Lãi suất và Tỷ suất sinh lợi

• Bởi Richard A. DeFusco, PhD, CFA, Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, Jerald E. Pinto, PhD, CFA, David E. Runkle, PhD, CFA và Vijay Singal, PhD, CFA.

Richard A. DeFusco, PhD, CFA, công tác tại University of Nebraska-Lincoln (USA). Dennis W. McLeavey, DBA, CFA, công tác tại University of Rhode Island (USA). Jerald E. Pinto, PhD, CFA, công tác tại CFA Institute (USA). David E. Runkle, PhD, CFA, công tác tại Jacobs Levy Equity Management (USA). Vijay Singal, PhD, CFA, công tác tại Virginia Tech (USA).

Thí sinh cần có khả năng:

• diễn giải lãi suất như required rate of return, tỷ lệ chiết khấu hoặc chi phí cơ hội và giải thích một lãi suất là tổng của real risk-free interest rate và các phần bù bù đắp cho nhà đầu tư khi gánh chịu các loại rủi ro riêng biệt
• tính toán và diễn giải các phương pháp khác nhau để đo lường lợi suất theo thời gian và mô tả cách sử dụng phù hợp của chúng
• so sánh money-weighted rate of return và time-weighted, đồng thời đánh giá hiệu quả của danh mục đầu tư dựa trên các thước đo này
• tính toán và diễn giải các thước đo lợi suất thường niên hóa và lợi suất continuously compounded, đồng thời mô tả cách sử dụng phù hợp của chúng
• tính toán và diễn giải các thước đo lợi suất chủ yếu và mô tả cách sử dụng phù hợp của chúng

Lãi suất là một thành phần nền tảng của tài chính. Đôi khi chúng ta được cung cấp một mức lãi suất; vào những lúc khác, lãi suất cần được xác định. Trong khi phần đọc trước đã cung cấp cái nhìn tổng quan về các phép tính toán học liên quan đến các bài toán giá trị thời gian của tiền, ở đây chúng ta bắt đầu bằng việc giải thích ý nghĩa kinh tế và cách diễn giải lãi suất, sau đó chuyển sang tính toán, diễn giải và so sánh các thước đo lợi suất khác nhau.

• Lãi suất r có thể có ba ý nghĩa: (1) required rate of return, (2) tỷ lệ chiết khấu hoặc (3) chi phí cơ hội. Lãi suất có liên quan đến các dòng tiền phát sinh tại những thời điểm khác nhau.

• Lãi suất có thể được xem là bao gồm real risk-free interest rate cộng với các risk premium khác nhau, phản ánh khoản bù đắp được trả cho bên cho vay nhằm bù đắp cho các loại rủi ro khác nhau: Inflation premium, default risk premium, liquidity risk premium và maturity risk premium.

• Nominal risk-free interest rate được tính bằng cách cộng real risk-free interest rate và phần bù lạm phát.

• Tổng lợi suất của một tài sản tài chính gồm hai thành phần: lợi suất thu nhập, bao gồm các khoản thanh toán cổ tức hoặc lãi; và lợi suất vốn, có tính đến sự thay đổi trong giá trị của tài sản.

• Lợi suất trong thời gian nắm giữ, R, là lợi suất thu được trong một khoảng thời gian cố định (chẳng hạn một ngày, một tuần, một năm hoặc thậm chí năm năm).

• Lợi suất có thể được tính cho nhiều kỳ bằng cách áp dụng nhiều phương pháp khác nhau (arithmetic mean return, geometric mean return, harmonic mean return, trimmed mean return, winsorized mean return). Mỗi phương pháp có những cách sử dụng cụ thể riêng khi phân tích các loại hình đầu tư khác nhau.

• Quyết định lựa chọn phương án nào trong số các phương án khác nhau để tính giá trị trung bình của một tập dữ liệu phụ thuộc vào việc có các giá trị ngoại lai hay không, nên bao gồm hoặc loại trừ những giá trị ngoại lai nào, phân phối có tính đối xứng hay không và việc ghép lãi có được áp dụng hay không.

• Money-weighted rate of return đại diện cho lợi suất đạt được từ việc đầu tư vào một tài sản cụ thể, có tính đến giá trị và thời điểm của tất cả các dòng tiền liên quan đến tài sản đó.

• Time-weighted rate of return đại diện cho tốc độ tăng trưởng của một đơn vị tiền tệ đã được đầu tư vào danh mục trong một khoảng thời gian nhất định. Time-weighted rate of return khác với money-weighted rate of return ở chỗ nó không bị ảnh hưởng bởi thời điểm và giá trị của các dòng tiền. Đây là thước đo hiệu quả được khuyến nghị để đánh giá hiệu quả của các nhà quản lý danh mục vì các dòng tiền thường nằm ngoài tầm kiểm soát của nhà quản lý danh mục.

• Các khoản thanh toán lãi có thể được thực hiện thường xuyên hơn một lần mỗi năm. Cần thực hiện các điều chỉnh để tính lãi suất theo kỳ và số kỳ ghép lãi (hàng quý, hàng tháng, hàng ngày).

• Kỹ thuật thường niên hóa lợi suất đầu tư cho phép nhà đầu tư đánh giá các khoản đầu tư có thời gian nắm giữ khác nhau. Khi số kỳ ghép lãi trong một năm tiến tới vô hạn, lãi thu được sẽ được ghép liên tục.

• Lợi suất trước khi trừ chi phí quản lý (các chi phí không có mối liên hệ trực tiếp với việc tạo ra lợi suất) là một thước đo tốt để đánh giá hiệu quả tương đối của một nhà quản lý tài sản.

• Net return, được tính bằng cách trừ chi phí quản lý và hành chính khỏi gross return, phản ánh mức tăng thực tế của khoản đầu tư tốt hơn gross return.

• After-tax nominal return được tính bằng cách trừ thuế cổ tức, thuế thu nhập từ lãi và thuế lãi vốn khỏi tổng lợi suất.

• Lợi suất thực đặc biệt hữu ích khi so sánh giữa các kỳ vì tỷ lệ lạm phát có thể khác nhau tại những thời điểm khác nhau, và cũng đặc biệt hữu ích khi so sánh giữa các khoản đầu tư diễn ra trong các kỳ khác nhau.

• Việc tận dụng đòn bẩy cho một danh mục thông qua vay nợ hoặc sử dụng hợp đồng tương lai làm gia tăng lợi nhuận hoặc thua lỗ của danh mục.

xác định lãi suất là required rate of return, tỷ lệ chiết khấu hoặc chi phí cơ hội và mô tả lãi suất là tổng của real risk-free interest rate cộng với các phần bù bù đắp cho những loại rủi ro cụ thể.

Giá trị thời gian của tiền thiết lập cơ sở để xác định tính tương đương của các dòng tiền tại những thời điểm khác nhau. Vì tiền được thanh toán hoặc nhận ngay lập tức được ưu tiên hơn lời hứa về một dòng tiền như vậy tại một thời điểm nào đó trong tương lai, cần thiết lập một cơ sở chung để đánh giá sự đánh đổi này nhằm có thể so sánh các công cụ tài chính khi các khoản thanh toán bằng tiền xảy ra tại những thời điểm khác nhau. Lãi suất (hoặc lợi suất), được ký hiệu là r, là tỷ suất sinh lợi thiết lập mối quan hệ giữa các dòng tiền có thời điểm khác nhau. Trong trường hợp USD 9,500 hiện tại và USD 10,000 sau một năm là tương đương, USD 10,000 – USD 9,500 = USD 500 là khoản bù đắp cho việc nhận USD 10,000 sau một năm thay vì nhận ngay bây giờ. Do đó, lãi suất (với tư cách là khoản bù đắp yêu cầu được biểu thị dưới dạng tỷ suất sinh lợi) là USD 500/USD 9,500 = 0.0526 hoặc 5.26 phần trăm.

Lãi suất có thể được hiểu như sau:

• Thứ nhất, lãi suất có thể được xem là required rate of return.

• Thứ hai, lãi suất cũng có thể được gọi là tỷ lệ chiết khấu. Ví dụ, trong trường hợp trên, 5.26 phần trăm là tỷ lệ chiết khấu mà tại đó USD 10,000 sau một năm sẽ có cùng giá trị với USD 9,500 ở thời điểm hiện tại. Vì vậy, chúng ta sử dụng hai thuật ngữ này thay thế cho nhau.

• Thứ ba, lãi suất có thể được gọi là chi phí cơ hội. Chi phí cơ hội là giá trị mà nhà đầu tư phải hy sinh khi lựa chọn một phương án hành động nhất định. Như trong ví dụ trên, nếu bên cung cấp USD 9,500 không đưa ra quyết định cho vay USD 9,500 mà quyết định tự mình tiêu dùng số tiền đó, thì họ sẽ mất cơ hội kiếm được 5.26 phần trăm. Do đó, chúng ta có thể nói 5.26 phần trăm là chi phí cơ hội của việc tiêu dùng.

Các yếu tố quyết định Lãi suất

Theo kinh tế học, lãi suất được xác định bởi quy luật cung và cầu, trong đó nhà đầu tư cung cấp tiền và người đi vay có nhu cầu sử dụng tiền. Xét từ góc độ của nhà đầu tư trong việc phân tích lãi suất được xác định trên thị trường, chúng ta có thể nói rằng lãi suất r bao gồm real risk-free interest rate cộng với tập hợp các phần bù cần thiết để bù đắp cho các loại rủi ro khác nhau.

• r = real risk-free interest rate + Phần bù lạm phát + default risk premium + Phần bù thanh khoản + Phần bù kỳ hạn. (1)

• real risk-free interest rate là lãi suất của một tài sản phi rủi ro trong một kỳ nếu không có kỳ vọng về lạm phát.

• Phần bù lạm phát được sử dụng để bù đắp cho nhà đầu tư trước lạm phát dự kiến và dựa trên mức lạm phát trung bình dự kiến trong thời hạn của công cụ nợ. Lạm phát làm giảm giá trị của một đơn vị tiền tệ—tức số lượng hàng hóa và dịch vụ mà đơn vị tiền đó có thể mua được.

• default risk premium được nhà đầu tư yêu cầu để bảo vệ họ trước rủi ro người đi vay không thể thanh toán đúng hạn những gì họ có nghĩa vụ phải trả.

• Phần bù thanh khoản đại diện cho khoản bù đắp nhằm bảo vệ trước rủi ro tổn thất giá trị của một tài sản so với giá trị của nó trong trường hợp tài sản phải được thanh lý rất nhanh. Ví dụ, US Treasury bills (T-bills) không có phần bù thanh khoản, vì có thể giao dịch với khối lượng rất lớn mà không ảnh hưởng đến giá thị trường của chúng. Ngược lại, trái phiếu của các tổ chức phát hành nhỏ hơn thường không được giao dịch thường xuyên; lãi suất của các trái phiếu này bao gồm một phần bù thanh khoản do chi phí giao dịch cao liên quan đến chúng.

• Phần bù kỳ hạn là khoản bù đắp được trả cho nhà đầu tư do mức độ tiếp xúc của họ với rủi ro lãi suất thị trường tăng lên khi kỳ hạn tăng, xét trung bình (giữ nguyên các yếu tố khác). Chênh lệch lãi suất giữa nợ Treasury có tính thanh khoản với kỳ hạn dài và kỳ hạn ngắn có thể được xem là một phần bù kỳ hạn dương dành cho công cụ có kỳ hạn dài hơn (cũng như có thể bao gồm các phần bù lạm phát khác nhau).

Tổng của real risk-free interest rate và phần bù lạm phát = nominal risk-free interest rate:

Nominal risk-free interest rate bao gồm tổng của real risk-free rate và phần bù lạm phát:

(1 + nominal risk-free interest rate) = (1 + real risk-free rate) x (1 + Phần bù lạm phát).

Trên thực tế, phương trình trên thường được biểu diễn dưới dạng tổng của real risk-free interest rate và phần bù lạm phát:

Nominal risk-free interest rate = real risk-free interest rate + Phần bù lạm phát.

Có một số quốc gia phát hành chứng khoán chính phủ ngắn hạn có lãi suất có thể được xem là nominal risk-free interest rate trong một khoảng thời gian nhất định tại quốc gia đó. Ví dụ, trái phiếu chính phủ Pháp có tên gọi "BTF" (negotiable fixed-rate discount Treasury bills – Bons du Trésor à taux fixe et à intérêts précomptés) có kỳ hạn tối đa một năm. Trái phiếu chính phủ Nhật Bản có kỳ hạn 6 và 12 tháng. Chẳng hạn, lãi suất của US T-bill kỳ hạn 90 ngày là nominal risk-free interest rate của USA trong ba kỳ tiếp theo

kỳ. Thông thường, lãi suất được biểu thị trên cơ sở hàng năm. Do đó, lãi suất của một công cụ nợ chính phủ kỳ hạn 90 ngày được biểu thị là 3 phần trăm đề cập đến lãi suất thường niên hóa của nó thay vì lãi suất thực tế trong 90 ngày đó.

Bất kể chúng ta đang xem xét loại lãi suất nào (required rate of return, tỷ lệ chiết khấu hoặc chi phí cơ hội), nó đều bao gồm risk-free interest rate và các phần bù khác nhau liên quan đến mức độ rủi ro của các dòng tiền liên quan. Các phần bù cơ bản này bao gồm rủi ro lạm phát, vỡ nợ, thanh khoản và kỳ hạn. Tất cả chúng đều biến động theo thời gian và liên tục thay đổi cùng với risk-free interest rate. Điều này hàm ý rằng mọi mức lãi suất đều thay đổi theo thời gian. Mức độ biến động của lãi suất phụ thuộc vào một số yếu tố nền tảng kinh tế và kỳ vọng về những thay đổi của các yếu tố nền tảng này trong tương lai.

VÍ DỤ 1

Xác định Lãi suất

Bảng minh họa 1 trình bày một số dữ liệu về năm công cụ nợ. Mỗi công cụ sẽ mang lại một khoản thanh toán duy nhất khi đáo hạn. Giả định rằng các phần bù đối với rủi ro lạm phát, thanh khoản và vỡ nợ không đổi trong tất cả các kỳ.

Bảng minh họa 1: Các phương án đầu tư và Đặc điểm của chúng

|Khoản đầu tư|Kỳ hạn (tính bằng năm)|Tính thanh khoản|Rủi ro vỡ nợ L|ãi suất (%)| |1|2|Cao|Thấp|2.0| |2|2|Thấp|Thấp|2.5| |3|7|Thấp|Thấp|r3| |4|8|Cao|Thấp|4.0| |5|8|Thấp|Cao|6.5|

Sử dụng dữ liệu từ Bảng minh họa 1, hãy trả lời câu hỏi sau:

1. Chênh lệch giữa lãi suất được cung cấp bởi Khoản đầu tư 1 và Khoản đầu tư 2 là bao nhiêu?

Lời giải:

Khoản đầu tư 2 tương tự Khoản đầu tư 1, điểm khác biệt duy nhất là Khoản đầu tư 2 có tính thanh khoản thấp hơn. Chênh lệch giữa lãi suất của Khoản đầu tư 2 và Khoản đầu tư 1 là 0.5 phần trăm. Chênh lệch giữa hai mức lãi suất được gọi là phần bù thanh khoản, là khoản bù đắp cho tính thanh khoản thấp hơn của Khoản đầu tư 2 (xác suất xảy ra tổn thất về giá trị hợp lý của khoản đầu tư do chuyển đổi thành tiền mặt).

2. Ước tính default risk premium ảnh hưởng đến tất cả chứng khoán.

Lời giải:

Để tính default risk premium, cần xác định hai khoản đầu tư có cùng kỳ hạn và mức rủi ro vỡ nợ khác nhau. Khoản đầu tư 4 và 5 có cùng kỳ hạn tám năm, nhưng có mức rủi ro vỡ nợ khác nhau. Tuy nhiên, vì Khoản đầu tư 5 không có tính thanh khoản, nên khoản này phải chịu phần bù thanh khoản so với Khoản đầu tư 4. Vì phần bù thanh khoản ở Phần A được xác định là 0.5 phần trăm, chênh lệch lãi suất giữa Khoản đầu tư 5 và 4 là 2.5 phần trăm (6.5% − 4.0%), trong đó 0.5 phần trăm là phần bù thanh khoản. Điều này cho thấy 2.0 phần trăm (2.5% − 0.5%) phải là default risk premium gắn với Khoản đầu tư 5.

3. Tính cận trên và cận dưới của lãi suất chưa biết của Khoản đầu tư 3, r 3.

Lời giải:

Khoản đầu tư 3 có rủi ro thanh khoản và rủi ro vỡ nợ tương tự Khoản đầu tư 2. Nhưng vì thời gian đến khi đáo hạn dài hơn, Khoản đầu tư 3 có phần bù kỳ hạn lớn hơn so với Khoản đầu tư 2, điều này hàm ý rằng Khoản đầu tư 3 nên có lãi suất cao hơn Khoản đầu tư 2.

Trong trường hợp tính thanh khoản của Khoản đầu tư 3 cao, hai khoản đầu tư sẽ chỉ khác nhau ở kỳ hạn của Khoản đầu tư 3. Từ quan sát này, có thể kết luận rằng lãi suất của Khoản đầu tư 3 sẽ thấp hơn lãi suất của Khoản đầu tư 4, là 4 phần trăm. Không giống Khoản đầu tư 4, Khoản đầu tư 3 có tính thanh khoản thấp. Nói cách khác, lãi suất của Khoản đầu tư 3 có thể cao hơn mức của Khoản đầu tư 4 mặc dù có kỳ hạn ngắn hơn, tùy thuộc vào phần bù thanh khoản và phần bù kỳ hạn. Tuy nhiên, chúng ta có thể giả định rằng r3 nên thấp hơn 4.5 phần trăm, tức lãi suất của Khoản đầu tư 4 nếu tính thanh khoản của nó thấp (4% + 0.5%, phần bù thanh khoản). Do đó, lãi suất của Khoản đầu tư 3 nên nằm trong khoảng từ 2.5 phần trăm đến 4.5 phần trăm.

tính toán và diễn giải các phương pháp đo lường lợi nhuận khác nhau theo thời gian và mô tả cách sử dụng phù hợp của chúng

Tài sản tài chính thường được đặc trưng bởi lợi nhuận và rủi ro của chúng. Việc so sánh này giúp dễ dàng tạo một danh mục đầu tư từ tất cả các tài sản. Trong bài học này, chúng ta sẽ tính toán và so sánh các thước đo lợi nhuận khác nhau.

Đầu tư vào tài sản tài chính thường mang lại hai loại lợi nhuận cho nhà đầu tư. Một mặt, có thể có thu nhập định kỳ từ cổ tức tiền mặt hoặc tiền lãi. Mặt khác, giá của tài sản có thể tăng hoặc giảm, tạo ra lãi hoặc lỗ vốn.

Có một số tài sản chỉ có thể mang lại lợi nhuận dưới một hình thức. Ví dụ, nhà đầu tư vào các công ty không trả cổ tức chỉ nhận được lợi nhuận từ biến động giá. Cũng có những tài sản cung cấp thu nhập định kỳ. Chẳng hạn, chương trình hưu trí phúc lợi xác định và niên kim hưu trí trả thu nhập định kỳ trong suốt cuộc đời của người thụ hưởng.

holding period return

Lợi nhuận có thể được đo lường trong một kỳ hoặc trong nhiều kỳ. Lợi nhuận trong một kỳ dễ tính vì chỉ có một cách tính. Lợi nhuận trong nhiều kỳ có thể được tính theo nhiều cách, và cần nắm vững các cách này để tránh nhầm lẫn.

Holding period return, R, là lợi nhuận thu được từ một tài sản được nắm giữ trong một khoảng thời gian duy nhất. Khoảng thời gian có thể là một ngày, một tuần, một tháng, năm năm hoặc bất kỳ khoảng thời gian nào. Giả sử một người mua tài sản (ví dụ, trái phiếu, cổ phiếu) hôm nay, tại thời điểm t = 0, với giá 100 và bán sau đó, tại thời điểm t = 1, với giá 105 mà không có cổ tức hoặc thu nhập. Khi đó, holding period return sẽ là 5 phần trăm [(105 − 100)/100)]. Bây giờ giả sử tài sản có thu nhập là hai đơn vị tại t = 1. Khi đó, lợi nhuận sẽ là 7 phần trăm. Lợi nhuận có thể được khái quát hóa và biểu diễn bằng toán học như sau:

trong đó chỉ số dưới biểu thị thời điểm giá hoặc thu nhập phát sinh; t = 0 đề cập đến đầu kỳ trong khi t = 1 đề cập đến cuối kỳ. Cần lưu ý hai điểm.

• Chúng ta đã tính được lãi vốn 5 phần trăm và tỷ suất thu nhập 2 phần trăm ở trên. Để minh họa đơn giản, chúng ta giả định rằng thu nhập phát sinh tại t = 1. Trong trường hợp thu nhập được nhận trước t = 1, holding period return của chúng ta có thể còn cao hơn nếu chúng ta tái đầu tư thu nhập trong phần thời gian còn lại của kỳ.

• Lợi nhuận có thể được biểu thị dưới dạng số thập phân (0.07), phân số (7/100) hoặc phần trăm (7 phần trăm). Cả ba cách đều tương đương.

Holding period return có thể được tính cho một khoảng thời gian dài hơn một năm. Ví dụ, một nhà phân tích có thể muốn tính holding period return ba năm dựa trên ba mức lợi nhuận hằng năm. Trong những trường hợp như vậy, holding period return ba năm sẽ được tính bằng cách gộp ba mức lợi nhuận hằng năm như sau:

R = [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)] − 1,

Trong đó R1, R2 và R3 là ba mức lợi nhuận hằng năm.

arithmetic mean return hoặc lợi nhuận bình quân

Phần lớn thời gian, holding period return được biểu thị dưới dạng lợi nhuận theo ngày, tháng hoặc năm. Trong trường hợp tài sản tạo ra lợi nhuận trong nhiều holding period, việc biểu thị tất cả các mức lợi nhuận theo cùng một holding period là cần thiết để dễ so sánh và hiểu. Có nhiều phương pháp khác nhau để tổng hợp lợi nhuận qua nhiều holding period. Phần còn lại của mục này trình bày các phương pháp khác nhau để tính lợi nhuận trung bình.

Cách đơn giản nhất để tính lợi nhuận trung bình cho các holding period khác nhau là tính arithmetic mean return của các mức lợi nhuận trong những holding period khác nhau. Ba mức lợi nhuận hằng năm là -50%, 35% và 27% sẽ cho lợi nhuận trung bình 4% mỗi năm = (________________−50%+35%+27% 3). Arithmetic mean return dễ tính và có các đặc tính thống kê đã được biết rõ.

Nói chung, arithmetic mean return hoặc lợi nhuận bình quân được ký hiệu là Ri và có thể được tính như sau:

geometric mean return

Cần lưu ý rằng giả định của arithmetic mean return hàm ý rằng số tiền được đầu tư vào đầu mỗi kỳ là không đổi. Mặt khác, trong một danh mục đầu tư, ngay cả khi không có dòng tiền vào và ra khỏi danh mục, số tiền ban đầu vẫn thay đổi theo từng năm; lợi nhuận của năm trước phải được cộng vào giá trị đầu tư đầu kỳ của năm tiếp theo – những khoản lợi nhuận này được “gộp” bởi lợi nhuận kiếm được trong năm tiếp theo. Do đó, geometric mean return có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề gộp lợi nhuận.

Geometric mean return thể hiện một thước đo thực tế hơn về mức tăng trưởng giá trị danh mục trong khoảng thời gian cụ thể so với arithmetic mean return. Nói chung, geometric mean return được ký hiệu là R_ Gi và được xác định như sau:

trong đó Rit là lợi nhuận trong kỳ t và T là tổng số kỳ.

Trong ví dụ trước, chúng ta tìm được arithmetic mean return bằng 4.00 phần trăm. Sử dụng Phương trình 3, geometric mean return có thể được suy ra từ cùng ba mức lợi nhuận hằng năm:

R Gi_ = 3√_____________________________(1 − 0.50) × (1 + 0.35) × (1 + 0.27) − 1 = − 0.0500 . Bảng minh họa 2 cho thấy lợi nhuận thực tế của từng năm và số dư cuối mỗi năm khi sử dụng lợi nhuận thực tế.

Bảng minh họa 2: Giá trị và hiệu quả hoạt động của danh mục đầu tư

||Lợi nhuận thực tế trong năm (%)|Giá trị cuối năm|Giá trị cuối năm sử dụng arithmetic mean return 4%|Giá trị cuối năm sử dụng geometric mean return −5%| |Năm 0||EUR1.0000|EUR1.0000|EUR1.0000| |Năm 1|−50|0.5000|1.0400|0.9500| |Năm 2|35|0.6750|1.0816|0.9025| |Năm 3|27|0.8573|1.1249|0.8574|

Bắt đầu với khoản đầu tư ban đầu EUR1.0000, chúng ta sẽ có số dư EUR0.8574 sau ba năm như được thể hiện trong cột thứ tư của Bảng minh họa 2. Điểm then chốt ở đây là chúng ta đã gộp lợi nhuận vì, trừ khi có quy định khác, chúng ta kiếm được lợi nhuận trên số dư vào cuối năm trước. Ví dụ, chúng ta kiếm được lợi nhuận 35 phần trăm trong năm thứ hai không phải trên số dư ban đầu EUR1.0000 mà trên số dư vào cuối năm trước, là EUR0.5000. Hãy so sánh số dư vào cuối kỳ ba năm được xác định dựa trên geometric mean return với số dư mà chúng ta sẽ có nếu áp dụng arithmetic mean return hằng năm 4 phần trăm từ ví dụ trước. Giá trị cuối kỳ giả định arithmetic mean return là EUR1.1249 (=1.0000 × 1.043 ). Rõ ràng giá trị này cao hơn nhiều so với số dư thực tế vào cuối Năm 3 là EUR0.8573.

Thông thường, arithmetic mean return bị đánh giá cao trừ khi tất cả các mức holding period return bằng nhau. Trong trường hợp các mức holding period return pha trộn, độ chệch của arithmetic mean return thậm chí còn lớn hơn so với khi chỉ có lợi nhuận dương hoặc chỉ có lợi nhuận âm, như được minh họa dưới đây.

Chúng ta sẽ xem xét ba ví dụ tính holding period return qua các khoảng thời gian khác nhau.

VÍ DỤ 2

holding period return

1. Một cổ đông mua 100 cổ phiếu với giá USD34.50 mỗi cổ phiếu vào đầu quý. Nếu người này bán toàn bộ số cổ phiếu với giá USD30.50 mỗi cổ phiếu vào cuối quý, sau khi nhận được thu nhập cổ tức USD51.55, thì holding period return của khoản đầu tư là gần nhất với:

• A. −13.0 phần trăm.

• B. −11.6 phần trăm.

• C. −10.1 phần trăm.

Lời giải:

C là đáp án đúng. Sử dụng Phương trình 2, holding period return là −10.1%, được tính như sau:

R = (3,050 − 3,450 + 51.55)/3,450 = −10.1%.

Khoản này bao gồm tỷ suất cổ tức 1.49% (= 51.55/3,450) và lỗ vốn −11.59% (= −400/3,450).

VÍ DỤ 3

holding period return

1. Nhà phân tích xác định các tỷ suất lợi nhuận hằng năm sau đây của một quỹ tương hỗ, như thể hiện trong Bảng minh họa 3 dưới đây.

Bảng minh họa 3: Hiệu quả hoạt động của quỹ tương hỗ, 20X8–20X0

Holding period return của quỹ trong giai đoạn ba năm là gần nhất với:

• A. 0.18 phần trăm.

• B. 0.55 phần trăm.

• C. 0.67 phần trăm.

Lời giải:

B là đáp án đúng. Holding period return của quỹ trong giai đoạn ba năm là 0.55 phần trăm, được tính như sau:

R = [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)] − 1 ,

R = [(1 + 0.14)(1 − 0.10)(1 − 0.02)] − 1 = 0.0055 = 0.55%.

VÍ DỤ 4

geometric mean return

1. Nhà phân tích tìm được các tỷ suất lợi nhuận hằng năm sau đây của một quỹ đầu cơ, như được minh họa trong Bảng minh họa 4 dưới đây.

Bảng minh họa 4: Hiệu quả hoạt động của quỹ đầu cơ, 20X8–20X0

Geometric mean return của quỹ trong giai đoạn ba năm là gần nhất với:

• A. 0.52 phần trăm.

• B. 1.02 phần trăm.

C. 2.67 phần trăm.

Lời giải:

Phương án A là đúng. Geometric mean return của quỹ trong giai đoạn ba năm sử dụng Phương trình 4 là 0.52 phần trăm, như trình bày dưới đây:

• R G_ = (1 + 0.22)(1 − 0.25)(1 + 0.11) − 1 = 1.0157(1/3) − 1 = 0.0052 = 0.52%.

VÍ DỤ 5

geometric mean return và arithmetic mean

1. Các số liệu lợi nhuận hằng năm của các quốc gia như được thể hiện trong Bảng minh họa 5.

• Bảng minh họa 5: Lợi nhuận hằng năm từ Năm 1 đến Năm 3 của chỉ số cổ phiếu của một số quốc gia được chọn

||Lợi nhuận 52 tuần (%)| | |Lợi nhuận trung bình 3 năm| | |Chỉ số|Năm 1|Năm 2|Năm 3|Số học|Nhân| |Quốc gia A|−15.6|−5.4|6.1|−4.97|−5.38| |Quốc gia B|7.8|6.3|−1.5|4.20|4.12| |Quốc gia C|5.3|1.2|3.5|3.33|3.32| |Quốc gia D|−2.4|−3.1|6.2|0.23|0.15| |Quốc gia E|−4.0|−3.0|3.0|−1.33|−1.38| |Quốc gia F|5.4|5.2|−1.0|3.20|3.16| |Quốc gia G|12.7|6.7|−1.2|6.07|5.91| |Quốc gia H|3.5|4.3|3.4|3.73|3.73| |Quốc gia I|6.2|7.8|3.2|5.73|5.72|

||Lợi nhuận 52 tuần (%)| | |Lợi nhuận trung bình 3 năm| | |Chỉ số|Năm 1|Năm 2|Năm 3|Số học|Nhân| |Quốc gia J|8.1|4.1|−0.9|3.77|3.70| |Quốc gia K|11.5|3.4|1.2|5.37|5.28|

Tính arithmetic mean return và geometric mean return trong giai đoạn ba năm cho ba chỉ số cổ phiếu sau: quốc gia D, quốc gia E và quốc gia F. Lời giải:

Các số liệu arithmetic mean return như sau:

||Lợi nhuận hằng năm (%)| | |Tổng 3|Số học| ||Năm 1|Năm 2|Năm 3|∑ i=1 R i|Lợi nhuận trung bình (%)| |Quốc gia D|−2.4|−3.1|6.2|0.7|0.233| |Quốc gia E|−4.0|−3.0|3.0|−4.0|−1.333| |Quốc giaF|5.4|5.2|−1.0|9.6|3.200|

Geometric mean return

||1 + Lợi nhuận Năm 1|dưới dạng thập phân (1 + Rt) Năm 2|Năm 3|Tích ∏ t T (1 +R t )|Căn bậc ba [ ∏ t T (1 +R t ) ] 1**⁄3**|geometric mean return (%)| |Quốc gia D|0.976|0.969|1.062|1.00438|1.00146|0.146| |Quốc gia E|0.960|0.970|1.030|0.95914|0.98619|−1.381| |Quốc giaF|1.054|1.052|0.990|1.09772|1.03157|3.157|

Đối với các chỉ số cổ phiếu quốc gia trong Ví dụ 5, geometric mean return thấp hơn arithmetic mean return đối với từng chuỗi lợi nhuận chỉ số. Trên thực tế, geometric mean luôn nhỏ hơn hoặc bằng arithmetic mean, ngoại trừ một trường hợp đặc biệt: hai thước đo bằng nhau khi không có sự biến thiên giữa các quan sát—khi tất cả các quan sát trong chuỗi là giống hệt nhau.

Nói chung, chênh lệch giữa arithmetic và geometric mean phụ thuộc vào mức độ biến thiên trong mẫu: mức độ phân tán giữa các quan sát càng cao thì chênh lệch giữa arithmetic và geometric mean càng lớn. Bằng cách so sánh lợi nhuận trong Bảng minh họa 5 với biểu đồ về arithmetic và geometric mean được trình bày trong Bảng minh họa 6, chúng ta có thể suy ra rằng chỉ số Quốc gia A có độ phân tán giữa các mức lợi nhuận lớn hơn so với các chỉ số khác vì chênh lệch lớn hơn giữa geometric mean return (-5.38 phần trăm) và arithmetic mean return (-4.97 phần trăm). Điều này hàm ý gì?

Rates and Returns

• Bảng minh họa 6: Lợi nhuận arithmetic và geometric mean của các chỉ số cổ phiếu quốc gia, Năm 1 đến Năm 3

Quốc gia A B C D E F G H I J K 6 –4 –2 0 2 4 6 8 Lợi nhuận trung bình (%) geometric mean arithmetic mean

Geometric mean return là tốc độ tăng trưởng hoặc gross return của khoản đầu tư. Nếu chúng ta đầu tư 1 đơn vị tiền tệ vào một quỹ theo dõi chỉ số Quốc gia B vào đầu Năm 1, khoản đầu tư của chúng ta tăng lên (1.078)(1.063)(0.985) = 1.128725 đơn vị tiền tệ sau ba năm, tương đương với 1 cộng geometric mean return của chỉ số Quốc gia B là 4.1189 phần trăm, được gộp qua ba kỳ: [1 + 0.041189]^3 = 1.128725. Có thể dễ dàng thấy rằng geometric mean là gross return. Với trọng tâm là lợi nhuận thực tế của một khoản đầu tư trong giai đoạn nhiều năm, geometric mean rất quan trọng đối với nhà đầu tư. Arithmetic mean cũng đáng quan tâm.

Ưu điểm chính của geometric mean trong việc ước tính lợi nhuận lịch sử là geometric mean là mức lợi nhuận hoặc tốc độ tăng trưởng cần có trong mỗi năm để đạt được hiệu quả hoạt động tích lũy của khoản đầu tư trong giai đoạn đó. Ví dụ, giả sử chúng ta mua cổ phiếu với giá EUR100 và sau hai năm giá của chúng trở lại EUR100, với mức giá trung gian là EUR200. Rõ ràng 0% là geometric mean của tốc độ tăng trưởng trong giai đoạn hai năm và chúng ta có thể xác minh điều này bằng cách gộp các mức lợi nhuận [(1 + 1.00)(1 − 0.50)]1/2 − 1 = 0%. Giá trị cuối kỳ bằng giá trị đầu kỳ nhân với (1 + RG )2.

Tuy nhiên, arithmetic mean, trong ví dụ của chúng ta là [100% + −50%]/2 = 25%, có thể làm sai lệch việc ước tính hiệu quả hoạt động của các khoản đầu tư lịch sử vì, như đã đề cập ở trên, arithmetic mean lớn hơn hoặc bằng geometric mean. Nếu chúng ta muốn ước tính lợi nhuận trung bình trong khoảng thời gian một kỳ, thì nên tính arithmetic mean của các mức lợi nhuận vì arithmetic mean là lợi nhuận trung bình một kỳ. Tuy nhiên, nếu cần ước tính lợi nhuận trung bình trong các khoảng thời gian dài hơn một kỳ, chúng ta nên tính geometric mean của các mức lợi nhuận vì geometric mean ước tính mối liên hệ giữa các mức lợi nhuận tổng thể.

harmonic mean

Harmonic mean, X_ H, là một thước đo khác của xu hướng trung tâm. Harmonic mean được sử dụng khi biến số là một tỷ lệ hoặc một tỷ số. Thuật ngữ “điều hòa” được giải thích bởi thực tế rằng harmonic mean liên quan đến việc sử dụng một dãy số đặc biệt được gọi là dãy điều hòa.

• Công thức harmonic mean.* harmonic mean của tập hợp các quan sát X 1, X 2, …, Xn là:

với Xi > 0 đối với i = 1, 2, …, n .

Harmonic mean được xác định bằng cách cộng các số nghịch đảo của các quan sát,

các số hạng có dạng 1/Xi, sau đó lấy trung bình tổng của chúng bằng cách chia cho số lượng quan sát, n, và cuối cùng lấy số nghịch đảo của giá trị trung bình đó,

Harmonic mean có thể được xem là một dạng đặc biệt của weighted mean, trong đó trọng số được gán cho một quan sát tỷ lệ nghịch với giá trị của quan sát đó. Do đó, nếu có một tập hợp quan sát như 1, 2, 3, 4, 5, 6 và 1,000, harmonic mean sẽ là 2.8560. So với arithmetic mean là 145.8571, ảnh hưởng của giá trị ngoại lai (1,000) trong trường hợp này ít rõ rệt hơn nhiều so với trường hợp sử dụng arithmetic mean. Vì vậy, việc sử dụng harmonic mean rất hữu ích như một thước đo xu hướng trung tâm khi tập dữ liệu có các giá trị ngoại lai.

Harmonic mean được sử dụng chủ yếu khi xử lý các tỷ lệ và tỷ số, chẳng hạn như P/E. Giả sử chúng ta có ba công ty cùng ngành có P/E lần lượt là 45, 15 và 15. Khi đó, arithmetic mean sẽ là 25, trong khi harmonic mean, do đặt trọng số thấp hơn cho P/E là 45, sẽ là 19.3.

Harmonic mean có thể được xem là một dạng trung bình tương đối chuyên biệt, phù hợp để tính trung bình các tỷ số (mức giá trị trên một đơn vị) khi các tỷ số đó được áp dụng lặp đi lặp lại cho một lượng không đổi để tạo ra số lượng đơn vị biến đổi. Điều này được minh họa rõ nhất bằng một ví dụ. Một ứng dụng nổi tiếng của kỹ thuật này xuất hiện trong chiến lược đầu tư được gọi là bình quân giá vốn (cost averaging), hàm ý đầu tư vào cổ phiếu một cách đều đặn (thường là hằng tháng). Trong trường hợp của chúng ta, các tỷ số được lấy trung bình là giá trên mỗi cổ phiếu tại các ngày mua khác nhau và chúng được áp dụng cho một lượng tiền không đổi để tạo ra số lượng cổ phiếu biến đổi. Harmonic mean khi áp dụng cho bình quân giá vốn được trình bày trong Ví dụ 6.

VÍ DỤ 6

Bình quân giá vốn và harmonic mean

1. Một nhà đầu tư đầu tư EUR1,000 mỗi tháng vào một cổ phiếu nhất định trong n = 2 tháng. Giá mỗi cổ phiếu của cổ phiếu này tại hai ngày mua là EUR10 và EUR15. Giá trung bình mỗi cổ phiếu đã trả là bao nhiêu?

Lời giải:

Mua trong tháng thứ nhất = EUR1,000 / EUR10 = 100 cổ phiếu.

Mua trong tháng thứ hai = EUR1,000 / EUR15 = 66.67 cổ phiếu.

Nhà đầu tư mua tổng cộng 166.67 cổ phiếu với EUR2,000; do đó, giá trung bình mỗi cổ phiếu là EUR2,000/166.67 = EUR12. Giá trung bình đã trả thực tế chính là harmonic mean của giá tài sản trong hai kỳ mua. Theo Phương trình 5, giá harmonic mean là 2/[(1/10) + (1/15)] = EUR12. Giá EUR12 này thấp hơn giá mua arithmetic mean (EUR10 + EUR15)/2 = EUR12.5.

Rates and Returns

Vì arithmetic mean, geometric mean và harmonic mean được tính từ cùng một số liệu nhưng sử dụng các cấp số khác nhau, nên giữa chúng tồn tại một mối quan hệ toán học. Chúng ta không cần đi qua phần chứng minh, nhưng phương trình cơ bản như sau:

Arithmetic mean × harmonic mean = (geometric mean)2 .

Miễn là không phải tất cả các quan sát trong một tập dữ liệu đều có cùng một giá trị, harmonic mean sẽ luôn nhỏ hơn geometric mean, và geometric mean sẽ luôn nhỏ hơn arithmetic mean.

Harmonic mean chỉ được xác định đối với các số không âm, do đó, khi sử dụng tỷ lệ phần trăm làm tỷ suất sinh lợi, chúng ta cần chuyển chúng sang dạng lãi kép bằng cách lấy (1+R), tương tự như đã làm trong trường hợp geometric mean return, sau đó tìm (1 + harmonic mean) và trừ đi 1 để có được harmonic mean return.

VÍ DỤ 7

Tính arithmetic, geometric và harmonic mean cho P/E

Vào tháng 12 hằng năm, một chuyên viên phân tích chứng khoán chọn 10 cổ phiếu yêu thích cho năm tới. Bảng minh họa 7 cho thấy các tỷ số P/E, tức tỷ số giữa giá cổ phiếu và thu nhập trên mỗi cổ phiếu (EPS) kỳ vọng, của 10 cổ phiếu yêu thích của cô cho năm tới.

Bảng minh họa 7: 10 cổ phiếu yêu thích của chuyên viên phân tích cho năm tới

1. Tính P/E arithmetic mean cho 10 cổ phiếu này.

Lời giải:

Arithmetic mean được tính theo công thức:

121.48/10 = 12.1480.

2. Tính P/E harmonic mean cho 10 cổ phiếu.

Lời giải:

Harmonic mean được tính theo công thức:

X _ H = _ n n , ∑ i =1(1 / Xi ) _ _______________________________10 X H = _ _ _ _ (22.29 1 ) + ( 15.54 1 ) + … + ( 10.34 1 ) + ( 8.35 1 ) ,

• X H_ = 10 / 0.9247 = 10.8142 .

Trong tài chính, harmonic mean có trọng số được sử dụng khi cần lấy trung bình các tỷ lệ và bội số, ví dụ tỷ số P/E, vì harmonic mean đối xử bình đẳng với từng giá trị và giảm thiểu ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai. Các phép tính như vậy có thể được thực hiện bằng Excel:

• Arithmetic mean return hoặc trung bình có thể được tính bằng =AVERAGE(return1, return2, … )

• Geometric mean return có thể được tính bằng =GEOMEAN(return1, return2, … )

• Harmonic mean return có thể được tính bằng =HARMEAN(return1, return2, … )

Ngoài ba loại trung bình được đề cập ở trên, còn có hai loại trung bình khác có thể được sử dụng trong tính toán. Mục đích của cả trimmed mean và winsorized mean là giảm thiểu ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai trong một tập dữ liệu. trimmed mean (trimmed mean) loại bỏ một tỷ lệ nhất định các quan sát lớn nhất và nhỏ nhất trong tập dữ liệu trước khi tính trung bình.

Trong trường hợp winsorized mean, các quan sát cực trị trong tập dữ liệu được thay thế bằng một số giá trị nào đó nhằm giảm tác động của các giá trị ngoại lai đối với các phép tính. Winsorized mean có thể đạt được bằng cách thay thế các quan sát cực trị bằng các quan sát nằm gần chúng và tính trung bình các quan sát còn lại.

Nhưng câu hỏi thực sự ở đây là: Nên sử dụng loại trung bình nào trong hoàn cảnh nào? Vì có nhiều tham số ảnh hưởng đến quyết định này, các tham số này sẽ được trình bày thêm trong Bảng minh họa 8:

• Có các giá trị ngoại lai mà chúng ta muốn đưa vào không?

• Phân phối có đối xứng không?

• Có sự ghép lãi không?

• Có các giá trị ngoại lai cực trị không?

Rates and Returns

Bảng minh họa 8: Quyết định sử dụng thước đo nào

Thu thập mẫu Bao gồm tất cả Có các giá trị, arithmetic mean bao gồm cả các giá trị ngoại lai? Có Ghép lãi? Geometric mean Có giá trị ngoại lai cực trị? harmonic mean, trimmed mean, winsorized mean

Tỷ suất sinh lợi của một quỹ trong 10 năm gần đây là:

Bảng minh họa 9: Tỷ suất sinh lợi trong 10 năm

1. Arithmetic mean return trong 10 năm là giá trị gần nhất với:

• A. 2.97 phần trăm. B. 3.00 phần trăm.

• C. 3.33 phần trăm.

• Lời giải:

Đáp án B là đúng. Arithmetic mean return được tính như sau:

• R _ = 30.0%/10 = 3.0%.

2. Geometric mean return cho giai đoạn 10 năm có giá trị gần nhất với: A. 2.94 phần trăm. B. 2.97 phần trăm. C. 3.00 phần trăm. Lời giải:

Đáp án B là đúng. Geometric mean return được tính như sau:

R G_ = 10√____________________________________________(1 + 0.045) × (1 + 0.06) × … × (1 + 0.055) × (1 + 0.04) − 1 R G = 10√_ 1.3402338 − 1 = 2.9717%.

money-weighted rate of return VÀ time-weighted

Money-weighted rate of return và time-weighted, và đánh giá hiệu quả của danh mục đầu tư bằng các phương pháp này

Trong phần này, chúng ta đã thảo luận về cách tính arithmetic và geometric mean return; tuy nhiên, chúng ta phải hiểu rằng các phép tính tỷ suất sinh lợi này bỏ qua tác động của thời điểm các dòng tiền vào và ra xảy ra đối với một danh mục đầu tư. Ví dụ, giả sử rằng tỷ suất sinh lợi của một khoản đầu tư do một cá nhân thực hiện giống như trong Bảng minh họa 2. Trong trường hợp này, nhà đầu tư đầu tư EUR1.0 tại Năm 0, trong khi khoản đầu tư trong Bảng minh họa 2 chỉ được thực hiện tại thời điểm đầu kỳ. Bây giờ, trong trường hợp cụ thể này, nếu nhà đầu tư đầu tư EUR10,000 tại Năm 0, EUR1,000 tại Năm 1 và EUR1,000 tại Năm 2, thì tỷ suất sinh lợi -50 phần trăm tại Năm 1 sẽ ảnh hưởng đáng kể đến nhà đầu tư do khoản đầu tư ban đầu cao mà cô đã thực hiện.

Tính money-weighted rate of return

Money-weighted rate of return (money-weighted return) bao gồm việc xem xét lượng tiền được đầu tư và cho nhà đầu tư biết tỷ suất sinh lợi thực tế mà cô kiếm được từ khoản đầu tư của mình. Money-weighted rate of return và phương pháp tính nó tương tự như internal rate of return và lợi suất đáo hạn của trái phiếu. Tiền được đầu tư được xem là một dòng tiền ra từ góc độ của nhà đầu tư, và tiền được nhà đầu tư rút ra hoặc còn lại vào cuối kỳ đầu tư là một dòng tiền vào từ góc độ của nhà đầu tư.

Ví dụ, giả sử nhà đầu tư đầu tư EUR100 vào một quỹ tương hỗ vào đầu năm thứ nhất, đầu tư thêm EUR950 vào đầu năm thứ hai và rút EUR350 vào cuối năm thứ hai. Các dòng tiền sẽ như sau (xem Bảng minh họa 10):

Rates and Returns

Bảng minh họa 10: Số dư danh mục đầu tư qua ba năm

trong đó T là số kỳ, CFt là dòng tiền tại thời điểm t, và IRR là internal rate of return hoặc money-weighted rate of return.

Mỗi dòng tiền có thể là dương hoặc âm. Dòng tiền dương là dòng tiền vào, trong khi dòng tiền âm là dòng tiền ra (nói cách khác, hướng của dòng tiền phụ thuộc vào việc số tiền là dương hay âm). Các dòng tiền sẽ được biểu diễn sao cho mỗi dòng tiền vào hoặc ra xảy ra vào cuối mỗi kỳ. Do đó, CF0 có nghĩa là dòng tiền vào cuối Năm 0 hoặc đầu Năm 1, và CF3 có nghĩa là dòng tiền vào cuối Năm 3 hoặc đầu Năm 4. Vì các dòng tiền được chiết khấu về hiện tại (về cuối Năm 0 hoặc đầu Năm 1), CF0 sẽ được chiết khấu trong 0 kỳ.

Internal rate of return của nhà đầu tư, hay money-weighted rate of return, là 26.11 phần trăm, và con số này phản ánh tỷ suất sinh lợi thường niên mà nhà đầu tư kiếm được từ số euro thực tế được đầu tư vào quỹ tương hỗ trong toàn bộ giai đoạn. Tỷ suất sinh lợi này cao hơn nhiều so với tỷ suất sinh lợi arithmetic và geometric mean vì chỉ một khoản tiền nhỏ được đầu tư khi tỷ suất sinh lợi của quỹ tương hỗ là −50 phần trăm.

Tất cả các phép tính nêu trên có thể được thực hiện bằng Excel bằng cách áp dụng công thức =IRR(values), cho kết quả IRR là 26.11 phần trăm.

money-weighted rate of return đối với cổ phiếu trả cổ tức

Bây giờ, chúng ta sẽ đi xa hơn và xem xét ví dụ về cách tính money-weighted rate of return đối với một cổ phiếu trả cổ tức. Chúng ta giả định rằng thời hạn đầu tư là hai năm. Tại thời điểm t = 0, một nhà đầu tư mua một cổ phiếu trị giá USD200. Tại thời điểm t = 1, anh ta mua thêm một cổ phiếu trị giá USD225. Tại thời điểm t = 2 (Năm 2), anh ta bán cả hai cổ phiếu với giá USD235 mỗi cổ phiếu. Trong cả hai năm, cổ phiếu trả cổ tức USD5 cho mỗi cổ phiếu. Cổ tức được trả tại t = 1 không được tái đầu tư. Bảng 11 minh họa tổng các dòng tiền vào/ra liên quan đến khoản đầu tư được thực hiện.

Bảng minh họa 11: Dòng tiền đối với cổ phiếu trả cổ tức

Để tìm money-weighted rate of return, điều đầu tiên chúng ta cần làm là sắp xếp các dòng tiền ròng theo thời điểm. Trong trường hợp của chúng ta, dòng tiền ròng tại t = 0 là –USD200; tại t = 1 là –USD220 = – USD225 + USD5; và tại t = 2 là USD480. Nhập tất cả các dữ liệu này vào bảng tính (ví dụ Excel) hoặc vào máy tính, chúng ta sẽ nhận được kết quả money-weighted rate of return bằng 9.39 phần trăm.

CF 0 = − 200 CF 1 = − 220 CF 2 = + 480 _( 1 + IRR CF 0)0+ _( 1 + IRR CF 1)1+ _( 1 + IRR CF 2)2 . _ _− 220 _480 =− 200 1+ ( 1 + IRR)1+ ( 1 + IRR)2= 0 IRR = 9.39%

Tất cả các phép tính trên có thể được thực hiện bằng Excel bằng cách áp dụng công thức =IRR(values), cho kết quả IRR là 9.39 phần trăm.

Bây giờ, hãy xem điều gì đã xảy ra với danh mục đầu tư trong từng năm của hai năm đó.

Trong năm thứ nhất, danh mục đầu tư mang lại tỷ suất sinh lợi một kỳ là (USD5 + USD225 - USD200)/USD200=15%. Vào đầu năm thứ hai, số tiền đầu tư trở thành USD450 vì khoản cổ tức USD5 đã được sử dụng thay vì tái đầu tư; tức là USD225 (giá mỗi cổ phiếu) × 2 cổ phiếu.

Vào cuối năm thứ hai, khoản thu từ việc thanh lý danh mục đầu tư là USD470 cộng với USD10 cổ tức (như được minh họa trong Bảng minh họa 11). Do đó, trong năm thứ hai, danh mục đầu tư mang lại tỷ suất sinh lợi (USD10 + USD470 - USD450)/ USD450=6.67%. Tỷ suất sinh lợi bình quân của holding period trở thành (15% + 6.67%)/2=10.84%.

Money-weighted rate of return mà chúng ta đã tính là 9.39 phần trăm đặt trọng số lớn hơn vào hiệu quả kém của năm thứ hai (6.67 phần trăm) so với hiệu quả tương đối tốt hơn của năm thứ nhất (15 phần trăm), vì khoản đầu tư trong năm thứ hai lớn hơn khoản đầu tư trong năm thứ nhất. Đây chính là ý nghĩa của tỷ suất sinh lợi “money-weighted” trong phương pháp tính hiệu quả này.

Nhược điểm chính của money-weighted rate of return là nó không phù hợp để so sánh hiệu quả giữa các trường hợp khác nhau. Ví dụ, money-weighted rate of return không thể được sử dụng để so sánh hiệu quả tỷ suất sinh lợi giữa các nhà đầu tư khác nhau hoặc các phương án đầu tư khác nhau. Ngoài ra, hai nhà đầu tư sử dụng cùng một quỹ tương hỗ hoặc cùng một danh mục đầu tư cơ sở có thể có các money-weighted rate of return khác nhau tùy thuộc vào số tiền đầu tư được thực hiện trong các năm khác nhau.

VÍ DỤ 8

Tính toán Lợi nhuận

Ulli Lohrmann và vợ ông, Suzanne Lohrmann, đang chuẩn bị cho cuộc sống nghỉ hưu và muốn so sánh kết quả hoạt động trong quá khứ của một vài quỹ tương hỗ mà họ đang cân nhắc đầu tư. Họ cho rằng năm năm là một khoảng thời gian phù hợp để thực hiện việc này. Họ thu thập dữ liệu về kết quả hoạt động của một quỹ tương hỗ mà họ đang cân nhắc, cụ thể là Rhein Valley Superior Fund, được trình bày trong Bảng 12.

Bảng 12: Kết quả hoạt động của Rhein Valley Superior Fund

Vợ chồng Lohrmann muốn tổng hợp dữ liệu này để dễ dàng so sánh với các quỹ tương hỗ khác.

• Bảng 13: Lợi nhuận hằng năm và các khoản đầu tư của Rhein Valley Superior Fund (triệu euro)*

|Năm|1|2|3|4|5| |Số dư từ năm trước|0|34.50|42.75|22.00|28.75| |Khoản đầu tư mới của nhà đầu tư l|||||| |(dòng tiền vào của quỹ Rhein)|30.00|10.50|0|3.00|6.25| |Khoản rút vốn của nhà đầu tư (dòng tiền ra của quỹ Rhein)|0|0|−22.75|0|0| |Số dư ròng tại đầu năm|30.00|45.00|20.00|25.00|35.00| |Lợi nhuận đầu tư trong năm|15%|–5%|10%|15%|3%| |Lãi (lỗ) đầu tư|4.50|–2.25|2.00|3.75|1.05| |Số dư tại cuối năm|34.50|42.75|22.00|28.75|36.05|

1. Tính holding period return của quỹ này trong năm năm. Đáp án:

Holding period return trong năm năm có thể được tính như sau:

R = (1 + R1)(1 + R2)(1 + R3)(1 + R4)(1 + R5) – 1

R = (1.15)(0.95)(1.10)(1.15)(1.03) – 1 =

R = 0.4235 = 42.35%.

2. Tính arithmetic mean return hằng năm của quỹ. Lời giải:

Arithmetic mean return hằng năm bằng:

3. Tính geometric mean return hằng năm của quỹ. Nó so sánh như thế nào với arithmetic mean return hằng năm?

Lời giải:

Geometric mean return hằng năm được tính như sau:

• _ __________________________ R Gi_ = 5√1.15 × 0.95 × 1.10 × 1.15 × 1.03 − 1, R Gi_ = 5√_ 1.4235 − 1 = 0.0732 = 7.32% .

Do đó, geometric mean return hằng năm là 7.32%, thấp hơn đôi chút so với arithmetic mean return là 7.60%.

4. Vợ chồng Lohrmann mong muốn tỷ suất lợi nhuận hằng năm ít nhất là 5%. Các tỷ suất lợi nhuận hằng năm và số tiền đầu tư được trình bày trong Bảng 13. Tỷ suất lợi nhuận hằng năm money-weighted có lớn hơn 5% không?

Lời giải:

Money-weighted rate of return được tính bằng cách trước tiên tính các dòng tiền, sử dụng các tỷ suất lợi nhuận hằng năm và số tiền đầu tư, như được minh họa trong Bảng 13:

CF0 = –30.00, CF1 = –10.50, CF2 = +22.75, CF3 = –3.00, CF4 = –6.25, CF5 = +36.05.

Mức lợi nhuận 5% có thể được sử dụng để xác định liệu giá trị hiện tại của các dòng tiền ròng có dương hay không. Nếu giá trị của dòng tiền ròng là dương, thì money-weighted rate of return lớn hơn 5%, vì mức chiết khấu 5% sẽ làm giảm giá trị hiện tại xuống bằng 0.

Vì giá trị của dòng tiền ròng là dương, do đó money-weighted rate of return lớn hơn 5%. Money-weighted rate of return thực tế (thu được bằng cách cho phương trình trên bằng 0) là 5.86%. Các phép tính trên có thể được thực hiện trong Excel thông qua =IRR(cash flows) và cho kết quả IRR là 5.86%.

time-weighted rate of return

Tiêu chí đo lường đầu tư không nhạy cảm với việc bổ sung và rút vốn là time-weighted rate of return. time-weighted rate of return được định nghĩa là tốc độ tăng trưởng kép của USD1 ban đầu được đầu tư vào danh mục đầu tư trong một khoảng thời gian đo lường xác định. Trong việc đánh giá hiệu quả của các chứng khoán được giao dịch công khai, time-weighted rate of return được ưu tiên hơn các thước đo đầu tư khác vì nó làm cho tác động của bất kỳ khoản bổ sung hoặc rút vốn nào khỏi danh mục đầu tư trở nên không liên quan, những khoản này nói chung không nằm trong sự kiểm soát của nhà quản lý danh mục đầu tư.

24 Học phần 1

Tỷ suất và Lợi nhuận

Tính toán time-weighted rate of return

Để tính chính xác time-weighted rate of return của một danh mục đầu tư, hãy thực hiện các bước sau:

• 1.* Định giá danh mục đầu tư ngay trước khi bất kỳ dòng tiền đáng kể nào xảy ra. Chia toàn bộ khoảng thời gian đánh giá thành các kỳ phụ dựa trên ngày phát sinh dòng tiền.

• 2.* Tính holding period return của danh mục đầu tư cho từng kỳ phụ.

• 3.* Ghép nối hoặc liên kết các holding period return để có được tỷ suất lợi nhuận hằng năm cho năm đó (time-weighted rate of return cho năm đó). Nếu khoản đầu tư kéo dài hơn một năm, hãy tính geometric mean của các tỷ suất lợi nhuận hằng năm để có được time-weighted rate of return trong khoảng thời gian đo lường.

Hãy quay lại ví dụ về money-weighted rate of return đối với cổ phiếu trả cổ tức trong phần “money-weighted rate of return đối với Cổ phiếu Trả Cổ tức” ở trên và tính time-weighted rate of return cho danh mục đầu tư của nhà đầu tư nêu trên dựa trên dữ liệu được cung cấp trong Bảng 11. Trong trường hợp này, chúng ta đã tính holding period return của danh mục đầu tư, tức Bước 2 trong quy trình tính time-weighted rate of return. Vì danh mục đầu tư đạt lợi nhuận 15% trong năm thứ nhất và 6.67% trong năm thứ hai, time-weighted rate of return của danh mục đầu tư trên trong khoảng thời gian đánh giá hai năm là bao nhiêu?

Time-weighted rate of return này được tính bằng cách tính geometric mean của hai holding period return, tức Bước 3 trong quy trình trên. Điều này tương tự với việc tính tốc độ tăng trưởng kép. Cụ thể, chúng ta nhân 1 cộng với holding period return của từng kỳ để có được giá trị cuối kỳ tại t = 2 của USD1 được đầu tư tại t = 0. Sau đó, chúng ta lấy căn bậc hai của tích này và trừ đi 1 để có được geometric mean return. Geometric mean return được diễn giải là tốc độ tăng trưởng kép hằng năm của USD1 được đầu tư tại t = 0 vào danh mục đầu tư. Do đó,

Như vậy, time-weighted rate of return của danh mục đầu tư là 10.76%, so với money-weighted rate of return là 9.39%, vốn đặt trọng số lớn hơn vào lợi nhuận của năm thứ hai. Rõ ràng vì sao nhà quản lý đầu tư lại ưu tiên time-weighted rate of return. Nếu khách hàng giao thêm nhiều tiền cho nhà quản lý đầu tư vào thời điểm bất lợi, thì money-weighted rate of return của nhà quản lý sẽ thấp hơn. Nếu khách hàng cung cấp thêm vốn vào thời điểm thuận lợi, thì money-weighted rate of return sẽ cao hơn. Time-weighted rate of return loại bỏ các tác động này.

Như đã nêu khi xác định các bước tính time-weighted rate of return chính xác, danh mục đầu tư phải được định giá ngay trước bất kỳ khoản bổ sung hoặc rút vốn đáng kể nào. Với hoạt động dòng tiền liên quan đến hầu hết các danh mục đầu tư, đây là một quá trình tốn kém. Có thể có được một ước tính chấp nhận được về time-weighted rate of return thông qua việc định giá danh mục đầu tư thường xuyên, đặc biệt nếu các khoản bổ sung hoặc rút vốn độc lập với biến động của thị trường.

Việc định giá càng thường xuyên thì ước tính thu được càng tốt. Định giá hằng ngày là thông lệ phổ biến. Nếu danh mục đầu tư được định giá hằng ngày trong suốt năm, time-weighted rate of return cho năm sẽ được tính như sau. Trước tiên, chúng ta tính holding period return hằng ngày cho từng ngày. Chúng ta sẽ tính 365 mức lợi nhuận hằng ngày, được ký hiệu là R 1, R 2, …, R 365. Lợi nhuận hằng năm của năm sẽ được tính bằng cách kết hợp các holding period return hằng ngày như sau: (1 + R 1) × (1 + R 2) × … × (1 + R 365) − 1. Nếu các khoản rút vốn và bổ sung vốn được thực hiện vào cuối ngày, thì lợi nhuận hằng năm là một time-weighted rate of return chính xác cho năm đó. Nếu không, đó là một time-weighted rate of return xấp xỉ cho năm đó.

Có dữ liệu của nhiều năm, chúng ta có thể tính time-weighted rate of return cho từng năm theo cùng cách được mô tả ở trên. Nếu Ri là time-weighted rate of return của năm i, thì time-weighted rate of return được quy đổi theo năm là geometric mean của N mức lợi nhuận hằng năm, như được trình bày dưới đây:

Ví dụ 9 trình bày cách tính time-weighted rate of return.

VÍ DỤ 9

time-weighted rate of return

Strubeck Corporation vận hành một chương trình hưu trí cho nhân viên của mình. Công ty tự quản lý một phần danh mục cổ phiếu của mình đồng thời thuê ngoài việc quản lý phần còn lại của danh mục cho Super Trust Company. Với tư cách là giám đốc đầu tư của Strubeck, bạn muốn đánh giá hiệu quả của cả hai danh mục do nội bộ quản lý và do Super Trust quản lý trong bốn quý vừa qua. Bạn đã sắp xếp được các khoản rút vốn và bổ sung vốn vào danh mục sao cho chúng được thực hiện ngay vào đầu quý. Bảng 14 trình bày thông tin về các dòng tiền và giá trị của hai danh mục đầu tư. Trong Bảng 11, giá trị cuối kỳ là giá trị của danh mục đầu tư ngay trước dòng tiền vào đầu quý. Số tiền được đầu tư là số tiền mà mỗi nhà quản lý danh mục đầu tư được giao đầu tư.

• Bảng 14: Dòng tiền của tài khoản Strubeck do nội bộ quản lý và tài khoản Super Trust (đô la Mỹ)

|||Qu|ý|| ||1|2|3|4| |Phần A: Tài khoản do Nội bộ Quản lý||||| |Giá trị đầu kỳ|4,000,000|6,000,000|5,775,000|6,720,000| |Dòng tiền vào đầu kỳ l||||| |l (dòng tiền ra)|1,000,000|(500,000)|225,000|(600,000)| |Số tiền đầu tư|5,000,000|5,500,000|6,000,000|6,120,000| |Giá trị cuối kỳ|6,000,000|5,775,000|6,720,000|5,508,000| |Phần B: Tài khoản Super Trust||||| |Giá trị đầu kỳ|10,000,000|13,200,000|12,240,000|5,659,200| |Dòng tiền vào đầu kỳ (dòng tiền ra)|2,000,000|(1,200,000)|(7,000,000)|(400,000)| |l Số tiền đầu tư|12,000,000|12,000,000|5,240,000|5,259,200| |Giá trị cuối kỳ|13,200,000|12,240,000|5,659,200|5,469,568|

1. Tính time-weighted rate of return cho tài khoản do nội bộ quản lý.

Lời giải:

Để tìm time-weighted rate of return cho tài khoản do nội bộ quản lý, ta tính holding period return của tài khoản này theo từng quý và liên kết chúng để có được tỷ suất lợi nhuận hằng năm. Time-weighted rate of return của tài khoản do nội bộ quản lý là 27.01%, được tính như sau:

Học phần 1

1Q HPR: r 1 = (USD6,000,000 − USD5,000,000) / USD5,000,000 = 0.20 2Q HPR: r 2 = (USD5,775,000 − USD5,500,000) / USD5,500,000 = 0.05 3Q HPR: r 3 = (USD6,720,000 − USD6,000,000) / USD6,000,000 = 0.12 4Q HPR: r 4 = (USD5,508,000 − USD6,120,000) / USD6,120,000 = − 0.10

R TW = (1 + r 1)(1 + r 2)(1 + r 3)(1 + r 4) − 1 ,

R TW =( 1.20)( 1.05)( 1.12)( 0.90) − 1 = 0.2701 hoặc 27.01% .

2. Tính time-weighted rate of return cho tài khoản Super Trust. Lời giải:

Tài khoản do Super Trust quản lý có time-weighted rate of return là 26.02%, được tính như sau:

1Q HPR: r 1 = ( USD 13, 200, 000 − USD 12, 000, 000) / USD 12, 000, 000 = 0.10 2Q HPR: r 2 = ( USD 12, 240, 000 − USD 12, 000, 000) / USD 12, 000, 000 = 0.02 3Q HPR: r 3 = ( USD 5, 659, 200 − USD 5, 240, 000) / USD 5, 240, 000 = 0.08 4Q HPR: r 4 = ( USD 5, 469, 568 − USD 5, 259, 200) / USD 5, 259, 200 = 0.04

R TW = (1 + r 1)(1 + r 2)(1 + r 3)(1 + r 4) − 1 ,

R TW =( 1.10)( 1.02)( 1.08)( 1.04) − 1 = 0.2602 hoặc 26.02% .

Time-weighted rate of return của tài khoản do nội bộ quản lý cao hơn tài khoản Super Trust 99 điểm cơ bản. Cần lưu ý rằng mặc dù các tỷ suất lần lượt là 27.01% và 26.02%, chúng có thể được làm tròn lần lượt thành 27% và 26%. Tuy nhiên, mặc dù chênh lệch về hiệu quả là 100 điểm cơ bản so với 99 điểm cơ bản, sự khác biệt này không đáng kể.

Bây giờ, sau khi đã hoàn thành bài tập trên, chúng ta có thể chuyển sang xem một ví dụ khác.

VÍ DỤ 10

So sánh Song song time-weighted rate of return và money-weighted

Điều bạn cần làm ở đây là tính hiệu quả của Walbright Fund trong năm vừa qua. Thông tin được cung cấp như sau.

• Giá trị thị trường của Walbright Fund vào ngày 1 tháng 1 là USD100 triệu.

• Từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 30 tháng 4, các cổ phiếu do Walbright Fund nắm giữ tạo ra lợi nhuận USD10 triệu.

• Vào ngày 1 tháng 5, Walbright Fund nhận được cổ tức trị giá USD2 triệu từ các khoản nắm giữ của mình. Khoản cổ tức nhận được được tái đầu tư vào cổ phiếu.

• Do hiệu quả của quỹ rất xuất sắc, các tổ chức đã bổ sung USD20 triệu để đầu tư vào Walbright vào ngày 1 tháng 5, qua đó đưa tài sản được quản lý lên USD132 triệu (USD100 + USD10 + USD2 + USD20).

• Vào ngày 31 tháng 12, Walbright nhận được cổ tức trị giá USD2.64 triệu. Giá trị thị trường của quỹ vào ngày 31 tháng 12, không bao gồm USD2.64 triệu cổ tức, là USD140 triệu.

• Không có dòng tiền trung gian nào khác trong năm.

1. Tính time-weighted rate of return của Walbright Fund. Lời giải:

Vì các dòng tiền trung gian được thực hiện vào ngày 1 tháng 5, chúng ta cần tính hai mức lợi nhuận tổng cộng trung gian và sau đó liên kết chúng để có được lợi nhuận hằng năm. Bảng 15 trình bày các giá trị thị trường cần thiết vào ngày 1 tháng 1, ngày 1 tháng 5 và ngày 31 tháng 12, cùng với các holding period return tương ứng cho giai đoạn bốn tháng (1 tháng 1 – 1 tháng 5) và tám tháng (1 tháng 5 – 31 tháng 12).

Ví dụ minh họa 15: Dòng tiền của Quỹ Walbright

1 tháng 1 Giá trị danh mục đầu kỳ = 100 triệu USD 1 tháng 5 Cổ tức nhận được trước khoản đầu tư bổ sung = 2 triệu USD Giá trị danh mục cuối kỳ = 110 triệu USD Tỷ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ bốn tháng: R = _____________USD_2 +_USD_10 = 12% USD 100

Khoản đầu tư mới = 20 triệu USD Giá trị thị trường đầu kỳ cho hai phần ba cuối năm = 132 triệu USD 31 tháng 12 Cổ tức nhận được = 2,64 triệu USD Giá trị danh mục cuối kỳ = 140 triệu USD Tỷ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ tám tháng: R = ________________________USD_2.64 +_USD_140 −_USD_132 = 8.06% USD 132

Bây giờ, chúng ta cần liên kết theo phương pháp hình học tỷ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ bốn tháng và tám tháng để tính tỷ suất sinh lợi hằng năm. Tỷ suất sinh lợi theo thời gian được tính như sau:

R TW = 1.12 × 1.0806 − 1 = 0.2103.

Ở đây, tỷ suất sinh lợi theo giá trị tiền tệ của chúng ta sẽ được tính là 21,03% cho một giai đoạn một năm. Như chúng ta thấy, giai đoạn bốn tháng và giai đoạn tám tháng cộng lại tạo thành một giai đoạn một năm. (Lưu ý: Việc lấy căn bậc hai của 1.12 × 1.0806 chỉ phù hợp trong trường hợp 1.12 và 1.0806 mỗi giá trị đều tương ứng với một giai đoạn một năm.)

2. Tính tỷ suất sinh lợi theo giá trị tiền tệ của Quỹ Walbright.

• Lời giải:

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tỷ lệ chiết khấu làm cho tổng giá trị hiện tại của tất cả các dòng tiền ra và dòng tiền vào bằng không. Tất cả dòng tiền ra ở đây bao gồm giá trị thị trường ban đầu của quỹ và các khoản bổ sung vào quỹ. (Bạn có thể xem chúng như các khoản chi). Dòng tiền vào bao gồm các khoản rút tiền, khoản thu và giá trị thị trường của quỹ vào cuối kỳ. (Con số cuối cùng thể hiện số tiền mà các nhà đầu tư nhận được sau khi thanh lý quỹ). Do một số dòng tiền diễn ra theo các khoảng bốn tháng, chúng ta phải tính internal rate of return cho giai đoạn bốn tháng. Xem Ví dụ minh họa 15 dưới đây.

CF0 = –100 CF1 = –20 CF2 = 0

Mô-đun học tập 1

CF3 = 142.64

CF0 biểu thị khoản đầu tư ban đầu 100 triệu USD được đầu tư vào ngày 1 tháng 1, tại đầu kỳ bốn tháng thứ nhất. CF1 biểu thị các dòng tiền xảy ra vào cuối kỳ bốn tháng thứ nhất hoặc đầu kỳ bốn tháng thứ hai vào ngày 1 tháng 5. Trong trường hợp này, các dòng tiền lần lượt bao gồm dòng tiền vào 2 triệu USD từ cổ tức nhận được và các dòng tiền ra 22 triệu USD từ việc tái đầu tư cổ tức và đầu tư bổ sung. Không có dòng tiền nào trong kỳ bốn tháng thứ hai; do đó CF2 bằng không. CF3 biểu thị các dòng tiền vào cuối kỳ bốn tháng thứ ba. Các dòng tiền này bao gồm 2,64 triệu USD cổ tức nhận được và giá trị thị trường cuối kỳ 140 triệu USD của quỹ.

Sử dụng Excel hoặc máy tính IRR, chúng ta sử dụng các số liệu sau cho dòng tiền ròng tại t = 0, t = 1, t = 2 và t = 3, tương ứng: -100, -20, 0 và 142,64 triệu USD. Sử dụng cả hai chương trình, chúng ta nhận được IRR bốn tháng là 6,28%.

Cách nhanh để quy đổi tỷ suất bốn tháng sang năm là nhân nó với 3. Chính xác hơn, chúng ta có thể tính theo lãi kép như sau: (1.0628)3 – 1 = 0.2005 hoặc 20.05%.

Các phép tính này cũng có thể được thực hiện bằng Excel, sử dụng hàm =IRR(cash flows), với IRR bằng 6,28%.

3. Giải thích sự khác biệt giữa tỷ suất sinh lợi theo thời gian và tỷ suất sinh lợi theo giá trị tiền tệ của Quỹ.

Lời giải:

Trong trường hợp của chúng ta, tỷ suất sinh lợi theo thời gian (21,03%) cao hơn tỷ suất sinh lợi theo giá trị tiền tệ (20,05%). Quỹ Walbright đã thể hiện kết quả kém hơn trong giai đoạn tám tháng, khi có nhiều tiền hơn trong quỹ, so với hiệu quả hoạt động chung. Hoàn cảnh này được phản ánh ở tỷ suất sinh lợi theo giá trị tiền tệ thấp hơn so với tỷ suất sinh lợi theo thời gian, vì tỷ suất sinh lợi theo giá trị tiền tệ phụ thuộc vào thời điểm và quy mô rút tiền và bổ sung tiền vào danh mục đầu tư.

Việc tính đúng tỷ suất sinh lợi của danh mục đầu tư là cần thiết để ước tính hiệu quả của các nhà quản lý danh mục. Tuy nhiên, ngoài việc xem xét tỷ suất sinh lợi của danh mục, các nhà phân tích cũng nên xem xét rủi ro danh mục. Khi giải Ví dụ 9, chúng ta đã không nói rằng việc quản lý nội bộ tốt hơn Super Trust chỉ vì nó có tỷ suất sinh lợi theo thời gian cao hơn. Để đánh giá hiệu quả hoạt động và xác định liệu nó tốt hơn hay kém hơn, người ta cũng nên xem xét yếu tố rủi ro, nội dung sẽ được thảo luận thêm trong tài liệu học tập của bạn.

tính toán và diễn giải các thước đo tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm và tỷ suất sinh lợi continuously compounded, đồng thời mô tả các cách sử dụng phù hợp của chúng

Một tỷ suất sinh lợi kiếm được hoặc được tính toán trong một khoảng thời gian nhất định có thể khác nhau. Trong một số trường hợp, chúng ta cần quy đổi theo năm tỷ suất sinh lợi được tính cho khoảng thời gian khác một năm. Chúng ta có thể mua tín phiếu kho bạc ngắn hạn đáo hạn sau ba tháng hoặc tham gia một hợp đồng tương lai có ngày đáo hạn vào quý tiếp theo. Nhưng làm thế nào chúng ta có thể so sánh các tỷ suất sinh lợi này?

Rất thường xuyên, việc chuyển đổi tất cả các tỷ suất sinh lợi có sẵn sang dạng quy đổi theo năm sẽ dễ dàng hơn để thuận tiện cho việc so sánh. Theo đó, các tỷ suất sinh lợi hằng ngày, hằng tuần, hằng tháng và hằng quý đều có thể được quy đổi theo năm. Có nhiều công thức tính toán một số giá trị và mức giá nhất định đòi hỏi tất cả các tỷ suất sinh lợi và khoảng thời gian phải được biểu thị dưới dạng tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm. Chẳng hạn, phiên bản phổ biến nhất của mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes sử dụng các tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm và các khoảng thời gian tính bằng năm.

Ghép lãi không theo năm

Hãy nhớ rằng lãi có thể được trả nửa năm một lần, hằng quý, hằng tháng và thậm chí hằng ngày. Các khoản thanh toán lãi xảy ra nhiều hơn một lần trong một năm có thể được đưa vào công thức giá trị hiện tại của chúng ta theo cách sau. Rs là lãi suất được yết giá, bằng lãi suất theo kỳ nhân với số kỳ ghép lãi mỗi năm. Do đó, nếu có nhiều hơn một kỳ ghép lãi trong một năm, chúng ta có thể viết công thức giá trị hiện tại dưới dạng sau:

trong đó

• m = số kỳ ghép lãi mỗi năm,

• Rs = lãi suất hằng năm được yết giá, và

• N = số năm.

Công thức trong Phương trình 7 này khá giống với công thức giá trị hiện tại đơn giản. Như chúng ta đã đề cập trước đó, các hệ số giá trị hiện tại và giá trị tương lai là nghịch đảo của nhau. Điều này vẫn đúng khi thay đổi tần suất ghép lãi. Điểm khác biệt duy nhất là lãi suất theo kỳ và số kỳ ghép lãi được sử dụng. Ví dụ sau minh họa cho việc ghép lãi hằng tháng.

VÍ DỤ 11

Giá trị hiện tại của một khoản tiền gộp với ghép lãi hằng tháng

Một nhà quản lý quỹ hưu trí Canada cần thực hiện một khoản thanh toán một lần trị giá 5 triệu CAD sau 10 năm kể từ bây giờ. Cô ấy muốn đầu tư một khoản tiền hôm nay vào hợp đồng đầu tư được bảo đảm (GIC), khoản đầu tư này sẽ tăng lên đến số tiền cần thiết. Lãi suất hiện tại đối với các GIC là 6% một năm, ghép lãi hằng tháng.

1. Hôm nay cô ấy nên đầu tư bao nhiêu vào GIC?

Lời giải:

Phép tính giá trị hiện tại bằng cách sử dụng Phương trình 7 được trình bày dưới đây:

Mô-đun học tập 1

FV N = CAD 5,000,000 Rs = 6 % = 0.06 m = 12 Rs / m = 0.06 / 12 = 0.005 N = 10 mN = 12( 10) = 120 . − mN Rs_ PV = FV N (1 + m) = C AD 5,000,000( 1.005)−120 = C AD 5,000,000( 0.549633) = C AD 2,748,163.67

Sử dụng Phương trình 7, lãi suất theo kỳ và số kỳ sẽ được sử dụng tương ứng với ghép lãi hằng tháng (10 năm ghép lãi hằng tháng hoặc 120 tháng).

Quy đổi tỷ suất sinh lợi theo năm

Bất kỳ tỷ suất sinh lợi nào trong một kỳ ngắn hơn một năm đều nên được quy đổi theo năm bằng cách ghép lãi tỷ suất sinh lợi của kỳ đó theo số kỳ trong một năm. Tỷ suất sinh lợi hằng tháng sẽ được ghép lãi 12 lần, tỷ suất sinh lợi hằng tuần 52 lần, tỷ suất sinh lợi hằng quý 4 lần và tỷ suất sinh lợi hằng ngày 365 lần. Khi số ngày ít hơn một năm, tỷ suất sinh lợi nên được ghép lãi bằng cách sử dụng tỷ lệ 365 chia cho số ngày.

Tỷ suất sinh lợi kép hằng năm, khi tỷ suất sinh lợi hằng tuần là 0,2%, là 10,95% (một năm có 52 tuần):

Tỷ suất sinh lợi kép hằng năm, khi tỷ suất sinh lợi trong 15 ngày là 0,4%, là 10,20%:

Công thức tổng quát để quy đổi tỷ suất sinh lợi theo năm được trình bày dưới đây, trong đó c là số kỳ trong một năm. Trong trường hợp theo quý, c = 4 và trong trường hợp theo tháng, c = 12.

Chúng ta sẽ quy đổi theo năm một tỷ suất sinh lợi như thế nào khi tỷ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ lớn hơn một năm? Giả sử chúng ta cần quy đổi theo năm một tỷ suất sinh lợi trong thời gian nắm giữ 18 tháng. Vì một năm bằng hai phần ba của 18 tháng, c = 2/3 trong công thức trên. Chẳng hạn, tỷ suất sinh lợi 20% trong 18 tháng có thể được quy đổi theo năm như sau:

Trong một số tình huống nhất định, các biểu thức cũng có thể được xây dựng để chuyển đổi tỷ suất sinh lợi theo quý hoặc hằng tuần sang tỷ suất sinh lợi hằng năm nhằm so sánh các tỷ suất sinh lợi, thay vì chỉ so sánh các tỷ suất sinh lợi hằng năm. Trong những trường hợp như vậy, c bằng số holding period trong một quý hoặc trong một tuần. Chẳng hạn, giả sử bạn cần chuyển đổi tỷ suất sinh lợi hằng ngày sang tỷ suất sinh lợi hằng tuần hoặc tỷ suất sinh lợi hằng năm sang tỷ suất sinh lợi hằng tuần để so sánh các tỷ suất sinh lợi hằng tuần. Trong trường hợp chuyển đổi từ tỷ suất sinh lợi hằng ngày sang hằng tuần, c = 5, giả định rằng có năm ngày giao dịch trong một tuần. Tuy nhiên, tỷ suất sinh lợi hằng ngày có thể được chuyển đổi sang tỷ suất sinh lợi hằng năm theo những cách khác nhau. Chẳng hạn, có thể sử dụng năm để tính toán dựa trên ngày giao dịch nhằm có xấp xỉ 250 ngày giao dịch trong một năm, trong khi bảy có thể được sử dụng để tính toán dựa trên ngày theo lịch. Các cách khác nhau được áp dụng phụ thuộc vào

thực tiễn kinh doanh, quy ước thị trường và các tiêu chuẩn. Trong trường hợp chuyển đổi từ tỷ suất sinh lợi hằng năm sang tỷ suất sinh lợi hằng tuần, c = 1/52. Các biểu thức dành cho tỷ suất sinh lợi hằng năm có thể được chuyển thành các biểu thức dành cho tỷ suất sinh lợi hằng tuần như sau:

Một hạn chế quan trọng của việc quy đổi tỷ suất sinh lợi theo năm là giả định ngầm về tính có thể lặp lại của tỷ suất sinh lợi, nghĩa là tiền có thể được tái đầu tư nhiều lần với cùng tỷ suất sinh lợi đã kiếm được. Tỷ suất sinh lợi như vậy không phải lúc nào cũng có thể đạt được. Một nhà đầu tư kiếm được tỷ suất sinh lợi 5% trong một tuần nhờ thị trường tăng mạnh, nhưng rất khó để họ kiếm được tỷ suất sinh lợi 5% trong mỗi tuần của 51 tuần tiếp theo để đạt tỷ suất sinh lợi hằng năm 1.164,3% (= 1.0552 − 1). Vì vậy, điều thiết yếu là phải quy đổi theo năm các tỷ suất sinh lợi ngắn hạn trong khi cân nhắc hạn chế này.

VÍ DỤ 12

Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm

Nhà phân tích muốn đánh giá ba cổ phiếu khác nhau đã là một phần trong danh mục đầu tư của cô ấy trong các khoảng thời gian khác nhau.

• Trong 100 ngày gần nhất, Cổ phiếu A đã mang lại tỷ suất sinh lợi 6,2%.

• Cổ phiếu B đã tạo ra tỷ suất sinh lợi 2% trong bốn tuần gần nhất.

• Trong ba tháng gần nhất, Cổ phiếu C đã tạo ra tỷ suất sinh lợi 5%.

1. So sánh hiệu quả hoạt động tương đối của ba chứng khoán. Lời giải:

Các số liệu này cần được chuyển đổi sang cơ sở hằng năm để dễ so sánh:

• Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của Chứng khoán A: RSA = (1 + 0.062)365/100 − 1 = 0.2455 = 24.55%

• Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của Chứng khoán B: RSB = (1 + 0.02)52/4 − 1 = 0.2936 = 29.36%

• Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của Chứng khoán C: RSC = (1 + 0.05)4 − 1 = 0.2155 = 21.55%

Chứng khoán B mang lại tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm cao nhất.

VÍ DỤ 13

Hiệu quả hoạt động của Quỹ Hoán đổi Danh mục

Một người đang nghiên cứu tỷ suất sinh lợi của ba quỹ hoán đổi danh mục mới được thành lập. Thông tin được chọn về tỷ suất sinh lợi của các quỹ hoán đổi danh mục (ETF) được cung cấp trong Ví dụ minh họa 16.

32 Mô-đun học tập 1

Lãi suất và Tỷ suất sinh lợi

Ví dụ minh họa 16: Thông tin về Hiệu quả hoạt động của ETF

1. ETF nào có tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm cao nhất?

A. ETF 1 B. ETF 2 C. ETF 3 Lời giải:

• Đáp án đúng là B. Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của ba ETF là: Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của ETF 1 = (1.0461365/146 ) – 1 = 11.93%

Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của ETF 2 = (1.011052/5 ) – 1 = 12.05%

Tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm của ETF 3 = (1.143512/15 ) – 1 = 11.32%

Mặc dù ETF 2 có tỷ suất sinh lợi theo kỳ thấp nhất, tỷ suất sinh lợi quy đổi theo năm lại cao nhất đối với ETF này do giả định về tỷ lệ tái đầu tư và việc ghép lãi tỷ suất sinh lợi theo kỳ.

Lợi suất continuously compounded

Một khái niệm quan trọng là lợi suất continuously compounded gắn với holding period return, ký hiệu là R1 . Lợi suất continuously compounded gắn với một holding period return là logarit tự nhiên của một cộng với holding period return đó, hoặc logarit tự nhiên của giá cuối kỳ chia cho giá đầu kỳ (tỷ số giá). Lưu ý rằng ở đây chúng ta sử dụng r để biểu thị lợi suất continuously compounded, trong khi các giáo trình khác có thể ký hiệu khác.

Trong trường hợp quan sát được holding period return một tuần là 0.04, lợi suất continuously compounded tương ứng, được gọi là lợi suất continuously compounded một tuần, là ln(1.04) = 0.039221. Điều đó có nghĩa là, nếu chúng ta đầu tư EUR1.00 vào tài sản trong một tuần với lợi suất continuously compounded 0.039221, chúng ta sẽ nhận được EUR1.04, tương đương với holding period return một tuần là 4 phần trăm.

Lợi suất continuously compounded từ t đến t + 1 là

Trong trường hợp của chúng ta, tài sản được mua tại thời điểm t với giá P0 = USD30. Sau đó, giá trị của cùng tài sản này sau một kỳ ( t + 1) là P1 = USD34.50. Trong trường hợp này, lợi suất continuously compounded từ t đến t + 1 được tính như sau: r 0,1 = ln( P 1/ P 0) = ln(1 + R 0,1) = ln(USD34.50/USD30) = ln(1.15) = 0.139762.

Điều đó có nghĩa là lợi suất continuously compounded từ t = 0 đến t = 1 là 13.98 phần trăm. Cần lưu ý rằng lợi suất continuously compounded thấp hơn holding period return tương ứng. Nếu thời hạn đầu tư kéo dài từ t = 0 đến t = T , lợi suất continuously compounded đến thời điểm T là

Lấy hàm mũ của cả hai vế của đẳng thức này, ta có exp( r 0,T) = exp[ln( _PT

Tương tự, chúng ta có thể viết PT/_P_0 dưới dạng tích của các tỷ số giá:

PT / P 0 = ( PT / PT−1 )( PT−1 / PT−2 ) . . . ( P 1/ P 0). (12)

Nếu lấy logarit của cả hai vế của phương trình trên, ta thấy rằng lợi suất continuously compounded tại thời điểm T bằng tổng các lợi suất continuously compounded của từng kỳ:

r 0,T = rT−1,T + rT−2,T−1 + . . . + r 0,1. (13)

Việc tính giá trị cuối kỳ của khoản đầu tư ban đầu USD1 dựa trên holding period return đòi hỏi nhân các giá trị (1 + holding period return). Việc tính lợi suất continuously compounded đòi hỏi cộng các giá trị, như thể hiện trong Phương trình 13, và đây là một đặc điểm có lợi của lợi suất continuously compounded mà chúng ta sẽ sử dụng rộng rãi trong chương trình học.

tính toán và diễn giải các thước đo lợi suất chủ yếu và mô tả các cách sử dụng phù hợp của chúng

Mặc dù các thước đo thống kê về lợi suất được đề cập trong phần trước thường có thể áp dụng cho mọi loại tài sản trong các khoảng thời gian khác nhau, có thể tồn tại những trường hợp đặc biệt mà một loại tài sản đặc thù, chẳng hạn như quỹ tương hỗ, hoặc các yếu tố khác, bao gồm thuế hoặc lạm phát, đòi hỏi phải sử dụng một thước đo lợi suất riêng biệt.

Mặc dù không khả thi để phân tích mọi loại thước đo đặc biệt, chúng ta sẽ tập trung vào tác động của phí (gross return so với net return), thuế (lợi suất trước thuế và sau thuế), lạm phát (lợi suất danh nghĩa và lợi suất thực) và tác động của đòn bẩy. Nhà đầu tư đầu tư vào các quỹ tương hỗ hoặc các tổ chức khác vì mục đích đầu tư. Trong những trường hợp như vậy, các quỹ phát sinh phí quản lý và chi phí nhằm phục vụ lợi ích của nhà đầu tư. Do đó, gross return và lợi suất sau khi trừ chi phí quỹ trở nên quan trọng trong những trường hợp này. Rõ ràng, nhà đầu tư sẽ quan tâm đến lợi suất thực sau thuế và sau khi trừ chi phí, vì đó trên thực tế là khoản mà nhà đầu tư nhận được. Các thước đo lợi suất này sẽ được thảo luận thêm trong tài liệu này.

gross return và net return

Gross return trên tài sản đang được quản lý là lợi suất trước khi trừ mọi chi phí giao dịch và hoa hồng. Gross return nhằm phản ánh năng lực của nhà quản lý đầu tư. Các chi phí như phí quản lý, phí lưu ký và thuế không được bao gồm trong gross return vì các chi phí này khác nhau giữa các nhà đầu tư. Ví dụ, hầu hết các nhà quản lý tài sản cung cấp mức phí quản lý thấp cho các nhà đầu tư có quy mô tài khoản lớn. Việc loại trừ các chi phí này khỏi gross return giúp có thể đánh giá và so sánh năng lực của nhà quản lý đầu tư.

Net return là lợi suất đầu tư vì lợi ích của nhà đầu tư. Net return bao gồm tất cả chi phí quản lý và hành chính, làm giảm lợi suất của nhà đầu tư. Các nhà đầu tư cá nhân đặc biệt quan tâm đến net return (những gì họ thực sự nhận được). Các quỹ tương hỗ nhỏ có lượng tài sản đang quản lý tương đối nhỏ sẽ gặp bất lợi so với các quỹ lớn hơn, nơi các chi phí hành chính phần lớn mang tính cố định này được phân bổ trên cơ sở tài sản lớn hơn. Do đó, các quỹ tương hỗ nhỏ miễn một số khoản chi phí để làm cho quỹ của mình có khả năng cạnh tranh.

Lợi suất danh nghĩa trước thuế và sau thuế

Tất cả các lợi suất được thảo luận ở trên đều là lợi suất danh nghĩa trước thuế vì chưa xem xét tác động của thuế và lạm phát. Cần lưu ý rằng mọi thước đo lợi suất đều là lợi suất danh nghĩa trước thuế, trừ khi có quy định khác.

Nhiều nhà đầu tư lo ngại về tác động của thuế liên quan đến lợi suất của họ vì thuế ảnh hưởng đến net return của nhà đầu tư. Ở hầu hết các khu vực pháp lý, cách xử lý thuế đối với lãi vốn và thu nhập là khác nhau. Lãi vốn bao gồm lãi vốn ngắn hạn và lãi vốn dài hạn. Lãi vốn dài hạn được hưởng chế độ thuế ưu đãi ở một số khu vực pháp lý. Thu nhập từ lãi được đánh thuế theo thuế suất thu nhập thông thường ở hầu hết các khu vực pháp lý. Thu nhập từ cổ tức có thể bị đánh thuế như thu nhập thông thường, hoặc có thể chịu mức thuế suất thấp hơn, hoặc thậm chí có thể được miễn thuế. After-tax nominal return được tính bằng cách trừ phần thuế phải nộp khỏi tổng lợi suất từ cổ tức, tiền lãi và các khoản lãi đã thực hiện. Trái phiếu được phát hành với giá chiết khấu so với mệnh giá có thể bị đánh thuế dựa trên khoản lãi tích lũy thay vì khoản lãi đã thực hiện.

Vì thuế được áp dụng đối với lãi vốn và thu nhập mà nhà quản lý đầu tư thực hiện, nhà quản lý đầu tư giảm thiểu chi phí thuế bằng cách lựa chọn các cổ phiếu phù hợp (xét về ưu đãi thuế) và giảm hoạt động giao dịch. Do đó, after-tax nominal return sẽ được các nhà đầu tư chịu thuế sử dụng làm cơ sở để đánh giá các nhà quản lý đầu tư.

Lợi suất thực

Trong học phần trước, mối quan hệ gần đúng giữa lãi suất danh nghĩa và lãi suất thực được trình bày như sau:

• ( 1 + risk-free interest rate danh nghĩa) =( 1 + risk-free interest rate thực) (1 + phần bù lạm phát) .

Công thức này có thể được sử dụng để liên hệ lợi suất thực với lợi suất danh nghĩa. Nói cách khác, lợi suất danh nghĩa gồm ba thành phần – risk-free interest rate thực để bù đắp cho việc trì hoãn tiêu dùng; lạm phát thể hiện sự mất sức mua; và cuối cùng là risk premium để bù đắp cho việc chấp nhận rủi ro. Thông thường, hai thành phần đầu tiên được gộp lại và gọi là lãi suất thực có rủi ro hoặc đơn giản là lợi suất thực:

Lợi suất thực rất hữu ích trong việc đánh giá lợi suất trong các giai đoạn khác nhau vì tỷ lệ lạm phát biến động giữa các giai đoạn. Hơn nữa, lợi suất thực rất hữu ích khi so sánh lợi suất giữa các quốc gia nếu chúng được đo bằng đồng nội tệ của các quốc gia đó, nơi tỷ lệ lạm phát cũng có thể khác nhau. Điều này đúng trong hầu hết các trường hợp.

Lợi suất thực sau thuế là thước đo được sử dụng để bù đắp cho việc trì hoãn tiêu dùng và rủi ro đã chấp nhận sau khi thanh toán thuế đối với các khoản đầu tư. Do đó, lợi suất thực sau thuế trở thành mức chuẩn đáng tin cậy để đưa ra các quyết định đầu tư. Mặc dù đây là lợi suất chuẩn đối với nhà đầu tư, các nhà quản lý tài sản hiếm khi tính toán nó vì rất khó ước tính thành phần thuế. Thành phần này phụ thuộc vào thuế suất cá nhân (thuế suất cận biên); thời gian nắm giữ (dài hạn hoặc ngắn hạn); và loại tài khoản (được miễn thuế, hoãn thuế hoặc thông thường).

VÍ DỤ 14

Tính toán các loại lợi suất đặc biệt

Ví dụ 8 Hãy xem xét lại Ví dụ 8. Sau khi đọc phần trên, ông Lohrmann kết luận rằng ông không công bằng với nhà quản lý quỹ khi đưa phí quản lý tài sản và các chi phí khác vào tính toán, vì quy mô nhỏ của quỹ sẽ làm quỹ kém cạnh tranh hơn so với các đối thủ. Nhà quản lý quỹ thông báo cho ông rằng Rhein Valley Superior Fund chi trả EUR500,000 mỗi năm cho các chi phí cố định không phụ thuộc vào hiệu quả hoạt động của nhà quản lý.

Ông Lohrmann trở nên lo ngại về khả năng lợi suất bị giảm do tác động của thuế và lạm phát. Dựa trên luật thuế hiện hành, ông Lohrmann dự kiến sẽ phải trả thuế 20 phần trăm trên lợi suất đầu tư của mình. Trong lịch sử, mức lạm phát là 2 phần trăm mỗi năm và ông Lohrmann kỳ vọng mức lạm phát này sẽ duy trì trong tương lai.

1. Tính gross return hằng năm cho năm đầu tiên có tính đến các chi phí cố định.

Lời giải:

Gross return cho năm đầu tiên sẽ cao hơn 1.67 phần trăm (= EUR500,000/EUR30,000,000) so với mức lợi suất 15 phần trăm dành cho nhà đầu tư do nhà quản lý quỹ đưa ra. Do đó, gross return cho năm đầu tiên là 16.67 phần trăm (= 15%+1.67%).

2. Net return mà các nhà đầu tư của Rhein Valley Superior Fund nhận được trong giai đoạn năm năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Lợi suất dành cho nhà đầu tư được nêu trong quỹ tương hỗ là net return của khoản đầu tư sau khi trừ các chi phí trực tiếp và gián tiếp. Nó giống với lợi suất danh nghĩa trước thuế của khoản đầu tư vì phép tính chưa xem xét bất kỳ điều chỉnh nào đối với thuế hoặc lạm phát. Net return trong trường hợp thời gian nắm giữ năm năm như được nêu trong Ví dụ 8 là 42.35 phần trăm.

3. Net return sau thuế của khoản đầu tư mà các nhà đầu tư kiếm được trong năm đầu tiên từ Rhein Valley Superior Fund là bao nhiêu? Giả định rằng tất cả các khoản lãi đều được thực hiện và thuế được thanh toán vào cuối năm.

Lời giải:

Net return mà các nhà đầu tư đạt được trong năm đầu tiên là 15 phần trăm. Việc áp dụng thuế suất 20 phần trăm đối với lợi suất sẽ làm giảm lợi suất sau thuế xuống còn 12 phần trăm [= 15% − (0.20 × 15%)].

4. Lợi suất thực sau thuế mà các nhà đầu tư sẽ kiếm được trong năm thứ năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Lợi suất sau thuế mà các nhà đầu tư đạt được trong năm thứ năm là 2.4 phần trăm [= 3% − (0.20 × 3%)]. Mức giảm lợi suất do lạm phát là 2 phần trăm, vì vậy lợi suất thực sau thuế là 0.39 phần trăm, như sau:

_ _(1 + 2.40%)( 1 + 2.00%) − 1 = (( 1 + 0.02001 + 0.0240)) − 1 = 1.0039 − 1 = 0.0039 = 0.39% .

Điều quan trọng cần lưu ý là thuế được tính trước khi thực hiện bất kỳ điều chỉnh nào đối với lạm phát.

Lợi suất có đòn bẩy

Như đã lưu ý trong các ví dụ trước, giả định được sử dụng là vị thế mà một nhà đầu tư nắm giữ trong một tài sản bằng tổng số tiền mà nhà đầu tư cá nhân đầu tư bằng tiền của chính mình. Trường hợp ở đây khác vì vị thế trong tài sản được tạo lập thông qua đòn bẩy.

Có hai cách để một nhà đầu tư có thể hưởng lợi suất trên số tiền vượt quá khoản đầu tư của chính mình. Thứ nhất, nhà đầu tư cá nhân có thể giao dịch hợp đồng tương lai, trong đó vị thế có thể chỉ yêu cầu số tiền bằng 10 phần trăm giá trị danh nghĩa của tài sản. Lợi suất có đòn bẩy, tức lợi suất trên số tiền của chính nhà đầu tư, bằng 10 lần lợi suất thực tế của chứng khoán cơ sở. Cả khoản lỗ và khoản lãi đều sẽ được nhân lên mười lần.

Ngoài ra, một nhà đầu tư có thể đầu tư số tiền lớn hơn số tiền của chính mình bằng cách vay vốn để mua tài sản. Điều này có thể dễ dàng thực hiện với các tài sản như cổ phiếu và trái phiếu, nhưng phổ biến nhất là trong trường hợp bất động sản. Khi một nửa (50 phần trăm) số tiền đầu tư được vay, gross return của nhà đầu tư sẽ tăng gấp đôi. Nhưng nhà đầu tư phải trừ khoản lãi phải trả cho số tiền vay để có được net return.

Khi sử dụng vốn vay/nợ, quy mô của vị thế có đòn bẩy tăng lên nhờ khoản tiền vay bổ sung. Nếu tổng lợi suất từ khoản đầu tư, RP, vượt quá chi phí lãi vay rD, thì việc sử dụng đòn bẩy sẽ làm tăng lợi suất của danh mục đầu tư. Lợi suất của một danh mục đầu tư có đòn bẩy RL có thể được tính theo cách sau:

trong đó VE biểu thị giá trị của danh mục đầu tư, còn VB biểu thị khoản vay được sử dụng để tài trợ cho danh mục đầu tư. Nếu RP < rD , mức lợi suất có đòn bẩy RL sẽ giảm.

Ví dụ, đối với một danh mục cổ phiếu trị giá EUR10 million có tổng lợi suất RP là 8 phần trăm trong một năm và được tài trợ 30 phần trăm bằng nợ với lãi suất 5 phần trăm, mức lợi suất có đòn bẩy, RL , là:

VB_ __________ RL_ = Rp + VE (Rp−rD )= 8 % +EUR _EUR_3 million 7 million(8 % − 5%) = 8 % + 0.43 × 3 %

VÍ DỤ 15

Tính toán lợi nhuận

Một nhà phân tích xác định các mức lợi nhuận lịch sử sau đây của các loại tài sản:

Phụ lục 17: Geometric mean return của các loại tài sản

1. Tỷ suất sinh lợi thực của cổ phiếu gần nhất là:

• A. 5.4 phần trăm.

• B. 5.8 phần trăm.

C. 5.9 phần trăm. Lời giải:

Đáp án B là đúng. Tỷ suất sinh lợi thực của cổ phiếu được tính như sau:

(1 + 0.080)/(1 + 0.0210) − 1 = 5.8%.

2. Tỷ suất sinh lợi thực của trái phiếu doanh nghiệp gần nhất là: A. 4.3 phần trăm. B. 4.4 phần trăm. C. 4.5 phần trăm. Lời giải:

A là đúng. Tỷ suất sinh lợi thực của trái phiếu doanh nghiệp được xác định như sau:

(1 + 0.065)/(1 + 0.0210) − 1 = 4.3%.

3. Risk premium của cổ phiếu gần nhất là:

A. 5.4 phần trăm. B. 5.5 phần trăm.

C. 5.6 phần trăm. Lời giải:

A là đúng. Risk premium của cổ phiếu được xác định như sau:

(1 + 0.080)/(1 + 0.0250) − 1 = 5.4%.

4. Risk premium của trái phiếu doanh nghiệp gần nhất là:

A. 3.5 phần trăm. B. 3.9 phần trăm.

C. 4.0 phần trăm. Lời giải:

B là đúng. Risk premium của trái phiếu doanh nghiệp được xác định như sau: (1 + 0.0650)/(1 + 0.0250) − 1 = 3.9%.

Học phần 1

BÀI TẬP THỰC HÀNH

• 1.* risk-free interest rate danh nghĩa được giải thích tốt nhất là sự kết hợp giữa real risk-free interest rate và một phần bù cho:

• A. kỳ hạn.

• B. tính thanh khoản.

• C. lạm phát kỳ vọng.

• 2.* risk premium nào phù hợp nhất để giải thích sự khác biệt giữa lợi suất của trái phiếu Chính phủ Mỹ kỳ hạn 30 năm và trái phiếu doanh nghiệp Mỹ kỳ hạn 30 năm do một công ty nhỏ phát hành?

• A. Lạm phát

• B. Kỳ hạn

• C. Tính thanh khoản

• 3. geometric mean return của Quỹ Y trong năm năm gần đây là:

Phụ lục 1: Lợi nhuận hằng năm trong năm năm

Geometric mean return của Quỹ Y gần nhất là:

• A. 14.9 phần trăm.

• B. 15.6 phần trăm.

• C. 19.5 phần trăm.

• 4. Một nhà quản lý danh mục đầu tư thực hiện các khoản đầu tư trị giá EUR5,000 mỗi năm vào một chứng khoán nhất định theo các mức giá dưới đây trong bốn năm liên tiếp:

Phụ lục 1: Giá mua trong năm năm

Giá trung bình sẽ được ước tính tốt nhất bằng:

• A. harmonic mean là EUR76.48.

• B. geometric mean là EUR77.26.

• C. trung bình cộng là EUR78.00.

• 5. Phát biểu sau đây về trung bình cộng và geometric mean là đúng:

• A. geometric mean > Trung bình cộng khi tập hợp số có phương sai khác 0.

• B. geometric mean đo lường tốc độ tăng trưởng kép của một khoản đầu tư qua nhiều kỳ.

• C. Trung bình cộng đo lường giá trị cuối kỳ của một khoản đầu tư qua nhiều kỳ.

• 6.* Một quỹ thực hiện đầu tư vào đầu mỗi năm và đạt được lợi nhuận trong khoảng thời gian 3 năm như sau:

Phụ lục 1: Đầu tư và Lợi nhuận trong Ba năm

Trong giai đoạn 3 năm, thước đo lợi nhuận nào là âm?

• A. geometric mean return

• B. time-weighted rate of return

• C. money-weighted rate of return

• 7. Vào đầu Năm 1, giá trị tài sản do quỹ quản lý là USD10 triệu và quỹ tạo ra mức lợi nhuận 14 phần trăm. Trong Năm 2, quỹ nhận thêm ròng USD100 triệu và tạo ra mức lợi nhuận 8 phần trăm trong năm. Money-weighted rate of return của quỹ nhiều khả năng nhất sẽ:

• A. thấp hơn time-weighted rate of return.

• B. bằng time-weighted rate of return.

• C. cao hơn time-weighted rate of return.

• 8. Nhà đầu tư muốn đánh giá lợi nhuận của ba ETF mới được thành lập. Thông tin lợi nhuận của các ETF được chọn

Học phần 1

được trình bày trong Phụ lục 1:

Phụ lục 1: Lợi nhuận của các ETF

ETF nào tạo ra tỷ suất sinh lợi thường niên hóa cao nhất?

• A. ETF 1

• B. ETF 2

• C. ETF 3

• 9. Giá cổ phiếu tại t = 0 là USD208.25 và tại t = 1 là USD186.75. Tỷ suất sinh lợi continuously compounded, r1,T của cổ phiếu giữa t = 0 và t = 1 gần nhất là: A. –10.90 phần trăm.

• B. –10.32 phần trăm.

• C. 11.51 phần trăm.

• 10. Danh mục cổ phiếu trị giá USD 25 triệu được sử dụng đòn bẩy lên mức 20% thông qua vay nợ với lãi suất 6% mỗi năm. Khi danh mục đạt lợi nhuận 10% mỗi năm, lợi nhuận có sử dụng đòn bẩy sẽ là:

• A. 11.0 phần trăm.

• B. 11.2 phần trăm.

• C. 13.2 phần trăm

11. gross return của một nhà quản lý đầu tư là:

• A. after-tax nominal return, đã điều chỉnh rủi ro.

• B. lợi nhuận mà nhà quản lý đầu tư kiếm được trước khi trừ bất kỳ chi phí giao dịch nào.

• C. một trong những chuẩn đo lường thường được sử dụng để đánh giá trình độ kỹ năng của một nhà quản lý đầu tư vì nó bỏ qua chi phí quản lý.

12. Chiến lược sử dụng đòn bẩy để nâng cao lợi nhuận đầu tư:

• A. khuếch đại lợi nhuận nhưng không khuếch đại thua lỗ.

• B. làm tăng gấp đôi net return khi một nửa tổng số vốn được vay.

• C. chỉ đóng góp vào tổng lợi nhuận nếu khoản sinh lời cao hơn lãi suất vay.

• 13. Vào đầu năm, một nhà đầu tư đã đầu tư EUR10,000 vào một quỹ phòng hộ. Nhà đầu tư đã tài trợ 25% chi phí mua, tương đương EUR2,500, bằng khoản vay có lãi suất 6% mỗi năm và dự kiến phải nộp thuế 30% trên khoản lợi nhuận mà cô ấy

kiếm được từ giao dịch này. Đến cuối năm, quỹ phòng hộ cung cấp dữ liệu sau:

Lợi nhuận sau thuế mà nhà đầu tư nhận được từ khoản đầu tư vào quỹ phòng hộ gần nhất là:

A. 3.60 phần trăm.

• B. 3.98 phần trăm.

• C. 5.00 phần trăm.

Học phần 1

LỜI GIẢI

1. Đáp án cho câu hỏi này là C. Risk-free interest rate được xem là tổng của real risk-free interest rate và tỷ lệ lạm phát.

2. Đáp án đúng là C. Trái phiếu Kho bạc của Mỹ có tính thanh khoản rất cao, trong khi trái phiếu của các công ty nhỏ không được giao dịch thường xuyên và do đó lợi suất có chứa một thành phần phần bù thanh khoản. Phần bù thanh khoản phát sinh do chi phí tương đối (tác động giá) liên quan đến việc thanh lý một đợt phát hành trái phiếu. Trong trường hợp này, vì cả hai đợt phát hành trái phiếu đều có kỳ hạn 30 năm, nguyên nhân của sự chênh lệch không thể chỉ được quy cho kỳ hạn. Hơn nữa, vì cả hai đều là trái phiếu Mỹ, phần bù lạm phát đối với hai trái phiếu này phải tương tự nhau.

3. Lựa chọn A là đúng. Geometric mean return của Quỹ Y có thể được xác định bằng công thức sau:

• R G_ = (1 + 0.195) × (1 − 0.019) × (1 + 0.197) × (1 + 0.350) × (1 + 0.057) − 1 = 14.9%.

4. Lựa chọn A là đúng. Harmonic mean phù hợp để tính giá trung bình trên mỗi đơn vị vì nó coi trọng như nhau tất cả các quan sát và giúp hạn chế ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai. Nó được tính như sau:

• X H = 4/[(1/62.00) + (1/76.00) + (1/84.00) + (1/90.00)] = EUR76.48.

5. Lựa chọn B là đúng. Geometric mean tính toán lợi nhuận ghép của từng kỳ, do đó cho nhà đầu tư giá trị chính xác của giá trị cuối kỳ của một khoản đầu tư.

6. Lựa chọn C là đúng. Money-weighted rate of return không chỉ tính đến thời điểm mà còn tính đến quy mô của khoản đầu tư được thực hiện vào quỹ. Money-weighted rate of return có thể được tính bằng dữ liệu sau:

CF0 = –USD1,000, CF1 = –USD2,850, CF2 = –USD40,440, CF3 = +USD43,200.

Giải IRR cho kết quả IRR = −2.22 phần trăm.

Lưu ý rằng đáp án A và B không đúng vì TWR của quỹ tương đương với geometric mean return của quỹ và có giá trị dương.

R TW = 3√_______________(1.15)(1.14)(0.96) − 1 = 7.97% .

7. Đáp án A là đúng. Việc tính money-weighted rate of return bao gồm việc tìm tỷ lệ chiết khấu sao cho tổng dòng tiền đã chiết khấu bằng 0. Vì phần lớn khoản đầu tư được thực hiện trong Năm 2, money-weighted rate of return sẽ bị nghiêng về hiệu quả lợi nhuận của Năm 2, khi mức lợi nhuận thấp. Các khoản dòng tiền được liệt kê dưới đây:

CF0 = −10 CF1 = −100

CF2 = +120.31

Giá trị cuối kỳ được tính bằng cách cộng lợi nhuận trên các khoản đầu tư trong từng kỳ [(10 × 1.14 × 1.08) + (100 × 1.08)].

_( 1 + IRR CF 0)0+ _( 1 + IRR CF 1)1+ _( 1 + IRR CF 2)2 _ _− 100 _ .− 10 1+ ( 1 + IRR)1+ ( 1 + IRR120.31)2= 0

Kết quả là IRR bằng 8.53 phần trăm. Cách tính time-weighted rate of return của quỹ được trình bày dưới đây:

8. B là đúng. Tỷ suất sinh lợi thường niên hóa của ETF 1 = (1.0425365/125 ) – 1 = 12.92% ETF 2 = (1.019552/8 ) − 1 = 13.37%

ETF 3 = (1.171812/16 ) – 1 = 12.63%

Mặc dù có mức lợi nhuận định kỳ thấp nhất, ETF 2 có tỷ suất sinh lợi thường niên hóa cao nhất do giả định tái đầu tư và hiệu ứng ghép lãi của lợi nhuận định kỳ.

9. A là đúng. Lợi nhuận continuously compounded từ t = 0 đến t = 1 là r 0,1 = ln( S1 / S 0) = ln(186.75/208.25) = –0.10897 = –10.90%.

10. A là đúng.

___________ = 10% +USD_5_million USD 20 million(10% − 6%)

11. Đáp án C là đúng. Gross return được tính trên cơ sở trước thuế; chi phí giao dịch được bao gồm trong tính toán gross return vì chúng trực tiếp đóng góp vào gross return do nhà quản lý tạo ra. Đáp án A không đúng vì gross return mà các nhà quản lý đầu tư kiếm được là trước thuế và không bao gồm bất kỳ điều chỉnh rủi ro nào. Đáp án B không đúng vì gross return của các nhà quản lý bao gồm việc khấu trừ chi phí giao dịch vì chúng trực tiếp đóng góp vào lợi nhuận mà nhà quản lý kiếm được.

Học phần 1

12. Đáp án C là đúng. Việc sử dụng đòn bẩy có thể giúp tăng lợi nhuận của nhà đầu tư khi tổng lợi nhuận kiếm được từ một khoản đầu tư có sử dụng đòn bẩy lớn hơn chi phí lãi vay. Đáp án A không đúng vì sử dụng đòn bẩy khuếch đại cả lợi nhuận và thua lỗ. Đáp án B không đúng vì nếu một nửa số tiền đầu tư được tài trợ bằng tiền vay, gross return của nhà đầu tư sẽ tăng gấp đôi, nhưng net return thì không.

13. Đáp án C là đúng. Trước hết, phải tính net return của nhà đầu tư từ khoản đầu tư vào quỹ phòng hộ. Net return bằng gross return của quỹ trừ phí quản lý và hành chính 1.60%, tức là 8.46% – 1.60% = 6.86%. Lưu ý rằng chi phí giao dịch đã được bao gồm trong gross return và do đó không được khấu trừ. Thứ hai, lợi nhuận có sử dụng đòn bẩy của nhà đầu tư (trong trường hợp này, nhà đầu tư đã vay EUR2,500, tương đương 25% khoản đầu tư) cần được tính như sau:

Bước cuối cùng là tính lợi nhuận sau thuế: Lợi nhuận sau thuế = 7.15% * (1 – 0.30) = 5.00%.