Portfolio Risk and Return Part I

bởi Vijay Singal, PhD, CFA.

Vijay Singal, PhD, CFA, làm việc tại Virginia Tech (Hoa Kỳ).

LEARNING OUTCOMES

Thí sinh phải có khả năng:

• mô tả các đặc điểm của các asset classes chủ yếu mà nhà đầu tư xem xét khi hình thành portfolios
• giải thích risk aversion và các hàm ý của nó đối với việc lựa chọn portfolio
• giải thích việc lựa chọn một optimal portfolio, dựa trên utility (hoặc risk aversion) của nhà đầu tư và capital allocation line
• tính toán và diễn giải mean, variance và covariance (hoặc correlation) của asset returns dựa trên historical data
• tính toán và diễn giải portfolio standard deviation
• mô tả tác động đối với portfolio risk của việc đầu tư vào các assets có correlation nhỏ hơn perfect correlation
• mô tả và diễn giải minimum-variance frontier và efficient frontier của risky assets và global minimum-variance portfolio

Việc xây dựng optimal portfolio là một trong những mục tiêu của mọi nhà đầu tư. Nội dung này sẽ thảo luận về quá trình phân tích risk và return của từng asset, xây dựng tất cả các portfolios, lựa chọn các portfolios hiệu quả nhất và lựa chọn optimal portfolio phù hợp với từng nhà đầu tư cụ thể.

Khi xây dựng optimal portfolio, một số vấn đề và đặc điểm đầu tư được xem xét. Trong số đó, những đặc điểm quan trọng nhất bao gồm risk và return của các assets riêng lẻ cần được phân tích. Risk, return và correlations giữa các assets riêng lẻ đóng vai trò thiết yếu trong việc xác định portfolio risk. Khi xây dựng portfolio của một nhà đầu tư, điều quan trọng là phải biết mức risk của nhà đầu tư. Mặc dù chúng ta không đi sâu vào chi tiết về việc xác định risk aversion của các cá nhân hoặc nhà đầu tư tổ chức, nhưng điều quan trọng là phải hiểu về nó để đưa ra một

quyết định sáng suốt. Trong nội dung này, chúng ta sẽ thảo luận về các loại nhà đầu tư khác nhau và cách các sở thích risk-return của họ được chính thức hóa, cũng như cách chúng ta lựa chọn optimal portfolio trong số vô số portfolios thuộc investment opportunity set.

Nội dung này được tổ chức như sau: Phần 2-3 thảo luận về các đặc điểm đầu tư của assets. Phần 4-6 thảo luận về khái niệm risk aversion và cách các indifference curves phản ánh sở thích cá nhân được xây dựng. Chúng ta áp dụng indifference curves để lựa chọn optimal portfolio bằng cách sử dụng hai risky assets. Phần 7-9 giúp hiểu và tính toán portfolio risk. Correlation và diversification của portfolio risk được thảo luận chi tiết. Phần 10-12 bắt đầu với risky assets và việc xây dựng nhiều risky portfolios, đồng thời minh họa cách optimal risky portfolio được lựa chọn sau khi thu hẹp phạm vi lựa chọn xuống efficient set của risky portfolios. Risky portfolio và risk preferences của nhà đầu tư dẫn chúng ta đến optimal portfolio của nhà đầu tư. Một phần tóm tắt khép lại nội dung này.

mô tả các đặc điểm của các asset classes chủ yếu mà nhà đầu tư xem xét khi hình thành portfolios

Trước khi thảo luận về historical data, cần phân biệt historical mean return và expected return vì hai khái niệm này khác nhau nhưng thường xuyên bị nhầm lẫn. Historical return là những gì đã đạt được trong quá khứ, trong khi expected return là điều nhà đầu tư dự kiến trong tương lai.

Expected return là nominal return khiến marginal investor đầu tư vào một asset nhất định dựa trên real risk-free interest rate (rrF), expected inflation rate [E(π)] và risk premium cho risk của asset [E(RP)]. Real risk-free interest rate được kỳ vọng là dương như một khoản bù đắp cho việc trì hoãn tiêu dùng. Tương tự, risk premium được kỳ vọng là dương trong đa số trường hợp.1 Expected inflation rate chỉ có thể âm trong trường hợp nền kinh tế trải qua deflation. Do đó, expected return được kỳ vọng là dương. Mối quan hệ phụ thuộc giữa expected return với real risk-free interest rate, inflation rate và risk premium có thể được mô tả bằng công thức sau:

1 + E ( R ) = (1 + rrF ) × [1 + E (π)] × [1 + E ( RP )]

Historical mean return của khoản đầu tư vào một asset cụ thể được tính dựa trên actual return mà nhà đầu tư kiếm được. Vì khoản đầu tư có risk, xác suất actual return trùng với expected return là không cao. Hơn nữa, actual return không bao giờ bằng expected return trong khoảng thời gian cụ thể đang được xem xét. Tuy nhiên, nên giả định rằng sau một khoảng thời gian đủ dài, future (expected) return sẽ trùng với historical return trung bình. Đáng tiếc là độ dài của khoảng thời gian cần thiết là không xác định - có thể là 10 năm, 50 năm, hoặc thậm chí 100 năm. Trên thực tế, historical mean return thường được giả định là một chỉ báo đầy đủ cho expected return, mặc dù điều này không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, Exhibit 1 cho thấy historical equity returns trong tám năm gần nhất (2010-2017) của cổ phiếu các công ty lớn tại Hoa Kỳ là dương, trong khi actual return trong thập kỷ trước đó là âm. Tuy nhiên,

1 Có những trường hợp ngoại lệ khi một asset làm giảm overall risk của một portfolio. Chúng ta sẽ xem xét những trường hợp ngoại lệ đó trong Phần 9.

(1926-2017) là dương và có thể được kỳ vọng. Mặc dù chưa biết liệu historical mean returns có tương ứng với expected returns hay không, giả định này vẫn được sử dụng phổ biến.

• Exhibit 1: Risk and Return of US Asset Classes by Decade (%)

|||Thập niên 1930|Thập niên 1940|Thập niên 1950|Thập niên 1960|Thập niên 1970|Thập niên 1980|Thập niên 1990|Thập niên 2000|Thập niên 2010*|1926- 2017| |Công ty lớn|Return|−0.1|9.2|19.4|7.8|5.9|17.6|18.2|−1.0|13.9|10.2| |stocks|Risk|41.6|17.5|14.1|13.1|17.2|19.4|15.9|16.3|13.6|19.8| |Công ty nhỏ|Return|1.4|20.7|16.9|15.5|11.5|15.8|15.1|6.3|14.8|12.1| |stocks|Risk|78.6|34.5|14.4|21.5|30.8|22.5|20.2|26.1|19.4|31.7| |Dài hạn|Return|6.9|2.7|1|1.7|6.2|13|8.4|7.7|8.3|6.1| |corporate bonds|Risk|5.3|1.8|4.4|4.9|8.7|14.1|6.9|11.7|8.8|8.3| |Dài hạn|Return|4.9|3.2|−0.1|1.4|5.5|12.6|8.8|7.7|6.8|5.5| |government bonds|Risk|5.3|2.8|4.6|6|8.7|16|8.9|12.4|10.8|9.9| |Treasury|Return|0.6|0.4|1.9|3.9|6.3|8.9|4.9|2.8|0.2|3.4| |bills|Risk|0.2|0.1|0.2|0.4|0.6|0.9|0.4|0.6|0.1|3.1| |Inflation|Return|−2.0|5.4|2.2|2.5|7.4|5.1|2.9|2.5|1.7|2.9| ||Risk|2.5|3.1|1.2|0.7|1.2|1.3|0.7|1.6|1.1|4.0|

* Đến ngày 31 tháng 12 năm 2017 Lưu ý: Returns được biểu thị bằng annualized geometric mean returns. Risk được tính bằng annualization của monthly standard deviations. Nguồn: 2018 SBBI Yearbook (Exhibits 1.2, 1.3, 2.3 và 6.2).

Trong các phần thảo luận sau, hãy luôn nhớ phân biệt expected returns và historical mean returns. Mỗi khi chúng ta đề cập đến việc sử dụng historical returns làm estimates cho expected returns, chúng ta sẽ nêu rõ ý định của mình.

Nominal Returns of Major US Asset Classes

Để phục vụ cho mục đích thảo luận, chúng ta sẽ chú ý đến ba asset classes chủ yếu sau trong Exhibit 1: stocks, bonds và T-bills. Mean nominal returns của các asset classes tại Hoa Kỳ theo từng thập kỷ, bắt đầu từ thập niên 1930, được trình bày. Total returns trong giai đoạn 1926-2017 được trình bày ở cột cuối cùng. Các returns là annual geometric mean returns. Large Company Stocks có return trong giai đoạn 92 năm là 10.2%. Return chỉ âm trong thập niên 1930 và 2000, trong khi ở tất cả các thập kỷ khác, returns đều dương. Thập niên 1950 và 1990 là những thập kỷ tốt nhất đối với large company stocks. Small Company Stocks có hiệu quả thậm chí tốt hơn Large Company Stocks. Không có thập kỷ nào có returns âm và returns đạt hai chữ số ở tất cả trừ hai thập kỷ, tạo ra return trong 92 năm là 12.1%.

Overall returns của Long-Term Corporate Bonds và Long-Term Government Bonds lần lượt là 6.1% và 5.5%. Không có thập kỷ nào có return âm đối với Corporate Bonds, mặc dù Long-Term Government Bonds có return âm trong thập niên 1950 khi hiệu quả của thị trường chứng khoán rất tốt. Bonds cũng hoạt động đặc biệt tốt trong một số thập kỷ như thập niên 1980 và 2000 khi chúng có returns đạt hai chữ số.

Treasury bills không có returns âm trong bất kỳ thập kỷ nào. Trên thực tế, negative returns của treasury bills đã xảy ra vào năm 1938 (0.02%) khi inflation rate là -2.78%. Điều này không quá đáng ngạc nhiên vì luôn tồn tại positive nominal interest rates và chúng chưa bao giờ

Portfolio Risk and Return: Part I

Chúng có negative correlation, và Treasury bills được bảo vệ khỏi risks liên quan đến low interest rates và inflation. Không có deflation nào kể từ Great Depression trong bất kỳ thập kỷ nào, trong khi inflation rates là âm (-6.03%, -9.52% và -10.30%) lần lượt vào các năm 1930, 1931 và 1932. Tuy nhiên, inflation rates cực kỳ cao vào cuối thập niên 1970 và đầu thập niên 1980, với mức cao tới 13.31% vào năm 1979. Inflation rate dao động trong khoảng 1 đến 3% từ năm 1991 đến 2017.

Real Returns of Major US Asset Classes

Annual inflation rate có thể có sự khác biệt rất lớn, chẳng hạn dao động từ -10.30% đến +13.31% trong 92 năm qua, và do đó việc so sánh các giai đoạn khác nhau bằng nominal return không hiệu quả. Sẽ tốt hơn nếu xem xét real returns. Returns từ stocks, bonds và T-bills được trình bày theo giá trị thực, bắt đầu từ năm 1900, trong Exhibits 2 và 3.

• *Exhibit 2: Cumulative Returns for U.S. Asset Classes, Inflation Adjusted, 19

Nguồn: E. Dimson, P. Marsh và M. Staunton, Credit Suisse Global Investment Returns Yearbook 2018, Credit Suisse Research Institute (tháng 2 năm 2018). Biểu đồ trên được cập nhật hằng năm và có thể được xem tại trang web sau: https:// www .credit -suisse .com/ media/ assets/ corporate/ docs/ about -us/ media/ media -release/ 2018/ 02/ giry -summary

Như thể hiện trong Exhibit 2, khoản đầu tư $1 vào thị trường chứng khoán sẽ tăng lên$1,654, trong khi khoản đầu tư vào thị trường trái phiếu sẽ có giá trị $10.20 và khoản đầu tư vào T-bills sẽ có giá trị$2.60. Sự khác biệt về tăng trưởng giữa ba asset classes là rất lớn, mặc dù sự khác biệt về real returns có vẻ không lớn đến vậy: 6.5% mỗi năm đối với equities so với 2.0% mỗi năm đối với bonds. Sự khác biệt này là do sức mạnh của compounding trong 118 năm.

Exhibit 3 cung cấp dữ liệu về real returns của các asset classes. Chúng ta nên nhớ từ phần thảo luận trước rằng geometric mean luôn nhỏ hơn arithmetic mean. Trong trường hợp này, chúng ta đang phân tích geometric mean vì nó đưa ra estimate chính xác hơn về returns cho multiple holding periods so với arithmetic mean. Chúng ta có thể thấy rằng real returns của stocks cao hơn real returns của bonds.

• Exhibit 3: Real Returns and Risk Premiums for Asset Classes (1900-2017)*

|||Hoa Kỳ|||World|||World không bao gồm Hoa Kỳ| ||Asset|GM (%)|AM (%)|SD (%)|GM (%)|AM (%)|SD (%)|GM (%)|AM (%)|SD (%)| |Real|Equities|6.5|8.4|20.0|5.2|6.6|17.4|4.5|6.2|18.9| |Returns|Bonds|2.0|2.5|10.4|2.0|2.5|11.0|1.7|2.7|14.4| |Premiums|Equities vs. bonds|4.4|6.5|20.7|3.2|4.4|15.3|2.8|3.8|14.4|

Lưu ý: Tất cả returns đều tính theo % mỗi năm và được đo bằng US$. GM = geometric mean, AM = arithmetic mean, SD = standard deviation.

“World” bao gồm 21 quốc gia phát triển: Australia, Austria, Belgium, Canada, Denmark, Finland, France, Germany, Ireland, Italy, Japan, Netherlands, New Zealand, Norway, Portugal, South Africa, Spain, Sweden, Switzerland, United Kingdom và United States. Weighting dựa trên quy mô market capitalization tương đối của từng quốc gia. Xem nguồn để biết chi tiết về các phép tính.

Nguồn: Credit Suisse Global Investment Returns Sourcebook, 2018

Nominal and Real Returns of Asset Classes in Major Countries

Ngoài returns của Hoa Kỳ, real returns của các asset classes chủ yếu trên phạm vi World gồm 21 quốc gia và World không bao gồm Hoa Kỳ được trình bày trong Exhibit 3. Real returns của equities được tính bằng weightages dựa trên GDP của các quốc gia cho đến năm 1968 do không có dữ liệu market capitalization. Real returns được tính bằng market capitalization weightages của từng quốc gia kể từ năm 1968 trở đi. Tương tự, returns của bonds được xác định theo 21 country bond index; tuy nhiên, GDP được sử dụng để xác định weightages vì market capitalization weightage của stocks không áp dụng được cho bonds và market capitalizations của bonds không sẵn có.

Real geometric mean return của world stock index trong 117 năm qua là 5.2% và real geometric mean return của bonds là 2.0%. Real geometric mean return của World không bao gồm United States là 4.5% đối với stocks và 1.7% đối với bonds. Đối với cả stocks và bonds, returns kiếm được tại Hoa Kỳ cao hơn returns kiếm được ở World không bao gồm Hoa Kỳ. Hơn nữa, real returns của stocks và bonds tại United States cao hơn real returns của phần còn lại của World.

Risk of Major Asset Classes

Risk của các asset classes chủ yếu tại Hoa Kỳ trong giai đoạn 1926-2017 được thể hiện trong Exhibit 1, trong khi risk của các asset classes chủ yếu tại United States, World và World không bao gồm United States được thể hiện trong Exhibit 3 cho giai đoạn 1900-2017. Từ Exhibit 1, có thể thấy risk của US small company stocks là cao nhất, 31.7%, trong khi risk của US large company stocks là 19.8%. Risk của long term government bonds và long term corporate bonds tương đối thấp, lần lượt là 9.9% và 8.3%, trong khi treasury bills có risk thấp nhất, khoảng 3.1%.

Từ Exhibit 3, risk của world stocks là 17.4% và risk của world bonds là 11.0%. Risk của stocks thuộc World không bao gồm United States là 18.9%, trong khi risk của bonds thuộc World không bao gồm United States là 14.4%. Tầm quan trọng của diversification trở nên rõ ràng khi risk của World được so sánh với risk của Hoa Kỳ và risk của World không bao gồm Hoa Kỳ. Mặc dù risk của US stocks là 20.0% và risk của stocks thuộc World không bao gồm US là 18.9%, việc kết hợp chúng chỉ tạo ra risk 17.4% cho world stocks.

Portfolio Risk and Return: Part I

Risk–Return Trade-off

"Risk-return trade-off" là mối tương quan dương giữa risk và return kỳ vọng. Nói cách khác, không thể đạt được return cao hơn trong các efficient markets trong một khoảng thời gian dài mà không có mức risk cao hơn. Expected returns phải cao hơn đối với các risky assets.

Bằng chứng lịch sử được trình bày ở trên minh họa cho risk-return trade-off. Như thể hiện trong Exhibit 1, tại Hoa Kỳ, cổ phiếu của các công ty nhỏ có risk cao hơn và return cao hơn so với cổ phiếu của các công ty lớn. Cổ phiếu của các công ty lớn có returns và risks cao hơn so với long-term corporate bonds và government bonds. Bonds có returns và risks cao hơn Treasury bills. Tuy nhiên, một cách bất thường, long-term government bonds có total risk cao hơn long-term corporate bonds, mặc dù return của corporate bonds cao hơn một chút. Điều này không có nghĩa là long-term government bonds có default risk cao hơn, mà có nghĩa là mức độ biến động của chúng cao hơn so với corporate bonds trong giai đoạn lịch sử này.

Exhibit 3 minh họa rằng risk và return của stocks là cao nhất trong các asset classes, trong khi bonds có risk và return thấp hơn stocks tại Hoa Kỳ, trên toàn thế giới và trên toàn thế giới ngoại trừ Hoa Kỳ.

Một cách khác để minh họa risk-return trade-off là tập trung vào risk premium, tức phần return bổ sung mà các investors kiếm được để đổi lấy việc chấp nhận additional risks (đã điều chỉnh theo risk-free interest rate). Nominal risk premium được tính bằng chênh lệch giữa nominal risky return và nominal risk-free rate (bao gồm cả phần bù cho expected inflation và real risk-free interest rate). Real risk premium được tính bằng chênh lệch giữa real risky return và real risk-free rate. Worldwide equity risk premiums được minh họa ở cuối Exhibit 3 cho thấy equities có return cao hơn bonds. Equity investors có return cao hơn bond investors do risks của equities cao hơn.

Risk-return trade-off cũng có thể được minh họa một cách trực quan hơn thông qua Exhibit 2, trong đó cumulative returns của các US asset classes được trình bày theo real terms. Như thể hiện trong Exhibit 2, volatility của đường biểu diễn T-bills thấp hơn các đường khác. Sau khi điều chỉnh theo inflation, real return của T-bills bằng 0.8% mỗi năm. Volatility của đường biểu diễn bonds cao hơn đường biểu diễn T-bills nhưng thấp hơn stocks. Total return của equities, bao gồm dividends và capital gains, cho thấy một dollar được đầu tư vào đầu năm 1900 tăng lên thành $1,654 như thế nào (annualized return bằng 6.5% theo real terms).

Phân tích trong dài hạn hơn cho thấy risk cao hơn thực sự dẫn đến average returns cao hơn. Điều này hàm ý rằng, xét về market prices, hợp lý khi cho rằng risk cao hơn dẫn đến returns cao hơn trong dài hạn. Đây là một trong những đặc điểm của một risk-averse investor, sẽ được thảo luận ở Section 4 dưới đây.

3 CÁC ĐẶC ĐIỂM ĐẦU TƯ KHÁC

Mô tả các đặc điểm của những asset classes chủ yếu mà investors xem xét khi xây dựng portfolios

Khi chúng ta đánh giá investment chỉ bằng mean và variance (risk), trên thực tế chúng ta đang giả định hai điều: thứ nhất, returns của các investments có normal distribution và do đó chỉ được mô tả bởi mean và variance của chúng; và thứ hai, markets không chỉ informationally efficient mà còn operationally efficient. Trong chừng mực các giả định trên không đúng, chúng ta cũng phải xem xét các đặc điểm đầu tư khác. Điều này được thực hiện dưới đây.

Đặc điểm phân phối

Như đã được thảo luận trong một trong các readings trước, các đặc điểm chính của normal distribution bao gồm: mean và median bằng nhau; distribution được xác định hoàn toàn bởi hai đặc điểm - mean và variance; và nó đối xứng quanh mean với:

• 68% số quan sát nằm trong phạm vi ±1σ so với mean,

• 95% số quan sát nằm trong phạm vi ±2σ so với mean, và

• 99% số quan sát nằm trong phạm vi ±3σ so với mean.

Nếu chỉ sử dụng mean và variance, thì như vậy là đủ để mô tả return distribution nếu return distribution có normal distribution. Đáng tiếc là returns không có normal distribution vì sự sai lệch khỏi normality xảy ra cả do tính skewed của distribution và do xác suất xảy ra các extreme events cao hơn so với normal distribution. Loại sai lệch này được gọi là kurtosis hoặc "fat tail" của một return distribution. Các phần sau sẽ trình bày chi tiết hơn về những sai lệch này.

Skewness

• Skewness liên quan đến tính bất đối xứng của return distribution, hay nói cách khác, returns không được phân phối đối xứng quanh mean của chúng. Nếu return distribution tập trung nhiều hơn về phía bên phải, nó được gọi là left-skewed hoặc negatively skewed; ngược lại, nó được gọi là right-skewed hoặc positively skewed. Exhibit 4 cho thấy minh họa của cả hai loại skewness, trong khi Exhibit 5 cho thấy negative skewness của stock returns dưới dạng histogram của US large company stock returns trong giai đoạn 1926-2017.

Exhibit 4: Skewness

Phân phối lệch sang phải (Positively Skewed) Phân phối lệch sang trái (Negatively Skewed)

Nguồn: Được tái bản từ Fixed Income Readings for the Chartered Financial Analyst ® Program. Bản quyền thuộc CFA Institute.

Portfolio Risk and Return: Part I

Nguồn : 2018 SBBI Yearbook (Appendix A1).

Kurtosis

• Kurtosis biểu thị fat tails hoặc xác suất extreme returns cao hơn và dẫn đến risk tăng lên nhưng không được phản ánh trong mean-variance framework, như được minh họa trong Exhibit 6. Để đánh giá ảnh hưởng của kurtosis, investors sử dụng các kỹ thuật như value at risk (VaR) và conditional tail expectations.2 Một số market participants đã lưu ý rằng xác suất và quy mô của các extreme events bị đánh giá thấp đáng kể và đây là một trong những nguyên nhân chính của financial crisis năm 2008.3 Xác suất cao hơn của negative extreme returns trong trường hợp stocks cũng được thể hiện trong Exhibit 5.

2 Value at risk là một thước đo bằng tiền về mức losses tối thiểu được kỳ vọng của một portfolio trong một khoảng thời gian xác định tại một mức xác suất nhất định. Nó thường được sử dụng để đo lường losses mà một portfolio có thể chịu trong normal market conditions. Ví dụ, nếu one-day 10% VaR của một portfolio là £200,000, điều đó hàm ý có 10% xác suất giá trị của portfolio sẽ giảm hơn £200,000 trong một khoảng thời gian một ngày duy nhất (trong normal market conditions). Xác suất này hàm ý rằng portfolio sẽ chịu loss ít nhất £200,000 trong một trên mỗi mười ngày.

3 Ví dụ, xem Bogle (2008) và Taleb (2007).

Exhibit 6: Kurtosis

Nguồn : Được tái tạo từ Fixed Income Readings for the Chartered Financial Analyst® Program. © CFA Institute.

Đặc điểm thị trường

Trong phân tích ở trên, chúng ta đã giả định rằng markets vừa operationally efficient vừa informationally efficient. Mặc dù chủ đề về information efficiency của markets nằm ngoài phạm vi của reading này, chúng ta nên chỉ ra một số operational inefficiencies liên quan đến hoạt động của markets có ảnh hưởng đến investment decision making. Một trong những inefficiencies này là liquidity. Có ba yếu tố cấu thành cost of trading: brokerage commission, bid-ask spread và price impact. Liquidity ảnh hưởng đến hai yếu tố sau. Stocks có low liquidity có thể có bid-ask spread lớn. Bid-ask spread bằng chênh lệch giữa purchase price và selling price và thể hiện cost of trading một security. Bid-ask spread lớn làm tăng cost of trading. Ví dụ, nếu một stock có giá trị $100 và spread là 10 cents, thì bid-ask spread là 0.1$0.10/$100). Tuy nhiên, nếu spread là 10 cents và stock có giá trị$10, thì bid-ask spread là 1%. Rõ ràng, việc giao dịch stock thứ hai tốn kém hơn và investor cần kiếm thêm 0.9% so với stock $100.

Liquidity cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến price impact. Price impact về cơ bản là phản ứng của giá của một asset trên market đối với order. Trong hầu hết các trường hợp, các orders nhỏ có ảnh hưởng rất tối thiểu đến giá. Ví dụ, có một order mua 100 shares của một stock $100 có spread là 1 cent. Order này không ảnh hưởng đến giá. Tuy nhiên, một order 100,000 shares ảnh hưởng đến giá vì buyer sẽ phải thuyết phục nhiều stockholders hơn bán stock của họ. Mức độ mà giá bị ảnh hưởng phụ thuộc vào liquidity của stock. Chẳng hạn, một stock được giao dịch hàng triệu lần mỗi ngày sẽ chịu ảnh hưởng khác với một stock chỉ được giao dịch hàng nghìn lần. Investors, đặc biệt là institutional investors quản lý lượng tiền lớn, luôn phải xem xét liquidity của stock.

Liquidity là một vấn đề có mức độ liên quan lớn hơn tại các developing countries so với developed countries do trading volumes tại các markets này thấp hơn. Tương tự, liquidity là một vấn đề quan trọng hơn trong corporate bond market, đặc biệt là đối với bonds có mức thấp hơn

trong credit markets hơn là equity markets vì một đợt phát hành corporate debt cụ thể có thể không có trading activity trong nhiều ngày hoặc nhiều tuần. Điều này chắc chắn đã xảy ra trong global financial crisis.

Có một số attributes định hướng theo market khác có thể ảnh hưởng đến investment decisions, vì chúng có thể tạo thêm confidence vào securities hoặc có thể ảnh hưởng đến cost of doing business. Một số attributes này bao gồm analyst coverage, information availability, firm size, v.v. Các attributes của firms và financial markets là những phần quan trọng của investment decision process.

Risk aversion: giải thích khái niệm và các ảnh hưởng đến investment portfolio selection

Từ phân tích của chúng ta, có thể thấy stocks, bonds và T-bills tạo ra returns với các mức độ khác nhau và có các risks khác nhau đi kèm. Trong khi equity investment có thể phù hợp với một investor, một investor khác có thể không muốn chấp nhận risk liên quan đến một stock và thích nắm giữ nhiều cash hơn. Trong phần trước, chúng ta đã thảo luận về các đặc điểm đầu tư của một số assets nhằm phân tích risks và return đi kèm với chúng. Trong phần này, chúng ta thảo luận về các đặc điểm của investors, dù là individual investors hay institutional investors, nhằm ghép đúng loại investors với đúng loại investments.

Trước tiên, chúng ta thảo luận về risk aversion và utility theory. Chúng ta sẽ thảo luận về các hàm ý của ý tưởng này trong portfolio selection ở phần sau của section.

Khái niệm Risk Aversion

Ý tưởng về risk aversion liên quan đến hành vi của các cá nhân trong điều kiện uncertainty. Giả sử một cá nhân được đưa cho hai lựa chọn: một lựa chọn mà người đó chắc chắn nhận được £50 và một lựa chọn khác là một gamble với 50% khả năng nhận được £100 và 50% khả năng không nhận được gì. Expected value trong cả hai trường hợp đều là £50, một trường hợp chắc chắn và một trường hợp không chắc chắn. Investor sẽ chọn phương án nào? Có ba khả năng ở đây: investor chọn gamble, investor chọn £50 chắc chắn hoặc investor indifferent. Bây giờ, hãy xem xét chi tiết từng trường hợp. Xin lưu ý rằng đây chỉ là một ví dụ điển hình; một lựa chọn đơn lẻ của investor không thể xác định risk aversion của người đó.

Risk Seeking

Nếu nhà đầu tư chọn canh bạc, nhà đầu tư được xem là risk loving hoặc risk seeking. Canh bạc có khoản chi trả không chắc chắn, nhưng có cùng expected value với trường hợp chắc chắn. Do đó, khi nhà đầu tư chọn canh bạc, nhà đầu tư nhận được một phần “utility” bổ sung từ canh bạc. Utility bổ sung đó là gì và nhà đầu tư sẵn sàng hy sinh bao nhiêu về mặt expected value để đổi lấy utility bổ sung từ rủi ro? Đúng vậy, risk lovers sẽ chấp nhận returns thấp hơn vì rủi ro liên quan đến canh bạc. Ví dụ, một risk lover sẽ chọn một canh bạc có expected payoff là £45 thay vì một khoản chi trả chắc chắn là £50.

Ai cũng có một chút tính cờ bạc. Mọi người mua vé số ngay cả khi expected payoff thấp hơn số tiền họ phải trả để mua vé. Hoặc mọi người đánh bạc tại casino mặc dù expected return của họ là âm, một đặc điểm của risk lovers. Tuy nhiên, những ví dụ riêng lẻ này không thể được chấp nhận là đúng với bất kỳ ai, ngoại trừ compulsive gamblers.

Risk Neutral

Nếu một nhà đầu tư thờ ơ giữa việc đánh bạc và một khoản lợi nhuận được đảm bảo, thì người đó có thể là risk neutral. Risk neutral có nghĩa là nhà đầu tư chỉ chú ý đến return mà không chú ý đến rủi ro; do đó, các khoản đầu tư có returns cao hơn được ưu tiên bất kể rủi ro cao hơn. Một số nhà đầu tư có thể thể hiện các đặc điểm của risk neutrality khi khoản đầu tư đang được xem xét chỉ chiếm một phần không đáng kể trong wealth của họ. Ví dụ, một billionaire có thể thờ ơ giữa việc chọn canh bạc hoặc khoản lợi nhuận được đảm bảo là £50.

Risk Averse

Nếu một nhà đầu tư chọn khoản lợi nhuận được đảm bảo, người đó được gọi là risk averse, vì nhà đầu tư không muốn mạo hiểm mất tất cả. Tùy thuộc vào mức độ risk averse của nhà đầu tư, người đó có thể chấp nhận khoản lợi nhuận được đảm bảo là £45 thay vì khoản lợi nhuận từ canh bạc có expected value là £50.

Nhìn chung, các nhà đầu tư có xu hướng tránh các khoản đầu tư rủi ro để đổi lấy return thấp hơn nhưng được đảm bảo. Đó là lý do họ muốn tối thiểu hóa rủi ro với một mức return nhất định và tối đa hóa return với một mức rủi ro nhất định. Risk-return trade-off được mô tả ở trên là dấu hiệu của risk aversion. Nếu nhà đầu tư là risk neutral, người đó sẽ chọn return tối đa bất kể rủi ro, và nếu nhà đầu tư là risk seeking, người đó sẽ chọn rủi ro và return tối đa.

Dữ liệu được cung cấp trong phần trước cho thấy rõ mối quan hệ tích cực giữa risk và return trong lịch sử; do đó, điều này cho thấy giá trên thị trường được xác định bởi các giao dịch do các nhà đầu tư risk-averse thực hiện và phản ánh risk aversion. Vì mục đích thực hành và thảo luận thêm, chúng ta sẽ giả định rằng representative investor là một nhà đầu tư risk-averse. Đây là cách tiếp cận được chấp nhận rộng rãi trong lĩnh vực đầu tư trên toàn thế giới.

Risk Tolerance

• Risk tolerance* là mức rủi ro mà một nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận để đạt được investment goal. Risk tolerance cao hơn có nghĩa là sẵn sàng chấp nhận rủi ro. Do đó, risk tolerance có mối quan hệ nghịch với risk aversion.

mô tả risk aversion và cách nó ảnh hưởng đến việc lựa chọn portfolio

Vẫn sử dụng minh họa tương tự, nhà đầu tư risk-averse sẽ gán giá trị cao hơn cho giá trị chắc chắn £50 so với giá trị không chắc chắn có expected value là £50. Sẽ đúng khi nói rằng utility mà một nhà đầu tư nhận được từ giá trị chắc chắn £50 sẽ cao hơn utility mà người đó nhận được từ phương án còn lại. Nói chung, utility là thước đo mức độ thỏa mãn liên quan đến việc tiêu dùng các hàng hóa và dịch vụ khác nhau, hoặc trong đầu tư, đó là sự thỏa mãn của nhà đầu tư từ portfolio các khoản đầu tư của người đó.

Với sự khác biệt về sở thích giữa các cá nhân, có thể không phải tất cả các cá nhân risk-averse đều có cùng thứ tự ưu tiên đối với các khoản đầu tư thay thế. Trong trường hợp canh bạc £50, tất cả các cá nhân risk-averse sẽ thích £50 chắc chắn hơn canh bạc. Nhưng giả sử kết quả chắc chắn là £40 thay vì £50. Một số cá nhân có thể cảm thấy số tiền £40 là quá nhỏ, trong khi một số người khác có thể thích canh bạc.

Portfolio Risk and Return: Part I

Việc áp dụng đơn giản utility theory giúp chúng ta xác định thứ hạng của các khoản đầu tư thông qua việc xem xét risk và returns. Sau đây là một số đặc điểm cá nhân mà chúng ta xem xét khi giải thích khái niệm utility như được thể hiện trong phương trình dưới đây. Các nhà đầu tư được cho là risk averse. Họ sẽ luôn thích nhiều hơn là ít hơn (return lớn hơn thay vì return nhỏ hơn). Họ cũng có khả năng sắp xếp các portfolio khác nhau theo sở thích của mình và thứ hạng đó là nhất quán. Nếu một người thích X hơn Y và Y hơn Z, thì người đó phải thích X hơn Z. Đặc điểm như vậy có nghĩa là các indifference curves (xem Exhibit 7) của cùng một người không thể cắt hoặc giao nhau. Sau đây là một ví dụ về utility function

trong đó U là utility từ khoản đầu tư, E(r) là expected return của khoản đầu tư, và σ2 là variance của khoản đầu tư.

Trong phương trình trên, A là thước đo risk aversion và được xác định bởi marginal benefit mà một nhà đầu tư nhận được từ việc chấp nhận thêm rủi ro. Risk aversion càng cao thì marginal benefit mà nhà đầu tư cần để chấp nhận thêm rủi ro càng cao. Vì vậy, A cao hơn có nghĩa là risk aversion cao hơn. Như đã nêu trước đó, một người risk neutral sẽ tối đa hóa gains của mình bất kể rủi ro liên quan và một người risk seeking tối đa hóa cả hai.

Dựa trên utility function, có thể đưa ra một số kết luận. Trước hết, utility không bị giới hạn ở cả hai phía. Utility có thể có các giá trị cực kỳ cao, dương hoặc âm. Thứ hai, returns cao hơn dẫn đến utility cao hơn. Mặt khác, variance cao hơn làm giảm utility, và giá trị utility thấp hơn được khuếch đại do risk aversion coefficient, A. Có những cách để làm cho utility cao hơn dù chỉ một chút bằng cách đạt được return cao hơn hoặc giảm rủi ro. Tuy nhiên, giá trị utility không cho biết bất cứ điều gì về mức độ thỏa mãn mà một người có. Giá trị utility có thể được sử dụng để so sánh các dự án đầu tư khác nhau. Ví dụ, một dự án đầu tư có giá trị utility là 4 không tốt hơn gấp đôi dự án có giá trị utility là 2. Dự án có giá trị utility là 4 có thể mang lại mức tăng sự thỏa mãn gấp mười lần hoặc chỉ tăng không đáng kể. Tuy nhiên, chúng ta chắc chắn thích dự án thứ nhất hơn dự án thứ hai. Utility không thể được sử dụng để so sánh con người hoặc nhà đầu tư vì đây là một đặc điểm quá cá nhân. Xét từ góc độ xã hội, với cùng lập luận đó, utility không thể được cộng gộp giữa mọi người.

Hãy đi sâu hơn vào khái niệm utility function. Trong trường hợp các nhà đầu tư risk-averse, giá trị của risk aversion coefficient, A , là dương; do đó, bất kỳ sự gia tăng nào của risk đều làm giảm utility của họ. Mặt khác, giá trị risk aversion coefficient của một cá nhân risk-neutral là 0; vì vậy, các biến động về risk không ảnh hưởng đến utility của người đó. Risk aversion coefficient của một risk lover là âm, và do đó sẽ có tình huống ngược lại, trong đó bất kỳ sự gia tăng nào của risk đều làm tăng utility của người đó.

Indifference Curves

indifference curve mô tả tập hợp các tổ hợp risk/return mà một nhà đầu tư có thể chấp nhận để duy trì utility của mình ở một mức nhất định (nghĩa là mỗi tập hợp tổ hợp trong một đường cong cụ thể được nhà đầu tư xem là tương đương nhau về tổng giá trị utility). Do đó, định nghĩa của indifference curve gắn liền với sự đánh đổi giữa expected rate of return và variance của return. Do có bản chất gồm vô số tổ hợp, tập hợp này không thể có sự gián đoạn ở bất kỳ đâu.

Exhibit 7: Indifference Curves for Risk-Averse Investors

Một số indifference curves được thể hiện trong Exhibit 7 dưới đây. Theo định nghĩa của indifference curve, tất cả các điểm nằm trên bất kỳ một trong ba indifference curves đều mang lại cùng utility. Một nhà đầu tư thờ ơ giữa Point a và Point b nằm trên Indifference Curve 1. Điều này là do Point a ít rủi ro hơn và mang lại return thấp hơn so với Point b, nhưng utility là bằng nhau do rủi ro cao hơn của Point b.

Tương tự Curve 1, tất cả các điểm trên Curve 2 có utility bằng nhau và một nhà đầu tư thờ ơ bất kể người đó ở điểm nào trên Curve 2. Bây giờ hãy xem xét Points c và b. Point c có cùng mức risk với Point b, nhưng đồng thời có return thấp hơn nhiều so với Point b. Từ nhận định trước đó, suy ra utility tại Point c thấp hơn utility tại Point b. Vì tất cả các điểm trên Curve 1 có cùng utility, tất cả các điểm trên Curve 2 có cùng utility và utility tại Point b cao hơn utility tại Point c, utility trên Curve 1 cao hơn trên Curve 2. Do đó, một nhà đầu tư risk-averse có indifference Curves 1 và 2 sẽ thích Curve 1 hơn Curve 2. Utility của một nhà đầu tư risk-averse luôn tăng khi chúng ta di chuyển về phía tây bắc - return tăng với mức risk thấp hơn.

Indifference curve của các nhà đầu tư risk-averse dốc lên từ tây nam đến đông bắc do sự đánh đổi giữa risk và return. Nếu mức risk tăng lên (di chuyển sang phía đông) thì phải được đền bù bằng mức return cao hơn (di chuyển lên phía bắc) để đạt được cùng mức utility. Các indifference curves thể hiện tính convexity do diminishing marginal utility của return (wealth). Khi risk tăng lên, một nhà đầu tư cần mức return cao hơn để bù đắp cho mức risk cao hơn với tốc độ tăng dần (tức là độ dốc của đường cong trở nên lớn hơn). Indifference curve lồi và dốc lên có slope coefficient rất gần với risk aversion coefficient.

Các đồ thị của Indifference curves của các nhà đầu tư có các mức độ risk aversion khác nhau được trình bày trong Exhibit 8. Nhà đầu tư có mức risk aversion cao nhất có indifference curve với độ dốc lớn nhất. Trong trường hợp risk tăng, nhà đầu tư như vậy sẽ yêu cầu mức bù đắp lớn hơn về returns. Nhà đầu tư có mức risk aversion thấp có indifference curve với độ dốc nhỏ hơn. Đồ thị indifference curve của một nhà đầu tư risk-loving có độ dốc âm.

Portfolio Risk and Return: Part I

Return. Đối với risk-lovers, utility function sẽ tăng khi mức risk cao và mức returns cao. Cuối cùng, indifference curves của các cá nhân risk-neutral là các đường nằm ngang vì utility không phụ thuộc vào risk.

Exhibit 8: Indifference Curves for Various Types of Investors

Trong phần còn lại của bài đọc này, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các nhà đầu tư đều risk-averse trừ khi có nêu rõ khác đi.

EXAMPLE 1

So sánh một canh bạc với một kết quả được đảm bảo

Giả sử bạn được cung cấp một khoản đầu tư có expected return là 10% và standard deviation là 20% và coefficient of risk aversion của bạn là 3.

1. Utility của bạn từ khoản đầu tư này là bao nhiêu?

Solution:

• U = 0.10 − 0.5 × 3 × 0.202 = 0.04.

2. Minimum risk-free rate phải là bao nhiêu để mang lại cho bạn cùng mức utility?

Solution:

Vì σ của risk-free rate bằng 0, số hạng thứ hai trở nên không cần thiết. Để bạn đạt được cùng mức utility (0.04), risk-free rate phải không thấp hơn 4%. Do đó, đối với bạn, một risky rate là 10% tương đương với một risk-free rate hoặc một guaranteed return là 4%.

VÍ DỤ 2

Tính toán Utility

Sử dụng thông tin đầu tư dưới đây và công thức cho utility U = E ( r ) − 0.5 A σ2, hãy giải các bài toán sau. Cả return và standard deviation đều được biểu thị theo % mỗi năm. Tuy nhiên, khi tính utility của một khoản đầu tư, return và standard deviation phải được biểu thị dưới dạng số thập phân.

1. Nhà đầu tư risk-averse có coefficient of risk aversion bằng 4 sẽ chọn khoản đầu tư nào? Nhà đầu tư risk-averse có coefficient of risk aversion bằng 2 sẽ chọn khoản đầu tư nào?

Lời giải:

Utility của nhà đầu tư risk-averse với A = 4 và A = 2 đối với từng khoản trong bốn khoản đầu tư được trình bày trong bảng sau. Phép tính cho Khoản đầu tư 1 với A = 4 được trình bày dưới đây: U = 0.12 − 0.5 × 4 × 0.302 = –0.06.

|Khoản đầu tư|Expected ReturnE(r)|Standard Deviation σ|Utility****A = 4|Utility****A = 2| |1|12%|30%|−0.0600|0.0300| |2|15|35|−0.0950|0.0275| |3|21|40|−0.1100|0.0500| |4|24|45|−0.1650|0.0375|

Nhà đầu tư risk-averse có risk aversion coefficient bằng 4 nên chọn Khoản đầu tư 1. Nhà đầu tư risk-averse có risk aversion coefficient bằng 2 nên chọn Khoản đầu tư 3.

2. Nhà đầu tư risk-neutral sẽ chọn khoản đầu tư nào?

Lời giải:

Nhà đầu tư risk-neutral chỉ chú ý đến return. Đó là lý do risk aversion coefficient của họ bằng 0. Do đó, nhà đầu tư risk-neutral sẽ ưu tiên Khoản đầu tư 4 vì khoản này mang lại return cao nhất.

3. Nhà đầu tư risk-loving sẽ chọn khoản đầu tư nào?

Lời giải:

Nhà đầu tư risk-loving thích cả risk cao và return cao. Nói cách khác, risk aversion coefficient đối với nhà đầu tư risk-loving là âm. Do đó, nhà đầu tư risk-loving sẽ ưu tiên Khoản đầu tư 4 vì khoản này mang lại return cao nhất và risk cao nhất trong bốn khoản đầu tư.

giải thích risk aversion và các hệ quả của nó đối với portfolio construction; giải thích việc lựa chọn optimal portfolio, dựa trên utility (hoặc risk aversion) của nhà đầu tư và capital allocation line

Việc sử dụng cơ bản của utility theory và risk aversion là để xác định expected return của two-asset portfolio bao gồm một risk-free asset và một risky asset. Risk-free asset là asset có risk bằng 0 và return là Rf . Risky asset là asset có risk là σ i (> 0) và expected return là E ( Ri ). Vì risky asset có risk cao hơn so với risk-free asset, expected return của risky asset cao hơn return của risk-free asset; tức là E ( Ri ) > Rf .

Portfolio gồm hai asset này có thể được hình thành bằng cách sử dụng các công thức sau cho portfolio expected return và portfolio risk. Trong các phương trình dưới đây, w 1 là weight của risk-free asset và (1 − w 1) là weight của risky asset. Vì variance của risk-free asset σ f = 0, số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba của phương trình trở thành 0, chỉ còn lại số hạng thứ hai. Ta có phương trình dưới đây bằng cách lấy căn bậc hai của phương trình trên. Điều này cho ta biểu thức cho standard deviation của two-asset portfolio khi một asset là risk-free:

Two-asset portfolio được minh họa trong Exhibit 9 với w1 thay đổi từ 0% đến 100%. Trục hoành biểu thị portfolio standard deviation, trong khi trục tung biểu thị portfolio expected return. Nếu hai asset này là những asset duy nhất có sẵn trong nền kinh tế, với risky asset là market, thì đường trong Exhibit 9 trở thành capital allocation line . Capital allocation line biểu thị tập hợp các portfolio có sẵn cho nhà đầu tư. Phương trình của capital allocation line có thể được suy ra từ hai phương trình trên bằng cách viết lại σp_ trong phương trình thứ hai thành w 1 = 1 − σi. Thay w 1vào phương trình của expected return, ta thu được phương trình sau cho capital allocation line:

Phương trình có thể được viết lại dưới dạng có thể sử dụng sau:

_( E ( Ri ) − Rf ) Giao điểm của capital allocation line là Rf trong khi độ dốc của nó là σi ; return bổ sung cần thiết cho mỗi đơn vị tăng thêm của risk, còn được gọi là market price of risk.

Exhibit 9: Capital Allocation Line with Two Assets

Vì phương trình là tuyến tính, đồ thị của capital allocation line sẽ là một đường thẳng. Đường này bắt đầu với risk-free asset là điểm ngoài cùng bên trái trên đồ thị, nơi risk bằng 0 và return là Rf. Trong trường hợp này, portfolio chỉ có risk-free asset. Nhưng nếu 100% được đầu tư vào portfolio gồm toàn bộ risky asset, ta thu được E ( Ri ) là return và σ i là risk.

Di chuyển xa hơn trên đường để đạt được return cao hơn, chúng ta có thể vay tiền tại risk-free interest rate và đầu tư vào risky portfolio. Ví dụ, nếu vay 50% tại risk-free interest rate, w1 = –0.50 và 150% được đầu tư vào risky asset, thì return bằng 1.50 E ( Ri ) – 0.50 Rf , lớn hơn E ( Ri ), vì E ( Ri ) > Rf .

Do đó, đồ thị được trình bày trong Exhibit 9 cho thấy số lượng không giới hạn các tổ hợp risk và return hoặc portfolio. Khi đó, câu hỏi đặt ra là portfolio duy nhất nào trong số này là optimal đối với nhà đầu tư? Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta nên kết hợp các đồ thị của indifference curves thu được bằng utility theory với capital allocation line thu được bằng portfolio theory. Utility theory cung cấp cho chúng ta utility function hoặc indifference curves của các cá nhân, như được thể hiện trong Exhibit 9, trong khi capital allocation line cung cấp cho chúng ta tập hợp các khoản đầu tư khả thi. Do đó, bằng cách chồng đồ thị các indifference curves của từng nhà đầu tư lên capital allocation line, chúng ta có thể tìm được optimal portfolio cho nhà đầu tư. Điều này được trình bày trong Exhibit 10.

Exhibit 10: Portfolio Selection

Capital allocation line là tập hợp tất cả các portfolio khả thi. Các điểm nằm dưới capital allocation line là khả thi nhưng không được bất kỳ nhà đầu tư nào ưa thích, vì nhà đầu tư có thể đạt được return cao hơn với cùng mức risk bằng cách dịch chuyển lên capital allocation line phía trên. Các điểm nằm trên capital allocation line là đáng mong muốn nhưng không khả thi với các asset sẵn có.

Ba indifference curves của cùng một người cũng được minh họa trong Exhibit 10. Curve 1 nằm phía trên capital allocation line, Curve 2 tiếp xúc với đường này, và Curve 3 cắt đường này tại hai điểm. Curve 1 mang lại utility cao nhất trong khi Curve 3 mang lại mức utility thấp nhất. Vì Curve 1 nằm hoàn toàn phía trên capital allocation line, các điểm trên Curve 1 không thể đạt được bằng cách sử dụng các asset trên capital allocation line. Các điểm mà Curve 3 cắt capital allocation line được ký hiệu là Điểm a và b . Nhà đầu tư có thể đầu tư tại Điểm a hoặc b để đạt được risk-return trade-off và utility do Curve 3 mang lại. Khi so sánh các điểm có mức risk tương tự, có thể thấy rõ rằng Điểm n trên Curve 3 có cùng mức risk với Điểm m trên Curve 2 nhưng Điểm m có expected return cao hơn. Đây là lý do tại sao tất cả nhà đầu tư đều sẽ thích chọn Curve 2 hơn Curve 3. Curve 2 tiếp xúc với capital allocation line tại Điểm m . Điểm m nằm trên capital allocation line và có thể đầu tư được. Điểm m và utility thu được từ Curve 2 là điều tốt nhất mà nhà đầu tư có thể đạt được vì nhà đầu tư không thể chuyển sang indifference curve có utility cao hơn. Do đó, chúng ta có thể lựa chọn optimal portfolio cho nhà đầu tư bằng cách xem xét ba indifference curves. Điểm m, vốn là optimal portfolio của một nhà đầu tư, có thể không phải là optimal portfolio của một nhà đầu tư khác. Chúng ta có thể áp dụng cùng phương pháp để tìm optimal portfolio của bất kỳ nhà đầu tư nào: optimal portfolio là điểm tiếp xúc giữa capital allocation line và indifference curve của nhà đầu tư đó. Nói cách khác, optimal portfolio tối đa hóa return trên mỗi đơn vị risk (vì nó nằm trên capital allocation line), đồng thời cung cấp cho nhà đầu tư mức độ hài lòng cao nhất (utility).

Ví dụ, trong Exhibit 11, chúng ta có hai indifference curves của hai nhà đầu tư khác nhau: Kelly, người có risk aversion coefficient là 2, và Jane, người có risk aversion coefficient là 4. Indifference curve của Kelly nằm về bên phải indifference curve của Jane vì Kelly ít risk-averse hơn Jane và có thể chấp nhận nhiều risk hơn, tức là cô ấy có risk tolerance cao hơn. Do đó, optimal portfolio của họ sẽ khác nhau:

Điểm k là optimal portfolio của Kelly và Điểm j là optimal portfolio của Jane. Hơn nữa, với cùng một mức return, độ dốc của indifference curve của Jane lớn hơn của Kelly, ngụ ý rằng Jane yêu cầu mức tăng return lớn hơn để bù đắp cho việc chấp nhận additional risk so với Kelly.

Exhibit 11: Portfolio Selection for Two Investors with Various Levels of Risk Aversion

tính toán và diễn giải mean, variance và covariance (hoặc correlation) của asset returns dựa trên historical data

tính toán và diễn giải portfolio standard deviation

trình bày điều gì xảy ra với risk trong investment portfolio khi có correlation thấp hơn perfect correlation giữa các asset

Rõ ràng là các nhà đầu tư không thích risk và yêu cầu return cao hơn từ risky asset. Điều này khiến các phương pháp giảm portfolio risk mà không làm thay đổi portfolio return trở nên rất hữu ích. Là nền tảng của risk management, chương này tập trung vào việc giải thích và phân tích các yếu tố của risk trong portfolio. Cụ thể, chương này tập trung thảo luận và giải thích cách diversified portfolio làm giảm risk.

Portfolio of Two Risky Assets

Return và risk của two-asset portfolio đã được thảo luận trong Sections 2-3 của reading này. Trong phần này, chúng ta sẽ xem lại quá trình tính return và xây dựng dựa trên sự hiểu biết về portfolio risks và các thành phần của chúng.

Portfolio Return

Nếu nhiều asset kết hợp lại để tạo thành một portfolio, chúng ta có thể tính portfolio return dưới dạng weighted average của các return trong portfolio. Portfolio return đơn giản là weighted average của return của từng asset trong portfolio. Ví dụ, nếu Asset 1 tạo ra return là 20% và chiếm 25% tổng khoản đầu tư trong portfolio, thì portfolio return sẽ là 5% (= 25% * 20%). Về mặt toán học, nếu Asset i tạo ra return là Ri và weight của nó trong portfolio là wi, thì portfolio return, RP, là:

Hãy lưu ý rằng tổng các weight này phải bằng 1 vì các khoản đầu tư được đưa vào portfolio, bao gồm cả cash, phải bao phủ 100% khoản đầu tư. Ngoài ra, hãy lưu ý rằng đây là one-period returns, do đó sẽ không có cash flows nào xảy ra trong kỳ.

Return của một portfolio bao gồm hai individual stocks có thể được tính bằng cách sử dụng khái niệm weighted average return như sau. Hãy xét hai stocks là Stock 1 và Stock 2 có weight lần lượt là 25% và 75%. Giả sử return của chúng lần lượt là 20% và 5%. Weighted average return = (0.25 × 20%) + (0.75 × 5%) = 8.75%. Công thức tổng quát để tính return của portfolio có thể được biểu diễn như sau, trong đó Rp biểu thị return của portfolio, w 1 và w 2 biểu thị weight của hai stocks và R 1, R 2 lần lượt biểu thị return của hai stocks.

Portfolio Risk

Cũng như return của một portfolio có thể được tính toán, variance của một portfolio cũng có thể được tính toán. Trong khi return của một portfolio chỉ đơn thuần là weighted sum của return của từng asset riêng lẻ, điều tương tự không đúng đối với standard deviation của một portfolio (trừ khi correlation bằng một). Variance có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát cho N assets trong một portfolio như sau:

Hãy nhớ rằng tổng các weights bằng 1. Vế phải của công thức trên là variance của weighted returns của từng security. Weight là một hằng số, trong khi return là một biến có variance được biểu diễn bằng Var( Ri ). Công thức trên có thể được viết lại như sau. Vì covariance của một asset với chính nó chính là variance của nó, công thức trên trở thành:

Covariance của returns (Cov( Ri , Rj )) đề cập đến covariance của returns Ri và Rj. Nó có thể được biểu diễn theo correlation của hai returns (ρ1,2) và standard deviation của hai securities. Do đó, Cov( Ri , Rj ) = ρ ij σ i σ j .

Đối với trường hợp hai assets, công thức tính portfolio variance được đơn giản hóa như dưới đây với việc sử dụng covariance và correlation:

Standard deviation của một two asset portfolio là căn bậc hai của variance của portfolio:

hoặc,

σP = √___________________________ w_ 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2 w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2

VÍ DỤ 3

Return and Risk of a Two-Asset Portfolio

1. Bây giờ, giả sử bạn đã quyết định, với tư cách là một US investor, xây dựng một portfolio bao gồm 80% investment vào S&P 500 US stock index và 20% investment vào MSCI Emerging Markets index. expected return của S&P 500 index là 9,93% và của Emerging Markets index là 18,20%. Risk hay standard deviation của S&P 500 index là 16,21% và của Emerging Markets index là 33,11%. expected return và risk của portfolio sẽ là bao nhiêu nếu covariance giữa S&P 500 và Emerging Markets index là 0,5% hay 0,0050? Lưu ý rằng đơn vị của covariance và variance được viết là %2 nếu không được viết dưới dạng fraction. Chúng là các đơn vị đo lường tương tự như square feet nhưng các số không được bình phương.

Lời giải:

Portfolio return, RP = w 1 R 1 + (1 − w 1), R 2 = (0.80 × 0.0993) + (0.20 × 0.1820) = 0.1158 = 11.58%.

Portfolio expected return là 11,58% và portfolio risk là 15,10%. Hãy xem kỹ ví dụ này. Ví dụ này cho chúng ta biết rằng chúng ta có thể kết hợp portfolio của một US investor chỉ nắm giữ S&P 500 index với một portfolio rủi ro hơn gồm các Emerging Markets securities, và không những return của US investor tăng từ 9,93% lên 11,58% mà risk của portfolio còn giảm từ 16,21% xuống 15,10%. Exhibit 12 minh họa cách kết hợp hai assets cải thiện risk-return trade-off. Trong trường hợp này, investor không chỉ nhận được return cao hơn mà còn nhận được return đó với risk thấp hơn. Đây là hiệu ứng của diversification mà bạn sẽ tìm hiểu sau trong phần reading này.

Portfolio Risk and Return: Part I

Exhibit 12: Combination of Two Assets

Covariance and Correlation

Covariance trong phương trình về portfolio standard deviation có thể được viết lại thành Cov( R 1, R 2) = ρ12σ1σ2, trong đó ρ12 là correlation coefficient giữa returns R 1, R 2. Mặc dù covariance rất hữu ích, nó khó diễn giải vì không bị chặn ở cả hai phía. Việc diễn giải correlation coefficient (ρ12) đơn giản hơn vì nó bị chặn nhưng vẫn cung cấp thông tin tương tự.

Correlation được sử dụng để đánh giá mức độ tương đồng trong hành vi của hai investments. Correlation coefficient, được ký hiệu là ρ12, có thể nhận giá trị dương hoặc âm và biến thiên trong khoảng từ -1 đến +1. Dưới đây là ba trường hợp khác nhau của correlation coefficients giữa hai assets:

• ρ12 = +1: Có perfect positive correlation giữa returns của hai assets. Asset 1 và Asset 2 có hành vi tương tự nhau 100% thời gian.

• ρ12 = -1: Có perfect negative correlation giữa returns của hai assets. Asset 1 và Asset 2 có hành vi ngược chiều nhau 100% thời gian.

• ρ12 = 0: Không có correlation giữa returns của hai assets. Biến động của Asset 1 không giúp dự đoán biến động của Asset 2.

Correlation coefficient giữa hai assets cho thấy việc kết hợp hai assets này với nhau ảnh hưởng như thế nào đến mức độ risk của portfolio. Hãy xem xét hai giá trị khác nhau của ρ12 và phân tích portfolio risk trong cả hai trường hợp. Bạn sẽ nhận thấy rằng portfolio risk không thay đổi nếu hai assets có perfect positive correlation (ρ12 = +1). Nghĩa là portfolio risk chỉ là weighted average của risk của hai assets và không phụ thuộc vào việc thêm các assets có các risk parameters giống hệt nhau vào portfolio. Tuy nhiên, nếu ρ12 < +1, portfolio risk giảm. Một số giá trị nhất định của correlation coefficient có thể khiến portfolio trở nên riskless.

Đầu tiên, đặt ρ12 = +1

Trước hết, lưu ý rằng trong phương trình trên, các hạng tử ở vế phải bao gồm các hạng tử tiêu chuẩn liên quan đến portfolio risk. Vì correlation coefficient bằng 1, vế phải của phương trình có thể được viết thành một perfect square. Theo đó, dòng thứ ba cho thấy portfolio risk bằng weighted sum của risks của từng asset riêng lẻ. Như chúng ta đã trình bày ở trên, portfolio return là weighted sum của returns của từng asset riêng lẻ. Vì risk và return bằng weighted sums của hai assets trong portfolio, không có sự giảm risk khi ρ12 = +1.

Bây giờ, đặt ρ12 < +1

Do đó, phân tích trên cho thấy portfolio risk bằng weighted sum của risks của từng asset riêng lẻ khi ρ12 = +1. Tuy nhiên, khi ρ12 < +1, portfolio risk thấp hơn weighted sum của individual risks.

Để chứng minh phát biểu cuối cùng, chúng ta cần viết công thức của portfolio risk. Công thức này được trình bày trong các hạng tử ở vế trái của dấu "<" bên dưới. Hạng tử ở bên phải của dấu "<" biểu thị portfolio risk khi ρ12 = +1:

Vế trái thấp hơn vế phải vì correlation coefficient ở vế trái nhỏ hơn 1. Do đó, portfolio risk thấp hơn weighted average của risks nhưng portfolio return vẫn là weighted average của returns.

Theo cách này, portfolio risk được giảm nhờ việc kết hợp hai assets không có perfect correlation. Portfolio risk sẽ được loại bỏ hoàn toàn nếu ρ12 = -1.

VÍ DỤ 4

Effect of Correlation on Portfolio Risk

Có hai assets có returns và risks giống nhau, lần lượt là return 10% và risk 20%. Portfolio được hình thành bằng cách sử dụng 50% Stock 1 và 50% Stock 2 để phân tích effects của correlation.

1. Tính portfolio return và risk với giả định correlation là 1,0.

Lời giải:

R 1 = R 2 = 10 % = 0.10; σ 1 = σ 2 = 20 % = 0.20; w 1 = w 2 = 50% = 0.50. Trường hợp 1: ρ 12 = + 1 Rp = w 1 R 1 + w 2 R 2 Rp =( 0.5 × 0.1) +( 0.5 × 0.1) = 0.10 = 10% _σp_2 = w 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2 w 1 w 2 σ 1 σ 2 ρ 12 σp_2 =( 0.52 × 0.22) +( 0.52 × 0.22) +( 2 × 0.5 × 0.5 × 0.2 × 0.2 × 1) = 0.04 σp = √ 0.04 = 0.20 = 20%

Công thức này xác nhận ý tưởng trước đó rằng trong trường hợp correlation bằng 1,0, risk của portfolio bằng risk của từng securities riêng lẻ.

2. Tính portfolio return và risk nếu correlation là 0,0. Lời giải: ρ 12 = 0 Rp = w 1 R 1 + w 2 R 2 = 0.10 = 10% _σp_2 = w 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2 w 1 w 2 σ 1 σ 2 ρ 12 σp_2 =( 0.52 × 0.22) +( 0.52 × 0.22) +( 2 × 0.5 × 0.5 × 0.2 × 0.2 × 0) = 0.02 σp = √ 0.02 = 0.14 = 14%

Công thức này là bằng chứng cho quan sát trước đó rằng, bất cứ khi nào có hai assets có correlations dưới 1,0, chúng có thể được kết hợp để hình thành một portfolio có risks thấp hơn so với các assets riêng lẻ.

3. Tính return on investment và risk khi correlation là -1,0. Lời giải:

ρ 12 = − 1 Rp = w 1 R 1 + w 2 R 2 = 0.10 = 10% _σp_2 = w 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2 w 1 w 2 σ 1 σ 2 ρ 12 _σp_2 =( 0.52 × 0.22) +( 0.52 × 0.22) +( 2 × 0.5 × 0.5 × 0.2 × 0.2 × − 1) = 0 σp = 0%

Biểu thức trên chứng minh rằng nếu correlation giữa các assets đủ thấp - trong trường hợp này là -1,00 (có mối quan hệ nghịch chiều), có thể hình thành một portfolio hoàn toàn không có risk. Các individual assets vẫn sẽ mang risk, nhưng portfolio sẽ hoàn toàn risk-free.

4. Hãy xem xét expected return và risk của các portfolios có correlations khác nhau. Lời giải:

Ở đây, expected return là 10% trong cả ba trường hợp; tuy nhiên, có volatility trong returns ở Trường hợp 1, và volatility là thấp nhất ở Trường hợp 3. Trong Trường hợp 1, không có diversification của risk (risk vẫn là 20% như trước), nhưng return là như nhau. Trong Trường hợp 2, khi correlation coefficient bằng 0, chúng ta đã đạt được diversification của risk (risk hiện là 14% thay vì 20%), một lần nữa với cùng return. Cuối cùng, trong Trường hợp 3, khi correlation coefficient bằng -1, portfolio là risk-free, mặc dù chúng ta vẫn kiếm được cùng return là 10%. Như vậy, điều này cho thấy effectiveness của diversification, mà chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn trong phần tiếp theo.

Relationship between Portfolio Risk and Return

Trong ví dụ trước, chúng ta đã quan sát tác động của correlation lên portfolio risk với weightings ngang bằng của hai assets. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu cách portfolio risk và return biến động tùy thuộc vào portfolio weightings và correlation.

Asset 1 có annual return là 7% và annualized risk là 12%, trong khi Asset 2 có annual return là 15% và annualized risk là 25%.

Exhibit 13: Relationship between Risk and Return

|Weight trong|Portfolio|P|ortfolio Risk với|Correlation|là| |Asset 1 (%)|Return|1.0|0.5|0.2|−1.0|

Exhibit 14: Relationship between Risk and Return

Table I minh họa return on investment và risk liên quan đến bốn correlation coefficients (+1.0, +0.5, -0.5, và -1.0) cùng 11 investment weights (từ 0% đến 100%). Với 0% được đầu tư vào Asset 1, return và risk của portfolio lần lượt bằng 15% và 25%, trong khi với 100% investment vào Asset 1, các giá trị tương ứng là 7% và 12%. Return on investment phụ thuộc vào investment weight nhưng không phụ thuộc vào correlation coefficient.

Portfolio risk giảm theo mỗi lần correlation coefficient giảm xuống, với portfolio risk thấp nhất khi ρ12 = -1. Trong biểu đồ ở Exhibit 14, chúng ta có thể thấy rằng khi correlation coefficient là +1, risk-return tradeoff là tuyến tính. Khi correlation

giảm, như được thể hiện trong bảng dưới đây, mức độ risk tiếp tục giảm. Đặc điểm cho thấy một portfolio of investments có dạng cong có thể được quan sát trong bất kỳ investment opportunity set nào, ngoại trừ khi ρ12 = -1 hoặc +1.

VÍ DỤ 5

Portfolio of Two Assets

Giả sử bạn là một nhà đầu tư tại Vương quốc Anh có một portfolio bao gồm 60% cổ phiếu UK Large Cap (được đại diện bởi FTSE 100 Index) và 40% trái phiếu chính phủ trung hạn (gilts). Expected rate of return từ FTSE 100 Index là 5.5%, trong khi rate of return của gilts trung hạn là 0.7%. Standard deviations của chúng lần lượt là 13.2% và 4.2%.

Expected rate of return của portfolio là

Rp = w 1 × R 1 + (1 - w 1) × R 2 = 0.6 × 0.055 + 0.4 × 0.007 = 0.0358 ≈ 3.6%. Risk của portfolio này là

σ p = 0.0808 ≈ 8.1%

Bạn nhận thấy rằng, so với US Treasury bonds, expected return từ gilts thấp hơn trong khi risk liên quan đến gilts lại cao hơn. Expected return của US Treasury bonds đối với một nhà đầu tư Mỹ là 1.5% và risk là 4.0%. Bạn tự hỏi liệu có lợi hơn không nếu thay thế gilts trong portfolio của mình bằng US Treasury bonds ("Treasuries").

1. Liệu các giả định đã cho về risk và return của US Treasury bonds có thể được một nhà đầu tư tại Vương quốc Anh sử dụng để tính expected return và risk của portfolio của mình khi US Treasuries thay thế UK gilts hay không?

Lời giải:

Không. Expected return và risk của Treasuries được xác định cho một nhà đầu tư Mỹ, người thực hiện các khoản đầu tư bằng đồng đô la Mỹ. Để tính expected return và risk bằng sterling của portfolio gồm FTSE 100 equities và US Treasuries đối với một nhà đầu tư tại Vương quốc Anh, cần phải xem xét exchange rate giữa đô la Mỹ và bảng Anh. Currency exchange rate có volatility (risk) riêng và các kỳ vọng về return cần được xác định cho GBP/USD currency exchange rate. Khi tính return và risk của một foreign currency asset trong portfolio của một domestic investor, foreign asset có thể được xem như một "portfolio" bao gồm hai assets. Return của một foreign asset bằng domestic currency (tức là không phải foreign currency) có thể được biểu diễn là tổng hợp của local currency return và exchange rate return:

RD = (1 + Rlc ) × (1 + RFX ) - 1

Vì portfolio hoàn toàn chịu tác động của biến động giá trị của asset bằng local currency cũng như currency exchange rate, foreign currency và asset đều có portfolio weight là 100%. Lưu ý rằng currency exchange rate nên được xác định theo domestic currency/foreign currency để tính return của một foreign currency asset bằng domestic currency. Risk có thể được tính như sau:

Giả sử bây giờ risk (expected standard deviation) của GBP/USD currency exchange rate là 9.0% và returns của Treasuries có correlation với GBP/USD currency exchange rate ở mức 0.33. Đồng thời, giả sử không có dự báo về giá trị tương lai của USD/GBP currency exchange rate và do đó return bằng 0%.

2. Expected risk của US Treasuries đối với bạn, với tư cách là một nhà đầu tư có trụ sở tại Vương quốc Anh, sẽ là bao nhiêu? Lời giải:

σ D = 0.110 = 11.0%.

Correlations giữa FTSE 100, US Treasuries và USD/GBP exchange rate được trình bày trong correlation matrix dưới đây.

3. Expected return và risk của portfolio của bạn sẽ là bao nhiêu nếu bạn thay thế UK gilts bằng US Treasuries?

   • Lời giải:

Expected return là weighted average của expected returns tính bằng British pounds sterling (GBP) của UK large-cap equities và US Treasuries. Bạn nên lưu ý rằng return của một foreign asset bằng domestic currency bao gồm một foreign currency component và một asset component. Tất cả expected returns có thể được lấy từ phần trên.

Rp = w 1 × R 1 + (1 - w 1) × [(1 + Rlc ) × (1 + RFX ) - 1].

Rp = 0.6 × 0.055 + 0.4 × [(1 + 0.015) × (1 + 0.0) - 1] = 0.039 = 3.9%.

Việc tính risk của một portfolio phức tạp hơn một chút. Hãy nhớ rằng risk của một portfolio gồm hai assets được xác định bởi risks, weights của assets và co-movements giữa hai assets này. Risk của một three-assets portfolio (equity, một foreign fixed income security và foreign currency liên quan) có thể được tính theo cùng cách, nhưng có ba cặp co-movements giữa các assets thay vì một.

Do đó, phương trình cho standard deviation của một three-asset portfolio là:

Weight của khoản đầu tư bằng foreign currency giống hệt portfolio weight của vị thế US Treasury. Từ thông tin ở trên, chúng ta có thể xác định mức độ rủi ro của portfolio bao gồm UK large-cap stocks và US Treasuries như sau:

σ p = (0.62 × 0.1322 + 0.42 × 0.0402 + 0.42 × 0.0902 + 2 × –0.32 × 0.6 × 0.4 × 0.132 × 0.040 + 2 × –0.06 × 0.6 × 0.4 × 0.132 × 0.090 + 2 × 0.33 × 0.4 × 0.4 × 0.040 × 0.090)1⁄2 .

σ p = 0.0841 ≈ 8.4%.

So với UK equity/gilt portfolio, mức độ rủi ro của UK equity/US Treasury portfolio cao hơn do khoản đầu tư UK gilt được thay thế bằng một risky asset khác có returns cao hơn. Mặc dù risk bằng local currency của US Treasuries thấp hơn của gilts, exchange rate risk khiến overall risk cao hơn đôi chút.

8 PORTFOLIO OF MANY RISKY ASSETS

tính toán và diễn giải portfolio standard deviation; mô tả tác động đối với risk của một portfolio khi đầu tư vào các assets có correlation thấp hơn perfect correlation

Trong phần trước, chúng ta đã chỉ ra cách correlation giữa hai assets tác động đến risk của portfolio và correlation càng thấp thì risk càng thấp. Tương tự, các phép tính ở trên có thể được mở rộng để bao gồm nhiều risky assets ( N ) trong portfolio. Hãy nhớ lại các công thức sau về portfolio return và variance:

Để phân tích hành vi của một portfolio gồm nhiều risky assets và các phương pháp giảm portfolio risk, chúng ta có thể xem xét trường hợp weights của portfolio được phân bổ đều giữa tất cả N assets và bằng 1/ N. Chúng ta giả định rằng σ__2 và ‾Cov lần lượt biểu thị average variance và average covariance. Theo các giả định này, portfolio variance sẽ được biểu diễn như sau:

Từ phương trình trên, khi N tăng, số hạng thứ nhất ở vế phải, trong đó N nằm ở mẫu số, sẽ giảm, cho thấy phần variance của từng asset trong portfolio đóng góp vào tổng portfolio variance theo một mức rất nhỏ. Mặt khác, số hạng thứ hai trở thành average covariance khi N tăng. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng covariance giữa các assets trong portfolios chi phối phần lớn risk của portfolios.

Tầm quan trọng của Correlation trong một Portfolio of Many Assets

Việc giả định rằng tất cả các assets trong portfolio có cùng variance và có correlation tương tự với nhau sẽ làm cho việc phân tích trở nên hữu ích và thú vị hơn nhiều. Portfolio risk có thể được biểu diễn như sau:

Biểu thức thứ nhất bên trong căn bậc hai sẽ trở nên không đáng kể khi số lượng securities trong portfolio tăng lên, để lại biểu thức thứ hai (correlation) là yếu tố quyết định chính đối với risk trong portfolio. Trong trường hợp các securities không có correlation với nhau, portfolio có thể được tạo lập với mức risk tối thiểu. Trong phần tiếp theo, chúng ta xem xét các vấn đề này để hiểu portfolio diversification.

mô tả đặc điểm của các asset classes chính được investors sử dụng khi xây dựng portfolios

thảo luận về cách các khoản đầu tư vào assets có correlation thấp hơn perfect correlation ảnh hưởng đến mức risk của một portfolio

Diversification có lẽ là khái niệm quan trọng và mạnh mẽ nhất trong investments. Do risk aversion của investors, họ muốn giảm risks, tốt nhất là không làm giảm returns. Trong một số trường hợp, investors có thể sẵn sàng chấp nhận rate of return thấp hơn để giảm xác suất bị mất tiền một cách nghiêm trọng. Như bạn đã thấy trong các phần trước của reading này, correlation và covariance đóng vai trò quan trọng trong việc quản lý risks. Phần này sẽ sử dụng các khái niệm đó để nghiên cứu một số phương pháp diversification risks. Hãy bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản.

VÍ DỤ 6

Diversification with Rain and Shine

Giả sử có một công ty tên là Beachwear cho thuê thiết bị đi biển. Công ty mang lại 20% mỗi năm trong những năm nắng, trong khi return trở thành 0% trong những năm mưa. Các năm nắng và năm mưa xảy ra với probability bằng nhau là 50% mỗi năm. Đó là lý do mean return là 10% mỗi năm: có 50% khả năng đạt return 20% và 50% khả năng đạt return 0%. Vì Beachwear chỉ tạo ra return 20% hoặc 0%, mean return 10% của công ty này khá risky.

Bạn muốn đầu tư vào Beachwear nhưng lo ngại về risk của nó. Sau khi nghe về diversification, bạn quyết định diversify portfolio của mình bằng cách bổ sung thêm một doanh nghiệp.

• Ngoài ra còn có một cửa hàng đồ ăn nhẹ trên bãi biển, nơi bán tất cả các loại thực phẩm lành mạnh mà bạn yêu thích. Estimated return từ Snackshop trong những năm nắng cũng sẽ là 20% và là 0% trong các năm khác. Giống như cửa hàng Beachwear, average return là 10%.

Khoản đầu tư được thực hiện sao cho 50% số tiền được đầu tư vào Snackshop và 50% còn lại vào Beachwear. Average return vẫn là 10%, vì 50% của 10% đến từ Snackshop và 50% của 10% đến từ Beachwear. Trong những năm nắng, bạn sẽ đạt 20% (= 50% của 20% từ Beachwear + 50% của 20% từ Snackshop). Ngược lại, trong những năm mưa, bạn sẽ đạt 0% (=50% của 0% từ Beachwear + 50% của 0% từ Snackshop). Kết quả được trình bày trong Exhibit 15 dưới đây:

Exhibit 15

|Loại|Công ty|Tỷ lệ đầu tư|Return trong năm nắng (%)|Return trong năm mưa (%)|Average Return (%)| |Cổ phiếu đơn lẻ|Beachwear|100|20|0|10| |Cổ phiếu đơn lẻ|Snackshop|100|20|0|10| |Portfolio gồm hai|Beachwear|50|20|0|10| |cổ phiếu|Snackshop|50|20|0|10| ||Tổng cộng|100|20|0|10|

Từ các kết quả ở trên, chúng ta nhận thấy risk hoàn toàn không giảm; nó vẫn giữ nguyên như trước. Điều này có phần khó hiểu. Người ta kỳ vọng rằng khi một doanh nghiệp mới được thêm vào portfolio thì risk sẽ giảm. Vậy điều gì đã xảy ra? Lưu ý rằng ở cả hai doanh nghiệp, khi trời nắng, chúng đều hoạt động tốt, và khi trời mưa, hiệu quả hoạt động của chúng đều kém. Có perfect positive correlation (+1.0) giữa hai doanh nghiệp này. Risk không thể giảm nếu correlation coefficient là +1.0.

• Để giảm risk của portfolio, doanh nghiệp mới được thêm vào phải là doanh nghiệp hoạt động tốt trong thời tiết mưa. Người ta tìm thấy một công ty cho thuê DVD. Công ty DVDrental gần như tương tự công ty Beachwear theo nghĩa annual return là 20% trong một năm mưa và 0% trong một năm nắng, với average return là 10%. DVDrental cũng risky giống như return từ Beachwear.

Khi bạn đầu tư 50% vào DVDrental và 50% còn lại vào Beachwear, average return vẫn là 10%, trong đó 50% của 10% đến từ DVDrental và 50% còn lại của 10% đến từ Beachwear. Trong một năm nắng, bạn sẽ đạt 10% (= 50% của 20% từ Beachwear + 50% của 0% từ DVDrental). Trong một năm mưa, bạn cũng sẽ đạt 10% (=50% của 0% từ Beachwear + 50% của 20% từ DVDrental). Bạn không có risk vì bạn đạt returns 10% trong cả năm nắng và năm mưa. Vì vậy, việc thêm DVDrental vào Beachwear làm giảm risk của bạn mà không làm giảm return. Kết quả được trình bày trong Exhibit 16 dưới đây:

Exhibit 16

|Loại|Công ty|Tỷ lệ đầu tư|Lợi suất trong năm nắng (%)|Lợi suất trong năm mưa (%)|Lợi suất trung bình (%)| |Cổ phiếu đơn lẻ|Beachwear|100|20|0|10| |Cổ phiếu đơn lẻ|DVDrental|100|0|20|10| |Danh mục gồm hai|Beachwear|50|20|0|10| |cổ phiếu|DVDrental|50|0|20|10| ||Tổng cộng|100|10|10|10|

Ở đây, hai công ty có correlation là -1.0. Việc giảm risk về 0 luôn có thể thực hiện được khi hai doanh nghiệp có correlation là -1.0 được diversification.

Correlation và Risk Diversification

Correlation là yếu tố chủ đạo trong risk diversification. Hãy quan sát cách returns của Beachwear và DVDrental luôn đối lập nhau về bản chất. Chúng có xu hướng biến động ngược chiều nhau, sao cho nếu một bên hoạt động tốt thì bên kia sẽ hoạt động kém. Điều này có nghĩa là diversification of risk đạt được bằng cách đưa vào các assets phản ứng theo cách đối lập với các assets khác trong portfolio. Correlation giữa hai công ty ở đây là -1.0.

Ngay cả sau khi chúng ta đã thêm nhiều assets vào portfolio, correlations của các assets vẫn sẽ là những yếu tố quyết định chủ yếu đối với risk của portfolio đó. Correlation càng thấp thì risk càng thấp. Việc diversification risk là khó vì hầu hết assets có high positive correlations. Vấn đề ở đây là tìm một số assets có correlation thấp hơn rất nhiều so với +1.0.

Historical Risk và Correlation

Trong quá trình thảo luận về returns từ assets, chúng ta đã cẩn thận phân biệt historical hoặc past returns với expected hoặc future returns vì past return không phản ánh future returns. Returns của một asset có thể rất cao trong một period và âm trong period tiếp theo do mức độ risk gắn liền với asset đó. Từ Exhibit 1, chúng ta thấy rằng returns từ large US company stocks rất cao trong những năm 1990 nhưng rất thấp trong những năm 2000.

Tuy nhiên, risk của một asset class không thay đổi nhiều trong từng period. Ngay cả trong các period có low returns, stocks vẫn luôn risky. T-bills luôn ít risky hơn ngay cả trong những thời điểm có high returns. Từ Exhibit 1, chúng ta thấy rằng risk chưa bao giờ thay đổi nhiều từ thập kỷ này sang thập kỷ khác, ngoại trừ risk của bonds đã cao hơn trong các thập kỷ gần đây so với trước đây. Do đó, sẽ hợp lý khi sử dụng historical risk như một proxy cho future risk.

Không giống như trường hợp của risks, correlations rất ổn định giữa các assets thuộc cùng một quốc gia. Mặt khác, inter-country correlations đã tăng lên trong vài thập kỷ gần đây do globalization và liberalization của nền kinh tế các quốc gia khác nhau. Correlation lớn hơn 0.90 được xem là cao vì các loại assets này mang lại rất ít cơ hội để diversification risks. Low correlations, dưới 0.50, là lý tưởng cho portfolio diversification.

Historical Correlation among Asset Classes

Correlations giữa các asset classes khác nhau tại Mỹ cùng với international stocks trong period từ năm 1970 đến năm 2017 được trình bày trong Exhibit 17. Correlation cao nhất là giữa US large company stocks và US small company stocks, khoảng 70%, trong khi correlation giữa US large company stocks và international stocks là khoảng 66%. Mặc dù correlations rất cao, chúng vẫn mang lại lợi ích của diversification vì chúng thấp hơn 100%. Correlation giữa international stocks và US small company stocks thậm chí còn thấp hơn và ở mức 50%. Correlations thấp nhất

là giữa stocks và bonds và có một số trường hợp negative correlations, chẳng hạn như giữa US small company stocks và US long-term government bonds. Tương tự, correlation giữa T-bills và stocks gần bằng 0.4

Exhibit 17: Correlation Giữa US Assets và International Stocks (1970-2017)

|Series|International Stocks|US Large Company Stocks|US Small Company Stocks|US Long-Term Corporate Bonds|US Long- Term Trea- sury Bonds|US T-Bills|US Inflation| |International stocks|1.00||||||| |US large company stocks|0.66|1.00|||||| |US small company stocks|0.50|0.72|1.00||||| |US long-term corporate bonds|0.02|0.23|0.06|1.00|||| |US long-term Treasury bonds|-0.13|0.01|-0.15|0.89|1.00||| |US T-bills|0.01|0.04|0.02|0.05|0.09|1.00|| |US inflation|-0.06|-0.11|0.04|-0.32|-0.26|0.69|1.00|

Nguồn: 2018 SBBI Yearbook (Exhibit 12.13).

Low correlations giữa stocks và bonds là lý tưởng cho portfolio diversification. Tương tự, việc đưa international securities vào portfolios cũng có thể giúp giảm portfolio risks. Không có gì đáng ngạc nhiên khi portfolios của hầu hết các diversified investors bao gồm domestic stocks, domestic bonds, foreign stocks, foreign bonds, real estate, cash và các asset classes khác.

Các con đường để Diversification

Lý do đằng sau diversification rất đơn giản. Việc tạo ra một portfolio gồm các non-correlated assets sẽ tạo ra một portfolio giúp giảm fluctuations trong short run nhưng vẫn tăng trưởng ổn định trong long run. Do đó, diversification tạo ra sự ổn định cho portfolios trước fluctuations của financial market.

Một số diversification strategies được xem xét, bao gồm những strategies đã được đề cập trước đó và thậm chí một số strategies có thể có vẻ hiển nhiên. Tuy nhiên, diversification là một concept thiết yếu trong investments đến mức không thể nhấn mạnh quá mức, đặc biệt khi xét đến vô số trường hợp chúng ta quan sát và gặp phải, trong đó investors bị underdiversified.

• Diversify với asset classes. Correlation giữa các major asset classes5 thường thấp, như có thể thấy từ Exhibit 17 đối với một số asset classes tại Mỹ. Tương tự, correlations giữa các asset classes khác và ở các quốc gia khác cũng có xu hướng thấp. Do đó, investors có cơ hội hưởng lợi từ diversification bằng cách đầu tư vào một số asset classes giúp họ tối đa hóa lợi ích từ quá trình diversification. Một số asset classes bao gồm domestic large caps, domestic small caps, growth stocks, value stocks, domestic corporate bonds, long-term domestic government bonds, domestic Treasury bills (cash)

4 Trong bất kỳ short period nào, T-bills đều riskless và uncorrelated với các asset classes khác. Ví dụ, một US Treasury bill kỳ hạn 3 tháng có thể được thanh toán tại face value khi maturity bất kể điều gì xảy ra với các assets khác. Tuy nhiên, khi xem xét multiple periods, returns của T-bills có thể liên quan đến các asset classes khác vì short-term interest rates thay đổi tùy theo sức mạnh của nền kinh tế và outlook về inflation.

5 Major asset classes được phân biệt với sub-classes, chẳng hạn như US value stocks và US growth stocks.

emerging market stocks, emerging market bonds, developed market stocks (tức là developed markets không bao gồm domestic market), developed market bonds, real estate, và gold cùng các commodities khác. Industries và sectors cũng có thể được sử dụng để diversify portfolios. Chẳng hạn, energy stocks thường không có correlation cao với health care stocks. Tỷ trọng chính xác của các assets này trong portfolio phụ thuộc vào các đặc điểm về risk, return và correlation của chúng cũng như home country của investor.

• Diversify với index funds. Diversification của portfolios giữa các asset classes khác nhau có thể tỏ ra khá tốn kém do số lượng individual securities cần thiết để xây dựng portfolio. Ví dụ, việc tạo ra diversified exposure đối với một category assets, chẳng hạn như domestic large company asset class, sẽ cần một rổ gồm ít nhất 30 stocks. Nếu cần bao phủ 10 categories assets, số lượng securities sẽ là 300, điều này sẽ làm tăng transaction costs và chi phí quản lý portfolio. Có thể có lợi khi đầu tư vào exchange-traded funds hoặc mutual funds theo dõi các indices liên quan, từ đó giảm costs của quá trình diversification. Nhiều investors nên sử dụng index mutual funds như một công cụ thay vì individual securities.

• Diversification giữa các quốc gia. Các quốc gia khác nhau về industrial focus, economic policy và political environment. Trong khi nền kinh tế Mỹ chuyên về việc cung cấp nhiều financial và technological services khác nhau và đầu tư đáng kể vào innovation-related research, nền kinh tế Trung Quốc và Ấn Độ tập trung vào production. Các quốc gia trong European Union là các nền dân chủ dân chủ, trong khi các quốc gia ở East Asia thử nghiệm democracy. Do đó, returns kiếm được ở một quốc gia theo thời gian khó có khả năng có correlation cao với returns kiếm được ở một quốc gia khác. Returns cũng có thể uncorrelated giữa các currencies khác nhau. Nói cách khác, return kiếm được từ foreign investments có khả năng khác với home currency. Vì currency returns uncorrelated với stock returns, chúng có khả năng giảm risk liên quan đến foreign investments mặc dù quốc gia đó là một risky emerging market xét về stock investments. Foreign investments là một thành phần cần thiết của một diversified portfolio.

• Diversify bằng cách không sở hữu cổ phiếu của employer. Corporations khuyến khích employees mua stocks của companies thông qua các chương trình employee stock purchase và retirement plans. Đồng thời, bạn nên phân tích investments vào công ty của mình tương tự như bất kỳ investments nào khác. Hơn nữa, bạn nên xem xét các nonfinancial investments mà bạn đã thực hiện, chẳng hạn như human capital mà bạn đã đầu tư vào công ty của mình. Việc là employee của employer có nghĩa là bạn đầu tư rất nhiều vào employer của mình - earnings của bạn phụ thuộc vào performance của employer. Mức earnings, khả năng kiếm được nhiều hơn và promotion của bạn phụ thuộc vào performance của employer. Nếu employer của bạn bị một competitor vượt qua và mất thị trường, bạn sẽ mất việc. Việc tiếp tục investments vào employer sẽ làm tăng concentration của assets và giảm diversification.

• Đánh giá từng asset trước khi thêm vào portfolio. Mỗi khi bạn thêm một security hoặc một asset class vào portfolio, hãy tính đến cost of diversification liên quan đến nó. Điều này bao gồm cost of trading một asset và cost of managing một portfolio có số lượng securities lớn hơn. Trong một số trường hợp, có thể có một số securities hoặc assets với những tên gọi khác nhau nhưng trên thực tế thuộc về một asset class mà bạn đã có

exposure đầy đủ. Một quy tắc chung để kiểm tra xem việc đưa một new asset vào portfolio có phù hợp hay không là risk-return trade-off sau đây:

trong đó E(R) là expected return từ asset, Rf là return của risk-free asset, σ là standard deviation, ρ là correlation coefficient, và các chỉ số dưới new và p lần lượt đề cập đến new stock và existing portfolio. Nếu việc đưa một new asset vào mang lại lợi ích cho portfolio xét theo risk-adjusted return, new asset đó nên được đưa vào portfolio. Điều kiện này có thể được viết lại bằng Sharpe ratio ở cả hai vế của phương trình như sau:

Việc thêm new asset vào portfolio là nên thực hiện nếu Sharpe ratio của new asset vượt quá Sharpe ratio của existing portfolio nhân với correlation coefficient.

■ Mua insurance cho risky portfolios. Điều này có thể gây ngạc nhiên, nhưng insurance là một investment asset - chỉ là một loại asset khác. Insurance có negative correlation với assets của bạn và do đó rất có giá trị. Insurance mang lại positive return khi assets của bạn mất value, nhưng không chi trả gì nếu assets của bạn duy trì value. Theo thời gian, insurance tạo ra negative average return. Tuy nhiên, nhiều individuals sẵn sàng chấp nhận một negative return nhỏ vì insurance làm giảm exposure của họ trước extreme loss. Nhìn chung, việc thêm một investment có negative return là hợp lý nếu investment đó làm giảm đáng kể risk (một ví dụ điển hình về risk-return trade-off).

Negative correlation tồn tại đối với một số investments. Ví dụ, xét theo lịch sử, có negative correlation giữa price of gold và price of stocks; tuy nhiên, expected return của investment là nhỏ và đôi khi là âm. Mọi người mua gold hoặc các commodities khác như một phần của portfolios để giảm portfolio risks, bao gồm foreign exchange risk và inflation risk.

Mua put options là một strategy khác để giảm risks. Vì put options cung cấp khoản thanh toán khi price of underlying asset giảm (negative correlation), việc mua các options này bảo vệ một portfolio khỏi severe losses. Nhưng có một cost liên quan đến việc mua options, và expected return của investment bằng 0 hoặc hơi âm.

mô tả tác động đối với risk của một portfolio khi đầu tư vào các assets có correlation thấp hơn hoàn hảo; mô tả và diễn giải minimum-variance frontier và efficient frontier của risky assets và global minimum-variance portfolio

Trong chương này, chúng ta formalize quá trình diversification và mở rộng universe of investment opportunities bằng cách đưa tất cả risky securities vào phân tích bằng mean-variance approach. Việc đưa một riskless asset vào tạo ra optimal risky portfolio và capital allocation line. Cuối cùng, chúng ta xác định optimal portfolio của một investor bằng cách chồng capital allocation line lên indifference curves của investors.

Investment Opportunity Set

Khi hai tài sản có tương quan hoàn hảo, risk-return opportunity set sẽ là một đường thẳng nối hai tài sản này. Đường thẳng được hình thành thông qua các portfolio khác nhau có được bằng cách thay đổi tỷ trọng của hai tài sản trong portfolio. Tương quan này được biểu thị bằng đường thẳng (trong đó ρ = 1) trong Exhibit 14. Trong trường hợp hai tài sản không có tương quan hoàn hảo, rủi ro trong portfolio sẽ thấp hơn rủi ro có trọng số của các thành phần và portfolio được hình thành bởi hai tài sản này được thể hiện bằng các đường cong khi correlation coefficient (ρ) nhỏ hơn 1.0 như được trình bày trong Exhibit 14. Tất cả các điểm hình thành nên đường nối hai tài sản đều là các điểm có thể đạt được hoặc khả thi. Khi bổ sung thêm các tài sản mới vào portfolio này, có thể hình thành các portfolio mới, có thể là tổ hợp tuyến tính của portfolio hiện có và tài sản mới hoặc tổ hợp đường cong, tùy thuộc vào correlation giữa tài sản mới và portfolio hiện có.

Khi số lượng tài sản sẵn có tăng lên, số lượng các tổ hợp có thể có cũng tăng lên. Khi chúng ta xem xét tất cả investable assets và giả định số lượng của chúng lên đến hàng trăm và hàng nghìn, chúng ta sẽ có thể tạo ra một opportunity set of investments. Một opportunity set thông thường sẽ bao phủ tất cả các điểm nằm trên frontier vì chúng ta cũng có thể đạt được tất cả các điểm nằm bên trong đường cong đó bằng cách xây dựng cẩn thận một portfolio từ tất cả investable assets.

Chúng ta bắt đầu với tất cả individual investable assets và dần dần hình thành các portfolio, sau đó biểu diễn chúng trên đồ thị để có được đường cong như trong Exhibit 18. Tất cả các điểm trên đường cong và tất cả các điểm nằm bên phải đường cong đều có thể đạt được bằng sự kết hợp của một hoặc nhiều individual investable assets. Đây là investment opportunity set. Ban đầu, opportunity set chỉ bao gồm domestic assets và được đánh dấu tương ứng trong Exhibit 18.

Exhibit 18: Investment Opportunity Set

Bổ sung Asset Classes

Trong Exhibit 18, có thể thấy rằng khi chúng ta đưa một asset class mới như international assets vào, opportunity set sẽ mở rộng hơn nữa về phía tây bắc, mang lại risk-return trade-off tốt hơn.

Investment opportunity set có international assets vượt trội hơn opportunity set chỉ có domestic assets. Việc đưa các loại tài sản khác vào investment opportunity set cũng sẽ có tác động tương tự. Do đó, chúng ta cần tiếp tục đưa thêm nhiều loại tài sản vào investment opportunity set miễn là chúng góp phần tạo ra risk-return trade-off tốt hơn. Bằng cách này, lợi ích của diversification có thể được tận dụng đầy đủ trong việc xây dựng investment opportunity set, và cuối cùng là optimal portfolio.

Từ thời điểm này trong phần này, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả investable assets sẵn có đều được đưa vào investment opportunity set; do đó, không cần phải lo lắng về các asset classes bổ sung hoặc bất kỳ investment opportunity mới nào.

Minimum-Variance Portfolios

Tất cả các tập hợp đầu tư có thể đầu tư được bao gồm trong investment opportunity set đều được trình bày trong Exhibit 19. Có rất nhiều portfolio khác nhau mà một nhà đầu tư có thể đầu tư vào, nhưng nhà đầu tư phải đưa ra lựa chọn đúng đắn và chọn portfolio tối ưu. Trong các phần phụ tiếp theo, chúng ta sẽ bắt đầu lựa chọn optimal portfolio bằng cách thu hẹp số lượng các phương án portfolio.

Exhibit 19: Minimum-Variance Frontier

Minimum-Variance Frontier

Các nhà đầu tư risk-averse muốn giảm thiểu rủi ro trong khi vẫn đạt được một mức return nhất định. Hãy xem các Point A, B và X trong Exhibit 19 và giả định rằng chúng nằm trên cùng một đường ngang. Trong trường hợp này, cả ba điểm đều có cùng expected return, E ( R 1), cũng như tất cả các điểm khác nằm trên đường tưởng tượng nối các Point A, B và X. Nếu có thể lựa chọn giữa ba điểm này, một nhà đầu tư sẽ chọn điểm có rủi ro thấp nhất, tức Point X. Tuy nhiên, Point X không thể đạt được vì nó không thuộc investment opportunity set. Do đó, mức rủi ro tối thiểu

Nói cách khác, mức expected return cao nhất mà chúng ta có thể đạt được đối với E ( R 1) là bao nhiêu? Đó là Point A. Tất cả các điểm bên phải A, Point B và các điểm phía trên đều khả thi; tuy nhiên, tất cả chúng đều đi kèm rủi ro. Do đó, một nhà đầu tư risk-averse sẽ chỉ ưu tiên đầu tư vào Point A thay vì bất kỳ portfolio nào khác có cùng return.

Tương tự, Point C là điểm có minimum variance đối với mức return đạt được tại C. Tất cả các điểm bên phải C đều có rủi ro cao hơn. Chúng ta có thể áp dụng lập luận trên cho tất cả các mức return có thể có. Trong mọi trường hợp, chúng ta nhận thấy rằng minimum-variance portfolio là portfolio nằm trên đường cong liền nét trong Exhibit 19. Tập hợp các minimum-variance portfolio như vậy được gọi là minimum-variance frontier. Minimum-variance frontier giúp chúng ta xác định một tập hợp con nhỏ hơn gồm các portfolio mà nhà đầu tư muốn đầu tư vào. Cần lưu ý rằng một nhà đầu tư risk-averse sẽ không bao giờ ưu tiên đầu tư vào một portfolio nằm ngoài minimum-variance frontier vì một portfolio trên minimum-variance frontier có thể mang lại cùng return với mức rủi ro thấp hơn.

Global Minimum-Variance Portfolio

Điểm ngoài cùng bên trái trên minimum-variance frontier là portfolio có variance thấp nhất trong số tất cả risky assets, và do đó được gọi là global minimum-variance portfolio. Không ai có thể nắm giữ một portfolio gồm các tài sản risky có variance thấp hơn global minimum-variance portfolio. Lưu ý việc sử dụng thuật ngữ "risky" assets. Trong các chương sau, khi chúng ta giới thiệu một risk-free asset, chúng ta có thể nới lỏng điều kiện này.

Efficient Frontier of Risky Assets

Minimum-variance frontier cung cấp cho chúng ta các portfolio có minimum variance ứng với một mức return nhất định. Tuy nhiên, các nhà đầu tư cũng muốn đạt return tối đa ứng với một mức rủi ro nhất định. Hãy xem xét Point A và C trên minimum-variance frontier trong Exhibit 19. Hai điểm này có cùng mức rủi ro. Nếu được lựa chọn, một nhà đầu tư sẽ ưu tiên portfolio A vì nó có return cao hơn. Không ai sẽ chọn Portfolio C. Điều này áp dụng cho tất cả các portfolio trên minimum-variance frontier nằm dưới global minimum-variance portfolio. Điều này có nghĩa là các portfolio nằm trên đường cong phía trên và bên phải global minimum-variance portfolio là không hiệu quả đối với nhà đầu tư.

Đường cong phía trên và bên phải global minimum-variance portfolio được gọi là Markowitz efficient frontier.

Một thực tế quan trọng khác thường bị bỏ qua là slope tại các điểm khác nhau trên efficient frontier. Khi chúng ta di chuyển từ phải sang trái bắt đầu từ global minimum variance portfolio (Point Z) trong Exhibit 19, rủi ro tăng lên cùng với return. Tuy nhiên, tốc độ mà return tăng trên mỗi đơn vị rủi ro tăng thêm lại tiếp tục giảm dần từ trái sang phải vì slope giảm liên tục. Slope tại Point D thấp hơn slope tại Point A, và slope tại Point A lại thấp hơn slope tại Point Z. Chênh lệch return giữa Point Z và A bằng chênh lệch return giữa Point A và D. Có thể quan sát thấy rằng chênh lệch rủi ro khi di chuyển từ Point A đến Point D lớn gấp ba đến bốn lần chênh lệch rủi ro khi di chuyển từ Point Z đến Point A. Do đó, các nhà đầu tư nhận được return giảm dần khi rủi ro tăng lên.

giải thích việc lựa chọn một optimal portfolio, dựa trên utility (hoặc risk aversion) của nhà đầu tư và capital allocation line

Cho đến nay, chúng ta chỉ thảo luận về risky assets có return không chắc chắn. Tuy nhiên, hầu hết các nhà đầu tư thường có quyền tiếp cận một risk-free asset, cụ thể là các securities do chính phủ phát hành. Với sự xuất hiện của một risk-free asset, investment opportunity set trở nên phong phú hơn nhiều so với tập hợp chỉ bao gồm risky assets.

Capital Allocation Line and Optimal Risky Portfolio

Theo định nghĩa, risk-free asset không có rủi ro nên phải nằm trên trục y trong một mean variance graph. Risk-free asset có return là Rf được thể hiện trong Exhibit 20. Tài sản này hiện có thể được kết hợp với một risky portfolio of assets. Sự kết hợp giữa risk-free asset và risky portfolio of assets tạo thành một đường thẳng, giống như trường hợp trong Section 6 (Exhibit 9). Tuy nhiên, trái với Section 6, hiện nay chúng ta có nhiều risky portfolio để lựa chọn thay vì chỉ một risky portfolio.

Exhibit 20: Optimal Risky Portfolio

Các portfolio trên efficient frontier có thể được kết hợp với risk-free asset. Hai tổ hợp được trình bày trong Exhibit 20: tổ hợp giữa risk-free asset và Portfolio A hiệu quả, và tổ hợp giữa risk-free asset và Portfolio P hiệu quả. So sánh capital allocation line A với capital allocation line P cho thấy rằng tồn tại một điểm trên CAL(P) có return cao hơn và cùng mức rủi ro đối với mỗi điểm trên CAL(A). Điều đó có nghĩa là các portfolio trên CAL(P) vượt trội hơn các portfolio trên CAL(A). Vì vậy, nhà đầu tư ưu tiên CAL(P) hơn CAL(A). Chúng ta cần di chuyển về phía tây bắc để đạt được các portfolio tốt hơn. Tuy nhiên, tất cả các portfolio đó đều không khả thi vì chúng nằm phía trên efficient frontier.

Có thể sử dụng các portfolio khác nằm trên efficient frontier không? Có, ví dụ, Point X nằm trên efficient frontier và có return cao nhất trong số tất cả risky portfolio đối với một mức rủi ro nhất định. Nhưng Point Y trên CAL(P), vốn khả thi nhờ leverage của Portfolio P (Section 6), có return cao hơn với cùng mức rủi ro so với Point X. Theo cách tương tự, chúng ta có thể kết luận rằng không chỉ CAL(P) vượt trội hơn CAL(A), mà CAL(P) còn vượt trội hơn Markowitz efficient frontier of risky assets.

CAL(P) là optimal capital allocation line và Portfolio P là optimal risky portfolio. Do đó, với sự hỗ trợ của risk-free asset, chúng ta đã thu hẹp lựa chọn risky portfolio xuống còn một optimal risky portfolio duy nhất, P, là điểm tiếp xúc giữa CAL(P) và efficient frontier of risky assets.

The Two-Fund Separation Theorem

two-fund separation theorem cho rằng tất cả các nhà đầu tư, bất kể sở thích, risk preferences và initial wealth, sẽ nắm giữ sự kết hợp của hai quỹ: risk-free asset và một optimal portfolio of risky assets.6

Separation theorem cho phép chúng ta chia vấn đề đầu tư của một nhà đầu tư thành hai nhiệm vụ riêng biệt: investment decision và financing decision. Ở bước đầu tiên, tương tự như phân tích trước đó, nhà đầu tư lựa chọn optimal risky portfolio. Optimal risky portfolio được chọn từ một số risky portfolio mà không xét đến investor’s preferences. Investment decision ở bước này phụ thuộc vào return, risk và correlation của optimal risky portfolio (một portfolio duy nhất).

CAL liên kết optimal risky portfolio với riskless asset. Điều quan trọng cần lưu ý là tất cả optimal portfolio của nhà đầu tư đều nằm trên đường CAL này. Các optimal portfolio của nhà đầu tư trên CAL(P) được xác định ở bước thứ hai. Việc sử dụng indifference curves của risk preferences riêng của từng nhà đầu tư giúp xác định allocation của nhà đầu tư giữa risk-free asset (borrowing) và optimal risky portfolio. Các portfolio nằm vượt quá optimal risky portfolio có thể đạt được bằng cách borrowing từ riskless asset. Do đó, risk preference của nhà đầu tư giúp xác định financing decision (cho chính phủ vay hay vay tiền để đầu tư vào optimal risky portfolio).

VÍ DỤ 7

Lựa chọn Portfolio Phù hợp

Trong Exhibit 21, risk và return của các điểm được biểu diễn như sau:

|Điểm|Return (%)|Risk (%)|Điểm (%)|Return (%)|Risk (%)| |A|15|10|B|11|10| |C|15|30|D|25|30| |F|4|0|G (gold)|10|30| |P|16|17||||

6 Trong reading tiếp theo, bạn sẽ học rằng optimal portfolio của risky assets là market portfolio.

Vui lòng trả lời các câu hỏi sau đây liên quan đến các điểm được biểu diễn trong Exhibit 21 và giải thích câu trả lời của bạn. Nhà đầu tư đã chọn một portfolio từ biểu đồ.

1. Điểm nào trong số các điểm trên là không thể đạt được?

Lời giải:

Portfolio A là không thể đạt được vì nó nằm ngoài efficient frontier.

2. Portfolio nào sẽ bị một nhà đầu tư rational, risk-averse từ chối?

Lời giải:

Portfolios G và C sẽ bị từ chối vì D tạo ra return cao hơn với cùng mức risk. G và C là hai điểm có thể đầu tư duy nhất không nằm trên capital allocation line.

3. Portfolio nào là tốt nhất đối với một nhà đầu tư risk-neutral?

Lời giải:

Portfolio D là tốt nhất đối với một nhà đầu tư risk-neutral, vì họ không quan tâm đến risk và chỉ quan tâm đến return. Giá trị của A bằng 0 trong phương trình utility function.

4. Gold nằm trong phần không efficient của feasible region. Tuy nhiên, ngay cả như vậy, nhiều nhà đầu tư rational vẫn nắm giữ gold như một phần của portfolio. Tại sao?

Lời giải:

Gold có thể được nắm giữ trong một portfolio (và không phải là toàn bộ portfolio) vì gold có tương quan âm với các khoản đầu tư risky như stocks. Do đó, việc nắm giữ gold trong portfolio làm giảm risk, ngay cả khi risk và return của việc chỉ nắm giữ riêng gold lần lượt cao và thấp. Hãy nhớ rằng giá gold không giữ nguyên không đổi; vì vậy, return từ việc nắm giữ gold có risk cao (30%). Những cá nhân risk-seeking do đó sẽ chọn D thay vì G vì cả hai có cùng mức risk trong khi D có return cao hơn.

5. Utility của một nhà đầu tư tại điểm P với risk aversion coefficient là 3 là bao nhiêu?

Lời giải:

• U = E ( r ) − 0.5Aσ2 = 0.16 − 0.5 × 3 × 0.0289 = 0.1167 = 11.67%.

giải thích việc lựa chọn một optimal portfolio, dựa trên utility (hoặc risk aversion) của nhà đầu tư và capital allocation line

CAL(P) được thể hiện trong Exhibit 22 bao gồm tất cả các portfolio tốt nhất mà nhà đầu tư có thể lựa chọn. Các portfolio này là các tổ hợp tuyến tính của risk free asset và optimal risky portfolio. Trong tất cả các portfolio có sẵn, việc lựa chọn optimal portfolio của bất kỳ nhà đầu tư cụ thể nào phụ thuộc vào risk preference của nhà đầu tư đó. Trong Sections 4-6, đã giải thích rằng risk preference của từng nhà đầu tư xác định indifference curve của họ, có thể được sử dụng để xác định optimal portfolio của họ.

Một indifference curve trong Exhibit 22 tiếp xúc với capital allocation line CAL(P). Bất kỳ indifference curve nào nằm phía trên capital allocation line đều có utility cao hơn đường cong này, điều đó có nghĩa là các portfolio tương ứng là không thể đạt được. Các indifference curves nằm phía dưới đường cong này thể hiện utility thấp hơn. Do đó, optimal portfolio của nhà đầu tư có indifference curve được thể hiện trong hình là portfolio C trên CAL(P), tiếp xúc với indifference curve.

Exhibit 22: Optimal Investor Portfolio

CAL(P) E ( Rp ) Indifference curve Efficient frontier của risky assets C P A Optimal risky portfolio Rf Optimal investor portfolio 0 Standard Deviation (%) σ p Expected Return (%)

Portfolio Risk and Return: Part I

VÍ DỤ 8

Ví dụ Toàn diện về Portfolio Selection

Ví dụ chi tiết này bao quát nhiều chủ đề mà bạn đã học trong reading này. Ví dụ bắt đầu từ thông tin cơ bản về các assets có sẵn và xây dựng optimal portfolio của nhà đầu tư cho gia đình Lohrmann.

Giả sử gia đình Lohrmann chỉ có thể tiếp cận hai risky assets A và B. expected returns và standard deviation của risky asset A lần lượt là 20% và 50%, còn expected returns và standard deviation của risky asset B lần lượt là 15% và 33%. Correlation giữa hai assets bằng 0.

1. Tính portfolio expected return và risk (standard deviation) với giả định đầu tư 10% vào risky asset A và 90% vào risky asset B.

Lời giải:

Chỉ số dưới “ rp ” biểu thị risky portfolio.

Rrp =[ 0.10 × 20%] + [( 1 − 0.10) × 15%] = 0.155 = 15.50% ____________________________ σrp_ = √ wA 2 σA 2 + wB 2 σB 2 + 2 wA wB ρAB σA σB

= √____________________________________________________________( 0.102 × 0.502 ) + ( 0.902 × 0.332 ) + (2 × 0.10 × 0.90 × 0.0 × 0.50 × 0.33) = 0.3012 = 30.12%

Lưu ý rằng correlation coefficient bằng 0; do đó, hạng standard deviation cuối cùng bằng 0.

2. Khái quát hóa các phép tính ở trên cho portfolio return và risk bằng cách giả định rằng wA được đầu tư vào Asset A và (1 - wA) được đầu tư vào Asset B. Lời giải:

Investment opportunity set có thể được vẽ bằng cách sử dụng các weights khác nhau trong các biểu thức của E ( Rrp ) và σ rp ở phần 1 của ví dụ này. Exhibit 23 thể hiện sự kết hợp của hai assets.

Exhibit 23

3. Bây giờ hãy đưa vào một risk free asset tạo ra return 3%. Hãy suy ra một phương trình cho capital allocation line theo wA kết nối risk free asset với portfolio của risky asset. (Gợi ý: tham khảo phương trình trong section 6, sử dụng các biểu thức về risk và return của risky portfolio ở Part 2 ở trên).

Lời giải:

Phương trình của đường thẳng kết nối risk free asset và portfolio của risky assets được trình bày bên dưới (tham khảo section 6). Trong phương trình, “rp” biểu thị risky portfolio thay vì “i”, còn “ p” biểu thị portfolio mới bao gồm hai risky assets và một risk free asset.

Capital allocation line biểu thị đường có slope lớn nhất vì nó tiếp xúc với các portfolios của hai risky assets. Exhibit 24 thể hiện capital allocation line, trong đó risk free asset được thêm vào danh sách assets.

Exhibit 24

4. Slope của capital allocation line được tối đa hóa nếu tỷ trọng weight của Asset A là 38.20%.7 Phương trình của capital allocation line với weight wA là 38.20% sẽ là gì?

Lời giải:

Khi thay 38.20% cho wA vào phương trình ở Part 3, ta có E ( Rp ) = 0.03 + 0.4978σ p là capital allocation line.

7 Bạn có thể tối đa hóa

bằng cách lấy first derivative của slope theo wA và đặt bằng 0.

___________________________________________________0.05 wA + 0.12 √0.3589 wA 2 − 0.2178 wA + 0.1089

5. Bây giờ chúng ta đã có capital allocation line và tiếp tục giải quyết bài toán của gia đình Lohrmann. Standard deviation của một portfolio tạo ra return 20% và nằm trên capital allocation line sẽ là bao nhiêu? Portfolio này so với asset A như thế nào?

Lời giải:

Chúng ta giải phương trình của capital allocation line và tìm được standard deviation của portfolio: 0.20 = 0.03 + 0.4978σ p. σ p = 34.2%. Portfolio này tạo ra cùng return như asset A nhưng có standard deviation thấp hơn: 34.2% so với 50.0%.

6. Risk của các portfolios tạo ra return 3%, 9%, 15% và 20% là bao nhiêu?

Lời giải:

Bạn có thể tính risk của portfolio bằng phương trình của capital allocation line: E ( Rp ) = 0.03 + 0.4978σ p. Với một portfolio có return 15%, ta viết: 0.15 = 0.03 + 0.4978σ p. Giải σ p cho ta 24.1%. Theo cùng cách đó, bạn có thể xác định risk của các portfolios khác có các mức return được đề cập ở trên.

Risk của portfolio có return 3% là 0.0%, risk của portfolio có return 9% là 12.1%, risk của portfolio có return 15% là 24.1%, và risk của portfolio có return 20% là 34.2%. Các điểm này được biểu diễn trong Exhibit 25.

Exhibit 25

7. Utility mà gia đình Lohrmann nhận được từ một portfolio có return 3%, 9%, 15% và 20% là bao nhiêu? Risk aversion coefficient của gia đình Lohrmann là 2.5.

Lời giải:

Để tìm utility, sử dụng utility formula với risk aversion coefficient là 2.5: Utility = E ( Rp ) − 0.5 × 2.5 _σp_2 Utility( 3%) = 0.0300 Utility( 9%) = 0.09 − 0.5 × 2.5 × 0.1212 = + 0.0717 Utility( 15%) = 0.15 − 0.5 × 2.5 × 0.2412 = + 0.0774 Utility( 20%) = 0.20 − 0.5 × 2.5 × 0.3412 = + 0.0546

Từ thông tin được cung cấp ở trên, có thể kết luận rằng gia đình Lohrmann thích đầu tư vào một portfolio có return 15% và standard deviation 24.1% vì nó có

utility cao nhất: 0.0774. Exhibit 26 bên dưới minh họa indifference curve tiếp xúc với capital allocation line, dẫn đến việc hình thành optimal investor portfolio của gia đình Lohrmann.

Exhibit 26 Lohrmanns’ Utility Curve 20% A = 20% return, 50% risk 20% (not to scale) 15% 15% B = 15% return, 33% risk 1

Investor Preferences and Optimal Portfolios

Optimal investor portfolio phụ thuộc vào risk tolerance của nhà đầu tư. Một nhà đầu tư rất risk-averse sẽ sẵn sàng đầu tư phần lớn tài sản của mình, thậm chí có thể là 100%, vào risk-free asset. Optimal portfolio của nhà đầu tư này sẽ nằm ở phía bên phải, gần trục y. Ngược lại, một nhà đầu tư có mức risk aversion thấp hơn sẽ sẵn sàng đầu tư phần lớn tài sản của mình vào optimal risky portfolio. Optimal portfolio của nhà đầu tư này sẽ gần Point P trong Exhibit 22 hơn.

Có thể có một số nhà đầu tư có mức risk aversion cao nhưng vẫn muốn chấp nhận nhiều risk hơn để đạt được return cao hơn. Những nhà đầu tư này có thể quyết định vay tiền để tăng khoản đầu tư vào risky portfolio. Bằng cách vay 25% tài sản của mình, nhà đầu tư này có thể đầu tư 125% vào optimal risky portfolio. Optimal portfolio của một nhà đầu tư như vậy sẽ nằm ở phía bên phải của Point P trên capital allocation line.

Theo cách này, khi di chuyển từ risk-free asset về phía capital allocation line, ta gặp những nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận nhiều risk hơn. Tại Point P, nhà đầu tư đầu tư toàn bộ vào optimal risky portfolio. Sau Point P, nhà đầu tư chấp nhận nhiều risk hơn bằng cách vay tiền và đầu tư số tiền đó vào optimal risky portfolio.

Cần lưu ý rằng chỉ bằng cách sử dụng hai portfolios này, tức risk-free asset và optimal risky portfolio, chúng ta có thể phục vụ mọi loại nhà đầu tư. Exhibit 22 cũng là một minh họa cho two-fund separation theorem. Portfolio P là optimal risky portfolio, được lựa chọn độc lập với investor preferences. Mặt khác, optimal investor portfolio được lựa chọn trên capital allocation line có xét đến investor preferences.

TÓM TẮT

Phần đọc này mô tả và tính toán các đặc điểm đầu tư như risk và return mà nhà đầu tư sử dụng khi đánh giá tài sản để đầu tư. Tiếp theo là các phần về xây dựng portfolio, lựa chọn optimal risky portfolio và các khái niệm về risk aversion và indifference curves. Cuối cùng,

điểm tại đó các indifference curves tiếp xúc với capital allocation line giúp xác định portfolio của nhà đầu tư. Các khái niệm được thảo luận trong phần đọc này gồm:

• holding period return nên được xem xét trong một holding period được xác định trước.

• Các phép tính multiperiod return có thể được thực hiện theo nhiều cách. Mỗi phương pháp có những mục đích sử dụng riêng.

• Nhà đầu tư risk-averse đầu tư dựa trên risk-return trade off, cố gắng tối đa hóa return với cùng mức risk hoặc tối thiểu hóa risk với cùng mức return. Tuy nhiên, nhà đầu tư risk-averse có thể lo ngại trước sự sai lệch khỏi normal distribution của return và sự kém hiệu quả của financial markets.

• Nhà đầu tư là risk-averse, và dữ liệu lịch sử ủng hộ việc financial markets định giá assets có tính đến risk-aversion của nhà đầu tư.

• Risk của two-asset portfolio phụ thuộc vào tỷ trọng nắm giữ từng asset, standard deviation của chúng và correlation (hoặc covariance) giữa rủi ro của returns của các assets. Khi portfolio có nhiều assets hơn, correlation giữa rủi ro của các assets trở nên ngày càng quan trọng khi đo lường portfolio risk.

• Combining assets with low correlations reduces portfolio risk.

• two-fund separation theorem cho phép chia quá trình ra quyết định thành hai giai đoạn. Thứ nhất, xác định optimal risky portfolio và capital allocation line, vốn chung cho tất cả nhà đầu tư. Thứ hai, dựa trên risk preferences của nhà đầu tư, xác định optimal portfolio cụ thể của từng nhà đầu tư.

• Việc đưa risk free asset vào làm cho tất cả portfolios có thể vượt trội so với tất cả risky asset portfolios, ngoại trừ optimal risky portfolio.

Sau khi hiểu kỹ phần đọc này, bạn sẽ không gặp khó khăn khi xác định optimal portfolio của một nhà đầu tư dựa trên risk preferences của nhà đầu tư và tập hợp các investment opportunities hiện có.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2009 Ibbotson Stocks, Bonds, Bills, and Inflation (SBBI) Classic Yearbook. 2009. Chicago, IL: Morningstar.

Bogle, John C. 2008. “Black Monday and Black Swans.” Financial Analysts Journal 64(2): 30-40. doi:10.2469/faj.v64.n2.9

Dimson, Elroy, Paul Marsh, and Mike Staunton. 2009. Credit Suisse Global Investment Returns Sourcebook. 2009. Zurich, Switzerland: Credit Suisse Research Institute.

Taleb, Nassim N. 2007. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable . New York: Random House Inc.

Portfolio Risk and Return: Part I

BÀI TẬP THỰC HÀNH

EN: - B. bid–ask spreads.

• B. bid-ask spreads.

• A. stock price.

EN: * 2. Risk aversion behavior can be best shown in the form of risk*

• 2.* Hành vi risk aversion được thể hiện rõ nhất dưới dạng risk

  • C. brokerage commissions.

  EN: - A. negative.

  • A. âm.

  EN: - B. neutral.

  • B. trung lập.

  EN: - C. positive.

  • C. dương.

EN: * 3. With regard to the risk-averse investors, a risk-free investment would lead to the creation of a utility value of:*

• 3.* Đối với nhà đầu tư risk-averse, một khoản đầu tư risk-free sẽ tạo ra một utility value:

  EN: - A. the same for all individuals.

  • A. giống nhau đối với mọi cá nhân.

  EN: - B. positive for risk-averse investors.

  • B. dương đối với nhà đầu tư risk-averse.

  EN: - C. equal to zero for risk seeking investors.

  • C. bằng 0 đối với nhà đầu tư risk seeking.

EN: * 4. With regard to the utility theory, the investor who is the most risk-averse would have an indifference curve characterized by:*

• 4.* Theo utility theory, nhà đầu tư có mức risk-aversion cao nhất sẽ có một indifference curve được đặc trưng bởi:

  EN: - A. most convexity.

  • A. độ cong lớn nhất.

  EN: - B. smallest intercept value.

  • B. giá trị intercept nhỏ nhất.

  EN: - C. greatest slope coefficient.

  • C. hệ số slope lớn nhất.

• 5.* With regard to the investor’s utility function, given by U = E ( r) −_1 2_Aσ_2, which of the following measure of risk aversion would be least risky?

  • A. −4.

  • B. 0.

C. 4.

EN: The following data were provided by a financial planner to show the application of utility theory in portfolio choice: Dữ liệu sau được một financial planner cung cấp để minh họa việc áp dụng utility theory trong portfolio choice:

The following information relates to questions 6-7

EN: 6. A risk-neutral investor is most likely to choose: 6. Một nhà đầu tư risk-neutral nhiều khả năng nhất sẽ chọn:

• A. Investment 1.

• B. Investment 2.

EN: * 7. In case the utility function of an investor is U = E ( r) −_1 2_Aσ_2 and the measure for the risk aversion is −2, the investor who is risk-seeking would most probably choose:*

• 7.* Trong trường hợp utility function của một nhà đầu tư là U = E ( r) −_1 2_Aσ_2 và thước đo risk aversion là −2, nhà đầu tư risk-seeking nhiều khả năng nhất sẽ chọn:

  • C. Investment 3.

  • A. Investment 2.

  • B. Investment 3.

EN: * 8. Assuming that an investor’s utility function can be represented by U = E ( r ) −_1 2_Aσ_2 where the risk aversion measure is 2, then the risk-averse investor is most likely to pick:*

• 8.* Giả sử utility function của một nhà đầu tư có thể được biểu diễn bởi U = E ( r ) −_1 2_Aσ_2, trong đó thước đo risk aversion là 2, thì nhà đầu tư risk-averse nhiều khả năng nhất sẽ chọn:

  • C. Investment 4.

  • A. Investment 1.

  • B. Investment 2.

EN: * 9. Assuming that an investor’s utility function can be represented by U = E ( r) −_1 2_Aσ_2 where the risk aversion measure is 4, then the risk-averse investor is most likely to pick:*

• 9.* Giả sử utility function của một nhà đầu tư có thể được biểu diễn bởi U = E ( r) −_1 2_Aσ_2, trong đó thước đo risk aversion là 4, thì nhà đầu tư risk-averse nhiều khả năng nhất sẽ chọn:

  • C. Investment 3.

  • A. Investment 1.

  • B. Investment 2.

EN: * 10. In the context of the mean-variance portfolio theory, the capital allocation line (CAL) is the result of combining the risk-free asset and portfolio of all:*

• 10.* Trong bối cảnh mean-variance portfolio theory, capital allocation line (CAL) là kết quả của việc kết hợp risk-free asset và portfolio của tất cả:

  • C. Investment 3.

  • A. risky assets.

  • B. equity securities.

EN: * 11. With regard to two investors who have different degrees of risk aversion, their optimal portfolios will differ in that they are:*

• 11.* Đối với hai nhà đầu tư có mức độ risk aversion khác nhau, optimal portfolios của họ sẽ khác nhau ở chỗ chúng nằm:

  • C. feasible investments.

  EN: - A. below the capital allocation line.

  • A. bên dưới capital allocation line.

Portfolio Risk and Return: Part I

EN: - B. on the capital allocation line.

• B. trên capital allocation line.

EN: - C. above the capital allocation line.

• C. bên trên capital allocation line.

EN: * 12. With respect to capital market theory, which of the following attributes of assets is least likely to affect the variance of an investor’s equally weighted portfolio?*

• 12.* Theo capital market theory, thuộc tính nào sau đây của assets ít có khả năng nhất ảnh hưởng đến variance của equally weighted portfolio của một nhà đầu tư?

  EN: - A. Return on the asset.

  • A. Return của asset.

  EN: - B. Standard deviation of the asset.

  • B. Standard deviation của asset.

EN: - C. Covariance between the asset and the other assets in the portfolio.

• C. Covariance giữa asset và các assets khác trong portfolio.

EN: 13. A portfolio manager creates the following portfolio: 13. Một portfolio manager xây dựng portfolio sau:

EN: When the correlation between the two securities is 0.40, the standard deviation of the portfolio is closest to: Khi correlation giữa hai securities là 0.40, standard deviation của portfolio gần nhất với:

A. 10.7%.

• B. 11.3%.

EN: 14. A portfolio manager creates the following portfolio: 14. Một portfolio manager xây dựng portfolio sau:

• C. 12.1%.

EN: When the covariance between the two securities is −0.0240, the standard deviation of the portfolio is closest to: Khi covariance giữa hai securities là −0.0240, standard deviation của portfolio gần nhất với:

A. 2.4%.

• B. 7.5%.

• C. 9.2%.

EN: The portfolio manager constructs the following portfolio: Portfolio manager xây dựng portfolio sau:

The following information relates to questions 15-16

EN: * 15. When the standard deviation of the portfolio is 14.40%, the correlation between the two securities is equal to:*

• 15.* Khi standard deviation của portfolio là 14.40%, correlation giữa hai securities bằng:

A. -1.0.

B. 0.0.

EN: * 16. The covariance between the two securities, when the standard deviation of the portfolio is 14.40%, is given by:

• 16. Covariance giữa hai securities, khi standard deviation của portfolio là 14.40%, bằng:

C. 1.0.

• A. 0.0006.

• B. 0.0240.

• C. 1.0000.

EN: The portfolio manager forms the following portfolio: Portfolio manager lập portfolio sau:

The following information relates to questions 17-19

EN: * 17. The proportion of investment in security 1, if the expected return on the portfolio is 15%, is:

• 17. Tỷ trọng đầu tư vào security 1, nếu expected return của portfolio là 15%, là:

• A. 25%.

• B. 50%.

EN: * 18. The expected standard deviation of an equally weighted portfolio, if the correlation coefficient between the two securities is -0.15, is closest to:

• 18. Expected standard deviation của equally weighted portfolio, nếu correlation coefficient giữa hai securities là -0.15, gần nhất với:

  • C. 75%.

  • A. 13.04%.

  • B. 13.60%.

EN: * 19. The expected standard deviation of an

• 19. Expected standard deviation của một

  • C. 13.87%.

Portfolio Risk and Return: Part I

EN: Equal-Weight Portfolio is Closest to: Equal-Weight Portfolio gần nhất với:

• A. 14.00%.

• B. 14.14%.

• C. 20.00%.

EN: An analyst made the following forecasts of the returns of each of three equally likely outcomes: Một analyst đưa ra các dự báo sau về returns của từng trong ba outcomes có xác suất bằng nhau:

The following information relates to questions 20-21

EN: * 20. Assuming that the analyst creates equally-weighted portfolios consisting of two assets, what pair of assets would have the smallest expected standard deviation?*

• 20.* Giả sử analyst tạo các equally-weighted portfolios gồm hai assets, cặp assets nào sẽ có expected standard deviation nhỏ nhất?

||Outcome 1|Outcome 2|Outcome 3|Expected Return| |Asset|(%)|(%)|(%)|(%)|

EN: - A. Asset 1 and Asset 2.

• A. Asset 1 và Asset 2.

EN: - B. Asset 1 and Asset 3.

• B. Asset 1 và Asset 3.

EN: - C. Asset 2 and Asset 3.

• C. Asset 2 và Asset 3.

EN: * 21. Assuming that the analyst creates equally-weighted portfolios consisting of two assets, what pair of assets would offer the greatest reduction in risk?*

• 21.* Giả sử analyst tạo các equally-weighted portfolios gồm hai assets, cặp assets nào sẽ mang lại mức giảm risk lớn nhất?

  EN: - A. Asset 1 and Asset 2.

  • A. Asset 1 và Asset 2.

  EN: - B. Asset 1 and Asset 3.

  • B. Asset 1 và Asset 3.

  EN: - C. Asset 2 and Asset 3.

  • C. Asset 2 và Asset 3.

EN: * 22. If the number of assets in an equally-weighted portfolio increases, the influence of the variance of the individual asset on the portfolio volatility becomes:*

• 22.* Nếu số lượng assets trong một equally-weighted portfolio tăng lên, ảnh hưởng của variance của từng asset lên portfolio volatility sẽ:

  EN: - A. increases.

  • A. tăng lên.

  EN: - B. decreases.

  • B. giảm xuống.

  EN: - C. remains the same.

  • C. giữ nguyên.

EN: * 23. In regard to an equally weighted portfolio that consists of many assets, what contributes the most to the volatility of the portfolio?*

• 23.* Đối với một equally weighted portfolio gồm nhiều assets, yếu tố nào đóng góp nhiều nhất vào volatility của portfolio?

  EN: - A. Average variance of the individual assets.

  • A. Average variance của các individual assets.

  EN: - B. Standard deviation of the individual assets.

  • B. Standard deviation của các individual assets.

  EN: - C. Average covariance between all pairs of assets.

  • C. Average covariance giữa tất cả các cặp assets.

Bài tập thực hành

EN: * 24. The correlation between assets of a two-asset portfolio rises when the market falls. Assuming that there has been no change in the weights of the assets in the portfolio or their expected standard deviations, the portfolio volatility would be most likely to:*

• 24.* Correlation giữa các assets của một two-asset portfolio tăng khi market giảm. Giả sử không có thay đổi nào về weights của assets trong portfolio hoặc expected standard deviations của chúng, portfolio volatility nhiều khả năng nhất sẽ:

  • A. increase.

  • B. decrease.

EN: * 25. What statement is least correct? The efficient frontier represents the collection of all attainable risky assets with the:*

• 25.* Phát biểu nào ít đúng nhất? efficient frontier đại diện cho tập hợp tất cả attainable risky assets có:

  • C. remain the same.

  EN: - A. highest expected return for a given level of risk.

  • A. expected return cao nhất cho một mức risk nhất định.

EN: - B. smallest level of risk at a particular return.

• B. mức risk nhỏ nhất tại một return nhất định.

  EN: - C. highest expected return relative to the risk-free rate.

  • C. expected return cao nhất so với risk-free rate.

EN: * 26. The portfolio on the minimum-variance frontier with the lowest standard deviation is:*

• 26.* Portfolio trên minimum-variance frontier có standard deviation thấp nhất là:

  EN: - A. unattainable.

  • A. không thể đạt được.

  EN: - B. the optimal risky portfolio.

  • B. optimal risky portfolio.

  EN: - C. the global minimum-variance portfolio.

  • C. global minimum-variance portfolio.

EN: * 27. Set of portfolios on the minimum variance frontier that dominate all other sets of portfolios below the global minimum variance portfolio is the:*

• 27.* Tập hợp portfolios trên minimum variance frontier vượt trội so với tất cả các tập hợp portfolios khác nằm dưới global minimum variance portfolio là:

  • A. capital allocation line.

  EN: - C. set of optimal risky portfolios.

  • C. tập hợp optimal risky portfolios.

  • B. Markowitz efficient frontier.

EN: * 28. The dominant capital allocation line is the combination of the risk free asset and the:*

• 28.* dominant capital allocation line là sự kết hợp giữa risk free asset và:

  • A. optimal risky portfolio.

  • B. levered portfolio of risky assets.

EN: * 29. In comparison to the efficient frontier of risky securities, the dominant capital allocation line has higher rates of return for risk levels above the optimal risky portfolio due to the investor’s capability to:*

• 29.* So với efficient frontier của risky securities, dominant capital allocation line có rates of return cao hơn đối với các mức risk cao hơn optimal risky portfolio do nhà đầu tư có khả năng:

  • C. global minimum-variance portfolio.

  EN: - A. lend at the risk-free rate.

  • A. cho vay tại risk-free rate.

  EN: - B. borrow at the risk-free rate.

  • B. vay tại risk-free rate.

  EN: - C. purchase the risk-free asset.

  • C. mua risk-free asset.

EN: * 30. In terms of the mean variance theory, the optimal portfolio depends upon:*

• 30.* Theo mean variance theory, optimal portfolio phụ thuộc vào:

  • A. risk-free rate.

Portfolio Risk and Return: Part I

• B. borrowing rate.

• C. risk preference.

EN: 1. C is the right answer. Broking commissions are negotiable with the brokerages. Liquidity of the security affects the efficiency of trading costs. Liquidity affects the spread of buying and selling as well as the stock price (as in case the stock cannot be sold, the uncertainty associated with selling it will affect its price).

1. C là đáp án đúng. Brokerage commissions có thể được thương lượng với các brokerage. Liquidity của security ảnh hưởng đến hiệu quả của trading costs. Liquidity ảnh hưởng đến spread của việc mua và bán cũng như stock price (vì trong trường hợp stock không thể được bán, sự không chắc chắn liên quan đến việc bán nó sẽ ảnh hưởng đến giá của nó).

LỜI GIẢI

EN: 2. C is correct. Long-term historical data show that there is a positive risk-return tradeoff, which represents risk aversion of an investor. 2. C đúng. Dữ liệu lịch sử dài hạn cho thấy tồn tại positive risk-return tradeoff, điều này thể hiện risk aversion của nhà đầu tư.

EN: 3. A is correct. The risk-free asset has zero variance and does not depend on whether an investor is risk-neutral, risk-seeking, or risk-averse. That is, assuming that the utility function for an investment is given by U = E(r) - _Aσ2, where _A is the measure of risk aversion, then the sign of _A is irrelevant when variance equals 0 (which is the case for a risk-free asset). 3. A đúng. risk-free asset có variance bằng 0 và không phụ thuộc vào việc nhà đầu tư là risk-neutral, risk-seeking hay risk-averse. Nghĩa là, giả sử utility function cho một khoản đầu tư được cho bởi U = E(r) - _Aσ2, trong đó _A là thước đo risk aversion, thì dấu của _A không quan trọng khi variance bằng 0 (đây là trường hợp của risk-free asset).

EN: 4. C is correct. The riskiest investor has an indifference curve with the steepest slope. 4. C đúng. Nhà đầu tư chấp nhận rủi ro cao nhất có một indifference curve với slope dốc nhất.

EN: 5. A is correct. The presence of a negative value in the utility function means that the investor is a risk seeker. 5. A đúng. Sự hiện diện của một giá trị âm trong utility function có nghĩa là nhà đầu tư là risk seeker.

6. C is correct. Investment 3 offers the highest return. For a risk-neutral investor, risk is irrelevant; hence, the risk-neutral investor will have a measure of risk aversion of 0. According to the utility function, the risk-neutral investor will derive maximum utility from Investment 3.

EN: 7. C is the right choice. Investment 4 gives the maximum value of utility function (0.2700) for the risk-taking investor, whose coefficient of risk aversion equals to −2. 7. C là lựa chọn đúng. Investment 4 mang lại giá trị tối đa của utility function (0.2700) cho nhà đầu tư risk-taking, có coefficient of risk aversion bằng −2.

EN: 8. B is the right choice. Investment 2 gives the maximum value of utility function (0.1836) for the risk-averse investor whose coefficient of risk aversion equals to 2. 8. B là lựa chọn đúng. Investment 2 mang lại giá trị tối đa của utility function (0.1836) cho nhà đầu tư risk-averse có coefficient of risk aversion bằng 2.

EN: 9. A is the right choice. Investment 1 gives the maximum value of utility function (0.1792) for the risk-averse investor whose coefficient of risk aversion equals to 4. 9. A là lựa chọn đúng. Investment 1 mang lại giá trị tối đa của utility function (0.1792) cho nhà đầu tư risk-averse có coefficient of risk aversion bằng 4.

10. A is the right choice. The CAL is the set of combination between risk free asset without any risk and the portfolio of all risky assets that provides the possibility to form the set of feasible investments. The possibility to invest the money from borrowing at risk free rate in the portfolio of all risky assets leads to the formation of feasible investment portfolios dominating risky assets beneath the CAL.

EN: 12. Answer A is right. Returns on the asset are not needed to compute the variance of the portfolio [weights of the assets, their standard deviation (variance) and covariance (correlation) are needed]. 12. Đáp án A đúng. Returns của asset không cần thiết để tính variance của portfolio [cần weights của assets, standard deviation (variance) và covariance (correlation) của chúng].

11. B is the right choice. The CAL is the set of all feasible investments. Indifference curves of each investor determine the optimal set of combination between risk-free asset and the portfolio of all risky assets lying on the CAL.

EN: 13. C is correct. 13. C đúng.

σport = √___________________________ w_ 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2 w 1 w 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2

EN: 14. A is correct. 14. A đúng.

= √___________________________________________________(0.3)2 (20%)2 + (0.7)2 (12%)2 + 2 (0.3)(0.7)(0.40)(20%)(12%) =( 0.3600 % + 0.7056 % + 0.4032%)0.5 =( 1.4688%)0.5 = 12.11%

= √____________________________________________(0.3)2 (20%)2 + (0.7)2 (12%)2 + 2 (0.3)(0.7)(− 0.0240)

EN: 15. Answer C is right. The portfolio standard deviation of 14.40% can be calculated using weighted average, which can happen only if there exists a perfect positive correlation between securities at 1.0. 15. Đáp án C đúng. Portfolio standard deviation 14.40% có thể được tính bằng weighted average, điều này chỉ có thể xảy ra khi tồn tại perfect positive correlation giữa các securities bằng 1.0.

=( 0.3600 % + 0.7056 % − 1.008%)0.5 =( 0.0576%)0.5 = 2.40%

EN: 16. The correct answer is B. A portfolio standard deviation of 14.40% would be the weighted average that could occur only when there is perfect correlation between the securities, i.e., 1.0. In this case, the covariance should be 0.0240, which is computed as follows: Cov(R 1, R 2) = ρ12σ1σ2 = (1.0)(20%)(12%) = 2.40% = 0. 16. Đáp án đúng là B. Portfolio standard deviation 14.40% sẽ là weighted average, điều này chỉ có thể xảy ra khi có perfect correlation giữa các securities, tức là 1.0. Trong trường hợp này, covariance phải là 0.0240, được tính như sau: Cov(R 1, R 2) = ρ12σ1σ2 = (1.0)(20%)(12%) = 2.40% = 0.

Lời giải

EN: 17. C is correct. 17. C đúng.

EN: 18. A is correct. 18. A đúng.

Rp = w 1 × R 1 + (1 − w 1) × R 2 Rp = w 1 × 16 % + (1 − w 1) × 12% 15 % = 0.75( 16%) + 0.25( 12%)

EN: 19. B is correct. 19. B đúng.

σport = √___________________________ w_ 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2 w 1 w 2 ρ 1,2 σ 1 σ 2 = √____________________________________________________(0.5)2 (20%)2 + (0.5)2 (20%)2 + 2 (0.5)(0.5)(− 0.15)(20%)(20%) =( 1.0000 % + 1.0000 % − 0.3000%)0.5 =( 1.7000%)0.5 = 13.04%

EN: 20. C is the right answer. Portfolio comprising Asset 2 and Asset 3, with equal weights, would result in minimum portfolio standard deviation since for any state of the world, both portfolios have same expected returns (they are perfectly negatively correlated). 20. C là đáp án đúng. Portfolio gồm Asset 2 và Asset 3, với weights bằng nhau, sẽ tạo ra minimum portfolio standard deviation vì trong mọi state of the world, cả hai assets đều có cùng expected returns (chúng có perfect negative correlation).

EN: 21. The answer A is right. The portfolio formed by Asset 1 and Asset 2 is the most volatile among the three portfolios. The expected return of all three portfolios is equal; but, the portfolio consisting of Asset 1 and Asset 2 offers the smallest risk reduction. 21. Đáp án A đúng. Portfolio được hình thành bởi Asset 1 và Asset 2 là portfolio biến động mạnh nhất trong ba portfolios. Expected return của cả ba portfolios bằng nhau; nhưng portfolio gồm Asset 1 và Asset 2 mang lại mức giảm risk nhỏ nhất.EN: 22. B is correct. The contribution of each individual asset’s variance (or standard deviation) to the portfolio’s volatility is reduced as the number of assets in the equally weighted portfolio is increased. The contribution of the co-movement measures between the assets increases (i.e., covariance and correlation) as the number of assets in the equally weighted portfolio is increased. The following equation for the variance of an equally weighted portfolio shows this:

EN: 23. C is correct. The co-movement measures between the assets increase (i.e., covariance and correlation) as the number of assets in the equally weighted portfolio is increased. The contribution of each individual asset’s variance (or standard deviation) to the portfolio’s volatility is reduced as the number of assets in the equally weighted portfolio is increased. The following equation for the variance of an equally weighted portfolio shows this:

22. B là đáp án đúng. Đóng góp của variance (hoặc standard deviation) của từng asset riêng lẻ vào volatility của portfolio giảm xuống khi số lượng assets trong equally weighted portfolio tăng lên. Đóng góp của các thước đo co-movement giữa các assets tăng lên (tức là covariance và correlation) khi số lượng assets trong equally weighted portfolio tăng lên. Phương trình sau đây về variance của một equally weighted portfolio cho thấy điều này:

23. C là đáp án đúng. Các thước đo co-movement giữa các assets tăng lên (tức là covariance và correlation) khi số lượng assets trong equally weighted portfolio tăng lên. Đóng góp của variance (hoặc standard deviation) của từng asset riêng lẻ vào volatility của portfolio giảm xuống khi số lượng assets trong equally weighted portfolio tăng lên. Phương trình sau đây về variance của một equally weighted portfolio cho thấy điều này:

EN: 24. A is correct. Higher correlations will lead to fewer diversification benefits provided that the other elements of the portfolio standard deviation remain the same (i.e., the weights and standard deviations of the individual assets).

EN: 25. C is correct. The efficient frontier does not take into consideration the risk-free rate. The efficient frontier consists of all the attainable risky assets that have the highest expected returns for a certain risk level or vice versa.

24. A là đáp án đúng. Correlation cao hơn sẽ dẫn đến ít diversification benefits hơn, với điều kiện các yếu tố khác của portfolio standard deviation vẫn giữ nguyên (tức là weights và standard deviations của các assets riêng lẻ).

EN: 26. C is correct. The global minimum-variance portfolio is the portfolio on the minimum-variance frontier with the minimum standard deviation. Even though

25. C là đáp án đúng. efficient frontier không xem xét risk-free rate. efficient frontier bao gồm tất cả các risky assets có thể đạt được có expected returns cao nhất tại một mức risk nhất định hoặc ngược lại.

26. C là đáp án đúng. global minimum-variance portfolio là portfolio trên minimum-variance frontier có standard deviation thấp nhất. Mặc dù

Portfolio Risk and Return: Part I

EN: 27. B is correct. The Markowitz efficient frontier yields higher returns for a certain level of risk. Regarding the minimum-variance portfolio, the Markowitz efficient frontier is the group of portfolios that lie above the global minimum variance portfolio, dominating those below the global minimum variance portfolio.

Tuy nhiên, khi chúng ta xem xét risk-free asset, thì global minimum variance portfolio không trở thành optimal risky portfolio.

EN: 28. A is correct. Leverage use and the combination of the risk-free asset and the optimal risky asset dominate the efficient frontier of risky assets (Markowitz efficient frontier).

27. B là đáp án đúng. Markowitz efficient frontier mang lại returns cao hơn tại một mức risk nhất định. Xét về minimum-variance portfolio, Markowitz efficient frontier là nhóm các portfolios nằm phía trên global minimum variance portfolio, chi phối các portfolios nằm phía dưới global minimum variance portfolio.

EN: 29. B is correct. The CAL dominates the efficient frontier at all points except at the optimal risky portfolio. It is the ability of the investor to buy more of the optimal risky portfolio using leverage, or margin purchases, at a cost of the risk-free rate of return, that allows the possibility of having higher returns for risks above the optimal risky asset.

28. A là đáp án đúng. Việc sử dụng leverage và sự kết hợp giữa risk-free asset và optimal risky asset chi phối efficient frontier của risky assets (Markowitz efficient frontier).

EN: 30. C is correct. The investor’s optimal combination of the risk-free asset and the optimal risky asset will be different from one investor to another depending on the investor’s risk tolerance.

29. B là đáp án đúng. CAL chi phối efficient frontier tại mọi điểm ngoại trừ tại optimal risky portfolio. Chính khả năng của investor mua thêm optimal risky portfolio bằng cách sử dụng leverage, hoặc margin purchases, với chi phí là risk-free rate of return, tạo ra khả năng đạt được returns cao hơn đối với các mức risk cao hơn optimal risky asset.

30. C là đáp án đúng. Sự kết hợp tối ưu giữa risk-free asset và optimal risky asset của investor sẽ khác nhau giữa các investors, tùy thuộc vào risk tolerance của từng investor.