Arbitrage Replication and the Cost of Carry in Pricing Derivat

LEARNING OUTCOMES

Ứng viên cần có khả năng:

thảo luận về việc áp dụng các ý tưởng arbitrage và replication trong định giá derivatives, phân biệt giữa spot price và expected future price của underlying, cũng như Cost of Carry của underlying asset

Các bài học trước về derivatives đã xác định các đặc điểm của derivatives và thị trường của chúng, đồng thời làm nổi bật cả những ưu điểm và nhược điểm của việc sử dụng chúng. Forward contract và contingent claim instruments đã được phân biệt dựa trên các đặc điểm khác nhau của chúng. Đã đến lúc xem xét pricing và valuation của các công cụ này. Để làm được điều đó, chúng ta nên xem xét cách giá của một forward contract liên hệ với spot price của một underlying asset thông qua việc loại trừ các khả năng arbitrage. Replication cho thấy có thể tạo ra cùng payoffs như một forward contract bằng các giao dịch spot kết hợp với borrowing/lending tại risk-free rate. Và cuối cùng, bài học thứ hai xem xét cách các benefits/costs của việc sở hữu một underlying asset ảnh hưởng đến forward contract price.

• Forward commitments cung cấp một cách tiếp cận thay thế cho long hoặc short position trong một underlying asset. Có mối liên hệ giữa forward price và spot price nhằm tránh arbitrage trên thị trường cash assets và derivative assets.

CFA Institute trân trọng ghi nhận Don Chance, PhD, CFA, vì những đóng góp của ông cho chủ đề này, trong đó sử dụng tài liệu được điều chỉnh từ nội dung xuất hiện trong Derivative Markets and Instruments, được giới thiệu trong chương trình CFA® Program năm 2022.

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

• Forward commitment có thể được replicated bằng cách sử dụng long hoặc short spot position trong underlying asset và borrowing/lending tại risk-free rate. Các positions khác nhau có thể được tạo ra bằng các combinations của spot, forward và risk-free positions.

• Risk-free rate là mối liên hệ cơ bản giữa spot price và forward price của một underlying asset khi không có bất kỳ cost hoặc benefit bổ sung nào từ việc sở hữu asset đó.

• Cost of Carry là giá trị ròng của các costs và benefits liên quan đến việc sở hữu underlying asset trong một khoảng thời gian nhất định và cần được xem xét khi đánh giá khoảng cách giữa spot price và forward price của một underlying asset cụ thể.

• Cost of Carry có thể là các costs như chi phí phát sinh khi lưu kho và bảo hiểm physical commodity, hoặc các benefits mà người sở hữu asset nhận được như dividends từ stock hoặc interest từ bonds. Trong trường hợp foreign exchange, Cost of Carry sẽ là chênh lệch interest rate giữa hai currencies.

• Forward price của một asset có thể cao hơn hoặc thấp hơn underlying spot price tùy thuộc vào Cost of Carry của việc sở hữu underlying asset.

TỰ ĐÁNH GIÁ LEARNING MODULE

Các câu hỏi này nhằm giúp bạn hình dung về mức độ hiểu biết hiện tại của mình đối với Learning Module.

1. Điều nào sau đây đúng về việc replicating một long forward?

• A. Bán risk-free bond và mua position trên cash market của underlying.

• B. Mua risk-free bond và mua position trên cash market của underlying.

• C. Mua risk-free bond và bán position trên cash market của underlying.

  • Lời giải:

A đúng. Việc bán risk-free bond là nguồn vốn cần thiết để mua underlying trên cash market. Khi bond đáo hạn, underlying sẽ được bán dựa trên future spot price và tiền thu được từ việc bán sẽ dùng để thanh toán bond. Profit trong trường hợp này phụ thuộc vào future spot price của underlying trừ đi underlying cash market price nhân với một cộng risk-free rate, và profit sẽ giống với long forward của underlying. B không đúng vì mua risk-free bond có nghĩa là bạn phải huy động nhiều vốn hơn so với việc mua underlying trên cash market. C không đúng vì điều này đại diện cho short forward của underlying.

2. Trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào gần nhất với arbitrage profit mà một nhà đầu tư có thể tạo ra nếu có thể mua asset với giá GBP50 tại t = 0 đồng thời bán six-month forward commitment trên cùng asset đó tại forward price GBP52.50? Risk-free rate là 4%. Không có costs hoặc benefits nào liên quan đến asset.

   • A. GBP0.99

B. GBP0.48

• C. GBP1.51

• Lời giải: C là đáp án đúng. Nhà đầu tư vay với lãi suất 4% trong sáu tháng để mua asset hôm nay với giá GBP50. Sau sáu tháng, nhà đầu tư hoàn trả cho người cho vay S 0(1 + r )T, tức GBP50.99 (=GBP50(1.04)0.5), và giao asset để thực hiện forward commitment bán với giá GBP52.50. Do đó, arbitrage profit của nhà đầu tư là GBP1.51 (=GBP52.50 - GBP50.99). Lựa chọn A không đúng vì đây là chênh lệch giữa forward price và current spot price mà không xét arbitrage. Lựa chọn B không đúng vì đây là chênh lệch giữa forward price, được discounted lùi một năm thay vì sáu tháng, và current spot price.

• 3. Phát biểu nào sau đây đúng về mối quan hệ giữa forward commitment price và underlying spot price nếu benefits của underlying lớn hơn costs của việc sở hữu underlying, bao gồm opportunity interest cost? A. Forward commitment price > spot price. B. Forward commitment price < spot price. C. Forward commitment price = spot price.

• Lời giải: B là đáp án đúng. Benefits lớn hơn có liên quan đến spot price cao hơn so với forward commitment price, và do đó, nếu các benefits này lớn hơn costs của việc sở hữu underlying, thì spot price lớn hơn forward commitment price. Lựa chọn A không đúng vì bất đẳng thức này sẽ đúng nếu costs lớn hơn benefits. Lựa chọn C không đúng vì sự bằng nhau giữa hai mức giá là trường hợp costs và benefits hoàn toàn bằng nhau.

• 4. Phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất về convenience yield? A. Convenience yield là sự ưu tiên của market participants trong việc mua forward contracts để tránh phải thanh toán tiền mặt upfront.

• B. Convenience yield xuất phát từ sự ưu tiên của market participants trong việc mua trên spot market để tránh phát sinh costs lưu kho commodity.

• C. Convenience yield xuất phát từ sự ưu tiên của market participants trong việc mua trên spot market vì các lý do phi tiền tệ như inventories thấp trên underlying market.

Lời giải:

C là đáp án đúng. Convenience yield đề cập đến các benefits phi tiền tệ của việc sở hữu underlying commodity trong một số điều kiện kinh tế nhất định, bao gồm cả mức inventory thấp của underlying. A không đúng vì phát biểu này mô tả convenience yield như một cost của việc sở hữu underlying commodity. B không đúng vì phát biểu này có vẻ mâu thuẫn ở chỗ convenience yield dẫn đến sự ưu tiên đối với spot market nhưng lại mô tả điều này như một cost của việc sở hữu underlying commodity.

Cách arbitrage và replication được sử dụng trong pricing of derivatives

Trong một bài học trước về market efficiency, đã lưu ý rằng market prices không nên tạo ra cơ hội để đạt được risk-free gain hoặc arbitrage khi không có transaction costs. Arbitrage opportunity xảy ra nếu law of one price bị vi phạm, tức là một asset giống hệt nhau được bán đồng thời với các mức giá khác nhau tại các địa điểm khác nhau.

Trong trường hợp một derivative contract có value bắt nguồn từ future cash flows phát sinh từ giá của một underlying asset, arbitrage xảy ra hoặc trong tình huống hai assets có identical future cash flows được định giá khác nhau, hoặc khi một asset có certain future price không được định giá bằng present value của future price đó bằng cách sử dụng appropriate discount rate.

Trường hợp thứ nhất, trong đó có hai assets có identical future cash flows nhưng được giao dịch với mức giá khác nhau, được trình bày trong Exhibit 1 dưới đây:

• Exhibit 1: Hai Assets có Identical Future Cash Flows được giao dịch với mức giá khác nhau

Ví dụ, hãy xem xét hai assets là zero coupon bonds có cùng đặc điểm, được phát hành bởi cùng một entity, đáo hạn trong tương lai tại par và có cùng default risk trước maturity date.

1. Bond A có giá EUR99 tại thời điểm t = 0 (S 0_A_ = EUR99).

2. Bond B có giá EUR99.15 tại thời điểm t = 0 (S 0_B_ = EUR99.15).

• 3. Expected future price của cả hai bonds là EUR100 (STA = STB = EUR100).

• Tại thời điểm t = 0, nhà đầu tư có thể:

• Short sell Bond B để nhận cash flow EUR99.15 và đầu tư vào Bond A trị giá EUR99;

• Nhận cash flow EUR0.15 tại thời điểm t = 0.

• Tại thời điểm t = T, nhà đầu tư:

• Nhận EUR100 từ Bond A và sử dụng số tiền này để mua Bond B trị giá EUR100 nhằm đóng short sale.

• Cash flow tại thời điểm T dẫn đến một risk-free gain tuyệt đối từ mức chênh lệch EUR0.15 giữa Bond A và B tại thời điểm 0.

Các nhà đầu tư nhận thấy sự chênh lệch này cũng sẽ cố gắng tạo arbitrage profit tại thời điểm t = 0 bằng cách bán Bond B, làm giảm giá của nó, và mua Bond A, làm tăng giá của nó, cho đến khi giá của cả hai bonds đạt equilibrium. Khi giá của hai bonds bằng nhau (S 0_A_ = S 0_B_), arbitrage profit opportunity sẽ bị loại bỏ.

Loại derivative arbitrage opportunities thứ hai xảy ra khi có sự chênh lệch giữa giá của một asset có known future price và present value (PV) của nó. Một trong những bài học đầu tiên về time value of money đã phân biệt giữa discrete compounding và continuous compounding của future values hoặc present values của cash flows. Future value của một cash flow duy nhất dựa trên một số lượng discrete các periods đồng đều được tính theo công thức tổng quát sau, được trình bày trong Equation 1:

FV N = PV(1 + r )N , (1)

trong đó r là stated interest rate cho mỗi period và N là số compounding periods. C ontinuous compounding_ là khi độ dài của mỗi uniform period là vô cùng nhỏ (tiến dần về 0), do đó số compounding periods mỗi năm tiến tới vô hạn, và phương pháp này sử dụng natural logarithm (xem Equation 2):

FV T = PV e__rT . (2)

Mặc dù pricing of derivatives có thể được thực hiện bằng một trong hai cách tiếp cận, nhưng cho mục đích của bài học này và các bài học tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng discrete compounding cho underlying assets. Tuy nhiên, nếu underlying asset đại diện cho một portfolio of assets, chẳng hạn như equity, fixed income, commodity hoặc credit index, hoặc foreign exchange trong đó interest rates được báo giá bằng hai currencies, thì chúng ta sẽ sử dụng continuous compounding. Bỏ qua các costs hoặc benefits bổ sung của việc sở hữu asset, discount rate r nên được đặt bằng risk-free rate, như được minh họa trong Example 1 dưới đây.

VÍ DỤ 1

Spot Price so với Discounted Known Future Price của Gold

Trong một bài học trước, Procam Investments đã ký một contract để mua 100 ounces gold với mức giá được chỉ định là USD1,792.13 mỗi ounce trong ba tháng. Trong ví dụ này, Procam sẽ thực hiện giao dịch ngược lại dựa trên sự chênh lệch giữa spot price của gold và discounted known future price của nó. Giả sử current spot gold price (S 0) là USD1,770 mỗi ounce và annualized risk-free interest rate (r) là 2%. Để đơn giản hóa ví dụ, chúng ta giả định rằng Procam có thể borrow tại risk-free rate và cost of storing gold bằng 0. Chúng ta sẽ minh họa cách Procam kiếm được riskless profit trong ví dụ sau:

• Tại thời điểm t = 0:

• Procam vay $177,000 với lãi suất 2.0% trong ba tháng và mua 100 ounces gold tại current spot price.

• Procam ký một forward contract hôm nay để bán 100 ounces gold với giá $1,792.13 mỗi ounce trong ba tháng.

■ Tại thời điểm t = T (sau ba tháng):

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

• Procam bán 100 ounces gold thông qua forward contract và thu được $179,213 (100 *$1,792.13).

• Procam hoàn trả loan principal cộng interest:

USD177,878.44 = USD177,000(1.02)0.25 .

• Riskless profit của Procam tại thời điểm T là chênh lệch giữa proceeds từ forward selling và borrowed principal cộng interest, tức $1,334.56 =$179,213 - $177,878.44.

Trong Example 1, giá của gold trên spot market, S 0, thấp hơn present value của giá gold trên future market sau ba tháng (S 0 < ST (1 + r )–T, vì USD1,770 < USD1,783.28). Procam tạo ra riskless profit USD13.35 mỗi ounce bằng cách borrow tiền và mua gold trên spot market trong khi bán gold trên forward market tại một mức giá được xác định trước. Có thể kỳ vọng rằng khi ngày càng nhiều người nhận biết tình huống có lợi nhuận này, spot price của gold sẽ tăng lên và forward price của gold sẽ giảm xuống, cho đến khi spot price bằng present value của future price (S 0 = ST (1 + r )–T), từ đó loại bỏ arbitrage possibility này.

Hai arbitrage principles quan trọng để valuation derivatives có underlying không tạo ra additional cash flows có thể được mô tả như sau:

• Equivalent assets hoặc assets tạo ra cùng cash flows tại cùng thời điểm phải có cùng mức giá (S 0_A_ = S 0_B_).

• Assets có predetermined future price phải có current price bằng discounted future price (S 0 = ST (1 + r )–T).

Mối quan hệ giữa spot price, forward commitment price và risk-free rate được trình bày trong Exhibit 2 dựa trên các arbitrage conditions này.

• Exhibit 2: Spot Prices, Forward Commitment Prices, and the Risk-Free Rate

Exhibit 2 thể hiện trường hợp r > 0 khi không có additional payments hoặc costs nào đối với một asset sử dụng discrete compounding. Lưu ý rằng đối với thời gian T cố định, forward price sẽ tương đối cao so với spot price khi risk-free interest rate r cao. Hơn nữa, đối với risk-free interest rate r cố định, khi thời gian T tăng lên, forward price sẽ tương đối cao hơn so với spot price. Như một lưu ý thêm, cần lưu ý rằng relevant risk-free interest rate trong hầu hết các tình huống là repo rate, đã được thảo luận trong một bài học trước. Điều này là do số tiền vay được backed up bằng highly liquid assets.

Như đã đề cập trong bài học trước, một forward commitment có cấu trúc payoff đối xứng. Nói cách khác, tại thời điểm T, giao dịch được thực hiện dựa trên chênh lệch giữa forward price F 0( T ) và spot price của ST, hay F 0( T ) – ST từ phía người bán, như được thể hiện trong Exhibit 3.

Exhibit 3: Forward Commitment Seller Payoff Profile

Người bán thu được lợi ích từ giao dịch forward commitment khi họ có thể giao underlying với market price (ST) thấp hơn agreed upon price F 0( T ). Ví dụ, trong Example 1, Procam đã vay tiền để mua underlying tại spot price thấp hơn present value của ST nhằm kiếm được riskless profit. Cho đến thời điểm này, chúng ta coi forward price, F 0( T ), là đã biết. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra cách no-arbitrage conditions có thể được sử dụng để suy ra mối quan hệ giữa spot và forward prices.

thảo luận cách các ý tưởng về arbitrage và replication được áp dụng trong derivative pricing

• Replication bao gồm việc xây dựng một cash flow stream gắn với một derivative thông qua một portfolio bao gồm sự kết hợp giữa các long hoặc short positions trong underlying asset và việc borrowing hoặc lending cash. Trái với các trường hợp arbitrage trước đó, replication được áp dụng trong những tình huống mà law of one price được duy trì và không có cách nào để tạo ra arbitrage profit từ tình huống đó. Exhibit 4 so sánh một long forward contract với việc vay tiền tại risk-free rate, r, và mua underlying asset tại current spot price, S 0.

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

Exhibit 4: Forward Commitment Replication

EXAMPLE 2

Replication of a Forward Commitment

Example 1 giới thiệu Procam Investments là một công ty đã vay tiền và mua vàng trên spot market trong khi bán vàng trên forward market để tạo ra riskless profit. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ giả định một spot gold price mới (S 0). Spot gold price hiện đã tăng lên USD1,783.28 (= USD1,792.13(1.02)–0.25) để loại bỏ arbitrage opportunity trước đó tại spot price USD1,770. Giả định cùng risk-free interest rate là 2% (r) và không có chi phí liên quan đến việc lưu trữ vàng.

• 1.* Long forward commitment (cam kết mua tại F 0( T ) tại t = T)

• Procam thực hiện forward commitment để mua 100 ounces vàng sau ba tháng với forward price USD1,792.13 mỗi ounce.

  • Nếu ST = USD1,900 mỗi ounce,

  • Profit = USD10,787 = 100 × (USD1,900 – USD1,792.13).

  • Nếu ST = USD1,700 mỗi ounce,

  • Profit = –USD9,213 = 100 × (USD1,700 –USD1,792.13).

• 2. Borrow and Buy (vay S 0 và mua asset tại S 0 tại t = 0):

• Procam vay $178,328 với lãi suất 2% và mua 100 ounces vàng tại current spot price, S 0.

• Procam bán vàng sau ba tháng tại spot price ST.

• Procam hoàn trả số tiền đã vay cùng với interest: USD179,213 = USD178,328(1.02)0.25.

  • Nếu ST = USD1,900,

  • Profit = USD10,787 = 100 × (USD1,900 – USD1,792.13).

  • Nếu ST = USD1,700,

  • Profit = –USD9,213 = 100 × (USD1,700 – USD1,792.13).

Cần lưu ý rằng cùng một mức gains xuất hiện trong cả Scenario 1 và 2, và chúng bằng ST – F 0(T). Khi forward price, F 0(T), được đặt bằng future value của spot rate được tính bằng risk-free rate (F 0(T) = S 0(1 + r)T), no-arbitrage condition cho thấy Procam nhận được cùng cash flow tại thời điểm T bất kể hướng biến động của gold prices, dù công ty:

• 1.* tham gia một long forward commitment được settled tại thời điểm T hoặc

• 2.* vay tại risk-free rate, mua underlying asset và nắm giữ nó cho đến thời điểm T.

Có một dạng replication khác nhưng tương tự, liên quan đến long position trong underlying asset và short forward contract được mô tả trong Exhibit 5. Biểu đồ phía trên mô tả gain/loss diagram của long position trong underlying asset, trong khi biểu đồ phía dưới cho thấy gain/loss diagram của short position trong forward contract. Long position trong asset tạo ra gain (loss) khi ST > S 0 (ST < S 0). Short position trong forward contract tạo ra gain (loss) khi ST < F 0 (ST > F 0).

Exhibit 5: Payoffs for Long Asset and Short Forward Positions

Không giống Example 2, có vẻ như các positions này bù trừ cho nhau. Trong ví dụ dưới đây, chúng ta phân tích return của các positions này.

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

EXAMPLE 3

Risk-Free Trade Replication: Long Asset, Short Forward

Procam Investments mua 100 ounces vàng tại current spot price, S 0, là USD1,783.28, đồng thời thỏa thuận bán vàng tại forward price, F 0(T), là USD1,792.13. Như trong ví dụ trước, chúng ta giả định vàng có thể được lưu trữ mà không phát sinh chi phí và xác định rate of return của Procam.

• Tại t = 0, cash flow của Procam là – S 0 = –USD178,328.

• Tại t = T, cash flow của Procam là F 0( T ) = USD179,213.

• Tính rate of return cho strategy của Procam như sau:

  • USD179,213 = USD178,328(1 + r )0.25.

  • r = 2.0%, bằng với risk-free rate.

Ví dụ trên cho thấy Procam có thể tham gia một short derivative (forward contract) để hedge long position của mình đối với vàng và kiếm được risk-free rate of return, miễn là no-arbitrage condition (F 0( T ) = S 0(1 + r )T) được duy trì. Combined return này được minh họa trong Exhibit 6. Lưu ý rằng nếu Procam vay tại risk-free rate để đầu tư vào underlying asset tại S 0, công ty không kiếm được gì.

Exhibit 6: Combined Long Asset and Short Forward Profit

Vì forward price được giả định cao hơn spot price và r > 0 trong ví dụ trên, risk-free return là một giá trị dương và giữ nguyên (risk-free) bất kể giá của underlying asset (ST) như thế nào. Như sẽ thấy trong bài học tiếp theo, việc sở hữu underlying asset có thể phát sinh costs hoặc benefits khiến risk-free return trong Exhibit 6 khác với F 0( T ) - S 0 và thậm chí có thể âm.

• Bài tập thực hành Arbitrage and Replication 1. EN: Complete the following statement correctly: If the law of one price does not hold, a(n) _________ asset trades at the same time at _________ prices in different places.
  Nếu law of one price không được duy trì, hãy hoàn thành đúng phát biểu sau: Một asset _________ được giao dịch cùng một thời điểm tại các mức giá _________ ở những địa điểm khác nhau.

EN: Solution: Since the spot price of the underlying asset is higher than the known future price discounted at the risk-free rate ( S 0 > F 0( T )(1 + r )–T ), at t = 0, the investor: • Shorts the underlying asset in the spot market at S 0 • Enters into a long forward contract at F 0( T ) • Borrows S 0 at the risk-free rate r to receive S 0(1 + r )T at time T. At time t = T , the investor: • Settles his long forward position and receives S T – F 0( T ) • Reoffsets the short underlying asset position at ST, and • Makes a riskless profit of S 0(1 + r )T – F 0( T ) regardless of the underlying spot price at time T.
Lời giải: Vì spot price của underlying asset cao hơn known future price được discounted tại risk-free rate (S 0 > F 0( T )(1 + r )–T), tại t = 0, nhà đầu tư: • Short underlying asset trên spot market tại S 0 • Tham gia long forward contract tại F 0( T ) • Vay S 0 tại risk-free rate r để nhận được S 0(1 + r )T tại thời điểm T.

• 2. EN: An investor notices that the spot price, S0, of an underlying asset with no additional costs or benefits is higher than its known future price, discounted at the risk-free rate, ST (1 + r )–T . Explain how the investor will conduct arbitrage in order to make a risk-free profit.
     Một nhà đầu tư nhận thấy rằng spot price, S0, của một underlying asset không có additional costs hoặc benefits cao hơn known future price của nó, được discounted tại risk-free rate, ST (1 + r )–T. Hãy giải thích cách nhà đầu tư sẽ thực hiện arbitrage để tạo ra risk-free profit.

Tại thời điểm t = T, nhà đầu tư: • Settlement long forward position và nhận S T – F 0( T ) • Đóng short underlying asset position tại ST, và • Tạo ra riskless profit là S 0(1 + r )T – F 0( T ), bất kể underlying spot price tại thời điểm T.

EN: Solution: The replication strategy for a three-month short forward commitment on a non-dividend-paying stock entails selling short 1,000 shares of stock at t = 0 and investing the proceeds at the risk-free rate, r. At time t = T , the short sale will be covered at ST, and in line with the no-arbitrage condition of F 0( T ) = S 0(1 + r )T, the return will be the same for both the short forward and replication strategy of F 0( T ) – ST.
Lời giải: Replication strategy cho một short forward commitment ba tháng đối với non-dividend-paying stock bao gồm việc short 1,000 cổ phiếu tại t = 0 và đầu tư số tiền thu được tại risk-free rate, r. Tại thời điểm t = T, short sale sẽ được đóng tại ST, và phù hợp với no-arbitrage condition F 0( T ) = S 0(1 + r )T, return sẽ giống nhau cho cả short forward và replication strategy, bằng F 0( T ) – ST.

• 3. EN: Formulate a replication strategy for a three-month short forward commitment for 1,000 shares of a non-dividend-paying stock.
     Xây dựng một replication strategy cho một short forward commitment ba tháng đối với 1,000 cổ phiếu của một non-dividend-paying stock.

EN: Solution:
Lời giải:

4. EN: Determine the arbitrage profit that can be made when there is a spot asset whose additional costs or benefits are zero and trades at a spot price of 100. The three-month forward price for the underlying asset is 102 and the risk-free rate is 5%.
   Xác định arbitrage profit có thể tạo ra khi có một spot asset mà additional costs hoặc benefits bằng 0 và được giao dịch tại spot price là 100. Forward price ba tháng của underlying asset là 102 và risk-free rate là 5%.

EN: The no-arbitrage forward price, F 0( T ) = S 0(1 + r )T, is 101.23 (= 100(1.05)0.25). Since the observed forward price is 102, the arbitrage strategy will be to sell the forward and buy the underlying asset while borrowing at the risk-free rate. Therefore, the arbitrage profit will be the difference between the observed forward price and the no-arbitrage forward price of 0.77 (= 102 – 101.23).
No-arbitrage forward price, F 0( T ) = S 0(1 + r )T, là 101.23 (= 100(1.05)0.25). Vì observed forward price là 102, arbitrage strategy sẽ là bán forward và mua underlying asset trong khi vay tại risk-free rate. Do đó, arbitrage profit sẽ là chênh lệch giữa observed forward price và no-arbitrage forward price, bằng 0.77 (= 102 – 101.23).

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

5. EN: What is the relationship between the spot and forward price for an underlying asset if the risk-free rate is negative?
   Mối quan hệ giữa spot price và forward price của một underlying asset là gì nếu risk-free rate âm?

EN: The relationship between the spot and forward rate for an asset that has no additional costs or benefits other than the opportunity cost (risk-free rate) is F 0( T ) = S 0(1 + r )T. If r < 0, then (1 + r )T < 1, which means that the forward price, F 0( T ), is lower than the spot price, S 0.
Mối quan hệ giữa spot price và forward rate đối với một asset không có additional costs hoặc benefits nào ngoài opportunity cost (risk-free rate) là F 0( T ) = S 0(1 + r )T. Nếu r < 0, thì (1 + r )T < 1, điều này có nghĩa là forward price, F 0( T ), thấp hơn spot price, S 0.

• EN: Solution:
  Lời giải:

so sánh spot price và expected future price của một underlying asset và cost of carry của underlying asset

Như đã đề cập trước đó, khái niệm replication được sử dụng trong bài học trước để giải thích mối liên hệ cơ bản giữa việc tham gia spot contract và forward contract. Chúng ta đã chứng minh rằng mối liên hệ giữa giá của một asset không tạo ra cash flows và một forward contract đối với asset đó là risk-free interest rate, r. Trong bài học này, chúng ta giới thiệu cost of carry là net của costs và benefits từ việc sở hữu một underlying asset trong một khoảng thời gian nhất định.

Trong trường hợp forward contract của bài học trước, khi không có costs hoặc benefits từ việc nắm giữ một underlying asset, mối quan hệ sau giữa spot và forward prices được hình thành:

Phương trình này được thể hiện dưới dạng continuous compounding trong Equation 4:

• F 0( T ) = S 0 e__rT . (4)

r là risk-free interest rate, đồng thời là opportunity cost của việc nắm giữ ("carrying") asset. Việc nhà đầu tư có vay tiền để nắm giữ asset hay không không quan trọng vì opportunity cost luôn tồn tại đối với tất cả các asset types được liệt kê dưới đây.

Equations 3 và 4 mô tả trường hợp đặc biệt của một underlying asset không có additional cost hoặc benefit nào từ việc sở hữu nó. Tuy nhiên, một số assets đi kèm additional costs hoặc benefits, và những yếu tố này phải được xem xét trong forward commitment price để tránh arbitrage opportunities xảy ra giữa underlying spot và derivative prices. Exhibit 7 minh họa ảnh hưởng của costs và benefits (dưới dạng dividend hoặc interest income) đối với mối quan hệ giữa spot price, forward commitment price và risk-free rate.

Exhibit 7: Spot Prices, Forward Commitment Prices, và Risk-Free Rate với Costs và Benefits của Underlying Asset

Chủ sở hữu underlying asset không chỉ đối mặt với opportunity cost mà còn với các cost bổ sung khi sở hữu asset sẽ kỳ vọng được bù đắp cho các cost bổ sung này dưới dạng forward price cao hơn, F 0+ ( T ). Income hoặc bất kỳ benefits nào khác sẽ được chủ sở hữu underlying asset nhận, và điều này sẽ dẫn đến forward price thấp hơn F 0– ( T ).

Đối với các underlying assets có costs hoặc income dưới dạng một khoản tiền đã biết theo present value tại t = 0 - được biểu diễn dưới dạng PV0() - mối quan hệ giữa spot price và forward price với discrete compounding sẽ là

F 0( T ) = [ S 0 – PV0( I ) + PV0( C )](1 + r )T . (5)

Trong một số trường hợp, cost hoặc benefit sẽ được biểu diễn dưới dạng một rate of return. Mối quan hệ giữa spot price và forward price với continuous compounding đối với income dưới dạng rate i và cost c sẽ là

F 0( T ) = S 0 e(r+c–i)T . (6)

Trong cả hai trường hợp, bất kể chúng được trình bày theo cách nào, forward price phải phản ánh tất cả benefits hoặc costs bổ sung của việc sở hữu underlying asset, bao gồm:

• Opportunity Cost (risk-free interest rate, r ): Nếu có risk-free interest rate dương, forward price cao hơn underlying spot price, và risk-free interest rate càng cao thì chênh lệch dương giữa hai mức giá càng lớn. Opportunity cost này tồn tại bất kể loại asset.

• Other Costs of Ownership ( C , c ): Một số underlying assets có các costs khác của việc sở hữu, chẳng hạn như storage costs, transportation costs, insurance cost và/hoặc spoilage cost. Nếu chủ sở hữu tham gia một contract để thực hiện việc giao underlying asset theo forward contract, họ phải chịu các costs này và cần được bù đắp cho các costs đó. Trong trường hợp này, forward price sẽ cao hơn underlying spot asset price.

• Benefits of Ownership ( I , i ): Ngược lại, một số underlying assets tạo ra cash flows hoặc benefits từ việc sở hữu underlying asset thay vì sở hữu derivatives của nó. Counterparty tham gia derivative contract để giao underlying asset trong tương lai sẽ mất các benefits này, điều này làm giảm forward price. Dividends từ stocks và coupons từ bonds là các ví dụ về cash flow benefits.

Như Exhibit 8 cho thấy, forward price có thể cao hơn underlying asset price nếu tổng của opportunity cost và other costs of ownership cao hơn benefit.

Arbitrage, Replication, và Cost of Carry trong Pricing Derivatives

Exhibit 8: Forward vs. Spot Price

Mỗi underlying asset có costs và benefits khác nhau. Costs và benefits không chỉ khác nhau theo loại underlying asset mà còn thay đổi theo thời gian và giữa các markets. Ví dụ, individual equity securities có benefit là nhận dividends từ việc sở hữu stock, như trong Example 4, trong khi các securities khác không có benefit này. Benefit của equity indexes là rate of return, như trong Example 5.

VÍ DỤ 4

Hightest Equity Forward with Dividend

Hãy xem xét trường hợp Hightest Capital cam kết giao 1,000 cổ phiếu Unilever (UL) với một mức giá đã thỏa thuận cho một financial intermediary trong vòng sáu tháng bằng cách sử dụng forward contract. Giả sử UL stock có spot price là EUR50 và không trả dividends ( I = 0), đồng thời giả sử có risk-free rate ( r ) là 5%. Có thể sử dụng Equation 3 để tìm forward price, F 0( T ), trong vòng sáu tháng:

F 0( T ) = S 0(1 + r )T .

EUR51.23 = EUR50(1.05)0.5 .

Bây giờ, giả sử UL stock trả dividend hàng quý là EUR0.30 tại đúng thời điểm ba tháng và thời điểm T , trong khi các variables khác không đổi. Có thể sử dụng Equation 5 với PV0( C ) = 0 để tìm F 0( T ) trong vòng sáu tháng:

F 0( T ) = [ S 0 – PV0( I )](1 + r )T .

Trước tiên, hãy tìm present value của dividend trên mỗi cổ phiếu bằng cách sử dụng:

PV0( I ) = EUR0.30(1.05)–0.25 + EUR0.30(1.05)–0.5 .

EUR0.5892 = 0.2964 + 0.2928.

Bây giờ, thay PV0( I ) = EUR0.5892 vào Equation 5 để có F 0( T ):

F 0( T ) = (EUR50 – EUR0.5892)(1.05)0.5

= EUR50.6310.

Do đó, forward contract của Hightest Capital đối với 1,000 UL stocks sẽ có giá trị là EUR50,631.00 (= 1,000 × EUR50.6310). Opportunity cost của việc tài trợ bằng risk-free rate là EUR1.23 trên mỗi cổ phiếu trong sáu tháng và bằng F 0( T ) - S 0 trong trường hợp Unilever không trả dividends. Dividend EUR0.30 mỗi quý làm giảm chênh lệch giữa forward price và spot price xuống khoảng EUR0.63.

VÍ DỤ 5

Stock Index Futures with Dividend Yield

Viswan Family Office (VFO) quan tâm đến một forward commitment contract kỳ hạn ba tháng trên NIFTY 50 benchmark Indian stock market index được niêm yết trên National Stock Exchange. Spot NIFTY 50 price là INR15,200, index dividend yield là 2.2%, và risk-free interest rate của Indian Rupee là 4%. Hãy tính forward price với sự trợ giúp của Equation 6, đặt c = 0.

F 0( T ) = S 0 e(r+c–i)T = 15,200 e(0.04 – 0.022)0.25 = INR15,268.55.

Để thiết lập no-arbitrage condition cho foreign exchange, cần thực hiện một số điều chỉnh vì foreign exchange có ý nghĩa hơi khác so với trường hợp equities, fixed income hoặc commodities. Cần phân biệt giữa “price” của asset, trong các trường hợp equities, fixed income và commodities, có nghĩa là số đơn vị tiền tệ cho mỗi asset. Ngược lại, foreign exchange rate được trình bày dưới dạng spot rate ( S 0, f / d ), cho biết nhận được bao nhiêu đơn vị price currency ( f hoặc foreign currency) cho mỗi một đơn vị base currency ( d hoặc domestic currency). Ví dụ, nếu spot rate của USD/EUR ( S 0, f / d ) là 1.20, thì price currency là US dollar và base currency là euro, với ý nghĩa rằng USD1.20 tương đương với EUR1.

FX (foreign exchange) forward contract được định nghĩa là việc bán một currency và mua một currency khác vào một ngày trong tương lai tại forward price ( F 0, f / d ) được cố định tại thời điểm khởi đầu của agreement. Khi nắm giữ long FX forward position, nhà đầu tư mua base currency và bán price currency. Do đó, khi nắm giữ long USD/EUR FX forward position, giao dịch là bán US dollars và mua euros tại forward rate.

Trong trường hợp replication trước đó, cần tái tạo derivative cash flow stream bằng cách tạo long hoặc short position trong underlying asset và borrow/lend cash. Trong trường hợp này, cần lưu ý rằng cả foreign currency và domestic currency đều có opportunity cost tương ứng với foreign risk-free rate ( rf ) và domestic risk-free rate ( rd ).

VÍ DỤ 6

AUD/USD Foreign Exchange Forward Replication

Cần replicate returns của một currency theo một currency khác đối với một spot price S 0, f / d nhất định tại thời điểm hiện tại. Vì mục đích này, có thể sử dụng ý tưởng arbitrage rằng các assets có một future price nhất định phải có spot price ( S 0, f / d ) bằng future price được discounted theo risk-free rate.

Giả sử spot price hiện tại của AUD/USD exchange là 1.3335. Australian dollar là price currency hoặc foreign currency, trong khi US dollar là base currency hoặc domestic currency (AUD1.3335 = USD1). Risk-free rate sáu tháng của Australian dollar là 0.05%, trong khi risk-free rate sáu tháng của US dollar là 0.20%.

• Tại thời điểm t = 0:

• 1.* Borrow USD1,000 tại US dollar risk-free rate 0.20% trong sáu tháng.

  2. Mua AUD1,333.50 tại AUD/USD spot rate ( S 0, f / d = 1.3335).

• 3.* Lend AUD1,333.50 tại Australian dollar risk-free rate 0.05% trong sáu tháng.

Arbitrage, Replication, và Cost of Carry trong Pricing Derivatives

• Tại thời điểm t = T sau sáu tháng:

  4. Nhận khoản tiền thu được từ Australian dollar loan là 1,333.83 (= 1,333.50 e(0.0005 × 0.5) ).

• 5.* Chuyển đổi khoản tiền thu được bằng Australian dollar sang US dollars tại ST , f / d để hoàn trả US dollar loan.

  6. Hoàn trả US dollar loan (kèm interest) là 1,001 (= 1,000 e(0.002 × 0.5)).

Nếu tại bước năm ở trên, tại thời điểm T, với spot price ST , f / d, khoản tiền thu được từ Australian dollar loan (bước bốn ở trên) vừa đủ bù trừ cho US dollar loan (bước sáu ở trên), thì không có riskless arbitrage opportunity. Nghiệm cho ST , f / d như sau:

ST , f / d = 1.3325 (= AUD1,333.83/USD1,001).

Sơ đồ sau minh họa cash flows tại t = 0 và T:

Để mối quan hệ no-arbitrage giữa FX spot price và forward price được duy trì, số Australian dollars cần thiết để mua USD1 tại thời điểm T ( F 0, f / d ( T )) phải bằng future price đã được discounted. Trong trường hợp cụ thể này, discount rate là chênh lệch giữa foreign và domestic risk-free rates, như được minh họa trong modification sau của Equation 4:

Giải F 0, AUD / USD ( T ) trong Example 6 như sau: F 0, f / d ( T ) = 1.3325 (= 1.3335 e(–0.0015 × 0.5) ).

Từ Equation 7, có thể thấy rõ rằng điều quan trọng trong trường hợp này là risk-free interest rate differential ( rf – rd ), thay vì bản thân các risk-free interest rates. Ví dụ, trong Example 6, Australian dollar interest rate thấp hơn US dollar interest rate 0.15% ( rf – rd < 0). Việc borrowing tại US dollar interest rate cao hơn và lending tại Australian dollar interest rate thấp hơn dẫn đến no-arbitrage forward price, trong đó cần ít Australian dollars hơn để mua USD1 trong tương lai; nói cách khác, Australian dollar được giao dịch ở premium trên forward FX market so với US dollar. Exhibit 9 minh họa mối quan hệ giữa forward và spot FX prices.

Exhibit 9: Mối quan hệ giữa FX Forward và Spot Price

Bây giờ, hãy xem xét mối quan hệ trên theo Example Montau AG đã được trình bày trong một trong các bài học trước.

VÍ DỤ 7

Montau AG’s FX Forward Rate

Montau AG là một công ty Đức sản xuất hàng hóa tư bản. Montau AG đã ký kết một thỏa thuận thương mại với Jeon, Inc., một công ty có trụ sở tại Hàn Quốc, theo đó công ty trước đồng ý cung cấp cho công ty sau một máy cắt laser với giá KRW650 million sau 75 ngày. Montau gặp vấn đề về sự không khớp giữa chi phí và doanh thu bằng euro do việc giao và bán máy cũng như việc chuyển đổi tiếp theo đồng won Hàn Quốc sang euro trên thị trường spot FX. Để giải quyết vấn đề này, Montau đã ký kết một long KRW/EUR FX forward contract. Nói cách khác, Montau đồng ý bán đồng won Hàn Quốc và mua euro tại một mức giá cố định, F 0( T ), sau 75 ngày.

Đối với vấn đề này của Montau AG, giờ đây chúng ta sử dụng tỷ giá spot hiện tại cùng với các risk-free rates trong nước và nước ngoài để xác định KRW/EUR forward rate. Như chúng ta thấy trong Equation 7, chênh lệch giữa spot và forward FX rates dựa trên chênh lệch giữa các risk-free rates. Đối với trường hợp KRW/EUR, đồng won Hàn Quốc trở thành price currency hoặc foreign currency và rf do đó là South Korean won interest rate. Mặt khác, euro trở thành base currency hoặc domestic currency. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại equation 7 như dưới đây:

F 0, KRW / EUR ( T ) = S 0, KRW / EURe(r KRW–r EUR)T .

Giả sử spot KRW/EUR rate ( S 0) là 1,300 (tức là KRW1,300 = EUR1), South Korean won risk-free rate là 0.75%, trong khi euro risk-free rate là –0.25%. Hãy tính KRW/EUR forward rate sau 75 ngày trong điều kiện không có arbitrage opportunities.

F 0, KRW / EUR ( T ) = 1,300 × e(0.0075 + 0.0025) × (75/365) .

Từ các phép tính trên, chúng ta thấy rằng KRW/EUR forward rate là F 0( T ) = 1,302.67. Chúng ta nhận thấy rằng do chênh lệch 1% giữa South Korean won và euro interest rates, forward price cao hơn spot price ( F 0, f / d ( T ) > S 0, f / d ). Nói cách khác, sau sáu tháng, có nhu cầu lớn hơn đối với đồng won Hàn Quốc để mua euro và do đó đồng won Hàn Quốc giao dịch tại forward discount so với euro.

Để cho thấy không có arbitrage opportunities giữa forward và spot rates, giả sử Montau chuyển đổi KRW650 million sang euro tại KRW/EUR spot rate là 1,300 và nhận được EUR500,000 (= KRW650,000,000/1,300), số tiền này được đầu tư trong 75 ngày với continuously compounded rf = –0.25%:

EUR499,743.22 = EUR500,000 × e[–0.0025 × (75/365)] .

Giả sử Jeon Inc. đầu tư KRW650 million tại South Korean won risk-free rate ( rd = 0.75%) trong 75 ngày để nhận được

KRW651,002,484.59 = KRW650,000,000 × e[0.0075 × (75/365)] .

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

Do đó, arbitrage-free forward commitment price phải sao cho Montau chuyển đổi KRW651,002,484.59 thành EUR499,743.22 sau 75 ngày.

F 0( T ) = 651,002,484.59/499,743.22 = 1,302.67.

Như có thể thấy, các mức spot và forward exchange rate prices ở trên phù hợp với chênh lệch risk-free interest rate giữa hai loại tiền tệ.

Không giống securities và electronically stored cash, commodities có đặc điểm là phát sinh một số chi phí liên quan đến việc lưu trữ, bảo hiểm, vận chuyển và, nếu cần thiết, bảo quản physical assets (trong trường hợp soft commodities). Lợi ích của việc sở hữu một physical commodity thay vì một derivative được gọi là convenience yield. Các điều kiện kinh tế có thể phát sinh trên physical goods market khiến việc sở hữu physical commodity trở nên được ưu tiên hơn. Ví dụ, nếu crude oil inventories ở mức rất thấp, các refineries có thể đẩy spot oil price lên cao để forward prices không phản ánh đầy đủ storage costs và interest rates. Ví dụ dưới đây minh họa tác động của carry costs lên mối quan hệ giữa spot và forward commitment prices đối với một commodity và khả năng tồn tại của convenience yield.

EXAMPLE 8

Procam’s Gold Forward Contract with Storage Costs

Như chúng ta đã thấy từ các ví dụ trước, Procam đã vay tiền, mua vàng trên spot market và bán vàng trên forward market trong 3 tháng, qua đó kiếm được risk-free profits. Với risk-free rate là 2%, chúng ta đã chỉ ra rằng để loại bỏ arbitrage opportunity, spot price của vàng (_S_0) phải được tăng lên USD1,783.28 (= USD1,792.13(1.02)-0.25) với forward price là USD1,792.13, trong trường hợp vàng có thể được lưu trữ miễn phí.

Forward price của vàng sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta tính đến chi phí USD2 mỗi ounce để lưu trữ và bảo hiểm vàng vào cuối thời hạn hợp đồng, với spot price ở trên?

Forward contract price đối với một commodity có known storage cost có thể được tính bằng cách áp dụng equation 5 với PV0( I )=0:

F 0( T ) = [ S 0 + PV0( C )](1 + r )T .

Trước hết, present value của storage cost mỗi ounce PV0( C ) sẽ được tính: PV0( C ) = USD2(1.02)–0.25

= USD1.99.

Sau đó, thay PV0( C )=USD1.99 vào equation 5 để tìm F 0( T ):

F 0( T ) = (USD1,783.28 + USD1.99)(1.02)0.25

= USD1,794.13.

Cần lưu ý rằng việc cộng thêm storage và insurance costs làm tăng chênh lệch giữa spot và forward price. Cuối cùng, cần quan sát rằng forward price thấp hơn no-arbitrage price, F 0( T ), hàm ý sự tồn tại của convenience yield.

Tóm tắt về các additional costs và benefits liên quan đến việc sở hữu underlying asset được trình bày trong Exhibit 10.

Exhibit 10: Cost of Carry for Underlying Assets

Interest rates và credit có term structure, tức là có nhiều mức giá hoặc rates khác nhau cho các kỳ hạn khác nhau. Forward contracts được thảo luận trong một lecture riêng.

BÀI TẬP THỰC HÀNH

Cost of Carry

1. EN: Explain how the spot price and forward price relate in case of the underlying asset that has more benefits than the opportunity and other costs of being its owner.

Giải thích mối quan hệ giữa spot price và forward price trong trường hợp underlying asset mang lại nhiều benefits hơn opportunity cost và các chi phí khác của việc sở hữu nó.

EN: The spot price will be higher than the forward price if the benefits for an owner of the underlying asset are higher than the opportunity and other costs of owning the underlying asset.

Lời giải:

Spot price sẽ cao hơn forward price nếu benefits đối với người sở hữu underlying asset cao hơn opportunity cost và các chi phí khác của việc sở hữu underlying asset.

2. EN: Determine what example matches each of the following relationship between the spot and forward rates:

Xác định ví dụ nào phù hợp với từng mối quan hệ sau đây giữa spot và forward rates:

Lời giải:

1. EN: Example B is the right one. The forward exchange rate is greater than the spot exchange rate if the risk free rate is greater than the foreign risk free rate.

Ví dụ B là đáp án đúng. Forward exchange rate lớn hơn spot exchange rate nếu risk-free rate lớn hơn foreign risk-free rate.

Arbitrage, Replication, and the Cost of Carry in Pricing Derivatives

2. EN: A is correct. A par value bond’s return is greater than the opportunity cost of the risk-free rate, thus F0(T) < S0.

A là đáp án đúng. Return của một par value bond lớn hơn opportunity cost của risk-free rate, do đó F0(T) < S0.

3. EN: C is correct. It is impossible for us to make a comprehensive assessment of the convenience yield benefit against the cost of the risk-free rate, storage, and insurance of holding the physical commodity asset in this particular case.

C là đáp án đúng. Trong trường hợp cụ thể này, chúng ta không thể đưa ra đánh giá toàn diện về convenience yield benefit so với chi phí của risk-free rate, storage và insurance khi nắm giữ physical commodity asset.

3. EN: Find out which options should be inserted in the following statement in order to make it correct. A positive risk-free rate makes the forward price ____ than the spot price of the underlying asset, and the higher the risk-free rate, the ____ the difference between the two prices.

Hãy xác định những lựa chọn nào cần được điền vào phát biểu sau để làm cho phát biểu đúng. Một positive risk-free rate khiến forward price ____ spot price của underlying asset, và risk-free rate càng cao thì chênh lệch giữa hai mức giá càng ____.

EN: A positive risk-free rate makes the forward price greater than the spot price of the underlying asset, and the higher the risk-free rate, the greater the difference between the two prices.

Lời giải:

Một positive risk-free rate khiến forward price cao hơn spot price của underlying asset, và risk-free rate càng cao thì chênh lệch giữa hai mức giá càng lớn.

4. EN: An analyst notices that the spot MXN/USD exchange rate is currently at 19.50, the risk free rate on the Mexican peso for the next six months is 4%, and the six-month US dollar risk free rate is 0.25%. Discuss the relationship between the MXN/USD spot and six-month forward rates.

Một analyst nhận thấy rằng MXN/USD spot exchange rate hiện tại là 19.50, risk-free rate của Mexican peso trong sáu tháng tới là 4%, và US dollar risk-free rate cho sáu tháng là 0.25%. Hãy thảo luận mối quan hệ giữa MXN/USD spot và six-month forward rates.

EN: The relation between the MXN/USD foreign exchange spot price and forward price depends on the risk free interest rate difference between the Mexican peso and US dollars (rf – rd > 0, since 3.75% = 4.0% – 0.25%). Since the rate of the Mexican peso is 3.75% higher than the rate of US dollars, it would be expected that borrowing at a higher rate of Mexican peso and lending at a lower rate of US dollar would give us a no arbitrage forward price where more Mexican pesos will be needed to buy USD1 in the future, and hence the Mexican peso will trade at a discount in the forward market relative to US dollars (_F_0,MXN/USD<( T ) > _S_0,MXN/USD).</p>

Lời giải:

Mối quan hệ giữa MXN/USD foreign exchange spot price và forward price phụ thuộc vào chênh lệch risk-free interest rate giữa Mexican peso và US dollars (rf – rd > 0, vì 3.75% = 4.0% – 0.25%). Vì rate của Mexican peso cao hơn rate của US dollars 3.75%, có thể kỳ vọng rằng việc borrowing bằng Mexican peso với rate cao hơn và lending bằng US dollar với rate thấp hơn sẽ tạo ra no-arbitrage forward price, tại đó sẽ cần nhiều Mexican pesos hơn để mua USD1 trong tương lai, và do đó Mexican peso sẽ giao dịch tại discount trên forward market so với US dollars (_F_0,MXN/USD<( T ) > _S_0,MXN/USD).</p>

Điều này có thể được minh họa bằng Equation 7 đối với trường hợp MXN/USD như sau:

F 0, MXN / USD ( T ) = S 0, MXN / USDe(r MXN–r USD)T .

Dựa trên S 0, f / d hiện tại là 19.50, rf = 4%, rd = 0.25%, và T là 0.5, chúng ta có thể giải no-arbitrage forward price, F 0, f / d , như sau

F 0, MXN / USD ( T ) = 19.50 e[(0.04 – 0.0025) × 0.5]

= 19.8691.

5. EN: If there are new and stricter regulations in regard to storing the oil and insurance of the stored oil that results in a sharp increase in the cost of these two services, describe the anticipated effect of the increasing costs on the oil spot and forward commitment prices.

Nếu có các quy định mới và nghiêm ngặt hơn liên quan đến việc lưu trữ dầu và bảo hiểm cho lượng dầu được lưu trữ, dẫn đến sự gia tăng mạnh chi phí của hai dịch vụ này, hãy mô tả tác động dự kiến của các chi phí tăng lên đối với oil spot và forward commitment prices.

EN: Physical commodity holders that have to pay storage and insurance costs during a certain period of time expect to be paid for their forward commitments through higher forward commitment prices for the delivery of the underlying assets in the future. In other words, under the condition that everything else remains the same, an increase in storage and insurance costs leads to an increase in forward commitment prices and difference between spot and forward prices. Equation 5 shows the increase in C causes an increase in _F_0( T ) given _S_0:</p>

Lời giải:

Những người nắm giữ physical commodity phải trả storage và insurance costs trong một khoảng thời gian nhất định kỳ vọng được bù đắp cho các forward commitments của mình thông qua forward commitment prices cao hơn đối với việc giao underlying assets trong tương lai. Nói cách khác, trong điều kiện mọi yếu tố khác không đổi, sự gia tăng storage và insurance costs dẫn đến sự gia tăng forward commitment prices và chênh lệch giữa spot và forward prices. Equation 5 cho thấy sự gia tăng của C làm tăng _F_0( T ) khi _S_0:

F 0( T ) = [ S 0 – PV0( I ) + PV0( C )] (1 + r )T . (8)