Yield-based Bond Convexity and Porfolio Properties

[LOS 12.a-b] Tính toán và giải thích độ lồi (convexity) và miêu tả điều chỉnh độ lồi (convexity adjustment); tính tỷ lệ phần trăm thay đổi giá của một trái phiếu đối với một sự thay đổi lợi tức cụ thể, dựa trên thời gian đáo hạn và độ lồi của trái phiếu

1. Độ lồi của trái phiếu (Bond convexity)

Mối quan hệ giữa trái phiếu và YTM là một đường cong võng xuống (convex curve).

Việc sử dụng độ lồi (convexity) trong việc đo lường sự biến động giá có thể khắc phục nhược điểm của sử dụng thời gian đáo hạn bình quân (duration) trong việc đo lường độ nhạy của giá trái phiếu khi lãi suất thay đổi.

Annual convexity là thước đo cho độ lồi trái phiếu và có thể được tính toán xấp xỉ dựa trên công thức sau:

$\mathrm{ApproxCon}=\frac{\left({\mathrm{PV}}_{-}\right)+\left({\mathrm{PV}}_{+}\right)-[2\times ({\mathrm{PV}}_0\left)\right]}{{(∆\mathrm{Yield})}^2\times \left({\mathrm{PV}}_0\right)}$

Sự thay đổi giá trái phiếu khi có sự thay đổi về YTM trường hợp xét thêm tác động độ lồi được thể hiện trong công thức dưới đây:

$\%∆{\mathrm{PV}}_{\mathrm{full}}\approx (-\mathrm{AnnModDur}\times ∆\mathrm{Yield})+[\frac{1}{2}\times \mathrm{AnnConvexity}\times {(∆\mathrm{Yield})}^2]$

Trong đó:

• Hiệu ứng bậc 1 (First order effect/Duration effect): Tác động của thời gian đáo hạn trung bình (duration effect) lên sự thay đổi giá trái phiếu khiến giá trái phiếu giảm (tăng) khi YTM tăng (giảm).

• Hiệu ứng bậc 2 (Second order effect/Convexity adjustment): Tác động của điều chỉnh độ lồi (convexity adjustment) lên sự thay đổi giá trái phiếu luôn là tác động dương cho cả sự tăng/giảm của YTM.

2. Độ lồi tính theo giá trị tuyệt đối (Money convexity)

Money convexity đo lường hiệu ứng bậc 2 trên sự thay đổi tuyệt đối (tính theo đơn vị tiền tệ) của giá trái phiếu khi có sự thay đổi về lãi suất YTM.

$\mathrm{MoneyCon}=\mathrm{AnnConvexity}\times {\mathrm{PV}}_{\mathrm{full}}$

Sự thay đổi quy về tiền mặt của giá trái phiếu trường hợp xét thêm tác động độ lồi được thể hiện trong công thức dưới đây:

$∆{\mathrm{PV}}_{\mathrm{Full}}\approx (-\mathrm{MoneyDur}\times ∆\mathrm{Yield})+[\frac{1}{2}\times \mathrm{MoneyCon}\times {(∆\mathrm{Yield})}^2]$

3. Các yếu tố ảnh hưởng đến độ lồi

Các nhân tố khiến duration tăng cũng khiến convexity tăng. Tham khảo các yếu tố trong bảng dưới đây.

Yếu tố	Chiều thay đổi của yếu tố	Chiều thay đổi của độ lồi
Kỳ hạn	Tăng	Tăng
Lãi suất coupon	Giảm	Tăng
Lãi suất đáo hạn (YTM)	Giảm	Tăng
Độ phân tán của dòng tiền	Tăng	Tăng

Lợi ích của việc có độ lồi trái phiếu cao hơn: Các trái phiếu có đường giá-lợi suất cong nhiều hơn sẽ ít nhạy cảm với lãi suất hơn các trái phiếu có đường giá-lợi suất cong ít hơn trong cả bối cảnh thị trường tăng và giảm → Ít rủi ro hơn cho nhà đầu tư.

4. Độ lồi hiệu dụng của trái phiếu (Effective convexity)

Cũng tương tự như effective duration, effective convexity được sử dụng để đo lường tác động của “hiệu ứng bậc 2” của rủi ro lãi suất đối với trái phiếu đính kèm quyền chọn. Effective convexity của trái phiếu được tính toán theo công thức sau:

$\mathrm{EffCon}=\frac{\left({\mathrm{PV}}_{-}\right)+\left({\mathrm{PV}}_{+}\right)-[2\times ({\mathrm{PV}}_0\left)\right]}{{(∆\mathrm{Curve})}^2\times \left({\mathrm{PV}}_0\right)}$

4.1. Độ lồi hiệu dụng của trái phiếu kèm quyền chọn mua (callable bond)

Lãi suất tham chiếu	Độ lồi	So sánh tác động của thay đổi lãi suất lên giá trái phiếu
Thấp	Độ lồi callable bond < 0 < Độ lồi straight bond (đường cong võng lên – concavity)	Callable bond tăng giá < Straight bond tăng giá
Cao	Độ lồi callable bond > 0 (đường cong võng xuống, tương tự như straight bond)	Callable bond giảm giá ≈ Straight bond giảm giá

Point of inflection: Điểm mà độ lồi của trái phiếu kèm quyền chọn mua chuyển từ giá trị âm sang dương.

4.2. Độ lồi hiệu dụng của trái phiếu kèm quyền chọn bán (putable bond)

Lãi suất tham chiếu	Độ lồi	So sánh tác động của thay đổi lãi suất lên giá trái phiếu
Thấp	Độ lồi putable bond > 0 (đường cong võng xuống, tương tự như straight bond)	Putable bond tăng giá ≈ Putable bond tăng giá
Cao	Độ lồi putable bond > Độ lồi straight bond > 0	Putable bond giảm giá < Straight bond giảm giá