Duration đo độ dốc của quan hệ giá-yield. Convexity đo độ cong của quan hệ đó. Hai đại lượng này là hai số hạng đầu tiên của khai triển Taylor cho hàm giá trái phiếu theo yield. Nắm được cách nhìn này thì mọi công thức trong reading về interest rate risk của môn Fixed Income trở thành hệ quả, thay vì một danh sách phải học thuộc.

Bài này dựng từ các câu hỏi thật của một thí sinh tự học CFA Level 1, trích nguyên văn từ log học tập tháng 7/2026.

4 loại Macaulay · modified · effective · money
Bậc 1 Duration: xấp xỉ tuyến tính
Bậc 2 Convexity: hiệu chỉnh độ cong
7.17 Effective duration trong đề giải mẫu

Quan hệ giá-yield

Giá trái phiếu là tổng hiện giá các dòng tiền cố định. Yield tăng làm mẫu số chiết khấu tăng, giá giảm. Cơ chế kinh tế đứng sau: khi lãi suất thị trường vượt coupon cố định của trái phiếu, người mua chỉ chấp nhận nắm giữ nếu được bù bằng giá thấp hơn mệnh giá. Quan hệ này nghịch biến và có dạng đường cong lồi về phía gốc tọa độ, gọi là positive convexity với trái phiếu option-free.

“có bài gì mà tam giác tỷ lệ thuận nhỉ, khi price và ytm thay đổi”

“giải thích theo ngôn ngữ non-finance cho dễ hiểu nhé, tôi không hiểu Duration & Convexity, ytm và price liên quan như nào, bonds dài hạn thì vì sao Convexity cao”

Câu hỏi thật từ một thí sinh tự học, tháng 7/2026.

Vì sao trái phiếu dài hạn nhạy hơn: mỗi dòng tiền bị chiết khấu bởi thừa số (1+y)^t. Số mũ t càng lớn, hiện giá càng nhạy với thay đổi của y. Trái phiếu dài hạn dồn phần lớn giá trị vào các dòng tiền có t lớn, nên tổng độ nhạy cao. Cùng logic đó, coupon thấp đẩy tỷ trọng giá trị về dòng tiền cuối cùng và làm duration tăng.

Bốn loại duration

Macaulay duration là bình quân gia quyền thời điểm nhận dòng tiền, trọng số bằng hiện giá dòng tiền chia cho giá. Đơn vị là năm. Đây là định nghĩa gốc năm 1938 và là cầu nối sang khái niệm investment horizon: tại thời điểm nắm giữ bằng Macaulay duration, price risk và reinvestment risk triệt tiêu nhau.

Modified duration chuyển Macaulay duration thành độ nhạy giá:

D_mod = D_mac / (1 + r)        với r là yield mỗi kỳ
%ΔP ≈ −D_mod × Δy

Effective duration thay công thức giải tích bằng cách “nắn” yield curve lên xuống một lượng Δy rồi định giá lại. Đây là loại duration duy nhất dùng được cho trái phiếu có embedded option, vì dòng tiền của các trái phiếu này thay đổi theo lãi suất:

D_eff = (PV− − PV+) / (2 × PV0 × Δy)

Money duration đổi độ nhạy tương đối thành số tiền: MoneyDur = D_mod × full price. Chia tiếp cho 10.000 được PVBP, mức thay đổi giá trị khi yield dịch 1 basis point.

Quy tắc nhớ các yếu tố ảnh hưởng: maturity dài hơn, coupon thấp hơn, yield thấp hơn đều làm duration cao hơn. Call option và put option đều làm duration giảm.

Convexity và tính bất đối xứng

Duration là xấp xỉ tuyến tính, tức là vẽ tiếp tuyến tại điểm giá hiện tại. Đường giá thật nằm phía trên tiếp tuyến ở cả hai phía. Hệ quả với trái phiếu option-free: yield giảm thì giá tăng nhiều hơn duration dự báo, yield tăng thì giá giảm ít hơn duration dự báo. Convexity dương luôn có lợi cho người nắm giữ.

“YTM giảm 50 -> Price giảm 2%, vậy YTM tăng 50 thì Price có tăng 2% không”

Câu hỏi thật từ một thí sinh tự học.

Câu trả lời là không, và chiều trong câu hỏi cũng cần đảo lại: YTM giảm thì giá tăng. Hai mức thay đổi giá cho cùng một |Δy| khác nhau đúng bằng phần convexity. Công thức ước lượng đầy đủ gộp cả hai bậc:

%ΔP ≈ −D × Δy + ½ × C × (Δy)²

Số hạng convexity chứa (Δy)² nên luôn dương với C dương, bất kể yield tăng hay giảm. Với Δy nhỏ, số hạng này không đáng kể. Với Δy lớn, bỏ nó đi là sai số hệ thống: luôn dự báo giá thấp hơn thực tế.

Giải một đề thi thật

“Rob Ealey purchases an option-free bond with a 6.5% coupon that is currently selling at 94.73 to yield 7.25%. If yields increase by 50 basis points, the new price of the bonds would be 91.41, and if yields decrease by 50 basis points, the new price of the bond would be 98.20. If yields decrease by 75 basis points, the price of the bond would be closest to”

Đề luyện thi thí sinh dán vào chat.

Bước 1, effective duration với PV0 = 94.73, PV− = 98.20, PV+ = 91.41, Δy = 0.005:

D_eff = (98.20 − 91.41) / (2 × 94.73 × 0.005) = 6.79 / 0.9473 = 7.17

Bước 2, effective convexity:

C_eff = (98.20 + 91.41 − 2 × 94.73) / (94.73 × 0.005²) = 0.15 / 0.00236825 = 63.3

Bước 3, áp công thức đầy đủ cho Δy = −0.0075:

%ΔP ≈ −7.17 × (−0.0075) + ½ × 63.3 × 0.0075² = 5.376% + 0.178% = +5.55%

Giá mới = 94.73 × 1.0555 ≈ 99.99. Duration đóng góp 97% mức thay đổi, convexity đóng góp 3%. Tỷ lệ này là điển hình: convexity là hiệu chỉnh nhỏ, quyết định đúng sai giữa các đáp án gần nhau.

Một biến thể hay gặp: dữ kiện cho hai mức giá thay đổi không đối xứng quanh giá gốc. Đề vẫn giải bằng đúng hai công thức trên, vì công thức effective duration và convexity được thiết kế cho dữ liệu bump hai phía.

Analytical duration và empirical duration

Analytical duration tính từ mô hình định giá với giả định benchmark yield thay đổi còn credit spread đứng yên. Empirical duration ước lượng bằng hồi quy thay đổi giá thực tế theo thay đổi benchmark yield trong dữ liệu lịch sử.

Hai con số tách nhau ở trái phiếu có credit risk cao. Khi lãi suất chính phủ tăng trong pha kinh tế mạnh, credit spread thường thu hẹp và bù lại một phần mức giảm giá. Giá high-yield bond vì vậy ít nhạy với benchmark yield hơn mô hình dự báo, empirical duration thấp hơn analytical duration. Với trái phiếu chính phủ và investment-grade chất lượng cao, hai con số gần trùng nhau.

Điểm cần nhớ cho kỳ thi

  • Duration là số đo bậc nhất, convexity là hiệu chỉnh bậc hai. Một công thức %ΔP ≈ −D×Δy + ½C(Δy)² bao trọn cả hai.
  • Effective duration là lựa chọn bắt buộc cho callable, putable bond và MBS. Callable bond có vùng negative convexity khi yield thấp.
  • Macaulay tính bằng năm, modified và effective tính bằng phần trăm giá trên 1% yield, money duration và PVBP tính bằng tiền.
  • Face value không ảnh hưởng duration. Duration là độ nhạy tương đối, không phụ thuộc quy mô.
  • Empirical duration nhỏ hơn analytical duration ở high-yield, xấp xỉ bằng ở trái phiếu chính phủ.

Cách bấm các bài duration trên máy tính được tách riêng ở bài quy trình bấm BA II Plus theo dạng bài. Toàn bộ lý thuyết môn nằm ở hub Fixed Income.

Bài viết phục vụ ôn thi CFA Level 1. Số liệu ví dụ lấy từ đề luyện thi phổ biến, đã tính lại độc lập.