Module 10: Simple Linear Regression

Nguồn: SAPP Quant 2026 pp. 396–451

Learning Outcomes

LOS 10.a — Mô Hình

Simple linear regression:

$Y_i = b_0 + b_1 X_i + \epsilon_i, \quad i = 1, \ldots, n$

Đường hồi quy ước lượng:

$\hat{Y}_i = \hat{b}_0 + \hat{b}_1 X_i$

Hệ số OLS:

$\hat{b}_1 = \frac{Cov_{XY}}{\sigma_X^2} \qquad \hat{b}_0 = \bar{Y} - \hat{b}_1\bar{X}$

Diễn giải:

• $\hat{b}_0$ (intercept) = giá trị của $Y$ khi $X = 0$
• $\hat{b}_1$ (slope) = sự thay đổi trong $Y$ khi $X$ thay đổi 1 đơn vị

Cross-sectional vs Time-series:

• Cross-sectional: nhiều đơn vị tại cùng một thời điểm ($P/E_i = b_0 + b_1 \cdot EPS_i$)
• Time-series: một đơn vị theo thời gian ($\text{Rate}_t = b_0 + b_1 \cdot \text{Inflation}_t$)

LOS 10.b — Bốn Giả Định Cốt Lõi

Các vi phạm được phát hiện thông qua residual plots.

LOS 10.c — Đo Lường và Kiểm Định Độ Phù Hợp

Phân Rã Tổng Bình Phương

$SST = SSR + SSE$

$R^2$ (Coefficient of Determination)

$R^2 = \frac{SSR}{SST}$

$R^2$ càng cao → độ phù hợp càng tốt (từ 0 đến 1)

F-Test (kiểm định ý nghĩa tổng thể của mô hình)

$F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}$

Với simple regression: $k=1$, do đó $df_1 = 1$, $df_2 = n-2$

• $H_0$: $b_1 = 0$ so với $H_a$: $b_1 \neq 0$
• Bác bỏ $H_0$ nếu $F > F_{\text{critical}}$ (luôn là kiểm định một phía)

t-Test trên Slope ($b_1$)

$t = \frac{\hat{b}_1 - B_1}{s_{\hat{b}_1}}, \quad df = n - 2$

t-Test trên Correlation ($\rho$)

$t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}, \quad df = n - 2$

t-Test trên Intercept ($b_0$)

$t = \frac{\hat{b}_0 - B_0}{s_{\hat{b}_0}}, \quad df = n - 2$

LOS 10.d — Bảng ANOVA

Standard Error of Estimate:

$SEE = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$

SEE càng nhỏ → độ phù hợp càng tốt.

LOS 10.f — Các Dạng Hàm

Connections

• Xây dựng trên: M08 — t-test, F-test
• Sử dụng: M03 — Correlation, Variance
• Liên quan: M09 — Testing correlation significance