The Term Structure of Interest Rates

Spot Rates

Định nghĩa

Spot rate ($S_t$) là yield của một trái phiếu zero-coupon (discount bond) đáo hạn tại thời điểm $t$. Tập hợp các spot rate cho các kỳ hạn khác nhau tạo thành spot rate curve (còn gọi là strip curve hoặc zero curve).

Định giá trái phiếu bằng Spot Rates (No-Arbitrage Pricing)

Mỗi dòng tiền được chiết khấu theo spot rate tương ứng với kỳ hạn của nó:

$\text{PV} = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1 + S_t)^t}$

Cách này cho ra no-arbitrage price — loại bỏ mọi khả năng kiếm lợi nhuận không rủi ro thông qua việc tách (stripping) và bán riêng lẻ các dòng tiền.

Par Curve

Par curve là chuỗi YTM của các trái phiếu được định giá ở mệnh giá (Price = Face Value). Với một par bond:

$100 = \sum_{t=1}^{N} \frac{C_{\text{par}}}{(1 + S_t)^t} + \frac{100}{(1 + S_N)^N}$

trong đó $C_{\text{par}}$ là coupon rate khiến trái phiếu giao dịch ở mệnh giá.

Suy ra Par Rates từ Spot Rates

$C_{\text{par}} = \frac{1 - \frac{1}{(1+S_N)^N}}{\sum_{t=1}^{N} \frac{1}{(1+S_t)^t}}$

Par rate cho kỳ hạn $N$ là một dạng trung bình phức tạp của các spot rate đến kỳ hạn $N$.

Forward Rates

Ký hiệu

$_AY_BY$ = forward rate cho một khoản vay bắt đầu sau $A$ năm và kéo dài $B$ năm.

Ví dụ:

• $_{0}Y_{1}Y = S_1$ (spot rate 1 năm hiện tại)
• $_{1}Y_{1}Y$ = lãi suất 1 năm, bắt đầu sau 1 năm
• $_{2}Y_{3}Y$ = lãi suất 3 năm, bắt đầu sau 2 năm

Quan hệ No-Arbitrage

Spot rates và forward rates liên kết với nhau qua no-arbitrage:

$(1 + S_n)^n = (1 + S_1)(1 + {_1Y_{1}Y})(1 + {_2Y_{1}Y}) \cdots (1 + {_{(n-1)}Y_{1}Y})$

Tổng quát hơn:

$(1 + S_{A+B})^{A+B} = (1 + S_A)^A \times (1 + {_AY_{B}Y})^B$

Tính Forward Rates từ Spot Rates

$(1 + {_AY_{B}Y})^B = \frac{(1 + S_{A+B})^{A+B}}{(1 + S_A)^A}$

Tính Spot Rates từ Forward Rates

$(1 + S_n)^n = \prod_{k=0}^{n-1}(1 + {_kY_{1}Y})$

$S_n = \left[\prod_{k=0}^{n-1}(1 + {_kY_{1}Y})\right]^{1/n} - 1$

Định giá trái phiếu bằng Forward Rates

Một trái phiếu có thể được định giá bằng cách chiết khấu từng dòng tiền qua chuỗi forward rates:

$\text{PV} = \frac{CF_1}{(1 + {_0Y_{1}Y})} + \frac{CF_2}{(1 + {_0Y_{1}Y})(1 + {_1Y_{1}Y})} + \cdots + \frac{CF_N}{\prod_{k=0}^{N-1}(1 + {_kY_{1}Y})}$

Cách này cho ra cùng no-arbitrage price như khi chiết khấu bằng spot rates.

Hình dạng Yield Curve và Mối quan hệ giữa các Rates

Đường cong dốc lên (Normal)

$\text{Par rate} < \text{Spot rate} < \text{Forward rate}$

Trực giác: spot rates là trung bình nhân của các forward rates. Nếu forward rates đang tăng, trung bình (spot) sẽ thấp hơn, và par rates còn thấp hơn nữa.

Đường cong phẳng (Flat)

$\text{Par rate} = \text{Spot rate} = \text{Forward rate}$

Cả ba đường cong đều trùng nhau.

Đường cong nghịch — dốc xuống (Inverted)

$\text{Forward rate} < \text{Spot rate} < \text{Par rate}$

Bootstrapping Spot Rates

Spot rates được rút ra từ par rates theo từng bước:

1. $S_1 = \text{Par}_1$ (par rate kỳ hạn 1 = spot rate)
2. Dùng $S_1$ và par bond 2 năm để giải tìm $S_2$
3. Tiếp tục lặp lại cho từng kỳ hạn

$100 = \frac{C_2}{(1+S_1)} + \frac{100 + C_2}{(1+S_2)^2} \implies \text{solve for } S_2$

See Also

• M07 - Yield Spread for Fixed-Rate Bonds
• M10 - Interest Rate Risk and Return
• M13 - Curve-Based Risk Measures