Sharpe, Treynor, Jensen alpha và M²: bốn thước đo hiệu quả và khi nào dùng cái nào

Bốn thước đo lợi nhuận điều chỉnh rủi ro trong chương trình Level 1 có chung một tử số là phần lợi nhuận vượt trên risk-free rate. Khác biệt giữa chúng nằm ở mẫu số, tức loại rủi ro mà mỗi thước đo dùng để chia, và ở đơn vị của kết quả. Để hiểu vì sao có hai loại mẫu số, cần đi qua beta và CAPM trước.

Beta và rủi ro hệ thống

Beta đo độ nhạy của lợi suất một tài sản đối với lợi suất của chỉ số thị trường, và phản ánh systematic risk của tài sản đó:

\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\sigma_m^2} = \rho_{i,m}\,\frac{\sigma_i}{\sigma_m}

Beta của thị trường bằng 1, do đó beta trung bình của chứng khoán trên thị trường cũng bằng 1. Trên thực tế beta được ước lượng bằng cách hồi quy lợi suất vượt trội của tài sản theo lợi suất vượt trội của thị trường, theo market model:

R_i - R_f = \alpha_i + \beta_i (R_m - R_f)

Trong phương trình này $\beta_i$ là độ dốc của đường hồi quy, còn $\alpha_i$ là hệ số chặn. Đường biểu diễn quan hệ này gọi là security characteristic line.

CAPM và đường SML

Capital asset pricing model ước tính lợi nhuận kỳ vọng của tài sản dựa trên beta:

E(R_i) = R_f + \beta_i \left[E(R_m) - R_f\right]

CAPM khẳng định lợi nhuận kỳ vọng của tài sản chỉ thay đổi theo systematic risk. → Hai tài sản có cùng beta sẽ có cùng lợi nhuận kỳ vọng, bất kể bản chất của những tài sản đó.

Mô hình dựa trên sáu giả định: nhà đầu tư e ngại rủi ro và có lý trí, thị trường không có chi phí giao dịch và không có thuế, mọi nhà đầu tư có cùng khoảng thời gian nắm giữ, kỳ vọng của nhà đầu tư là đồng nhất, mọi khoản đầu tư chia được vô hạn, và nhà đầu tư là người chấp nhận giá.

Security market line là biểu diễn đồ thị của CAPM, với beta trên trục hoành và lợi nhuận kỳ vọng trên trục tung.

Phân biệt CML với SML

Hai đường trông giống nhau nhưng trục hoành khác nhau, và phạm vi áp dụng cũng khác nhau.

	CML	SML
Phương trình	$E(R_p) = R_f + \dfrac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m}\sigma_p$	$E(R_i) = R_f + \beta_i\left[E(R_m) - R_f\right]$
Trục hoành	Tổng rủi ro $\sigma_p$	Systematic risk $\beta$
Phạm vi áp dụng	Chỉ các danh mục hiệu quả, nằm trên efficient frontier	Mọi chứng khoán và tài sản, bất kể có nằm trên efficient frontier hay không

Sự phân đôi này chính là gốc rễ của việc có hai nhóm thước đo hiệu quả. Nhóm dùng $\sigma$ ở mẫu số nối với logic của CML, nhóm dùng $\beta$ nối với logic của SML.

Bốn công thức

\text{Sharpe} = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} \qquad \text{Treynor} = \frac{R_p - R_f}{\beta_p}

\alpha_J = R_p - \left[R_f + \beta_p (R_m - R_f)\right] \qquad M^2 = (R_p - R_f)\frac{\sigma_m}{\sigma_p} + R_f

Tử số của cả bốn đều là phần lợi nhuận vượt trên risk-free rate. Khác biệt nằm ở mẫu số và ở đơn vị kết quả.

Tổng rủi ro hay systematic risk

Thước đo	Mẫu số	Đo loại rủi ro nào
Sharpe	Độ lệch chuẩn $\sigma$	Tổng rủi ro
M²	Độ lệch chuẩn $\sigma$	Tổng rủi ro
Treynor	Beta $\beta$	Systematic risk
Jensen alpha	Beta $\beta$	Systematic risk

Tổng rủi ro gồm systematic risk cộng unsystematic risk. Systematic risk chỉ là phần không loại bỏ được bằng diversification. Từ đó suy ra quy tắc chọn thước đo:

Danh mục chưa diversify đầy đủ, hoặc là toàn bộ tài sản của nhà đầu tư: dùng Sharpe hoặc M², do nhà đầu tư đang chịu cả unsystematic risk.
Danh mục là một phần nhỏ trong tổng tài sản đã diversify: dùng Treynor hoặc Jensen alpha, do unsystematic risk đã được triệt tiêu ở cấp tổng thể.

Đề thi thường cho hai quỹ, một quỹ là toàn bộ khoản đầu tư của khách hàng và một quỹ là khoản vệ tinh trong danh mục lớn, sau đó hỏi thước đo nào phù hợp với từng trường hợp.

Jensen alpha trên đồ thị SML

Alpha là khoảng cách theo phương dọc giữa lợi suất thực tế của danh mục và lợi suất mà CAPM dự đoán cho cùng mức beta.

Alpha dương nghĩa là danh mục cho lợi suất cao hơn mức CAPM dự đoán ứng với beta của nó, và điểm biểu diễn danh mục nằm phía trên SML. Alpha âm thì ngược lại.

Đơn vị của kết quả

Sharpe và Treynor là tỷ số, không có đơn vị phần trăm. Con số 0,45 không mang nghĩa 45 phần trăm, và hai thước đo này chỉ dùng để xếp hạng chứ không dùng để nói mức chênh lệch cụ thể.

Jensen alpha và M² cho ra kết quả tính bằng phần trăm. M² trả lời câu hỏi: nếu điều chỉnh danh mục về đúng mức biến động của thị trường bằng cách vay hoặc cho vay ở risk-free rate, thì danh mục cho lợi suất bao nhiêu. Do đó so sánh $M^2$ với $R_m$ là so trực tiếp được, và chênh lệch giữa chúng đọc thẳng ra phần trăm.

→ M² dùng tổng rủi ro như Sharpe, đồng thời cho kết quả diễn giải được. Sharpe cho biết quỹ A xếp trên quỹ B, còn M² cho biết trên bao nhiêu điểm phần trăm.

Sharpe và M² luôn cùng thứ hạng

M² là biến đổi tuyến tính đơn điệu của Sharpe. Viết lại công thức sẽ thấy $M^2 = \text{Sharpe} \times \sigma_m + R_f$ , trong đó $\sigma_m$ và $R_f$ giống nhau cho mọi danh mục đang so sánh. Hệ quả là xếp hạng theo Sharpe và xếp hạng theo M² luôn trùng nhau.

Sharpe và Treynor thì có thể cho thứ hạng khác nhau. Khi điều đó xảy ra, nguyên nhân là danh mục có nhiều unsystematic risk, tức chưa diversify tốt. → Bản thân sự bất đồng giữa hai thước đo đã là một thông tin về mức độ diversification.

Bảng chọn nhanh

Tình huống	Thước đo phù hợp
So hai quỹ, mỗi quỹ là toàn bộ tài sản khách hàng	Sharpe hoặc M²
So hai quỹ vệ tinh trong danh mục đã diversify	Treynor hoặc Jensen alpha
Cần con số phần trăm để báo cáo khách hàng	M² hoặc Jensen alpha
Chỉ cần xếp hạng	Sharpe hoặc Treynor
Đánh giá kỹ năng chọn cổ phiếu của nhà quản lý	Jensen alpha

Hạn chế của CAPM

Vì cả bốn thước đo đều dựa trên khung CAPM, hạn chế của mô hình cũng là hạn chế của chúng.

Dưới góc nhìn lý thuyết, CAPM là mô hình đơn nhân tố nên chỉ xem xét systematic risk, và là mô hình một giai đoạn nên không tính tới mục tiêu đầu tư nhiều giai đoạn.

Dưới góc nhìn thực tiễn, danh mục thị trường thực sự bao gồm cả tài sản không thể đầu tư được như vốn nhân lực. Các nhà phân tích dùng proxy khác nhau cho danh mục thị trường nên cho ra ước lượng lợi suất khác nhau với cùng một tài sản. Beta được ước lượng từ dữ liệu quá khứ ba tới năm năm nên có thể không phản ánh tình hình hiện tại. Giả định kỳ vọng đồng nhất giữa mọi nhà đầu tư cũng không thực tế.

Lưu ý khi làm bài

Đồng bộ kỳ đo lường. Độ lệch chuẩn và beta phải tính trên cùng khoảng thời gian và cùng tần suất với lợi suất. Trộn lợi suất năm với độ lệch chuẩn tháng cho ra con số vô nghĩa.

Sharpe âm khó diễn giải. Khi danh mục có lợi suất thấp hơn risk-free rate, tử số âm, khi đó danh mục biến động mạnh hơn lại cho Sharpe cao hơn. Trong trường hợp này không nên xếp hạng bằng Sharpe.

Phân biệt trục hoành của CML với SML. Câu hỏi thường cho một danh mục chưa diversify rồi hỏi nó nằm ở đâu so với hai đường. Danh mục chưa hiệu quả nằm dưới CML, tuy nhiên vẫn nằm trên SML nếu được định giá đúng.

Đọc kỹ vai trò của danh mục trong tổng tài sản. Đây là dữ kiện quyết định chọn nhóm thước đo, và đề thường đặt nó ở một câu mô tả ngắn giữa đoạn văn.

Vị trí trong chương trình

Bốn thước đo nằm ở Module 1 và Module 2 môn Portfolio Management, chiếm 8 tới 12 phần trăm đề Level 1. Phần công thức gọn nhưng câu hỏi thiên về chọn đúng công cụ cho tình huống, do đó luyện dạng tình huống hiệu quả hơn luyện bấm máy.