Pricing and Valuation of Interest Rates and Other Swaps

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh cần có khả năng:

• thảo luận về sự tương đồng và khác biệt giữa swap contracts và một chuỗi forward contracts
• so sánh value và price của swaps

Như đã lưu ý trong các bài học trước, swap contracts là các cam kết chắc chắn nhằm trao đổi một chuỗi cash flows trong tương lai, trong đó loại phổ biến nhất là interest rate swaps, khi fixed cash flows được hoán đổi lấy floating cash flows. Các bài học sau đó đã giải thích cách price và value forward và futures contracts trong term structure, vốn là nền tảng cho swap contracts.

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu về những điểm tương đồng giữa swap contracts và các loại forward commitment khác. Financial intermediaries thường sử dụng forward rate agreements hoặc interest rate futures contracts để hedge interest rate exposure, trong khi issuers và investors sử dụng swap contracts để phù hợp với rate sensitive assets và liabilities có periodic cash flows, chẳng hạn như fixed coupon bonds, variable rate loans hoặc future commitments. Các bên liên quan không chỉ cần có khả năng phù hợp với future expected cash flows của mình bằng swap contracts, mà những thay đổi trong values của swap contracts cũng cần phù hợp với existing hoặc desirable underlying exposures của họ. Các bài học tiếp theo sẽ giúp so sánh swap contracts và forward contracts, cũng như value và price của swaps.

• Swap contracts là thỏa thuận giữa hai counterparties để trao đổi một chuỗi future cash flows, trong khi forward contracts thể hiện một lần trao đổi value duy nhất trong tương lai.

• Interest rate swaps có những điểm tương đồng với forwards ở chỗ cả hai contracts đều là firm commitments với symmetric payoff profile và không có tiền được trao đổi khi bắt đầu; tuy nhiên, điểm khác biệt giữa interest rate swaps và forwards là swap rate được cố định, trong khi một chuỗi forward contracts có các forward rates khác nhau tại các maturities khác nhau.

• Swap rate được xác định bằng cách tìm par swap rate, là một fixed rate sao cho present value của tất cả future expected floating payments bằng present value của tất cả future fixed payments.

• Value của một swap tại ngày zero bằng zero (không xét đến các costs liên quan đến transactions và counterparty risk). Tại bất kỳ settlement date nào, value của một swap bằng tổng current settlement value của nó và present value của tất cả future swap settlements.

• Value của một swap phụ thuộc vào sự trôi qua của thời gian và những thay đổi trong interest rates. Việc tăng forward rates sẽ làm tăng present value của floating payments và do đó tạo ra mark-to-market (MTM) gain cho fixed-rate payer (floating-rate receiver) và MTM loss cho fixed-rate receiver (floating-rate payer).

Đây là các câu hỏi sơ bộ được thiết kế để kiểm tra kiến thức hiện có của bạn về module này.

1. Đặc điểm nào dưới đây áp dụng cho loại forward commitment contract nào?

2. Được đặc trưng bởi các periodic payments được thực hiện C. Cả interest rate swap và một chuỗi forward rate agreements dựa trên chênh lệch giữa một fixed rate được xác định vào đầu mỗi period và MRR

3. Được đặc trưng bởi symmetric payoff pattern D. Một chuỗi forward rate agreements và value bằng zero cho cả hai bên tại inception

4. Được đặc trưng bởi các periodic payments được thực hiện dựa trên chênh lệch giữa một fixed constant rate và MRR

C. Interest rate swap

Lời giải:

• 1.* B là đáp án đúng. Một chuỗi FRAs được đặc trưng bởi các periodic payments được thực hiện dựa trên chênh lệch giữa một fixed rate được xác định vào đầu mỗi period và MRR.

• 2.* A là đáp án đúng. Cả interest rate swap và một chuỗi forward rate agreements đều được đặc trưng bởi symmetric payoff pattern và value bằng zero cho cả hai bên tại inception.

• 3. Đáp án C là đúng. Trong interest rate swap, các settlements được thực hiện định kỳ tùy thuộc vào chênh lệch giữa một fixed rate không đổi trong suốt thời hạn và MRR.

2. Giao dịch nào dưới đây sẽ cho phép một portfolio manager chuyên về fixed income securities hưởng lợi từ việc interest rates giảm?

   • A. Mua một floating-rate bond

   • B. Tham gia một receive-fixed, pay-floating interest rate swap

Giải thích cách swap contract có liên quan đến nhưng khác với một chuỗi forward contracts

Swap contract là một thỏa thuận trong đó hai bên đồng ý trao đổi một chuỗi future cash flows, trong khi forward contract là một thỏa thuận trong đó value được trao đổi tại một future date. Mặc dù bài học hiện tại đề cập đến interest rate swaps, logic tương tự cũng áp dụng cho các underlying variables khác khi việc trao đổi một chuỗi cash flows diễn ra trong tương lai.

Như đã minh họa trong một bài học trước, implied forward rates có thể được xác định bằng cách sử dụng spot rates. Implied forward rate cho một period cụ thể trong tương lai bằng FRA fixed rate trong cùng period khi không tồn tại các riskless arbitrage opportunities. Cash flow của một period duy nhất của một FRA giống như single-period swap.

Exhibit 1: Swap and FRA Payoff Profile

Trong cả hai trường hợp, chênh lệch giữa một fixed rate, được thỏa thuận tại thời điểm ban đầu, và MRR trong tương lai được tính đến khi tính net cash settlement dựa trên một notional principal nhất định và một time period nhất định. Ví dụ, nếu fixed-rate payer của một swap/FRA có MRR rate được xác định ở mức cao hơn pre-agreed fixed rate, bên đó sẽ có profit và có quyền nhận một net payment từ floating-rate payer. Như chúng ta đã học trước đây, trong trường hợp FRA, net cash settlement được thực hiện một lần, vào đầu interest period, trong khi trong trường hợp standard swap, có periodic settlements vào cuối mỗi corresponding period.

Những điểm tương đồng giữa interest rate forwards và swaps cũng bao gồm symmetrical payoffs và việc không có cash flow exchange tại thời điểm bắt đầu. Counterparty risk là một điểm tương đồng khác vì cả interest rate forward và swap contracts đều có counterparty credit exposure.

Do interest rates có term structure, các FRA fixed rates khác nhau thường áp dụng cho các times to maturity khác nhau. Ngược lại, một standard interest rate swap có fixed rate không đổi cho tất cả các periods trong suốt lifetime của swap. Mối quan hệ này được mô tả bằng đồ họa trong Exhibit 2 và được minh họa định lượng trong Example 1 dưới đây, phần này mở rộng ví dụ trước đây của chúng ta về spot và forward rates.

Exhibit 2: Series of FRAs vs. Standard Interest Rate Swap

Series of Forward Rate Agreements (at Different Fixed Rates)

Standard Interest Rate Swap (At A Constant Fixed Rate)

VÍ DỤ 1

Swaps as a Combination of Forwards

Nhắc lại từ một bài giảng trước, ba government bonds có fixed coupon hằng năm được phát hành gần đây có các coupons, prices, yields to maturity và zero (hoặc spot) rates như sau:

|Số năm đến Maturity|Annual Coupon|PV (trên 100 FV)|YTM|Zero Rates| |1|1.50%|99.125|2.3960%|2.3960%| |2|2.50%|98.275|3.4068%|3.4197%| |3|3.25%|98.000|3.9703%|4.0005%|

Sử dụng công thức dưới đây, chúng ta tính implied forward rate (IFR A, B-A ), là break-even rate để reinvesting cash flow trong future period ( t = A ) giữa short-dated ( zA ) và long-dated ( zB ) zero rates:

(1 + zA )A × (1 + IFR A , B – A )B–A = (1 + zB )B . (1)

Spot rate tại t = 0 (IFR0,1) và implied forward rates sau một năm (IFR1,1) và sau hai năm (IFR2,1) được tính như sau:

IFR0,1 = 2.3960% = (1.023960) – 1.

IFR1,1 = 4.4536% = (1.034197)2 /(1.02396) – 1.

IFR2,1 = 5.1719% = (1.040005)3 /(1.034197)2 – 1.

Một trong các cách để tham gia một forward commitment cho multiple periods với zero initial cost có thể là tham gia một chuỗi forward rate agreements, trong đó việc trao đổi cash flows được thực hiện theo các respective implied forward rates (FRA fixed rate). Tuy nhiên, fixed rate sẽ thay đổi tùy thuộc vào term structure của interest rates. Ngược lại, trong trường hợp interest rate swaps, fixed rate sẽ không đổi trong multiple periods. Rates cho cả hai cách tiếp cận được trình bày dưới đây.

Công thức để tính swap rate đã được thảo luận trong một trong các bài học trước về fixed income. Par rate (PMT) được giải thích là fixed rate khiến fixed coupon bond có price bằng par (hoặc 100) bằng cách sử dụng một tập hợp zero rates ( zi , period i ) làm discount factor, như sau:

Standard interest rate swap có thể được hiểu là việc trao đổi fixed payments (không bao gồm repayment of final principal) tại một fixed rate lấy một dòng payments tại floating rate, được kỳ vọng bằng corresponding implied forward rate tại thời điểm t = 0. Vì vậy, chúng ta phải điều chỉnh công thức tìm par bond rate trong Equation 2 để tính PMT như một par swap rate.

Exhibit 3: Par Swap Rate, Spot, and Forward Curve

Par swap rate là một fixed rate mà tại đó tổng PV của các floating cash flows dự kiến trong tương lai bằng tổng PV của các fixed cash flows:

Σ PV(Floating payments) = Σ PV(Fixed payments), hoặc

Trong ví dụ của chúng ta, gồm ba kỳ, chúng ta sẽ sử dụng implied forward rate, IFR, để tìm swap rate ( s 3), cụ thể là:

Bây giờ, thay thế từng thành phần này vào Equation 3 để xác định giá trị của s 3.

_ _ _ 0.111017 = 1.023962.396%+ ( 1.0341974.4537%)2+ ( 1.0400055.1719%)3 = _ 1.02396 s 3+ _( 1.034197 s 3)2+ _( 1.040005 s 3)3 0.111017 = 2.800545 × s 3. s 3 = 3.9641%.

Swap rate 3 năm bằng 3.9641% có thể được xem là break-even rate đa kỳ, khiến nhà đầu tư không khác biệt giữa việc

• nhận fixed rate và trả forward rate tương ứng hoặc

• trả fixed rate và nhận forward rate tương ứng.

Do đó, fixed swap rate có thể được xem là internal rate of return trên các implied forward rates cho đến khi swap đáo hạn tại t = 0. Như thể hiện trong Exhibit 3, mặc dù tổng giá trị của các forward contracts tương đương bằng 0 tại t = 0, một số forward contract riêng lẻ sẽ có giá trị dương và những hợp đồng khác sẽ có giá trị âm. Ví dụ, fixed-rate receiver (floating rate payer) trong swap ở Example 1 sẽ nhận các cash flow sau sau một năm kể từ bây giờ:

• Nhận fixed swap rate ( s 3) là 3.9641%.

• Trả initial floating rate (IFR0,1) là 2.396%.

• Nhận khoản thanh toán ròng 1.5681% (= 3.9641% - 2.396%) trên notional cho kỳ đó.

Có một số lý do khiến derivative end users, chẳng hạn như issuers và investors, ưu tiên swaps hơn so với các interest rate forwards riêng lẻ. Một trong những lý do chính là khả năng khớp các cash flows của underlying assets hoặc liabilities, cho phép issuer thay đổi exposure structure của mình, như được minh họa trong Example 2.

VÍ DỤ 2

Esterr Inc. Swap sang Fixed

Hãy nhớ lại từ bài học trước rằng Esterr Inc. có một floating rate term loan trị giá CAD250 million với lãi suất Canadian MRR 3 tháng cộng 150 basis points và còn 3.5 năm đến maturity, thanh toán hàng quý. Esterr ký một interest rate swap trị giá CAD250 million, theo đó Esterr sẽ trả fixed quarterly swap rate là 2.05% và nhận MRR floating 3 tháng trên notional amount CAD250 million, dựa trên các payment dates trùng với các payment dates của term loan. Sự kết hợp giữa loan và swap exposure có thể được trình bày như sau:

Nhờ swap, Esterr có thể cố định các interest payments liên quan đến term loan mà không cần xử lý nhiều forward contracts với các forward rates khác nhau. Hãy xem xét một số kịch bản cash flow có thể xảy ra đối với interest rate swap và term loan (chúng ta sẽ giả định rằng mỗi interest period bằng 0.25 năm):

Kịch bản 1:

Swap rate trên CAD MRR = 3.75%. Với tư cách là fixed rate payer,

• Esterr trả swap rate 2.05% và nhận CAD MRR 3.75%,

• do đó Esterr nhận swap ròng 1.70% mỗi quý, và

• thực hiện term loan payment 5.25% (= 3.75% + 1.50%).

interest expense của Esterr sẽ là 3.55% (= 5.25% đã trả - 1.70% đã nhận).

Kịch bản 2:

Swap rate trên CAD MRR = 1.25%. Với tư cách là fixed rate payer,

• Esterr thực hiện fixed swap payment ở mức 2.05% nhưng nhận CAD MRR ở mức 1.25%,

• thực hiện một khoản thanh toán ròng 0.80% cho quý đó, và

■ thực hiện term loan payment 2.75% (= 1.25% + 1.50%).

interest cost của Esterr là 3.55% (= 2.75% + 0.80%). Không quan trọng CAD MMR được xác lập ở mức nào trong mỗi kỳ, interest cost của Esterr mỗi quý xấp xỉ CAD2,218,750 (= 3.55%, [bằng swap rate 2.05% + loan spread 1.50%] × CAD250 million × 0.25 năm).

Là một fixed income security tạo ra các khoản thanh toán định kỳ với số tiền cố định trong suốt kỳ hạn, interest rate swap được kỳ vọng thể hiện các đặc điểm risk và return điển hình của fixed-coupon bond có maturity tương tự. Đặc điểm này khiến interest rate swaps trở thành công cụ đầu tư được ưu tiên để quản lý fixed-income exposure hơn so với forward rate agreements. Hãy xem so sánh sau giữa một cash bond position và việc trả/nhận fixed swap rate:

Exhibit 4: Sử dụng Swaps để Quản lý Fixed-Income Exposure

Mặc dù bài học tiếp theo cung cấp thêm chi tiết về valuation và pricing của interest rate swaps, từ Exhibit 4 có thể thấy rằng long (short) bond position rất giống với receive (pay) fixed interest rate swap. Do có liquidity cao hơn so với các bond positions riêng lẻ và có cùng benchmark exposure profile, các fixed-income portfolio managers chủ động có xu hướng sử dụng swaps thay vì underlying bonds để hedge interest rate exposure của mình. Ví dụ, khi interest rates được kỳ vọng giảm, một portfolio manager có thể cân nhắc nhận fixed trong swap thay vì mua bonds để kiếm lợi từ việc interest rates giảm.

Như đã lưu ý ở trên, FRAs chủ yếu được financial intermediaries sử dụng như một công cụ để hedge rate-sensitive exposure một cách liên tục. Trong khi đó, issuers và investors có xu hướng tận dụng hiệu quả của interest rate swaps để quản lý interest rate exposures của mình. Trong các bài học tiếp theo, bạn sẽ tìm hiểu cách liquidity cao hơn của interest rate swaps đã dẫn đến việc chúng được sử dụng như một bond pricing benchmark cũng như một underlying variable trong derivatives.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: 1. Provide the right answers to complete the following statement: A fixed-rate payer on a swap or FRA will realize a(n) ______ if the MRR sets at a rate higher than the agreed-on fixed rate and will ______ a net payment ______ the floating-rate payer.

Interest Rate Swaps vs. Forward Contracts

1. Điền đáp án đúng để hoàn thành phát biểu sau: Một fixed-rate payer trong swap hoặc FRA sẽ đạt được một khoản ______ nếu MRR được xác lập ở mức cao hơn agreed-on fixed rate và sẽ ______ một khoản thanh toán ròng ______ floating-rate payer.

EN: A fixed-rate payer on a swap or FRA will realize a gain if the MRR sets at a rate higher than the agreed-on fixed rate and will receive a net payment from the floating-rate payer.

Lời giải:

EN: 2. Pick up the characteristic that corresponds to each forward commitment contract.

Một fixed-rate payer trong swap hoặc FRA sẽ đạt được gain nếu MRR được xác lập ở mức cao hơn agreed-on fixed rate và sẽ receive một khoản thanh toán ròng from floating-rate payer.

EN: 1. The cost of the above contract is the implied forward A. Interest rate swap rate, or the breakeven reinvestment rate, for a future time period.

2. Chọn đặc điểm tương ứng với từng forward commitment contract.

EN: 2. Involves counterparty credit risk

1. Chi phí của hợp đồng trên là implied forward A. Interest rate swap rate, hoặc breakeven reinvestment rate, cho một khoảng thời gian trong tương lai.

EN: B. Forward rate agreement

2. Có counterparty credit risk.

EN: 3. Has a constant fixed rate for which the present value of future fixed versus floating cash flows, or both interest rate swaps and forward rate agreements, is zero.

B. Forward rate agreement.

3. Có một fixed rate không đổi mà tại đó present value của các future fixed cash flows so với floating cash flows, hoặc của cả interest rate swaps và forward rate agreements, bằng 0.

EN: 1. B is the right answer. The breakeven reinvestment rate, or implied forward rate, is the no-arbitrage FRA fixed rate.

Lời giải:

EN: 2. C is the right answer. There is credit risk in both the interest rate swaps and forward rate agreements.

1. B là đáp án đúng. breakeven reinvestment rate, hoặc implied forward rate, là FRA fixed rate theo điều kiện no-arbitrage.

EN: 3. A is the right answer. The interest rate swap has a constant fixed rate for which the present value of fixed versus floating cash flow exchanges is zero.

2. C là đáp án đúng. Có credit risk trong cả interest rate swaps và forward rate agreements.

3. A là đáp án đúng. interest rate swap có fixed rate không đổi mà tại đó present value của việc trao đổi fixed cash flows so với floating cash flows bằng 0.

Swap Values and Prices

EN: 3. Determine which of the following advantages of swaps over forward agreements apply best to which of the derivative end users.

EN: 1. Swaps provide for these end users to match the periodic cash flows of a particular balance sheet liability and transform their interest rate exposure profile.

3. Xác định ưu điểm nào sau đây của swaps so với forward agreements phù hợp nhất với từng derivative end user.

EN: A. Both issuers and investors

1. Swaps cho phép các end users này khớp periodic cash flows của một balance sheet liability cụ thể và thay đổi interest rate exposure profile của họ.

EN: 2. Swaps allow these end users to change their interest rate exposure profile without purchasing or selling underlying instruments.

A. Cả issuers và investors.

EN: B. Issuers

2. Swaps cho phép các end users này thay đổi interest rate exposure profile mà không cần mua hoặc bán underlying instruments.

EN: 3. Swaps consisting of a series of cash flows provide for these end users to eliminate the administrative costs associated with entering into and maintaining multiple forward agreements.

B. Issuers.

EN: C. Investors

3. Swaps bao gồm một chuỗi cash flows cho phép các end users này loại bỏ administrative costs liên quan đến việc tham gia và duy trì nhiều forward agreements.

C. Investors.

EN: 1. B is correct. Swaps provide for issuers to match the periodic cash flows of a particular balance sheet liability and transform their interest rate exposure profile, see Example 2.

Lời giải:

EN: 2. C is correct. Swaps allow investors to change their interest rate exposure profile without purchasing or selling underlying instruments.

1. B đúng. Swaps cho phép issuers khớp periodic cash flows của một balance sheet liability cụ thể và thay đổi interest rate exposure profile của họ, xem Example 2.

EN: 3. A is correct. Both issuers and investors are provided with a reduction in administrative costs of entering one interest rate swap for a series of cash flows instead of multiple individual forward agreements.

2. C đúng. Swaps cho phép investors thay đổi interest rate exposure profile mà không cần mua hoặc bán underlying instruments.

EN: 4. Determine whether the statement is true or false and explain why. The market reference rate (MRR) is the internal rate of return on the implied forward rates over the term of an interest rate swap.

3. A đúng. Cả issuers và investors đều được giảm administrative costs khi tham gia một interest rate swap cho một chuỗi cash flows thay vì nhiều forward agreements riêng lẻ.

4. Xác định phát biểu đúng hay sai và giải thích lý do. market reference rate (MRR) là internal rate of return trên implied forward rates trong suốt kỳ hạn của một interest rate swap.

EN: False. The fixed swap rate is the internal rate of return on the implied forward rates over the term of an interest rate swap.

Lời giải:

EN: 5. Discuss how an active fixed-income portfolio manager can benefit from using an interest rate swap rather than the underlying bonds to generate a profit in a falling interest rate environment.

Sai. fixed swap rate là internal rate of return trên implied forward rates trong suốt kỳ hạn của một interest rate swap.

5. Thảo luận cách một active fixed-income portfolio manager có thể hưởng lợi từ việc sử dụng interest rate swap thay vì underlying bonds để tạo ra lợi nhuận trong môi trường interest rates giảm.

EN: One could take advantage by receiving fixed, paying floating on a swap, with the fixed stream of cash flows similar to the cash flows of a fixed-coupon bond. If interest rates are going to decrease, there is going to be an MTM gain in the falling interest rate environment.

Lời giải:

Có thể tận dụng bằng cách nhận fixed, trả floating trong swap, với fixed stream of cash flows tương tự cash flows của một fixed-coupon bond. Nếu interest rates giảm, sẽ có MTM gain trong môi trường interest rates giảm.

so sánh value và price của swaps

Trong bài giảng trước, chúng ta đã tính swap price (hoặc par swap rate) là một periodic fixed rate sao cho present value của tất cả future expected floating cash flows bằng present value của fixed cash flows. Swap rate, ( sN , cho N periods) bằng một

forward rate, F 0( T ), thỏa mãn điều kiện no-arbitrage. Tương tự các forward contracts khác, value của swap tại thời điểm khởi tạo bằng 0 ( V 0( T ) = 0).

Không giống các forward contracts khác, swap liên quan đến nhiều khoản thanh toán thay vì một khoản thanh toán duy nhất tại contract maturity. Như chúng ta đã biết từ bài giảng trước, value của forward contract tại maturity, từ góc độ long forward position (người mua forward contract), là VT ( T ) = ST − F 0( T ), trong đó ST là spot price tại maturity và F 0( T ) là forward price. Đối với swap có periodic exchange payments, MRR hiện tại là "spot" price và fixed swap rate, sN , là forward price. Tính lại công thức này cho fixed-rate payer trong swap, periodic payment value là

Periodic settlement value = (MRR - sN ) × Notional amount × Period. (4)

Value của swap vào bất kỳ settlement date nào là tổng current settlement value trong Equation 4 và present value của future swap settlements. Mặc dù swap market practices có thể khác nhau, trong bài học này, chúng ta giả định rằng MRR được xác lập vào đầu mỗi interest period với cùng periodicity và day count như swap rate. Chênh lệch giữa fixed và floating được trao đổi vào cuối mỗi kỳ.

VÍ DỤ 3

Esterr Inc. Swap Value và Price

Esterr tham gia một interest rate swap 3.5 năm trị giá CAD250 million, trong đó công ty đồng ý trả fixed quarterly swap rate 2.05% và nhận CAD MRR 3 tháng. Fixed swap rate 2.05% mà Esterr trả không thay đổi trong suốt kỳ hạn của swap. Mặc dù CAD MRR 3 tháng đầu tiên đã biết tại t = 0, 13 MRR tiếp theo chưa biết nhưng được kỳ vọng bằng các implied forward rates (IFR) tương ứng của chúng trong mỗi kỳ cho đến maturity. Trong một bài học trước, đã giải thích cách tính IFRs từ zero rates và sau đó sử dụng chúng để xác định fixed swap rate bằng cách cân bằng present value của fixed payments với present value của floating payments.

value của swap contract sẽ thay đổi do cả thời gian và những thay đổi trong interest rates. Trước tiên, chúng ta xem xét ảnh hưởng của thời gian lên swap value, bỏ qua những thay đổi trong interest rates. Cụ thể, giả sử MRR được xác lập trong mỗi kỳ dựa trên implied forward rate tại thời điểm swap được ký kết. Giả sử các implied forward rates áp dụng cho swap của Esterr tại t = 0 như sau:

Dựa trên các forward rates ở trên, Esterr dự kiến sẽ trả net quarterly swap payments trong mỗi quý cho đến kỳ thứ bảy vì (MRR - sN ) = (1.94% - 2.05%) < 0 và nhận net quarterly swap payments từ kỳ thứ tám trở đi vì (MRR - sN ) = (2.18% - 2.05%) > 0. Sử dụng Equation 1, periodic settlement values cho hai kỳ đầu tiên từ góc độ của Esterr, với tư cách fixed-rate payer, như sau:

• Kỳ 1: -CAD968,750 = (0.5% - 2.05%) × CAD250 million × 0.25.

• Kỳ 2: -CAD818,750 = (0.74% - 2.05%) × CAD250 million × 0.25.

Swap MTM value của Esterr ngay sau periodic settlement thứ hai là bao nhiêu, giả sử forward rates không thay đổi? Hãy nhớ rằng swap price (fixed swap rate 2.05%) được xác định tại inception sao cho present value của fixed payments so với floating payments là như nhau.

Giả sử không có thay đổi trong kỳ vọng về interest rates, present value của remaining floating payments sẽ lớn hơn present value của fixed payments (2.05%), vì Esterr đã trả một khoản ròng cho hai settlement periods đầu tiên.

Kỳ hạn theo quý

Có thể thấy từ biểu đồ rằng khi thời gian trôi qua, Esterr đạt MTM gain trên swap, bởi vì

Định giá và Valuation của Interest Rates và các Swaps khác

Σ PV(Floating payments received) > Σ PV(Fixed payments paid).

Cần lưu ý rằng tác động này dựa trên mức IFR và hình dạng của forward rate curve (dốc lên).

Tuy nhiên, nếu chỉ xem xét các thay đổi của interest rates, với điều kiện Esterr trả fixed rate (nhận floating rate) trên swap, chúng ta có thể xác định các điều kiện để Esterr có swap MTM gain hoặc loss:

• Esterr đạt MTM gain trên swap với tư cách fixed-rate payer nếu

• Σ PV(Floating payments received) > Σ PV(Fixed payments paid).

• Esterr chịu MTM loss trên swap với tư cách fixed-rate payer nếu

Σ PV (Floating payments received) < Σ PV (Fixed payments paid)

Sự gia tăng trong kỳ vọng về forward rates sau khi hợp đồng được ký kết sẽ dẫn đến sự gia tăng present value của floating payments received, trong khi fixed swap rate sẽ không thay đổi. Biểu đồ sau minh họa cách các thay đổi trong interest rates ảnh hưởng đến giá trị của swap ngay sau khi swap được khởi tạo:

Lưu ý sự tương đồng giữa swap exposure profile có đặc điểm receive-fixed và long position trong cash fixed-rate bonds. Trong trường hợp thứ nhất, par fixed-rate bond được kỳ vọng sẽ giao dịch tại discount do rates tăng trong forward curve dốc lên, trong khi FRN giao dịch theo MRR vẫn ở par. Trong trường hợp sau, sự giảm của implied forward rates (forward curve dốc xuống) sẽ khiến par fixed-rate bond giao dịch tại premium, trong khi giá của FRN không thay đổi. Chủ đề này sẽ được thảo luận thêm ở phần sau của khóa học.

Định giá và Valuation của Interest Rates và các Swaps khác

Giá và Giá trị của Swap

1. Xác định các đáp án đúng để điền vào chỗ trống: Sự tăng lên của expected forward rates sau inception sẽ ______ present value của floating payments, khiến fixed-rate receiver trải qua sự ______ trong MTM value của swap contract.

Lời giải:

Sự tăng lên của expected forward rates sau inception sẽ tăng present value của floating payments, khiến fixed-rate receiver trải qua sự giảm trong MTM value của swap contract.

2. Hãy cho biết phát biểu sau là đúng hay sai. fixed rate trên interest rate swap được xác định sao cho present value của floating payments (sử dụng các implied forward rates tương ứng cho từng kỳ) bằng present value của fixed payments tại t = 0.

   • Lời giải:

Phát biểu này là đúng. fixed rate của interest rate swap có thể được suy ra bằng cách cân bằng present value của floating payment stream với present value của fixed payment stream. Zero rates được sử dụng để xác định implied forward rates hoặc breakeven reinvestment rates giữa hai zero rates. Các IFR này sẽ là các floating rates tương ứng được áp dụng trong từng future period tại thời điểm t = 0.

3. Xác định mỗi phát biểu sau tương ứng với vị thế nào trong interest rate swap agreement.

4. Tạo ra một số net future A. Fixed-rate payer (Floating-rate receiver) cash flows xác định trong một swap agreement tại thời điểm khởi tạo

5. Đạt MTM gain trong một swap agreement B. Fixed-rate receiver (Floating-rate nếu anticipated future floating-rate contract payments tăng)

6. portfolio duration của một nhà đầu tư có thể C. Neither a fixed-rate payer nor a được tăng lên bằng cách nắm giữ vị thế này fixed-rate receiver trong một swap contract

Lời giải:

• 1. C là đúng. Trong một swap contract, một tập hợp các future cash flows fixed xác định được hoán đổi với một tập hợp các future cash flows floating được kỳ vọng (không chắc chắn). Do đó, cả fixed-rate payer lẫn fixed-rate receiver đều không thể biết net future cash flows của swap ngay từ đầu.

• 2. A là đúng. Đối với fixed-rate payer, gain từ MTM của một swap contract xảy ra nếu expected future floating-rate payments tăng.

• 3. B là đúng. Đối với fixed-rate receiver, có khả năng tăng portfolio duration bằng cách nắm giữ vị thế swap này, vì receive fixed tương đương với long bonds.

4. Điền vào chỗ trống trong phát biểu. Giá trị của một swap tại bất kỳ settlement date nào bằng giá trị settlement _____ cộng với present value của tất cả các swap settlements ______ còn lại. Lời giải: Giá trị của một swap tại bất kỳ settlement date nào bằng giá trị settlement hiện tại cộng với present value của tất cả các swap settlements tương lai còn lại.

5. Giải thích cách một nhà đầu tư có thể giảm duration của fixed-income portfolio bằng cách sử dụng interest rate swap. Lời giải: Trả fixed trong một swap có thể được xem là tương đương với bán một bond, bởi vì fixed-rate payer (floating-rate receiver) long floating rate notes theo market rate of return (MRR) và short fixed rate bond có coupon bằng fixed swap rate.

Định giá và Valuation của Interest Rates và các Swaps khác

Bài tập thực hành

EN: Ace Limited is a financial intermediary which operates in forward and swap markets in respect of its issuing and investing counterparties. You have been requested to provide consultancy services on various issues of the clients in order to decide on how to act best.

Thông tin sau liên quan đến câu hỏi 1-6

EN: * 1. Which of the following statements is related to which of Ace counterparty swap position.*

Ace Limited là một financial intermediary hoạt động trong forward và swap markets liên quan đến các counterparties phát hành và đầu tư của mình. Bạn được yêu cầu cung cấp dịch vụ tư vấn về nhiều vấn đề khác nhau của khách hàng nhằm quyết định cách hành động phù hợp nhất.

EN: 1. Ace’s counterparty holding this swap position will gain an MTM profit in case implied forward rates increase.

• 1.* Phát biểu nào sau đây tương ứng với vị thế swap nào của counterparty của Ace.

EN: 2. Ace’s counterparty holding this swap position will incur a net cash outflow if the starting market reference rate exceeds the swap fixed rate.

1. counterparty của Ace nắm giữ vị thế swap này sẽ đạt MTM profit nếu implied forward rates tăng.

EN: 3. Ace’s counterparty holding this swap position will be exposed to an initial swap contract valuation (not considering the cost of transactions and counterparties’ credit risks) of zero.

2. counterparty của Ace nắm giữ vị thế swap này sẽ chịu net cash outflow nếu starting market reference rate vượt quá swap fixed rate.

EN: A. A receive-fixed interest rate swap

3. counterparty của Ace nắm giữ vị thế swap này sẽ có initial swap contract valuation (không xét transaction costs và counterparties’ credit risks) bằng zero.

EN: B. A pay-fixed interest rate swap

A. receive-fixed interest rate swap

EN: C. Both a receive-fixed and a pay-fixed interest rate swap

B. pay-fixed interest rate swap

EN: * 2. The asset manager, the client of Ace, has a large number of bonds, which are going to mature very soon. The client of Ace plans to invest the money received into bonds, which are going to mature within five years. What course of action should be taken by Ace’s client in the derivatives market to deal with its bond reinvestment problem?*

C. Cả receive-fixed interest rate swap và pay-fixed interest rate swap

• 2.* asset manager, khách hàng của Ace, có một số lượng lớn bonds sắp maturity. Khách hàng của Ace dự định đầu tư số tiền nhận được vào bonds sẽ maturity trong vòng năm năm. Khách hàng của Ace nên thực hiện hành động nào trên derivatives market để xử lý bond reinvestment problem?

• EN: A. It would be reasonable for the client of Ace to receive fixed on a cash settled five-year forward starting swap starting and settling in three months in order to deal with its bond reinvestment problem.

• A. Khách hàng của Ace nên receive fixed trên một cash settled five-year forward starting swap bắt đầu và settlement sau ba tháng để xử lý bond reinvestment problem.

• EN: B. It would be reasonable for the client of Ace to pay fixed on a cash settled five-year forward starting swap starting in three months in order to deal with its bond reinvestment problem.

• B. Khách hàng của Ace nên pay fixed trên một cash settled five-year forward starting swap bắt đầu sau ba tháng để xử lý bond reinvestment problem.

• EN: C. It would be reasonable for the client of Ace to enter into a series of FRAs over the next five years with the client paying the fixed rate and receiving the floating rate each period ending in five years to address its bond reinvestment problem.

EN: * 3. Ace enters a 10-year GBP interest rate swap with a client where Ace receives an initial six month GBP MRR of 1.75% and pays a fixed GBP swap rate of 3.10% for the first semiannual period. Which of the following statements is the most accurate description of the value of the swap from Ace’s point of view three months later after the transaction?*

• C. Khách hàng của Ace nên tham gia một chuỗi FRAs trong năm năm tới, trong đó khách hàng trả fixed rate và nhận floating rate ở mỗi kỳ, kết thúc trong năm năm, để giải quyết bond reinvestment problem.

• 3.* Ace tham gia một GBP interest rate swap kỳ hạn 10 năm với một khách hàng, trong đó Ace receives initial six-month GBP MRR là 1.75% và trả fixed GBP swap rate là 3.10% cho semiannual period đầu tiên. Phát biểu nào sau đây mô tả chính xác nhất về giá trị của swap xét từ góc độ của Ace ba tháng sau transaction?

• EN: A. There is an MTM loss on the swap for Ace since it is required to make a net payment to its counterparty that equals 1.35 percent multiplied by the notional and period.

• A. Ace chịu MTM loss trên swap vì Ace được yêu cầu thực hiện net payment cho counterparty bằng 1.35% nhân với notional và period.

• EN: B. There is an MTM gain on the swap for Ace since once the first known net payment has been made to the counterparty, the future net fixed against floating cash flows must have a positive present value from the viewpoint of Ace.

• B. Ace có MTM gain trên swap vì sau khi first known net payment được thanh toán cho counterparty, future net fixed against floating cash flows phải có present value dương xét từ góc độ của Ace.

• EN: C. Even though the present values of fixed and future cash flows were equated to zero by calculating the swap rate, we lack sufficient information to know if the swap currently has a positive or negative value from the viewpoint of Ace after inception.

EN: * 4. Ace enters a 10-year GBP interest rate swap with its client, receiving a six-month GBP MRR of 1.75% and paying a fixed GBP swap rate of 3.10% in the first semiannual period. Six months down the line, Ace and its counterparty settle the first swap payment, and there has not been any change with regards to the expectations of future interest rates. Which of the following statements is true in the case of Ace?*

• C. Mặc dù present values của fixed và future cash flows đã được cân bằng về zero bằng cách tính swap rate, chúng ta không có đủ thông tin để biết liệu hiện tại swap có giá trị dương hay âm xét từ góc độ của Ace sau inception.

• 4.* Ace tham gia một GBP interest rate swap kỳ hạn 10 năm với khách hàng của mình, nhận six-month GBP MRR là 1.75% và trả fixed GBP swap rate là 3.10% trong semiannual period đầu tiên. Sáu tháng sau, Ace và counterparty settlement first swap payment, và không có thay đổi nào đối với kỳ vọng về future interest rates. Phát biểu nào sau đây là đúng trong trường hợp của Ace?

• EN: A. Ace has an MTM gain on the swap since once it makes the first known net payment to the counterparty, the future net fixed against floating cash flows must have a positive present value from the viewpoint of Ace.

• A. Ace có MTM gain trên swap vì sau khi Ace thực hiện first known net payment cho counterparty, future net fixed against floating cash flows phải có present value dương xét từ góc độ của Ace.

• EN: B. Ace will have an MTM loss on the swap because once Ace gets the first known payment from its counterparty, then the present value of the future net cash flow between fixed and floating rates is negative from Ace’s viewpoint.

• B. Ace sẽ có MTM loss trên swap vì sau khi Ace nhận first known payment từ counterparty, present value của future net cash flow giữa fixed và floating rates là âm xét từ góc độ của Ace.

• EN: C. Although the value of fixed and future cash flows is zero as we calculated the swap rate during inception of the contract, there is no sufficient information to say whether the value of the swap is either positive or negative from Ace’s viewpoint after inception.

EN: * 5. At time t = 0, Ace identifies the following zero rates for three periods:*

• C. Mặc dù giá trị của fixed và future cash flows bằng zero khi chúng ta tính swap rate trong quá trình inception của contract, không có đủ thông tin để nói liệu giá trị của swap là dương hay âm xét từ góc độ của Ace sau inception.

• 5.* Tại thời điểm t = 0, Ace xác định các zero rates sau cho ba periods:

EN: How does Ace calculate the three-period par swap rate ( s 3)?

Ace tính par swap rate cho ba periods ( s 3) như thế nào?

• EN: A. As the par swap rate is the fixed rate where the present value of fixed and future cash flows is equal, Ace discounts each zero rate to the present and solves for s 3 to find that s 3 = 2.961%.

• A. Vì par swap rate là fixed rate tại đó present value của fixed và future cash flows bằng nhau, Ace discount từng zero rate về hiện tại và giải s 3 để tìm ra s 3 = 2.961%.

• EN: B. Given that the par swap rate is the fixed rate at which the present value of fixed and future cash flows is the same, we begin by solving for the implied forward rate per period using zero rates, discounting each implied forward rate to present using zero rates and solve for s 3 to obtain 3.605%.

• B. Vì par swap rate là fixed rate tại đó present value của fixed và future cash flows bằng nhau, chúng ta bắt đầu bằng cách tính implied forward rate cho mỗi period bằng zero rates, discount từng implied forward rate về hiện tại bằng zero rates và giải s 3 để thu được 3.605%.

Định giá và Valuation của Interest Rates và các Swaps khác

• EN: C. Given that the par swap rate is the fixed rate at which the present value of fixed and future cash flows is the same, we begin by solving for the implied forward rate per period using zero rates, discounting each zero rate to present using implied forward rates and solve for s 3 to obtain 3.009%.

EN: * 6. The client of Ace has done a swap of their outstanding fixed rate debt to floating to ensure that there is a match between the asset portfolio cash flow that earns MRR. Which of the following statements best captures the way in which Ace's MTM exposure to the issuer will change in case of a sudden rise in interest rates immediately after initiating the deal?*

• C. Vì par swap rate là fixed rate tại đó present value của fixed và future cash flows bằng nhau, chúng ta bắt đầu bằng cách tính implied forward rate cho mỗi period bằng zero rates, discount từng zero rate về hiện tại bằng implied forward rates và giải s 3 để thu được 3.009%.

• 6.* Khách hàng của Ace đã thực hiện swap khoản fixed rate debt còn tồn đọng của mình sang floating để đảm bảo có sự phù hợp với asset portfolio cash flow tạo ra MRR. Phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất cách MTM exposure của Ace đối với issuer sẽ thay đổi trong trường hợp interest rates tăng đột ngột ngay sau khi khởi tạo giao dịch?

• EN: A. Given that the client is receiving fixed and paying floating in the swap, the client faces an MTM loss from the deal, and this increases the MTM exposure of Ace to the client.

• A. Vì khách hàng receive fixed và pay floating trong swap, khách hàng chịu MTM loss từ giao dịch, và điều này làm tăng MTM exposure của Ace đối với khách hàng.

• EN: B. Given that the client is receiving fixed and paying floating in the swap, the client faces an MTM gain from the deal, and this decreases the MTM exposure of Ace to the client.

• B. Vì khách hàng receive fixed và pay floating trong swap, khách hàng có MTM gain từ giao dịch, và điều này làm giảm MTM exposure của Ace đối với khách hàng.

• EN: C. The reason for not being able to state whether the MTM exposure of Ace to its client goes up or down is because the valuation of the swap includes both the present settlement amount and the future expected settlement amounts.

• C. Lý do không thể khẳng định MTM exposure của Ace đối với khách hàng tăng hay giảm là vì valuation của swap bao gồm cả current settlement amount và future expected settlement amounts.

LỜI GIẢI

1. 1. EN: B is correct. The party who will make money from a pay-fixed swap is the one whose implied forward rates increase.

   B là đáp án đúng. Bên sẽ kiếm được tiền từ một pay-fixed swap là bên có implied forward rates tăng lên.

2. EN: A is correct. The party who receives fixed in a swap contract will have to make a payment if the initial market reference rate is higher than the fixed swap rate.

   A là đáp án đúng. Bên receive fixed trong một swap contract sẽ phải thực hiện một khoản thanh toán nếu initial market reference rate cao hơn fixed swap rate.

3. EN: C is correct. Both a pay-fixed and a receive-fixed swap party will have a zero initial value for the swap contract ignoring costs associated with transactions and the counterparty's credit.

   C là đáp án đúng. Cả bên pay-fixed và receive-fixed trong swap đều sẽ có zero initial value cho swap contract nếu bỏ qua các chi phí liên quan đến giao dịch và credit của counterparty.

4. EN: A is correct. Ace's client needs to be concerned about receiving fixed on a five-year swap. A receive-fixed swap resembles the same risk/reward profile as holding a long fixed-rate bond. Hence, Ace’s client will have the same MTM gains or losses in the swap position as in a five-year bond.

   A là đáp án đúng. Khách hàng của Ace cần quan tâm đến việc receive fixed trong một five-year swap. Một receive-fixed swap có risk/reward profile tương tự như việc nắm giữ một long fixed-rate bond. Do đó, khách hàng của Ace sẽ có cùng MTM gains hoặc losses trong swap position như đối với một five-year bond.

5. EN: Option C is correct. The present value of fixed and future cash flows was equal to zero at time t = 0 by solving the swap rate. Even though we know the settlement value of the swap currently, we cannot ascertain the sign of the swap value after three months from now from Ace’s perspective, since we don’t know the value of the forward interest rates currently.

   Option C là đáp án đúng. present value của fixed và future cash flows bằng 0 tại thời điểm t = 0 bằng cách giải swap rate. Mặc dù hiện tại chúng ta biết settlement value của swap, nhưng chúng ta không thể xác định dấu của swap value sau ba tháng kể từ bây giờ theo góc nhìn của Ace, vì hiện tại chúng ta không biết giá trị của forward interest rates.

6. EN: Option A is correct. Ace pays the first net amount since his fixed rate payment is higher than the floating rate he receives. The implication of this is that the net future cash flows must have positive present value. Option B is incorrect since the option says the opposite of the previous one. Option C is incorrect since we have some forward interest rate expectations.

   Option A là đáp án đúng. Ace thanh toán net amount đầu tiên vì fixed rate payment của anh ấy cao hơn floating rate mà anh ấy nhận được. Điều này hàm ý rằng net future cash flows phải có positive present value. Option B không đúng vì option này nói điều ngược lại với option trước đó. Option C không đúng vì chúng ta có một số forward interest rate expectations.

7. EN: Option B is correct. Given that the expected cash flows on the swap are the forward interest rates, we start by calculating the IFRs using zero interest rates in Equation 1:

   Option B là đáp án đúng. Vì expected cash flows của swap là forward interest rates, chúng ta bắt đầu bằng cách tính các IFRs sử dụng zero interest rates trong Equation 1:

EN: We can solve the IFRs as follows, where IFR0,1 = 2.2727%, IFR1,1 = 3.7975%, and IFR2,1 = 4.8525%. We then substitute the corresponding IFRs in the following equation discounted by zero interest rates and solve for s 3:

(1 + zA )A × (1 + IFR A , B – A )B–A = (1 + zB )B .

Chúng ta có thể giải các IFRs như sau, trong đó IFR0,1 = 2.2727%, IFR1,1 = 3.7975%, và IFR2,1 = 4.8525%. Sau đó, chúng ta thay các IFRs tương ứng vào phương trình sau, được discounted bằng zero interest rates, và giải s 3:

EN: Solving for the left-hand side of the equation, we obtain

Giải vế trái của phương trình, chúng ta thu được

EN: The calculation for the right hand side is

Phép tính cho vế phải là

EN: Both options A and C are wrong since A discounts the zero rate and not the IFR back to the present date, using zero rate whereas C does the opposite.

s 3 = 3.605% = 0.10159 ÷ 2.81819.

Cả options A và C đều sai vì A discount zero rate chứ không phải IFR về present date, sử dụng zero rate, trong khi C thực hiện điều ngược lại.

6. EN: Option A is right. As the client has fixed and floating swaps, when interest rates go up, Σ PV(Floating payments) > Σ PV(Fixed payments), and therefore

   Option A là đúng. Vì khách hàng có fixed và floating swaps, khi interest rates tăng, Σ PV(Floating payments) > Σ PV(Fixed payments), và do đó

EN: will have to pay more in floating rates in the future than what it will get in fixed rates, thus making its MTM value fall and thereby increasing the MTM value of Ace.

sẽ phải trả nhiều hơn ở floating rates trong tương lai so với số tiền nhận được ở fixed rates, từ đó làm MTM value của khách hàng giảm và qua đó làm MTM value của Ace tăng.