M10: Binomial Option Pricing Model

LOS 10.a: Giải thích cách mô hình binomial có thể được dùng để định giá options. LOS 10.b: Mô tả cách giá trị của một option thay đổi khi các tham số đầu vào thay đổi.

1. Thiết lập mô hình One-Period Binomial

Giá tài sản cơ sở $S_0$ có thể di chuyển đến một trong hai giá trị trong một kỳ:

$S_1^{+} = S_0 \times u \quad \text{(up move)}$

$S_1^{-} = S_0 \times d \quad \text{(down move)}$

trong đó:

• $u$ = hệ số tăng (up factor, $u > 1$)
• $d$ = hệ số giảm (down factor, $d < 1$)
• Điều kiện $u > (1 + r) > d$ là bắt buộc để ngăn chặn arbitrage

Giá trị Call Option tại thời điểm đáo hạn

$c_1^{+} = \max(0,\; S_1^{+} - X) = \max(0,\; S_0 u - X)$

$c_1^{-} = \max(0,\; S_1^{-} - X) = \max(0,\; S_0 d - X)$

Giá trị Put Option tại thời điểm đáo hạn

$p_1^{+} = \max(0,\; X - S_1^{+}) = \max(0,\; X - S_0 u)$

$p_1^{-} = \max(0,\; X - S_1^{-}) = \max(0,\; X - S_0 d)$

2. Phương pháp Hedge Ratio (Replication)

Hedge ratio $h$ xác định số lượng cổ phiếu cần thiết để tái tạo (replicate) payoff của option:

$h = \frac{c_1^{+} - c_1^{-}}{S_1^{+} - S_1^{-}}$

trong đó:

• $h$ còn được gọi là delta của option
• Với call: $0 \leq h \leq 1$
• Với put: $-1 \leq h \leq 0$

Replicating Portfolio

Một danh mục gồm $h$ cổ phiếu và một vị thế bán (short position) một call tạo thành một risk-free hedge:

• Trạng thái tăng: $h \times S_1^{+} - c_1^{+}$
• Trạng thái giảm: $h \times S_1^{-} - c_1^{-}$

Hai giá trị này bằng nhau (theo cấu trúc xây dựng), do đó danh mục không có rủi ro. Giá trị hiện tại của nó là:

$V_0 = \frac{h \times S_1^{+} - c_1^{+}}{1 + r}$

Giá call khi đó là:

$c_0 = h \times S_0 - V_0$

3. Phương pháp Risk-Neutral Probability

Risk-Neutral Probability

$\pi = \frac{1 + r - d}{u - d}$

trong đó:

• $\pi$ = risk-neutral probability của một up move
• $(1 - \pi)$ = risk-neutral probability của một down move

Risk-Neutral Pricing cho Call

$c_0 = \frac{\pi \, c_1^{+} + (1 - \pi) \, c_1^{-}}{1 + r}$

Risk-Neutral Pricing cho Put

$p_0 = \frac{\pi \, p_1^{+} + (1 - \pi) \, p_1^{-}}{1 + r}$

Điểm mấu chốt: Xác suất thực tế (real-world probabilities) của up move và down move ($q$ và $1 - q$) không ảnh hưởng đến việc định giá option. Chỉ có risk-neutral probabilities ($\pi$ và $1 - \pi$) được sử dụng. Lý do là option được định giá bằng phương pháp replication — danh mục hedge hoạt động bất kể xác suất thực tế là bao nhiêu.

4. Ví dụ số

Giả sử $S_0 = 100$, $u = 1.20$, $d = 0.80$, $r = 5\%$, $X = 100$:

Bước 1: Tính giá cuối kỳ và giá trị call:

• $S_1^{+} = 100 \times 1.20 = 120$, suy ra $c_1^{+} = \max(0, 120 - 100) = 20$
• $S_1^{-} = 100 \times 0.80 = 80$, suy ra $c_1^{-} = \max(0, 80 - 100) = 0$

Bước 2: Risk-neutral probability:

$\pi = \frac{1.05 - 0.80}{1.20 - 0.80} = \frac{0.25}{0.40} = 0.625$

Bước 3: Giá call:

$c_0 = \frac{0.625 \times 20 + 0.375 \times 0}{1.05} = \frac{12.50}{1.05} = 11.90$

Kiểm chứng bằng hedge ratio:

$h = \frac{20 - 0}{120 - 80} = 0.50$

$V_0 = \frac{0.50 \times 120 - 20}{1.05} = \frac{40}{1.05} = 38.10$

$c_0 = 0.50 \times 100 - 38.10 = 11.90 \; \checkmark$

5. Volatility và giá trị Option

Khoảng cách giữa $u$ và $d$ phản ánh volatility của tài sản cơ sở:

$\text{Volatility càng cao} \iff \text{khoảng cách } u - d \text{ càng rộng} \iff \text{giá trị option càng cao}$

Trực giác: Volatility cao hơn làm tăng xác suất xảy ra những biến động lớn có lợi (mà option sẽ hưởng lợi từ đó), trong khi phần thua lỗ bị giới hạn ở mức phí premium đã trả. Sự bất đối xứng này có nghĩa là volatility cao hơn luôn có lợi cho người nắm giữ option.

Xem thêm: M08: Options Pricing and Valuation, M09: Put-Call Parity

Nguồn: SAPP Derivatives 2026