Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlyi

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên cần có khả năng:

Mô tả cách xác định giá và giá trị của forward contract tại thời điểm khởi đầu, trong thời hạn hợp đồng và tại thời điểm đáo hạn. Mô tả cách xác định forward rates cho interest rate forwards và việc sử dụng các forward rates này.

Các nguyên tắc định giá forward commitment, các payoff profile và những khái niệm liên quan khác đã được đề cập trong các bài học trước. Cụ thể, đã xác lập rằng mối quan hệ giữa spot price và forward commitment price được quyết định bởi opportunity cost của việc nắm giữ underlying security (được thể hiện bởi risk-free rate) và mọi chi phí hoặc lợi ích bổ sung của việc nắm giữ underlying security. Mối quan hệ giá nêu trên loại trừ khả năng arbitrage và bảo đảm rằng một forward commitment có thể được tái tạo thông qua các giao dịch trên spot market và việc vay/cho vay theo risk-free rate.

Bài học thứ nhất xem xét vấn đề pricing và valuation của forward commitments dựa trên nguyên tắc mark-to-market từ khi khởi đầu cho đến khi đáo hạn. Bài học này có ý nghĩa then chốt đối với việc đánh giá giá trị của bất kỳ asset/liability portfolio nào có chứa forward commitments. Trong bài học thứ hai, vấn đề forward pricing được xem xét đối với các underlying assets/financial instruments có varying maturities như interest rates, credit spreads và volatility. Term structure of prices cho forward commitments đóng vai trò là một yếu tố quan trọng trong pricing swaps và các financial instruments khác được thảo luận trong các bài học tiếp theo.

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying Maturities*

• Giá của forward commitment contract được cố định tại thời điểm khởi đầu hợp đồng, thiết lập cơ sở cho việc trao đổi underlying security (cash) trong tương lai.

• Giá trị của một long forward obligation trước khi đáo hạn bằng current spot price của underlying asset trừ đi present value của forward price được discounted bằng risk-free rate. Mối quan hệ này đảo ngược đối với short forward obligation. Trong foreign exchange, spot price tương đối so với forward price là một hàm của chênh lệch risk-free rates giữa các đồng tiền.

• Khi có các cash flows bổ sung liên quan đến underlying asset, giá trị mark-to-market (MTM) của forward contract được điều chỉnh bằng cách cộng thêm present value của tất cả các cash flows bổ sung cho đến khi underlying asset đáo hạn.

• Một underlying asset có term structure (interest rate) sẽ có các rates/price khác nhau tùy theo time to maturity. Các zero/spot và forward rates này có thể được suy ra từ coupon bonds hoặc market rates của các reference instruments và tạo thành cơ sở cho valuation của interest rate derivatives.

• Implied forward rate là break-even rate của việc tái đầu tư zero-coupon bonds trong các khoảng thời gian khác nhau.

• ■ Forward Rate Agreement (FRA): Các bên đồng ý sử dụng một interest rate cụ thể trong một khoảng thời gian ở tương lai.

Các câu hỏi này nhằm đánh giá mức độ hiểu biết của bạn về Learning Module này.

1. EN: Match the following scenarios with the appropriate forward contract valuation where there is no other cost or benefit.

Hãy ghép các tình huống sau với forward contract valuation phù hợp khi không có chi phí hoặc lợi ích nào khác.

Solution:

1. A đúng. Để đáp ứng yêu cầu no arbitrage, spot price ban đầu, S_0 tại t = 0, phải tương đương với giá trị được discounted của forward price theo risk-free rate r. Sẽ có mark-to-market gain trên forward contract do spot price tăng lên S0+> _S_0.

2. C đúng. Tại bất kỳ time t nào, MTM value, Vt(T), bằng chênh lệch giữa current spot price, St, và present value của forward price được discounted theo risk-free rate, r, hay _F_0(T)(1 + r)-(T -t). Khi St = _F_0(T)(1 + r)-(T -t), thì Vt(T) = 0.

3. B đúng. MTM value của forward contract seller khi settlement tại time T bằng settlement value là _F_0(T) − ST.

4. EN: An increase in the risk-free rate, r, following the inception of a forward contract will cause which of the following to the forward contract’s MTM value to the forward seller if other parameters remain unchanged.

Việc tăng risk-free rate, r, sau khi forward contract được khởi tạo sẽ gây ra điều nào sau đây đối với MTM value của forward contract từ góc độ forward seller, nếu các parameters khác không thay đổi?

A. MTM value của forward contract đối với forward seller sẽ không thay đổi.

B. MTM value của forward contract đối với forward seller sẽ tăng.

C. MTM value của forward contract đối với forward seller sẽ giảm.

Solution:

C đúng. Mark-to-market value từ góc độ forward seller bằng Vt(T) trong phương trình sau: Vt(T) = _F_0(T)(1 + r)–(T–t) − St.

Việc tăng risk-free rate, r, sau khi forward contract được khởi tạo sẽ làm present value của forward price, F0(T), giảm, và điều này sẽ làm giảm MTM value từ góc độ contract seller.

3. EN: Which of the following is closest to the two-year zero rate given a 3% annual coupon bond priced at 99 per 100 face value if a one-year annual coupon bond from the same issuer has a yield-to-maturity of 2.50%?

Điều nào sau đây gần nhất với two-year zero rate, biết rằng một annual coupon bond 3% được định giá 99 trên mỗi 100 face value và một one-year annual coupon bond của cùng issuer có yield-to-maturity là 2.50%?

A. 3.5266%

B. 3.5000%

C. 3.5422%

Solution:

C đúng. yield-to-maturity và zero rate đối với một bond chỉ có một cash flow tại maturity trong một period là giống nhau, do đó one-year zero rate, z1, bằng 2.50%. Giải two-year zero rate (z2) trong phương trình sau: 99 = 3/1.025 + 103/(1 + _z_2)2. Giải _z_2 để được 3.5422%. A không đúng vì 3.5266% là internal rate of return (IRR) được giải cho các cash flows là –99 tại t = 0, 3 tại t = 1 và 103 tại t = 2. Câu trả lời này giả định một flat term structure, điều không phải là giả định đúng theo câu hỏi. B không đúng vì câu trả lời này hàm ý rằng có thể tìm đáp án đúng bằng cách giả định coupon rate là trung bình đơn giản của one-year và two-year zero rates.

4. EN: Which of the following is a correct description of a 2y3y forward rate?

Mô tả nào sau đây đúng về 2y3y forward rate?

A. Implied two-year rate bắt đầu sau ba năm kể từ hiện tại.

B. Implied three-year rate bắt đầu sau hai năm kể từ hiện tại.

C. Implied one-year rate bắt đầu sau hai năm kể từ hiện tại.

Solution:

B đúng. Trong cách gọi forward rates, số thứ nhất phản ánh thời điểm một forward rate bắt đầu; do đó, forward rate nêu trên phản ánh một rate bắt đầu sau hai năm kể từ hiện tại. Số thứ hai

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Different Maturities

Rate được xác định bởi maturity của nó. Vì vậy, 2y3y forward rate biểu thị three-year rate bắt đầu sau hai năm kể từ hiện tại. A không đúng vì đó là mô tả của 3y2y forward rate. C không đúng vì đó là mô tả của 2y1y rate.

Giải thích valuation của một forward contract từ khi khởi đầu, trong suốt thời hạn của hợp đồng cho đến khi đáo hạn

Pricing versus Valuation of Forward Contracts

Giá trị ban đầu của các hợp đồng forward, futures và swaps được các counterparties tham gia bằng 0 (giả định không xem xét transaction costs và counterparty credit risk). Giá trị của một forward commitment không phải là khoản cash outlay tại thời điểm khởi đầu; tuy nhiên, giá của forward commitment là cost of carrying của long cash position xét theo risk-free rate. Giá của một forward rate hoặc forward contract được giao kết tại thời điểm khởi đầu là cố định và thể hiện cơ sở trao đổi underlying asset (hoặc cash) so với spot price tại maturity.

Giá trị của forward contract thay đổi khi thời gian trôi qua hoặc khi spot prices của underlying asset và các parameters khác thay đổi. Marked-to-market value của một hợp đồng thể hiện sự thay đổi trong giá trị của underlying spot price và các yếu tố khác có thể gây ra gain hoặc loss cho một counterparty nếu forward contract được settlement ngay lập tức. MTM gain của forward seller sẽ bằng MTM loss của forward buyer và ngược lại. Một điểm khác biệt quan trọng giữa clearinghouse của futures contract và forward contract là bên trước settlement các thay đổi MTM bằng cash hằng ngày, trong khi bên sau thực hiện điều đó khi forward contract đáo hạn.

Pricing and Valuation of Forward Contracts at Initiation

Trước đây đã học rằng một forward contract được thỏa thuận tại time t = 0 được thực hiện tại một forward price, F 0(T), chịu sự chi phối của các điều kiện no-arbitrage liên quan đến underlying spot price (S 0), risk-free rate of return (r) và mọi chi phí hoặc lợi ích bổ sung từ quyền sở hữu underlying asset cho đến khi forward contract đáo hạn tại time T. Trong một ví dụ trước, AMY Investments đồng ý mua 1,000 cổ phiếu Airbus (AIR) với spot price (ST) tại maturity theo forward price đã thỏa thuận là EUR30 mỗi cổ phiếu, như minh họa trong Exhibit 1 dưới đây.

Exhibit 1: Giá trị Forward Contract tại thời điểm khởi đầu

Giả sử S 0 = EUR29.70, r = 1.00% và T = một năm, F 0(T) bằng EUR30 đáp ứng điều kiện no-arbitrage tại t = 0 (không bao gồm transaction costs). Do đó, forward contract không phải là asset hoặc liability đối với AMY Investments (buyer) hay financial intermediary (seller) và có initial value bằng 0 đối với cả hai bên:

V 0(T) = 0

(1)

Pricing and Valuation of Forward Contracts at Maturity

Nhắc lại bài học trước, có thể thấy rằng một forward contract có payoff structure đối xứng. Tại time T, forward contract sẽ được settlement bằng chênh lệch giữa forward price, F 0(T), và underlying spot price, ST, hay ST − F 0(T) trong trường hợp buyer, như được minh họa trong Exhibit 2.

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying*

Maturities

Exhibit 2: Giá trị Forward Contract tại thời điểm đáo hạn

Do đó, AMY sẽ phải thanh toán mức giá được xác định trước là F 0(T) để đổi lấy underlying asset, tài sản này nếu mua tại thời điểm hiện tại sẽ có spot price là ST. Khi hợp đồng đáo hạn tại time t = T, contract value tại maturity sẽ bằng settlement amount, xét từ góc độ của từng counterparty. Ví dụ, tại time t = T, giá trị của forward contract tại maturity, VT(T), từ góc độ của AMY (một forward contract buyer) sẽ như sau:

• VT(T) = ST − F 0(T) (2)

VÍ DỤ 1

Giá trị các Forward Positions của Biomian tại thời điểm đáo hạn

Viswan Family Office (VFO) sở hữu 10,000 common shares không trả dividend của Biomian Limited, một công ty biotech có trụ sở tại Mumbai, với spot price là INR 295 mỗi cổ phiếu. VFO đã tham gia một forward contract để bán 1,000 cổ phiếu Biomian cho một financial intermediary với giá INR300.84 mỗi cổ phiếu sau sáu tháng. Hãy tính contract value tại maturity, VT(T), từ góc độ buyer và seller nếu spot price tại maturity (ST) là:

• (1) ST = INR 287

(2) ST = INR 312

Lời giải:

VFO thiết lập một forward contract với financial intermediary để bán Biomian tại F 0(T) = INR 300.84. Giá trị của forward contract tại thời điểm bắt đầu giao dịch đối với cả VFO và financial intermediary, V 0(T), bằng 0.

(1) ST = INR287 và F 0(T) = INR300.84. Contract value trên mỗi cổ phiếu tại maturity bằng settlement value của hợp đồng từ góc độ của cả financial intermediary (buyer) và VFO (seller) như sau:

• Buyer (long forward position): VT(T) = ST − F 0(T)

• VT(T) = −INR13.84 = 287 − 300.84

• Viswan Family Office (short forward position): VT(T) = F 0(T) − ST VT(T) = INR13.84 = 300.84 − 287

(2) ST = INR312 và F 0(T) = INR300.84. Contract value trên mỗi cổ phiếu tại maturity bằng settlement value của hợp đồng từ góc độ của cả financial intermediary (buyer) và VFO (seller) như sau:

• Buyer (long forward position): VT(T) = ST − F 0(T)

• VT(T) = INR11.16 = 312 − 300.84

• Viswan Family Office (short forward position): VT(T) = F 0(T) − ST VT(T) = −INR11.16 = 300.84 − 312

Định giá và Xác định Giá trị của Forward Contracts trong Thời hạn của Hợp đồng

Khi hai bên thiết lập một forward contract, thời gian trôi qua và có những thay đổi về spot price của underlying asset, cùng với các yếu tố khác. Mark-to-market value của một hợp đồng, Vt ( T ), là giá trị của hợp đồng thay đổi theo thời gian từ ngày inception cho đến maturity, dựa trên mối quan hệ giữa spot price tại thời điểm t ( St ) và forward price tại thời điểm t được discount tại risk-free interest rate. Exhibit 3 dưới đây cho thấy mối quan hệ này đối với equity forward contract của Airbus từ góc nhìn của AMY Investments (long forward contract position).

• Exhibit 3: Giá trị của Forward Contract tại Thời điểm Inception, Theo Thời gian và tại Maturity*

Thời gian 0 t T AMY AMY AMY Investments Investments Investments Hợp đồng MTM PV của F0(T) ST F0(T) ST Financial Financial Financial intermediary intermediary intermediary V0(T) = 0 Vt(T) = St– PV của F0(T) VT(T) = ST – F0(T)

Định giá và Xác định Giá trị của Forward Contracts và của Underlying có Maturities Khác nhau

Có thể nhắc lại rằng theo arbitrage-free pricing, forward price của một asset không có additional cost hoặc benefit từ việc sở hữu nó đơn giản là future value của spot price tại risk-free interest rate, r :

Forward price, F 0( T ), tại bất kỳ thời điểm t nào trong thời hạn hợp đồng sao cho t < T có thể được viết dưới dạng sau:

PV t của F 0( T ) = F 0( T )(1 + r )-(T-t) (4)

Với St là spot price của underlying asset tại thời điểm t , chúng ta sẽ sử dụng Equation 5 để biểu thị giá trị MTM của forward contract tại thời điểm t , Vt ( T ), như sau:

Vt ( T ) = St − F 0( T )(1 + r )-(T-t) (5)

Xem Exhibit 4 để có biểu diễn đồ thị về cách spot price, forward price và present value của forward price, F 0( T )(1 + r )-(_T-t) , thay đổi theo thời gian trong mối quan hệ với nhau, trong đó đường nét đứt có độ dốc là r .

Exhibit 4: Present Value của Forward Price theo Thời gian

Những mối quan hệ này, cùng với tác động MTM của những thay đổi tức thời trong spot price ( S 0), sẽ được thảo luận trong ví dụ sau.

VÍ DỤ 2

Implied Risk-Free Rate và MTM của Biomian Forward Contract

Tương tự Ví dụ 1, VFO ký một forward contract với một financial intermediary để bán cổ phiếu Biomian tại F 0(T) = INR300.84 mỗi cổ phiếu. Spot price của cổ phiếu hiện tại là INR295 mỗi cổ phiếu.

• 1.* Xác định risk-free rate được hàm ý bởi spot price và forward price.

• 2.* Xác định MTM của forward contract từ góc nhìn của VFO trong trường hợp spot price tăng lên INR325 tại thời điểm hợp đồng được ký kết ( t = 0).

Lời giải:

1. Chúng ta có thể sử dụng Equation 3 - với S 0 = 295, F 0( T ) = 300.84 và T = 0.5 - để giải risk-free rate, r :

• F 0( T ) = S 0(1 + r )T

300.84 = 295(1 + r )0.5

r = 0.04 hoặc 4%

• 2.* Để xác định giá trị MTM của forward contract với tư cách là người bán, chúng ta cần viết lại Equation 5 như sau:

• Vt ( T ) = F 0( T )(1 + r )-(T-t) − St

Lưu ý rằng nếu t = 0, F 0( T )(1 + r )-(T-t) được rút gọn thành F 0( T )(1 + r )-T = S 0, vì vậy giá trị hợp đồng từ góc nhìn của VFO có thể được biểu thị đơn giản là:

• Vt ( T ) = S 0 − S t

−INR30 = INR295 − INR325

Sử dụng S 0+ = INR325 làm spot price đã tăng của Biomian trong kịch bản Giá Biomian mới cao hơn ở trên, chúng ta có thể biểu diễn MTM bằng đồ thị trong sơ đồ sau.

Sự tương tác giữa những thay đổi của spot price trong thời hạn của forward contract và thời gian khiến MTM của forward contract thay đổi theo thời gian thành gain hoặc loss đối với các bên trong hợp đồng, miễn là St ≠ F 0( T )(1 + r )-(T-t) . Điều này được thể hiện trong Exhibit 5, trong đó một risk-free interest rate không đổi được áp dụng trong suốt thời hạn của hợp đồng cho cả long và short forward contract positions.

Exhibit 5: Forward Contract MTM

Ví dụ 3 sẽ giúp minh họa những tương tác này bằng cách sử dụng Biomian forward contract của VFO, cũng như tác động của sự thay đổi trong risk-free interest rate.

• Định giá và Xác định Giá trị của Forward Contracts cũng như của Underlying có Maturities Khác nhau

VÍ DỤ 3

MTM của Biomian Forward Contract theo Thời gian và Những Thay đổi trong Risk-Free Rate

Như đã thấy trong các ví dụ trước, VFO tham gia một forward contract sáu tháng với financial intermediary, theo đó VFO bán cổ phiếu Biomian tại F 0(T) = INR300.84 mỗi cổ phiếu. Spot price tại t = 0 là INR295 mỗi cổ phiếu và risk-free interest rate là 4%.

• 1.* Xác định MTM của forward contract từ góc nhìn của VFO sau ba tháng ( t = 0.25) nếu spot price ( St ) của Biomian giảm xuống INR285 mỗi cổ phiếu.

• 2.* Xác định MTM của forward contract từ góc nhìn của VFO trong Câu hỏi (1) nếu risk-free rate tăng gấp đôi từ 4% lên 8%, và đưa ra diễn giải.

Lời giải:

(1) Từ góc nhìn của người bán forward contract - VFO - công thức để xác định giá trị của hợp đồng được biểu thị từ Equation 5 dưới đây:

• Vt ( T ) = F 0( T )(1 + r )-(T-t) − St

Giải Vt ( T ) với F 0( T ) = 300.84, r = 0.04, T = 0.5, t = 0.25 và St = 285: Vt ( T ) = 300.84(1.04)-(0.25) − 285

Vt ( T ) = INR12.90 MTM gain

(2) Giải Vt ( T ) với công thức và các giá trị hoàn toàn giống như trong Câu hỏi (1) ở trên, ngoại trừ r = 0.08:

• Vt ( T ) = F 0( T )(1 + r )-(T-t) − St

• Giải Vt ( T ) với F 0( T ) = 300.84, r = 0.08, T = 0.5, t = 0.25 và St = 285: Vt ( T ) = 300.84(1.08)-(0.25) − 285

Vt ( T ) = INR10.11 MTM gain

Gain mà VFO đạt được thông qua MTM của forward contract đã giảm INR2.79 (12.90 – 10.11). Việc tăng risk-free rate dẫn đến sự gia tăng opportunity cost của việc nắm giữ tiền mặt và làm giảm giá trị của forward price, do đó làm giảm MTM của forward contract của VFO, Vt ( T ).

Định giá và Xác định Giá trị của Forward Contracts có Additional Costs hoặc Benefits

Cho đến nay trong bài học này, chúng ta đã thảo luận về việc định giá và xác định giá trị của forward contracts với giả định rằng không có cash flows trên underlying asset. Chúng ta đã chứng minh rằng giá trị MTM của hợp đồng tại bất kỳ thời điểm t nào có thể được xác định là chênh lệch giữa spot price hiện tại và present value của forward price tại risk-free rate. Trong trường hợp này, chúng ta chuyển sang xem xét tác động của cost of carry (net cost của việc nắm giữ một asset/index) đối với việc xác định giá trị của forward contract. Hãy nhắc lại mối quan hệ giữa spot price và forward price của underlying asset (có income/benefit, I ; hoặc cost, C ):

Equation 6 xem xét cost of carry và tuân theo điều kiện no-arbitrage tại t = 0 (không bao gồm transaction costs). Một forward contract tại mức giá F 0( T ), bao gồm tất cả costs và benefits đã biết cho đến nay, không phải là asset hay liability đối với buyer hoặc seller tại thời điểm inception của hợp đồng: V 0( T ) = 0. Hơn nữa, vì forward price F 0( T ) bao gồm cost of carry, giá trị tại maturity VT ( T ) bằng chênh lệch giữa spot price ST tại maturity và forward price ban đầu F 0( T ).

Tại bất kỳ thời điểm t nào trong thời hạn của hợp đồng, giá trị của forward contract, Vt ( T ), phụ thuộc vào chênh lệch giữa spot price hiện tại trừ đi present value của bất kỳ costs hoặc benefits còn lại nào từ thời điểm t đến maturity St - PV t ( I ) + PV t ( C ) và present value của forward price PV tF 0( T ) = F 0( T )(1 + r )-(_T-t). Kết quả này được thể hiện trong Equation 7 dưới đây từ góc nhìn của counterparty ở long forward contract position:

Vt ( T ) = ( St − PV t ( I ) + PV t ( C )) − F 0( T )(1 + r )-(T-t) (7)

VÍ DỤ 4

Xác định Giá trị Hightest Equity Forward

Trước đó trong ví dụ này, Hightest Capital đã ký hợp đồng giao 1,000 cổ phiếu Unilever (UL) cho financial intermediary trong sáu tháng tại mức giá EUR 50,631.10 hoặc EUR 50.6311 mỗi cổ phiếu. Dividend hằng quý do Unilever chi trả là EUR 0.30 sau ba tháng và tại thời điểm T, và risk-free rate, r = 5%. Hãy tìm break-even price St của forward contract, khi Vt ( T ) = MTM = 0 sau bốn tháng kể từ inception của hợp đồng, giả định rằng risk-free rate r không thay đổi.

Sử dụng Equation 7 để tính break-even price khi PV t ( C ) = 0:

Vt ( T ) = ( St − PV t ( I )) − F 0( T )(1 + r )-(T-t)

Tiếp theo, giải present value của dividend trên mỗi cổ phiếu, PV t ( I ), vì dividend thứ hai sẽ được nhận sau hai tháng:

PV t ( I ) = EUR0.30(1.05)-0.167

= EUR0.2976

Thay PV t ( I ) = EUR0.2976 vào Equation 5 để giải Vt ( T ) = 0: 0 = ( St − 0.2976) − 50.6311(1.05)-0.167

St = EUR50.2202 + EUR0.2976

= EUR50.5178

Do đó, breakeven spot rate của Hightest Capital, St (trong đó Vt ( T ) = 0), sau bốn tháng kể từ inception của forward contract là EUR50.5178 mỗi cổ phiếu.

Các cam kết mua/bán forward đối với underlying indexes của equity indexes và commodity indexes chủ yếu là index futures contracts được giao dịch trên exchanges. Trong một bài học trước, chúng ta đã sử dụng rate of return của hợp đồng trong suốt thời hạn của nó dưới continuous compounding để giải thích mối quan hệ giữa spot price và forward price của các securities này. Chúng ta sẽ thảo luận về việc xác định giá trị của index futures, cũng như các futures contracts khác, trong một bài học sau.

Định giá và Xác định Giá trị của Forward Contracts và của Underlying có Maturities Khác nhau

Cần lưu ý rằng trong trường hợp foreign exchange forward contracts, cả spot ( S 0, f / d ) và forward ( F 0, f / d ( T )) prices đều được quoted theo đơn vị của price currency ( f hoặc foreign currency) trên mỗi unit của base currency ( d hoặc domestic currency). Mối quan hệ giữa spot price và forward price phụ thuộc vào difference giữa foreign và domestic risk-free rates, rf – rd , như được thể hiện trong Equation 8:

Tại thời điểm trade inception tại t = 0, currency có risk-free rate thấp hơn currency còn lại trong forward period được gọi là giao dịch tại forward premium - nghĩa là cần ít currency đó hơn để mua một unit của currency còn lại.

Giá trị MTM của FX forward tại bất kỳ thời điểm t nào được tính là chênh lệch giữa actual spot FX rate ( St , f / d ) và actual discount factor gắn với interest rate differential hiện tại ( rf − rd ) cho phần thời gian còn lại cho đến maturity, như được đưa ra trong Equation 9:

Những thay đổi trong interest rate differential ( rf − rd ) có thể được diễn giải là sự thay đổi trong relative opportunity cost của các currencies. Như đã được thảo luận trong một bài học trước, sự thay đổi về price của một currency được đo bằng một currency khác được gọi là appreciation hoặc depreciation. Vì vậy, nếu cần ít USD hơn để mua một EUR, USD/EUR exchange rate giảm xuống và USD được nói là appreciates so với EUR.

Do đó, interest rate differential cao hơn, hay nói cách khác là sự gia tăng trong ( rf − rd ), khiến price, hay foreign, currency depreciate trên cơ sở forward, và base, hay domestic, currency appreciate. Ví dụ dưới đây minh họa cách một thay đổi về interest rate ảnh hưởng đến giá trị MTM của FX forward contract.

VÍ DỤ 5

Rook Point Investors LLC FX Forward MTM

Rook Point Investors LLC đã ký một hợp đồng USD/EUR forward long kỳ hạn một năm. Cụ thể, công ty sẽ trao đổi EUR1,000,000 lấy USD1,201,000 sau một năm. Khi hợp đồng được ký kết (thời điểm t = 0), USD/EUR spot exchange rate bằng 1.192 (tức là USD1.192 = EUR1), USD risk-free rate một năm là 0.50%, và EUR risk-free rate một năm là −0.25%.

MTM impact đối với FX forward contract của Rook Point sẽ là gì nếu USD risk-free rate một năm tăng ngay lập tức 0.25%?

Việc USD risk-free rate tăng tức thời 0.25% (từ 0.5% lên 0.75%) làm tăng chênh lệch giữa foreign và domestic risk-free rates ( rf − rd ), làm tăng discount rate được sử dụng để tính present value của forward rate, F 0, f / d ( T ). Vì S 0, f / d > F 0, f / d ( T )e-(r f–r d)(T–t) , V 0( T ) > 0 xét từ góc độ của Rook Point và công ty ghi nhận MTM gain.

Ta có thể giải MTM value tại thời điểm t = 0 bằng cách trước tiên viết lại Equation 9: Vt ( T ) = S 0, USD/EUR − F 0, USD/EUR ( T )e**-**(r USD–r EUR)T

Giải Vt ( T ) từ góc độ của Rook Point, với S 0, f / d = 1.192 USD/EUR, F 0, f / d = 1.201 USD/EUR, rf = 0.75%, rd = −0.25%, và T = 1. = 1.192 − 1.201e-(0.0075 + 0.0025)

= 0.00295 USD/EUR

Lưu ý rằng positive spread 0.00295 USD/EUR có thể được biểu diễn về mặt toán học trong Equation 9 bằng cách thay vào số USD cần thiết để mua EUR1,000,000 nhằm xác định USD contract value:

= USD1,192,000 − USD1,201,000e-(0.0075 + 0.0025) = MTM gain USD2,950.15

Cần lưu ý rằng trong ví dụ trên và các ví dụ khác về interest rates, chúng ta luôn giả định rằng risk-free rates không đổi theo thời gian và đối với các maturities khác nhau. Trong bài tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu cách spot và forward prices biến động đối với các biến có mức giá khác nhau theo các maturities khác nhau.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Định giá và định giá lại Forward Contracts

1. EN: Find the MTM position that is applicable to each scenario where forward prices differ from spot prices without any additional expenses or gains.

Xác định MTM position áp dụng cho từng tình huống khi forward prices khác với spot prices mà không có bất kỳ chi phí hoặc khoản thu nhập bổ sung nào.

Lời giải:

1. EN: Option B is correct. For the no-arbitrage requirement to hold, the original spot price, S 0 at t = 0, must be equal to the present value of the forward price, F 0, discounted at the risk-free rate r. Hence, a decrease in the spot price below S 0- < S 0 will result in a MTM profit for the seller of the forward contract.

Phương án B đúng. Để điều kiện no-arbitrage được duy trì, original spot price, S 0 tại t = 0, phải bằng present value của forward price, F 0, được discount tại risk-free rate r. Do đó, việc spot price giảm xuống dưới S 0- < S 0 sẽ dẫn đến MTM profit cho forward contract seller.

2. EN: Option C is correct. The MTM value of the contract, Vt ( T ) at time T will be equal to the contract settlement, which is the difference between F 0( T ) and ST and here is zero.

Phương án C đúng. MTM value của hợp đồng, Vt ( T ) tại thời điểm T, sẽ bằng contract settlement, tức là chênh lệch giữa F 0( T ) và ST, và trong trường hợp này bằng 0.

3. EN: Choice A is right. The MTM value of the forward contract to the forward seller at maturity T is F 0(T) − ST, therefore, the forward seller has incurred losses when F 0(T) < ST.

Phương án A đúng. MTM value của forward contract đối với forward seller tại maturity T là F 0(T) − ST, do đó forward seller chịu losses khi F 0(T) < ST.

2. EN: State whether the following is true or false, and give your justification:

EN: The value of the forward contract without any additional cash flows at time t is the difference between the current spot price and the present value of the forward price. Hence, the MTM value of the forward contract from the point of view of the seller is St - PV of F 0(T).

Hãy cho biết phát biểu sau đúng hay sai, và đưa ra lời giải thích.

Value của forward contract không có additional cash flows tại thời điểm t là chênh lệch giữa current spot price và present value của forward price. Do đó, MTM value của forward contract xét từ góc độ của seller là St - PV of F 0(T).

EN: This is a false statement since even though the MTM value of the forward contract is the difference between the current spot price and the present value of the forward price, the MTM value of the forward contract from the point of view of the seller is PV of F 0(T) – St.

Lời giải:

Đây là phát biểu sai vì mặc dù MTM value của forward contract là chênh lệch giữa current spot price và present value của forward price, MTM value của forward contract xét từ góc độ của seller là PV of F 0(T) – St.

3. EN: Let us assume that Hightest Capital has entered into a six month forward contract to buy Unilever (UL) at EUR51.23. The shares of UL do not pay any dividends and the risk free rate is 5% for all maturities. Calculate the forward contract MTM value for Hightest from its point of view in three months’ time if today’s UL spot price, St , is EUR50.50 assuming that the risk-free rate remains constant.

Giả sử Hightest Capital đã tham gia một forward contract sáu tháng để mua Unilever (UL) tại EUR51.23. Cổ phiếu UL không trả dividends và risk free rate là 5% cho tất cả các maturities. Hãy tính MTM value của forward contract đối với Hightest xét từ góc độ của công ty sau ba tháng, nếu UL spot price hôm nay, St, là EUR50.50, giả sử risk-free rate không đổi.

• Forward Contract Value và Underlying Asset Valuation with Different

Maturities

EN: The following equation can be used to determine the value of the forward contract in three months from the Hightest’s point of view:

Lời giải:

Có thể sử dụng phương trình sau để xác định value của forward contract sau ba tháng xét từ góc độ của Hightest:

EN: If St = EUR50.50, F 0( T ) = EUR51.23, r = 5%, and T − t = 0.25:

Vt ( T ) = St − F 0( T )(1 + r )-(T-t)

Nếu St = EUR50.50, F 0( T ) = EUR51.23, r = 5%, và T − t = 0.25:

Vt ( T ) = EUR50.50 − (EUR51.23)(1.05)-0.25

EN: - This implies that Hightest experiences an MTM loss of EUR0.11 on the forward contract in three months’ time.

• = −EUR0.1089

• Điều này hàm ý rằng Hightest chịu MTM loss EUR0.11 trên forward contract sau ba tháng.

4. EN: Identify the correct matching of statements below with their respective MTM position on an underlying asset.

Xác định cách ghép đúng các phát biểu dưới đây với MTM position tương ứng của chúng đối với một underlying asset.

EN: Remember the MTM formula for the forward contract, Vt ( T ) for assets with associated cost and benefit considerations from the perspective of the long forward position in Equation 7:

Lời giải:

Hãy nhớ công thức MTM của forward contract, Vt ( T ), đối với các assets có các yếu tố costs và benefits liên quan, xét từ góc độ long forward position trong Equation 7:

Vt ( T ) = ( St − PV t ( I ) + PV t ( C )) − F 0( T )(1 + r )-(T-t)

1. EN: C is correct. Higher the present value of the benefits of owning the underlying asset in comparison to the present value of the cost of owning the asset, lower will be the MTM value below the difference between the current spot price and the present value of the forward price. For Equation 7, if PV t ( C ) − PV t ( I ) < 0, then:

C đúng. Present value của benefits từ việc sở hữu underlying asset càng cao so với present value của cost sở hữu asset, MTM value càng thấp hơn chênh lệch giữa current spot price và present value của forward price. Đối với Equation 7, nếu PV t ( C ) − PV t ( I ) < 0, thì:

• Vt ( T ) < St − F 0( T )(1 + r )-(T-t)

2. EN: A is correct. When the present value of the net benefits/costs of owning the underlying asset is equal to zero, the forward contract MTM value equals the difference between the current spot price and the present value of the forward price. For Equation 7, if PV t ( C ) − PV t ( I ) = 0, then:

A đúng. Khi present value của net benefits/costs từ việc sở hữu underlying asset bằng 0, forward contract MTM value bằng chênh lệch giữa current spot price và present value của forward price. Đối với Equation 7, nếu PV t ( C ) − PV t ( I ) = 0, thì:

Vt ( T ) = St − F 0(T)(1 + r )-(T-t)

3. EN: B is correct. Lower the present value of the benefits of owning the underlying asset in comparison to the present value of the cost of owning the asset, higher will be the MTM value above the difference between the current spot price and the present value of the forward price. For Equation 7, if PV t ( C ) − PV t ( I ) > 0, then:

B đúng. Present value của benefits từ việc sở hữu underlying asset càng thấp so với present value của cost sở hữu asset, MTM value càng cao hơn chênh lệch giữa current spot price và present value của forward price. Đối với Equation 7, nếu PV t ( C ) − PV t ( I ) > 0, thì:

Vt ( T ) > St − F 0( T )(1 + r )-(T-t)

5. EN: Rook Point Investors LLC has taken a six-month forward contract in which it is agreed to sell South African rand (ZAR) and buy EUR at a forward exchange rate on the ZAR/EUR of 17.2506 in six months. The ZAR/EUR spot rate is 16.909, the South African risk-free rate for six months is 3.5%, and the six-month EUR risk-free rate is −0.5%. Explain the FX forward mark-to-market effect due to an instant appreciation of the ZAR/EUR to 16.5 when other factors remain unchanged.

Rook Point Investors LLC đã tham gia một forward contract sáu tháng, theo đó công ty đồng ý bán South African rand (ZAR) và mua EUR tại forward exchange rate ZAR/EUR là 17.2506 sau sáu tháng. ZAR/EUR spot rate là 16.909, South African risk-free rate sáu tháng là 3.5%, và EUR risk-free rate sáu tháng là −0.5%. Hãy giải thích FX forward mark-to-market effect do ZAR/EUR tăng giá tức thời lên 16.5 khi các yếu tố khác không thay đổi.

EN: If there is an immediate appreciation of the spot rate of ZAR/EUR after signing the FX forward contract, then Rook Point, who is the forward seller of ZAR/EUR, will incur an MTM loss.

Lời giải:

EN: The FX forward mark-to-market position of Rook Point as the forward seller of ZAR/EUR is given by the present value of the forward rate minus the spot rate discounted by the interest rate difference between the foreign and domestic currencies:

Nếu ZAR/EUR spot rate tăng giá ngay lập tức sau khi ký FX forward contract, thì Rook Point, với tư cách là forward seller của ZAR/EUR, sẽ chịu MTM loss.

FX forward mark-to-market position của Rook Point với tư cách là forward seller của ZAR/EUR được xác định bằng present value của forward rate trừ đi spot rate được discount theo chênh lệch interest rate giữa foreign và domestic currencies:

EN: ZAR is the price, or foreign, currency, and EUR is the base, or domestic, currency. Therefore, we can rewrite the equation above as:

V 0( T ) = F 0, f / d ( T ) e-(r f–r d)T − S 0, f / d

ZAR là price, hay foreign, currency, còn EUR là base, hay domestic, currency. Do đó, ta có thể viết lại phương trình trên như sau:

EN: However, if the ZAR price ( S 0, ZAR/EUR ) goes up from 16.909 to 16.5, we could prove that the Rook Point would have a loss of 0.4090:

V 0( T ) = F 0, ZAR/EUR ( T ) e-(r ZAR–r EUR)T − S 0, ZAR/EUR

Tuy nhiên, nếu ZAR price ( S 0, ZAR/EUR ) tăng từ 16.909 lên 16.5, ta có thể chứng minh rằng Rook Point sẽ chịu loss 0.4090:

Vt ( T ) = 17.2506e-(0.035 – -0.005)×(0.5) − 16.5

= 16.909 − 16.5

= 0.4090

giải thích việc xác định forward rates trong trường hợp interest rate forward contracts và nêu các ứng dụng của forward rates.

Interest Rate Forward Contracts

Mối quan hệ giữa spot và forward prices của underlying assets đòi hỏi giả định về một risk-free interest rate không đổi như opportunity cost của việc nắm giữ underlying assets. Khác với stocks và commodities được giải thích trong phần trước, interest rates có term structure vì có các interest rates khác nhau gắn với các maturities khác nhau. Mặc dù bài học hiện tại thảo luận về interest rates, cùng khái niệm này cũng áp dụng cho các biến khác có term structure, chẳng hạn như credit spreads, implied volatility và foreign exchange rates, trong đó có hai interest rate term structures.

Spot Rates và Discount Factors

Mối quan hệ giữa spot và forward interest rates đã được phát triển trong các bài fixed income trước đây cung cấp những building blocks cơ bản cho việc pricing interest rate derivatives. Các building blocks được sử dụng trong pricing dựa trên government benchmark rate hoặc market reference rate. Trong khi phần lớn fixed income securities có coupon payments trước maturity,

• Forward Contracts Pricing & Valuation & Pricing and Valuation of An Underlying With Different Maturities

Pricing và valuation của interest rate derivatives phụ thuộc vào price và yield của một cash flow đơn lẻ trong tương lai. Bước đầu tiên cần xem xét trong vấn đề này là chuyển đổi cash flow từ một dạng sang một dạng khác, như được mô tả trong ví dụ sau.

VÍ DỤ 6

Zero Rate

Giả sử chúng ta có thông tin về ba government bonds fixed coupon hằng năm mới được phát hành, với coupon và prices như dưới đây:

Lưu ý rằng trong tất cả các trường hợp này, đều có discount (vì PV < FV). Để có YTM của từng bond, chúng ta giải bài toán với sự trợ giúp của hàm RATE trong Excel (=RATE(nper, pmt, pv, [fv],[type])). Ở đây, nper = 3, pmt = 3.25, pv = −98, fv = 100, và type = 0 (thanh toán vào cuối kỳ) cho chúng ta YTM của three-year bond là 3.9703%.

Trong trường hợp trên, chúng ta có thể sử dụng YTM của government bonds để giải bài toán về yields-to-maturity của zero coupon bonds hoặc zero rates (z 1, … z N).

Đối với one-year bond, phép tính chỉ liên quan đến một cash flow duy nhất tại maturity, và one-year zero rate (z 1) được tính như sau:

One-year:

Cần lưu ý rằng vì chỉ có một cash flow trong một period, yield-to-maturity rate và zero rate là giống nhau. Vì tất cả các cash flows tại thời điểm t = 1 sẽ được discount bằng z 1, chúng ta có thể sử dụng điều này trong phương trình để giải zero-coupon rate vào cuối hai periods, z 2: Two-year:

Sử dụng cả hai giá trị z 1 và z 2 trong phương trình three-year bond, chúng ta có thể tìm được zero-coupon cash flow vào cuối năm thứ ba ( z 3): Three-year:

Các zero rates thu được ở trên được minh họa như sau:

Kỹ thuật tính zero hoặc spot rates từ coupon bonds thông qua forward substitution như được trình bày trong Example 6 được gọi là phương pháp bootstrapping. Price của zero rate là discount factor, đại diện cho present value của một đơn vị tiền tệ tại một ngày nào đó trong tương lai. Nó được biểu diễn như sau:

Các discount factors tương ứng với từng zero rate được đưa ra trong Example 6 có thể được tính như sau:

Hơn nữa, discount factor có thể được hiểu là price của một zero-coupon cash flow hoặc bond. Có thể chứng minh thông qua discount factor cho bất kỳ period nào cùng nguyên tắc no-arbitrage đã được thảo luận trước đó rằng một asset có future price đã biết phải được định giá dựa trên present value của asset được xác định trên cơ sở discount rate phù hợp.

Xét một ví dụ trong đó two-year risk-free zero rate ( z 2) đối với GBP là 3.42% và một two-year zero coupon bond có face value GBP100 được giao dịch với price GBP92.45. No-arbitrage price của zero coupon bond này sẽ là GBP93.4955, được tính như sau: GBP100/(1.0342)2. Để tạo arbitrage profit mà không có bất kỳ risk nào, có thể thực hiện các bước sau, như được minh họa trong Exhibit 6.

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying Maturities*

Exhibit 6: Tài sản có giá tương lai đã biết không giao dịch ở present value của nó

S0 < ST(1 + zT)****–T **S0(1 + zT)**T < ST

Vay S0 tại z và Mua S0, Nắm giữ đến ngày đáo hạn (T) Sử dụng khoản thu tại ngày đáo hạn để hoàn trả S0(1 + zT)T Vay £92.45 tại 3.42% và Mua zero hai năm (S0) Nhận £100 tại T(ST) và Hoàn trả S0(1 + zT)T = £98.88

Lợi nhuận phi rủi ro £1.12 CF0 = 0 CFT = (£100 – £98.88) > 0 0 Thời gian T

Tại thời điểm t = 0:

• Vay GBP92.45 tại risk-free rate là 3.42%.

• Mua zero-coupon note hai năm với giá GBP92.45.

• Tại thời điểm t = T (sau hai năm):

• Nhận GBP100 vào ngày đáo hạn của zero-coupon bond.

• Hoàn trả khoản vay GBP98.88 - GBP92.45 × (1.0342)2 - và thu lợi nhuận arbitrage phi rủi ro là GBP1.12.

Forward Rates

Giống như forward contracts trên bất kỳ underlying asset nào khác, interest rate forward contracts cũng có delivery date, muộn hơn cash market settlement date. Xét theo term structures của các interest rates khác nhau với các maturities khác nhau, một interest rate forward contract xác định độ dài của forward period và cũng xác định tenor của underlying rate.

Ví dụ, nếu một forward contract hai năm được thực hiện trên một underlying interest rate ba năm (tức là interest rate bắt đầu sau năm thứ hai và kết thúc vào năm thứ năm), thì hợp đồng đó được gọi là một forward rate contract “2y3y”, và rate sẽ được ký hiệu là F 2,3. Nhìn chung, các market reference rates (MRRs) ngắn hạn dựa trên forward rates tính theo tháng, chẳng hạn F 3m,6m là MRR sáu tháng bắt đầu sau ba tháng và đáo hạn sau chín tháng kể từ hiện tại.

Breakeven reinvestment rate của short-dated và long-dated zero-coupon bonds là một implied forward rate. Do đó, implied forward rate có thể được diễn đạt là interest rate mà tại đó một nhà đầu tư kiếm được cùng một lợi nhuận từ:

• 1.* đầu tư từ hôm nay đến forward starting date và reinvest khoản thu được tại implied forward rate, hoặc

• 2. đầu tư ngay bây giờ đến final maturity của forward rate.

Sự bằng nhau về returns của cả hai chiến lược là điều kiện đảm bảo rằng không thể thực hiện arbitrage đối với forward rate. Ví dụ dưới đây cho thấy cách tính forward rates dựa trên spot rates.

EXAMPLE 7

Implied Forward Rate ( IFR 1,1)

Đã đến lúc sử dụng lại cùng ví dụ về ba government annual coupon bonds được phát hành gần đây nhất, với coupons, prices, yields-to-maturity và zero/spot rates tương ứng như sau:

|Years to Maturity|Annual Coupon|PV (per 100|FV)|YTM| |1|1.50%|99.125||2.3960%| |2|2.50%|98.275||3.4068%| |3|3.25%|98.000||3.9703%| |Years to Maturity|||Zero Rate|| |1|||2.3960%|| |2|||3.4197%|| |3|||4.0005%||

Dựa trên one-year và two-year zero rates đã được tính trước đó, nhà đầu tư có thể lựa chọn giữa các phương án đầu tư sau trong hai năm:

• 1. Đầu tư USD100 trong một năm kể từ hiện tại tại zero rate (z 1) là 2.396% và reinvest khoản thu USD102.40 trong một năm nữa tại one-year rate vào một năm sau, hay “1y1y” implied forward rate (IFR 1,1).

2. Đầu tư USD100 trong hai năm tại two-year zero rate (z 2) là 3.4197% để nhận USD100(1 + z 2)2, hay USD106.96.

Để có cùng returns từ các khoản đầu tư 1.) và 2.), ta đặt chúng bằng nhau và tính IFR 1,1 như sau:

• USD100 × (1 + z 1) × (1 + IFR 1,1) = USD100 × (1 + z 2)2

USD100 × (1.02396) × (1 + IFR 1,1) = USD100 × (1.034197)2

IFR 1,1 = 4.4536%

Giá trị IFR1,1 là 4.4536% mang lại cùng returns cho các chiến lược 1 và 2, điều này có thể được chứng minh bằng cách tính returns cho chiến lược thứ nhất như sau:

USD100 × (1.02396) × (1.044536) = USD106.96

Nói chung, giả sử rằng short-term bond đáo hạn trong A periods và longer-term bond đáo hạn trong B periods. yield to maturities trên mỗi period của các bonds đó sẽ là zA và zB. Bond thứ nhất sẽ là A -period zero-coupon bond được giao dịch trên cash market. Bond thứ hai sẽ là B -period zero-coupon bond được giao dịch trên cash market. implied forward rate từ period A đến period B sẽ là IFRA, B – A. Forward rate nói trên đề cập đến bond đáo hạn ở period B nhưng bắt đầu ở period A (tenor của nó bằng B – A periods).

Equation 11 trình bày công thức tổng quát cho mối quan hệ giữa hai spot rates (z A, z B) và implied forward rate (IFRA,B-A):

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying Maturities*

(1 + zA )A × (1 + IFRA , B – A )B–A = (1 + zB )B

(11)

Figure 7 minh họa implied forward rates qua ba periods.

Exhibit 7: Ví dụ về Implied Forward Rate

Từ Equation 11, one-period forward rate trong hai periods (IFR2,1) được tính như sau:

(1 + z2 )2 × (1 + IFR2 , 1 )1 = (1 + z3 )3

Một chuỗi forward rates có thể được sử dụng để tạo forward curve của các rates cho cùng một time period được implied trong cash markets hoặc có thể quan sát được trên interest rate derivatives market. Figure 8 cho thấy mối quan hệ giữa spot hoặc zero rates và forward curve cho one-year rates dựa trên ví dụ government bonds trước đó của chúng ta.

Exhibit 8: Interest Rate Spot hoặc Zero Curve và Forward Curve

Trong các ví dụ trước, chúng ta đã xử lý benchmark rates. Tuy nhiên, tiếp theo chúng ta sẽ chuyển trọng tâm sang short-term market reference rates. Chẳng hạn, giả sử hôm nay chúng ta thấy MRR ba tháng là 1.25% và MRR sáu tháng là 1.75%. Làm thế nào để tìm three-month implied forward MRR sau ba tháng kể từ hiện tại (IFR 3m, 3m)?

Để sử dụng Equation 11 trong trường hợp này, chúng ta cần đảm bảo periodicity của các interest rates đang xét là bằng nhau. Trong trường hợp này, six-month interest rate có hai periods mỗi năm, còn three-month interest rate có bốn periods mỗi năm. Từ một trong các bài fixed income trước đó, chúng ta đã học cách chuyển đổi annual percentage rate cho m periods mỗi năm (APRm) sang annual percentage rate cho n periods mỗi năm (APRn) như sau:

Bước đầu tiên là tìm MRR theo quarterly basis từ 1.75%.

(1 + APR4 /4)4 = (1 + 0.0175/2)2 APR4 = 1.74619%

Ta có thể sử dụng kết quả này để giải Equation 11 cho IFR3m,3m : (1 + z3m /4) × (1 + IFR3m,3m /4) = (1 + z 6m/4)2 (1 + 0.0125/4) × (1 + IFR 3m,3m/4) = (1 + 0.0174619/4)2 IFR3m,3m = 2.24299%

Lời giải của chúng ta được kiểm chứng bằng cách chứng minh rằng một khoản đầu tư CNY100,000,00

• 1.* 1.25% trong ba tháng và sau đó được đầu tư tại 2.24299% trong ba tháng tiếp theo

2. 1.75% trong sáu tháng

• Forward Contract Pricing and Valuation in Case of an Underlying with Different Maturities*

cả hai sẽ hoàn trả CNY 100,875

1. CNY100,875,000 (= CNY100,000,000 × (1 + 0.0125/4) × (1 + 0.0224299/4))

2. CNY100,875,000 (= CNY100,000,000 × (1 + 0.0175/2))

Như sẽ thấy trong phần tiếp theo, breakeven reinvestment rate của zero rates với các maturities khác nhau cung cấp no-arbitrage price cho one-period interest rate forward contract.

Forward Rate Agreements (FRAs)

Một derivatives contract trong đó các bên đồng ý cố định một interest rate cho một future period được gọi là forward rate agreement (FRA). underlying asset của FRA là một notional deposit được thực hiện trong tương lai tại market reference rate, được cố định tại thời điểm ký kết hợp đồng (t = 0). Cụ thể, FRA buyer hoặc long position đồng ý trả deposit interest theo agreed fixed rate, đồng thời nhận deposit interest theo một market reference rate nhất định diễn ra từ A periods kể từ hiện tại đến B periods kể từ hiện tại (tenor là B − A periods), như được quan sát vào hoặc ngay trước settlement date t = A.

Cơ chế của FRA có thể được thấy trong Exhibit 9 tại t = 0 và tại settlement point A.

Exhibit 9: Cơ chế Forward Rate Agreement (FRA)

Nếu bạn thấy Exhibit 9 quen thuộc, đó là vì FRA là phiên bản một period của interest rate swap đã được thảo luận trong một bài học trước dưới dạng một chuỗi các khoản trao đổi. Tương tự swap, các fixed và floating payments được thực hiện trên net basis và notional không bao giờ được chuyển giao mà chỉ được sử dụng để tính interest. Đúng như tên gọi, các implied forward rates đã thảo luận ở trên tương ứng với FRA fixed rate cho một period nhất định khi thị trường không có arbitrage opportunities. No-arbitrage interest rate đảm bảo rằng, giống như bất kỳ forward contract nào khác, FRA sẽ có value bằng 0 (V 0( T ) = 0) tại inception. Chi tiết về FRA settlement và các đặc điểm khác có thể được giải thích rõ nhất bằng cách mở rộng ví dụ implied forward rate dưới đây.

EXAMPLE 8

CNY Forward Rate Agreement

Trong một ví dụ trước, chúng ta đã tính three-month implied forward MRR sau ba tháng (IFR3m,3m) là 2.24299%. Yangzi Bank tham gia một giao dịch để trả three-month interest rate sau ba tháng và nhận MRR, như thể hiện trong Exhibit 9. Yangzi Bank sử dụng FRA để hedge hoặc cover underlying liability của mình sau ba tháng, mà tại thời điểm đó ngân hàng sẽ nợ MRR.

Lưu ý term sheet sau đây của một FRA:

Yangzi Bank CNY Forward Rate Agreement Term Sheet

Giống như các forward agreements khác, số tiền sẽ được thanh toán khi settlement trong trường hợp FRA sẽ là một hàm của chênh lệch giữa F0( T ) và ST. Trong trường hợp FRA, F0( T ) là forward interest rate hoặc IFRA,B-A, trong khi ST là market reference rate hoặc MRRB-A hoặc MRR cho B−A periods, đáo hạn sau B thời gian. Trong ví dụ đã cho, MRR3m là three-month market reference rate, đáo hạn sau ba tháng. Trong hầu hết các trường hợp, FRAs được cash settled tại đầu kỳ mà reference rate được áp dụng. Net payment amount xét từ góc độ FRA buyer hoặc fixed-rate payer (Yangzi Bank trong trường hợp hiện tại) tại cuối interest period có thể được tính như sau:

Net Payment = ( MRRB-A − IFRA,B-A ) × Notional Principal × Period

Khi MRRB-A sau ba tháng được xác lập ở mức 2.15% và interest period là 90 ngày, net payment amount có thể được tính như sau:

Net Payment = ( MRRB-A − IFRA,B-A ) × Notional Principal × Period (2.15% − 2.24299%) × CNY100,000,000 × 90/360 = −CNY23,247.50

Tuy nhiên, số tiền trên là net payment tại cuối sáu tháng; trong khi FRA settlement diễn ra tại đầu interest period chứ không phải tại cuối, trong trường hợp hiện tại là sau ba tháng. Do đó, cần tính present value của settlement amount ở trên, sử dụng MRRB-A làm discount rate.

Cash Settlement (PV): −CNY23,123.21 = −CNY23,247.50/(1 + 0.0215/4)

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Different Maturities*

Trong tình huống này, vì MRRB-A thấp hơn fixed rate, với vai trò fixed-rate payer và MRRB-A receiver, Yangzi Bank sẽ phải thực hiện net payment khi settlement forward rate agreement với financial intermediary. Vì ngân hàng đã sử dụng FRA để hedge underlying liability có các MRR obligations, net payment mà ngân hàng phải thực hiện khi settlement forward rate agreement được bù đắp bởi khoản thanh toán MRR giảm xuống của liability.

Forward rate agreements thường chỉ được financial intermediaries sử dụng để hedge và quản lý các rate-sensitive assets hoặc liabilities trên balance sheets của họ. Forward rate agreement và equivalent single-period swap được settled tại cuối interest period tạo thành nền tảng cho interest rate swaps, vốn thường được issuers và investors sử dụng trong interest rate management.

Hợp đồng kỳ hạn lãi suất

1. Hoàn thành các câu sau với đáp án phù hợp: yield-to-maturity rate và zero rate đối với một trái phiếu có một dòng tiền duy nhất tại thời điểm đáo hạn trong một kỳ là _________. Tương đương theo giá của một zero rate là present value của một đơn vị tiền tệ tại một ngày trong tương lai, được gọi là một

_______________.

Lời giải:

The yield-to-maturity rate and the zero rate for a bond with a single cash flow at maturity in one period là giống hệt nhau. Tương đương theo giá của một zero rate là present value của một đơn vị tiền tệ tại một ngày trong tương lai, được gọi là một discount factor .

2. Nhà phân tích phát hiện các zero-coupon bond benchmark của chính phủ kỳ hạn ba năm và bốn năm đang được giao dịch lần lượt ở mức 93 và 90 trên mỗi 100 đơn vị par value. Hãy tìm IFR3,1, tức implied forward rate một năm sau ba năm.

   • Solution:

Trước tiên, áp dụng các discount factor ba năm (DF3) và bốn năm (DF4) được cho trên mỗi đơn vị tiền tệ để xác định các zero rate ba năm (_z_3) và bốn năm (z_4), có thể được tính như sau:

_ 1 D Fi = (1 + zi )i Do đó:

• 0.93 = 1/(1 + z3 )3 ; z3 = 2.4485%

0.90 = 1/(1 + z4 )4 ; z4 = 2.6690% Giải IFR3,1 như sau:

(1 + z3 )3 × (1 + IFR3,1 ) = (1 + z4 )4

• (1.024485)3 × (1 + IFR3,1 ) = (1.02669)4 IFR3,1 = 3.3333%

3. Ghép các mô tả sau với thành phần cấu tạo tương ứng của interest rate derivative.

Lời giải:

1. B. Đúng. breakeven reinvestment rate giữa một zero-coupon bond ngắn hạn và dài hạn là implied forward rate.

2. C. Đúng. Thước đo theo giá của một zero rate là present value của một đơn vị tiền tệ tại một ngày trong tương lai và được gọi là discount factor.

3. A là đáp án đúng. Trong một forward rate agreement, các counterparties đồng ý sử dụng một interest rate nhất định trong một khoảng thời gian cụ thể trong tương lai.

4. Một nhà giao dịch quan sát các zero-coupon bond kỳ hạn một năm và hai năm có yield lần lượt là 4% và 5%, và muốn phòng ngừa sự gia tăng của one-year rate sau một năm. Hãy giải thích vị thế FRA mà cô ấy nên nắm giữ và forward interest rate mà cô ấy có khả năng thấy trên hợp đồng.

Lời giải:

Trong một forward rate agreement, khoản tiền gửi trong tương lai giả định của underlying sẽ được thực hiện theo một market reference rate nhất định được cố định tại thời điểm ký kết hợp đồng (t = 0). Để hedge against rising rates, nhà giao dịch cần tham gia một FRA fixed-rate payer vì cô ấy muốn kiếm lợi nhuận trong trường hợp spot one-year rates sau một năm cao hơn forward rate hiện tại. Fixed-rate payer nghĩa là nhà giao dịch trả lãi theo fixed rate và nhận lãi theo một market reference rate biến động. FRA được định giá trên cơ sở implied forward rate, còn được gọi là breakeven reinvestment rate giữa một zero rate ngắn hơn và một zero rate dài hơn. Có thể giải bằng cách sử dụng IFR1,1 như sau:

(1 + z1 ) × (1 + IFR1,1 ) = (1 + z2 )2

• (1.04) × (1 + IFR1,1 ) = (1.05)2 IFR1,1 = 6.0096%

• Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying*

Kỳ hạn

5. Một counterparty quyết định trở thành fixed-rate receiver của một AUD MRR FRA kỳ hạn một tháng, được settlement sau ba tháng, với notional amount là AUD150,000,000. Nếu IFR3m,1m tại thời điểm contract inception là 0.50% và AUD MRR một tháng được ấn định ở mức 0.35%, hãy tính settlement amount.

Lời giải:

Bên short FRA hoặc fixed-rate receiver đồng ý trả lãi theo market reference rate sẽ được xác định tại thời điểm settlement và nhận lãi theo fixed rate đã thỏa thuận trước, tức implied forward rate (IFR3m,1m). Do AUD MRRB-A tại thời điểm settlement thấp hơn fixed rate đã thỏa thuận trước, FRA fixed-rate receiver có lợi nhuận và nhận một khoản thanh toán được tính dựa trên công thức sau:

Net Payment = ( IFRA,B-A − MRRB-A ) × Notional Principal × Period = (0.50% − 0.35%) × AUD150,000,000 × (1/12) = AUD18,750 vào cuối kỳ

present value của settlement đối với hợp đồng được settlement vào đầu kỳ, có xét discount rate là MRRB-A

Cash Settlement (PV) = AUD18,750.00/(1 + 0.35%/12) = AUD18,744.53

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: Baywhite Financial is a broker-dealer and wealth management firm that assists its clients in portfolio management through derivatives stand-alone strategy. One of the analysts in Baywhite Financial firm is asked to examine the following client cases. Baywhite Financial là một công ty broker-dealer và wealth management, hỗ trợ khách hàng quản lý portfolio thông qua derivatives stand-alone strategy. Một nhà phân tích tại Baywhite Financial được yêu cầu xem xét các trường hợp khách hàng sau.

Thông tin sau áp dụng cho các câu hỏi 1-6

EN: ** 1.* Identify which of the definitions corresponds to the forward pricing or valuation component.*

EN: 1. A. Difference between the forward contract MTM value at inception, current spot price (netting out the remaining V 0( T ) costs and benefits until maturity) and the present value of the forward price 2. Future value of the underlying asset B. Forward contract MTM value between spot price ( S 0) compounded at the inception and maturity, Vt ( T ) risk-free rate netting out the present value of the costs and benefits of asset ownership 3. In case of no-arbitrage for a C. Forward price, F 0( T ) considering underlying spot price, S0, costs and benefits, risk-free rate ( r ) and forward price, F 0( T ), it must be equal to zero (assuming no transaction costs).

EN: ** 2.* Baywhite client holds 5,000 common non-dividend paying shares of Vivivyu Inc. (VIVU), a digital media firm, worth USD173 per share in total. The client executes a forward commitment to sell one-half of its holding of VIVU shares in six months for a price of USD175.58 per share. What of the following market event would give rise to the highest possible gain in the value of the VIVU forward contract MTM position?*

EN: - A. An increase in the risk-free rate

EN: - B. Immediate drop in the VIVU spot price following the contract initiation

EN: - C. Gradual increase in the VIVU spot price through time

EN: ** 3.* The client of Baywhite has executed a long six-month MXN/USD FX forward contract, i.e., a commitment to sell MXN in order to buy USD. The MXN/USD spot exchange rate is 19.8248 (MXN19.8248 = USD1); the six-month MXN risk-free rate is 4.25%, while the six-month USD risk-free rate is 0.5%. Baywhite’s market strategist believes that the Banco de Mexico will come as a surprise to the markets by cutting down the short-term interest rate by 50 bp at its next meeting. What statement would best describe the impact of such prediction on the client’s current FX forward contract if all else is constant?*

EN: - A. Interest rate difference between MXN and USD would make the contract forward rate be reduced.

EN: - B. There would be an MTM gain from the FX forward position because of the decrease in interest rate differential between MXN and USD.

Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Varying Maturities

EN: - C. The decreased interest rate differential between MXN and USD will result in an MTM loss on the MXN/USD forward position.

EN: ** 4.* A client inquiring about her investment in fixed income securities notes the prices and yields to maturity for one-year ( r1 ) and two-year ( r2 ) annual coupon government bonds available in the market. Which of the following best captures how the financial analyst can calculate the breakeven reinvestment rate in one year’s time so as to assist her to make decision of investing either for one or two years?*

EN: - A. Since the two-year rate has intermediate cash flows, compute the square root of (1 + r2 ) divided by (1 + r1 ) minus 1, and this will give the breakeven reinvestment rate in one year’s time.

EN: - B. Because the returns earned in the first year are compounded in the second year, compute (1 + r1 ) times 1 plus the breakeven reinvestment rate equals to (1 + r2 )2.

EN: - C. Since the breakeven reinvestment is a zero-coupon cash flow, we need to replace the one-year rate (r1) in the two-year bond pricing formula and calculate the two-year spot rate or zero rate (z2). Next, we will use the equation (1 + r1) × (1 + breakeven reinvestment rate) = (1 + z2)2 to solve for breakeven reinvestment rate.

EN: ** 5.* Baywhite Financial hopes to obtain a competitive advantage by offering its investors fixed-rate margin loans up to 60 days. Given that Baywhite finances these loans at a variable rate, specifically one-month market reference rate, the company needs to enter into one-month FRA on one-month MRR to hedge the interest rate risk associated with the margin loan portfolio. Which statement below provides the most accurate description of Baywhite’s interest rate risk and FRA hedging strategy?*

EN: - A. Baywhite is exposed to a rise in one-month MRR over the next 30 days, hence, the company needs to go into the FRA as a fixed-rate payer in order to earn money from a rise in one-month MRR above the FRA rate and hedge its rising borrowing costs.

EN: - B. Baywhite is exposed to a rise in one-month MRR over the next 30 days, hence, the company needs to go into the FRA as a fixed-rate receiver in order to earn money from a rise in one-month MRR above the FRA rate and hedge its rising borrowing costs.

EN: - C. Baywhite is exposed to a decline in one-month MRR over the next 30 days, hence, the company needs to go into the FRA as a fixed-rate receiver in order to earn money from a rise in one-month MRR above the FRA rate and hedge its rising borrowing costs.

EN: ** 6. Baywhite notes that one-month MRR is 1.2%, and two-month MRR is 1.5%. What is the forward rate which is the closest to the forward rate that Baywhite expects on 1m1m forward rate agreement? **

EN: - A. 1.80%

EN: - B. 1.35%

C. 3.55%

EN: ** Pricing and Valuation of Forward Contracts and for an Underlying with Different Maturities**

EN: 1. 1. B is correct. The forward contract MTM value between inception and maturity, Vt ( T ), equals to the difference between the spot price (adjusted for costs and benefits until maturity) and the present value of the forward price. 2. C is correct. The forward price, F 0( T ), equals to the future value of the spot price of the underlying asset ( S 0) with compounding at the risk-free rate taking into account the present value of costs and benefits of asset ownership.

LỜI GIẢI

EN: 3. A is correct. Under the conditions of no arbitrage, given a certain spot price of the underlying, S 0, adjusted for costs and benefits, risk-free rate ( r ) and forward price, F 0( T ), the forward contract MTM value at inception, V 0( T ), is expected to be equal to zero (not accounting transaction costs).

EN: 2. B is correct. Original VIVU spot price ( S 0) at t = 0 must be equal to the present value of the forward price with discounting at the risk-free rate, and therefore an immediate fall of the spot price to S 0- < S 0 results in an MTM gain for the forward contract seller. A is not correct, because the higher risk-free rate would lead to a lower MTM of the contract from the client’s perspective due to lower PV of F 0( T ), while C would result in a lower MTM of the forward contract from the seller’s perspective.

EN: 3. The correct answer is C. A decrease in the interest rate difference between MXN and USD will lead to MTM loss for the client, whereas the statement in B asserts that this will lead to MTM gains. The answer A is incorrect since the forward price F 0(T) will not be modified throughout the contract life. In particular, the original MXN/USD forward rate upon signing the contract is 20.20 (= 19.8248e (.0425 – 0.005) × 0.5). If the MXN rate will decrease by 50 bps right after the contract is made, the MXN/USD forward rate for a new forward contract will be 20.15 (= 19.8248e (.0375 – 0.005) × 0.5). MXN will weaken (or depreciate) against USD. The MXN seller has committed to sell the currency at the old rate 20.20 instead of the new 20.15. The seller will incur a MTM loss of 0.05, or MXN50,000 per MXN1,000,000 (= 0.05 × 1,000,000).

EN: 4. The correct answer is C. The one-year annual rate is equal to the one-year zero rate, as there is only one cash flow occurring at maturity ( z1 = r1). Given that the breakeven reinvestment rate involves only one cash flow at maturity, substitute the one-year rate ( r1 ) into the bond price formula to calculate z2 , then equate (1 + r1) × (1 + breakeven reinvestment rate) = (1 + z2)2 and find the breakeven reinvestment rate ( IFR1,1).

EN: 5. The correct answer is A. Being exposed to the risk of rising one-month MRR over the next 30 days, Baywhite should enter into an FRA position as a fixed-rate payer in order to take advantage of the rise in MRR above the FRA rate and compensate for the increased cost of borrowing. Both B and C are incorrect, as the fixed-rate receiver in an FRA is not benefited from a rise in MRR, but rather loses from it.

EN: 6. The correct answer is A. The APR of the two-month rate compounded monthly is 1.499%. The value (1.01499/12)2 divided by (1.012/12) equals 1.001499. Minus 1, and then multiplied by 12 equals 1.7982%. The approximate forward rate is 1.80%. B is incorrect because this is an arithmetic average of the two spot rates. C is incorrect because this figure is calculated simply by dividing (1.01499/12) by (1.012/12), then subtracting 1 and then multiplying by 12.