của derivatives. Ví dụ, đã được thảo luận rằng exercise value của một option có thể được biểu diễn là chênh lệch giữa spot price và present value của exercise price:

Exercise Value của Call Option: Max (0, ( St − PV( X )))

Exercise Value của Put Option = Max (0, (PV(X) − St))

Do đó, risk-free interest rate cao hơn sẽ dẫn đến present value thấp hơn của exercise price của một option nếu option đang in the money. risk-free rate cao hơn sẽ làm tăng exercise value của call option nhưng làm giảm exercise value của put option. Hãy nhớ rằng risk-free rate sẽ không ảnh hưởng đến time value của một option.

Volatility of the Underlying

Option volatility được định nghĩa là mức độ biến động dự kiến của các chuyển động giá của underlying. Sự gia tăng price volatility của underlying sẽ làm tăng xác suất có exercise value dương cao của một option mà không ảnh hưởng đến kịch bản bất lợi, trong đó option hết hạn mà không được thực hiện, như được minh họa trong Exhibit 8. Lưu ý rằng điều này áp dụng cho cả calls và puts.

Ví dụ, volatility cao hơn sẽ dẫn đến phạm vi giá của underlying rộng hơn, làm tăng time value và xác suất một option kết thúc in the money. volatility thấp hơn sẽ làm giảm time value của cả calls và puts.

Exhibit 8: Volatility and Option Value

Income or Cost Related to Owning Underlying Asset

Trong một bài học trước, đã chứng minh rằng các lợi ích và bất lợi của việc sở hữu một underlying asset trong một khoảng thời gian ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa spot prices và forward prices. Ví dụ, các lợi ích của việc sở hữu một underlying asset (income hoặc các lợi ích khác như convenience yield) thuộc về người nắm giữ underlying asset nhưng không thuộc về người nắm giữ derivative. Điều này áp dụng cho cả forward contracts và contingent claims. Lợi ích của việc sở hữu một underlying asset sẽ làm giảm giá trị của call option trong khi làm tăng giá trị của put. Các bất lợi của việc sở hữu underlying (carry costs) sẽ có tác động ngược lại; làm tăng giá trị của call và làm giảm giá trị của put option. Tóm tắt các yếu tố quyết định option value được trình bày trong Exhibit 9, với các dấu trên option value biểu thị tác động (dương hoặc âm) của việc tăng biến số.

Exhibit 9: Các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị của một Option

QUESTION SET

Các yếu tố ảnh hưởng đến Option Value

1. Hãy tìm các đáp án đúng theo thứ tự để hoàn thành câu dưới đây: Đối với call option, là quyền mua underlying asset, exercise price là cận _____________ của exercise value của một option tại maturity và dẫn đến giá trị ___________ của option khi exercise price thấp hơn.

Lời giải:

Đối với call option, là quyền mua underlying asset, exercise price là cận ____________ của exercise value của một option tại maturity và dẫn đến giá trị __________ của option khi exercise price thấp hơn.

2. Hãy chọn sự thay đổi tương ứng trong giá trị của option theo sự thay đổi của biến số (giữ tất cả các biến số khác không đổi):

3. Exercise price thấp hơn ( X ) A. Tăng giá trị của cả call option và put option

4. Underlying price thấp hơn ( ST ) B. Tăng giá trị của call option

5. Tăng volatility của underlying C. Dẫn đến tăng giá trị của put option

Lời giải:

• 1.* B là đáp án đúng. Giá trị của call option tăng khi exercise price giảm. Vì call option tạo ra payoff là Max(0, ST - X ) tại maturity khi ST, việc giảm X sẽ dẫn đến tăng settlement value.

• 2.* C là đáp án đúng. Giá trị của put option tăng khi underlying price (ST) giảm. Vì put option là quyền bán underlying tại exercise price (X), payoff của put option là Max(0, X - ST) tăng khi underlying price (ST) giảm.

• 3.* A là đáp án đúng. Sự gia tăng volatility của underlying price dẫn đến tăng giá trị của cả call và put options. Điều này là do sự biến động giá của underlying làm tăng xác suất nhận được payoff cao hơn từ call hoặc put option nhưng không làm tăng xác suất nhận được payoff thấp hơn.

3. Hãy xác định các đáp án đúng để hoàn thành các câu sau: Một khác biệt lớn giữa forward contracts và contingent claims là __________ của sự thay đổi giá của một derivative khi underlying asset thay đổi một đơn vị. Giá của forward contract phụ thuộc vào underlying price theo cách ______ so với option có mối quan hệ ______.

Lời giải:

Một trong những khác biệt chính giữa forward commitment và contingent claims nằm ở quy mô thay đổi trong giá trị của một derivative do một sự thay đổi nhất định trong underlying asset price. Trong trường hợp forward commitment, giá của derivative phụ thuộc tuyến tính vào underlying asset price, trong khi đối với option, nó phụ thuộc phi tuyến tính vào underlying asset price.

4. Hãy thảo luận tác động của việc giảm risk-free rate of interest đối với giá của put và call options và giải thích lập luận cho câu trả lời của bạn.

   • Lời giải:

• Việc giảm risk-free rate làm tăng present value của exercise price (PV( X )) của một option. Exercise value của một in-the-money call option giảm, bởi vì ( St − PV( X )) nhỏ hơn trong trường hợp PV( X ) lớn hơn, và exercise value của một in-the-money put option tăng, bởi vì (PV( X ) − St ) trở nên lớn hơn trong trường hợp PV( X ) lớn hơn. Cần lưu ý rằng time value của một option không bị ảnh hưởng bởi risk-free rate of interest.

Bài tập thực hành

EN: The Viswan Family Office (VFO) holds shares of Biomian Limited, which does not pay dividends, valued at INR 295. VFO’s CIO considers selling the shares at the forward price ( F0 ( T )) of INR 300.84 in six months based on a risk-free rate of 4%. You are expected to suggest the purchase of a put option or the selling of a call option with the exercise price ( X ) equal to the forward price ( F0 ( T )) as an alternative to a forward sale of shares.

Thông tin sau đây liên quan đến các câu hỏi 1-9

EN: * 1. Which of the following statements regarding the prices of put and call options is correct?*

Viswan Family Office (VFO) nắm giữ cổ phiếu của Biomian Limited, công ty không trả dividends, có giá trị INR 295. CIO của VFO cân nhắc bán số cổ phiếu này tại forward price ( F0 ( T )) là INR 300.84 trong sáu tháng, dựa trên risk-free rate 4%. Bạn được yêu cầu đề xuất việc mua put option hoặc bán call option với exercise price ( X ) bằng forward price ( F0 ( T )) như một phương án thay thế cho việc bán cổ phiếu theo forward.

EN: - A. The premium for a call option only has time value component and the premium for a put option only has exercise value component.

Câu nào sau đây liên quan đến giá của put và call options là đúng?

EN: - B. The premium for a call option only has exercise value component and the premium for a put option only has time value component.

• A. Premium của call option chỉ có thành phần time value và premium của put option chỉ có thành phần exercise value.

EN: - C. The premium for a call option only has time value component and the premium for a put option only has time value component.

• B. Premium của call option chỉ có thành phần exercise value và premium của put option chỉ có thành phần time value.

EN: * 2. Choose the statement that best explains an important difference between two option strategies involving put option purchase and call option sale as far as time value of options is concerned?*

• C. Premium của call option chỉ có thành phần time value và premium của put option chỉ có thành phần time value.

EN: - A. Time value erosion is an advantage for both option strategies.

Hãy chọn phát biểu giải thích đúng nhất một khác biệt quan trọng giữa hai option strategies liên quan đến việc mua put option và bán call option xét về time value của options.

EN: - B. The time value decay is a cost to both option strategies.

• A. Time value erosion là một lợi thế đối với cả hai option strategies.

EN: - C. The time value decay is an advantage to selling a call option and a disadvantage to buying a put option.

• B. Time value decay là một chi phí đối với cả hai option strategies.

EN: * 3. VFO is considering the acquisition of the put option in order to protect itself from any fall in Biomian’s stock price. Which one of the following options best describes the relationship between the put option and the forward option in terms of no arbitrage condition?*

• C. Time value decay là một lợi thế đối với việc bán call option và là một bất lợi đối với việc mua put option.

EN: - A. The profit from the sale of the forward contract will be equal to the profit from the put option if the put option is in the money upon its maturity.

VFO đang cân nhắc mua put option nhằm bảo vệ mình trước bất kỳ sự giảm giá nào của cổ phiếu Biomian. Phương án nào sau đây mô tả đúng nhất mối quan hệ giữa put option và forward option xét theo điều kiện no arbitrage?

EN: - B. The loss on the forward contract will exceed the loss on the put option at maturity, provided that the stock price of Biomian exceeds the forward price by more than the put option premium paid initially.

• A. Profit từ việc bán forward contract sẽ bằng profit từ put option nếu put option in the money tại maturity.

EN: - C. It is impossible to give an answer because the value of the option at maturity is not known to us.

• B. Loss trên forward contract sẽ vượt quá loss trên put option tại maturity, với điều kiện stock price của Biomian vượt forward price nhiều hơn put option premium đã trả ban đầu.

EN: * 4. In connection with the evaluation of the put option strategy bought by your company, the CIO of VFO asks you to sell this put after 3 months if its value rises during that period of time. The no-arbitrage put price at*

• C. Không thể đưa ra câu trả lời vì chúng ta không biết giá trị của option tại maturity.

Liên quan đến việc đánh giá put option strategy mà công ty bạn đã mua, CIO của VFO yêu cầu bạn bán put này sau 3 tháng nếu giá trị của nó tăng trong khoảng thời gian đó. no-arbitrage put price tại

EN: - A. Since the company will exercise the put only if the spot price is smaller than the exercise price, the lower limit of the put price equals the larger of zero and the present value of the spot price subtracted from the exercise price.

thời điểm đó?

EN: - B. Since the company will exercise the put only if the spot price is smaller than the exercise price, the upper limit of the put price equals the present value of the exercise price subtracted from the spot price.

• A. Vì công ty chỉ thực hiện put khi spot price thấp hơn exercise price, cận dưới của put price bằng giá trị lớn hơn giữa 0 và present value của spot price được trừ khỏi exercise price.

EN: - C. The put price cannot be larger than the forward price and cannot be smaller than the larger of zero and the present value of the exercise price subtracted from the spot price.

• B. Vì công ty chỉ thực hiện put khi spot price thấp hơn exercise price, cận trên của put price bằng present value của exercise price được trừ khỏi spot price.

EN: * 5. VFO plans to use the sold call approach to create some revenue through the sale of a call. In the scenario analysis for the sold call option strategy, VFO has requested you to calculate the value of the call option after 3 months if the spot price of Biomian is INR 325 per share. Considering the estimated call value of INR 46.41, what is the correct way to describe the relation between the exercise value and the time value of the call?*

• C. Put price không thể lớn hơn forward price và không thể nhỏ hơn giá trị lớn hơn giữa 0 và present value của exercise price được trừ khỏi spot price.

EN: - A. The exercise value of the call is INR 24.16, while its time value is INR 22.25.

VFO dự định sử dụng sold call approach để tạo ra một khoản revenue thông qua việc bán một call. Trong scenario analysis cho sold call option strategy, VFO yêu cầu bạn tính giá trị của call option sau 3 tháng nếu spot price của Biomian là INR 325 mỗi cổ phiếu. Với estimated call value là INR 46.41, cách mô tả nào sau đây là đúng về mối quan hệ giữa exercise value và time value của call?

EN: - B. The exercise value of the call is INR 27.10, while its time value is INR 19.31.

• A. Exercise value của call là INR 24.16, trong khi time value của nó là INR 22.25.

EN: - C. The exercise value of the call is INR 20.99, while its time value is INR 25.42.

• B. Exercise value của call là INR 27.10, trong khi time value của nó là INR 19.31.

EN: * 6. What would be the correct statement regarding the replication of selling a call option on Biomian by VFO, considering the certainty of exercise?*

• C. Exercise value của call là INR 20.99, trong khi time value của nó là INR 25.42.

EN: - A. Borrow X (1 + r )-T at the risk-free interest rate and invest the borrowed funds in Biomian stock at the prevailing spot price, S 0. At expiration, sell the Biomian stock to repay the risk-free loan.

Phát biểu nào sau đây là đúng về replication của việc VFO bán một call option trên Biomian, xét đến sự chắc chắn của việc exercise?

EN: - B. Short the Biomian stock at the prevailing spot price, S 0, and invest the proceeds from the sale in a risk-free loan of X (1 + r )-T. At expiration, repay the risk-free loan with X and repurchase the Biomian stock.

• A. Borrow X (1 + r )-T tại risk-free interest rate và đầu tư số tiền vay vào cổ phiếu Biomian tại spot price hiện hành, S 0. Tại expiration, bán cổ phiếu Biomian để hoàn trả risk-free loan.

EN: - C. Short the Biomian stock at the prevailing spot price, S 0, and borrow X (1 + r )-T at the risk-free interest rate. At expiration, repay the risk-free loan with X and repurchase the Biomian stock.

• B. Short cổ phiếu Biomian tại spot price hiện hành, S 0, và đầu tư khoản tiền thu được từ việc bán vào risk-free loan có giá trị X (1 + r )-T. Tại expiration, hoàn trả risk-free loan bằng X và mua lại cổ phiếu Biomian.

EN: * 7. Concerned about the impact of increased volatility of the underlying Biomian stock on the premium for options, the VFO’s CIO is analyzing the sold call and purchased put strategy at the forward price. Which one of the following statements about volatility change and its effect on strategy is correct?*

• C. Short cổ phiếu Biomian tại spot price hiện hành, S 0, và borrow X (1 + r )-T tại risk-free interest rate. Tại expiration, hoàn trả risk-free loan bằng X và mua lại cổ phiếu Biomian.

EN: - A. The change in the volatility of the underlying shares will have the same impact on put and call option premiums; thus, it should not influence the choice of strategy by VFO.

Lo ngại về tác động của việc volatility của underlying là cổ phiếu Biomian tăng lên đối với premium của options, CIO của VFO đang phân tích sold call và purchased put strategy tại forward price. Phát biểu nào sau đây về sự thay đổi volatility và tác động của nó lên strategy là đúng?

EN: - B. As the volatility change of the underlying stocks has the opposite impact on the put and call option strategies, this change will make the put strategy more attractive than the call strategy.

• A. Sự thay đổi volatility của underlying shares sẽ có tác động giống nhau đến put và call option premiums; do đó, nó không nên ảnh hưởng đến việc VFO lựa chọn strategy.

• B. Vì sự thay đổi volatility của underlying stocks có tác động ngược nhau đến put và call option strategies, sự thay đổi này sẽ khiến put strategy hấp dẫn hơn call strategy.

EN: - C. The increase in the volatility of the underlying stocks will raise the price of the put strategy as well as the premium of the call strategy, making the latter strategy more attractive than the put one.

EN: * 8. In analyzing the Biomian purchased put and sold call strategies, what statement best describes how the call and put prices react to non-volatility changes?*

• C. Việc volatility của underlying stocks tăng sẽ làm tăng giá của put strategy cũng như premium của call strategy, khiến strategy sau hấp dẫn hơn strategy put.

EN: - A. The changes in the time to maturity and the risk-free interest rate have a similar impact on the put and call strategies, but changes in the exercise price usually have the opposite impact.

Khi phân tích Biomian purchased put và sold call strategies, phát biểu nào mô tả đúng nhất cách call và put prices phản ứng với các thay đổi không liên quan đến volatility?

EN: - B. Changes in the time to maturity have a similar impact on the put and call strategies, whereas changes in the exercise price and the risk-free interest rate have the opposite impact.

• A. Các thay đổi về time to maturity và risk-free interest rate có tác động tương tự đến put và call strategies, nhưng các thay đổi về exercise price thường có tác động ngược nhau.

EN: - C. The impact on the risk-free rate is the same on the two options strategies, while the impact on the exercise price and time to expiration is opposite.

• B. Các thay đổi về time to maturity có tác động tương tự đến put và call strategies, trong khi các thay đổi về exercise price và risk-free interest rate có tác động ngược nhau.

EN: * 9. VFO is worried about the possibility of rising interest rates in the future. Among the following statements, which one gives the best possible description of the impact of the rising interest rates after implementing the two options strategies on the option prices?

• C. Tác động của risk-free rate là giống nhau đối với hai options strategies, trong khi tác động của exercise price và time to expiration là ngược nhau.

EN: - A. Rising risk-free rates will be favorable for VFO if the company follows the call option strategy because call options become more valuable with the rise in risk-free rate.

VFO lo ngại về khả năng interest rates tăng trong tương lai. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào mô tả đúng nhất tác động của việc interest rates tăng sau khi triển khai hai options strategies đối với option prices?

EN: - B. Rising risk-free rates will be favorable for VFO if the company follows the put option strategy because the company will lock the put option price at lower interest rates.

• A. Việc risk-free rates tăng sẽ có lợi cho VFO nếu công ty theo call option strategy vì call options trở nên có giá trị hơn khi risk-free rate tăng.

• B. Việc risk-free rates tăng sẽ có lợi cho VFO nếu công ty theo put option strategy vì công ty sẽ khóa put option price tại mức interest rates thấp hơn.

• EN: C. Rising risk-free rates will be unfavorable for both options strategies. C. Việc risk-free rates tăng sẽ bất lợi cho cả hai options strategies.

LỜI GIẢI

1. EN: Answer C is correct. Since the present value of the exercise price is 295 rupees, the same as the stock price, the exercise value of both the call and put options is zero. Thus, the premiums of both of the options include time value only. Answer A is wrong because this statement doesn't correctly consider discounting the exercise price. Answer B is wrong because the exercise value is not included in the premium of the call option.

   Đáp án C là đúng. Vì present value của exercise price là 295 rupee, bằng với stock price, exercise value của cả call option và put option đều bằng 0. Do đó, premiums của cả hai options chỉ bao gồm time value. Đáp án A sai vì phát biểu này không xem xét đúng việc discounting exercise price. Đáp án B sai vì exercise value không được bao gồm trong premium của call option.

2. EN: Answer C is correct. The portion of an option premium, which is called time value, decreases as time goes by until the expiration date approaches. In other words, a purchased option becomes less valuable due to the decrease in time value, while a sold option increases in value. Answer A is wrong because the time value decay is the cost of the put strategy. Answer B is wrong because the time value decay is the benefit of the sold option strategy.

   Đáp án C là đúng. Phần của một option premium, được gọi là time value, giảm dần theo thời gian khi expiration date đến gần. Nói cách khác, một purchased option trở nên ít giá trị hơn do time value giảm, trong khi một sold option tăng giá trị. Đáp án A sai vì time value decay là chi phí của put strategy. Đáp án B sai vì time value decay là lợi ích của sold option strategy.

3. EN: Answer B is correct. The loss from selling forward will be larger than the loss from purchasing a put option at maturity if Biomian's stock price is higher than the forward price by the amount of the premium of the put option. VFO's loss from selling forward is unlimited because the stock price grows, while the maximum loss from purchasing a put is equal to its premium. Answer A is wrong because it does not consider the premium paid on the put option. Answer C is wrong because the time value of an option is equal to zero at maturity.

   Đáp án B là đúng. Khoản lỗ từ selling forward sẽ lớn hơn khoản lỗ từ purchasing a put option tại maturity nếu stock price của Biomian cao hơn forward price một khoản bằng premium của put option. Khoản lỗ của VFO từ selling forward là không giới hạn vì stock price tăng, trong khi khoản lỗ tối đa từ purchasing a put bằng premium của nó. Đáp án A sai vì không xem xét premium đã trả cho put option. Đáp án C sai vì time value của một option bằng 0 tại maturity.

4. EN: Answer C is correct. The put exercise price, X (which is equal to F0 ( T ) in this problem), is the upper boundary of the put value, while the lower boundary of the put value is the greater one between the present value of the exercise price minus the spot price and zero:

   Đáp án C là đúng. put exercise price, X (bằng F0 ( T ) trong bài này), là cận trên của put value, trong khi cận dưới của put value là giá trị lớn hơn giữa present value của exercise price trừ spot price và 0:

   EN: Answer A is wrong because the lower boundary of the put price is the greater one between zero and the present value of the exercise price minus the spot price. Answer B is wrong because the lower , not the upper, boundary of the put price equals the present value of the exercise price minus the spot price.

   • Max (0, X( 1 + r)− (T−t) − St ) < pt ≤ X

   Đáp án A sai vì cận dưới của put price là giá trị lớn hơn giữa 0 và present value của exercise price trừ spot price. Đáp án B sai vì cận dưới, chứ không phải cận trên, của put price bằng present value của exercise price trừ spot price.

5. EN: The right answer is B. The option price is the sum of the exercise value and the time value. Exercise value of a call option is the maximum of zero and the spot price minus the present value of the exercise price:

   Đáp án đúng là B. option price là tổng của exercise value và time value. Exercise value của một call option là giá trị lớn hơn giữa 0 và spot price trừ present value của exercise price:

   • Max (0, St − X( 1 + r)− (T−t) )

   • = Max(0, INR325 − INR300.84(1.04)-0.25 )

   EN: The time value is equal to the call price minus the exercise value, i.e. INR 19.31 (= INR46.41 − INR27.10). A is incorrect as it uses the spot price minus the exercise price as the exercise value, while C uses the present value of the spot price minus the exercise price as the exercise value.

= INR27.10

time value bằng call price trừ exercise value, tức INR 19.31 (= INR46.41 − INR27.10). A không đúng vì sử dụng spot price trừ exercise price làm exercise value, trong khi C sử dụng present value của spot price trừ exercise price làm exercise value.

6. EN: B is correct. To replicate the sold call, short the underlying and lend money risk free. This is just an opposite approach from that of replicating buying a call option where the underlying is bought using borrowed funds. A is incorrect as it describes replicating the call buying strategy. C is incorrect as selling short and borrowing money at the beginning results in having two cash

   B là đúng. Để replicate sold call, short underlying và lend money risk free. Đây chỉ là cách tiếp cận ngược lại với việc replicate buying a call option, trong đó underlying được mua bằng borrowed funds. A không đúng vì mô tả việc replicate call buying strategy. C không đúng vì selling short và borrowing money lúc ban đầu dẫn đến có hai dòng cash

   EN: inflows at t = 0 followed by two cash outflows at t = T .

   inflows tại t = 0, sau đó là hai cash outflows tại t = T .

7. EN: The right answer is C. An increase in the volatility of the underlying share price will increase the premiums on both the sold call option and the purchased put option. Since the purchased put strategy requires the upfront higher payment from VFO and the sold call strategy requires a higher premium income, the increase in the volatility will make the call strategy more attractive than the put one.

   Đáp án đúng là C. Việc volatility của underlying share price tăng sẽ làm tăng premiums của cả sold call option và purchased put option. Vì purchased put strategy yêu cầu VFO thanh toán một khoản cao hơn upfront và sold call strategy mang lại premium income cao hơn, việc volatility tăng sẽ khiến call strategy hấp dẫn hơn put strategy.

8. EN: The right answer is B. While changes in the time to maturity usually produce a similar effect on both put and call options (except for the deep in the money put in some cases), changes in the exercise price and the risk-free rate will have the opposite effect.

   Đáp án đúng là B. Trong khi những thay đổi về time to maturity thường tạo ra tác động tương tự đối với cả put và call options (ngoại trừ deep in the money put trong một số trường hợp), những thay đổi về exercise price và risk-free rate sẽ có tác động ngược chiều.

9. EN: C is the right answer. As both of the two strategies being short strategies, VFO will delay its money flows; hence, increased risk-free interest rates will be negative. Choice A is wrong since this represents the value effect of buying a call option. Choice B is also wrong since the locked-in premium will reduce due to increased interest rates.

   C là đáp án đúng. Vì cả hai strategies đều là short strategies, VFO sẽ trì hoãn money flows của mình; do đó, việc risk-free interest rates tăng sẽ có tác động bất lợi. Lựa chọn A sai vì đây thể hiện value effect của buying a call option. Lựa chọn B cũng sai vì locked-in premium sẽ giảm do interest rates tăng.